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尔邓
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1 行为反应对复杂网络上传染病动力学的影响张海峰 1,2, 王阳阳 1, 汪秉宏 2 (1. 安徽大学数学与科学学院, 合肥 ) (2. 中国科学技术大学近代物理系, 合肥 ) 摘要 : 一旦某种流行病在人群中爆发开来, 必然会引起人们的不同行为反应, 如接种疫苗减少外出注意卫生等而这些行为方式的改变又会对疾病传播方式产生深远的影响之前人们对传染病动力学的研究很少考虑个体行为反应的影响基于此, 本文结合国内外的最新研究进展以及作者在此方面的工作重点介绍个体行为反应对传播动力学的影响, 尤其是对复杂网络上传染病动力学的影响最后我们提出这个方向一些值得深入研究的问题关键词 : 传播动力学 ; 个体行为反应 ; 复杂网络中图分类号 :N94 文献标识码 :A The Impacts of Behavioral Responses on the Spread of Infectious Diseases on Complex Networks Zhang Hai-feng 1,2, Wang Yang-yang 1, Wang Bing-hong 1 (1. School of Mathematical Science, Anhui University, Hefei , P. R. China; 2. Department of Modern Physics, University of Science and Technology of China, Hefei ,P. R. China) Abstract: Once an infectious disease outbreaks in human population, it would arouse human's behavioral responses, such as taking vaccination, reducing the times of outside, paying attention to sanitation and so on. And these changes in behaviors will have a profound impact on the dynamics of epidemic. The effects of the human behavioral responses are rarely considered in the dynamics of epidemic before. So to highlight the significant impacts of behavioral responses on the dynamics of epidemic, the latest researches and the author's recent work in this area are introduced in this paper, especially on the dynamics of infectious diseases on complex network. Finally, we put forward to some open issues which are worthy to be further investigated. Key words: dynamics of infectious diseases; individual behavioral response; complex networks 1 引言

2 传染病历来是人类健康的大敌, 历史上一些大规模爆发的流行病给人类生存和经济发展带来了巨大的灾难因此从某种意义上说, 人类的历史就是一部与各种疾病抗争的历史, 从早期的瘟疫鼠疫和黑死病到最近的非典型肺炎禽流感以及甲型 HIN1( 猪流感 ) [1] 对传染病的研究由来已久, 传统的数学方法是基于微分方程建立不同的传染 [2] 病模型, 如 SIR 模型,SIS 模型,SIRS (S-Susceptible, I-infected, R-Recovery) 等不同的模型可以反映不同疾病的发病机制, 如 SIR 模型适合于染病者在治愈后可以获得终生免疫力 ( 如腮腺炎 ), 或者染病者几乎不可避免走向死亡 ( 如艾滋病 ) 的情形对于像感冒淋病这类治愈后患者也没有办法获得免疫能力的疾病, 使用 SIR 模型是不适宜的, 这时候往往采用 SIS 模型, 该模型与 SIR 模型类似, [3] 只是患者被治愈后自动恢复为易感状态用微分方程予以表述的传染病动力学模型虽然可以让我们了解到许多疾病的动力学行为, 然而这种模型是充分混合 (fully mixed) 模型, 即假设人群中的每个人都有机会感染其他人现实中, 很多疾病只有通过某种接触才有可能被感染, 比如性病, 流感, 甲肝等传染性疾病为了更真实的刻画疾病的传播方式, [4-6] 人们把最近兴起的复杂网络引入传染病动力学中以复杂网络为载体的传染病动力学, 可以得到许多之前没有的结论, 如大规模无标度网络上的疾病爆发阈 [7-9] 值为 0, 即很小的传播率也可以促使疾病在网络中传播新的问题的出现吸引了来自不同的学科的科学家们的兴趣, 他们提出了很多好的方法, 比如, 对于复 [10] [11] [12] 杂网络上的疾病免疫策略, 提出了目标免疫熟识者免疫环状免疫等等基于复杂网路上的传染病动力学的研究使得人们对于疾病传播的方式有了更准确的认识, 然而仅仅从传染病动力学本身出发是不全面的因为传染病的爆发必然会引起人们的不同的行为反应, 如接种减少外出恐慌等, 这些行为方式的改变反过来又会影响疾病的传播范围, 因此两者之间相互制约相互影响以接种疫苗为例, 面对新的疾病, 由于接种面临着一定的风险和代价, 人们会估计疾病的风险如果接种的风险高或者认为被感染的可能性小人们就不愿意接种, 这样放任自由的态度会引起疾病盛行, 反过来又影响人们是否重新考虑接种的决定另外, 在面临接种问题时人们往往有博弈的困境在里面, 当别人参加接

3 种时, 那么我被感染的可能性就大大降低 ( 我接触的人他们都接种了 ), 那么我就没有必要去参加接种但是如果大家都这么想, 就会出现很不利的局面, 反过 [13-15] 来影响疾病的传播行为, 会引起新的一轮疾病爆发又如, 当疾病来临的时候, 感染者和他们的邻居会产生警觉或者自我保护等行为, 这种警觉行为也可以通过人与人之间或者公共媒介等工具在人群中传播开来, 在此情况下会出现传染 [16-20] 病动力学与意识行为在人群的共同传播彼此相互作用, 因而可能产生更加丰富的动力学行为因此把个体的行为反应加入到传染病动力学的研究中的意义是至关重要的只有这样才能更加真实的刻画反映传染病的传播机制, 从而为传染病的预防控制提供更有力的理论保证和指导意义 2 复杂网络上的传染病动力学对复杂网络上传播动力学的研究, 早期是 Moore 和 Newman 对小世界网络上的病毒扩散进行了较为系统的研究他们研究表明, 如果一个在紧邻相连且每个节点度为 2k 的环状规则网络上增加 Φ 比例的连边而形成的小世界网络而言, [21] 疾病的爆发阈值 λ 与 Φ和 k的关系为 c k (1 λc ) Φ =. (1) k 2kλ [2 (1 λ ) ] c c 后来 Pastor-Satorras 和 Vespignani 分别对均质和异质网络模型通过模拟和平均场理论研究发现均质网络存在一个有限的正的传播阈值 λ c, 如果传播效率大于阈值 λ c, 感疾病会爆发并最终稳定于某一平衡值, 此时称网络处于激活的相态 (active phase); 反之, 如果有效传播率低于此阈值, 则感染个体数指数衰减至 0, 网络此时处于吸收相态 (absorbing phase) 但是通过对异质网络, 尤其是无标度网络上的 SIS 模型进行模拟和解析发现, 和均质网络不同, 无标度网络上 SIS 模 [7] 型的扩散阈值为 < k > λ c =. (2) 2 < k > 由于无标度网络的度分布具有很强的异质性且指数 γ 3, 所以当网络规模趋于 2 无穷大的时候, 可以验证 < k > 故 λc 0 下图 1 显示均质网络和无标度网络上 SIS 模型的疾病阈值示意图

4 图 1: 均质网络 (a) 和无标度网络 (b) 中的 SIS 模型相位图. 当然, 由于现实的复杂性, 除了小世界网络和无标度网络, 还有很多其他结构的网络, 比如社团网络分层网络具有地理效应的网络和加权网络等等这 [22-25] 些网络上的传染病模型也有很多人给予深入的研究比如, 考虑到社会关系的层次性, 文 [22] 研究了社会网络层次结构对传播动力学的影响, 发现不同维数的层次网络对传播动力学行为产生不同另外, 很多传染病的传播能力与个体之间的距离有关, 比如流感仅仅在近距离传播, 基于此, 文 [24] 和文 [25] 分别在具有地理效应的无标度网络和小世界网络上研究疾病传播问题发现如果地理效应的影响可以很大程度上制约疾病的传播同样地, 类似于生物中的多种群模型, 由于人们的生活和工作需求, 需要在不同的地域 ( 集镇, 城市, 国家等 ) 之间迁移, 这些迁移方式 ( 通过地面交通或航空交通等 ) 必然会对传染病动力学产生很大的影响因此 Vespignani 小组把网络进行粗粒化处理, 把网络中的每个节点看作一个城市, 在城市内部的传播方式假设为全混合模型, 然后把人们在不同城市之间的迁移抽象为个体在不同节点之间的扩散过程, 利用实证和建模相结合的方 [26,27] 式可以较真实的反应疾病在大范围尺度的传播趋势沿着这个方面, 很多工 [28-30] 作从不同角度更深入的研究了网络上的人口移动对传染病动力学的影响 3 基于个体行为的自愿接种策略普遍认为接种疫苗是预防控制疾病传播的最有效手段之一, 但是接种的风险以及经济宗教文化等方面的因素, 是否采取接种往往是本着自愿原则在此情况下, 是否接种是一个接种困境 (vaccination dilemma) 问题 : 不接种可能面临着被感染的风险, 接种又有可能出现难以预料的副作用等 ; 同时, 接种具有群体免疫的效果 (herd immunity) 如果别人都采取接种, 即使我不接种也可以不受感染, 那么有些个体就希望自己成为搭便车者 (free-rider) [31-35] 为了刻画自愿接种机制下的接种困境问题,Bauch 等人通过定义接种的收益和不接种的收益, 然后利用经济学中的博弈理论解释了为什么在自愿接种机制下天花不能被完全消灭因为当天花大范围爆发的时候, 接种收益高于不接种的收益, 因此很多

5 人采取接种, 所以天花可以被控制到一个相对低的水平但是当疾病控制到一定 [14] 范围的时候, 人们又倾向于不接种, 这样又会因此天花的新一轮爆发现实中, 个体采取什么样的行为方式往往会受到周围邻居的影响, 即所谓跟风现象 ( 模仿机制 ) 对于接种行为也存在着这种跟风现象, 如果我周围中有很 [36] 多人都采取接种疫苗我也去接种, 反之不接种基于此 Bauch 等人以及 Poletti [37] 等人引入模仿机制研究这种现象对疾病传播的影响, 发现在不同的条件下会出现周期振动不对称波等现象, 如图 2 图 2: 感染比例 (I) 和接种比例 (x) 在不同参数下的变化趋势摘自文献 [36] 对于像流感这样的疾病, 往往会随着季节周期性的爆发即使注射流感疫苗, 由于这种疫苗的有效期是有限的, 因此人们需要在每个疾病爆发季节之前决定是否采取接种显然接种与不接种都意味着一定的风险和代价, 因此人们在做接种决定的时候, 他们采取什么样的行为方式会对接种范围和预防控制效果都产生很大的影响在文献 [38,39] 中的工作,Vardvas 等人假设个体是有记忆 ( 记忆能力用 0 s < 1表示,s=0 表示无历史记忆,s 越大记忆能力越强 ) 且能了解到真正的接种范围 (p) 和实际需要的接种范围 ( p c ), 然后根据少数者博弈原则来动态的调整自己的接种策略具体如下 : (a), 上次选择接种, 但是实际接种范围大于所需接种范围, 即 p> i 次的接种意愿降低 : v i = sv 其中 i v 表示个体 i 在 t 季节的接种意愿 t+1 t t (b), 上次选择接种, 但是实际接种范围小于所需接种范围, 即 p< i i 次的接种意愿增加 : v = sv + 1 t+ 1 t p c 则这 p c 则这 i (c), 上次没有选择接种, 也没有被感染则这次的接种意愿降低 : v = sv i t+1 t

6 (d), 上次没有选择接种, 后来被感染了则这次的接种意愿增加 : i v = i sv +1 t+ 1 t 流程示意图如图 3 所示图 3: 个体接种策略的动态示意图, 摘自文献 [38] 根据接种意愿, 可以得到个体 i 在 t+1 个季节采取接种的概率为 : i i t+ 1 wt + 1 = vt + 1 /[( s 1) /( s 1)]. (3) 基于以上假设, 发现接种比例和感染比率随着季节发生周期演化, 见图 4. 同时文中进一步研究了两种不同的公共补贴措施对预防控制效果的不同影响图 4: 接种范围 (p, 黑色 ) 与感染范围 (f, 红色 ) 随季节演化图, 摘自文献 [38] 在文 [40] 中, 伏峰等人在不同的网络结构上考虑基于收益差的模仿机制对流感的接种范围和最终感染比例的影响如果采取接种, 在接下来的季节不会被感染, 但是要付出 V 的代价如果不采取接种, 可能面临两种不同的结果 : 被感染, 付出 I 的代价 ; 没有被感染, 无任何付出定义接种代价与感染代价的相

7 对比 c = V / I, 则 0<c<1 且 I=1 模型示意图如下图 5 所示图 5: 模型分两个阶段, 第一个阶段为接种策略决策阶段, 第二个阶段为疾病传播阶段如果采取接种, 则代价为 V; 没有接种后来被感染则付出 I 的代价, 否则如果没有被感染则无任何付出摘自文献 [40] 接种选择的时候 (vaccination decision), 每个个体会随机的选择一个邻居, 然后根据两者之间的收益差利用费米函数决定学习邻居的策略的概率通过研究发现 :(1) 个体在接种免疫决策中, 基于自身利益考虑的短视模仿行为加剧了群体免疫力的缺失 ;(2) 个体之间的社会网络关系对维持群体免疫力具有双刃剑效应 : 当接种代价小于某特定阈值时, 群体免疫力得以维持, 但接种代价超过这一阈值时, 群体免疫水平将会急剧下降, 并最终导致传染病的大爆发对于异质性网络而言, 由于网络中有一定数量的中心结点 (hub nodes), 从而导致传染病很容易在此网络上大规模爆发在文 [41] 中, 我们利用 SIS 传播模型研究自愿接种机制在不同网络结构上的效果在 SIS 模型中, 每个时间步, 每个感染者 (I) 可以沿着每条边以概率 β 感染他的易感染邻居 (S), 同时感染者又以 μ 的概率恢复为 S 态不失一般性, 假定 μ = 1 如果一个易感染者有 k inf 个感染邻居, 那么此时这个节点被感染的概率为 kinf λ = 1 (1 β ). (4) 假设每个易感染者都能完全知道自己被感染的概率, 即自身估计的感染概率 λ perc 满足 λ perc = λ. (5) 定义接种代价函数 P v 和被感染代价函数 P n 如下 :

8 P = c λ; n 1 P = c. v 2 (6) 这里的 c 1和 c 2 分别表示感染风险因子和接种代价为了研究方便, 可以假定 c 1=1. 根据 (6) 可知, 当 Pv Pn 的时候可以会选择冒风险, 否则会自愿采取接种通过比较自愿接种机制在两个不同网络随机网络 (ER) 和无标度网络 (BA) 上的效果发现, 由于无标度网络中度大的节点 ( 中心节点 ) 他们认为自己被感染的风险更大, 因此他们接种意愿更高这种自发的接种行为起到了类似于目标免疫的效果, 可以很好的抑制无标度网络上的疾病传播, 但是这种效果来自与个体自身的行为而非强制性的免疫策略图 6 比较了自愿接种机制在 BA 网络和 ER 网络上的控制效果, 可以发现当没有接种的时候, 疾病在 BA 网络上传播的范围更广, 但是当存在自愿接种机制的时候 BA 网络上的疾病可以更好的被控制! 图 6: 自愿接种机制在 BA 网络和 ER 网络上的效果 (a), 没有接种的时候, 两种网络上感染人数随时间的变化情况 (b), 自愿接种机制下, 两种网络上感染人数随时间的变化情况 (c), 自愿接种下, 两种网络上接种人数随时间的变化情况其中 c = 0.7, β = 以上模型中假设每个个体能够完全了解周边邻居的感染状态, 通常情况下由于信息的滞后性疾病的潜伏期以及染病个体对病情的隐瞒等原因, 要想了解到及时准确的疾病信息几乎是不可能的那么想问 : 当个体不能很准确的了解疾病风险的时候, 他们会采取什么样的行为方式, 这些行为方式又会怎样改变传染病的动力学行为在文 [42] 中, 我们假设个体仅仅知道总的感染范围和自身的邻居数, 然后利用动态规划方法分析两种风险评价体系 : 统一的风险评价体系每个个体认为自身被感染的风险都是相似的 ; 偏爱性的风险评价体系邻居越多的个体认为自己被感染的风险越大然后比较这两种风险评价体系对网络上疾病的控制效果通过研究发现, 两种风险评价体系产生截然不同的结果, 偏爱性风险评价体系可以很好的抑制疾病在网络上的大范围爆发, 而统一风险评价体系

9 得不到这样的效果 4 信息恐慌以及舆论等因素对个体行为的影响面临突发起来的传染病人们到底采取什么样的行为方式通常会受到他们对疾病信息的了解程度以及周围群众对疾病的观点等因素的影响这些因素导致个体采取不同的行为方式, 而这些行为方式又会到不同的传播动力学因此信息社会舆论以及恐慌等因素对传播行为的影响最近也受到广泛的关注, 比如 Frederick H. Chen 通过动态规划的方法研究了信息的准确程度对疾病传播的影响, 发现在信息量不是很准确的条件下会出现周期振荡现象, 当个体对信息量有 [18] 很好的掌握时, 疾病可以有效地被控制 d Onofrio 等人考虑信息反馈滞后因 [19] 素对传染病动力学的影响, 发现信息的时间滞后会导致疾病的周期性爆发 Funk 等人假设当疾病在人群中传播的时候人们自发散布传染病已经出现 (disease awareness) 的消息, 随着这种自发的行为在人群中的传播, 最终感染 [16-17] 人数会显著的减少, 甚至可能抑制流行病的爆发. 考虑到疾病的爆发会引起人们的恐慌, 因此在文 [43] 中 Epstein 等人研究了恐慌引起的不同行为方式 : 逃跑自我封闭以及无动于衷三种行为方式对传播范围的影响通过研究发现, 自我封闭措施可以抑制疾病的大范围爆发, 而即使一小部分人的逃跑行为可以也导致疾病大范围的传播小孩是否接种疫苗的决定权在于父母, 考虑到小孩子的人际关系网和父母人际关系网的差别性, 在文 [44],Eames 假定父母对疾病风险估计取决于自身的人际关系网, 而流行病在小孩子之间传播通过研究发现, 只有当大人的关系网和小孩子的关系网之间的相似度很高的时候, 疾病才可以较好的被控制正如前文所述, 在现实中, 当某种疾病爆发的时候, 人们会自发的采取一定的保护措施, 如戴上口罩接种疫苗勤洗手减少和外界的接触等虽然这些保护措施减少了被感染的可能性, 但是这些保护措施又意味着一定的代价或者不便利性, 因此一旦疾病风险减少的时候, 人们往往又会恢复到原来的生活基于此在文 [45] 中, 我们提出一个改进的 SIRS 传播模型, 在此模型中易感染者 (S) 可以分为两种不同的状态无保护态 ( S u ) 和保护态 ( S ) 易感染者根据对疾病风险的评价在两种不同状态之间切换, 如果认为被感染的风险比较高, 那么有更多的无保护的易感染者转化为有保护的易感染者, 反之, 则转化的人数将减少同时把信息的滞后性引入到模型中基于无标度网络我们研究发现, 从无保护态到保护态的转化概率越大, 感染人数越少, 与之不同的是, 从保护态返回无保护态的转化概率的疾病的传播行为影响不大同时还发现随着信息滞后时间的增加, 系统会从稳定态过渡为振荡态 p

10 传染病在网络上的传播会引起网络结构的改变, 沿着这个方向 Gross 等人利用 SIS 传播模型研究网络和疾病的共同演化问题他们假定最初的网络是随机网络, 为了研究方便, 网络中的个体采取断边重连, 即如果健康者和感染者连接, 那么健康者就会和感染者断了连接而重新连接到另外一个健康者基于这个简单的模型,Gross 等人首先观察了重连过程对网络结构和传播行为的影响, 基于此模型他们发现很丰富动力学行为, 如 Hopf 分岔跨临界分岔鞍结分岔等多种 [46,47] 分岔后来 Shaw 等人又研究了更复杂的传播模型 SIRS 与网络的共同演化以 [48,49] 及相应的免疫策略等, 同样可以发现不同的分岔现象虽然共同演化机制比在静态网络上研究传播问题更具有现实意义, 但是这些模型都基于以下假设 : 一每个个体知道哪些邻居是处于感染态的, 因此会断开和感染者的联系二健康者当和感染者断边后再从网络中重新找一个健康者建立联系以保证网络中边数不变显然这些假设与现实情况相违背, 一方面, 当疾病在人群中爆发的时候, 人们不能知道哪些邻居被感染, 因而当疾病在人群中爆发的时候他们只能随机的减少和外面的接触, 如不去上学上班旅行等, 而不是重新和别人建立新的连接另一方面, 当人们一旦认为疾病的风险降低的时候, 人们往往又会恢复原来的生活状态 ( 上学上班旅行 ) 基于以上原因, 我们介绍一种新的共同演化机制基于信息的传染病动力学与网络结构的共同演化在此模型下, 个体根据自身获取的疾病信息然后决定断一部分边还是恢复一部分以前被断的边通过模拟和理论分析发现, 随着反应强度和信息的滞后时间的变 [49] 化, 系统会通过 Hopf 分岔从稳定态转化为周期态 5 总结与展望对传染病动力学的研究还处于蓬勃发展的阶段, 虽然在这个方面取得了长足的进步, 但是以前的很多方法在研究传播行为的时候都假定人们在疾病爆发期间不会改变他们的行为方式然而在现实情况中, 一种疾病的爆发必然会引起人们采取一定的自我保护措施, 如, 带口罩勤洗手减少外出等等这些行为方式的改变必然会对疾病的传播方式和爆发程度产生很大的影响, 疾病的爆发程度反过来又影响个体的行为方式因此为了更真实的反映疾病的传播机制, 我们必须把人们对疾病的行为反应考虑到疾病传播模型中在本文中, 我们介绍了一些代表性工作以及我们在最近在此方向的研究进展同时考虑到人类行为社会因素的复杂性, 这个方面还有许多工作需要我们深入下去, 以下是我们对这个方面的一些展望 : (1) 预防控制意味着花费, 相同的花费, 对于经济能力不同的人影响不同, 经济困难的个体首先考虑的是基本生活保障问题, 只有经济能力达到基本的生活

11 保障他 / 她才去考虑预防问题, 因此他们的预防积极性相对较低而对于经济条件好的个体, 他们在面对疾病预防时会具有更高的热情因此在研究预防控制策 [51-54] 略的时候需要考虑到个体的差异性 (2) 当疾病在人群中爆发的时候, 往往伴随着谣言和恐慌通过不同方式, 如人群网络新闻媒体等方面的传播有的时候这些舆论的传播可以促使人们积极的采取自我保护, 但是有的时候这些舆论方式又可能导致人们采取过激行为或者一窝蜂的采取预防导致资源匮乏, 因而不利于预防控制疾病的传播因此如何刻画谣言和恐慌在人群中怎样传播以及和传播动力学的相互关系是一个值得深入的问题 (3) 很多策略被用来控制复杂网络上疾病的传播, 然而之间的方法要么需要太多的信息要么假定网络是静态的在现实中, 一旦疾病在人群中传播的时候, 人们的行为方式会发生变化, 且很难了解到及时准确的信息, 那么如何利用最少的信息控制动态网络上的疾病传播是一个很有必要研究的问题 (4) 建立合理的模型反映政府介入机制, 如政府补贴舆论向导强制隔离等措施对预防控制疾病产生的影响, 以及如何调动个体预防的积极性, 避免预防困境和在有限的资源的条件下如何最有效的发挥作用参考文献 : [1] 马知恩, 周义仓, 王稳地, 靳祯, 传染病动力学的数学建模与研究 [M]. 北京 : 科学出版社,2004. [2] Anderson R M, May R M. Infectious Diseases of Humans[M]. Oxford: Oxford University Press (1991). [3] 周涛, 傅忠谦, 牛永伟, 王达, 曾燕, 汪秉宏, 周佩玲, 复杂网络上传播动力学研究综述 [J]. 自然科学进展, (2005),15 (5): [4] Newman M E J. The structure and function of complex networks[j]. SIAM Review, 2003, 45: [5] Albert R, Barabási A L. Statistical mechanics of complex networks[j]. Reviews of Modern Physics, 2002,74: [6] Boeealetti S, Latora V, Moreno Y, Chavez M, Hwang D U. Complex networks: Structure and dynamics[j]. Physics Reports, 2006, 424: [7] Pastor-Satoras R, Vespignani A. Epidemic dynamics and endemic states in complex networks[j]. Phys. Rev. E, 2001, 63: [8] Pastor-Satoras R, Vespignani A. Epidemic spreading in scale-free networks[j]. Phys. Rev. Lett., 2001, 86: 3200.

12 [9] Pastor-Satoras R, Vespignani A. Epidemic dynamics in finite size scale-free networks[j]. Phys. Rev. E, 2002, 65: (R). [10] Pastor-Satoras R, Vespignani A. Immunization of Complex Networks[J]. Phys. Rev. E, 2002, 65: [11] Cohen R, Havlin S, ben-avraham D. Efficient Immunization Strategies for Computer Networks and Populations[J]. Phys.Rev. Lett., 2003, 91, [12] Müller J, Schönfisch B, Kirkilionis M. Ring Vaccination[J]. J. Math. Biol. 2000, 41: [13] Klein E, Laxminarayan R, Smith D L, Gilligan C A. Economic incentives and mathematical models of disease[j]. Environment and Development Economics, 2007, 12: [14] Bauch C T, Galvani A P, Earn D J D. Group interest versus self-interest in smallpox vaccination policy[j]. Proc. Natl Acad. Sci. USA, 2003, 100: [15] Bauch C T, Earn D J D. Vaccination and the theory of games[j]. Proc. Natl Acad. Sci. USA, 2004, 101: [16] Funk S, Gilad E, Watkins C, Jansen V A A. The spread of awareness and its impact on epidemic outbreaks[j]. Proc. Natl. Acad Sci. USA, 2009, 106: [17] Funk S, Salathé M, Jansen V A A. Modelling the influence of human behaviour on the spread of infectious diseases: a review[j]. J. R. Soc. Interface, 2010, 50: [18] Chen F H. Modeling the effect of information quality on risk behavior change and the transmission of infectious diseases[j]. Math. Bios., 2009, 217: [19] d' Onofrio A, Manfredi P, Salinelli E. Vaccinating behavior, information, and the dynamics of SIR vaccine preventable disease[j]. Theor. Popul. Biol., 2007, 71: [20] Kiss I Z, Cassel J, Recker M, Simon P L. The impact of information transmission on epidemic outbreaks[j]. Math. Bios., 2010, 225: [21] Moore C, Newman M E J. Epidemics and percolation in small-world networks[j]. Phys. Rev. E, 2000, 61: [22] Zheng D F, Hui P M, Trimper S, Zheng B. Epidemics and dimensionality in hierarchical networks[j]. Physica A, 2006, 352: [23] Grabowski A, Kosiński R A. The SIS model of epidemic spreading in a hierarchical social network[j]. Acta. Phys. Pol.A, 2005, 36: [24] Xu X J, Zhang X, Mendes J F F. Impacts of preference and geography on epidemic spreading[j]. Phys. Rev. E, 2007, 76: [25] Guo W P, Li X, Wang X F. Epidemics and immunization on Euclidean distance preferred small-world networks[j]. Physica A, 2007, 380: [26] Colizza V, Vespignani A. Invasion Threshold in Heterogeneous Metapopulation

13 Networks[J]. Phys. Rev. Lett., 2007, 99: [27] Colizza V, Pastor-Satorras R, Vespignani A. Reaction-diffusion processes and metapopulation models in heterogeneous networks[j]. Nature Physics, 2007, 3: [28] Tang M, Liu Z H, Li B W. Epidemic spreading by objective travel[j]. Europhys. Lett., 2009, 87: [29] Meloni S, Arenas A, Moreno Y. Traffic-driven epidemic spreading in finite-size scale-free networks[j]. Proc. Natl Acad. Sci. USA, 2009, 106: [30] Ni S J, Weng W G. Impact of travel patterns on epidemic dynamics in heterogeneous spatial metapopulation networks[j]. Phys. Rev. E, 2009, 79: [31] Wu B, F Fu, L Wang. Imperfect vaccine aggravates the long-standing dilemma of voluntary vaccination[j]. PLoS ONE, 2011, 6(6): e [32] Galvani A P, Reluga T C, Chapman G B. Long-standing influenza vaccination policy is in accord with individual self-interest but not with the utilitarian optimum[j]. Proc Natl Acad Sci USA, 2007, 104: [33] Perisic A, Bauch C T. Social contact networks and disease eradicability under voluntary vaccination[j]. PLoS Comput Biol., 2009, 5: e [34] Bauch C T, Bhattacharyya S, Ball R F. Rapid emergence of free-riding behavior in new pediatric immunization programs[j]. PLoS ONE, 2010, 5(9): e [35] Cornforth D M, Reluga T C, Shim E, Bauch C T, Galvani A P, Meyers L A. Erratic Flu Vaccination Emerges from Short-Sighted Behavior in Contact Networks[J]. PLoS Comput Biol., 2011, 7(1): e [36] Bauch C T. Imitation dynamics predict vaccinating behaviour[j]. Proc. Roy. Soc. B, 2006, 272: [37] Poletti P, Caprile B, Ajelli M, Pugliese A, Merler S. Spontaneous behavioural changes in response to epidemics[j]. J. Theor. Biol., 2009, 260: [38] Vardavas R, Breban R, Blower S. Can Influence Epidemics Be Prevented by Voluntary Vaccination[J]. PloS. Couput. Biol., 2007, 3(5) : e85. [39] Breban R, Vardavas R, Blower S. Mean-field analysis of an inductive reasoning game: application to influenza vaccination[j]. Phys. Rev. E, 2007, 76: [40] Fu F, Rosenbloom D I, Wang L, Nowak M.A. Imitation dynamics of vaccination behavior on social networks[j]. Proc. R. Soc. B, 2011, 278: [41] Zhang H F, Zhang J, Zhou C S, Small M, Wang B H. Hub nodes inhibit the outbreak of epidemic under voluntary vaccination[j]. New Journal of Physics, 2010, 12, [42] Zhang H F, Zhang J, Li P, Small M, Wang B H. Risk estimation of infectious diseases

14 determines the effectiveness of the control strategy[j]. Physica D, 2011, 240, [43] Epstein J M, Parker J, Cummings D, Hammond R A. Coupled contagion dynamics of fear and disease: mathematical and computational explorations[j]. PLoS ONE, 2008, 3: e3955. [44] Eames K T D. Networks of influence and infection: parental choices and childhood disease[j]. J. R. Soc. Interface, 2009, 6: [45] 张海峰, 张文耀, 孙桂全, 汪秉宏, 周涛, 信息的滞后性诱导传染病的周期爆发 [J]. 中国科学 G, 物理学力学天文学, 出版中 [46] Gross T, D'Lima C J, Blasius B. Epidemic dynamics on an adaptive network[j]. Phys Rev Lett., 2006, 96: [47] Gross T, Blasius B. Adaptive coevolutionary networks: a review[j]. J R Soc Interface, 2008, 5: [48] Shaw L B, Schwartz I B. Fluctuating epidemics on adaptive networks[j]. Phys. Rev. E, 2008, 77: [49] Shaw L B, Schwartz I B. Enhanced vaccine control of epidemics in adaptive networks[j]. Phys. Rev. E, 2010, 81: [50] Zhang H F, Small M, Fu X C, Sun G Q, Wang B H. Modeling the influence of information on the coevolution of contact networks and the dynamics of infectious diseases[j]. submitted. [51] Geoffard P, Philipson T. Rational Epidemics and their public control[j]. Int. Econ. Rev., 1996, 37(3) : [52] Geoffard P, Philipson T. Disease eradication: Public vs private vaccination[j]. Am. Econ. Rev., 1997, 87(1): [53] Matthew H B, Pejman R. Herd immunity acquired indirectly from interactions between the ecology of infectious diseases, demography and economics[j]. J. R. Soc. Interface, 2010, 7:

第一章数学系的历史沿革第一节数学系的渊源和机构变革情况 1949 年 6 月, 邸耀宗厉瑞康在太原市北郊上兰村原进山中学的废墟上筹建兵工职业学校,1950 年改为兵工高级职

第一章数学系的历史沿革第一节数学系的渊源和机构变革情况 1949 年 6 月, 邸耀宗厉瑞康在太原市北郊上兰村原进山中学的废墟上筹建兵工职业学校,1950 年改为兵工高级职前言中北大学数学系是伴随着学校的发展, 在几代人的努力下不断发展壮大起来的从 1953 年太原机械工业学校数学教研组到 2006 年理学院数学系, 其间凝聚了中北几代数学人的汗水 2011 年, 正值中北大学建校 70 周年校庆, 我们认为