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圈邱
7 years ago
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1 1 質點運動學 1.1 參考體與參考座標系 1.6 速度和加速度的極座標分量 1. 質點的直線運動質點的曲線運動速度和加速度的圓柱座標分量 1.4 速度和加速度的直角座標 1.8 拘束運動分量 1.9 結 1.5 速度和加速度的切線與法線座標分量語

2 本章討論質點運動學 (kinematic of particle) 在質點運動學中, 我們不考慮產生運動的原因, 或者說我們不考慮作用在質點上的力, 也不考慮質點的質量, 只分析質點是怎樣運動的, 以及如何選用合適的方法來描述這些運動因此, 質點運動學可以抽象成為一個幾何點的運動學根據質點運動的軌跡可將其運動形式分為直線運動 (rectilinear motion) 和曲線運動 (curilinear motion) 1.1 參考體與參考座標系設想一個人從一輛行駛的汽車中向窗外拋出一個小皮球, 如果我們要問 : 皮球是怎樣運動的? 則坐在汽車中的觀察者和站在地面上的觀察者將會得出不同的結論這是因為站在地面上的觀察者以地球為參考體 (reference body); 而坐在汽車中的觀察者以汽車為參考體由此可見, 描述物體的運動時, 必須說明以那一個物體為參考體, 否則無法說清物體是怎樣運動的在固定參考體 ( 例如地球 ) 上觀察的運動稱為絕對運動 (abolute motion), 而在運動參考體 ( 例如汽車 ) 上觀察的運動稱為相對運動 (relatie motion) 選定參考體後, 還必須在參考體上固定一個座標系, 稱為參考座標系 (frame of reference), 以作為描述運動的依據在運動學中, 選取什麼樣的座標系以及將座標系固定在什麼物體上, 完全是為了解題的方便, 是可以任意選取的但是在運動力學 (kinetic) 中, 必須對慣性座標系 (inertial reference frame) 和非慣性座標系加以嚴格區別只有相對於慣性座標系, 我們才可以將牛頓第二定律寫成 F ma 這種形式因此, 也可以說, 能使牛頓第二定律成立之座標系才是慣性座標系例如, 固定在恆星上的座標系以及相對於恆星只作等速直線運動並無轉動的座標系便可作為慣性座標系在實際計算中, 那些參考座標系是慣性的呢? 對限於地面附近運動的一般工程問題, 固定於地面上的座標系就可以當作慣性座標系如果物體運動非常快 ( 例如接近於光速 ), 我們研究的問題精度要求又很高, 那麼地球自轉的影響就必須考慮, 此時固定於地面上的座標系就不能算是慣性的了, 而應當將座標系的原點固定於地心上, 座標系的三根軸分別指向三個恆星 ( 其方向不變 ), 這樣的座標系稱為地心座標系再進一步, 在分析行星運動時, 又不能把地心座標系作為慣性系了, 因為地心座標系本身在作公轉, 我們必須取以太陽中心為原點的日心座標系是否還要進一步考慮太陽本身在銀河系中的運動呢? 研究顯示, 太陽本身

3 質點運動學 1 在銀河系中的加速度大概是 31 8 厘米 / 秒日心座標系是一個足夠精確的慣性座標系, 一般說來, 可以忽略不計, 因此 1. 質點的直線運動當質點沿著一個固定直線運動時, 稱質點作直線運動 (rectilinear motion) 本節經由這種簡單的連動形式引進一些運動的基本概念, 作為後面研究更廣泛的運動形式之基礎 ( 一 ) 位置因為已知質點沿直線運動, 不妨就取該直線作為一座標軸, 在其上任取一點 O 作為座標原點, 如圖 1-.1 所示, 則質點在 t 時刻的位置 P 可用其座標來描述通常我們取向右為座標軸的正方向 ( 這完全是任意的 ), 這樣, 為正值時, 表示質點在 O 點的右邊, 當為負值時, 表示質點在 O 點的左邊圖 1-.1 質點直線運動的座標 ( 二 ) 位移和路程如圖 1-. 所示, 從時刻 t 至 t t 質點由位置 P 運動至位置 P, 則向量 PP 稱為質點在 t 時間內的位移 (diplacement) 注意, 位移是向量但是, 因為已知質點作直線運動, 可以不用向量記號表示位移, 只需用新舊位置座標之差就可代表質點的位移, 即 (1-.1) 3

4 圖 1-. 質點的座標與位移其中, 是質點在 t 時刻的座標, 是質點在 t t 時刻的座標若為正, 表示位移向量 PP 指向軸的正方向 ; 若為負, 表示 PP 指向軸的負方向質點運動的路程 (total ditance traeled) 係指質點沿運動軌跡所走過的總長度, 它是一個正純量如圖 1-.3 所示, 設質點從 O 點出發向右運動到 C 點, 然後向左運動到 A 點, 再向右運動到 B 點, 則此過程中質點的位移為向量 OB, 而質點所經過的路程卻是 OC CA AB 圖 1-.3 位移與路程 ( 三 ) 速度設質點在定義為 elocity) a t 時間內的位移為, 則質點在 t 時間內的平均速度 (aerage a (1-.) t 顯然, 時間間隔的大小取得不同, 得到的平均速度也不同因此, 用平均速度不足以準確地描述質點的真實運動狀態為了使位置的變化得到精確地描述, 令 (1-.) 式中的 t, 即考慮圖 1-. 中 P 趨向於 P 時, 平均速度的極限 d lim (1-.3) t t dt 稱為質點在時刻 t 的瞬時速度 (intantaneou elocity), 或簡稱速度速度是向量, 當為正值時, 表示質點沿軸的正方向運動, 值會增加 ; 當為負值時, 4

5 質點運動學 1 1 表示質點沿軸的負方向運動, 值會減小速度的因次為 [ LT ], 在公制單位系統中, 其單位為 m/; 在英制單位系統中, 其單位為 ft/ 速度的大小稱為速率 (peed), 我們開車時常將速率稱為速度當質點在 T 秒內走了 T 的路程, 則其平均速率的定義為 T T (1-.4) a ( 四 ) 加速度質點的加速度定義為其速度對時間的變化率設質點在 t 和 t 分別為和, 則在 t 時刻的速度 t 時間內質點的平均加速度 (aerage acceleration) a a 定義為 a a t t (1-.5) 當 t 時, 平均加速度便趨於 t 時刻的瞬時加速度 (intantaneou acceleration) 或簡稱加速度 a : d lim t a (1-.6) t dt 加速度是向量, 其因次為 [ LT ]; 其常用的單位在公制為 m/, 在英制為 ft/ 當 a 為正值時, 表示速度的數值將增加, 但速率卻不一定增快, 還必須考慮的方向當 a 與同向時, 即 a 與的正負號一致時, 質點加速運動 ; 當 a 與反向時, 即 a 與的正負號不同時, 質點減速運動運用連鎖律 (chain rule), 可將 (1-.6) 式寫成 d d d d a (1-.7) dt d dt d 或 ad d (1-.8) (1-.8) 式代表加速度 a 速度及位置之間關係的微分方程 5

6 一質點作直線運動, 其位置與時問 t 的關係為 t 9t 48t 1, 的單位為公尺, t 的單位為秒求在 t 1區間內質點的 :(a) 位移 ;(b) 路程 ;(c) 平均速度 ;(d) 平均速率 ;(e) 平均加速度 ;(f) 質點在 t 6的速度速率及加速度 3 t t t t t a 6t18 (a) 位移先求出質點在時刻 t 和 t 1 的位置 : 3 (1) (1) 9(1) 48(1) 1 8 m t1 () 11m t 故位移為 38 m t1 t (b) 路程必須檢驗質點在運動過程中, 其運動方向是否有改變質點的速度為 t t t t ( 8)( ) 在 t 8之間, 質點沿負方向運動 ; 而在 t 8 後, 質點沿正方向運動, 故求質點之路程必須分兩段計算, 即 (1) t 至 t m 8 t t () t 8至 t 1 6

7 質點運動學 m 1 8 t t 故路程 T 為 T m (c) 平均速度為 a (d) 平均速率 a m / t 1 : a T m / t 1 (e) 平均加速度為 a a t1 t 7 ( 48) 1 m / t 1 1 (f) 質點在 t 6ec 的速度為 t 3(6) 18(6) m / 6 此時的速率為速度之大小, 即 48 m / 而加速度為 a 6(6) m / 6 6 t t 7

8 ( 五 ) 質點運動分析若質點的位置座標與時間 t 的關係可用一函數表示, 則對 t 作一次及兩次微分, 即可求得速度及加速度然而大多數的問題是先從牛頓第二定律求出加速度後, 再積分求得速度與位置根據力的性質, 加速度可為時間 t 位置或速度的函數假設質點運動的初始條件為 t 時, 以下我們將依據加速度的性質分別討論質點的速度與位置表達式情況 I: 等加速度, 即 a 常數從方程 (1-.6) 及初始條件 t,, 得 d a dt, t t d adt a dt at (1-.9) 應用 (1-.3) 與 (1-.9) 式及初始條件 t,, 可得 d dt, t ( ) d at dt 1 t at (1-.1) 另外將 (1-.8) 式積分, 可得 ad d, ad d a( ) (1-.11) 方程 (1-.9) 至 (1-.11) 是我們常用的等加速度直線運動公式自由落體與豎直上拋體運動便是這種運動的例子這裡比讀者較熟悉的公式 a 和 t (1 / ) at 多了的原因是, 座標系原點不設在質點的初始位置上 1-. 一球從離地面 3 m 的屋頂以 1 m/ 的速度垂直往上拋出, 如圖 1-.4 所示設忽略空氣阻力, 求 :(a) 球到最高點所需的時間及其高度 ;(b) 球離地面 1 m 時的速度 ;(c) 球到水面時的速度 8

9 質點運動學 1 圖 1-.4 垂直上拋體之例取地面為座標軸之原點, 往上為正球在運動過程中只受到重力加速度的作用, 故為等加速運動, 其加速度為 a g 9.81 m / 初始條件為 t, 3 m, 1 m / (a) 球到達最高點時, 速度, 由 (1-.9) 式, 可得 at, t, t 1. ec 此時球的高度可從 (1-.1) 式求得 1 1 t at 3 (1)(1.) ( 9.81)(1.) 35.1 m (b) 1 m, 應用 (1-.1) 式, 得 t ( 9.81) t, 3.8 ec t 應用 (1-.9) 式, 可得 1 (9.81)(3.8).18 m / (c) 水面的位置座標, 由 (1-.11) 式, 可得 9

10 a( ), (1) ( 9.81)( 3) 6.97 m / 但因球落下時, 速度的方向朝下 ( 負方向 ), 故取 6.97 m / 情況 II: 加速度為位置的函數, 即 a f() 應用 (1-.8) 式及初始條件 t,,, 可得 d ad f () d, d f () d f( ) d (1-.1) (1-.1) 式為質點速度與位置的關係式, 以 g() 表示之, 並將其代入 (1-.3) 式, 可得與 t 的關係 : d d dt g(), t dt d d t g () (1-.13) 1-.3 一滑車繫於彈簧上於光滑水平面上作直線運動, 其加速度為 a, 為常數, 圖中為滑車的平衡位置設初始條件 t,,, 試將滑車的位置以時間 t 表示之圖 1-.5 例 1-.3 之圖 1

11 質點運動學 1 將滑車的加速度 a f() 及初始條件代入 (1-.1) 式, 得 ( ) d ( ) ( ) (1) 1/ 將 (1) 式代入 (1-.13) 式, 得 t d 1 d 1/ ( ) () 令 in 並改變積分上下限,() 式可寫成 1 d 1 t co d 1/ ( ) co ( ) (in ) (3) 所以 in( t ) co( t) cot 即與 t 的關係為 cot 上述的運動稱為簡諧運動 (imple harmonic motion), 即質點運動加速度的大小與位移成正比但方向相反情況 III: 加速度為速度的函數, 即 a f() 應用 (1-.6) 式及初始條件 t,, 可得速度與時間 t 的關係 : d d dt a f(), t dt f () d d t (1-.14) f () 11

12 由 (1-.8) 式及初始條件,, 可得位置與速度的關係為 d d d a f(), d f () d d f () (1-.15) 1-.4 如圖 1-.6 所示, 油壓缸中活塞的加速度 a 與速度的關係為 a k, 設初始條件為 t,,, 求 :(a) 速度與時間 t 的關係 ;(b) 位置與 t 的關係圖 1-.6 油壓缸 (a) 將 a f() k及初始條件代入 (1-.14) 式, 得 d d 1 t ln f () k k e kt, e kt (b) 利用 (1-.15) 式, 可得 d kt ( e 1) k k kt (1 e ) k 1

13 質點運動學質點的曲線運動在一般情況下, 質點的運動軌跡為一曲線, 稱此質點作曲線運動 (curilinear motion) 在這種情況下我們用向量來分析質點的運動比較方便, 而且所得結果與所選取的座標系無關, 在求解具體問題時, 再選取合適的座標系 ( 一 ) 速度和加速度設 O 點為座標系的原點, 若某時刻 t 質點位於 P 點, 則向量 r OP 稱為質點的位置向量 (poition ector), 如圖所示設由時刻 t 至 t t, 質點由 P 運動到 P 點 ( 圖 1-3.1), 相應之位置向量由 r 變到 r r, 那麼 r =PP就是質點在時間 t 內的位移 (diplacement) 在 t 時間內質點的平均速度 (aerage elocity) 為 a r t (1-3.1) 令 t, 即考慮 P 趨近於 P 時平均速度的極限, 便得到質點在時刻 t 的瞬時速度 (intantaneou elocity), 或簡稱速度, 即 r dr lim r (1-3.) t t dt 圖位置向量與位移向量結論 : 質點的速度等於其位置向量對時間的一階導數 13

14 下面討論質點的加速度設由時刻 t 到 t 其中是速度變化量在 t 時間內的平均加速度定義為 t, 質點的速度由變成, a a (1-3.3) t 令 t, 平均加速度的極限稱為瞬時加速度 (intantaneou acceleration), 簡稱加速度, 即 a d lim t t dt r (1-3.4) 結論 : 質點的加速度等於速度向量對時間的一階導數 ( 一次微分 ), 也等於其位置向量對時間的二階導數 ( 二次微分 ) 由以上的討論可知, 質點的速度與加速度分別為其位置向量對時間的一階及二階導數那麼, 怎樣求一個向量對時間的導數呢? 這個問題, 我們將在以後有關章節中具體討論但現在必須強調 : 一個向量的時間導數與我們所選取的座標系有密切的關係因此, 當我們對一個向量求導數時, 必須指明這個導數是在哪一個座標系中求的如此, 質點位置向量對時間的一階及二階導數分別是該質點相對於那個選定的座標系的速度和加速度 ( 二 ) 兩質點的相對運動如圖 1-3. 所示, 考慮兩個質點 A 和 B 的運動 A 點的位置向量為 r A, B 點的位置向量為 r A B 相對於 B 的位置由向量 r A/ B決定, 如圖 1-3. 所示 r r r (1-3.5) A B A/B 或 r A/B = ra r (1-3.6) B 兩邊對時間求導, 得 = (1-3.7) A/B A B 14

15 質點運動學 1 圖 1-3. A 和 B 的絕對運動與相對運動所以質點 A 相對於 B 運動的速度 AB / 等於 A 的絕對速度 A 與 B 的絕對速度 B 之差將 (1-3.7) 式對時間求導 ( 微分 ), 得 aa/ BaAa (1-3.8) B 即質點 A 相對於 B 的加速度 a A/ B等於 A 的絕對加速度 a A 與 B 的絕對加速度 a B 之差一人騎腳踏車向東行, 若行駛速度為 5 m/, 則感覺風從正北方吹來 ; 若行駛速度為 7 m/, 則感覺風從東北方吹來問風速是多少? 本題用作圖法較容易說明應用相對速度的定義 (1) 風人風 / 人取 O 點為座標原點, 則人向東行駛速度 5 m/, 風從正北方吹來, 可繪圖如圖所示, 其中風人的方向為 / A B, 但大小未知當人的速度為 7 m/, 風從東北方吹來, 可繪圖如圖所示, 此時風人的方向為 / C D, 但大小未知將圖和合併成圖應用(1) 式, 從圖中可知風為 O 點至 AB 和 CD 兩線的交點 E 的向量所以, 風的大小為 OA AE 風 ( ) ( ) 5 9 m/ 15

16 風的方向與正東方向的夾角 : tan 圖圖圖汽車 A 以 5 km/h 的速度向北行駛, 另一汽車 B 以 5 km/h 的速度向東北行駛, 求在汽車 A 看汽車 B 的速度以 O 點為原點, 作圖如圖所示根據餘弦定律, 得 1 B/ A( A B A Bco45 ) 1 [(5 ) (5) (5 )(5) co 45 ] 5 km / h 圖

17 質點運動學 1 由正弦定律, 得 B / A 5, 45 in 45 in 所以從汽車 A 看汽車 B 的速度為 B / A, 其大小為 5 km/h, 方向為, 即方向朝正東南如圖所示, 一船由 A 點相對於水以等速率 / bw 並與河邊垂直地航向對岸的 B 點, 經過分鐘後由於水流的關係而到達 C 點為了使船能夠抵達 B 點, 船相對於水以等速率 / bw 逆流保持某一角度航行, 在此情況下船經 5 分鐘後到達 B 點求船相對於水的速度之大小水速 w 及河寬 d 圖船相對於水的速度當船垂直航向 B 點時, 船相對於水的速度 bw / 從 A 指向 B, 而水速 w 朝右, 船的絕對速度 ( 相對於岸的速度 ) b 指向 C 點, 且, b w b/ w 如圖所示由圖的幾何關係, 得 (1) b b/ w w 從圖 1-3.7, 得圖

18 AC AB BC d (3) bt b () 由 (1) 和 () 式, 得 d (3) (3) b/ w w 由於水速 w 使船在分鐘向右偏移 3 m( 見圖 1-3.7), 即 3 (4) w 當船偏向一定角度逆流航行時, 為了到達 B 點, 船的速度 b 必須由 A 點指向 B 點, 如圖所示此時船速 b 的大小為 (5) b b/ w w b/ w w 但 AB d t, 即 b 5 b/ w w d (6) 從 (3) (4) 和 (6) 式, 解得水流速度為 15 m / min w 河寬為 d 5 m 船相對於水的速度之大小為 bw / 5 m / min 圖速度和加速度的直角座標分量設我們用一直角座標系來描述質點的運動, 則質點的位置向量 r 和質點座標 ( x,y,z) 的關係為 18

19 質點運動學 1 r=x i+y j+zk (1-4.1) 其中 x y 和 z 是時間 t 的函數 ;i j 和 k 分別是平行於 x y 及 z 軸的單位向量, 如圖所示圖用直角座標系描述質點的運動根據 = r, 對 (1-4.1) 式在所選定的直角座標系中對時間求導數, 就得質點相對於此座標系的速度所述在所選定的直角座標系中對時間求導數是什麼意思呢? 這就是說, 在求導過程中, 我們認為這個座標系是固定不動的因此, 平行於座標軸的單位向量 i j 和 k 是固定不變的, 求導時不必考慮它們的變化如此求導後, 我們得到質點速度的表達式 =x i+yi+ z k (1-4.) 上式說明速度在直角座標軸上的分量就是質點座標的一階導數由此得到速度的大小 ( 速率 ) 為 x y z (1-4.3) 同理, 將 (1-4.) 式在此直角座標系中對時間再求一次導數就得加速度 a xi yj zk (1-4.4) 加速度的大小是 19

20 a (1-4.5) a x y z 下面考慮兩種特殊情況 : 情況 I: 平面運動當質點只在一個固定平面內運動時, 不妨取此平面為直角座標系的 xy 平面, 於是質點的 z 座標恆為零此時速度和加速度公式分別為 xi yj (1-4.6) a xi yj (1-4.7) 情況 II: 直線運動當質點沿著一固定直線運動時, 不妨取 x 軸 ( 即 1- 節之軸 ) 與此直線重合, 於是質點的 y 座標和 z 座標都恆為零此時速度和加速度公式簡化成 xi (1-4.8) a xi (1-4.9) 從 x 和 x 的正負號我們完全能夠判定速度和加速度的方向, 故當質點作直線運動時, 可以不用向量記號, 而將速度和加速度公式寫成 x (1-4.1) a x (1-4.11) 一曲柄滑塊機構如圖 1-4. 所示, 其中曲柄 OA k 繞 O 點旋轉, 滑塊 B 被限制在水平直線上運動, 連桿 AB b 求滑塊 B 的速度表達式

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01.dvi 物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f