投稿類別 : 數學類 篇名 : 二次函數的頂點軌跡 作者 : 簡佑霖 臺北市立永春高中 高一 3 班 詹茹萍 臺北市立永春高中 高一 3 班 林侑達 臺北市立永春高中 高一 3 班 指導老師 : 蔡春風老師
壹 前言 一 研究動機 在高一上的數學課中, 我們學到二次函數 y ax bx c 和它的圖形 那陣 子數學老師和跑班選修老師都用 GeoGebra 上課, 所以我們這群對數學有興趣的 人就一直嘗試用 GeoGebra 為二次函數設可改變的係數, 並畫出函數圖形 我們 調整 a b c 的值, 並觀察這時候 f( x ) 函數圖形的頂點會有什麼變化, 因而意 外發現其軌跡圖形的特殊性 二 研究目的 ( 一 ) 以參數 與常數 取代二次函數 方法求出函數的頂點坐標 y ax bx c 的某些項之係數, 並以配 ( 二 ) 以 GeoGebra 的數值滑桿功能改變數值, 並使用動畫功能跑出頂點軌跡, 推測其軌跡的圖形 ( 三 ) 設法證明或說明二次函數 y ax bx c 之頂點所形成的軌跡方程式 三 研究設備 筆電 紙 筆 GeoGebra Word 四 研究流程 ( 一 ) 確定題目並與老師共同討論 ( 二 ) 將二次函數 y ax bx c 中的 a b c 用一個 和兩個 代換, 得到三 個二次函數, 並推導頂點軌跡方程式 ( 三 ) 將二次函數 y ax bx c 中的 a b c 用兩個 和一個 代換, 得到三 個二次函數, 並推導頂點軌跡方程式 ( 四 ) 將二次函數 y ax bx c 中的 a b c 都用 代換, 得到一個二次函數, 並推導頂點軌跡方程式 ( 五 ) 將上述流程二 三 四的七個函數輸入於 GeoGebra 作圖觀察 ( 六 ) 改變 的數值滑桿, 觀察頂點移動軌跡及推測軌跡種類 ( 七 ) 證明並撰寫報告 五 名詞定義 ( 一 ) 參數 : 是一個實數變數, 在 GeoGebra( 以下簡稱 GGB) 中以數值滑桿
的形式控制 ( 二 ) 在函數 y ax bx c 中, 令 a b c, 定義 e( x) x x, 其圖形頂點為 E 令 a b c, 定義 令 a b c f ( x) x x, 其圖形頂點為 F, 定義 g( x) x x, 其圖形頂點為 G 令 a b c, 定義 h( x) x x, 其圖形頂點為 H 令 a b c, 定義 i( x) x x, 其圖形頂點為 I 令 a b c, 定義 j( x) x x, 其圖形頂點為 J 令 a b c, 定義 k( x) x x, 其圖形頂點為 K ( 三 ) 頂點軌跡 : 當 改變時, 上述頂點的移動軌跡 貳 正文 雖然我們在研究目的中的規劃是針對 ex ( ) 到 k( x ) 等 7 個函數全部配方找頂 點後, 再求頂點軌跡, 最後再用 GGB 驗證, 但接下來我們會分別針對這 7 個函 數撰寫, 方便讀者觀察並比較 因為老師建議我們先去了解什麼是二次曲線, 我們在開始研究之前, 先讀了 高二下數學課本的第 章, 也上網查了不少資料, 甚至請老師幫我們上圓錐曲線 的基本概念後才開始進行研究 以下先概略整理我們查到的資料 在平面坐標系中, 如果曲線上任意一點的 x y 坐標都是某個變數 的函數, 並且對於 的每一個允許的取值, 皆由方程式確定的點都在這條曲線上, 那麼這個方程式就叫做曲線的參數方程式 聯繫變數 x y 的變數 叫做參數 相對而言, 直接給出點坐標之間關係的方程式叫普通方程式, 也就是我們之前學的 y x 這種形式 在這篇研究中, 我們就是要利用參數方程去寫出所研究的七 個函數頂點的軌跡方程式 二次函數頂點的 x y 坐標會因為變數 的改變而改變, 所以我們把 當作參 數, 再去觀察頂點參數式的樣式, 跟老師討論後的結果, 我們認為所出現的參數 式形式可能有一元一次方程式 ax b 0 一元二次方程式 ax bx c 0 二元 一次方程式 ax by c 0 二元二次方程式 ax bxy cy dx ey f 0 上述形式中, 一元二次方程式與二元二次方程式都有所謂的判別式 在一元 二次方程式中, 有一判別式為 b ac, 當 0 時代表函數圖形在平面上交 x 軸於相異兩點, 當 0 時代表函數圖形在平面上切 x 軸於一點, 當 0 時代表函數圖形在平面上與 x 軸不相交 在二元二次方程式中, 判別式也是 b ac, 當 0 時代表圖形為雙曲線, 0 時代表圖形為拋物線, 0
時代表圖形為橢圓或圓 有了這些知識, 以下分別探討 7 個函數的頂點軌跡 一 e( x) x x 的頂點 E 之軌跡 將 e( x) x x 配方, 得 e x, 因此頂點為 ( ) ( x ) E(, ) 由 x 可得, 代入 y, 可得 : x x y 0 但 ( xy, ) (0,) () 上述 x y 0 的圖形在平面上為一直線, 但是參數 不能為 0, 否則會造 成分數無意義, 因此必須扣掉 (0,) 所以當 變動時, e( x) x x 的頂點軌跡為一直線扣除一點, 用 GGB 檢驗如下圖 圖 : y e( x) 的圖形與頂點 E 之移動軌跡 二 f ( x) x x 的頂點 F 之軌跡 將 f ( x) x x 配方, 得 f ( x) ( x ), 因此頂點為 F(, ) 由 x 可得 x, 代入 y, 可得 : y x () 上述 y x 的圖形在平面上為一開口向下的拋物線 值得一提的是, 我 3
們若將頂點 F 移動的軌跡經往上翻轉得到 y x, 再往左移 個單位得到 y ( x ), 最後再下移 y 個單位得到 y ( x ), 就能使得軌跡 方程式與最原始的 y f ( x) 函數圖形重疊, 這代表當 變動時, f ( x) x x 的頂點軌跡是一個與 y f ( x) 全等的拋物線, 用 GGB 檢驗如下圖 圖 : y f ( x) 的圖形與頂點 F 之移動軌跡 三 g( x) x x 的頂點 G 之軌跡 將 g( x) x x 配方, 得 g( x) ( x ), 因此頂點為 G(, ) 因為 x 為一定值, 而 y 則會隨著 值變動, 因此可得 : x (3) 上述 x 的圖形在平面上為一鉛直線, 這代表當 變動時, g( x) x x 的頂點軌跡為一鉛直線, 且此鉛直線恰為 y g( x) 圖形的對稱軸, 用 GGB 檢驗 如下圖 3
圖 3: y g( x) 的圖形與頂點 G 之移動軌跡 四 h( x) x x 的頂點 H 之軌跡 將 h( x) x x 配方, 得 h( x) ( x ), 因此頂點為 H (, ) 因為 x 為一定值, 而 y 則會隨著 值變動, 因此可得 : x () 上述 x 的圖形在平面上為一鉛直線, 這代表當 變動時, h( x) x x 的頂點軌跡為一鉛直線, 且此鉛直線恰為 y h( x) 圖形的對稱軸, 用 GGB 檢驗如下圖 5
圖 : y h( x) 的圖形與頂點 H 之移動軌跡 五 i( x) x x 的頂點 I 之軌跡 將 i( x) x x 配方, 得 i( x) ( x ), 因此頂點為 I(, ) 由 x 可得 x, 代入 y, 可得 : y x x (5) 上述 y x x 的圖形在平面上為一開口向下的拋物線 值得一提的是, 我們若比照 F 的做法, 將頂點 I 移動的軌跡經由適當的翻轉和旋轉, 就能得到和 y i( x) 函數重疊的圖形, 這代表當 變動時, i( x) x x 的頂點軌跡是一個與 y i( x) 全等的拋物線, 用 GGB 檢驗如下圖 5 圖 5: y i( x) 的圖形與頂點 I 之移動軌跡 六 j( x) x x 的頂點 J 之軌跡 將 j( x) x x 配方, 得, 因此頂點為 j( x) ( x ) J(, ), 其中 0 由 x 可得, 代入 y, 可得 : x x xy 0 (6) 6
根據二元二次方程式圖形的判別式, 上述 x xy 0 的圖形在平面上是 一個雙曲線 又因 x xy 0 x( x y), 因此這條雙曲線的兩漸近線為 x 0 與 x y 0 這代表當 變動時, j( x) x x 的頂點軌跡是一條雙曲線, 用 GGB 檢驗如下圖 6 圖 6: y j( x) 的圖形與頂點 J 之移動軌跡 七 k( x) x x 的頂點 K 之軌跡 將 k( x) x x 配方, 得 k( x) ( x ), 因此頂點為 K(, ) 因為 x 為一定值, 而 y 則會隨著 值變動, 因此可得 : x (7) 上述 k( x) x x x 的圖形在平面上為一鉛直線, 這代表當 變動時, 的頂點軌跡為一鉛直線, 且此鉛直線恰為 y k( x) 圖形的對稱軸, 用 GGB 檢驗如下圖 7 7
圖 7: y k( x) 的圖形與頂點 K 之移動軌跡 参 結語 一 討論 這篇研究還有一些問題尚未解決 我們仍然對於二次曲線瞭解的不夠透徹, 因為時間有限, 我們還是沒有很懂究竟為什麼文獻中寫的 b ac 會是二次曲線的判別式, 也不清楚它該如何證明 此外, 在函數 jx ( ) 中, 頂點軌跡為雙曲 線, 此雙曲線的漸近線跟 ex ( ) 頂點軌跡那條直線的斜率是一樣的, 這之間有關聯 嗎? 這是我們未來必須繼續深入研究的 我們也想過, 若再增加另一參數 p, 則當參數 p 同時改變時, 函數 y ax bx c 的頂點又會出現什麼軌跡呢? 新函數應該會長得像 y x px 這種形式, 而雙參數 p 的變動方式 ( 遞增 遞減 不變 ) 應該 也會影響頂點的軌跡, 這是我們可以努力的方向 二 結論 在這篇研究中, 我們以參數 與常數 取代二次函數 y ax bx c 的某些 項之係數, 並以配方法求出函數的頂點坐標 我們找出 變動時, 二次函數 y ax bx c 之頂點所形成的方程式與軌跡, 也用 GeoGebra 的數值滑桿與動畫功能驗證上述結果 我們發現, 當參數 改變時, 二次函數 ex ( ) 到 k( x ) 的頂點 移動軌跡只會有斜直線 鉛直線 拋物線以及雙曲線四種 肆 參考資料 8
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