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令寇
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1 基于参数规划的艾滋病传播模型的研究朱家荣南宁师范高等专科学校数计系, 广西崇左 500) 摘要 : 艾滋病是人体的免疫系统被艾滋病病毒破坏, 使人体对威胁生命的各种病原体丧失了抵抗能力, 从而发生多种感染或肿瘤, 最后导致死亡的一种严重传染病国际医学界至今尚无防治艾滋病的有效药物和疗法因此, 做好艾滋病的有效预防和控制应是我们抗击艾滋病最有效的手段本文通过建立参数规划数学模型以 Matlab 软件包为工具平台研究艾滋病的传播过程及流行趁向, 期望能为政府做好新时期艾滋病预防控制工作提供理论参考关键词 : 艾滋病 ; 传播模型 ; 参数规划 ;MATLAB 中图分类号 : O.8 文献标识码 : A 0. 引言艾滋病在世界范围内的传播越来越迅猛, 严重威胁着人类的健康和社会的发展, 已成为威胁人们健康的第四大杀手联合国艾滋病规划署 006 年 5 月 0 日宣布自 98 年 6 月首次确认艾滋病以来,5 年间全球累计有 6500 万人感染艾滋病毒, 其中 50 万人死亡尤其忧虑的是, 全世界约 95% 的艾滋病患者来自防治能力薄弱的发展中国家, 如非洲南亚东南亚中美洲等地在我国, 中国艾滋病防治联合评估报告 007) 显示, 截至 007 年底, 现存艾滋病毒感染者和病人约 70 万疫情处于总体低流行特定人群和局部地区高流行态势, 性传播逐渐成为 HIV 主要传播途径, 意味着艾滋病防控形势更加严峻未来我国艾滋病的流行是趁向平稳还是快速增长, 取决于能否大面积地积极开展艾滋病预防活动以及提供有效的治疗建立数学模型研究流行病的发展机理和传播过程, 已有一个多世纪的历史, 艾滋病出现以后, 更引起了生物数学家们的注意, 且在这方面做了较多的研究本文就是在前人的研究基础上, 通过建立参数规划数学模型借助 Matlab 软件包为工具对一个艾滋病传播模型的探讨, 期望能为政府做好我国新时期艾滋病预防和控制工作提供理论参考. 艾滋病简介艾滋病的医学中文全名为获得性免疫缺损综合症, 英文全名为 Acquired Immuno Deficieney Syndrome, 简称 AIDS, 它是由艾滋病中英文全名为人体免疫缺损病毒 Human Immunodeficiency Virus, 简称 HIV) 引起的这种病毒终身传染, 破坏人的免疫系统, 使人体丧失抵抗各种疾病的能力, 从而严重危害人的生命 [] HIV 进入人体后, 它就把人体免疫系统中最重要的 CD4 + T 淋巴细胞作为攻击目标, 大量吞噬破坏 CD4 + T 淋巴细胞, 从而破坏人的免疫系统, 最终使人体免疫系统崩溃, 使人体因丧失对各种疾病的抵抗能力而发病并死亡 AIDS 从感染到发作的进程大致可分个阶段 : 感染初期潜伏期发作期在感染初期,HIV 进入人体的感染巨噬细胞, 将病毒带到局部淋巴结, 引起各种急性症状, 接着,CD8 + T 淋巴细胞抗体做出反应, 从而控制疾病的发展, 血液中的 HIV 持续在一个较稳定的水平, 疾病进入潜伏期随着 HIV 对巨噬细胞 CD4 + T 细胞等的感染, 免疫系统逐步被破坏, 被感染的 CD4 + T 细胞由裂解而大量产生 HIV 本课题获广西教育科研立项项目离散空间的模糊多属性决策理论与方法研究 No.00707LX07) 的资助 - -

2 当正常的 CD4 + T 细胞急剧减少 HIV 迅速增加时, 病情发作, 随时出现的各种病原体都可能引起感染, 病人最后因各种机能衰竭而死亡一般在未治疗情况下,AIDS 从感染到发作的平均时间约为 0 年, 但是不同的病人的差异较大, 临床上可观察到到 8 年的潜伏期, 这主要取决于 CD4 + T 细胞浓度下降和 HIV 浓度上升的速度通常健康人每 mm 血液中平均有 000 个 CD4 + T 细胞, 当 HIV 的携带者的 CD4 + T 细胞降至 00 个 /mm 时, 疾病发作. 艾滋病传播模型艾滋病传播途径主要有性传播血液传播共用针具的传播和母婴传播等四种, 其中性传播已成为当今艾滋病传播的主要途径故下面的模型主要研究通过性活动引起 AISD 的传播, 通过其他因素引起的传播可以建立类似的模型. 模型建立将目标人群具有性活动者 ) 分为类,xt) 为 t 年易感染的人数,yt) 为被 HIV 感染的人数,zt) 为已患 AIDS 的人数, 在没有特定目标的情况下, 假定 x,y,z 的初始值分别为 5 0 6, 0 6, [],[] 参照其它传染病的传播模型及参数规划模型案例得到模型为 dx = s cλ + µ ) x, ) dz = cλ x γ + µ ) y, ) = γ y µ + δ ) z, ) 其中各个参数的定义及其定值如下 :s ~ 易感染者加入目标人群的速率 0 6 / 年 );c ~ 获得新的性伴侣的平均速率 / 年 );λ ~ 性伴侣被 HIV 感染者的概率 0.); µ ~ 易感染者退出目标人群的比例 0.05/ 年 );γ ~HIV 感染者进入 AIDS 的比例 0./ 年 ); µ ~HIV 感染者退出目标人群的比例 0.05/ 年 ); µ ~AIDS 退出目标人群的比例 0.05/ 年 );δ ~ AIDS 死亡的比例 0.95/ 年 ) 虽然线性常系数微分方程 )~) 有解析解, 可是我们只想了解数值结果和观察直 [4] 观的变化趁势, 于是在上面的参数和初值下运用 Matlab7.5 软件包求数值解便得到了图 - -

3 可以看出, 人们最关心的被 HIV 感染的人数 y 在约 5 年时达到最大值约 00 万,0 年后趁向稳定值约 750 万. 模型分析由劳斯 - 霍尔维茨 Routh-Hurwitz) 判据, 容易得到方程 )~) 的唯一平衡点是 s cλ γ x =, y = x, z = y 4) c λ + µ γ + µ µ + δ 因为方程 )~) 的个特征根均为负值, 所以平衡点是全局稳定的, 与初始值无关稳态下 HIV 感染者在目标人群中的比例为 β = y = x + y + z γ γ + µ 5) + + µ + δ cλ 当一个参数值增加时引起平衡点个坐标及 β 值的变化见下表如 γ 增加时, x 不变, y 减少, z 增加, β 减少 ) 图方程 )~) 的数值解表一个参数值增加时引起个坐标及 β 值的变化情况参数 x y z β s λ c γ - -

4 µ µ µ δ 由于平衡点的全局稳定性, 所以只要采取适当措施使各个参数向正确的方向增加或减少 ) 改变, 长期说来就可以使 HIV 感染者和 AISD 的人数减少, 而不管目前情况如何. 接种疫苗模型用弱化的 HIV 作疫苗帮助人体建立对病毒的免疫性, 是一种人为的干预措施, 为了建立这种情况模型, 需要增加两个函数 : 目标人群中接种疫苗的人数 y t ), 接种疫苗后又被病毒感染的人数 y t ), 假定 y, y 的初始值分别为 000 和 0 模型为 dx dz = p) s cλ + cλ + µ ), 6) x = cλ x γ + µ ) y, 7) = ps + cλ x ϕ) cλy γ + µ ) y, 8) 4 = ϕ ) cλy γ + µ ) y, 9) 5 = γ y + γ y + γ y µ + δ ), 0) z 其中新增加的参数及其设定值如下 : p ~ 目标人群接种疫苗的比例 0.4); λ ~ 性伴侣接种疫苗的概率 0.5);ϕ ~ 接种疫苗后起到预防作用的概率 0.9); γ ~ 接种疫苗者进入 AIDS 的比例 0.005/ 年 ); µ 4 ~ 接种疫苗人群退出目标人群的比例 0.05/ 年 ); γ ~ 接种疫苗者被病毒感染进入 AIDS 的比例 0.95/ 年 ); µ 5 ~ 接种者被病毒感染退出目标人群的比例 0.05/ 年 ) 虽然接种疫苗还不能预防 HIV 的初期感染, 但是我们可以作简单的计算来预测如果疫苗取得进展后的效果 [4] 比如在 p =0.4,ϕ =0.9 的情况下利用 Matlab7.5 软件包求 6)~ 0) 的数值解即得到图, 从图可以看出, 被 HIV 感染的人数 y 在约年时达到最大值约 600 万, 比模型 )~) 的结果减少了一半,0 年后趁向稳定值约 00 万, 比模型 )~) 的结果减少得更多 - 4 -

5 .4 结论分析图方程 6)~0) 的数值解上面这个艾滋病传播模型概念上虽然较简单, 但涉及到的参数很多, 对于这些模型来说, 关键在于如何确定其中的参数应用它的主要困难是确定用于特定国家或地区的一组参数, 虽然乌干达等非洲国家已经在这方面做了大量的统计研究, 但是目前还不能得到确定这些参数的较有效方法, 另外, 在临床上较精确地得到被 HIV 感染的和已患 AIDS 的人数也是困难的. 结束语尽管目前我国艾滋病的疫情上升速度有所减缓, 还没有出现艾滋病大规模流行之势, 但是我们要清醒地看到, 疫情存在潜在的流行趁势,HIV 的传播途径已演变成以性传播途径为主, 已经与国际上的流行趁势一样, 艾滋病疫情地区分布差异大, 艾滋病流行因素广泛存在, 局势越来越严峻, 一触即发, 并可能出现灾难性后果因此, 从现在到本世纪末将是我国预防控制艾滋病的关键时期, 如果我们现在不积极采取预防控制措施, 将错失良机当务之急是要全面了解我国艾滋病传播途径的变化流行趁势受影响人群有关的危险行为等情况, 建立一个有效的监测系统, 为决策者提供有关艾滋病传播的准确数据, 预测艾滋病流行疫情和趁势, 为全国艾滋病规划策略的制定提供依据随着艾滋病在我国不同地区不断蔓延扩大, 其流行模式将变得越来越复杂因此, 我们的监测系统不仅仅是数据的收集, 而应当注重数据的分析以帮助对策的制定 - 5 -

6 参考文献 [] 曹毅. 警惕艾滋病 [M]. 北京 : 清华大学出版社,005. [] 谭永基, 蔡志杰. 数学模型 [M]. 上海 : 复旦大学出版社,005. 0~0. [] Christelle,Christian Prins, Marc Sevaux. 运筹学案例 [M]. 北京 : 北京林森科技发展有限公司,007. [4] 赵东方. 数学模型与计算 [M]. 北京 : 科学出版社,007. Model of the spread of AIDS on the basis of estimation programming Zhu Jiarong Nanning Teacher s College,Department of Mathematics & Computer Science, P. R.China Guangxi Province, CongZuo500) Abstract AIDS is a serious infectious disease,it s caused by HIV infection, which damage the bo s immune system and make the bo losing their resistance to various life-threatening pathogens. International medical profession has no effective drugs and treatments of preventing or healing AIDS. Therefore, do a good job in AIDS prevention and control should the most effective means to fight AIDS. Our paper discussed the process of AIDS spreading by establishing math model about estimation programming based on Matlab, and except the government can take it as a reference for AIDS prevention in the new era. Keywords: AIDS; Model of the spread; Estimation programming; Matlab 作者简介 : 朱家荣, 男,965 年生, 华中师范大学数统学院访问学者, 主要研究方向 : 数学建模运筹学图论计算机数学软件 - 6 -

Microsoft Word - 2-認識春暉.doc

Microsoft Word - 2-認識春暉.doc 認識春暉遠離愛滋所謂愛滋病 (AIDS) 是 --Acquired( 後天 ) Immune( 免疫 ) Deficiency( 缺乏 )Syndrome( 症候群 ) 英語開頭字母串連而成的簡稱即後天免役缺乏症候群此症是由愛滋病毒 (Human Immunodeficiency Virus, HIV, 人