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5 本 書 的 出 版, 有 很 多 要 感 謝 的 貴 人, 首 先 要 感 謝 新 北 市 頂 溪 國 小 王 修 亮 老 師 的 數 學 教 學 團 隊 宜 蘭 縣 人 文 國 中 小 蘇 珈 玲 老 師 的 數 學 教 學 團 隊 桃 園 縣 林 森 國 小 潘 鳳 琴 老 師 的 數 學 教 學 團 隊 台 北 市 民 權 國 小 郭 熙 妙 老 師 與 黃 杏 寧 老 師 的 協 助 ; 更 感 謝 雲 林 維 多 利 亞 中 小 學 李 佳 芬 副 董 天 主 教 光 仁 中 學 林 沛 英 校 長 天 主 教 八 里 聖 心 小 學 畢 明 德 校 長, 以 及 新 北 市 江 翠 國 小 吳 昌 期 校 長 等 的 支 持 在 這 十 三 年 探 究 式 教 學 實 驗 課 程 中, 產 生 了 相 當 多 教 學 實 務 的 智 慧, 由 基 層 老 師 所 分 享 出 的 課 程 結 晶, 才 讓 我 有 這 動 力 將 這 所 有 的 成 果 分 享 給 有 志 一 同 的 數 學 教 學 領 域 的 夥 伴 們 再 者, 亦 要 感 謝 長 期 與 我 進 行 數 學 學 習 認 輔 的 新 北 市 大 觀 國 小 魏 素 鄉 校 長 與 中 山 國 小 王 健 旺 校 長, 至 今 已 有 十 三 年, 有 超 過,000 位 數 學 低 成 就 個 案 的 案 例, 讓 我 成 長 良 多 最 後, 感 謝 我 的 家 人, 妻 子 王 望 舒 博 士 兒 子 安 捷 安 醇, 以 及 父 母 對 我 永 遠 的 愛 I 本 書 的 第 二 作 者 潘 鳳 琴 老 師, 是 我 景 仰 的 國 小 數 學 教 師, 在 小 學 有 相 當 豐 富 的 實 務 經 驗 在 合 作 進 行 探 究 式 教 學 實 務 課 程 時, 是 我 成 長 最 多 的 階 段, 於 是 產 生 撰 寫 本 書 的 動 機 三 年 前 邀 請 鳳 琴 老 師 時, 獲 得 首 肯, 願 意 共 同 為 本 書 努 力 那 時, 才 對 於 本 書 的 方 向 更 加 明 確, 也 因 此, 本 書 的 定 位 會 是 在 實 務 應 用, 理 論 引 領 實 務 的 發 展 方 向 為 能 讓 強 化 本 書 在 數 學 教 學 實 務 的 連 結, 鳳 琴 老 師 教 與 學 的 叮 嚀 教 學 法 寶 與 學 習 活 動 等 三 個 章 節, 實 有 畫 龍 點 睛 之 效 本 書 共 有 5 章, 第 章 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點, 與 第 2 章 數 學 學 習 的 探 究 歷 程 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結, 為 貫 穿 其 它 3 個 章 節 的 共 通 觀 點 所 以, 前 兩 章 所 提 的 教 學 觀 念 為 本 書 的 核 心, 也 期 許 讀 者 能 對 這 兩 個

6 章 節 有 深 入 的 了 解, 對 於 教 師 在 教 學 的 信 念 有 相 當 的 助 益 第 3 章 為 基 礎 的 數 學 學 習, 早 期 的 數 字 概 念 與 數 數, 為 學 童 在 3 歲 至 7 歲 的 重 要 發 展 概 念, 於 本 章 中, 如 何 讓 教 師 了 解 數 數 與 加 減 法 的 關 係, 進 一 步 了 解 數 數 的 重 要 性 第 4 章 為 整 數 四 則, 讓 教 師 了 解 加 減 乘 除 的 不 同 題 型, 尤 其 對 於 除 法 直 式 的 概 念, 要 能 有 清 晰 的 教 學 步 驟, 才 能 使 學 生 了 解 再 者, 本 書 所 提 供 的 整 數 四 則 活 動, 對 於 教 師 在 教 案 的 使 用, 則 有 更 為 靈 活 的 選 擇 第 5 章 為 理 解 十 進 位 位 值 概 念 與 多 位 數 的 認 識 本 章 的 目 的 在 於 協 助 教 師 了 解 不 同 的 進 位 概 念, 對 不 同 國 家 的 數 字 使 用 有 一 定 的 了 解 教 師 應 要 協 助 學 童 對 於 位 值 概 念 要 有 清 楚 的 認 識, 而 教 具 的 使 用 則 不 可 或 缺, 如 百 格 板 千 格 板 錢 幣 紙 鈔 等 第 6 章 為 整 數 的 數 感 與 估 測, 學 童 對 於 數 字 沒 有 感 覺, 對 於 估 測 的 概 念 沒 有 概 念, 這 是 國 內 學 童 普 遍 的 問 題 如 何 讓 學 童 對 於 數 字 的 數 感 與 量 感 II 更 加 敏 銳, 讓 學 童 對 於 週 遭 事 物 的 產 生 感 覺 才 是 解 決 之 道 本 書 提 供 一 些 活 動, 強 化 學 童 數 感 與 量 感, 將 有 助 於 學 童 的 學 習 第 7 章 為 有 理 數 與 分 數, 本 章 提 到 分 數 的 四 種 意 義, 有 理 數 的 定 義 與 學 習 概 念, 解 析 學 童 在 分 數 的 學 習 困 難, 提 出 分 數 的 不 同 題 型 等 對 於 分 數 的 教 學 活 動, 則 能 對 於 學 校 教 師 提 供 具 體 教 學 的 策 略 與 方 法 第 8 章 為 分 數 運 算 的 意 義, 提 及 分 數 的 四 則 運 算, 學 童 在 整 數 與 分 數 及 分 數 與 分 數 運 算 上 所 要 注 意 的 情 境 設 計 再 者, 對 於 分 數 的 質 性 思 考, 在 不 需 實 際 計 算, 即 可 找 出 答 案 的 策 略 為 何? 對 於 分 數 除 分 數, 除 數 為 什 麼 要 倒 過 來 乘 的 解 釋, 提 出 釐 清 第 9 章 為 小 數 與 小 數 運 算, 對 於 小 數 的 概 念 小 數 的 使 用 原 因 小 數 的 四 則 運 算, 均 有 具 體 的 陳 述 尤 其 對 於 小 數 的 除 法, 最 容 易 混 淆 的 商 數 與 餘 數 部 分, 提 供 具 體 的 解 釋, 對 於 小 數 所 適 用 的 教 學 活 動, 也 提 供 明 確 的 方 向

7 第 0 章 為 括 號 概 念, 是 本 書 的 特 有 章 節 括 號 概 念 為 一 運 算 概 念, 括 號 使 用 於 兩 步 驟 以 上 的 混 合 運 算, 而 產 生 了 分 配 律 與 結 合 律 等 相 關 法 則, 如 何 應 用 圖 示 與 活 動 的 方 式, 協 助 學 童 對 於 括 號 概 念 有 清 楚 的 了 解, 本 章 則 提 供 具 體 的 方 向 括 號 概 念 對 於 國 中 在 代 數 形 式 的 運 用, 更 為 困 難, 如 何 協 助 學 童 在 整 數 情 境 下, 對 於 括 號 相 關 法 則 的 使 用, 至 關 重 要 第 章 為 比 率 比 值 與 百 分 比, 比 率 與 比 值 概 念 為 有 難 度 的 單 元, 此 部 分 的 概 念 如 正 反 比 概 念 如 折 扣 概 念, 會 運 用 分 數 與 小 數 的 情 況 學 童 要 能 理 解 題 意, 對 不 同 的 比 例 題 型 有 所 釐 清, 才 不 會 產 生 錯 誤 百 分 比 概 念 為 便 於 比 較 的 形 式, 學 童 要 能 對 於 使 用 百 分 比 的 情 境 進 行 應 用, 才 能 將 百 分 比 與 比 例 的 關 係 有 深 入 的 了 解 第 2 章 為 統 計 與 機 率 統 計 概 念 在 小 學 一 年 級 時 即 有 畫 記 的 活 動, 一 直 到 五 年 級 有 折 線 圖 與 直 條 圖 的 製 作, 而 機 率 概 念 在 國 中 三 年 級 才 出 現 而 統 計 的 集 中 量 數 如 平 均 數 眾 數 中 位 數 等 概 念, 在 小 學 階 段 即 可 介 紹, 但 應 對 其 適 用 情 境 有 明 確 的 了 解 第 3 章 為 幾 何 與 空 間 概 念, 如 平 面 圖 形 立 體 圖 形 角 錐 體 角 柱 體 III 等 概 念 學 童 在 不 同 柱 體 的 展 開 圖, 透 視 圖 會 產 生 學 習 困 難, 其 原 因 在 於 學 童 沒 有 實 際 操 作 的 經 驗 如 何 協 助 學 童 對 於 長 方 體 立 方 體 與 不 同 錐 體 的 展 開 概 念, 有 實 際 的 操 作 經 驗, 本 書 也 提 供 了 一 些 策 略 第 4 章 為 量 與 實 測, 可 分 重 量 容 量 時 間 長 度 面 積 體 積 角 度 等 七 向 度 除 時 間 為 抽 象 量 概 念 外, 其 它 均 為 具 體 量 概 念 本 章 分 為 七 向 度, 每 一 向 度 均 有 基 礎 概 念, 測 量 概 念 與 估 測 概 念 三 部 分 本 章 依 此 七 向 度 提 供 教 學 活 動, 可 資 教 師 在 不 同 的 概 念 進 行 教 學 參 考 第 5 章 為 代 數 與 前 代 數 概 念 前 代 數 概 念 與 代 數 概 念 如 何 銜 接, 為 本 章 的 重 點 本 章 提 及 學 童 在 代 數 概 念 產 生 的 困 難 為 何? 教 師 要 如 何 設 計 前 代 數 的 活 動, 以 利 學 童 轉 化 至 代 數 概 念 代 數 活 動 的 設 計, 從 小 學 一 年 級 至 六 年 級 都 有, 其 目 的 為 整 合 不 同 年 級 的 活 動, 以 利 教 師 協 助 學 童 在 七 年 級

8 學 習 代 數 時 能 順 利 的 學 習 是 故, 本 章 節 會 探 討 所 有 不 同 年 級 與 代 數 相 關 的 活 動, 以 協 助 教 師 對 代 數 有 整 體 的 認 識 最 後, 雖 有 5 章 節 的 篇 幅, 亦 未 盡 完 整 本 書 期 能 帶 給 數 學 教 育 界 的 教 師 們, 一 些 教 學 的 經 驗, 共 同 進 行 專 業 成 長 本 書 若 有 未 盡 妥 善 之 處, 也 請 惠 賜 良 見, 以 助 我 們 在 未 來 的 修 正 中, 進 行 參 考, 感 謝 于 國 立 台 灣 藝 術 大 學 師 資 培 育 中 心 IV

9 很 榮 幸 也 深 感 幸 福 地 能 和 台 藝 大 謝 如 山 教 授 從 民 國 9 年 合 作 至 今, 以 探 究 式 教 學 方 法 課 室 觀 察 以 及 學 童 的 認 知 發 展 為 議 題 進 行 教 學 實 驗 從 實 施 九 年 一 貫 教 育 以 來, 強 調 教 師 專 業 自 主, 希 望 藉 由 協 同 教 學 開 創 教 學 創 新 的 新 局 面, 讓 學 童 可 以 藉 由 教 學 方 法 的 改 變, 進 而 促 進 學 習 的 改 變, 而 能 讓 學 童 真 正 獲 得 數 學 能 力 的 增 長, 提 升 學 童 未 來 競 爭 力! 一 直 到 現 在, 政 府 繼 續 推 動 精 進 教 學, 鼓 勵 教 師 社 群 的 發 展, 研 發 有 效 的 教 學 方 式, 期 待 教 育 能 翻 轉, 走 向 有 希 望 的 未 來 ( 明 日 ) 學 校! 在 教 學 現 場 裡, 常 常 疑 惑 : 為 什 麼 學 童 覺 得 因 數 與 倍 數 分 數 很 抽 象? 為 什 麼 大 單 位 換 算 等 量 公 理 複 合 形 體 面 積 很 困 難? 真 正 從 教 學 實 驗 中 會 發 現 : 學 童 缺 乏 這 些 數 學 概 念 的 生 活 經 驗, 並 沒 有 經 過 探 究 與 思 考, 不 是 從 做 中 學 得 來, 只 是 被 灌 輸 當 作 數 學 知 識 強 迫 記 憶, 所 以 學 童 覺 得 數 學 好 抽 象 好 困 難 於 是 老 師 感 到 教 學 無 力, 學 童 對 學 習 數 學 V 感 到 困 難 於 是 我 們 思 考 : 數 學 究 竟 是 什 麼? 我 們 為 什 麼 要 學 數 學? 數 學 的 功 能 在 哪 裡? 老 師 要 怎 麼 教 才 能 引 起 學 童 的 學 習 興 趣? 更 進 一 步 要 思 考 : 怎 樣 才 能 促 進 學 童 的 學 習 成 效? 長 期 和 謝 教 授 在 教 學 現 場 進 行 教 學 實 驗, 探 討 可 以 促 進 學 童 有 效 學 習 的 教 學 設 計, 希 望 藉 由 這 本 書 提 供 現 場 教 學 的 教 師, 思 考 另 類 的 教 學 模 式, 並 促 進 教 師 專 業 成 長 本 套 書 的 編 輯 理 念 理 論 與 實 務 並 重, 一 部 分 由 教 授 撰 寫 數 學 的 教 育 理 論 基 礎, 提 供 教 學 現 場 教 師 專 業 的 詮 釋 數 學 概 念 擬 出 教 學 的 流 程 與 注 意 事 項 ; 一 部 分 採 取 實 作 方 式, 利 用 簡 易 可 行 的 教 學 活 動 設 計, 提 供 教 師 教 學 參 考 實 務 部 分 在 每 個 活 動 之 前 進 行 打 開 智 慧 寶 盒, 做 起 始 行 為 的 檢

10 視 ; 在 教 學 活 動 中 列 出 主 題 適 用 年 級 教 學 目 的 與 功 能 核 心 概 念 ; 提 供 教 學 小 法 寶 檢 核 活 動 與 延 伸 活 動, 讓 教 師 可 以 實 際 應 用 在 教 學 上 期 待 這 樣 理 論 與 實 務 並 重 的 書 籍 和 教 育 現 場 的 老 師 分 享! VI

11 目 錄 謝 潘 序... Ⅰ 序... Ⅴ Chapter 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點...0 壹 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點 貳 數 學 教 育 的 發 展 方 向 參 教 學 方 法 的 改 變 探 究 式 教 學... 2 Chapter 2 數 學 學 習 的 探 究 歷 程 : 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結...9 壹 解 題... 9 貳 推 理 與 證 明 參 溝 通... 4 肆 連 結 Chapter 3 基 礎 的 數 學 學 習 : 早 期 的 數 字 概 念 與 數 數...5 VII 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 數 字 的 四 種 意 義 肆 數 數 的 原 則 與 加 減 法 策 略 伍 數 數 的 教 學 活 動 Chapter 4 整 數 四 則 : 低 年 級...7 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 四 則 運 算 的 題 型 肆 四 則 運 算 的 教 學 活 動... 89

12 Chapter 5 理 解 十 進 位 位 值 概 念 多 位 數 的 認 識 壹 前 瞻...04 貳 教 師 的 挑 戰...06 參 十 進 位 的 重 要 性 肆 位 值 的 教 學 活 動... 伍 位 值 教 與 學 的 叮 嚀...5 陸 教 學 法 寶...7 柒 學 習 活 動...20 Chapter 6 整 數 的 數 感 與 估 測 VIII 壹 前 瞻...23 貳 教 師 的 挑 戰...24 參 數 感 的 定 義 與 重 要 性...25 肆 數 感 的 教 學 活 動...32 伍 數 感 與 估 測 教 與 學 的 叮 嚀...38 陸 教 學 法 寶...39 柒 學 習 活 動...43 捌 數 感 概 念 的 警 鐘...45 Chapter 7 有 理 數 與 分 數 壹 前 瞻...49 貳 教 師 的 挑 戰...50 參 有 理 數 的 學 習...50 肆 分 數 的 類 型...58 伍 分 數 的 教 學 活 動...60 陸 分 數 教 與 學 的 叮 嚀...65 柒 教 學 法 寶...67 捌 學 習 活 動...7

13 Chapter 8 分 數 運 算 的 意 義 壹 前 瞻...76 貳 教 師 的 挑 戰...76 參 數 學 的 學 習...76 肆 分 數 的 教 學 活 動...80 伍 分 數 運 算 教 與 學 的 叮 嚀...94 陸 教 學 法 寶...97 柒 學 習 活 動...20 Chapter 9 小 數 與 小 數 運 算 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 小 數 的 學 習 肆 小 數 的 四 則 運 算...2 伍 小 數 的 教 學 活 動...29 陸 小 運 算 教 與 學 的 叮 嚀 柒 教 學 法 寶 捌 學 習 活 動 IX Chapter 0 括 號 概 念 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰 參 括 號 概 念 的 學 習 肆 括 號 的 教 學 活 動 伍 括 號 教 與 學 的 叮 嚀 陸 教 學 法 寶 柒 學 習 活 動...268

14 Chapter 比 比 例 與 百 分 比 壹 前 瞻...27 貳 教 師 的 挑 戰 參 比 比 例 與 百 分 比 概 念 的 學 習 肆 比 比 例 與 百 分 比 的 教 學 活 動 伍 學 習 活 動 Chapter 2 統 計 與 機 率 X 壹 前 瞻...30 貳 教 師 的 挑 戰 參 統 計 與 機 率 的 學 習 肆 統 計 與 機 率 的 教 學 與 學 習 叮 嚀...34 伍 學 習 活 動...35 Chapter 3 幾 何 與 空 間 概 念 壹 前 瞻...38 貳 教 師 的 挑 戰...38 參 幾 何 空 間 的 學 習 與 教 學 肆 空 間 幾 何 的 教 學 活 動 伍 幾 何 空 間 的 教 學 與 學 習 叮 嚀...34 陸 教 學 法 寶 柒 學 習 活 動...345

15 Chapter 4 量 與 實 測 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰...35 參 量 與 實 測 的 學 習 肆 量 與 實 測 的 教 學 活 動 伍 量 與 實 測 的 教 學 與 學 習 叮 嚀 陸 教 學 法 寶...39 柒 學 習 活 動 Chapter 5 前 代 數 與 代 數 的 轉 化 壹 前 瞻 貳 教 師 的 挑 戰...40 參 前 代 數 與 代 數 的 學 習...40 肆 前 代 數 與 代 數 的 教 學 活 動 伍 前 代 數 與 代 數 的 教 學 與 學 習 叮 嚀...42 陸 教 學 法 寶 柒 學 習 活 動 XI

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17 chapter 數 學 教 與 學 的 不 同 觀 點 回 想 你 在 中 小 學 的 時 代, 教 師 上 數 學 課 的 情 景 為 : 作 者 在 教 授 數 學 科 教 材 教 法 時, 第 一 堂 課 問 師 培 生, 想 像 一 下 你 們 在 中 小 學 上 數 學 課 的 情 景? 上 述 的 幾 種 想 法, 確 實 發 生 在 我 們 中 小 學 的 數 學 課 堂 ; 有 些 教 師 可 能 會 問, 現 在 還 是 這 樣 嗎? 如 果 現 在 進 到 中 小 學 的 課 室 裡, 可 以 發 現 這 些 現 象 還 很 普 遍 學 童 為 什 麼 喜 歡 數 學? 為 什 麼 對 數 學 恐 懼? 為 什 麼 對 數 學 學 習 產 生 抗 拒? 為 什 麼 對 學 習 數 學 缺 乏 自 信? 為 什 麼 在 往 後 的 學 習 中 不 想 再 看 到 數

18 國小數學教材教法 學 這些關鍵就在於教師的教學方法 教師在活動的設計 教師對於數 學概念的了解 最重要的是 教師對於一成不變的教學模式要有改變的想 法 若按照教科書的內容 照表操課是不可能讓學童產生學習興趣的 課程標準 教育部 2009 NCTM, 2000 提到何謂 數學力 探究式教學 mathematics power 依Baroody與Coslick 998 的觀點 要使學童 具備數學力有三個條件. 對數學學習與應用要有正向的學習態度 例如對數學的解題 溝 通 推理與理解要有自信 並有主動的探索能力 2. 在探求數學解題的過程 能有追根究柢的能力 例如建立假設 運 用邏輯推理 解決高難度的問題等 3. 對數學能有深入的了解 數學的課程能與生活結合 能連結至其它 的學科 並能與其他的數學內涵結合 02 為了達成三個向度的數學力 從幼兒至小學到國中數學階段的學習相 當重要 重點不只是放在學童如何學 而是著重教師要如何教 至於學 童喜好數學的態度 大多取決於教師如何教的過程 Baroody & Coslick, 998 亦有研究發現 傳統教數學的方式會讓學童喪失數學力 Trafton & Shulte, 989 壹 數學教與學的不同觀點 以下依有關數學教學的觀點 不同教學觀點的理論依據與有關數學學 習的觀點等三項 分別論述

19 一 有關數學教學的觀點 範例一 什麼是傳統的教學方式 小王教師在上數學課的時候 要求學童背誦 九九乘法表 一一 得一 一二得二 一三得三 一四得四 一五得五 一六得六 一七得 七 一八得八 全班上數學課如同背唐詩一樣 小王教師的想法是 數學只要讓學童背熟就會了 有一天 小王教師問我 為什麼有一位 小珍同學老是背錯 只要從九一開始小珍就會背 但是一問九六多少 小珍就要從九一開始數到九六 才知道答案是五十四 小王教師背誦 九九乘法表 的教學過程 是台灣大部分學童都經歷過的學習方式 甚至在對岸的中國已將一一得一的背誦口訣列入教科書中 從以上的教學過程 我們可以有幾個問題. 學童背誦完成後 是否了解 九九乘法表 與加法的關係 2. 學童是否能具備判斷背錯與背對的思考能力 範例二 什麼是重視理解的教學方式 小吳教師在上數學課時 要求學童使用古氏積木 在教2的乘法倍數 時 小吳教師說 各位同學 看到個紅色積木等於2個白色積木 2個 紅色積木等於4個白色積木 那3個紅色積木 4個紅色積木呢 接著 小吳教師說 看到個綠色積木等於3個白色積木 2個綠色積木等於6 個白色積木 那3個綠色積木呢 那4個綠色積木呢 小吳教師在上課時 要求學童使用古氏積木來促進對數學的理解 但 是認真的小吳教師在教學步驟上 一步一步的主導學童的學習方式 可以 發現有以下幾個問題 chapter 數學教與學的不同觀點 3. 用背誦的方式來促進數學的學習是否有效 03

20 國小數學教材教法. 學童可以理解 九九乘法表 與加法的關係嗎 2. 這樣的教學是否可以促進學童的思考 3. 這樣的教學是否就是所謂 建構理念 的教學方式 探究式教學 範例三 什麼是重視數學思考的教學模式 小謝教師在上數學課時 在教2的乘法倍數時 拿出條橘色積木 等同於0個白色積木 與條紅色積木 等同於2個白色積木 問 說 請問同學 條橘色積木是幾條紅色積木呢 如果有 個 紅色積木 你想想看 答案會是多少呢 你也可以使用積木來回答 在教3的乘法倍數時 小謝教師用類似的方法 他拿出條藍色積木 等同於9個白色積木 與條綠色積木 等同於3個白色積木 問說 請問同學 條藍色積木是幾條綠色積木呢 如果有 個 綠色積木 你想想看 答案會是多少呢 你也可以使用積木來回答 04 小謝教師在上課時 要求學童使用古氏積木找出答案 來促進學童對 數學的思考 但是重思考的謝教師在教學步驟上 並沒有一步一步的主導 學童 而是相信學童有能力 所以給與學童一定難度的問題 這樣的學習 方式 我們可以發現有以下幾個問題. 學童可以解出這些有難度的問題嗎 2. 當學童個別無法解出時 可以運用分組討論的方式嗎 3. 這樣的方法會花更多的時間 還是可以更有效率的促進學童學習 4. 重視思考的教學模式與前兩種教學模式到底有何不同 二 不同教學觀點的理論依據 一 範例一的教學模式 由範例一的教學方法中 可以看出教師相信只要透過反覆不斷的練

21 習, 即 可 促 進 學 童 的 學 習, 而 這 樣 的 教 學 方 式 也 廣 泛 地 被 認 為 是 最 有 效 率 的 學 習 方 式 然 而, 這 樣 的 教 學 方 式 早 在 935 年 時,Brownell 即 歸 類 為 技 巧 練 習 性 的 教 學 模 式 (drill approach or skill-practice approach), 其 教 學 模 式 的 目 的 即 在 透 過 反 覆 的 背 誦, 練 習 基 本 的 數 學 技 巧, 以 達 到 精 熟 的 目 標 ; 其 想 法 源 自 於 Thorndike(922), 認 為 數 學 只 要 反 覆 熟 練, 學 童 就 會 數 學 基 本 的 運 算 能 力 Brownell(935) 舉 例 指 出, 當 學 童 進 行 42-8 的 算 式 運 算 時, 要 依 教 師 所 教 的 方 式, 例 如 2-8 要 跟 4 借 個 0, 然 後 才 能 -8,4 因 為 借 了 個 0 給 2, 所 以 剩 下 3,3 再 - 等 於 2, 所 以 答 案 是 24 Brownell 認 為 這 樣 的 運 算 過 程, 有 以 下 幾 項 嚴 重 的 問 題 :. 借 位 的 運 算 過 程 很 抽 象, 與 學 童 的 學 習 完 全 無 法 連 結 2. 忽 略 運 算 過 程 中 應 該 要 理 解 的 數 字 意 義 3. 學 童 必 須 要 依 教 師 的 指 示 來 學 習, 不 容 許 有 任 何 學 童 自 己 的 想 法 來 思 考 數 字 之 後 的 邏 輯 關 係 需 要 學 習 一 種 新 的 重 複 運 算 技 能, 以 加 速 學 童 的 運 算 技 巧 對 於 教 師 使 用 技 巧 練 習 的 教 學 方 式, 學 童 是 否 會 接 受 呢?Brownell 以 研 究 數 據 說 明, 有 32 位 學 童 經 由 教 師 使 用 技 巧 練 習 的 方 式 進 行 教 學 後, 教 師 設 計 了 6 題 給 每 位 同 學 施 測 結 果 顯 示, 有 22.7% 的 學 童 是 用 數 數 的 方 式 解 題, 有 4.% 的 學 童 用 其 它 的 方 法, 有 23.8% 的 學 童 猜 錯, 只 有 39.4% 的 學 童 是 用 反 覆 練 習 的 方 式 解 題 ; 也 就 是 說, 即 使 教 師 用 這 種 方 法 教 學, 學 童 會 使 用 這 樣 的 方 式 解 決 問 題 的 比 例 也 不 高, 部 分 學 童 還 是 會 選 擇 用 他 自 己 的 方 式 來 解 題 ( 二 ) 範 例 二 的 教 學 模 式 範 例 二 的 教 學 模 式 著 重 學 童 的 理 解, 然 而 學 童 的 學 習 過 程, 全 都 為 教

22 國小數學教材教法 師主導 著重學童於數學概念的了解 這樣的教學模式被Brownell稱之為 意義化的學習 為了讓學童能了解 所以教師教學的核心即在數學的 教學過程 意義化學習與之前所提技巧練習的教學方式 可相互搭配 即 學童在了解數字背後的含意時 就要反覆的練習 以加深記憶 Brownell 探究式教學 指出 意義化的學習視數學為一嚴密的系統 學童在學習過程中要仔細了 解其中的想法 原則與過程 Brownell認為數字很難理解 因為數字很抽象 例如5代表的是什麼 如果沒有具體物的出現 學童如何知道5的意義 就算5代表的是五朵花 學童在沒有看到五朵花的情況下 又如何能理解5代表五朵花的意義 所以 什麼是5 在數學教學中 要學童對數字產生意義是相當重要的 意義化學習 的重點在於 教師教學的順序要有邏輯 能按部就班 的教導學童 從學童可理解的起點建立起對數學系統的認識 所以 此種 教學方式著重的是教師直接的教學 而輔以引導學童發現學習數學的意 06 義 教師以展示教具的方式 要求學童模仿教師所教的過程 確定學童理 解了教師所教的方法 以達到數學學習的目的 三 範例三的教學模式 本教學模式著重問題的解決 學童必須思考才能解決教師所引導的問 題 Brownell稱之為 隨意學習 incidental learning 隨意學習的出 現是對於技巧練習方法的反動 隨意學習的觀點在於學童能自己發展出適 當的數學概念 可自行達成所需的基本運算技巧 學童可以發現重要數學 的關係與價值 但Brownell認為隨意學習的學習目標並不明確 學童自我 的探索與發現可能與所教的課程無關 而且隨意學習重視的是學童在心智 方面的成熟度 所以隨意學習可能無法達到教師預設的教學目標 然而 範例三的教學模式 於理論上已經過些許的修正 作者可依問題解決的想 法 設定欲達成的教學目標 促進學童的數學思考 而這樣的教學方式

23 源自於Baroody與Coslick 998 的想法 探究式教學 investigative approach 在探究式教學的特色中 重視既定的教學目標 設計中高難度的教學 活動 學童經由數學活動的探索 發現數學的關係 由於數學活動的難度 較高 學童需透過分組合作的方式進行解題 以達成目標 所以 教師的 角色為活動的提供者 而非直接教學者 為線索的暗示者 而非答案的提 供者 學童可以使用教具來驗證他們的答案是否合理 或是透過教具來發 現其他的特性 特別的是 探究式教學的過程中 學童會產生隨意學習中 自我發展出數學概念的可能性 進而使學童對數學產生好奇心與求知慾 進一步對數學學習產生正向的學習興趣 三 有關數學學習的觀點 從上述 可得知教師有關教學的觀點有三種類型 而有關學童於數學 的學習亦有三種類別 第一 用背誦的方式 學習數學 其二 依教師教 一 用背誦的方式 學習數學 在台灣 於64年版 教育部 975 的數學課程 大部分的學童都用 背誦的方式學習數學 在教師的觀念中 認為學童的學習要用背誦 不需 理解 重視步驟 不重概念 例如在小學一年級時 教師就會教大數減小 數 要學童背起來 學童就會將3 8 5 常有學童將個位的8減掉3 答 案 變成5 但是並沒有發現數字越減反而越大 在小學二年級時 背 誦 九九乘法表 例如一一得一 一二得二 一三得三 等等 將背 唐詩的作法拿來背誦數學 學童即使背錯了也不曉得原因 而在中 高年 級甚至國中的課程中 要求學童背誦的方式與口訣 更是不勝枚舉 為什麼要要求學童學習數學用背誦的呢 原因其來有自 有以下的這 chapter 數學教與學的不同觀點 學 理解數學 第三 運用思考的方式 學習數學 07

24 些 原 因 :. 可 能 教 師 之 前 數 學 的 學 習 也 是 用 背 誦 的, 所 以 現 在 當 教 師 了, 也 要 學 童 用 背 誦 的, 其 說 法 就 是 先 背 起 來 以 後 就 會 了 2. 可 能 為 了 上 課 的 進 度, 要 求 學 童 用 背 誦 的, 進 度 就 趕 上 了, 就 不 用 擔 心 進 度 落 後 的 問 題 3. 要 求 學 童 用 背 誦 的 方 式 學 習 數 學, 其 效 率 最 高 學 童 能 背 誦, 那 表 示 他 會 了 ; 反 之, 不 能 背 誦, 那 表 示 他 不 會 其 中, 就 能 看 出 教 師 教 學 的 效 果 而 在 小 學 最 嚴 重 的 問 題 就 是, 教 數 學 的 教 師 普 遍 數 學 素 養 不 夠, 對 數 學 觀 念 不 夠 清 楚, 未 能 掌 握 數 學 的 核 心, 所 以 學 童 在 學 習 時, 教 師 未 能 面 對 他 們 不 了 解 的 數 學 問 題, 對 症 下 藥 ( 二 ) 依 教 師 教 學, 理 解 數 學 08 台 灣 於 82 年 ( 教 育 部,993) 推 動 新 數 學 課 程, 在 九 年 一 貫 課 程 實 施 後, 學 童 的 學 習 逐 漸 成 為 依 教 師 的 教 學 步 驟, 重 視 理 解 的 過 程 而 這 段 政 策, 也 引 起 了 一 些 爭 議, 也 就 是 所 謂 的 建 構 數 學, 例 如 有 些 教 師 認 為 一 個 題 目 的 解 題 策 略 有 三 種, 就 要 教 三 遍, 這 樣 的 想 法 造 成 教 學 時 間 嚴 重 不 足 然 而, 此 一 政 策 將 全 國 的 學 童 進 行 為 期 九 年 的 實 驗, 先 不 論 效 果 如 何, 這 個 過 程 從 已 往 重 視 學 童 背 誦 的 方 式, 改 為 學 童 要 能 理 解 老 師 所 教 的 概 念, 過 程 中 引 起 不 小 的 反 彈 乃 起 因 於 相 關 配 套 不 完 整, 例 如 教 師 未 能 接 收 即 時 的 訓 練, 以 了 解 建 構 理 念 的 教 學 模 式 等 ( 三 ) 運 用 思 考 的 方 式, 學 習 數 學 在 台 灣 的 課 堂 中, 將 學 童 的 學 習 過 程 當 做 一 思 考 性 的 課 堂, 有 這 樣 思 維 的 教 師, 其 實 不 多 作 者 在 台 北 縣 頂 溪 國 小 進 行 自 編 課 程 研 究 時, 有 一 堂 課, 教 師 要 求 學 童 測 量 教 室 有 多 長, 在 下 一 堂 課 時, 又 要 求 學 童 測 量 跑

25 道 有 多 長 ( 謝 如 山,2003) 看 到 學 童 彼 此 討 論, 發 現 進 而 產 生 結 論 的 過 程, 作 者 才 看 到 數 學 的 學 習 原 來 應 該 要 是 這 樣 這 樣 的 學 習 歷 程 有 別 於 前 兩 種 的 學 習 方 式, 是 能 讓 學 童 擴 張 思 考 的 過 程, 而 非 如 一 般 教 科 書 將 已 做 好 的 教 材 包 讓 學 童 消 化 (Cobb, Wood, & Yackel, 99, p.5) 數 學 的 教 育 方 式 需 要 改 變 嗎? 很 多 家 長 告 訴 作 者, 他 們 懷 念 以 前 的 教 育 方 式, 認 為 以 前 的 方 式 最 好, 問 我 為 什 麼 要 改 變, 我 回 答 的 是, 學 數 學 的 目 的 是 要 啟 發 學 童 的 思 考 力 想 像 力 與 推 理 能 力, 以 前 的 教 育 方 式 無 法 滿 足 時 代 的 需 要, 如 果 我 們 要 用 以 往 的 教 育 方 式, 要 想 培 育 出 2 世 紀 所 需 的 能 力, 那 是 不 可 能 的 事 09 數 學 教 育 改 革 的 需 要 性, 可 以 從 兩 個 層 面 來 探 討 ( N a t i o n a l Commission on Excellence in Education, 983): ( 一 ) 社 會 快 速 的 變 遷 現 在 台 灣 的 學 童 在 十 到 二 十 年 後 將 面 對 世 界 的 競 爭, 他 們 會 面 對 更 多 量 化 的 資 料, 例 如 統 計 資 料 資 訊 資 料 財 務 資 料 等, 隨 著 科 技 進 步, 不 論 是 現 在 或 未 來, 更 要 具 備 的 是 資 料 處 理 分 析 組 織 創 造 與 邏 輯 等 等 的 能 力 (Fey, 990) 再 者, 隨 著 科 技 能 力 的 普 及, 例 如 SPSS(Statistical Program for Social Science) 等 軟 體 的 使 用, 對 於 計 算 能 力 的 過 度 練 習, 記 憶 數 學 公 式 等 已 不 再 是 學 習 數 學 重 要 的 課 題, 而 是 了 解 如 何 應 用 適 當 的 公 式 來 分 析 所 獲 得 的 資 料, 以 能 提 供 更 充 分 的 資 訊

26 ( 二 ) 下 一 代 將 面 臨 國 際 的 競 爭 力 隨 著 經 濟 的 競 爭, 國 家 的 界 限 越 趨 模 糊, 下 一 代 將 面 對 的 是 跨 國 的 競 爭 壓 力, 例 如 在 兩 岸 穩 定 的 發 展 下, 台 灣 的 學 生 到 中 國 進 修, 中 國 的 學 生 來 台 灣 留 學, 隨 著 網 路 知 識 的 流 通, 知 識 的 分 享 與 學 習 更 為 便 捷 是 故, 學 生 於 跨 國 文 化 的 吸 收 力 與 適 應 力 更 為 重 要, 而 數 學 相 關 領 域 為 可 跨 國 學 習 的 學 科, 未 來 具 數 學 競 爭 優 勢 的 學 梓, 將 更 具 有 世 界 競 爭 力 的 優 勢 發 展 學 童 的 數 學 能 力, 有 三 個 部 分 : 第 一, 意 義 化 學 習 ; 第 二, 建 立 學 童 正 向 的 學 習 態 度 ; 第 三, 建 立 探 究 的 學 習 歷 程 (Baroody & Coslick, 998) ( 一 ) 意 義 化 的 學 習 0 在 台 灣 九 年 一 貫 數 學 的 指 標 中, 提 及 有 關 意 義 化 的 學 習 概 念 ( 教 育 部,2003) 學 童 在 學 習 客 觀 可 檢 驗 的 數 學 語 言 與 思 考 規 則 時, 必 然 攜 帶 著 自 發 的 非 形 式 的 語 言 與 思 考 方 式, 如 果 教 學 者 只 強 調 形 式 化 的 數 學 材 料, 可 能 導 致 學 童 無 法 理 解 所 以, 了 解 學 童 所 具 有 的 先 備 知 識 另 類 概 念 直 觀 非 形 式 推 理 等 心 智 活 動, 配 合 學 童 的 認 知 發 展 狀 態, 適 當 地 選 擇 教 材 與 教 學 活 動, 才 能 協 助 學 童 進 行 有 意 義 的 學 習 要 如 何 協 助 學 童 了 解 數 學, 建 立 意 義 化 學 習 的 歷 程 是 必 要 的, 也 就 是 說, 建 立 數 學 與 生 活 連 結 的 經 驗 舉 例 來 說, 要 教 導 學 童 時 間 的 先 後, 如 前 一 小 時 或 後 兩 小 時 的 概 念, 可 連 結 至 學 童 學 習 畫 畫 或 學 習 游 泳 的 時 間, 了 解 什 麼 時 候 出 門, 什 麼 時 間 活 動 後 回 家, 即 可 有 效 學 習 時 間 的 計 算 Baroody 與 Coslick(998) 提 及, 建 立 意 義 化 學 習 比 背 誦 數 學 更 佳 的 優 勢 在 於 :

27 . : 因 學 童 了 解 其 原 理, 可 進 行 廣 泛 的 應 用, 進 而 強 化 數 學 學 習 的 興 趣 2. : 學 童 會 覺 得 數 學 是 容 易 理 解 的 學 科, 是 一 連 貫 性 的 知 識 相 對 的, 背 誦 數 學 會 使 學 童 覺 得 困 難, 才 需 要 不 斷 進 行 背 誦 3. : 學 童 能 用 數 學 概 念 連 結 至 生 活, 能 夠 更 加 容 易 了 解, 進 入 學 童 的 長 期 記 憶, 對 於 概 念 的 連 結 會 更 加 強 化 (Hiebert & Carpenter, 992) 4. : 學 童 在 學 習 類 似 概 念 時, 可 快 速 的 連 結 至 新 的 學 習 概 念, 建 立 新 的 知 識 架 構 更 為 容 易 ( 二 ) 建 立 學 童 正 向 的 學 習 態 度 在 台 灣 九 年 一 貫 數 學 的 指 標 中, 亦 提 及 有 關 學 童 正 向 的 學 習 態 度 ( 教 育 部,2003) 數 學 教 育 的 目 的, 若 要 讓 學 童 在 未 來 的 人 生 旅 途 中, 維 持 充 沛 的 數 學 學 習 與 探 究 的 能 力, 單 單 只 靠 開 拓 學 童 的 數 學 能 力 仍 嫌 不 夠, 還 必 須 培 養 學 童 正 向 的 數 學 態 度, 而 數 學 態 度 包 括 了 數 學 學 習 態 度 與 對 數 學 的 態 度 ( 三 ) 建 立 探 究 的 學 習 歷 程 於 台 灣 九 年 一 貫 數 學 的 指 標 中, 亦 提 及 有 關 探 究 的 學 習 歷 程 ( 教 育 部,2009) 九 年 一 貫 的 數 學 課 程 中, 應 養 成 學 童 具 有 主 動 探 究 數 學 及 願 意 利 用 數 學 方 法 解 決 數 學 上 與 生 活 上 的 問 題 等 兩 種 正 向 的 數 學 學 習 態 度 ; 也 應 破 除 數 學 只 有 考 試 時 才 有 用 的 負 面 態 度, 而 是 相 信 數 學 是 描 述 生 活 中 數 與 形 之 規 律 的 利 器 數 學 規 律 是 有 其 道 理 的 學 習 數 學 有 助 於 立 足 社 會, 以 及 數 學 是 推 進 人 類 文 明 的 要 素

28 國小數學教材教法 然而 傳統教授數學的方式影響學童學習數學的興趣 有以下三種可 能性 傳統教學強化了學童對數學不喜歡的態度 教師或家長傾向於讓孩子快速的學習數學 即是用背誦唐詩的方法來 探究式教學 學數學 使學童不了解數字產生的緣由 例如 九九乘法表 的背誦 往 往學童背誦錯了 亦不自知 這樣的教學方式重視的是短期的效果 但是 學童累積的不確定與不了解 卻可能造成學童在學習更高難度概念的障 礙 如同蓋一間十層的大樓 其地基不可能是由紙箱所架構的道理一樣 課堂中並沒有給學童進行解題過程的訓練 教師沒有給學童時間來做推理 例如上縮圖課程時 並沒有實際要求 學童將教室畫在一張紙上思考縮圖的比例 也沒讓學童如何運用分組的方 式來進行討論與學習 因此學童並沒有自課堂中發展出這樣的解題能力 2 教師重視的是數學的步驟 而非數學的概念 在學校的數學教學中 教師較多著重的是課堂的練習 而非數學思考 的訓練 例如二年級學童在學習進退位時 教師對2 6的演算 強調的是 2要變成 在的上方加0 才可以減6 而不知這只是減法退位的步驟 學童完全可利用古氏積木的操作來解題 而不必用上述的方式來解題 然 而 有些教師不知有其他方式可進行數學解題 就要求所有學童用一樣的 方式 若學童無法接受或理解 那他們將無法將數學應用至生活中 也可 能會造成學童在學習數學時的恐懼 Davis, 984; Kilpatrick, 985 參 教學方法的改變 探究式教學 很多的教師在研習時 都會問 如果用合作學習 學童要思考那麼 久 教學時數會不會不夠用 我的回答是 上課本來就是學童學習的

29 時間 而數學本來就是思考的訓練 大人在想一題數學題時 都可能花上 一週 一個月的時間 如果教師只讓學童想5分鐘 就要給一個答案 你覺 得這是在做數學的思考嗎 在九年一貫的課程指標中也指出 要重視學 童的解題與推理的探究歷程 如果學童沒有這些經驗 他們並無法真正學 習到數學的內涵 更沒有辦法進入數學的思考 探究式教學 the investigative approach 一詞是由Baroody與 Coslick 998 所提出的 有別於技巧練習的教學模式 探究式教學的特 性在於促進學童意義化的了解 也不同於概念式教學 不會要求學童使用 教師所提供的解題策略 而是要求學童進行探索與發現的歷程 以學童學習 九九乘法表 為例 在分析九九乘法表的架構時 學童 最快能學會的是 2 5與0的乘法 為什麼 2 5與0會讓孩子很快學 會呢 因為在的乘法規則中 任何數乘都是任何數 在2的乘法規則中 只要發現相同數字加兩次 就是乘2的結果 在5的乘法規則中 因為人有 五根手指頭 所以有關5的類型 很快就能學會 而在0的乘法規則中 學 乘法則會有學習的困難 因為乘法的倍數過大 而學童如果能運用 2 5 0的乘法基礎 就能有效解決 例如7 7 有些學童可以使用7 5 再 加上7 2的乘法概念 即可解決 所以 探究式教學著重的是 學童要能 發現數字彼此間的關係 並且尊重他們的解題策略 讓學童體會到數學的 架構 以更有效率的方式來學習數學 是故 作者在應用探究式教學的實驗課程中 謝如山 謝如山 王修亮 2002 歸納出探究式的教 學設計有以下的特色 分別加以論述 一 教師能採取開放與探究的教學方式 作者與小學教師合作課程的歷程中發現 教師不敢讓學童嘗試 不敢 chapter 數學教與學的不同觀點 童只要發現任何數之後加0 即是0的乘法 然而 學童對於 的 3

30 國小數學教材教法 給學童高難度的問題 在教學現場中 看到了太多的僵化 太多的不敢 然而 在專業的協助下 教師的能力可獲得提升 亦能勇於嘗試 當教師 的觀念改變了 隨之而來 看到學童們的創意與想法後 他們發現了教室 外的另一個天空 探究式教學 二 教師能採用有價值的教學活動 何謂有價值的教學活動 即活動設計能刺激學童多元思考的解題策 略 能形成學童的認知衝突 能引起學童的學習動機 能釐清學童的數學 觀念 能發揮學童的創造力與思考力 作者在參與探究式教學實驗的過程中發現 將數學的問題情境化讓學 童身歷其中 是很重要的關鍵 以下即為活動舉例說明 4 課程名稱 Kitty貓的活動設計 時間 約兩節課 年級 三年級 設計目的 使學童能加深對千至億的概念 並能診斷學童基礎乘法的 能力 例如一位數 一位數 二位數 一位數 三位數 以一位數 至多位數 一位數的乘法概念 活動一 Kitty貓的活動設計 I 三年級 小山要出國2天 請小華幫他養貓 有兩種付費方式 第一種付 費方式為小山每一天都付給小華00元 一直到第2天 第二種為小山 第一天付小華元 第二天付他2元 第三天付4元 第四天付8元 一 直到第2天 請問如果你是小華 會選擇哪一種付費方式?為什麼

31 活動二 Kitty貓的活動設計 II 四年級 後來小山決定要出國個月 他發現如果用第二種付費方式 在某 一天付給小華的費用會超過億元 請問是在哪一天呢 活動三 Kitty貓的活動設計 III 四年級 如果小山第一天付元 第二天付3元 第三天付9元 第四天付27 元 在第幾天他支付的金額會超過億元 活動四 Kitty貓的活動設計 IV 四年級 如果小山第一天付元 第二天付4元 第三天付6元 第四天付 64元 在第幾天他支付的金額會超過億元 三 從上而下的教學思維 何謂由上而下的教學思考 即在擬定教學計劃之前 先預設將達到的 設的學習概念 Baroody & Coslick, 998 例如上述的學習單元 學童 要學億的概念時 教師即設計活動二的單元 當學童發現哪一天會超過億 時 印象會特別深刻 然而 一般傳統式的教學方式 例如技巧練習的教 學或是意義化的學習模式 都是由下而上的教學設計 即先由教師教導基 本概念 再一步一步的教授更為深入的學習概念 但 由上而下的教學模 式是以學童為學習中心的想法出發 有別於由下而上的教學模式 其關鍵 在於教師要先改變其教學的模式 才能達到學童有效學習的目標 四 合作學習的需求 合作學習的方式 是九年一貫課程中達到溝通能力的重要歷程 為 chapter 數學教與學的不同觀點 數學學習概念 再進行單元設計 之後再進行教學 讓學童能發現到所預 5

32 國小數學教材教法 什麼需要溝通 communication 依課程標準 教育部 2009 NCTM, 2000 將溝通列為重要能力 如討論 質疑 辯證 發表等均為溝通能力 的表現 透過合作學習的歷程 學童可以學習到不同的溝通能力 除此之外 探究式教學 學童要能用數學語言來進行溝通 還要表現出尊重 傾聽等態度 然而 要促進學童合作 其前提在於教師要設計出中高難度的活動 一般教科書 的數學題目過於簡單 沒有合作的需求 因此 教師如何設計出適合該年 級學童的解題活動 在於教師要能了解該年級的程度 以設計出能符合學 童進行合作學習的活動 國內目前各縣市所提倡的學習共同體 黃郁倫 鍾啟泉譯 202 其理論即源自於合作學習的概念 五 統整的教學設計 統整課程的概念 在很多研究中都有述及 但數學課程中少有提到 6 統整 數學課程如何能與其它學科進行統整 亦為教師的一項挑戰 在 數學學科而言 九年一貫中的正式指標並不稱為統整 應稱為 連結 connection 教育部 2009 在美國的數學課程標準中也提到連結 NCTM, 2000 連結的意義有三 第一 要能連結數學的重要概念 例 如加法是乘法的累加 第二 要能有整體的數學知識 例如 可以為除法 2 概念 可以為分數概念 也可以為比值概念 其相互關係為何 第三 要 能將數學與生活結合 學童要能連結數學的概念應用至生活中 例如學童 在有限的經費中 規劃畢業旅行的行程等 所以 如何促進學童連結的能 力 才是統整教學中的核心 六 發揮學童的最大潛能 謝如山 2004 引自Ginsburg 997 中提及Piaget設計活動的目的在

33 於 能激發孩子最大的潛能 孩子到底會到什麼地步 永遠是身為大人的 我們所不了解的 我們能做的就只是觀察 發現 但透過活動的設計與實 驗 才知道這些活動是否適合學童的學習 所以 要設計出能激發孩子最 大潛能的活動 應是教師要有的專業想法 惟有透過數學活動的刺激 學 童的主動學習才會更加積極 才會更有數學的思考能力 參考書目 黃郁倫 鍾啟泉譯 202 佐藤學著 學習的革命 從教室出發的改革 台 北 天下雜誌 教育部 2009 國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域 台北市 教育 部 教育部 993 國民小學數學課程標準 台北市 教育部 7 教育部 975 國民小學數學課程標準 台北市 教育部 專題研究計畫成果報告 NSC S 新北市 國立台灣藝術 大學 謝如山 2002 九年一貫數學探究式之自編教材建構實驗課程研究 行政 院國家科學委員會專題研究計畫成果報告 NSC S 新北 市 國立台灣藝術大學 謝如山 2003 學校本位課程行動研究 以頂溪國小數學自編教材為例 南師學報 數理與科學類 37() 謝如山譯 2004 進入孩子心中的世界 台北 五南 謝如山 2007 台北縣頂溪國小數學探究式自編教材建構實驗課程研究 新北市教育局成果報告 台北縣 台北縣教育局 謝如山 2009 探究式教學數學課程實驗計劃 宜蘭人文小學 教育部 成果報告 台北 教育部 謝如山 20 探究式教學數學課程實驗計劃 桃園林森小學 桃園縣 chapter 數學教與學的不同觀點 謝如山 200 小學數學探究式之建構實驗教學 行政院國家科學委員會

34 教 育 局 成 果 報 告 桃 園 縣 : 桃 園 縣 教 育 局 謝 如 山 王 修 亮 (2002) 探 究 式 教 學 數 學 自 編 教 材 二 上 篇 台 北 : 山 之 聲 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Brownell, W. A. (935). A psychological considerations in the learning and the teaching of arithmetic. The teaching of arithmetic, the tenth yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics. New York: Teachers College. Columbia University. Cobb, P., Wood, T., & Yackel, E. (99). A constructivist approach to second grade mathematics. In E. Von Glasersfeld (Ed.), Constructivism in mathematics education (pp. 7-48). Boston: Kluwer. Davis R. B. (984). Learning mathematics: The cognitive science approach to mathematics education. Norwood, NJ: Ablex. Fey, J. T. (990). Quantity. In L. A. Steen (Ed.), On the shoulders of giants. (pp. 6-94). Washington, DC: National Research Council. 8 Ginsburg, H. P. (997). Entering the Child' s Mind: The Clinical Interview In Psychological Research and Practice. New York: Cambridge University Press. Hiebert, J., & Carpenter, T. P. (992). Learning teaching with understanding. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. (pp ). New York: Macmillian, Kilpatrick, J. (985). Doing mathematics without understanding it: A commentary on Higbee and Kunihira. Educational Psychologist, 20, National Commission on Excellence in Education (983). A nation at risk. Washington, DC: U.S. Government Printing Office. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. Trafton, P. R., & Shulte, A. P. (Eds.), (989). New directions for elementary school mathematics (989 Yearbook). Reston, VA: National Counicl of Teachers of Mathematics. Thorndike, E. L. (922). The psychology of arithmetic. New York: The Macmillian Co.

35 Chapter 2 數 學 學 習 的 探 究 歷 程 : 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結 解 題 推 理 與 溝 通 在 數 學 學 習 的 歷 程 中, 扮 演 了 相 當 重 要 的 角 色 以 下 依 解 題 推 理 與 證 明 溝 通 與 連 結 等 四 部 分, 加 以 說 明 課 程 標 準 ( 教 育 部,2009;NCTM, 2000) 視 解 題 為 所 有 數 學 學 習 的 整 體, 其 意 義 為 學 童 在 事 先 不 了 解 一 個 問 題 的 解 法 下, 來 思 考 數 學 問 題 為 了 要 找 出 解 題 的 方 法, 透 過 數 學 思 考 的 歷 程, 學 童 可 以 學 到 更 新 的 數 學 概 念 也 就 是 說, 學 童 要 能 解 決 複 雜 的 問 題, 在 過 程 中 能 形 成 並 努 力 的 思 考 問 題, 過 程 中 可 能 會 花 上 很 多 的 精 力, 老 師 要 能 鼓 勵 學 童 不 斷 的 反 思, 以 促 進 學 童 的 數 學 思 考 所 以, 教 師 在 解 題 的 觀 念 需 要 建 立, 學 童 在 解 題 的 面 向, 在 NCTM(2000) 的 標 準 中 亦 有 所 要 求 以 下 依 教 師 教 學 面 向 與 學 童 學 習 面 向, 分 別 論 述 有 關 解 題 在 教 師 教 學 的 觀 點, 有 以 下 四 面 向 (Schroeder & Lester,

36 989; Stanic & Kilpatrick, 989) ( 一 ) 教 導 如 何 解 題 這 種 方 式 就 是 所 謂 的 直 接 教 學 法, 也 就 是 教 師 教 導 學 童 解 題 的 策 略, 以 應 用 Polya(973) 的 解 題 四 步 驟 模 式 為 最 具 代 表 性 的 方 法 有 關 Polya 的 解 題 策 略 請 參 ( 引 自 謝 如 山 謝 名 起 謝 名 娟 譯,2003:p70) 這 種 依 教 師 的 教 導 進 行 解 題 的 方 式, 是 較 為 傳 統 的 教 學 方 式 (Baroody & Coslick, 998) 在 學 校 中, 教 師 常 會 教 導 學 童 有 關 的 解 題 策 略, 例 如 看 到 未 知 數 就 設 x, 先 發 現 數 字 在 那 裡 等 方 式, 試 圖 能 教 導 學 童 快 速 解 題 這 些 用 講 述 的 方 法, 都 是 傳 統 式 教 導 解 題 的 教 學 方 式, 是 傾 向 於 技 巧 練 習 型 的 教 學 方 式 ( 二 ) 用 解 題 的 方 式 進 行 教 學 20 用 解 題 的 方 式 教 導 數 學 的 內 容, 目 的 在 使 學 童 能 易 於 了 解 解 題 在 此 可 被 視 為 練 習 計 算 技 巧 的 工 具, 亦 可 用 來 激 發 學 童 的 學 習 動 機, 讓 學 童 熟 練 教 學 的 技 巧 用 這 樣 的 方 式 進 行 教 學 可 以 有 兩 種 方 式 : 一 是, 看 到 學 童 從 開 始 到 解 題 完 成, 可 以 達 成 那 些 既 定 的 目 標 ; 二 是, 用 一 種 比 較 趣 味 的 方 式 來 應 用 學 校 所 學 的 數 學 知 識, 此 種 方 式 較 接 近 於 意 義 化 的 學 習 ( 三 ) 為 解 題 進 行 教 學 為 解 題 進 行 教 學 的 方 式 是 將 解 題 視 為 教 學 的 目 的, 教 師 要 能 提 供 學 童 具 挑 戰 性 的 數 學 問 題, 能 確 切 的 應 用 Polya 的 解 題 四 步 驟, 來 啟 發 學 童 的 解 題 思 考 所 以, 學 童 在 解 題 的 過 程 中, 即 已 建 構 了 解 題 所 需 的 策 略, 此 種 方 式 較 接 近 問 題 解 決 模 式 ( 四 ) 整 體 的 解 題 教 學 實 際 上, 教 師 在 教 導 解 題 的 技 巧 上 運 用 了 解 題 進 行 教 學, 或 是 為 了 達

37 2-Polya. 2. 敍 敍 資 料 來 源 :George Polya(973), How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method. Copyright 945, renewed 973 by Princeton University Press. Outline reprinted with permission of Princeton University Press. 2

38 到 學 童 解 題 能 力 的 不 同 階 段, 會 有 重 複 的 部 分 教 師 如 何 依 學 童 學 習 的 過 程, 設 定 學 習 的 目 標, 促 進 學 童 的 解 題 能 力, 培 養 學 童 解 決 生 活 中 真 實 的 問 題, 這 種 方 式 即 為 探 究 式 教 學 的 精 神 而 教 師 在 協 助 學 童 進 行 解 題 的 策 略 有 五 項, 分 述 如 下 :. : 教 師 可 以 在 班 上 張 貼 每 日 一 題, 或 是 每 週 一 題 的 數 學 問 題, 讓 學 童 花 較 長 的 時 間 來 思 考, 這 些 問 題 有 別 於 考 試 的 問 題, 是 無 法 在 5 分 鐘 或 是 0 分 鐘 內 就 可 以 解 決 的, 這 些 問 題 可 以 有 一 個 以 上 的 答 案 可 以 是 邏 輯 推 理 的 可 以 是 沒 有 特 定 形 式 的 可 以 是 生 活 情 境 中 的 可 以 是 與 學 校 課 程 不 同 的 等 等 問 題 的 來 源 可 來 自 網 路 課 外 書 籍 也 可 以 是 學 校 中 的 問 題, 例 如 要 如 何 節 省 電 力 如 何 節 省 水 資 源 如 何 繪 製 學 校 地 圖 等, 學 童 亦 可 提 出 他 們 自 己 想 要 解 決 的 問 題 (NCTM, 99) 教 師 應 該 要 用 不 同 的 22 數 學 問 題, 來 啟 發 學 童 不 同 的 能 力 (Ohanian, 992: p.7) 2. : 一 般 教 師 多 著 重 於 計 算 的 練 習, 或 是 已 知 解 題 策 略 的 練 習 題, 讓 學 童 反 覆 的 操 作, 這 些 練 習 對 學 童 多 元 的 解 題 能 力 與 解 決 多 變 的 實 際 問 題, 並 沒 有 助 益 (Kilpatrick, 985) 在 學 童 剛 開 始 解 題 的 階 段, 會 畫 圖 將 資 料 變 成 圖 表 會 尋 找 特 性 或 是 嘗 試 錯 誤 再 修 正 等 所 以, 學 童 解 題 策 略 的 能 力 是 逐 漸 養 成 的, 直 到 有 了 一 些 經 驗 後, 才 會 運 用 Polya 所 提 的 解 題 四 步 驟 模 式 3. : 教 師 的 責 任 就 是 要 營 造 一 個 能 進 行 解 題 的 班 級 氣 氛 在 進 行 解 題 時, 老 師 要 有 耐 心, 因 為 解 題 的 歷 程 是 緩 慢 的, 教 師 要 積 極 的 形 成 解 題 的 氛 圍 要 注 意 的 是, 教 師 不 是 解 答 的 提 供 者, 學 童 惟 有 自 己 解 決 問 題, 才 能 建 構 出 真 正 的 數 學 知 識 4. : 學 童

39 所使用的策略 一定有別於教師的想法 如教師如何激發學童多元 的解題方法 進行不同的數學思考 才能使學童相互發現新的知 識 以強化學童的學習 而非正式的思考策略 是創意的來源 更 是學童產生更有效率解決問題的開始 5. 能更有彈性 促進學童對於問題的條件 能更仔細的進行判斷 教 師要能協助學童在問題的解讀上 清楚的理解對於題目的意義及想 要獲得的結果 能進行邏輯的判斷 教師亦可協助學童產生圖像的 概念 讓學童從圖像來發現題目的方向 進行解題 二 解題在學童學習的觀點 培養學童的解題能力 是一種緩慢與困難的過程 Kilpatrick,. 985b: p.8 要成為一位問題解決者 需要面對高難度問題的挑戰 要用對方法 來協助學童對於數學能有概念性的了解 藉由解題的歷程 學童能培養出 23 思考的方法 能對不熟悉的題目產生好奇心 一定要解決與高度自信等態 從學童學習的角度來看 NCTM 2000 在幼稚園中班到高中三年級 pre-kindergarten through grade 2 的指標中 對於解題有以下四項的標 一 建立數學學習的新知識 首先 在建立數學學習的新知識部分 數學教師的專業角色在於選擇 有價值的數學問題與活動 要促進學童在解題的歷程中獲得數學知識 活 動的設計要能激發起學童的好奇心與學習的動機 例如 神奇表 如 表2-2 的單元設計 即為一種相當優質的活動設計 其目標在於建立二 年級學童在乘法交換律的觀念 使學童在不斷的發現與歸納的歷程中 可 溝通與連結 準 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 度 如此對於日常生活的事務 才會是一位成功的問題解決者

40 國小數學教材教法 探究式教學 24 表2-2 神奇表 x 以找出 為一對稱軸 而學童必須找 出為什麼數字會對稱的原因 在國小中年級 學童可以找出3的倍數 其數 字和相加均為3的倍數 9的倍數數字和相加也有同樣的特性 在國小高年 級 學童可以發現等值分數 如 等 在七年級 學童可以發現 的欄位加2的欄位等於3的欄位 用代數的關係式表示 即x 2x 3x x 可是0到9的任何數字 所以 一個好的活動可以在不同年級產生不同的數 學概念 而 神奇表 就是一個很好的例子 如表2-3

41 2-30 x n 2 3. Ex Ex Ex

42 ] Ex nn+n+n Ex 所 以, 教 師 在 選 擇 一 項 有 趣 的 活 動 或 問 題 時, 要 事 先 進 行 教 學 計 劃 訂 定 教 學 目 標, 有 計 劃 的 引 導 學 童 發 現 與 歸 納 或 許 有 些 發 現 或 創 意 不 在 教 學 計 劃 之 內, 但 學 童 發 現 的 過 程 均 應 獲 得 尊 重 ; 若 有 些 數 學 問 題 相 當 有 趣, 但 與 教 學 目 標 無 關, 在 時 間 有 限 的 課 堂 中, 就 可 能 要 需 要 考 慮 其 適 當 性 而 予 以 刪 除 ( 二 ) 解 決 在 數 學 情 境 或 其 它 的 情 況 中 所 產 生 的 問 題 一 位 問 題 解 決 能 力 較 佳 者, 會 基 於 不 同 的 情 境, 採 用 數 學 的 模 式 來 形 成 問 題 並 解 決 問 題 他 們 會 先 將 問 題 簡 化 後, 再 思 考 問 題 背 後 較 為 複 雜 的 因 素, 例 如 在 國 小 高 年 級 的 課 程 中, 就 兩 家 旅 行 社 中 選 擇 一 家 較 為 優 質 的 業 者, 這 就 是 一 個 較 為 簡 單 的 問 題, 但 是 為 什 麼 要 選 擇 這 一 家 特 別 的 業 者, 就 需 要 列 出 優 於 另 一 家 的 優 點, 如 價 格 旅 遊 的 景 點, 住 宿 的 飯 店

43 等 在 這 個 問 題 中, 學 童 要 先 有 清 楚 的 認 識, 深 入 的 分 析 後, 來 判 斷 哪 一 家 旅 行 業 者 能 提 供 最 好 的 服 務, 再 進 行 選 擇, 在 選 擇 的 過 程 中, 教 師 所 要 扮 演 的 角 色 是 提 問 與 引 導, 協 助 學 童 歸 納 出 結 論, 並 提 出 更 具 挑 戰 性 的 問 題 問 題 的 形 成 對 於 學 童 而 言, 是 相 當 容 易 的, 例 如 要 花 多 久 的 時 間 可 以 環 繞 台 灣 一 圈? 用,000 元 到 家 樂 福 可 以 買 哪 些 東 西? 等 等, 教 師 和 家 長 都 可 以 提 出 生 活 上 的 數 學 問 題, 以 促 進 學 童 對 生 活 上 的 數 學 問 題 進 行 思 考 尤 其, 教 師 在 營 造 班 級 氣 氛 與 創 造 問 題 的 情 境 上, 對 於 協 助 學 童 在 解 題 能 力 上 的 發 展, 是 相 當 重 要 的 ; 教 師 應 鼓 勵 學 童 發 現 嘗 試 錯 誤 分 享 解 題 的 歷 程 與 成 功 的 經 驗 等 在 教 師 給 予 一 個 支 持 性 的 學 習 環 境 下, 學 童 能 發 展 出 解 題 的 自 信, 越 能 形 成 在 生 活 中 的 數 學 問 題, 並 有 更 強 的 意 志 力 來 解 決 高 難 度 的 挑 戰 性 問 題 ( 三 ) 應 用 或 採 用 不 同 的 策 略 進 行 解 題 學 童 解 題 的 策 略 相 當 多 元, 他 們 可 以 畫 出 圖 形 尋 找 數 字 特 性 列 出 27 所 有 可 能 的 策 略, 來 進 行 解 題 ; 也 可 能 想 出 類 似 的 題 目 運 用 不 同 數 數 的 策 略 用 猜 測 估 測 或 是 用 手 指 數 算 的 方 式, 來 進 行 解 題 其 實, 真 正 的 問 題 在 於, 教 師 如 何 教 學 童 這 些 策 略 台 灣 在 82 年 ( 教 育 部,993) 所 推 行 的 新 數 學 課 程, 在 執 行 面 出 現 一 些 不 同 的 意 見, 例 如 教 科 書 中 列 出 了 三 種 解 題 策 略, 教 師 就 將 這 些 解 題 策 略 都 教 了 一 遍, 造 成 教 學 時 間 嚴 重 不 足 的 現 象, 因 此, 很 多 教 師 對 這 樣 的 教 學 出 現 了 相 當 分 歧 的 想 法 很 明 顯 的, 學 童 的 策 略 與 想 法, 應 是 由 教 師 啟 發 而 來 的, 並 非 是 由 傳 統 的 講 述 方 法 進 行 教 授, 因 為 學 童 的 解 題 策 略 是 一 種 發 明 是 一 種 創 新, 教 師 在 教 室 中 的 角 色, 是 要 鼓 勵 學 童 產 生 多 元 的 解 題 策 略, 之 後 加 以 歸 納 與 比 較, 讓 學 童 對 同 一 問 題 的 想 法 能 用 不 同 的 方 式 來 解 決, 例 如 從 台 北 到 新 竹 有 幾 種 路 線? 若 是 走 高 速 公 路, 可 能 只 有 兩

44 種 方 法 ; 若 是 走 省 道 或 是 搭 乘 不 同 的 交 通 方 式, 就 可 能 產 生 不 同 的 路 線 ; 若 是 要 想 出 所 有 的 可 能 路 線, 可 能 需 要 學 童 分 組 來 進 行 思 考, 之 後 分 組 發 表, 而 教 師 則 協 助 學 童 分 類, 再 歸 納 出 最 後 的 結 果 有 教 師 會 質 疑, 這 樣 的 教 學 是 否 會 影 響 授 課 的 進 度? 會 佔 用 很 多 上 課 的 時 間? 但 是, 我 們 要 關 心 的 是, 上 完 課 的 學 童 是 否 真 的 學 會 數 學 了? 如 果 上 課 只 是 讓 學 童 聽, 而 非 讓 學 童 進 行 思 考, 這 樣 的 教 學 是 無 效 的 惟 有 讓 學 童 自 己 建 構 出 數 學 的 策 略 與 想 法, 那 才 是 學 童 進 行 解 題 的 歷 程, 才 是 數 學 學 習 的 關 鍵, 否 則 一 切 的 學 習 都 是 枉 然! ( 四 ) 驗 算 或 是 反 思 數 學 解 題 的 過 程 要 能 有 效 的 進 行 解 題, 就 要 能 不 斷 的 檢 視 並 且 調 整 思 考 的 歷 程 NCTM(2000) 提 及, 當 題 目 是 文 字 題 時, 應 要 小 心 的 閱 讀 題 目, 直 到 理 解 ; 若 題 目 是 口 述 式 的, 則 一 定 要 問 清 楚 為 止 有 效 能 的 解 題 者, 會 在 解 28 題 的 時 候, 定 時 的 檢 視 是 否 解 題 的 方 向 正 確, 萬 一 不 能 繼 續 往 下 解 題, 則 會 停 止, 思 考 其 他 解 題 的 方 式 一 些 研 究 者 指 出 (Garofalo and Lester, 985; Schoenfeld, 987), 學 童 在 解 題 方 向 的 錯 誤, 原 因 是 經 常 誤 用 了 一 些 他 們 所 知 道 的 方 式, 而 並 不 是 缺 乏 數 學 知 識 所 致 Bransford 等 人 (999) 也 述 及 有 關 優 秀 的 解 題 者 會 意 識 到 他 們 在 做 什 麼, 不 斷 的 自 我 檢 視, 並 且 判 斷 他 們 的 策 略 是 否 能 有 效 的 進 行 解 題 所 以, 學 童 會 用 到 反 思 的 技 巧 或 是 所 謂 的 後 設 認 知, 這 樣 的 能 力 在 課 堂 學 習 中 是 應 該 要 被 教 師 支 持 的, 因 此, 教 師 的 角 色 應 在 於 協 助 學 童 發 展 這 樣 的 反 思 習 慣, 例 如 教 師 應 要 問 的 問 題 是, 你 了 解 這 個 問 題 嗎? 你 確 定 用 這 樣 的 方 式 可 以 解 決 問 題 嗎? 你 可 以 再 檢 視 一 下 過 程 嗎? 有 沒 有 其 他 的 方 法 可 以 解 決 呢? 而 這 樣 的 反 思 態 度 應 建 立 在 低 年 級 的 階 段, 當 教 師 持 續 的 使 用 這 些 問 題 時, 學 童 可 以 隨 時 調 整 解 題 的 策 略, 也 就 會 越 來 越 喜 歡 思 考 解 題 歷 程 的 合 理 性, 進 而 培 養 出 自 我 負 責 的 能 力

45 挑戰性問題 Baroody & Coslick, 998: p2-8. 小華想要準備聯考 但是 他家的廚房在滴水 發出滴的聲音 不幸的是 他家的客廳也在滴水 發出答的聲音 如果滴的聲音 分鐘平均有3次 答的聲音分鐘有5次 在滴與答同時出現後 小華下一次同時聽到滴答的聲音是什麼時候 2. 小華在50公尺的比賽中比小名快5公尺 如果小華對小名說 我在 起跑點前5公尺和你一起跑 我們應該會同時到達 小名說 你 真不愧是一位運動家 試問 他們會同時到達嗎 為什麼 29 溝通與連結 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 3. 有位工匠想要從地面到屋頂間造個階梯 地面到屋頂高28公 分 每階梯高8公分 試問 他要做幾個階梯 4. 小山和小舒是一對在軍中服役的情侶 小山每工作3天休假天 小舒每工作5天休假天 如果月日禮拜天他們同時休假 他們 下一次同時休假是什麼時候

46 國小數學教材教法 探究式教學 5. 小山打算數一數他存在小豬裡的元銅幣 當他5個一數時 剩下2 元 不管是2個一數 3個一數 或是4個一數都剩下元 若小山 的錢不超過00元 試問他的錢有多少 6. 3個連續整數的和是534 這3個整數是什麼 7. 小山有一袋高爾夫球 當在路上碰到小真 小真要了他袋中球的 一半多2個 後來又碰到小強 他也和小真有同樣的要求 後來 又碰到小華 小華也和小真有同樣的要求 最後小山的袋中剩下 30 2顆球 問小山本來有幾顆球 8. 請用四條線 將這九個點相連起來 線與線間不得重複或間斷

47 9. 只能移動一個點 把行與列的點數都要相同 不能製造出新的列或行 0. 在西洋棋盤上你能找出有幾個正方形嗎 挑戰性問題 2 Baroody & Coslick, 998: p2-4 梯上升了2層樓 又上升了5層樓 然後又上升了6層樓 又下了 9層樓 又上了4層樓 再上了7層樓 又下了8層樓 然後糊塗的 2. 一隻蝸牛要爬出8公分高的水溝 他白天只能爬6公分 到了晚上 又滑回3公分 試問要幾天 這隻蝸牛才能爬出洞口 3. 大年要把一塊板子平切成八塊 他找了一位切的師傅 已知要平 切成4塊的價格是24元 當切成八塊時大年要付多少元 假設 每塊都是平切的 4. 淑娟要買4張郵票 服務人員問他說 要4張在一起的嗎 他說 是 你能幫淑娟找出 有多少種4張郵票會放在一起的情況嗎 如 溝通與連結 阿山走出了電梯 試問他距離第4樓有多遠 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明. 粗心的阿山教授從樓搭電梯 他忘記按到第4樓的按鈕 當電 3

48 國小數學教材教法 5. 如果7根牙籤可組成下列3個三角形 需要多少根牙籤才可以組成 00個三角形 探究式教學 6. 如果有36個花片形成個三角形 試問你需要移動多少個花片才能 讓這個三角形的方向相反 圖片上僅顯示前三列的花片 每次只 32 能移動一個花片

49 7. 請在 中排入-9個數字 使每一行數字的和都能相同 8. 秀才 舉人 進士瓜分他們在考試中出題的薪水 共320元 進 士得到的是秀才所得的8倍 舉人得到的是進士與秀才薪水的差 價 請問 他們所得的錢各是多少 9. 一位賭徒剛領了薪水 週末就跑去賭博 他每天要付停車費3元及 吃飯0元 週六他一付完停車費及吃飯後 就減少了 的錢 週 4 日他又付完停車費及吃飯後 又減少了 的錢 在週日晚上回到 4 家後 只剩下60元 試問他的薪水多少 0. 小強把個0元 個0元和個5元 2個5元 分別放入3個不同 的杯子中 如果這3個杯子貼上錯誤的標籤 請問如何從杯中取 出一個銅幣後 可以確認每個杯子裡有多少錢 33 溝通與連結 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明

50 數 學 推 理 與 證 明 是 一 種 強 有 力 的 手 段 與 方 法, 來 發 現 生 活 現 象 的 能 力 ( 教 育 部,2009;NCTM, 2000: p56) 在 我 們 的 日 常 生 活 中, 對 於 週 遭 環 境 數 字 的 特 性 能 分 析 與 歸 納, 進 而 運 用 數 學 的 語 言 來 進 行 證 明, 例 如 在 找 地 址 時, 看 到 門 牌 號 碼 一 邊 是 單 數, 就 知 道 另 一 邊 是 雙 數 ; 往 前 走 看 到 號 碼 遞 減, 就 知 道 往 後 走 就 會 遞 增, 這 就 是 推 理 之 後 的 結 果 所 以,NCTM (2000) 特 別 提 到, 在 理 解 數 學 後, 重 要 的 關 鍵 就 是 推 理 在 各 年 級 階 段, 要 能 協 助 每 位 學 童 發 展 數 學 的 想 法, 來 探 索 日 常 的 現 象 判 斷 合 理 的 結 果 並 且 能 對 數 學 進 行 合 理 的 臆 測 及 對 事 物 的 複 雜 性 有 合 理 的 期 望 等 要 注 意 的 是, 推 理 與 證 明 不 是 可 以 在 一 個 數 學 單 元 中 被 教 導 的, 為 什 麼 學 童 覺 得 證 明 很 困 難, 是 因 為 證 明 需 要 嚴 謹 的 邏 輯 演 繹 過 程, 但 若 是 學 童 覺 得 證 明 很 困 難, 那 有 可 能 是 因 為 他 們 只 有 在 高 中 階 段 才 有 證 明 的 經 驗 34 (Moore, 994) 所 以, 推 理 與 證 明 應 該 在 幼 稚 園 到 高 中 時, 被 視 為 是 一 種 長 期 養 成 的 習 慣, 在 很 多 的 數 學 單 元 中, 都 應 該 持 續 的 進 行 推 理 的 訓 練 (NCTM, 2000: p56) NCTM(2000) 提 到, 推 理 與 證 明 要 能 使 十 二 年 一 貫 的 學 童 有 以 下 四 個 面 向 的 學 習 方 向 從 幼 兒 階 段 學 習 數 學, 要 讓 他 們 覺 得 對 事 情 堅 持 是 要 有 理 由 的 教 師 在 數 學 課 堂 中 要 對 孩 子 進 行 提 問, 例 如 為 什 麼 你 覺 得 這 是 對 的? 為 什 你 覺 得 這 個 答 案 是 不 一 樣 的? 你 為 什 麼 會 這 樣 想? 你 是 怎 麼 知 道 的? 像 這 些 問 題, 他 們 都 應 該 要 學 習 去 接 受 一 個 合 理 的 理 由, 並 且 能 同 意 或 是 不 同 意 同 學 的 說 法, 而 不 是 我 聽 同 學 說 的 我 聽 媽 媽 說 的 例 如 :

51 有一個題目是 寫出你的年齡 5 將結果 2 再 0 再 5 告訴我答案 我就會告訴你答案是多少 如果你將答案 0再 0就 會是答案 為什麼是這樣 學童要能解釋這個題目的理由 到底是為什 麼 NCTM, 2000: p57 各年級的學童應該要有系統性的推理能力 以台灣一至九年級的學童 為例 一年級應要能有跳數的能力 二年級要有奇偶數的推理能力 三年 級應要能有四則運算的估算與數字拆解能力 四年級要有四邊形特徵的邏 輯能力 五年級要有因數與倍數關係的推算能力 六年級應有怎樣解題類 型的歸納能力 七年級對於代數的關係式與圖形要有清楚的對應 八年級 對於畢氏定理的證明與演繹的方向能有清楚的想法 九年級對於相似形的 比例問題能有深入的了解等 二 產生與探索數學的推測能力 在演算數學的過程中 會要求學童推測 以進行更深入的發現 而學 師在學童發現的過程中 應藉由問題來強化學童進行推測 例如你看到什 麼 你發現有什麼特性 你覺得下一個變化是什麼 等等 一個六面的骰子 每一點出現的機率會是多少 如果兩個六面的骰子一塊 擲出 每一點出現的機率會會是多少 每一點出現的機率會一樣嗎 學童 或許會推測每個點數的機率是一樣的 但是當他們真正擲了00次所出現點 數的機會後 就知道推測的答案可能需要修正 所以 在小學階段 學童 可能需要具體操作計算機或是其它的教具來模擬 以探究他們的推測是否 正確 隨著年級的增高 運用抽象數學符號的機會也相對增加 學童也需要 學習與他人合作解題的能力 對其他同學所提出的推測想法 進行分享與 溝通與連結 教師也要能協助學童對數學問題進行推測 例如教師提問學童說擲出 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 童在推測的過程中 是發現數學特性的主要方法 NCTM, 2000: p57 教 35

52 國小數學教材教法 質疑 才能具備更全面思考的推理能力 此時 教師扮演著重要的角色 以協助學童進行思考上的修正 例如在整數的概念中 數字越大代表越 大 但是在分數的課程中 分母越大代表數值越小 分母越小代表數值越 大 教師如何修正學童不同的思維能力 可能對分數的教學要更為具體 探究式教學 以進行釐清 三 發展與評鑑數學的論證與證明 學童對於任何在數學上的想法 均要能有證明的方法 如二年級在教 奇偶數時 學童問 0是偶數還是奇數 經過討論後 學童說 0是 偶數 教師說 你可以想出0是偶數的理由嗎 學童說 0應該是 在下排 因為偶數都在下面 所以 可以如下所示 是偶數 小學二年級的學童就懂得發現數字規律的證明 來證明0是 否為偶數 在三年級教學童單位分數時 使用分數板進行教學 讓學童發 現整體的等值分數 如 ?? 因為他們發 現2片 2 等於 3片 3 等於 所以可以歸納出40片 40 等於 00片 00 等 於 四年級 教旋轉角的概念時 請學童找出2 5時 分針與時針的角 度是多少 學童要能想出當分針轉5分時 時針轉多少角度的概念 大多 數學童可證明為82.5度 五年級 要求學童能找出分配律的所有題型 結 合律的所有題型等 當學童理解分配律與結合律的性質後 均能找出其規 律 六年級 要能理解時間 距離 速率三者間的關係 才能釐清正反比 的關係 要能繪出正反比的圖形 才能更有效率的學習 在國中小階段 學童要能解釋他們解題的歷程 要能以清楚的表達方 式 透過小組的討論 分享以凝聚共識 並能於全班公開發表結論 因為

53 言語上的溝通論證 比用書寫的證明更為重要 NCTM, 2000: P58 四 選擇與使用不同類型的推理與證明方法 在數學中的推理 包括了幾何推理 代數推理 統計推理 比例推 理 機率推理 邏輯推理等等 教師要能協助學童來修正推理或證明的過 程 要能夠用數學語言來進行溝通 例如在 九九乘法表 中 學童可能 對5 7的算式會使用 的方式來進行拆解 以獲得正確的結果 或是當他們知道5 7的答案時 運用乘法交換律就會知道7 5的答案 這 些策略有可能是被教師所教授的 或是由學童自行產生的推理策略 推理的種類 可分為直覺性型考 歸納型思考與演繹型思考等 Baroody & Coslick, 998: p2-23 直覺型思考與歸納型思考都是在運用 猜測的方式進行推理 而演繹型思考則是運用之前的特性 來進行應用 例如 在生活中應用直覺型思考的想法 如小明認為通常藝術家都是天秤 座 因為他們都具備創作的本性 歸納型思考的想法 如小華看過的另類 繹型思考的想法 如小華所看到另類舞蹈的呈現 都是組合語言舞團的傑 作 所以今天晚上的另類舞蹈 應該也是組合語言的作品 活動一 你可以找出哪三個數字不見了 溝通與連結 以上三種推理思考在數學上的應用 可列舉如下各活動 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 舞蹈都是組合語言舞團所編的 所以組合語言跳的都是另類的舞蹈 而演 37

54 國小數學教材教法 你如何找出這三個數字. 你發現哪些數字不見了 是運用了哪一類型的思考模式 2. 當你找出了一個線索 是運用了哪一類型的思考模式 3. 當你要確定這三個數的位置 是運用了哪一類型的思考模式 探究式教學 活動二 教師的圖形是什麼 教師在釘板上使用橡皮筋圍出一個四邊形 如 梯形 要求全班 每一組學童輪流問一個問題 例如圖形是不是有一個直角 教師只能 回答是與不是 學童要能聆聽其他組同學的問題 來決定下一個問題 是什麼 直到將梯形的形狀猜出來 根據NCTM 989 課程標準 要協助學童發現數字的特性 來發 展邏輯性的思考與判斷 如何透過數學遊戲與活動的方式 來促進學 童這一方面的能力 就顯得相當重要 38

55 活動三 阿本 阿山 阿德排成一列的問題 Baroody & Coslick, 998: p2-25 阿本 阿山 阿德排成一列 阿本一定說真話 阿山有時說假話 阿德一定說假話 您能分出誰是誰嗎 在中間的 是阿本 我是阿山 在中間的 是阿德 39 活動四 你可以找出下列的法則嗎 2. -, - 0, 0, 2, 32 3, x 3. 請決定下列哪一項是絕對正確的 (2) 四邊等長的一定是正方形 (3) 如果出現圖形的四個邊是不等長的 那一定不是正方形 (4) 如果出現不是正方形 四個邊一定不等長 活動五 檢視反例. 檢視反例 如果下列的解釋不對 請將之訂正 () 四個連續整數相加 就是偶數 (2) 兩個連續整數相乘 便是偶數 溝通與連結 () 如果出現的是正方形 一定是四邊等長 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明.

56 40 (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2. () (2) (3) (4) 3. AB () AB (2) AB

57 活動七 我們這樣使大腦發達 農夫 愛吃醋的丈夫 介紹兩則古代有名的故事 據說東洋 日本 在西曆紀元以前即已存在 而西洋史只能追 溯到8世紀的阿羅汗時期 不過古代的傳說 在世界各地都一直流傳 著 到了6世紀 義大利數學家塔努塔里將第二則故事作了改編. 一個農夫帶著一匹狼 一頭山羊和一顆白菜想渡過河去 可是 船很小 除了他之外 每次只能帶狼 山羊 白菜的其中之一 才能渡過去 如果他不在旁邊的話 狼就會吃掉山羊 如果山 羊和白菜的話 它就會吃掉白菜 農夫要想把它們全部都運到 對岸去 而又絲毫不用擔心的話 該怎麼辦呢 2. 三個愛吃醋的丈夫 各自帶了妻子來過河 可是渡船只有一 艘 而且只能同時載兩個人 請問他們如何才能渡過河去 他們制訂了如下協議 不管是河邊還是對岸 丈夫不在身邊時 妻 子不能和其他男人在船上 而且丈夫不在身邊時 妻子即使和另外兩 個男人在一起也不行 那麼 他們想出了什麼方法呢 盪 修正 討論 以獲得更好的結果 溝通的歷程能讓想法更有意義 能 促進學童個別的想法在公開場合接受質疑 或是學童能經由溝通的方式來 思考進行數學的推理 並能與其他同學進行口頭與書面上的溝通 使他們 的想法將更為清晰與具備說服力 Hatano and Inagaki, 99 傾聽亦是一種能力 學童經由專注的傾聽能獲得別人的想法 來建構 出自己的理解方式 溝通的功能主要在於 從不同的觀點來協助學童 使 他們的想法更為完整 且能做出連結 以涉略數學不同的深度與廣度 溝通與連結 溝通是一種分享與釐清了解的歷程 透過溝通的歷程 學童能相互激 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 參 溝通 4

58 學 童 進 行 討 論 的 主 要 目 的, 在 於 形 成 共 識 的 過 程, 而 共 識 就 是 要 能 從 每 位 同 學 不 同 的 想 法, 來 產 生 一 致 性 的 想 法 與 做 法 形 成 共 識 是 不 容 易 的, 同 組 每 一 位 同 學 都 可 能 出 現 不 一 樣 的 答 案, 但 是 教 師 要 求 每 組 只 能 有 一 個 答 案, 這 時 全 組 就 必 須 形 成 共 識, 以 確 定 答 案 的 產 生 是 合 理 的 然 而, 若 是 使 用 講 述 法 的 方 式, 學 童 沒 有 討 論 的 空 間, 也 無 法 讓 數 學 的 想 法 經 過 分 享 的 機 制 來 進 行 對 個 人 想 法 的 修 正 所 以,NCTM(2000) 指 出, 溝 通 的 標 準 在 教 學 活 動 上, 要 能 有 以 下 的 教 學 效 能 : 運 用 各 種 形 式 溝 通 溝 通 可 以 運 用 各 種 形 式, 如 圖 像 使 用 教 具 數 學 符 號 或 是 口 頭 說 明 42 等 方 式 來 進 行 重 要 的 是, 透 過 溝 通 等 模 式 可 減 少 學 童 對 於 迷 思 概 念 的 錯 誤 再 者, 溝 通 可 以 讓 學 童 協 助 需 要 的 同 學, 形 成 學 習 的 社 群, 讓 教 師 與 同 學 共 同 分 擔 教 與 學 的 責 任 (Silver, Kilpatrick, and Schlesinger, 990) 思 考 與 溝 通 是 交 互 作 用 的 歷 程 很 多 時 候, 學 童 表 示 知 道 怎 麼 做, 可 是 不 會 用 說 的, 那 表 示 他 們 的 思 路 還 不 夠 清 晰, 若 要 學 童 能 會 用 說 的, 就 需 要 經 過 再 思 考 的 歷 程 在 低 年 級 階 段, 教 授 湊 十 的 組 合 方 法 時, 要 求 學 童 能 用 各 種 方 法 找 出 與 橘 色 積 木 一 樣 長 的 方 法, 一 般 學 童 可 以 找 出 20 種 不 同 的 方 式, 例 如 用 5 個 紅 色 積 木, 個 紅 色 積 木 是 2, 也 可 以 用 3 個 淺 綠 色 積 木 和 個 白 色 積 木 等 孩 子 在 私 下 可 以 很 容 易 說 出 他 們 所 找 出 的 答 案, 但 是 若 要 學 童 上 台 發 表, 他 們 就 會 說 不 出 來, 一 是 膽 却 ; 二 是 可 能 在 台 上 怕 同 學 找 出 錯 誤 的 答 案 但 是, 上 台 發 表 是 一 個 重 要 的 過 程, 是 需 要 勇 氣, 也 需 要 訓 練, 教 師 應 要 從 低 年 級 就 能 訓 練 學 童 的 發 表 能 力

59 當 學 童 在 排 出 20 種 湊 十 的 方 法 後, 學 童 要 能 將 這 個 結 果 記 錄 下 來, 不 論 是 記 在 他 們 常 用 的 數 學 簿 上, 或 是 記 在 他 們 的 學 習 單 上 這 個 記 錄 的 過 程 很 重 要, 因 為 記 錄 也 是 一 個 溝 通 的 歷 程, 他 們 可 以 透 過 記 錄 來 發 現 他 們 找 出 的 重 要 結 果, 再 加 以 檢 視 是 否 合 理, 且 這 樣 書 寫 的 過 程, 能 促 使 學 童 使 用 正 式 的 數 學 語 言 來 溝 通, 在 未 來, 他 們 也 可 以 用 這 樣 的 記 錄 方 式, 來 進 行 後 續 的 活 動, 如 湊 二 十 的 方 法 等 發 表 的 過 程 是 公 開 化 的 重 要 階 段 學 童 在 私 下 解 題 時, 或 許 不 曉 得 要 如 何 解 決, 但 是 透 過 公 開 的 發 表, 同 學 可 以 很 容 易 分 享 到 別 人 的 解 題 策 略, 進 而 了 解 公 開 化 是 一 個 結 果 的 發 表, 發 表 的 同 學 在 上 台 前, 需 要 先 確 定 他 們 的 想 法 是 否 可 行, 有 些 同 學 往 往 在 發 表 後, 經 由 其 他 同 學 的 提 醒, 才 發 現 他 們 的 邏 輯 有 問 題, 再 進 行 43 修 正 所 以, 透 過 公 開 發 表 的 機 會, 可 以 給 學 童 再 反 思 的 機 會, 也 可 以 給 教 師 重 新 檢 視 的 機 會 (Lampert, 990), 經 由 不 斷 的 發 表 與 反 思, 學 童 的 思 考 會 更 加 精 鍊 要 能 促 進 孩 子 的 思 考 與 發 表 的 空 間 教 師 要 能 給 學 童 一 個 自 由 發 想 的 環 境, 來 促 進 孩 子 的 思 考 國 小 低 年 級 學 童 可 由 教 師 的 協 助 來 進 行 討 論 與 發 表 的 過 程, 這 些 活 動 甚 至 可 以 在 一 年 級 或 二 年 級 的 課 堂 就 開 始 進 行 了 若 學 童 在 國 小 低 年 級 已 經 有 討 論 的 慣 性, 那 國 小 中 年 級 階 段 的 討 論, 可 以 進 入 到 較 深 的 主 題, 例 如 可 以 分 組 測 量 學 校 跑 道 的 長 度, 再 進 行 發 表 ; 到 國 小 高 年 級 時, 可 以 製 做 學 校 的 縮 圖, 以 分 組 解 決 生 活 上 的 問 題 但 是, 若 在 國 小 中 年 級 才 開 始 進 行 分 組 討

60 國小數學教材教法 論的課程模式 可能會較為困難 不過如能在教師的努力引導下 還是可 以完成 若是到了國小高年級才開始進行分組討論的課程模式 因學童獨 自解題的慣性已經形成後 要讓學童改變進行分組方式 對教師而言是項 挑戰 探究式教學 書寫的溝通技巧 對於國小低年級學童而言 因為字彙的關係 還沒有很多的經驗 所 以可能需要用畫圖的方式來進行溝通 但當語文字彙增加時 用書寫的文 字會更加完整 在國小中年級時 學童在書寫時 會更為成熟 學童可能 仍會使用一般性的語言來描述數學的概念 例如使用尖尖的表示角 至高 年級時 學童可以使用更加完整的數學語言 進行溝通 到了國中或是高 中時 學童使用的語言將更為數學化 不論是那一階段的數學語言 教師 的引導與協助 都是非常重要的 44 三 能分析與評判他人的數學思考與策略是否 合理 在進行解題的過程中 有些學童會有較快的領悟能力 而有些學童可 能還不了解題目的意義 但經由分享與討論的過程 學童能很快的清楚解 題的方向 並能與同學討論 分享他們解題的歷程 進而發現是否合理 在三年級的課程中 我嘗試讓學童解一個題目 一隻工蟻長0.3公分 蚱蜢長3公分 工蟻和蚱蜢排成一排 共長5 公分 請問有幾隻蚱蜢和工蟻 在這解題的過程中 要讓學童了解其他學童的解題想法 其實是相當 困難的 因為學童的解釋可能無法讓其他同學理解 在解題的過程中 重 點應放在解題的策略與討論的歷程 有些策略是合理的 有些策略是不合

61 理的 例如學童認為有5隻蚱蜢 沒有工蟻 合不合理 學童要能從這些策 略中 篩選與判斷答案的合理性 進而形成全組的共識 四 能準確使用數學的語言與表現數學思考 學童在國小低年級時 很容易使用一般的語言來描述數學的語言 例 如和與分 即代表加與減 用積木的橘色代表0 白色代表 0 就 是橘色加白色 這些都是很常見的一般語言 但在國小中年級時 數學的 正式單位語言漸漸增加 例如分數 除法與單位的量詞 以單位來看 三 年級學童需要理解公分 公尺與公釐的關係 需要理解公升 分公升與毫 公升的不同 這些正式的數學語言 會讓學童混淆 產生很多的錯誤 所 以 在介紹這些正式的數學語言時 教師應讓學童去體驗00公尺有多長 00公分與00公釐在生活上的使用為何 再介紹這些單位的不同 當數學 的學習成為有意義的情況下 學童發生錯誤的情況就會降低了 在學童進行正式數學概念的課程時 教師要避免在教學的進度上不能 先讓學童描述這個正方體的角是什麼 為什麼我們稱它為角 邊長與頂點 也應先讓學童了解其意義為何 再進行角 邊與頂點的活動 最好是能讓 肆 連結 學童要能連結數學至生活上的經驗 如此對數學的了解才會更為深 入 作者在與三年級的教師進行教學時 學童會做四位數與三位數的減法 計算 但是在使用錢幣時 學童就不會了 例如小山用,000元要買235元 的模型車 請同學當老闆 應該要找回給小山幾元呢 很多學童都不會找 溝通與連結 學童進行操作 讓學童對於這些概念有清楚的了解 chapter 2 數學學習的探究歷程 解題 推理與證明 太快 否則可能會造成學童學習的挫折 例如介紹角 邊長與頂點時 應 45

62 錢, 這 種 情 形 就 說 明 了 學 童 只 會 做 學 校 的 數 學 題, 但 是 不 會 將 其 計 算 情 境 應 用 至 生 活 中 在 教 育 部 (2009) 提 到, 教 學 應 該 要 能 重 視 數 學 觀 念 的 連 結, 不 是 只 有 學 數 學, 而 是 要 能 學 習 如 何 使 用 這 些 數 學 知 識 要 讓 數 學 與 生 活 連 結, 教 師 並 非 只 有 教 授 課 本 上 的 知 識, 更 要 能 進 行 實 際 的 實 作, 例 如 當 學 童 對 於 公 尺 的 概 念 很 模 糊 時, 除 了 在 三 年 級 教 授 公 分 公 尺 與 毫 米 的 換 算, 更 要 營 造 出 學 童 在 學 習 公 分 公 尺 與 毫 米 的 需 求 教 師 可 以 提 問 學 童, 教 室 要 用 什 麼 樣 的 單 位 來 測 量? 原 子 筆 呢? 課 本 的 厚 度 呢? 等 等, 找 出 學 童 使 用 這 些 單 位 的 需 求, 才 能 引 起 學 童 的 學 習 動 機, 也 才 能 促 進 學 童 對 長 度 的 深 層 思 考 以 下, 依 NCTM(2000) 所 提 有 關 連 結 的 面 向, 分 別 論 述 教 師 要 在 課 堂 中 協 助 學 童 解 決 數 學 問 題, 同 時 也 要 建 立 連 結 的 態 度 46 ( 教 育 部,2009;NCTM, 2000) 教 師 不 應 將 數 學 知 識, 只 視 為 是 一 些 零 散 的 知 識 概 念 與 技 巧, 例 如 當 學 童 看 到 雙 數 的 地 址 號 碼 時, 要 能 運 用 的 數 字 跳 數 特 性 連 結 的 方 向 可 分 為 三 種 :. 將 生 活 與 數 學 連 結 的 觀 念 應 要 存 在 於 所 有 的 年 級 中 : 於 量 的 概 念 來 看, 二 年 級 的 學 童 在 生 活 中 能 應 用 乘 法 的 概 念, 如 日 曆, 可 發 現 是 以 七 跳 數 的 策 略 ; 三 年 級 時, 在 容 量 單 元, 如 瓶 養 樂 多, 應 該 認 知 到 為 00 毫 升 ; 在 四 年 級 時, 對 跑 道 的 長 度, 應 有 大 約 是 200 公 尺 長 的 距 離 等 ; 在 五 年 級 時, 對 於 大 單 位, 如 公 秉 的 概 念, 應 要 與 水 的 度 數 連 結, 並 能 了 解 大 概 度 水 是 000 公 升 的 概 念 ; 在 六 年 級 時, 討 論 有 關 時 間 距 離 與 速 率 的 關 係 時, 應 要 能 與 生 活 上 的 交 通 工 具, 如 高 鐵 台 鐵 等 概 念 連 結, 才 會 有 更 清 楚 的 應 用 關 係 2. 除 了 生 活 上 的 連 結 外, 學 童 應 要 能 理 解 數 學 概 念 間 的 連 結 : 例 如 在

63 四 年 級 時, 學 童 應 要 能 了 解 之 前 所 學 習 的 乘 法 與 加 法 除 法 與 乘 法 加 法 與 減 法 減 法 與 除 法 等 的 關 係 3. 學 童 要 能 將 數 學 應 用 於 其 它 學 科 : 例 如 在 自 然 科 中, 學 童 能 將 數 學 在 比 例 上 所 學 的 概 念, 應 用 至 攝 氏 與 華 氏 的 轉 換 公 式 上 在 NCTM(2000) 的 概 念 中, 更 將 連 結 的 能 力 分 為 四 階 段 : : 幼 稚 園 中 班 到 二 年 級 時, 學 童 要 能 發 現 數 字 的 規 律, 如 一 星 期 有 七 天 等 : 三 到 五 年 級 時, 學 童 要 能 發 現 四 則 運 算 的 相 互 關 係 等 : 六 到 八 年 級 時, 學 童 要 能 發 現 有 理 數 與 無 理 數 的 特 性, 並 能 理 解 線 性 的 關 係 : 九 到 十 二 年 級 時, 學 童 要 能 從 所 學 的 一 個 概 念, 應 用 至 其 它 不 同 的 數 學 概 念 連 結 的 意 義 在 學 童 的 學 習 上, 即 要 與 之 前 的 學 習 經 驗 結 合, 當 學 童 在 47 應 用 小 數 的 乘 法 時, 可 能 就 要 連 結 到 之 前 學 習 整 數 的 乘 法 ; 再 者, 學 童 在 進 行 異 分 母 的 加 減 法 時, 就 要 連 結 到 之 前 的 最 小 公 倍 數, 在 通 分 後, 才 能 進 行 加 減 法 運 算 在 比 例 上, 當 學 童 在 進 行 尋 找 圓 周 率 的 時 候, 可 以 使 用 各 種 圓 形 的 容 器, 如 奶 粉 罐 寶 特 瓶 量 杯 輪 胎 免 洗 餐 盤 等, 使 用 平 均 值 求 得 圓 周 率 的 比 值, 來 估 計 直 徑 與 圓 周 長 的 比 率 學 童 在 不 同 的 年 級 階 段, 在 同 一 數 學 概 念 的 架 構 下, 會 有 不 同 的 學 習 概 念, 例 如 在 公 分 的 概 念 上, 學 童 在 一 年 級 時 認 識 長 短, 二 年 級 時 認 識 公 分, 三 年 級 時 認 識 平 方 公 分, 四 年 級 時 認 識 四 邊 形, 五 年 級 時 認 識 立 方 公 分 等 體 積 概 念, 即 是 將 量 的 概 念 進 行 整 體 的 了 解 ; 再 者, 在 數 的 概 念 上,

64 學 童 在 一 年 級 對 整 數 的 加 減 要 能 有 大 概 的 了 解, 在 二 年 級 時 要 能 對 乘 法 有 所 了 解, 在 三 年 級 時 能 認 識 除 法, 四 年 級 時 能 運 用 括 號 進 行 二 步 驟 的 四 則 混 合 運 算, 五 年 級 能 了 解 分 數 與 小 數 的 觀 念, 六 年 級 則 能 對 分 數 與 小 數 進 行 四 則 混 合 運 算 等 若 是 學 童 在 某 個 年 級 的 概 念 沒 有 建 立 整 體 觀, 即 會 對 之 後 的 數 學 學 習 產 生 斷 層 雖 然 不 同 年 級 會 有 不 同 延 伸 的 概 念, 但 當 學 童 能 對 不 同 年 級 所 學 的 概 念 產 生 連 結, 就 不 會 覺 得 數 學 是 零 碎 的 知 識 所 以, 將 數 學 的 概 念 和 步 驟 進 行 整 合, 是 教 學 的 核 心 在 國 中 小 學 校 的 數 學 學 習, 要 能 解 決 在 課 本 之 外 的 數 學 問 題, 這 與 如 何 應 用 數 學 課 程 至 其 它 科 目 一 樣 的 重 要 NCTM(2000) 提 到, 有 關 幼 兒 到 二 年 級 的 課 程 要 能 與 生 活 密 切 相 關, 在 三 至 五 年 級 學 童 要 能 應 用 數 學 知 48 識 到 其 它 的 科 目, 而 在 更 高 年 級 時, 學 童 要 能 更 有 自 信 的 應 用 數 學 知 識, 來 解 決 更 為 複 雜 的 生 活 問 題 應 用 一 個 生 活 的 情 境, 來 讓 學 童 有 機 會 來 學 習 數 學, 是 相 當 重 要 的 數 學 可 以 應 用 在 商 學 醫 學 科 學 與 人 文 科 學 領 域, 要 將 數 學 應 用 至 其 它 領 域 並 非 只 是 在 學 科 的 內 涵 進 行, 而 是 要 在 學 科 的 歷 程 進 行 轉 化, 也 就 是 應 用 數 學 的 知 識 來 解 決 科 學 的 問 題 等, 例 如 在 進 行 攝 氏 與 華 氏 的 溫 度 轉 換 時, 應 要 運 用 數 學 的 比 例 概 念, 來 找 出 轉 換 公 式 的 關 係 式 等

65 教 育 部 (2009) 國 民 中 小 學 九 年 一 貫 課 程 綱 要 數 學 學 習 領 域 台 北 市 : 教 育 部 教 育 部 (993) 國 民 小 學 數 學 課 程 標 準 台 北 市 : 教 育 部 Baroody, A. J., & Coslick, R. T. (998). Fostering children ' s mathematics power: An investigative approach to K-8 Mathematics Instruction. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Bransford, J. D., Brown, A. L., & Cocking, R. R. (999). How People Learn: Brain, Mind, Experience, and School. Washington, D.C.: National Academy Press. Garofalo, J., & Lester, F. K. (985). Metacognition, Cognitive Monitoring, and Mathematical Performance. Journal for Research in Mathematics Education 6, Hatano, G., & Inagaki, K. (99). Sharing Cognition through Collective Comprehension Activity. In L. B. Resnick, J. M. Levine, J. M. & S. D. Teasley (Ed.), Perspectives on Socially Shared Cognition, pp Washington, D.C.: American Psychological Association. 49 Kilpatrick, J. (985). A restrospective account of the past twenty-five years of research on teaching mathematical problem solving. In E. A. Silver (Ed.), Teaching and learning mathematical problem solving (pp-5). Hillsdale, NJ: Erlbaum. Lampert, M. (990). When the Problem Is Not the Question and the Solution Is Not the Answer: Mathematical Knowing and Teaching. American Educational Research Journal, 27 (), National Council of Teachers of Mathematics (989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, Va.: NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (99). Professional Standards for Teaching Mathematics. Reston, Va.: NCTM. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principle and Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM. Ohanian, S. (992). Garbage pizza, patchwork quilts, and math magic: Stories about teacher' s who love to teach and children who love to learn. New York: W. H. Freeman

66 and Co. Polya, G. (973). How to solve it: A new aspect of mathematical method. Princeton, NJ: Princeton University Press. Schoenfeld, A. H. (987). What ' s All the Fuss about Metacognition? In Schoenfeld: In Cognitive Science and Mathematics Education, pp Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates. Silver, E. A., Kilpatrick, J., & Schlesinger, B. G. (990). Thinking through Mathematics: Fostering Inquiry and Communication in Mathematics Classrooms. New York: College Entrance Examination Board. 50

67 Chapter 3 基 礎 的 數 學 學 習 : 早 期 的 數 字 概 念 與 數 數 數 數 是 學 童 在 學 齡 前 就 已 具 備 的 能 力, 從 唱 數 到 使 用 具 體 物 進 行 一 對 一 的 數 算 是 不 一 樣 的 在 3 歲 時, 學 童 就 應 要 能 具 備 數 字 3 至 5 以 內 的 對 應 能 力,4 歲 就 應 要 有 到 0 的 數 算 能 力, 在 5 歲 時 就 應 要 能 具 備 20 以 內 的 數 算 能 力 學 童 的 數 數 策 略 是 自 行 發 展 出 來 的, 但 我 們 常 看 到 很 多 家 長 為 了 怕 孩 子 挫 敗, 而 主 動 教 孩 子 數 數 的 方 法, 這 非 但 沒 有 幫 到 忙, 可 能 還 因 此 阻 礙 了 學 童 在 數 數 策 略 的 發 展 我 常 問 教 師 : 數 數 難 不 難? 為 什 麼 要 數 數? 學 童 不 會 數 數 會 有 什 麼 關 係? 教 師 們 回 答 : 因 為 課 程 要 求 學 童 要 數 數, 所 以 我 們 要 教 這 個 答 案 並 沒 有 真 正 的 回 答 學 童 在 數 數 的 重 要 性 數 數 的 重 要 性, 不 是 只 為 了 課 程 標 準 的 實 踐, 是 因 為 數 數 是 為 了 要 找 出 一 群 物 體 的 數 量, 有 些 學 童 為 了 避 免 重 複 數 算, 所 以 只 要 數 過 的 就 會 用 畫 記 的 方 法 ; 有 些 為 了 更 有 效 率 的 數 算, 而 發 展 出 了 兩 個 一 數 的 策 略, 這 些 數 數 的 策 略, 就 是 為 了 要 分 析 數 量 有 多 少 所 以, 數 數 是 一 種 能 力, 是 一 種 策 略 的 發 展, 更 是 對 於 兩 堆 數 量 的 分 與 和, 即 加 與 減 的 重 要 基 礎 而 學 童 的 數 數 能 力, 對 於 在 整 數 的 四 則 運 算 上, 會 是 重 要 的 關 鍵 學 童 在 數 數 的 階 段, 是 用 手 指 點 數 的 方 法 學 童 習 慣 用 手 指 來 做 加 法 和 減 法 運 算, 為 什 麼? 因 為 手 指 是 他 們 最 直 接 可 以 使 用 的 具 體 物, 他 們 需 要 手 指 來 熟 悉 這 些 運 算, 因 為 運 算 本 身 是 抽 象 的, 他 們 需 要 從 具 體 操 作 來 建 立 抽 象 的 運 算 概 念 有 些 教 師 會 不 讓 學 童 使 用 手 指 進 行 運 算, 覺 得 這 是 低 階 的 計 算 方 法 ; 相 對 的, 這 些 學 童 若 是 沒 有 其 他 的 具 體 物 來 替 代, 則 會 有 計 算 的 錯 誤 ; 更 嚴 重 的 是, 在 心 理 上, 對 數 學 學 習 會 產 生 恐 懼, 會 沒 有 自 信 教 師 需 要 的 是, 當 學 童 在 用 手 指 進 行 數 算 時, 應 對 這 些 學 童 仔 細 的

68 觀 察, 發 現 這 些 學 童 的 需 要, 並 可 提 供 更 為 具 體 的 教 具 進 行 操 作, 以 協 助 他 們 對 於 進 位 或 退 位 的 觀 念 數 字 是 一 種 複 雜 且 多 面 向 的 概 念, 有 意 義 的 數 數 活 動, 在 學 齡 前 即 可 開 始, 一 般 而 言, 幼 稚 園 中 班 的 幼 兒, 對 數 數 即 有 相 當 的 理 解 數 數 的 順 序 雖 是 機 械 性 的, 但 數 數 的 意 義 是 所 有 其 他 數 字 觀 念 的 關 鍵 概 念 數 數 技 巧 包 括 兩 種 : 首 先, 學 童 必 須 能 依 順 序 說 出 標 準 的 數 詞 ; 其 次 能 連 結 其 順 序, 一 個 接 一 個 的 點 數, 一 次 只 數 一 個, 而 且 只 有 一 數 能 夠 數 數 與 知 道 數 數 所 指 為 何 是 有 差 別 的, 數 數 時, 最 末 一 數 便 是 這 一 組 基 數 的 名 稱, 大 約 4 歲 半 的 幼 兒 才 具 有 基 數 原 則 的 能 力 數 數 在 國 小 階 段 所 要 達 到 的 教 學 目 標, 總 括 的 說 就 是 指 能 進 行 數 的 52 說 讀 聽 寫 做 等 數 字 的 書 寫 與 辨 認,Baroody(987) 認 為 書 寫 練 習 需 要 時, 將 可 節 省 許 多 時 間, 用 以 討 論 各 個 數 字 的 特 徵 以 及 畫 出 數 字 的 筆 劃 另 外, 應 該 提 供 學 童 向 前 數 與 往 後 數 的 經 驗, 因 為 對 多 數 兒 童 而 言, 這 是 困 難 的 技 巧, 尤 其 倒 數 首 先, 讓 學 童 在 數 數 活 動 中, 能 數 出 一 堆 計 數 物 的 個 數, 然 後 蓋 住 一 部 分, 要 求 學 童 說 出 蓋 住 的 個 數 此 活 動, 另 可 做 為 合 成 與 分 解 的 前 置 經 驗 最 後, 要 加 強 學 童 理 解 數 字 間 的 關 係, 並 查 覺 樣 式, 經 過 系 統 性 的 探 索 活 動, 學 童 的 學 習 才 具 有 拓 展 性 研 究 顯 示, 學 童 都 有 數 數 的 能 力, 同 時 也 包 含 背 誦 理 解 有 多 少 或 哪

69 一 個 的 概 念 Piaget(965) 曾 說, 數 字 是 藏 在 物 體 中 而 非 顯 露 在 外, 是 一 種 人 類 心 靈 的 建 構 每 個 學 童 都 必 須 發 展 自 己 對 數 字 的 了 解, 包 括 數 字 的 連 續 性 數 數 的 原 則 數 數 的 階 段 等 教 師 應 仔 細 觀 察 學 童 數 數 的 發 展 過 程, 並 注 意 以 下 事 項 :. 觀 察 學 童 計 算 情 形, 確 定 他 們 數 字 連 結 的 情 形 2. 協 助 學 童 使 用 數 數 原 則 3. 給 予 學 童 類 似 隱 藏 的 挑 戰 性 問 題 4. 協 助 學 童 藉 由 數 數 的 組 織 性 活 動, 拓 展 數 數 能 力 5. 協 助 學 童 發 展 數 數 能 力, 以 及 小 目 標 群 體 數 字 (0-6) 的 即 時 認 知 6. 提 供 學 童 往 前 數 與 倒 數 的 學 習 經 驗 7. 提 供 有 意 義 的 學 習 環 境 53 依 Baroody 與 Coslick(998) 的 分 類, 數 字 有 基 數 測 量 順 序 及 名 義 上 等 四 種 不 同 的 意 義, 分 別 如 下 論 述 數 字 可 以 視 為 一 整 體 量 的 概 念, 可 以 用 來 描 述 一 堆 東 西 有 多 少 在 一 般 的 概 念, 例 如 3 顆 蘋 果 3 位 同 學 3 條 土 司 等, 都 可 以 被 歸 類 為 3 3 是 整 體 的 概 念, 不 同 於 第 三 個 順 序 的 意 義 有 些 數 字 是 需 要 測 量 才 有 其 意 義, 例 如 有 些 數 字 為 分 離 量 的 特 性 ( 如 : 人 球 筆 等 個 別 的 物 品 ), 可 以 使 用 數 數 的 方 式 來 得 到 數 量 然