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应钏范
5 years ago
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1 上讲回顾 : 紧束缚近似物理根据 : 原子间距远, 作用小用微扰法考虑 * 零级解 : 孤立原子的波函数 * 微扰势 : 晶体势减去孤立原子势数学根据 : 波函数具空间周期性, 在实空间作傅里叶展开 Wannier 函数 = 局域函数的 Bloch 和最近邻紧束缚能带原子 i R E ( ) E C J R e 上式仅考虑 s 电子, 仅考虑相互作用到最近邻关键是计算相因子的和以及 J(R), 注意 J(R)< 能带宽度 = 能带顶和能带底的差由原子间相互作用强度以及与结构有关的相因子的和所共同决定晶体电子动力学 1 R

2 本讲目的 : 晶体电子运动的准经典描写如何描写晶体电子 ( 或称 Bloch 电子或能带电子 ) 在外场下的输运性质? * 外场 ( 电场磁场 ) 非定态如果用量子力学处理晶体电子, 太过复杂! 有没有可能用简单的方法来处理? * 使晶体电子在外场下的运动, 可用经典规律描写而晶体中离子对电子运动复杂影响以另外的形式出现有效质量晶体电子动力学

3 第讲晶体电子动力学 1. 准经典电子的动量坐标和速度. 有效质量 3. Bloch 振荡晶体电子动力学 3

4 1 准经典电子的动量坐标和速度晶体电子在外场作用下如何运动? i * 没有外场时, 定态! 现薛定谔方程中加外场电子状态的能量会随时间变化需解含时 S 方程 t ˆ r V r V r R H V r, t Hˆ U r, t i r E t / r, t e u r 关于晶体中的电子, 我们已经知道什么? * 能带结构 E() 本征函数所以可用它来展开晶体波函数解含时 S 方程称之为 Bloch 表象但特定条件下, 也可将电子当作准经典粒子晶体电子动力学 4

5 如何将电子处理成准经典粒子电子在周期势场中的运动被当作具有有效质量的准粒子在零势场下 ( 但限制在能带中 ) 的运动所替代, * 这样的准经典粒子在外场下运动经典力学规律但是, 建立电子准经典运动方程需要知道电子的动量和坐标? * 经典粒子同时具有确定的动量和坐标, 但是对电子呢? 晶体电子动力学 5

6 思考 : 我们是否知道晶体电子的坐标完全不知道, 因为晶体电子的坐标是完全不确定的! 为什么? 晶体电子是共有电子! 那么, 怎么处理这个问题? 晶体电子动力学 6

7 这也是量子力学涵盖经典力学时所遇困难通常一个新的更为普遍的理论, 往往可以用自身的逻辑完整地表达出来, 并且独立于它的作为极限的低级理论这里 * 普遍理论量子力学 * 低级理论经典力学量子力学涵盖经典力学, 经典力学是量子力学的极限 * 但是, 问题是 : 晶体电子动力学 7

8 思考 : 量子力学能否独立于经典力学, 建立起自身完整的逻辑, 描写量子力学体系自己? 不行! 晶体电子动力学 8

9 测不准原理不行, 当表达量子力学概念时, 原则上却不得不用到经典理论! 为什么? 因为一个粒子如果没有轨道, 意味着它也没有任何其他的动力学标志这样, 对于一个只有量子客体的系统, 就不能建立起逻辑上完全独立的力学描述 * 所以, 量子力学相对于经典力学, 在概念上, 不仅仅在于波粒二象性的革命 ; 而且, 它还不得不用到经典的力学描述所以, 测不准原理在量子力学中同样处于核心地位晶体电子动力学 9

10 回到前面的问题 : 把电子处理成准经典粒子, 如何确定它的坐标? 量子力学实际上已经为此作好了准备增添状态的不确定性, 换取坐标可知性这可行吗? 行! * 电子在外场下不是定态, 状态会发生变化, 新的态可以用附近的态迭加得到 * 与定态的差别是现在一个状态要用一定范围内的不同的的状态迭加! 晶体电子动力学 1

11 晶体电子的动量和坐标? 这是可行的, 为什么? * 晶体电子的本征态用具有确定波矢和能量的 Bloch 函数来描写, 状态完全确定, 坐标完全不确定 * 然而, 在外场下是非定态过程显然会发生变化 * 而在外场下电子状态可以看作是附近的 Δ 范围内的本征态迭加而成波包分布在 r 附近的 Δr 范围 * 电子的坐标波包坐标! 实际上是用展宽动量, 即 Δ, 来换取坐标 r 的可知性具体过程 * 数学上比较繁复, 但要记住结论晶体电子动力学 11

12 晶体电子动力学 1 Bloch 本征态 * 现含时, 不同的状态具有不同的能量可写为假定电子在能带之间不能跃迁 * 即在同一能带中运动, 可略去能带指标为简单起见, 讨论一维情况 * 求与对应的波包中心位置, 波包就是将附近 Δ 范围内的本征函数迭加 * 调幅函数随变化很小, 可提到积分号外 r r r n t E i n u e t n, / / 1, t E x i d x u e t x / / t E x i d e x u

13 晶体电子动力学 13 d de E E, d e e x u t x t E x i t E x i / / ' 1, / ' / ' sin, t E x t E x t x d de E ' 展开 E(),

14 看这个波包的几率分布为 x t u x sin x E' t / u x A x, t x E' t /, 波包既与周期调幅因子有关, 也与 A(x,t) 有关如 Δ=,A=1, 电子在全空间可以出现如 Δ 不为零, A 的特点 * 其中 A(ξ) 中的 ξ= 时, 波包振幅最大, 而 ξ>> 时, 波包振幅为零波包局域在晶体中某一区域内认为波包中心位置 (ξ=) 即电子坐标 x E' t / 1 de x t 1 r En d 晶体电子动力学 14 t

15 晶体电子动力学 15

16 讨论 r 1 E n t 很容易得到波包速度 Bloch 电子的群速度 dr 1 v dt 可以证明, 这也是波矢为能量为 E n () 的 Bloch 电子的平均速度, 与时间无关准经典模型成立的条件 : * Δ 范围应该远小于 B 区范围, 即 Δ<<π/a, Δr >>a, 所以外场应该是时间和空间的缓变函数 1. 外场变化的波长 λ>>a. 外场频率 hω<<e g, 禁止能带之间跃迁上述条件是针对外场的, 晶体的周期性势场已包含在 E() 中晶体电子动力学 16 E n

17 思考 : 电子速度与时间无关意味着什么? 电流永不衰减! 1 v E * 电流与电子速度相关, 如平均速度与时间无关, 这意味着电流将永不衰减! 其物理原因是什么? * 无电阻机制! 电导率无穷大! 电子不但与电子没有碰撞, 如果周期性势场成立与离子相干碰撞晶体电子动力学 17 n

18 思考 : 那么, 如果电子与离子无相互作用, 在外电场下会导致什么结果? 即, 自由电子气情况如何? 自由电子气体模型中的电子与离子无作用, 在外电场下将被无限加速, 会导致电流无限大所以虽然离子作用被抹平自由电子近似, 但还要引入额外的碰撞机制弛豫时间近似晶体电子动力学 18

19 思考 : 准经典电子没有碰撞机制, 那么晶体电子在外场下会不会被无限加速? 不会! 因为速度也是一个周期性函数, 周期函数是有界的 Bloch 振荡 ; 晶体电子既不会被外场无限加速, 速度也不会衰减, 如果符合前面的条件晶体电子动力学 19

20 思考 : 其中的物理原因是什么? 此模型中电子与离子并不是没有相互作用 * 晶体电子被处理成准经典粒子, 并不是没有条件的我们将展宽, 才换来坐标的可知性 * 展宽 E() 变化, E() 就是离子对电子的作用就是周期性势场的作用产生离子对电子的作用已经隐含在 E() 中, 当电子平均速度与其导数相联系时, 才能作为经典离子处理晶体电子动力学

21 能带中电子的运动准经典假定 : 外电场使电子沿能带运动, 只涉及一条能带, 或者说, 电子在外电场作用下能量的变化不能使电子跃迁到其他能带 * 外电场很弱, 因此, 波矢变化很小 * 外电场波长远大于晶格常数, 远小于 B 区线度 * 可用经典方法处理电子在外电场磁场下的运动晶体周期性势场的影响都在能带结构中反映 *? * 电子加速度 * 电子质量? 晶体电子动力学 1

22 外电场作用下的加速度准经典 : 电子受外场作用状态变化, 外场所作功转化为电子能量的增加 de Fvdt 能量的变化由状态的变化决定 de Fv dt 加速度 dv dt 1 d dt de d de d d dt 1 v d E d d dt d dt 晶体电子动力学 1 F d E d d dt d dt 1 d E d 即有可能将能带结构与晶体电子质量相联系 F

23 有效质量与经典运动方程比较, 如果 1 m * 1 d E d 周期性势场中电子在外电场中的运动, 就好象质量为 m*( 称为有效质量 ) 的经典的带电粒子在外电场中的运动, 服从三维时, 有效质量为一张量 F m * dv dt 1 1 d E,, * m d d x, y, z dv dt 1 m * F 晶体电子动力学 3

24 晶体周期性势场对电子运动影响能带结构速度 * 思考 : 自由电子速度变化? 有效质量 * 带底,m * > * 带顶, m * < * 能带宽, m * 小 * 能带窄, m * 大 E() v() m*() 晶体电子动力学 4

25 负有效质量在晶体中运动的电子就可以看作是质量相当于有效质量的电子的经典运动, 服从经典定律有效质量不是常数, 而是的函数负的有效质量! 有效质量与 E() 有关 : 能带顶附近的能带曲率是负的, 有效质量也是负的! * 负有效质量表示电子状态由变化到 +d 时, 由电子转移给晶格的动量大于外场转移给电子的动量, 而正的有效质量则相反晶体电子动力学 5

26 1 m * 1 d E d 思考 : 有效质量有没有可能无限大? 没有色散的能带上, 电子的有效质量? d E()/d ~, 有效质量无穷大晶体电子动力学 6

27 1 m * 1 d E d 思考 : 有效质量无穷大具有什么物理意义? 该电子非常局域, 很难隧穿到邻近原子上去晶体电子动力学 7

28 1 m * 1 d E d 思考 : 有效质量有可能等于零吗? 有可能!Graphene 在 K 点的有效质量等于零意味着什么? 晶体电子动力学 8

29 Graphene 的能带结构在 K 点, 成键态和反键态简并 (=E F, 零能隙 ) * 这是由于原胞被两个 AB 完全等价所致能带在 K 点线性交叉有效质量等于零 * 所谓的 Dirac 点速度大约可达光速的 1/3! 晶体电子动力学 9

30 例题 : 有效质量用紧束缚近似计算有效质量 * 二维正方晶格, 每个原胞只含有一个 s 电子的一个原子, 只考虑最近邻, 计算能带底电子和能带顶空穴的有效质量解 : * 对处于中心位置的原子, 有四个最近邻, 以基矢为单位, 其坐标是 : 最近邻 R e i R ( 1,) ;( 1,) ;(,1) ;(, 1) e i x a i i 晶体电子动力学 3 e x a cos a x e cos i y y a a e y a

31 E 当当原子 E C J cos a cos a x 原子, y E 极大 E C 4 J a a 原子, E E C 4 J x y 极小带宽 =8 J 计算能带底的有效质量利用 a<<1, 作展开, 有原子 E ( ) E C 4 J J a 相应的有效质量 m * d E ( ) d 晶体电子动力学 31 1 x Ja y

32 计算能带顶的有效质量可以引入利用 ~ x ~ ~ x a x a y a ~ 1 a y 1 y 作展开, 可得 E ~ 原子 ( ) E C ~ 能带顶的有效质量 m * Ja 4 J J a * m 空穴晶体电子动力学 3

33 3 Bloch 振荡用一维紧束缚近似能带, 讨论电子在外电场作用下的运动先看紧束缚能带, 周期 a, 只考虑第一近邻, a E ( ) E 原子 C J 最近邻 R e i R E ( ) E 原子 C J e ia e ia E E 原子 C J cos a 晶体电子动力学 33

34 E E 原子 J 因为 J<, 所以能带底位于 =, 能带顶位于能带宽度 4 J C cos a a 速度和有效质量分别为 m * v 1 d E d de d 显然, 在带底和带顶, 速度都为零而带底和带顶的有效质量分别为 ( 注意 J<) 1 Ja sin a Ja cos a 1 m 1 底 Ja 1 m 顶 Ja 晶体电子动力学 34

35 电子在空间, 能量沿着 E() 函数作周期性变化电子运动到 B 区边界, 移出边界, 即在另一端移入, 在空间作循环运动速度随时间振荡, 带底时, m * >, 在外场作用下加速 ; 在 π/a 处,m *, 速度最大 ; 超过 π/a, m * <, 开始减速, 在 π/a 为零 ( 即 - π/a); 然后反向加速 ; 在 -π/a 处反向最大, 超过 -π/a 后, m * >, 加速即速度振荡晶体电子动力学 35 v Ja sin a

36 原来未满能带的电子在外电场作用下漂移形成电流, 方向与外场方向一致, 直到占满右半部, 电流达与电场同向最大值越过 B 区 π/a 边界, 从 -π/a 进入 B 区边界, 直至占满左半部, 电流达与电场反向最大值回复开始时的情况, 电流为零就这样, 电流从零到正的最大, 减少, 到零, 再到反向最大, 形成振荡 Bloch 振荡在恒定电场下, 产生交变电流! 晶体电子动力学 36

37 电子在实空间振荡很难观测 : 电子将受到杂质原子振动和缺陷的散射 ( 碰撞 ), 来不及完成振荡就被散射观察到这种振荡的条件是 1 ~ 空间速度 / 布里渊区宽度 ~ qea qe qea 晶格常数是 1-1 米的量级 ; 弛豫时间是 1-13 秒量级, 满足这个条件需要 1 7 V/M 量级的电场强度, 击穿 ~ / 1 a 晶体电子动力学 37

38 视野拓展人工超晶格周期大弛豫时间长就可以观察到? 在极低温 ( 散射可略 ), 超晶格 ( 周期大 ) 中观察到与这一振荡有关的负阻现象 * 197 年, 日本科学家江崎和华裔科学家朱兆祥共同提出一个全新的革命性概念半导体人工超晶格由两种半导体材料 A 和 B 交替地周期性迭加而成 ( 如 GaAs/Al x Ga 1-x As), 可以制成晶体常数比较大的一维人工周期! 晶体电子动力学 38

39 两种材料带隙不同, 形成这样一维周期变化的结构对电子或空穴分别形成势垒和势阱 d~1 纳米势垒势阱 E g A E g B 势垒势阱晶体电子动力学 39

40 本讲小结 : 兼答本讲目的所提问题晶体电子在外场 ( 电场磁场 ) 作用下运动 * 如果用量子力学处理晶体电子, 太复杂! * 可作准经典处理晶体电子在晶体中运动无阻尼机制 * 电子速度与时间无关, 电导率无穷大! * 在外电场下, 电子并不会被无限加速, 其速度是周期性振荡有效质量 : 经典方法处理晶体电子, 晶体对电子的作用包含在其中 * 正和负有效质量的意义 * 有效质量等于无限大零的意义晶体电子动力学 4

41 新引入的概念有效质量准经典近似条件波包位置速度和加速度 Bloch 振荡晶体电子动力学 41

42 习题. ( 书中 4.1 题 ) 设有一维晶体电子能带可以写成 7 1 E cos a cos a ma 8 8 其中 a 是晶格常数试求 : a) 能带宽度 ; b) 电子在波矢状态时的速度 ; c) 能带底部和顶部电子的有效质量要求能够独立完成, 这里已给出紧束缚能带形式, 紧束缚能带也要求能够独立完成晶体电子动力学 4

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<4D F736F F F696E74202D20BEA7CCE5D6D0B5E7D7D3D4CBB6AF E BBCE6C8DDC4A3CABD5D> 6.1 晶体中电子的运动特征 : 一. Bloch 电子的准经典描述二. 波包与电子速度三. 电子的准动量四. 电子的加速度和有效质量见黄昆书 5.1 节 p37 在我们给出了电子在晶体周期势场中运动的本征态和本征能量之后, 就可以开始研究晶体中电子运动的具体问题了, 由于周期势场的作用, 晶体中的电子的本征能量和本征函数都已不同于自由电子, 因而在外场中的行为也完全不同于自由电子, 我们称之为