从分析力学到量子力学

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瞻井明
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1 产生湮灭算符 Jk 量子力学补习班集智俱乐部

2 本次内容希尔伯特空间中的向量与算符谐振子的另类解法传统方法复习产生湮灭算符多粒子系统 Fock 空间产生湮灭算符基于产生湮灭的量子力学相干态表象相干态表象下的谐振子准概率分布产生湮灭算符在经典反应扩散问题中的应用

3 希尔伯特空间希尔伯特空间 H H 中的向量 > > H 中的算符 AB 转置共轭运算 ᵻ: 两个向量的内积 : A A 8 5 * * *

4 算符的特征值与特征向量算符 A 的特征值与特征向量可以通过求解下列方程得到求得的特征值和特征向量练习 : A A I 对应的特征向量 : A / / /3 / /3 / 厄米算符 :A ᵻ =A 性质 : 厄米算符的任意两个特征向量彼此正交例如 : A

5 量子力学基本原理 A 算符 A 测量 B 算符 B 测量量子力学态 Ψ 得到 A 的测量值为某一个 A 的特征值 λ 得到该测量值的概率是 < λ Ψ> 得到 B 的测量值为某一个 B 的特征值及其分布所以量子力学中的算符携带了两重信息 : 可能的测量值 ; 与状态 Ψ 结合生成概率分布任何物理量都对应厄米算符在状态 Ψ 下测量的物理量 A 的平均值是 :< Ψ A Ψ>

6 不同物理量的测量有可能构成不对易测量两个算符的对易 [AB]=AB-BA 两个测量可能形成不对易测量对即 [AB]<> 如果两个算符不对易则它们的特征向量就会构成两组坐标系不确定关系的奥秘就在于此 A B ] [ B A B A

7 位置与动量首先任何一个关于位置的实数函数可以看作一个 X 坐标基下的一个向量一个态 Ψ 既可以写成 X 坐标下的向量位置波函数又可以写成坐标基下的波函数两个坐标系下的波函数可以相互转换 f f f f f.... d T f / / f 按照矩阵乘法展开就是 : 傅立叶变换就是一种坐标变换! T /

8 算符在不同坐标系表象下的变换设有算符 A 它作用在向量 > 上得到向量 y> 在 u> 坐标系下 A 可以写成矩阵形式其中该矩阵的第行列为 A 算符 A 在 u> 坐标系下是矩阵 A 在 > 坐标系下是矩阵 A 已知 u> > 两个坐标系的转换矩阵是 T 则 A 和 A 这两个矩阵之间的关系 : 在动量坐标系表象下动量算符则它在位置坐标系表象下的矩阵形式为 A u u A A u y u A u u u u A u A u y u A y T A T A ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '/ ' '/ ' '/ ' / ' '/ ' / ' d d d d 作用到某一个函数上即体现为求导因此动量算符在位置表象下即为求导算符

9 谐振子的产生湮灭算符解法

10 量子版本的谐振子实体变成了概率浮云

11 薛定谔方程 X k H 在 X 的表象下 : k H 薛定谔方程 : k H 二阶偏微分方程

12 薛定谔方程求解求解二阶偏微分方程 k 假设 : g f k f f d g dg f k f g d dg f 观察发现左边仅仅与时间有关右边仅仅与空间有关左 = 右意味着 : 它们都等于某个常数 E Ef Hf E k f f C g E d g dg E 问题归结为 H 的本征值问题

13 谐振子薛定谔方程的解要使得上述方程成立首先 E 必须取分立的值即哈密顿算符的本征值为任意 >= 的整数 : 其次对于任意一个本征值 H 的本征向量波函数为 : 其中是一个很复杂的函数被称为厄米多项式最终薛定谔方程的解为 : 其中由初始条件确定 k E /! / / L f E / L E L f g / /! / /

14 几率解释在任意时刻振子的位置为的概率为 : 所以概率分布是稳定的 f

15 总体图景经典经典量子量子

16 产生湮灭算符在弹簧谐振子系统中 k X X X X X k X k H 其中是湮灭算符 ᵻ 是产生算符这样系统的 H 就是 : X w H H ] [ ] [ ] [ ] [ 注意 :

17 用产生湮灭算符求出系统 H 的本征值和本征向量求 H 的本征值和本征向量问题就变成了求 ᵻ. 的本征值与本征向量问题下面我们根据 [ + ]= 来找到及其 + 的意义设 ᵻ. 的本征值为本征向量为 > 则 : 并且我们用乘以式 : 从此式我们看出来 : > 为 + 的特征向量对应的特征值为 -

18 上式对于一切推理都成立也就是说对于任意的 - - 都是 + 的本征值但是因为 >= 所以只能取. 并且同样的推理可以用到 ᵻ 算符上因此对应 H 的本征值为 ω+/! - - -!!

19 产生 - 湮灭算符的矩阵形式在 H 的本征空间表象下任意特征向量就是单位向量 : 所以 X 和分别是 : 将任意能量特征向量 > 可以写成 X 表象下的波函数 X T /! / / L

20 多粒子系统

21 希尔伯特空间的直积在经典力学中如果一个小球有 S={ 红绿 } 两种颜色那么两个相同的小球总共有多少种状态?s S S { S S} { r r r g g r g g} 在量子力学中如果一个小球有 S={ 红绿 } 两种基本状态那么一共有多少个量子态?ξ ξ 为所有复数的个数两个小球呢? H { r y g * y * y } H H { u rr rg 共有量子态 : 希尔伯特的空间维数变成了 s s gr y gg u * u * * y * y }

22 全同粒子的量子态全部粒子可以分为玻色子和费米子两种它们的全同粒子量子态表述完全不同为了节约时间我们只讨论玻色子对于个玻色子假设每单个粒子的属性集合是 B={ s } 那么个粒子的量子态就是 c 但是这个粒子全同无法分辨所以也就是把任意两个属性的顺序对调都是同样的态因此 ;! N 个粒子的希尔伯特空间维数为 s N 个全同粒子的希尔伯特空间维数为 c ; s!

23 N 个全同粒子的希尔伯特空间 N 个全同粒子构成了希尔伯特空间 H 其中所有的向量构成了 H 中的一组基可以证明这些向量彼此正交归一定义产生算符同样的道理可以定义湮灭算符在这里产生湮灭算符的性质与谐振子的类似但是产生湮灭算符并不是 H 中的算符! ; ; ; ; ; ; : : H H H H

24 Fock 空间事实上产生湮灭算符联系了 H 和 H + 可以将所有这些 H 联在一起定义一个更大的空间 : Fock 空间或者称为巨希尔伯特空间其中 F 中的任意一个态向量可以表示为 : 也就是说这个态是所有可能个粒子状态的叠加产生湮灭算符即该空间中的算符 H H H F s c c c c c c c 3

25 Fock 空间举例假设单个粒子的状态 B={} 粒子数的上限为个那么 Fock 空间 Fock 空间中所有可能的基态 : >: 没有粒子 >: 一个粒子的属性为 >: 一个粒子的属性为 ; >: 两个粒子一个粒子属性为另一个为 ; >: 两个粒子一个粒子属性为另一个为 ; >: 两个粒子一个粒子属性为另一个为可以证明这些基彼此之间正交归一因此可以取如下坐标 >= T >= T >= T >= T >= T >= T 那么该空间中的产生湮灭算符为 : H F

26 产生湮灭算符的通用性利用产生湮灭算符可以表达任意算符

27 相干态

28 相干态的引入我们注意到新引入的产生湮灭算符 + 并不是厄秘算符也就是它们的本征值不一定为实数而且 ᵻ <> 但是由于算符很奇特因此我们有必要深入研究它虽然不是厄秘算符但是如果我们非要研究它的本征值和本征向量怎么办? 这个方程是有解的得到的是湮灭算符的本征值它一般地为复数相应的本征态 > 称为相干态 cor s 相干态有很多奇特的性质特别是在量子光学中有很大的作用而且似乎蕴含着另类的哲学

29 谐振子相干态的性质首先根据定义式以及湮灭算符的性质可以计算出 : 带入薛定谔方程得到 >: 计算在相干态的时候位置算符 X 的均值即简谐振子的平均位置! / / H / X * r 令 : 得到 : r r r X cos 这相当于经典的谐振子的位移同样可以计算平均动量 s * r

30 谐振子相干态下的分布在相干态表象下位置的分布同样的道理在相干态下动量的分布 : 也就是说在相干态下量子谐振子形成的运动的概率云就是围绕着经典谐振子的轨迹呈现正态分布展开呈现正态分布的意义不仅和经典逼近而且是不确定性最小的状态可以证明 : cos r s ' r c c / X

31 相干态表象首先相干态集合具备如下性质超归一性 ' d ' * ' 可以把相干态集体看作一种坐标系表象在这个表象下可以定义准经典概率分布我们知道任何一个量子随机系统经典随机与量子随机的混合都可以用密度矩阵 ρ 来表示 Q * 则可以定义一个函数 Q* 满足 : 则 * 具有类似概率分布函数的性质 Q * d r s r s 类似的均值公式 * Q * d 很多量子力学公式可以转化为相应相干态表象下的类经典统计力学公式

32 猜想是否可以根据产生湮灭算符出发重新构造一套新的量子力学? 产生湮灭算符的特点 : 形式简洁哲学味道深刻产生湮灭算符具有一定的通用性湮灭算符的特征向量即相干态具备很好的准经典概率分布的性质也就是说我们可以把任何系统的量子态转化成类经典的复数域上面的概率分布这样可以针对已得到的经典统计力学方程在复数域上进行扩展是否任何一个实数变量都可以被复数化?

33 产生湮灭算符在反应扩散问题中的应用

34 产生湮灭算符的哲学与应用产生湮灭算符表达了一种创生的哲学万物有生有灭生灭现象不仅仅量子系统中具备经典随机系统中也有诸如如下形式的化学反应系统反应扩散系统 : A A A B B B 参考 : ://ouldr.rsrc.yl.du/bouldr-9/lcurs/vollyr-l/ollyrl.df

35 A+A 写下该系统的概率主方程经典概率 + 化学反应速度从个粒子转移出去的概率从 + 个粒子状态转移到个粒子状态的概率

36 引入产生湮灭算符引入产生湮灭算符 + 假设没有粒子的状态为 > 有个粒子的状态为 > 则有 : 并且 : 注意归一化条件与量子力学不一样我们可以把概率分布装进一个 Fock 空间 : 写下类似薛定谔方程的演化方程 d d H 其中 H 可以根据概率主方程构建

37 得到类薛定谔方程所以 H 就是 : 注意 :H 不是厄米矩阵因此一般不代表能量 d d H

38 考虑一维扩散过程考虑空间中任意相邻的个相邻格点主方程可以写作 : 定义产生湮灭算符 + 化成类薛定谔方程对于任意格点的扩散过程 d d D D H

39 使用产生湮灭算符的好处形式上更优美可以与量子场论建立联系重新用路径积分法进行表示

从分析力学到量子力学

从分析力学到量子力学 Jake 量子力学补习班集智俱乐部整体规划从分析力学到量子力学牛顿力学拉格朗日力学与哈密顿力学简谐振子 : 从经典到量子产生湮灭算符与二次量子化产生湮灭算符的引入多粒子系统与二次量子化量子场论初步 Klen Gordon 场正则量子化路径积分量子化费曼图量子场论初步 Drac 场李群初步相对论初步狄拉克场其它量子场重正化群重正化简介 : 渗流模型