新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 Application of IRT in Educational Measurement Bor-Chen Kuo 1 Huey-Min Wu 2 Chun-Hua Chen 3 1 3 Graduate Institu

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊, 民 101, 第 十 二 期, 頁 05~40 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 1 3 2 1 2 3 郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 台 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所 國 家 教 育 研 究 院 測 驗 及 評 量 研 究 中 心 摘 要 E 本 文 主 要 簡 介 試 題 反 應 理 論 的 發 展 與 應 用, 首 先, 比 較 試 題 反 應 理 論 與 古 典 測 驗 理 論 之 差 異, 接 著 介 紹 目 前 常 用 試 題 反 應 理 論 模 式, 例 如 : 單 向 度 單 參 數 二 參 數 三 參 數 Logistic 模 式 及 多 向 度 模 式, 進 而 簡 介 新 發 展 之 高 階 試 題 反 應 理 論 模 式 並 舉 例 說 明 使 用 上 之 差 異, 最 後, 說 明 試 題 反 應 理 論 在 大 型 教 育 測 驗 及 電 腦 化 適 性 測 驗 上 之 應 用 5

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 Application of IRT in Educational Measurement Bor-Chen Kuo 1 Huey-Min Wu 2 Chun-Hua Chen 3 1 3 Graduate Institute of Educational Measurement and Statistics National Taichung University of Education 2 Research Center for Testing and Assessment, National Academy for Educational Research Abstract EThe goal of this paper is to introduce the development and application of item response theory. First, the differences of item response theory and classical test theory are compared. Second, some useful and poplar item response models are mentioned, such as unidimensional one-parameter, two-parameter, three-parameter logistic models and multidimenstional models. Moreover, some recently proposed higer-order item response models are also described. Final part contains the applications of item response theory to the large scale education assessments and computerized adaptive tests. 6

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 十 九 世 紀 初 比 奈 賽 門 (Bi-net Simon) 智 力 量 表 問 世, 測 驗 理 論 開 始 受 到 學 者 重 視, 其 中 廣 為 人 知 的 應 屬 古 典 測 驗 理 論 古 典 測 驗 理 論 (classical test theory, CTT) 最 早 是 Gulliksen 於 1950 出 版 的 書 心 理 測 驗 理 論 (Theory of Mental Test ) 被 介 紹, 古 典 測 驗 理 論 的 模 式 簡 單 易 懂 成 為 二 十 世 紀 測 驗 理 論 的 主 軸, 在 測 驗 編 製 評 估 及 使 用 上 有 其 貢 獻, 然 隨 著 測 驗 需 求 量 的 日 益 增 加 及 形 式 多 樣 化, 其 簡 單 的 假 設 造 成 古 典 測 驗 理 論 應 用 之 限 制, 其 中 最 明 顯 的 限 制 是 不 同 版 本 測 驗 的 比 較 問 題, 即 不 同 的 學 生 參 加 不 同 的 測 驗, 如 何 比 較 這 些 學 生 的 成 績, 於 是 不 同 的 測 驗 理 論 陸 續 被 提 出, 如 Lord 和 Novick(1968) 提 出 以 模 式 為 基 礎 的 測 驗 理 論, 即 現 在 常 聽 到 試 題 反 應 理 論 (item response theory, IRT) 的 先 驅, 但 由 於 其 理 論 模 式 過 於 艱 澀 且 估 計 過 程 繁 雜, 再 加 上 當 時 的 電 腦 設 備 並 不 先 進, 故 此 書 並 未 引 起 太 大 的 共 鳴 Lord(1980) 出 版 試 題 反 應 理 論 於 測 驗 的 應 一 書, 正 式 介 紹 試 題 反 應 理 論, 由 於 試 題 反 應 理 論 架 構 嚴 謹, 考 慮 層 面 廣 泛, 除 了 延 續 古 典 測 驗 理 論 的 功 能, 並 藉 由 電 腦 科 技 協 助, 突 破 古 典 測 驗 理 論 在 應 用 上 的 瓶 頸, 此 時 電 腦 技 術 已 較 進 步, 成 為 當 前 的 主 流 測 驗 理 論 之 一 本 文 主 要 介 紹 試 題 反 應 理 論 與 其 在 教 育 測 驗 之 應 用, 主 要 內 容 包 含 試 題 反 應 理 論 與 古 典 測 驗 理 論 之 差 異 試 題 反 應 理 論 模 式 簡 介 試 題 反 應 理 論 之 應 用 等 一 試 題 反 應 理 論 與 古 典 測 驗 理 論 之 差 異 古 典 測 驗 理 論 也 被 稱 為 真 實 分 數 理 論 (true score theory), 主 要 是 建 立 於 簡 單 的 線 性 函 數 假 設,X = T + E, 其 中 X 為 可 觀 察 分 數, T 為 真 實 分 數, E 為 誤 差 分 數 (Lord & Novick, 1968) 古 典 測 驗 理 論 主 要 考 量 整 份 測 驗 的 總 分 解 釋 學 生 的 能 力 而 試 題 反 應 理 論 是 以 非 線 性 數 學 模 式 為 基 礎, 並 以 試 題 的 觀 點 解 釋 學 生 的 能 力, 學 生 在 某 一 題 試 題 的 表 現, 如 答 對 或 答 錯, 和 學 生 所 具 備 的 某 一 種 能 力, 如 數 學 能 力, 具 有 一 種 非 線 性 關 係, 這 一 種 非 線 性 關 係 可 透 過 一 條 連 續 性 遞 增 的 數 學 函 數 表 示, 稱 為 試 題 特 徵 曲 線 (item characteristic cure, ICC) 古 典 測 驗 理 論 與 試 題 反 應 理 論 對 於 測 量 問 題 所 抱 持 的 觀 點 並 不 一 樣, 試 題 反 應 理 論 具 備 幾 項 特 點, 正 好 可 以 補 足 古 典 測 驗 理 論 之 限 制 : 1. 在 誤 差 假 設 方 面, 在 古 典 測 驗 理 論 中 是 假 設 所 有 的 受 試 者 都 有 相 同 的 測 量 標 準 誤 ; 試 題 反 應 理 論 中 假 設 每 位 具 有 不 同 能 力 水 準 的 受 試 者, 對 應 不 同 的 測 量 標 準 誤, 如 果 使 用 的 是 一 份 難 度 適 中 的 測 驗, 理 論 上 對 於 中 等 能 力 的 受 試 者 會 有 較 小 的 測 量 標 準 誤, 而 對 於 較 高 能 力 或 能 力 差 的 受 試 者, 其 測 量 標 準 誤 會 較 大 7

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 2. 在 信 度 方 面, 相 較 於 短 測 驗, 古 典 測 驗 理 論 假 設 測 驗 題 數 越 多 的 測 驗 其 信 度 指 數 值 亦 較 高 ; 試 題 反 應 理 論 則 假 設 題 數 少 的 測 驗 亦 可 以 得 到 很 好 的 信 度 指 數, 如 適 性 測 驗 即 是 最 好 的 例 子 3. 在 試 題 參 數 估 計 方 面, 古 典 測 驗 理 論 中, 試 題 的 難 度 指 數 和 鑑 別 度 指 數, 會 因 為 受 試 者 的 能 力 分 配 不 同 而 得 到 不 一 樣 的 估 計 結 果, 如 要 得 到 不 偏 的 估 計 結 果, 必 須 選 取 具 有 代 表 性 的 樣 本 ; 而 試 題 反 應 理 論 具 有 參 數 不 變 性 (parameter invariance) 之 特 色, 即 試 題 的 試 題 參 數 估 計, 不 受 受 試 者 能 力 分 布 影 響, 受 試 者 能 力 值 估 計, 亦 不 受 到 測 驗 試 題 之 影 響 (Hambleton & Swaminathan, 1985) 4. 在 分 數 解 釋 方 面, 古 典 測 驗 理 論 是 透 過 常 模 參 照 的 方 式 解 釋 分 數 的 意 義, 受 試 者 只 知 道 他 贏 過 誰, 卻 無 法 得 知 會 什 麼 ; 試 題 反 應 理 論 則 是 將 能 力 與 試 題 擺 在 同 一 個 量 尺, 受 試 者 可 以 透 過 能 力 與 試 題 難 度 的 差 異, 瞭 解 自 己 大 概 可 以 答 對 哪 些 題 目 5. 在 題 型 設 計 方 面, 對 於 古 典 測 驗 理 論, 混 合 題 型 的 設 計, 如 一 份 測 驗 同 時 有 多 元 計 分 和 二 元 計 分 會 對 總 分 的 計 算 產 生 偏 誤 ; 然 而 這 一 種 混 合 題 型 的 設 計 在 試 題 反 應 理 論 卻 能 得 到 最 佳 的 估 計 效 果 6. 在 作 答 反 應 組 型 解 釋 方 面, 受 試 者 能 力 的 估 計 主 要 依 賴 於 受 試 者 的 作 答 反 應 組 型 和 所 施 測 的 試 題 特 性, 以 古 典 測 驗 理 論 而 言, 不 管 受 試 者 作 答 反 應 組 型 如 何, 只 要 加 總 之 總 分 相 同, 即 代 帶 能 力 相 同 ; 而 對 於 試 題 反 應 理 論, 原 始 總 分 相 同 的 受 試 者, 若 是 其 作 答 反 應 組 型 不 一 樣, 亦 有 可 能 得 到 不 同 的 能 力 估 計 值 7. 在 等 化 方 面, 古 典 測 驗 理 論 假 設 唯 有 複 本 測 驗 (parallel test), 不 同 的 測 驗 分 數 才 能 進 行 比 較, 且 結 果 是 最 佳 的, 試 題 反 應 理 論 則 無 此 假 設, 而 等 化 效 果 最 佳 的 情 況 是 不 同 測 驗 所 使 用 的 題 目 能 涵 蓋 不 同 能 力 學 生 的 需 求 二 試 題 反 應 理 論 模 式 簡 介 教 育 現 場, 教 師 發 展 一 份 測 驗 時 必 須 先 決 定 測 量 的 目 標, 也 就 是 所 欲 測 量 的 學 生 能 力 是 什 麼? 這 個 目 標 可 以 是 單 一 的, 如 界 定 義 為 數 學 能 力, 亦 可 以 是 多 維 的, 如 欲 測 量 學 生 之 幾 何 能 力 計 算 能 力 等, 而 後 展 開 命 題, 最 常 使 用 的 測 驗 題 型 是 選 擇 題 填 充 題 和 應 用 問 題 等 題 型, 針 對 不 同 的 題 型 會 搭 配 不 同 的 計 分 方 式, 如 選 擇 題 型 和 填 充 題 型 可 使 用 答 錯 0 分, 答 對 1 分, 這 種 計 分 模 式 在 測 驗 理 論 中 稱 為 二 元 (dichotomous) 計 分, 而 應 用 問 題 則 可 以 是 答 錯 0 分 部 分 答 對 1 分 全 對 2 分, 這 種 計 分 模 式 則 被 稱 為 多 點 (polytomous) 計 分 8

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 試 題 反 應 理 論 假 設 學 生 所 具 備 的 某 一 種 能 力 和 受 試 者 在 某 一 題 的 答 題 情 形, 可 以 透 過 數 學 模 式, 也 就 是 試 題 特 徵 曲 線 (ICC) 加 以 闡 述 依 據 對 於 能 力 特 質 之 基 本 假 設 不 同 和 計 分 模 式 的 不 同, 主 要 可 分 為 單 向 度 試 題 反 應 理 論 (unidimensional IRT, UIRT) 多 向 度 試 題 反 應 理 論 (multidimensional IRT, MIRT) 以 及 ; 依 據 計 分 型 態, 可 分 為 二 元 (dichotomous) 計 分 和 多 點 (polytomous) 計 分 模 式, 目 前 更 有 學 者 結 合 單 向 度 試 題 反 應 理 論 與 多 向 度 試 題 反 應 理 論, 發 展 高 階 層 試 題 反 應 理 論 (higher-order IRT, HO-IRT) 以 下 將 介 紹 這 幾 種 理 論 模 式 : ( 一 ) 單 向 度 試 題 反 應 理 論 模 式 單 向 度 試 題 反 應 理 論 模 式 必 須 符 合 單 向 度 (unidimensionality) 局 部 獨 立 (local independence) 非 速 度 性 (nonspeedness) 知 道 - 正 確 假 設 ( know-correct assumption) 四 項 基 本 的 假 設 (Weiss & Yoes, 1991), 才 能 進 行 測 驗 資 料 之 分 析 基 於 試 題 反 應 理 論 的 單 向 性 假 設, 一 般 使 用 之 試 題 反 應 理 論 為 單 向 度 試 題 反 應 理 論, 本 研 究 介 紹 二 元 計 分 對 數 型 模 式 及 多 點 計 分 模 式, 二 元 計 分 對 數 型 模 式 包 含 有 單 參 數 對 數 模 式 (one-parameter logistic model, 1PL) 二 參 數 對 數 模 式 (two-parameter logistic model, 2PL) 及 三 參 數 對 數 模 式 (three-parameter logistic model, 3PL); 多 點 計 分 模 式 包 含 部 分 給 分 模 式 (partial credit model, PCM) 和 廣 義 部 分 給 分 模 式 (generalized partial credit model, GPCM) 1. 二 元 計 分 模 式 (1) 單 參 數 對 數 模 式 單 參 數 對 數 模 式 有 Rasch 模 式 之 稱 (Rasch, 1960; Wright & Stone, 1979; Wright & Master, 1982), 在 試 題 反 應 理 論 的 1PL 模 式 下, 假 設 受 試 者 j 之 能 力 為 θ j, 其 作 答 試 題 i 通 過 的 機 率 如 下 : ( 公 式 1) 其 中,X ij 為 受 試 者 j 在 試 題 i 的 作 答 反 應, 答 對 記 為 1, 答 錯 記 為 0;b i 為 試 題 i 之 試 題 難 度 參 數 (item difficulty parameter) (2) 二 參 數 對 數 模 式 在 試 題 反 應 理 論 的 2PL 模 式 下, 假 設 受 試 者 j 之 能 力 為 θ j, 其 作 答 試 題 i 通 過 的 機 率 如 下 (Birnbaum, 1968): 9

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 ( 公 式 2) 其 中,X ij 為 受 試 者 j 在 試 題 i 的 作 答 反 應, 答 對 記 為 1, 答 錯 記 為 0;a i 為 試 題 i 之 試 題 鑑 別 度 參 數 (item discrimination parameter); b i 為 試 題 i 之 試 題 難 度 參 數 (3) 三 參 數 對 數 模 式 在 試 題 反 應 理 論 的 3PL 模 式 下, 假 定 測 驗 會 發 生 猜 題 之 現 象, 故 假 設 受 試 者 j 之 能 力 為 θ j, 其 作 答 試 題 i 通 過 的 機 率 如 下 (Birnbaum, 1968; Lord, 1980): ( 公 式 3) 其 中,X ij 為 受 試 者 j 在 試 題 i 的 作 答 反 應, 答 對 記 為 1, 答 錯 記 為 0;a i 為 試 題 i 之 試 題 鑑 別 度 參 數 ;b i 為 試 題 i 之 試 題 難 度 參 數 ;c i 為 試 題 i 之 試 題 猜 測 度 參 數 (item guessing parameter) 2. 多 點 計 分 模 式 (1) 部 分 給 分 模 式 部 分 給 分 模 式 (partial credit model, PCM) 是 由 Masters (1982) 所 提 出, 為 Rasch s model 在 多 點 計 分 的 一 個 應 用 ( 公 式 4) 1 其 中,P i1 = 0 且 Σ (θ j c=1 b i v ) 0 ;θ j 表 示 受 試 者 j 的 能 力 ;k 為 受 試 者 的 回 答 所 屬 類 別,k=1... m i ;m i 為 隨 題 目 而 變 的 變 數 ;m i 是 第 i 題 所 有 的 類 別 數 ; P ik (θ j ) 表 示 能 力 為 θ j 的 受 試 者 j 在 第 i 題 得 k 類 的 機 率 (0 < P ik (θ j ) < 1 );b i v : 指 第 i 題 第 v 個 的 試 題 步 驟 難 度 參 數 (item step parameter) 或 類 別 閾 參 數 (category intersection parameter), 隨 著 類 別 界 線 (category boundary) 而 變, 相 鄰 在 兩 類 別 間, 就 有 一 個 b i v 參 數 ( < b i v < ), 即 b i k 為 P (θ i, ) 和 P k -1 j ik (θ j ) 10

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 的 交 點 在 部 分 給 分 模 式 的 公 式 中, 我 們 可 以 發 現 如 果 試 題 為 二 元 計 分, 則 用 部 分 給 分 模 式 模 式 來 分 析 試 題 會 與 使 用 Rasch 單 參 數 模 式 來 分 析 相 同 3. 廣 義 部 分 給 分 模 式 廣 義 部 分 給 分 模 式 (generalized partial credit model, GPCM) 是 部 分 給 分 模 式 的 延 伸, 由 Muraki(1992) 所 提 出, 為 各 試 題 之 間 有 不 同 的 鑑 別 度 參 數, 廣 義 部 分 給 分 模 式 定 義 如 下 : ( 公 式 5) 其 中 d 1 0, 為 了 在 進 行 參 數 估 計 時, 使 其 有 一 個 相 對 原 點, b i v = b i d v ;θ j 表 示 受 試 者 j 的 能 力 ; k 為 受 試 者 的 回 答 所 屬 類 別, k=1 m i ;m i 為 隨 題 目 而 變 的 變 數,m i 是 第 i 題 所 有 的 類 別 數 ;P ik (θ j ) 表 示 能 力 為 θ j 的 受 試 者 j 在 第 i 題 得 k 類 的 機 率 ( 0 < P i k (θ j ) < 1 ); b i v =b i d v,b i v 為 第 i 題 第 v 個 的 試 題 步 驟 難 度 參 數 (item step parameter) 或 類 別 閾 參 數 (category intersection parameter), 隨 著 類 別 界 線 (category boundary) 而 變, 相 鄰 在 兩 類 別 間, 就 有 一 個 b i v 參 數 ( < b i v < ), 即 b i k 為 P (θ i, ) 和 P (θ k -1 j i ) 的 交 點, 同 一 試 題 內 的 試 題 步 驟 參 數 不 需 k j 是 有 序 的 ;b i 為 試 題 i 位 置 參 數 (item location parameter); d v 為 閾 參 數 (threshold parameter); d k 為 同 一 試 題 內 的 第 k 類 和 其 他 類 別 的 相 對 難 度 (Andrich, 1982);a i : 試 題 i 的 斜 率 參 數, 同 一 試 題 在 各 類 別 選 項 有 相 同 的 斜 率 參 數, 但 不 同 的 試 題 有 不 同 斜 率 ( 二 ) 多 向 度 試 題 反 應 理 論 模 式 目 前 常 見 的 多 向 度 試 題 反 應 理 論 (multidimensional item response theory, MIRT) 大 多 是 單 向 度 試 題 反 應 模 式 (unidimensional item response theory, UIRT) 的 衍 生 模 式 以 下 將 介 紹 幾 種 常 見 的 多 向 度 試 題 反 應 理 論 模 式, 分 別 為 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 logit 模 式 (MRCMLM) 多 向 度 二 參 數 模 式 (multidimensional two parameters model, M2PL) 多 向 度 三 參 數 模 式 (multidimensional three parameters model, M3PL) 11

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 1. 多 向 度 二 參 數 模 式 (M2PL) 多 向 度 二 參 數 模 式 為 二 參 數 logistic 模 式 (two-parameter logistic model, 2PL) 所 衍 生 的 模 式 (Mckinley & Reckase, 1983;Reckase & Mckinley, 1991), 其 模 式 定 義 如 下 : ( 公 式 6) 其 中 X i j 為 受 試 者 作 答 反 應 型 態,1 表 示 答 對 該 試 題,0 表 示 答 錯 該 試 題 ;a i 為 試 題 鑑 別 度 向 量,d i 為 試 題 難 度,θ j 為 受 試 者 能 力 向 量 多 向 度 二 參 數 模 式 與 二 參 數 IRT 模 式 差 別 為 將 原 本 的 受 試 者 能 力 值 θ 與 試 題 鑑 別 度 a 擴 展 為 向 量 θ j 及 a i, 透 過 向 量 來 表 示, 以 將 多 向 度 的 能 力 同 時 包 含 在 模 式 中 由 於 試 題 鑑 別 度 向 量 a i 包 含 多 個 向 度 的 鑑 別 度, 如 此 多 個 向 度 的 鑑 別 度 無 法 完 整 表 現 出 單 一 試 題 的 鑑 別 度, 因 此 Reckase & McKinley(1991) 定 義 出 兩 個 常 用 的 多 向 度 指 標, 一 個 是 第 i 題 的 多 向 度 鑑 別 度 參 數 (multidimensional discrimination parameter, MDISC i ) MDISC i =, 其 中 m 為 能 力 向 度 數 目 ; 另 一 個 是 第 i 題 的 多 向 度 難 度 參 數 (multidimensional difficulty parameter, MDISC i ) MDISC i = ; 另 外, 為 了 能 具 體 觀 察 試 題 的 向 度 結 構, 以 顯 示 個 別 向 度 鑑 別 度 a ik 與 多 向 度 鑑 別 度 參 數 MDISC i 之 間 的 關 係,Ackerman(1996) 定 義 試 題 所 要 測 量 的 能 力 方 向 與 各 能 力 向 度 間 的 夾 角 cos α ik =, k= 1 m i 2. 多 向 度 三 參 數 模 式 (M3PL) 多 向 度 三 參 數 模 式 為 三 參 數 logistic 模 式 (three-parameter logistic model, 3PL) 的 改 良, 將 三 參 數 logistic 模 式 中 的 能 力 參 數 與 鑑 別 度 參 數 改 成 向 量 的 型 式 (Hattie, 1981;Sympson, 1978), 模 式 定 義 如 下 : ( 公 式 7) 12

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 其 中,U i 為 第 i 題 反 應 型 態 ;θ j 為 受 試 者 能 力 向 量 ;c i 為 試 題 的 猜 測 參 數 ;a i 為 試 題 鑑 別 度 向 量 ; 而 為 了 使 試 題 的 難 度 成 為 向 量 用 以 與 能 力 向 量 相 減, 故 將 難 度 參 數 b 與 向 量 1 相 乘 多 向 度 三 參 數 的 模 式 有 其 他 表 示 法, 由 Reckase(1997) 提 出 的 多 向 度 三 參 數 洛 基 模 式 (multidimensional three-parameter logistic model, M-3PL) 如 公 式 8 所 示, 能 力 為 θ i 的 受 試 者, 在 二 元 計 分 試 題 j 的 答 對 機 率 為 : 1 β P i j 1 = P ( x i j =1 θ ) = β 3j + 3j βj i 1 + e ( T D β â ) 2 j 2 Θθè T i i = + β 1 j l = â jl è 1 2 il ( 公 式 8) 其 中,x i j 為 受 試 者 i 在 試 題 j 的 作 答 反 應, 答 對 時 x i j = 1, 答 錯 時 x i j = 0; β 2j = ( β 2 j 1 β 2 j D ) 為 D 個 向 度 的 試 題 鑑 別 度 參 數 向 量 ; β 1j 為 試 題 難 度 參 數 ;β 3j 為 試 題 猜 測 參 數 ; β 2j ; 第 題 的 試 題 參 數 為 β j = β 2 j, β 1 j, β 3 j T θ 2j 3. 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 logit 模 式 (MRCMLM) 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 洛 基 模 式 是 由 Adams Wilson 與 Wang(1997) 等 人 所 提 出,MRCMLM 為 Rasch 模 式 的 衍 生 模 式, 是 一 個 混 合 的 coefficients 模 型 (mixed co-efficients model), 試 題 參 數 是 由 未 知 的 參 數 所 描 述, 而 受 試 者 的 潛 在 變 數 θ, 是 一 個 隨 機 變 項, 模 式 定 義 如 下 : ( 公 式 9) 其 中 表 示 受 試 者 反 應 型 態, X = i K { 1 為 i 第 題 作 答 第 k 個 反 應 類 別 0 表 其 他 ; 為 試 題 參 數 向 量 (p 個 參 數 );θ'= (θ 1, θ 2 θ D ) 為 受 試 者 的 能 力 向 量 (D 個 向 度 ); 為 整 份 測 驗 的 設 計 矩 陣 ; 為 第 i 題 中 第 k 個 反 應 類 別 的 設 計 向 量, 每 個 向 量 長 度 為 : 整 份 測 驗 的 計 分 矩 陣 ; : 第 i 題 的 計 分 子 矩 陣 ; : 在 D 個 向 度 中, 第 i 題 回 答 第 k 個 反 應 類 別 的 計 分 向 量 13

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 依 據 測 驗 架 構 又 可 分 為 題 間 多 向 度 測 驗 ( b e t w e e n - i t e m multidimensional test) 與 題 內 多 向 度 測 驗 (within-item multidimensional test) 兩 種 (Adams, Wilson & Wang, 1997), 前 者 定 義 每 個 試 題 只 測 量 一 種 能 力, 如 圖 1 題 間 多 向 度 ; 後 者 定 義 每 個 題 目 不 只 測 量 一 種 能 力, 如 圖 2 題 內 多 向 度 圖 1 題 間 多 向 度 評 量 架 構 圖 圖 2 題 內 多 向 度 評 量 架 構 圖 ( 三 ) 高 階 層 試 題 反 應 理 論 模 式 隨 著 評 量 架 構 的 日 趨 複 雜, 近 年 來 更 複 雜 的 測 驗 理 論 相 繼 被 提 出 以 PISA(The Programme for International Student Assessment) 數 學 科 評 量 架 構 為 例, 除 了 數 學 科 能 力 (mathematics), 同 時 也 希 望 得 到 學 生 在 數 量 (quantity) 空 間 與 形 體 (space and shape) 改 變 與 關 係 (change and relationships) 及 不 確 定 性 (uncertainty) 四 個 數 學 能 力 (OECD, 2005) 以 往 估 計 此 種 評 量 架 構 是 以 單 向 度 試 題 反 應 理 論 估 計 數 學 科 能 力 ( 如 圖 3), 或 以 多 向 度 試 題 反 應 理 論 估 計 四 個 數 學 能 力 ( 如 圖 4) 這 樣 的 估 計 方 式 會 產 生 較 大 的 估 計 誤 差, 使 用 UIRT 模 式 會 違 背 其 假 設 而 使 主 要 量 尺 能 力 ( 即 數 學 科 能 力 ) 估 計 不 準 確, 或 當 次 級 量 尺 ( 即 上 述 之 數 量 空 間 與 形 體 改 變 與 關 係 及 不 確 定 性 (uncertainty) 四 個 數 學 能 力 ) 所 對 應 的 題 數 較 少 時, 導 致 估 計 效 果 不 好 依 據 有 鑑 於 此, 學 者 開 始 發 展 更 複 雜 的 測 驗 理 論,Song(2007) 提 出 一 因 子 高 階 層 IRT 模 式, 同 時 包 含 整 體 能 力 (overall ability) 與 領 域 能 力 (domain ability)( 如 圖 5), 透 過 適 當 地 參 數 估 計 過 程 可 以 同 時 獲 得 主 要 量 尺 能 力 和 次 級 量 尺 能 力 的 估 計 (de la Torre & Song, 2009) 14

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 Song(2007) 模 擬 研 究 顯 示, 當 次 級 量 尺 之 間 不 相 依 時,HO-IRT 模 式 對 主 要 量 尺 的 估 計 結 果 會 相 似 於 UIRT 模 式 ; 當 彼 此 相 依 時,HO-IRT 模 式 估 計 次 級 量 尺 會 比 UIRT 模 式 更 準 確 在 HO-IRT 模 式 中, 一 份 測 驗 可 觀 察 多 個 單 向 度 子 測 驗 (subtest), 也 就 是 次 級 量 尺, 表 示 第 i 位 受 試 者 在 次 級 量 尺 d 的 表 現, 其 中 當 不 同 次 級 量 尺 均 測 量 相 同 能 力 時, 整 份 測 驗 即 為 單 向 度 測 驗 ; 若 不 同 次 級 量 尺 間 有 關 聯, 會 藉 由 高 階 層 能 力 θ i 來 連 結 這 些 次 級 量 尺,θ i 表 示 第 i 位 受 試 者 在 主 要 量 尺 的 表 現, 而 次 級 量 尺 是 主 要 量 尺 的 線 性 函 數, 公 式 定 義 如 下 : 其 中 為 迴 歸 參 數 且 為 誤 差 項 服 從 平 均 數 為 0 變 異 數 為 的 常 態 分 布, 服 從 平 均 數 為 變 異 數 為 的 常 態 分 布 為 主 要 量 尺 與 次 級 量 尺 間 的 相 關, 表 示 次 級 量 尺 與 次 級 量 尺 間 的 相 關 ; 可 為 負 數, 但 在 教 育 測 驗 上, 主 要 量 尺 與 次 級 量 尺 皆 為 正 相 關, 故 只 考 慮 圖 3 單 向 度 IRT 評 量 架 構 圖 圖 4 多 向 度 IRT 評 量 架 構 圖 圖 5 一 因 子 高 階 層 IRT 評 量 架 構 圖 15

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 三 試 題 反 應 理 論 之 應 用 ( 一 ) 試 題 反 應 理 論 電 腦 程 式 簡 介 1. 電 腦 程 式 簡 介 應 用 試 題 反 應 理 論 分 析 測 驗 資 料 時, 必 須 估 計 所 選 用 試 題 反 應 函 數 的 參 數, 參 數 估 計 常 涉 及 艱 深 難 懂 的 數 學 公 式 及 繁 瑣 的 計 算 過 程, 若 沒 有 電 腦 套 裝 程 式 的 即 時 配 合, 則 在 應 用 上 會 受 到 限 制 ; 目 前 電 腦 科 技 突 飛 猛 進, 各 種 適 用 於 試 題 反 應 理 論 的 電 腦 軟 體 程 式 相 繼 問 世, 只 要 使 用 者 學 會 這 些 程 式, 便 能 有 效 率 的 獲 取 所 需 要 的 參 數 估 計 值, 進 一 步 對 測 驗 資 料 進 行 分 析 與 解 釋 目 前 常 見 的 試 題 反 應 理 論 電 腦 程 式 整 理 如 表 1 表 1 的 資 料 顯 示, 目 前 無 論 是 在 二 元 計 分 多 點 計 分 單 向 度 IRT 模 式 或 多 向 度 IRT 模 式, 都 已 經 開 發 相 對 應 的 電 腦 程 式, 但 對 於 高 階 層 試 題 反 應 理 論 模 式 只 有 部 分 學 者 於 相 關 的 學 術 論 文 中 自 行 開 發 估 計 程 式, 仍 無 商 業 軟 體 或 免 費 的 電 腦 程 式 供 讀 者 使 用 16

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 表 1 試 題 反 應 理 論 參 數 估 計 套 裝 軟 體 軟 體 BILOG-MG 3.0 (Zimowski, Muraki, Mislevy, & Bock, 1996) MULTILOG7 (Thissen, Chen & Bock, 1991) 可 分 析 模 式 單 二 三 參 數 對 數 模 式 (1PL 2PL 3PL) 單 二 三 參 數 對 數 模 式 (1PL 2PL 3PL) Samejima's model for graded responses Bock's model for nominal (non-ordered) responses Steinberg's model for multiple-choice items PARSCALE4.1 (Muraki & Bock, 1997) NOHARM (Fraser, 1988) 單 二 三 參 數 對 數 模 式 (1PL 2PL 3PL) Samejima's model for graded responses Master's partial credit model Generalized partial credit model 潛 在 特 徵 模 式 (the latent trait models) 多 向 度 二 參 數 模 式 (M2PL) (Mckinley & Reckase, 1983; Reckase & Mckinley,1991) 多 向 度 三 參 數 模 式 (M3PL) (Hattie, 1981; Sympson, 1978) 維 度 多 參 數 試 題 反 應 模 式 (Mensional multiparameter item) response(mmir) (Beguin & Glas, 2001; Bock, Gibbons, & Muraki, 1988; McDonald, 1982; McKinley & Reckase, 1983; Muraki & Carlson, 1995) 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 洛 基 模 式 (multidimensional random coefficients multinomial logit model, MRCMLM) (Adams, Wilson, & Wang, 1997) TESTFACT (Wilson, Gibbons, Schilling, Muraki & Bock, 2003) 多 向 度 二 參 數 模 式 M2PL (Mckinley & Reckase, 1983; Reckase & Mckinley,1991) 多 向 度 三 參 數 模 式,M3PL (Hattie, 1981; Sympson, 1978) 維 度 多 參 數 試 題 反 應 模 式 (mensional multiparameter item response,mmir) 17

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 軟 體 可 分 析 模 式 (Beguin & Glas, 2001; Bock, Gibbons, & Muraki, 1988; McDonald, 1982; McKinley & Reckase, 1983; Muraki & Carlson, 1995) 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 洛 基 模 式 (multidimensional random coefficients multinomial logit model, MRCMLM) (Adams, Wilson, & Wang, 1997) MAXLOG (Mckinley & Reckase, 1983) ConQuest (Wu, Adams, & Wilson, 1998) MIRTE 2 (Carlson, 1987) BMIRT (Yao, 2003) 多 向 度 二 參 數 模 式 (M2PL) (Mckinley & Reckase, 1983; Reckase & Mckinley,1991) 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 洛 基 模 式 (multidimensional random coefficients multinomial logit model, MRCMLM) (Adams, Wilson, & Wang, 1997) 多 向 度 二 參 數 模 式 (M2PL) (Mckinley & Reckase, 1983; Reckase & Mckinley,1991) 多 向 度 三 參 數 模 式 (M3PL) 可 分 析 混 合 二 元 計 分 試 題 與 多 點 計 分 試 題 的 測 驗 ( 二 ) 試 題 反 應 理 論 在 大 型 教 育 測 驗 之 應 用 近 年 國 內 積 極 參 加 一 些 國 際 評 比 之 大 型 測 驗 ( l a r g e - s c a l e assessments), 如 PISA 國 際 數 學 與 科 學 教 育 成 就 趨 勢 調 查 (Trends in International Mathematics and Science Study, TIMSS), 國 際 評 比 的 成 績 收 到 國 人 的 重 視, 而 國 家 教 育 進 展 評 量 (National Assessment of Educational Progress, NAEP) 則 是 較 早 也 是 較 著 名 之 大 型 測 驗, 這 些 大 型 測 驗 都 是 以 試 題 反 應 理 論 為 主 要 測 量 模 式, 是 應 用 試 題 反 應 理 論 最 佳 範 例, 以 下 將 介 紹 這 幾 個 測 驗 大 型 測 驗 並 說 明 所 使 用 的 測 量 模 式 與 等 化 設 計 1. 國 家 教 育 進 展 評 量 (NAEP) NAEP 為 美 國 教 育 測 驗 服 務 社 (Educational Testing Service, ETS) 所 發 展 的 聯 邦 補 助 計 畫, 主 要 目 的 為 建 立 學 生 學 習 成 就 的 趨 勢 NAEP 自 1969 年 便 開 始 定 期 地 對 4 年 級 8 年 級 及 12 年 級 學 生 進 行 閱 讀 (reading) 數 學 (mathematics) 科 學 (science) 寫 作 (writing) 之 能 力 評 量 (NCES, 2005), 是 美 國 評 量 學 生 成 就 之 代 表,NAEP 評 量 之 範 圍 可 分 為 全 國 性 的 (National NAEP) 各 州 的 (State NAEP) 18

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 地 區 性 的 (NAEP Trial Urban District Assessment) 評 量 (The Nation s Report Card, 2005; 張 鈿 富 王 世 英 吳 慧 子 周 文 菁,2006) NAEP 之 評 量 分 為 主 要 評 量 (Main NAEP) 與 長 期 發 展 趨 勢 評 量 (Long-term Trend NAEP) 兩 類, 主 要 的 目 的 為 (1) 反 映 學 生 在 主 要 課 程 領 域 上 應 該 知 道 和 可 以 做 的 廣 泛 能 力 ;(2) 測 量 長 時 間 範 圍 內 的 教 育 發 展 情 形 ( 張 鈿 富 王 世 英 吳 慧 子 周 文 菁,2006) 2. 國 際 學 生 評 量 ( PISA) PISA 測 驗 是 由 經 濟 合 作 與 發 展 組 織 (Organization for Economic Co-operation and Development, OECD) 主 辦, 目 的 在 於 了 解 個 人 參 與 社 會 活 動 的 能 力 主 要 的 對 象 是 15 歲 的 學 生, 並 進 行 其 閱 讀 素 養 (reading literacy) 數 學 素 養 (mathematical literacy) 科 學 素 養 (scientific literacy) 及 問 題 解 決 (problem solving) 之 能 力 評 量 PISA 每 次 進 行 評 量 會 從 數 學 科 學 及 閱 讀 三 個 領 域 中 選 定 一 個 主 要 領 域, 例 如 :PISA 2000 的 主 要 領 域 為 閱 讀,2003 為 數 學,2006 為 科 學,2009 再 回 到 閱 讀, 國 內 從 第 三 次 跨 國 學 生 評 量 測 驗 (PISA 2006) 開 始 參 與, 一 直 延 續 至 今 3. 國 際 數 學 與 科 學 教 育 成 就 趨 勢 調 查 (TIMSS) TIMSS 主 要 目 的 為 進 行 學 生 數 學 與 科 學 教 育 成 就 趨 勢 調 查 研 究, 測 試 對 象 為 4 年 級 與 8 年 級 之 學 生,TIMSS 施 測 數 學 與 科 學 兩 學 科, 各 學 科 分 為 內 容 領 域 (content domain) 與 認 知 領 域 (cognitive domain) 欲 評 估 學 生 能 否 掌 握 參 與 社 會 所 需 的 知 識 與 技 能, 並 藉 由 國 際 評 比 來 比 較 參 與 地 區 或 國 家 的 教 育 成 效 自 1999 年 進 行 TIMSS-R 評 量 後,IEA(The International Association for the Evaluation of Education Achievement, IEA) 計 畫 每 隔 四 年 辦 理 國 際 數 學 與 科 學 教 育 成 就 研 究 一 次, 並 改 名 為 TIMSS 目 前 NAEP TIMSS 仍 以 UIRT 為 主 要 使 用 測 量 模 式, 僅 能 對 各 個 學 科 能 力 以 單 一 能 力 值 進 行 描 述 (Lee, Grigg, & Dion, 2007; Mullis, et al., 2007), 對 各 學 科 所 屬 之 次 級 量 尺 (subscales) 表 現 較 無 法 作 精 確 描 述 ;PISA 使 用 多 向 度 試 題 反 應 理 論 (multidimensional item response theory, MIRT) 中 之 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 logit 模 式 (multidimensional random coefficients multinomial logit model, MRCML) 進 行 測 驗 分 析 並 對 各 學 科 之 次 級 量 尺 進 行 估 計 ; 然 而 PISA 使 用 多 點 計 分 模 式 對 題 組 試 19

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 題 進 行 分 析 (OECD, 2005), 未 考 慮 題 組 試 題 對 於 參 數 估 計 之 影 響 Wang 和 Wilson(2005) 研 究 結 果 顯 示, 如 果 測 驗 為 題 組 試 題 之 測 驗 題 型, 忽 略 試 題 之 間 彼 此 可 能 相 依 之 情 形, 則 會 高 估 能 力 參 數 且 造 成 試 題 參 數 估 計 之 偏 差 國 內 外 的 大 型 測 驗, 因 題 庫 涵 蓋 不 同 認 知 程 度 及 不 同 難 度 之 試 題, 試 題 數 量 無 法 由 單 一 受 試 者 於 短 時 間 內 完 成, 故 多 採 用 不 同 的 等 化 設 計 進 行, 常 見 的 等 化 設 計 是 平 衡 不 完 全 區 塊 設 計 (balanced incomplete block design, BIB)BIB 設 計 是 由 Yates(1936) 提 出, 並 於 1992 年 Rust & Johnson 應 用 於 測 驗 領 域 的 題 庫 設 計 此 設 計 是 指 題 庫 中 所 有 的 試 題 區 塊 出 現 次 數 是 相 同 的, 且 成 對 試 題 區 塊 出 現 於 題 本 中 的 次 數 也 必 須 是 相 同 的 所 謂 的 平 衡 是 由 於 成 對 試 題 區 塊 出 現 於 題 本 中 的 次 數 是 相 同 的, 因 此 在 成 對 試 題 區 塊 平 均 數 間 之 比 較 有 相 同 的 精 準 度 各 題 本 中 的 試 題 區 塊 可 能 部 分 相 同 或 完 全 不 同, 但 是 每 一 個 試 題 區 塊 在 所 有 題 本 中 出 現 的 次 數 是 一 樣 的, 亦 即 題 庫 中 的 每 個 試 題 所 受 測 的 學 生 約 為 相 同 的 (Kuehl, 2000; 郭 伯 臣 曾 建 銘 吳 慧 珉,2012) 以 下 介 紹 NAEP TIMSS 與 PISA 之 等 化 設 計 1.NAEP 以 1998 年 4 年 級 公 民 為 例, 使 用 之 題 本 設 計 為 BIB 設 計, 設 計 中 共 包 含 了 6 個 試 題 區 塊 (M1~M6) 組 合 成 18 個 題 本 (S1~S18), 為 了 使 試 題 區 塊 在 題 本 前 後 出 現 的 次 數 一 致, 故 將 題 本 16 到 18 與 題 本 13 到 15 的 兩 個 試 題 區 塊 作 交 換 後 組 成 (Andrew & Terry, 2001), 以 表 2 作 說 明 表 2 NAEP 1998 年 4 年 級 公 民 題 本 區 塊 設 計 表 題 本 區 塊 I 區 塊 II 題 本 區 塊 I 區 塊 II S1 M1 M2 S10 M4 M6 S2 M2 M3 S11 M5 M1 S3 M3 M4 S12 M6 M2 S4 M4 M5 S13 M1 M4 S5 M5 M6 S14 M2 M5 S6 M6 M1 S15 M3 M6 S7 M1 M3 S16 M4 M1 S8 M2 M4 S17 M5 M2 S9 M3 M5 S18 M6 M3 20

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 2.TIMSS 以 2007 年 之 題 本 設 計 為 例, 每 個 題 本 由 四 個 試 題 區 塊 組 合 而 成, 包 含 數 學 (M01~M14) 與 科 學 (Q01~Q14) 各 兩 個 試 題 區 塊, 為 了 連 結 不 同 題 本, 每 個 試 題 區 塊 在 題 本 中 出 現 2 次 (Graham, Christine, Alka, & Ebru, 2008) 表 3 為 TIMSS2007 年 之 題 本 區 塊 設 計 表 3 TIMSS2007 年 題 本 區 塊 設 計 表 題 本 區 塊 (Part I) 區 塊 (Part II) 題 本 區 塊 (Part I) 區 塊 (Part II) S1 M01 M02 Q01 Q02 S8 Q08 Q09 M08 M09 S2 Q02 Q03 M02 M03 S9 M09 M10 Q09 Q10 S3 M03 M04 Q03 Q04 S10 Q10 Q11 M10 M11 S4 Q04 Q05 M04 M05 S11 M11 M12 Q11 Q12 S5 M05 M06 Q05 Q06 S12 Q12 Q13 M12 M13 S6 Q06 Q07 M06 M07 S13 M13 M14 Q13 Q14 S7 M07 M08 Q07 Q08 S14 Q14 Q01 M14 M01 資 料 來 源..TIMSS2007 Technical Report(p.34) 3.PISA 以 PISA2006 年 之 題 本 設 計 為 例, 題 本 設 計 為 BIB 設 計, 共 包 含 13 個 題 本 (S1~S13), 每 個 題 本 包 含 4 個 試 題 區 塊 ( 區 塊 I~ 區 塊 IV), 每 個 試 題 區 塊 在 題 本 中 出 現 4 次 (r = 4), 以 及 成 對 試 題 區 塊 在 各 題 本 中 出 現 1 次 (λ = 1)(OECD, 2009), 表 4 為 PISA2006 年 之 題 本 區 塊 設 計, 其 中 試 題 區 塊 M1~M4 代 表 數 學 科 之 試 題 區 塊 ;Q1~Q7 代 表 科 學 之 試 題 區 塊 ;R1~R2 代 表 閱 讀 之 試 題 區 塊, 每 個 題 本 內 可 能 包 含 數 學 科 學 或 閱 讀 三 種 不 同 科 目 之 試 題 區 塊 表 4 PISA2006 年 題 本 區 塊 設 計 表 題 本 區 塊 I 區 塊 II 區 塊 III 區 塊 IV 題 本 區 塊 I 區 塊 II 區 塊 III 區 塊 IV S1 Q1 Q2 Q4 Q7 S8 M1 M2 Q2 Q6 S2 Q2 Q3 M3 R1 S9 M2 Q1 Q3 R2 S3 Q3 Q4 M4 M1 S10 M3 M4 Q6 Q1 S4 Q4 M3 Q5 M2 S11 M4 Q5 R2 Q2 S5 Q5 Q6 Q7 Q3 S12 R1 M1 Q1 Q5 S6 Q6 R2 R1 Q4 S13 R2 Q7 M1 M3 S7 Q7 R1 M2 M4 資 料 來 源..PISA2006 Technical Report(p.29) 21

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 在 NAEP TIMSS 及 PISA 中, 主 要 關 注 的 焦 點 是 母 群 或 母 群 中 某 些 群 體 之 能 力 表 現, 這 些 大 型 測 驗 以 可 能 值 方 法 (plausible value methodology) 進 行 群 體 統 計 描 述, 例 如 群 體 之 平 均 數 或 標 準 差 (Allen, Carlson, Johnson, & Mislevy, 1999; Foy, Galia, & Li, 2008; OECD, 2009), 假 如 研 究 者 想 要 瞭 解 不 同 群 體 的 能 力 表 現, 則 納 入 群 體 的 背 景 變 項 進 行 可 能 值 方 法 估 計, 藉 以 提 升 群 體 參 數 估 計 的 精 確 度 (Adams, Wilson & Wu, 1997) 國 內 許 多 大 型 測 驗 相 關 研 究, 多 未 使 用 可 能 值 方 法 進 行 分 析, 而 是 直 接 計 算 個 別 受 試 者 能 力 值 的 平 均 與 變 異, 並 將 其 視 為 母 群 或 個 別 群 體 的 表 現 與 其 分 散 情 形, 再 進 一 步 的 進 行 假 設 檢 定, 依 據 相 關 研 究 (Mislevey, 1991; Mislevy, Beaton, Kaplan, & Sheehan, 1992; OECD, 2009; Lee, et al., 2007) 顯 示 : 此 種 集 合 個 體 的 能 力 值 估 計 群 體 特 性 的 方 式 將 會 產 生 嚴 重 的 偏 誤, 故 對 於 次 級 資 料 分 析 者, 應 使 用 這 些 大 型 測 驗 的 使 用 手 冊, 正 確 使 用 這 些 大 型 測 驗 釋 出 的 可 能 值 進 行 相 關 的 研 究 探 討 ( 三 ) 以 試 題 反 應 理 論 為 基 礎 之 電 腦 化 適 性 測 驗 傳 統 紙 筆 測 驗, 無 論 受 試 者 能 力 高 低, 都 必 須 將 一 份 試 卷 全 部 作 答, 往 往 發 生 高 能 力 受 試 者 感 到 試 題 太 簡 單 而 浪 費 時 間, 低 能 力 受 試 者 感 到 試 題 太 困 難 而 猜 答, 影 響 到 測 驗 的 準 確 性 電 腦 化 適 性 測 驗 是 逐 題 依 據 受 試 者 作 答 反 應, 作 為 選 取 下 一 道 試 題 施 測 的 依 據, 符 合 受 試 者 能 力 來 施 測, 使 受 試 者 感 到 試 題 難 易 適 中, 減 少 施 測 題 數, 節 省 施 測 時 間 由 於 網 路 迅 速 發 展 與 電 腦 週 邊 設 備 大 眾 化, 電 腦 的 影 音 資 料 傳 輸 與 呈 現 可 以 快 速 且 穩 定, 因 此 在 網 路 上 實 施 測 驗 是 具 體 可 行 的 ; 透 過 電 腦 進 行 測 驗 擁 有 快 速 資 料 處 理 的 優 點, 使 得 測 驗 的 歷 程 統 計 分 析 與 結 果 能 自 動 詳 細 記 錄, 所 以 電 腦 化 測 驗 的 發 展 愈 來 愈 受 矚 目 且 持 續 被 研 究 中 在 1960 年 時, 美 國 陸 軍 總 署 人 事 管 理 局 及 其 他 聯 邦 機 構, 均 大 力 支 持 贊 助 有 關 適 性 測 驗 的 研 究, 舉 辦 特 殊 的 專 題 研 討 會, 並 且 有 數 百 篇 的 相 關 研 究 論 文 發 表 且 集 結 成 冊 (Wainer, 2000; Weiss,1983; 余 民 寧,1997) 在 國 外 許 多 商 業 機 構 測 驗 公 司, 也 陸 續 有 測 驗 產 品 發 行, 如 Larson & Smith (1988) 所 發 展 的 西 班 牙 電 腦 化 適 性 安 置 測 驗 (A Spanish Computerized Adaptive Placement Exam); Assessment Systems 公 司 所 發 行 的 MicroCAT 適 性 測 驗 系 統 與 Minnesota 文 書 性 向 評 鑑 測 驗 ; 美 國 心 理 測 驗 公 司 (The Psychological Corporation) 所 發 行 中 學 區 分 性 向 測 驗 ( 李 茂 能,2000) 目 前 電 腦 化 適 性 測 驗 在 大 型 測 驗 的 GRE (Graduate Record Examinations) TOFEL (Test of English as a Foreign Language) GMAT (Graduate Management Admission Test) 等 也 均 已 實 施 22

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 電 腦 適 性 測 驗 是 為 受 試 者 量 身 打 造 的 個 別 測 驗, 符 合 因 才 施 測 經 濟 有 效 誤 差 最 小 的 原 則 ( 李 茂 能,2000), 主 要 優 點 有 : 1. 施 測 試 題 的 難 度, 符 合 受 測 者 的 能 力 範 圍 內, 因 此 試 題 具 備 適 性 2. 受 試 者 的 施 測 試 題 不 同, 在 適 性 測 驗 的 過 程 中, 若 符 合 測 驗 終 止 條 件 則 結 束 測 驗, 受 測 者 不 用 作 答 偏 易 或 偏 難 的 試 題, 節 省 施 測 時 間 3. 適 性 測 驗 中, 能 對 估 計 精 準 度 提 供 最 大 訊 息 量 的 試 題 會 被 優 先 選 取 為 施 測 試 題, 因 此 受 試 者 能 力 估 計 的 精 準 度 最 高 在 測 驗 編 制 過 程 以 IRT 為 基 礎, 能 經 由 分 析 試 題 獲 得 篩 選 過 試 題 參 數 的 題 庫, 以 確 保 題 庫 品 質 的 好 壞 ; 在 測 驗 施 測 過 程 以 IRT 為 基 礎 的 CAT, 能 針 對 不 同 受 試 者 提 供 適 合 受 試 者 的 試 題, 在 可 容 忍 的 誤 差 下, 讓 測 驗 的 時 間 大 幅 縮 短, 因 此 以 IRT 為 基 礎 的 適 性 診 斷 系 統 也 陸 續 在 研 發 ( 王 雯 芳,2004; 陳 新 豐,2004; 黃 吉 楠,2004; 楊 蹕 齊, 2006; 蔡 文 龍,2008; 蕭 顯 勝 黃 啟 彥 游 光 昭,2006) 以 IRT 為 基 礎 的 電 腦 化 適 性 測 驗, 包 含 了 五 項 基 本 要 素 : 測 驗 題 庫 測 驗 起 點 能 力 估 計 選 題 策 略 與 測 驗 終 止 條 件 (Wainer, 2000), 而 依 照 CAT 的 不 同 類 型 又 可 分 作 單 向 度 CAT 與 多 向 度 CAT 兩 大 類, 本 研 究 針 對 不 同 CAT 實 施 過 程 所 需 的 要 素 與 CAT 施 測 流 程 說 明 如 圖 6 所 示 : 圖 6 CAT 施 測 流 程 23

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 1. 測 驗 題 庫 電 腦 化 適 性 測 驗 題 庫 好 壞 通 常 以 題 庫 大 小 與 試 題 參 數 來 評 估, 若 CAT 施 測 長 度 為 傳 統 紙 筆 測 驗 長 度 的 一 半, 則 CAT 題 庫 大 小 最 好 是 傳 統 紙 筆 測 驗 長 度 的 6 至 8 倍, 也 就 是 說 題 庫 大 小 至 少 為 CAT 施 測 長 度 的 12 倍 (Stocking, 1994), 當 題 庫 長 度 為 3 倍 以 上, 精 確 度 與 作 答 效 率 才 有 顯 著 差 異 (Hung, 1988) 對 單 向 度 CAT 的 3PLM 來 說, 一 個 好 的 題 庫 其 試 題 鑑 別 度 應 大 於 0.8, 試 題 難 度 應 該 與 受 試 者 的 母 群 能 力 分 布 相 近, 試 題 猜 測 度 應 小 於 0.25( 王 寶 墉,1995) Ree(1981) 曾 以 最 大 訊 息 法 為 選 題 策 略 的 研 究, 在 沒 有 曝 光 率 控 管 下, 題 庫 長 度 大 於 200 題 時, 對 能 力 估 計 的 精 準 度 並 不 會 明 顯 增 加 對 多 向 度 CAT 來 說,Wang, Chen 與 Cheng (2004) 的 研 究 顯 示, 當 題 庫 向 度 之 間 為 高 相 關 時, 多 向 度 IRT 分 析 可 以 大 幅 提 高 各 向 度 的 信 度, 由 原 本 的 0.6 ( 單 向 度 IRT 分 析 ) 提 昇 至 0.8 2. 測 驗 起 點 CAT 是 依 照 受 試 者 能 力 挑 選 適 當 試 題 對 受 試 者 進 行 施 測, 在 測 驗 初 始 階 段 中, 受 試 者 能 力 高 低 未 知 下, 必 須 決 定 測 驗 起 始 點, 以 挑 選 第 一 道 試 題 提 供 受 試 者 進 行 施 測 常 用 的 決 定 起 始 試 題 的 方 法 ( 王 寶 墉,1995; 陳 麗 如,1998; 錢 永 財,2006;Chang & Ansley, 2003) 分 別 介 紹 如 下 : (1) 中 等 難 度 題 目 : 先 假 設 受 試 者 為 中 等 能 力, 在 題 庫 中 挑 選 適 合 中 等 能 力 難 度 的 試 題 作 為 施 測 的 起 始 試 題, 若 每 位 受 試 者 都 使 用 相 同 的 試 題, 則 起 始 試 題 的 保 密 性 需 要 特 別 考 量 (2) 依 據 受 試 者 能 力 選 題 : 由 受 試 者 的 基 本 資 料 ( 年 齡 學 習 經 驗 或 其 他 測 驗 結 果 ) 估 算 受 試 者 的 能 力 初 始 值, 再 利 用 能 力 初 始 值 決 定 測 驗 的 起 始 試 題 (3) 自 由 選 題 : 由 受 試 者 在 接 受 測 驗 的 時 候, 自 行 判 定 自 己 的 程 度, 以 決 定 施 測 的 起 始 題, 但 容 易 受 到 受 試 者 主 觀 判 斷 的 影 響 (4) 隨 機 選 題 : 由 電 腦 隨 機 選 題, 但 一 般 限 定 試 題 選 取 範 圍 不 可 超 過 題 庫 本 身 Lord (1977) 發 現 不 同 起 始 點 對 於 測 驗 標 準 誤 (standard error of measurement) 並 沒 有 很 大 差 別 (5) 隨 機 法 :McBride 與 Martin(1983) 發 表 隨 機 法 隨 機 法 是 在 施 測 前 期 使 用 隨 機 選 取 策 略 來 避 免 題 目 的 過 度 曝 光, 實 施 方 法 為 對 每 一 個 受 試 者, 依 能 力 初 始 值 從 題 庫 中 選 出 5 個 訊 息 量 最 大 的 題 目, 24

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 從 這 5 題 中 隨 機 選 取 出 一 題 施 測 並 重 新 估 計 能 力 值 ; 依 新 估 計 的 能 力 值 從 題 庫 中 選 出 4 個 訊 息 量 最 大 的 題 目, 再 從 這 4 題 中 隨 機 選 取 出 一 題 施 測 並 重 新 估 計 能 力 值 ; 重 複 相 同 模 式, 選 取 施 測 的 前 4 題, 第 5 題 之 後 就 使 用 最 大 訊 息 法 來 選 取 施 測 題 目 此 外 根 據 Chang 與 Ansley (2003) 的 研 究 指 出 隨 機 法 在 不 同 題 庫 中 的 比 較, 試 題 最 大 曝 光 率 皆 介 於 0.64~0.74, 遠 高 於 可 接 受 試 題 最 大 曝 光 率 (6) 初 始 階 段 b 值 分 層 隨 機 選 題 法 : 錢 永 財 (2006) 提 出 初 始 階 段 b 值 分 層 隨 機 選 題 法 來 進 行 測 驗 初 期 選 題, 其 實 施 步 驟 為 步 驟 一 : 將 題 庫 依 b 值 大 小 分 成 k 層,k 為 初 始 階 段 選 題 的 題 數 ; 步 驟 二 : 施 測 前 k 題 時, 分 別 自 k 層 中 各 自 隨 機 選 取 一 個 試 題, 進 行 施 測, 研 究 顯 示, 此 方 法 可 有 效 降 低 試 題 最 大 曝 光 率 有 效 提 高 題 庫 的 使 用 率 3. 能 力 估 計 3.1 單 向 度 CAT CAT 常 見 的 能 力 估 計 方 法 有 最 大 概 似 估 計 法 期 望 後 驗 估 計 法 與 最 大 後 驗 估 計 法, 三 種 能 力 估 計 方 法 分 別 介 紹 如 下 : (1) 最 大 概 似 估 計 法 最 大 概 似 估 計 法 (maximum likelihood estimation, MLE) 是 設 測 驗 共 有 個 試 題, 試 題 間 彼 此 獨 立, 概 似 函 數 定 義 如 下 : ( 公 式 10) 其 中,u 為 所 有 作 答 反 應 的 向 量, 為 概 似 函 數 (likelihood function);θ 為 受 試 者 的 真 實 能 力 ;X i 指 受 試 者 在 第 i 題 的 作 答 反 應, 答 對 為 1, 答 錯 為 0;P i 指 受 試 者 在 第 i 題 的 答 對 機 率 ; 指 受 試 者 在 第 i 題 的 答 錯 機 率 為 了 加 速 找 到 概 似 函 數 的 最 大 值, 通 常 是 先 對 概 似 函 數 取 對 數, 再 以 牛 頓 - 約 佛 森 (Newton-Raphson) 法 來 進 行 迭 代 使 用 MLE 能 力 估 計 的 公 式 如 公 式 11 所 示, 而 第 j 次 的 能 力 估 計 的 變 動 量 為 如 公 式 12 所 示 : ( 公 式 11) 25

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 ( 公 式 12) (2) 期 望 後 驗 估 計 法 Bock 和 Mislevy (1982) 提 出 期 望 後 驗 法 (expected a posteriori, EAP) 是 尋 找 能 力 值 的 事 後 機 率 密 度 函 數 的 期 望 值, 公 式 定 義 如 下 : ( 公 式 13) 其 中 U 為 所 有 作 答 反 應 的 向 量, 為 概 似 函 數 (likelihood function);θ q 為 受 試 者 的 真 實 能 力 ;q 是 計 算 能 力 的 期 望 值 時 所 切 割 成 的 分 割 點 (quadrature point), 共 有 k q 點,k q 愈 大, 計 算 的 愈 精 確 不 過 這 種 估 計 方 法 不 需 要 使 用 牛 頓 - 約 佛 森 法 來 進 行 迭 代, 而 且 隨 著 所 選 取 的 分 割 點 數 愈 多, 所 需 的 計 算 量 較 龐 大, 計 算 時 間 也 比 較 久 (3) 最 大 後 驗 估 計 法 貝 氏 最 大 後 驗 法 (maximum a posteriori, MAP) 是 以 受 試 者 的 事 前 能 力 分 布 f (θ) 作 為 加 權 值, 形 成 事 後 機 率 密 度 函 數, 並 找 出 能 使 此 事 後 機 率 密 度 函 數 最 大 化 的 程 度 值, 稱 為 MAP 事 後 機 率 密 度 函 數 定 義 如 下 : ( 公 式 14) 其 中, 是 受 試 者 θ 的 概 似 函 數, 是 受 試 者 的 邊 際 機 率, 是 由 從 積 分 所 得, 為 了 加 速 找 到 事 後 機 率 密 度 函 數 的 最 大 值, 通 常 也 是 以 牛 頓 - 約 佛 森 (Newton- Raphson) 法 來 進 行 迭 代 26

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 (4) 各 種 能 力 估 計 方 法 的 比 較 雖 然 MLE 有 不 錯 的 估 計 效 能, 但 有 實 務 上 的 限 制, 當 受 試 者 作 答 反 應 為 全 對 或 全 錯 時,MLE 無 法 估 計 受 試 者 能 力 值 (Wang & Vispoel, 1998) 而 EAP 或 MAP 可 以 估 計 全 對 或 全 錯 的 作 答 反 應, 但 若 事 前 分 配 不 正 確, 則 能 力 估 計 偏 差 將 會 很 大 (Baker & Kim, 2004) 洪 碧 霞 吳 裕 益 吳 鐵 雄 陳 英 豪 (1992) 作 過 各 種 能 力 估 計 方 法 的 比 較,MLE 比 較 沒 有 迴 歸 性 的 偏 誤 (bias), 但 均 方 根 誤 (root mean square of error, RMSE) 較 大 ;EAP 與 MAP 有 迴 歸 性 的 偏 誤, 但 均 方 根 誤 較 小 3.2 多 向 度 CAT 多 向 度 CAT 常 見 的 能 力 估 計 方 法 有 最 大 概 似 估 計 法 期 望 後 驗 估 計 法 與 最 大 後 驗 估 計 法, 與 單 向 度 CAT 的 估 計 法 類 似, 主 要 由 估 計 單 一 個 能 力 值 變 成 同 時 估 計 多 個 能 力 值, 三 種 能 力 估 計 方 法 介 紹 如 下 : (1) 最 大 概 似 估 計 法 Segall (1996) 提 出 多 向 度 的 MLE 是 設 測 驗 共 有 n 個 多 向 度 的 試 題, 試 題 間 彼 此 獨 立, 概 似 函 數 定 義 如 下 : ( 公 式 15) 其 中 為 概 似 函 數 (likelihood function); 為 受 試 者 的 真 實 能 力 向 量, =[θ 1, θ 2,, θ D; u i 指 受 試 者 在 第 i 題 的 作 答 反 應, 答 對 為 1, 答 錯 為 0;P i 指 受 試 者 在 第 i 題 的 答 對 機 率 ; 指 受 試 者 在 第 i 題 的 答 錯 機 率 為 了 加 速 找 到 概 似 函 數 的 最 大 值, 通 常 是 先 對 概 似 函 數 取 對 數, 再 以 牛 頓 - 約 佛 森 (Newton-Raphson) 法 來 進 行 迭 代,MLE 能 力 估 計 的 公 式 如 公 式 16 所 示, 而 每 次 能 力 估 計 的 變 動 量 為 如 公 式 17 所 示 (Wang, 1994): ( 公 式 16) ( 公 式 17) 27

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 ( 公 式 18) 所 以 ( 公 式 19) 若 第 i 題 試 題 只 測 量 第 r 種 能 力 向 度, 則, 若 第 i 題 試 題 沒 有 測 量 第 r 能 力 向 度, 則 ( 公 式 20) ( 公 式 21) 若 第 i 題 試 題 只 測 量 第 r 種 能 力 向 度, 則, 若 第 i 題 試 題 沒 有 測 量 第 r 種 能 力 向 度, 則 28

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 (2) 期 望 後 驗 估 計 法 多 向 度 的 EAP 是 將 單 向 度 的 EAP 能 力 值 考 慮 能 力 向 量, 公 式 定 義 如 下 : ( 公 式 22) 其 中 q 是 計 算 能 力 的 期 望 值 時 所 切 割 成 的 分 割 點 (quadrature point), q 愈 多 使 得 計 算 愈 精 確 ; 是 多 變 量 常 態 分 配, 公 式 定 義 如 下 : ( 公 式 23) 其 中, 為 的 平 均 數 向 量,, 為 的 共 變 數 矩 陣, 若 變 數 矩 陣 標 準 化 後, 即 為 相 關 矩 陣,, 在 多 向 度 中, 分 割 點 的 數 量 會 成 向 度 數 的 指 數 倍 增 加, 當 向 度 數 增 加, 則 能 力 估 計 時 間 就 會 拉 長, 若 減 少 各 向 度 的 分 割 點, 又 會 降 低 能 力 估 計 的 精 準 度 (3) 最 大 後 驗 估 計 法 Segall(1996) 提 出 多 向 度 的 MAP, 它 的 事 後 機 率 密 度 函 數 與 EAP 相 同 為 了 加 速 找 到 事 後 機 率 密 度 函 數 的 最 大 值,MAP 比 照 MLE 依 牛 頓 - 約 佛 森 程 序 來 進 行 首 先 將 分 別 對 d 個 能 力 向 度 進 行 偏 微 分 MRCMLM 事 後 機 率 度 函 數 的 一 階 偏 微 分 向 量 中 的 元 素 如 公 式 24 所 示, 與 二 階 偏 微 分 向 量 中 的 元 素 如 公 式 25( 陳 柏 熹,2000;Wang, 1994) 所 示 : ( 公 式 24) 29

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 其 中 u 為 的 平 均 數 向 量, 為 的 共 變 數 矩 陣, ( 公 式 25) 其 他 程 序 則 比 照 最 大 概 似 估 計 法 來 進 行 (4) 各 種 能 力 估 計 方 法 的 比 較 陳 柏 熹 (2006) 研 究 指 出 MLE EAP MAP 這 三 種 方 法 在 多 向 度 CAT 中 各 有 其 優 缺 點, 雖 然 從 整 體 信 度 與 測 量 誤 差 而 言, MAP 是 比 較 好 的, 但 是 廻 歸 性 的 偏 誤 也 是 最 嚴 重 的 ;EAP 估 計 精 準 度 與 MAP 差 不 多, 但 當 向 度 數 較 高 時, 能 力 估 計 所 需 的 時 間 就 會 太 久 ;MLE 是 估 計 精 準 度 較 差 的 方 法 所 以 建 議 當 能 力 向 度 數 少 於 四 個 向 度 可 以 使 用 EAP, 以 減 少 廻 歸 性 偏 誤 的 問 題 ; 但 是 當 能 力 向 度 達 到 四 個 或 四 個 以 上 時, 最 好 使 用 MAP 來 進 行, 不 過 需 要 注 意 廻 歸 性 偏 誤 的 問 題 4. 選 題 策 略 4.1 單 向 度 CAT 選 題 法 是 電 腦 適 性 測 驗 中 重 要 的 要 素 之 ㄧ, 不 同 選 題 法 會 導 致 不 同 的 測 驗 效 率, 常 用 的 選 題 法 介 紹 如 下 : (1) 最 大 訊 息 法 本 研 究 中, 試 題 的 選 取 方 法 最 常 使 用 為 最 大 訊 息 法, 其 實 施 步 驟 有 步 驟 一 : 假 設 受 試 者 目 前 能 力 估 計 值 為, 依 據 計 算 尚 未 施 測 試 題 的 訊 息 量, 計 算 式 子 參 考 公 式 9-4 所 示 ; 步 驟 二 : 選 取 試 題 訊 息 量 最 大 的 試 題, 當 作 下 一 施 測 題 目 (2) 最 接 近 偏 移 難 度 法 若 猜 測 度 時, 試 題 訊 息 最 大 值 不 會 發 生 在 難 度 b j, 會 產 生 偏 移 至 m j, 最 接 近 偏 移 難 度 法 為 選 擇 題 目 偏 移 難 度 最 接 近 受 試 者 能 力 估 計 值 的 題 目, 作 為 下 一 階 段 施 測 的 題 目 偏 移 難 度 m j (Birnbaum, 1968) 定 義 如 下 : ( 公 式 26) 30

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 則 選 題 時 選 擇 尚 未 施 測 且 選 題 函 數 F j 最 小 的 題 目, 選 題 函 數 定 義 如 下 : ( 公 式 27) (3) 區 間 式 最 大 訊 息 法 區 間 式 最 大 訊 息 法 使 用 區 間 能 力 值 的 題 目 訊 息 量 加 總, 來 取 代 在 某 一 點 能 力 值 的 題 目 訊 息 量 (Veerkamp & Berger, 1997) 區 間 式 最 大 訊 息 法 是 選 擇 訊 息 函 數 在 信 賴 區 間 內 的 面 積, 選 擇 最 大 的 訊 息 面 積, 作 為 下 一 題 施 測 試 題, 所 以 選 題 時 選 取 尚 未 施 測 且 選 題 函 數 最 大 者, 其 函 數 定 義 如 下 : ( 公 式 28) 其 中, (4) 考 慮 b 參 數 的 a 分 層 法 Chang, Qian & Ying(2001) 提 出 考 慮 b 參 數 的 a 分 層 法, 希 望 將 a 分 層 法 各 分 層 中 的 b 值 分 佈 保 持 一 致 性, 來 打 破 a b 之 間 的 相 關 性 其 實 施 步 驟 如 下 ( 假 設 L 為 測 驗 長 度 ; a 為 試 題 鑑 別 度 ; b 為 試 題 難 度 ): 步 驟 一 : 將 題 庫 依 照 b 值 由 小 至 大 分 成 T 個 區 塊, 第 1 個 區 塊 包 含 最 小 的 b 值, 第 T 個 區 塊 包 含 最 大 的 b 值 步 驟 二 : 在 第 t 區 塊 (t=1,2,3, T), 將 題 庫 依 照 a 值 由 小 至 大 分 成 K 層, 每 一 層 包 含 一 道 試 題, 第 1 層 包 含 最 小 的 a 值, 第 K 層 包 含 最 大 的 a 值 步 驟 三 : 依 序 將 每 個 區 塊 的 第 K 層 (k=1,2,3, K) 合 併 成 一 層, 因 此 題 庫 變 成 一 具 有 K 層 的 結 構 步 驟 四 : 建 立 好 試 題 的 結 構 後, 受 試 者 依 序 從 第 1 層 開 始 施 測, 每 一 層 選 取 L/K 個 試 題 施 測, 一 直 施 測 到 第 K 層, 直 到 受 試 者 施 測 L 題 謝 友 詩 劉 湘 川 郭 伯 臣 (2006) 研 究 指 出 在 固 定 測 驗 長 度 下, 能 力 均 方 根 差 由 小 而 大 排 序 分 別 為 考 慮 b 參 數 的 a 分 層 法 最 接 近 偏 移 難 度 法 鄰 近 法 區 間 式 最 大 訊 息 法 ; 考 慮 b 參 數 的 31

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 a 分 層 法 較 區 間 式 最 大 訊 息 法 有 較 低 的 最 大 曝 光 率 ; 在 相 同 能 力 估 計 精 準 度 下, 考 慮 b 參 數 的 a 分 層 法 較 區 間 式 最 大 訊 息 法 有 較 低 的 題 目 重 複 率 (5) a- 鄰 近 法 錢 永 財 劉 家 惠 郭 伯 臣 (2005) 提 出 改 進 鄰 近 法 的 a - 鄰 近 法, 其 第 一 步 驟 為 單 點 式 最 大 訊 息 法, 第 二 步 驟 改 由 控 制 a 值, 使 早 期 能 力 值 未 準 確 時 選 用 a 值 較 低 試 題, a - 鄰 近 法 的 實 施 步 驟 如 下 : 步 驟 一 : 將 題 庫 依 b 值 分 三 層, 測 驗 前 期 三 題 採 取 隨 機 選 題, 使 受 試 者 在 測 驗 前 期 施 測 難 易 度 相 差 較 大 試 題 步 驟 二 : 估 計 初 始 化 能 力 值 估 計 值 步 驟 三 : 根 據 選 擇 題 庫 中 ( 測 驗 長 度 - 已 測 驗 題 數 ) 個 訊 息 函 數 較 大 者 的 試 題 步 驟 四 : 再 從 ( 測 驗 長 度 - 已 測 驗 題 數 ) 個 試 題 中, 選 其 中 題 目 a 值 最 小 測 驗 步 驟 五 : 重 新 估 計 能 力 值 為, 回 到 步 驟 三, 直 到 測 驗 題 數 結 束 根 據 錢 永 財 劉 家 惠 郭 伯 臣 (2005) 的 研 究 發 現, 使 用 a- 鄰 近 法, 當 題 庫 越 大 時, 在 試 題 曝 光 率 的 均 勻 度 能 越 接 近 鄰 近 法, 且 能 力 估 計 誤 差 較 低 於 鄰 近 法 4.2 多 向 度 CAT Segall(1996) 將 概 似 函 數 取 對 數 的 二 階 偏 微 分 透 過 公 式 29, 以 費 雪 訊 息 函 數 取 代 ( 公 式 29) 其 中 是 費 雪 訊 息 矩 陣, 矩 陣 中 第 r 列 第 s 行 的 元 素 表 示 如 下 : ( 公 式 30) 上 式 表 示 受 試 者 在 施 測 完 m 個 試 題 後, 能 力 估 計 值 為 的 費 雪 訊 息 矩 陣 而 累 加 的 第 i 題 訊 息 量 表 示 為, 其 定 義 如 下 : ( 公 式 31) 32

郭 伯 臣 吳 慧 珉 陳 俊 華 試 題 反 應 理 論 在 教 育 測 驗 上 之 應 用 在 多 向 度 的 CAT 中, 並 非 依 據 各 單 一 向 度 的 最 大 值 來 選 題, 而 是 讓 費 雪 訊 息 矩 陣 的 行 列 式 值 最 大 化 的 試 題, 其 公 式 定 義 如 下 : ( 公 式 32) 其 中 表 示 施 測 完 前 m 題 之 後 的 訊 息 矩 陣, 是 表 示 題 庫 內 剩 餘 試 題 在 能 力 估 計 向 量 上 的 訊 息 矩 陣 使 用 MAP 時, 其 選 題 策 略 修 正 如 下 : 33 ( 公 式 33) 比 較 公 式 32 與 公 式 33, 可 以 發 現 只 差 在 能 力 先 驗 分 配 共 變 異 數 矩 陣 的 反 矩 陣 5. 測 驗 終 止 條 件 測 驗 終 止 條 件 主 要 分 為 最 大 測 驗 長 度 與 能 力 估 計 的 最 小 變 動 量 兩 種, 最 大 測 驗 長 度 是 指 測 驗 的 題 數 達 到 預 設 的 長 度 即 停 止 測 驗 ; 能 力 估 計 的 最 小 變 動 量 是 指 當 測 驗 的 能 力 估 計 的 變 動 量 小 於 預 設 值 即 停 止 測 驗 四 結 語 古 典 測 驗 理 論 雖 然 有 許 多 限 制, 但 由 於 理 論 模 式 簡 單 易 懂, 廣 受 一 般 社 會 大 受 的 接 受 與 喜 愛, 而 試 題 反 應 理 論 架 構 嚴 謹, 但 也 相 對 艱 澀 難 懂, 本 文 首 先 比 較 古 典 測 驗 理 論 與 試 題 反 應 理 論 之 差 異, 並 介 紹 目 前 常 見 的 試 題 反 應 理 論 模 式, 包 含 單 向 度 試 題 反 應 理 論 多 向 度 試 題 反 應 理 論 與 較 新 的 一 因 子 高 階 層 試 題 反 應 理 論 模 式, 並 提 供 相 對 應 的 電 腦 程 式 供 讀 者 參 考 使 用 自 1990 年 代 之 後, 許 多 大 型 測 驗 也 都 應 用 試 題 反 應 理 論 進 行 量 尺 化 程 序, 本 文 亦 提 供 大 型 測 驗 應 用 IRT 之 例 子 供 讀 者 參 考, 而 隨 著 電 腦 科 技 的 進 步, 電 腦 化 適 性 測 驗 測 驗 已 成 為 實 施 測 驗 之 新 趨 勢, 本 文 針 對 電 腦 化 適 性 測 驗 之 理 論 與 實 施 流 程 作 一 詳 細 介 紹 試 題 反 應 理 論 之 數 學 模 式 較 複 雜, 讀 者 如 能 具 備 一 些 數 學 背 景, 閱 讀 本 文 較 能 得 心 應 手 本 文 主 要 是 介 紹 試 題 反 應 理 論 的 基 本 概 念 與 應 用, 許 多 試 題 反 應 理 論 所 探 討 的 課 題 與 應 用 範 疇 是 本 文 未 提 及 的, 如 試 題 差 異 功 能 參 數 估 計 題 組 模 式 等, 讀 者 可 根 據 本 文 所 提 供 的 參 考 文 獻 或 一 些 介 紹 試 題 反 應 理 論 的 書 籍, 作 延 伸 性 之 閱 讀, 將 可 更 瞭 解 此 一 理 論 之 內 涵 試 題 反 應 理 論 至 今 仍 是 測 驗 領 域 之 發 展 主 軸, 隨 著 新 型 測 驗 與 更 複 雜 評 量 架 構 之 誕 生, 一 些 新 的 試 題 反 應 理 論 模 式 仍 不 斷 被 提 出, 有 興 趣 的 讀 者 可 參 考 測 驗 領 域 的 期 刊, 如 Applied Psychological Measurement Journal of Educational Measurement Psychometrika 等, 將 可 獲 得 較 新 的 試 題 反 應 理 論 資 訊

新 竹 縣 教 育 研 究 集 刊 第 十 二 期 民 101 年 12 月 參 考 文 獻 中 文 部 份 王 雯 芳 (2004) 網 路 測 驗 系 統 之 建 置 -- 應 用 電 腦 化 適 性 測 驗 於 國 民 小 學 自 然 科 技 領 域 華 梵 大 學 資 訊 管 理 學 系 碩 士 論 文, 未 出 版, 台 北 縣 王 寶 墉 (1995) 現 代 測 驗 理 論 台 北 : 心 理 出 版 社 李 茂 能 (2000) 中 文 電 腦 化 適 性 測 驗 系 統 之 應 用 與 評 鑑 文 景 書 局 余 民 寧 (1992) 試 題 反 應 的 介 紹 - 測 驗 理 論 的 發 展 趨 勢 ( 二 ) 研 習 資 訊, 9(1),5-9 余 民 寧 (1997) 教 育 測 驗 與 評 量 : 成 就 測 驗 與 教 學 評 量 台 北 : 心 理 洪 碧 霞 吳 裕 益 吳 鐵 雄 陳 英 豪 (1992) 能 力 估 計 方 法 題 庫 特 質 及 終 止 標 準 對 CAT 考 生 能 力 估 計 影 響 之 研 究 ( 國 科 會 專 題 研 究 計 畫 成 果 報 告 編 號 :NSC81-0301-H024-03) 台 北 : 中 華 民 國 行 政 院 國 家 科 學 委 員 會 洪 碧 霞 林 素 微 林 娟 如 (2006) 認 知 複 雜 度 分 析 架 構 對 TASA-MAT 六 年 級 線 上 測 驗 試 題 難 度 的 解 釋 力 教 育 研 究 與 發 展 期 刊,2(4),69-86 陳 昇 座 (2007) 以 能 力 分 佈 為 基 礎 之 SHC 曝 光 率 控 管 法 碩 士 論 文 未 出 版, 國 立 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所, 台 中 市 陳 柏 熹 王 文 中 (2000) 題 間 與 題 內 多 向 度 電 腦 化 適 性 測 驗 發 表 於 2000 年 教 育 與 測 驗 學 術 研 討 年 會 台 北 : 台 灣 師 範 大 學 陳 柏 熹 (2006) 能 力 估 計 方 法 對 多 向 度 電 腦 化 適 性 測 驗 測 量 精 準 度 的 影 響 教 育 心 理 學 報,38(2),195-211 陳 新 豐 (2004) 線 上 題 庫 與 適 性 測 驗 整 合 系 統 之 發 展 研 究 發 表 於 2004 年 教 育 及 心 理 測 驗 學 術 研 討 會 台 北 : 國 立 政 治 大 學 陳 麗 如 (1998) 電 腦 化 適 性 測 驗 之 題 庫 品 質 管 理 策 略 碩 士 論 文 未 出 版, 國 立 臺 灣 師 範 大 學 資 訊 教 育 研 究 所, 台 北 市 張 鈿 富 王 世 英 吳 慧 子 周 文 菁 (2006) 基 本 能 力 評 量 跨 國 發 展 經 驗 之 比 較 教 育 資 料 與 研 究,68,81-99 黃 吉 楠 (2004) 多 媒 體 英 語 文 能 力 檢 定 暨 適 性 化 網 路 評 量 系 統 之 建 置 碩 士 論 文 未 出 版, 國 立 交 通 大 學 理 學 院 網 路 學 習 碩 士 在 職 專 班, 新 竹 市 楊 蹕 齊 (2006) 以 MOODLE 為 平 台 之 國 中 數 學 適 性 測 驗 工 具 碩 士 論 文 未 出 版, 逢 甲 大 學 資 訊 工 程 所, 台 中 市 蔡 文 龍 (2008) 國 小 數 學 網 路 電 腦 化 適 性 測 驗 系 統 之 建 置 與 研 究 以 國 小 三 年 級 分 數 單 元 為 例 碩 士 論 文 未 出 版, 嶺 東 科 技 大 學 數 位 媒 體 設 計 研 究 所, 台 中 市 34

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