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蝶沙幻于
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1 量子力学考研指导与习题精析刘自信王学雷赖振讲万陵德编著本书由河南师范大学理论物理省级重点学科资助出版北京

2 内容简介本书系统总结了量子力学的重要概念和基本原理, 并以解题方法为主线详细深入介绍了量子力学问题的处理方法. 全书精选了 87 道例题, 其中大多数选自历年考研试题, 它们涵盖了相关考试的基本内容. 本书的侧重点在于提高读者分析和解决各种具体的量子力学问题的能力. 本书可供报考物理类研究生的读者参考, 也可作为高等院校量子力学课程的教学参考书. 图书在版编目 CIP 数据量子力学考研指导与习题精析 / 刘自信等编著. 北京 : 科学出版社, 26 ISBN Ⅰ. 量 Ⅱ. 刘 Ⅲ. 量子力学 - 研究生 - 入学考试 - 自学参考资料 Ⅳ.O43. 中国版本图书馆 CIP 数据核字 26 第 89 号责任编辑 : 昌盛贾瑞娜 / 责任校对 : 张琪责任印制 : 张克忠 / 封面设计 : 科地亚盟出版北京东黄城根北街 6 号邮政编码 : 77 印刷科学出版社发行各地新华书店经销 * 26 年 8 月第一版开本 : B 年 8 月第一次印刷印张 : 5 /4 印数 : 4 字数 : 287 定价 : 9. 元如有印装质量问题, 我社负责调换科印

3 2,.,,,,,,,.,,,,,.,,., 8.,. 87,.,.,,,.,,..,,. 2, WKB.,..,,.,.

4 ii.,.,

5 目录 i 目录前言第章量子力学的数学工具.... 态矢量..... 基本概念例题 : 态矢量的性质和运算....2 态空间上的算符基本概念算符运算方法例题 : 直接法例题 : 作用法例题 : 参数微分法例题 : 积分变换法例题 : 待定算符法....3 表象和基底基本概念例题 : 基底的选取例题 : 算符运算的表象法表象变换例题 : 表象变换的要点坐标表象和动量表象例题 : 转换振幅和应用薛定谔方程和表象例题 : 薛定谔方程的表象选取 *.4 薛定谔绘景和海森伯绘景 *.5 直积空间练习... 3 第 2 章量子力学的原理体系的状态关于状态的基本假设... 32

6 iv 目录 2..2 例题 : 波粒二象性和态叠加原理物理可观察量关于物理可观察量的基本假设例题 : 观测算符和 C.S.C.O 量子化规则正则对易关系例题 : 构建量子力学算符力学量的测量关于测量的基本假设例题 : 力学量的可能值和平均值例题 : 同时测量和反复测量概率密度和概率流概率守恒方程例题 : 概率流和应用不确定关系海森伯不确定关系例题 : 海森伯不确定关系的应用时间 - 能量不确定关系例题 : 时间 - 能量不确定关系的应用粒子体系和全同粒子体系对称化假设例题 : 应用练习第 3 章轨道角动量与自旋角动量的一般概念角动量和标准基底角动量的升降算符例题 : 角动量的矩阵表示轨道角动量和自旋角动量轨道角动量例题 : 轨道角动量的计算自旋角动量... 76

7 目录 v 例题 : 自旋角动量和自旋态的计算角动量算符运算一些常用运算技巧例题 : 技巧的应用角动量的取向与旋转例题 : 应用角动量的耦合例题 : 耦合问题的表象选取方法标准基底的构建例题 : 利用升降算符构建标准基底练习第 4 章量子力学中的若干可解问题量子力学问题中的一些基本情况例题 : 哈密顿算符的构建例题 : 保守系的状态例题 : 对称条件例题 : 边界条件一维定态问题若干可解的一维定态问题例题 : 势阱和势垒例题 : 一维谐振子其他一些可解问题某些多维问题, 二体问题例题 : 分离变量法中心力场中的运动例题 : 径向方程的求解带电粒子在电磁场中的运动, 自旋例题 : 无自旋粒子在电磁场中的运动例题 : 自旋粒子在电磁场中的运动练习第 5 章定态微扰论定态微扰论... 43

8 vi 目录 5.. 非简并微扰论例题 : 非简并微扰论的应用简并微扰论例题 : 简并微扰论的运用定态微扰计算定态微扰计算例题 : 微扰论的选择定态微扰计算例题 : 对称性和选择定则... 5 *5.2.5 定态微扰计算例题 : 简并微扰中能量的二级修正练习第 6 章变分法里茨变分法里茨变分法的基本思想例题 : 方法的应用试验波函数的选取试验波函数的选取例题 : 一般选取法... 6 *6.2.3 试验波函数的选取例题 : 特殊选取法练习第 7 章量子跃迁哈密顿的突然改变突然近似法例题 : 突然近似法的应用非定态问题中的量子跃迁概率跃迁概率例题 : 二能级体系的跃迁能量表象中的薛定谔方程例题 : 应用跃迁概率的一阶狄拉克近似... 77

9 目录 vii 例题 : 非连续统情形例题 : 连续统情形, 费米黄金规则的应用电偶极跃迁电偶极跃迁和选择定则例题 : 求解跃迁选择定则电偶极跃迁与光的吸收和辐射例题 : 受激跃迁... 9 练习第 8 章弹性散射基本概念散射振幅和玻恩振幅例题 : 玻恩振幅的导出散射截面的计算玻恩近似法例题 : 玻恩振幅的应用玻恩近似 2: 自旋投影法例题 : 自旋投影玻恩近似法的应用散射截面的计算分波与相移例题 : 定散射态波函数分波法例题 : 分波法的应用... 2 *8.3.5 分波法 2: 自旋投影法 *8.3.6 例题 : 自旋投影分波法的应用 *8.4 散射截面的计算 *8.4. 全同粒子的散射 *8.4.2 例题 : 应用练习练习题提示和参考答案参考文献

10 ...,. E Hilbert, ψ χ χ ψ, χ ψ = ψ χ χ φ + ψ = χ φ + χ ψ χ λψ = λ χ ψ ψ ψ, ψ =, λ, χ χ Hermite χ χ, χ χ. φ + ψ φ + ψ, λψ λ ψ.,,...2.,? λ φ + λ 2 φ 2 = λ φ +λ 2 φ 2, ψ + φ = φ + ψ ; 2 ψ + φ + χ = ψ + φ + χ ; 3, ψ, ψ + = ψ 4 λ, λ ψ + φ = λ ψ + λ φ ; 5 λ + λ 2 ψ = λ ψ + λ 2 ψ ; 6 λ λ 2 ψ = λ λ 2 ψ ; 7 ψ = ψ ; 8 ψ =.

11 2 2 ψ, λ φ + λ 2 φ 2 ψ = ψ λ φ + λ 2 φ 2 = λ ψ φ + λ 2 ψ φ 2 = λ ψ φ + λ 2 ψ φ 2 = λ φ ψ + λ 2 φ 2 ψ = λ φ +λ 2 φ 2 ψ λ φ + λ 2 φ 2 λ φ + λ 2 φ 2 = λ φ +λ 2 φ 2.2 λ u v w λ u Â v w ψ.,.,.3 λ w v u λ ψ w v Â u φ φ 2 E, φ φ 2 2 φ φ φ 2 φ 2, φ φ 2,. ψ = φ + λ φ 2, ψ ψ = φ φ + λ φ φ 2 + λ φ 2 φ + λ λ φ 2 φ 2 λ = φ 2 φ / φ 2 φ 2, φ φ φ φ 2 φ 2 φ φ 2 φ 2 φ φ 2 2 φ φ φ 2 φ 2, ψ ψ =,, ψ =, φ = λ φ 2.

12 Â, E ψ φ = Â ψ, Â E. E Â, ψ ψ 2 λ λ 2 φ Â λ ψ + λ 2 ψ 2 = λ Â ψ + λ 2 Â ψ 2 φ Â ψ = φ Â ψ φ Â ψ Â + ˆB ψ = Â ψ + ˆB ψ Â ˆB ψ = Â ˆB ψ [ Â, ˆB ] = Â ˆB ˆBÂ Â Â ψ Â φ = φ Â ψ Â Â = Â Â ÂÂ = Â Â = ˆ Û ÛÛ = Û Û = ˆ Â F Â z F z, z F Â.4 ˆL z = i F z = f n z n n= F Â = f n Â n n=, ϕ ϕ. ϕ ϕ i ϕ i ϕ ϕ = i ˆL z Φ m ϕ = 2π eimϕ 2π dϕ 2π e im ϕ ϕ i ϕ i ϕ ϕ 2π eimϕ = iδ m m

13 4 2π dϕ 2π e im ϕ ϕ i ϕ 2π eimϕ = m 2π dϕ 2π ϕeim m ϕ ˆL z, ψ ˆLz χdϕ = ˆL z ψ χdϕ 2π = dϕ 2π = m m m dϕ 2π 2π 2π e im ϕ i ϕ ϕ 2π eimϕ i ϕ 2π eim ϕ ϕ 2π eimϕ dϕ dϕ 2π e im 2π e im ϕ ϕ 2π eimϕ ϕ ϕ 2π eimϕ = iδ m m m = m, = i..,,., dϕψ ˆLz χ = dϕˆl z ψ χ.2., ψ, χ,,, ψ χ 2π = ˆL z.,, ,,.

14 ˆr, ˆp, [ˆr i, ˆr j ] = [ˆp i, ˆp j ] = i, j =, 2, 3 [ˆr i, ˆp j ] = iδ ij.2.3 [Â, ˆB] = [ ˆB, Â] [Â, ˆB + Ĉ] = [Â, ˆB] + [Â, Ĉ] [Â, ˆBĈ] = [Â, ˆB]Ĉ + ˆB[Â, Ĉ],,..5 ˆL 2 ˆp i ˆp i ˆL2 = i{ˆp ˆL i ˆL ˆp i }., ijk 23 ε ijk =, ijk 23, [ˆL α, ˆp β ] = [ˆr ˆp α, ˆp β ] = [ε αµν ˆr µ ˆp ν, ˆp β ] = ε αµν [ˆr µ, ˆp β ]ˆp ν = ε αµν iδ µβ ˆp ν = iε αβν ˆp ν, ˆL 2 ˆp i ˆp i ˆL2 = [ˆL 2, ˆp i ] = [ˆL k ˆLk, ˆp i ] = ˆL k [ˆL k, ˆp i ] + [ˆL k, ˆp i ]ˆL k = ˆL k iε kij ˆp j + iε kij ˆp j ˆLk = i ε ikj ˆLk ˆp j + ε ijk ˆp j ˆLk = i{ˆp ˆL i ˆL ˆp i }

15 6.6 e i 2 αu ˆσ = cos α 2 iu ˆσ sin α 2 u ˆσ, ˆσ Pauli. σ j σ k = iε jkl σ l + δ jk ˆσ uˆσ u = ˆσ j u j ˆσ k u k = u j u k iε jklˆσ l + δ jk = iˆσ l u j u k ε jkl + u j u j = u u + iˆσ u u =, n ˆσ u n = ˆσ u, n e i α 2 u ˆσ = n= = n i α n n! 2 u ˆσ i α n + u ˆσ i α n n! 2 n! 2 n = cos α 2 i sin α 2 u ˆσ.7 ˆB [Â, ˆB]. n = k + [Â, ˆB n n ] = n ˆB [Â, ˆB] n =,. n = k, [Â, ˆB k k ] = k ˆB [Â, ˆB] [Â, ˆB k+ ] = ˆB k [Â, ˆB] + [Â, ˆB k ] ˆB. n. = ˆB k [Â, ˆB] + k ˆB k [Â, ˆB] ˆB k = k + ˆB [Â, ˆB]

16 ,,,,..8 u v = v u. φ, ψ, ψ u v φ = φ u v ψ = φ u v ψ = ψ v u φ = ψ v u φ φ, ψ u v = v u.9 Â = φ ψ, Â?, Â ψ = φ ψ ψ Â = Â = ψ φ, Â ψ = ψ φ ψ, φ = φ ψ ψ c ψ ψ ψ φ ψ = ψ φ, c ψ ψ = ψ ψ c, c.,, Â = φ ψ, φ = c ψ,, Â. c = φ ψ ψ ψ. [ ] x, x = ψx, [ ] x, x ψx = ψx, x x x x ψx = xψx x ψx x x = ψx [ ] x, x =

17 8 [, fr] = fr., fr,, fr, fr.. e i 2 αu ˆσ = cos α 2 iu ˆσ sin α 2 u ˆσ, u ˆσ 2 =.6, u ˆσ, φ +, φ u ˆσ φ + = φ +, u ˆσ φ = φ e i α 2 u ˆσ φ ± = e i α 2 ± φ ± = cos α 2 i sin α φ ± 2 = cos α 2 i sin α 2 u ˆσ φ ± φ +, φ,.2.5 e i α 2 u ˆσ = cos α 2 i sin α 2 u ˆσ, t, t,, t =,.,., Ât t dât dt Ât + t = lim Ât t t d dt Â + ˆB = dâ dt + d ˆB dt d dt Â ˆB = dâ dt ˆB ˆB + Âd dt ÂλÂ λ =

18 .2 9 dλâ d λ = Â λ dâλ dλ Â λ..2 e ˆB Âe ˆB = Â + [Â, ˆB] + 2! [ [Â, ˆB], ˆB] + Ât = e t ˆB Âe t ˆB Â = Â, dât dt [ ] d 2 Ât dt 2 = dât, dt ˆB = [Ât, ˆB] = [ [Ât, ˆB], ˆB] e ˆB Âe ˆB dâ = Â = Â + + d 2 Â dt 2! dt 2 + = Â + [Â, ˆB] + 2! [ [Â, ˆB], ˆB] +, Â, ˆB [Â, ˆB] [Â, e ˆB] = e ˆB[Â, ˆB] = [Â, ˆB] e ˆB.3 Â, ˆB. [Â, ˆB] e t t ˆB = e t λ dλe ˆB[ ˆB ˆB, Â]e λ, t. [Â, e t ˆB] = Ĉt t ˆB e t dλe λ ˆB[ ˆB, Â]e λ ˆB = ˆDt

19 Ĉt ˆDt, Ĉt = ˆDt., Ĉ = ˆD =..4 dĉt dt d ˆDt dt t = [Â, ˆBe ˆB] = ˆB[Â, ˆB] e t t ˆB [Â, ˆB]e t ˆB = ˆBĈt [Â, ˆB]e = ˆB ˆDt t + e ˆBe t ˆB[ ˆB ˆB, Â]e t = ˆB ˆDt t ˆB [Â, ˆB]e e i α 2 u ˆσ = cos α 2 iu ˆσ sin α 2 ŷα = e i α 2 u ˆσ α, ŷ α = i 2 u ˆσŷα, ŷ α = 4ŷα ŷα,, ŷα = A sin α 2 + A cos α + i B sin α B cos α 2 ŷ =, B =, A = ŷ = i 2 u ˆσ..2.6 A =, B = u ˆσ F Â,, eâ F Â =. dk F ke ikâ

20 .2.5 [Â, F ˆB] = F ˆB[Â, ˆB] Â, ˆB. F ˆB = dk F ik ˆB ke [Â, F ˆB] = [Â, ˆB] eik = ik [Â, ˆB] ik ˆB e dk F k[â, ˆB] eik.2 [Â, F ˆB] = [Â, ˆB] dkik F ik ˆB ke = [Â, ˆB]F ˆB.6 [ˆx, F ˆp x ] [ˆp x, Gˆx]. ˆL = ˆr ˆp, ˆF = F ˆr, ˆp, [ ˆL, ˆF ] = i ˆr ˆF ˆr ˆF ˆp ˆp [ˆx, ˆp x ] = i, ˆx ˆp x,, [ˆx, F ˆp x ] = if ˆp x [ˆp x, Gˆx] = ig ˆx.2.7 [ ˆL, ˆF ] = [ ˆr ˆp, ˆF ] = ˆr [ ˆp, ˆF ] + [ ˆr, ˆF ] ˆp = i ˆr ˆF ˆr ˆF ˆp ˆp,. ; λ,,,..7 λ, Â λ ˆB λ. Â λ ˆB = λ n ˆKn n=

21 2 Â λ ˆB = λ n Â λ ˆB ˆK n n= = Â ˆK + λ, λ n Â ˆK n ˆB ˆK n n= Â ˆK =, Â ˆK n ˆB ˆK n = ˆK = Â, ˆKn = Â ˆB ˆKn, Â λ ˆB = Â + λâ ˆBÂ + λ 2 Â ˆBÂ ˆBÂ +, fλ = Â λ ˆB, fλ λ = fλ = f + λf + λ2 2 f f = Â f = Â λ ˆB ˆBÂ λ ˆB λ= = Â ˆBÂ f = 2Â λ ˆB ˆBÂ λ ˆB ˆB Â λ ˆB λ= = 2Â ˆBÂ ˆBÂ { µ k } µ k µ k = δ kk µ k µ k = k

22 .3 3, ψ = µ k ψ µ k. { µ k } k, k k, δ kk Dirac δ- δk k, dk..7. µ k k µ k µ k, E. E, µ k. µ.,,. ψ µ k ψ, ψ µ k., ψµ k, {µ k }. ψ ψ, ψ µ k, ψ. Â A kl = µ k Â µ l. Â Â ψ = λ ψ λ Â, ψ. Â A,., det A λi =.,..8 Â. Â 3 i i A A A A 2 A 3

23 4 A =,,,, A 2 = 3, λ = 3,. i A 3 =, 2, i, i i Â,,, i, 2 i,, 3,, ,., 2, µ k ˆF, F, ˆF.,,..9 2 i j = δ ij i, j =, = 2 ˆL, ˆL 2 ˆL 3, ˆL ˆL3 ˆL 3 ˆL = 2ˆL, ˆL2 ˆL3 ˆL 3 ˆL2 = 2ˆL 2 ˆL ˆL2 ˆL 2 ˆL = ˆL 3, ˆL = ˆL 2, ˆL2 3 =

24 .3 5, {, 2 }.? ˆL 3, ˆL 3, ˆL 3. ˆL 2 3 =, ˆL 3 λ λ 2 =,. ˆL 3 2 ˆL 3 = 2 2. ˆL ˆL3 ˆL 3 ˆL = 2ˆL,, a b ˆL c d a b a b a b c d c d = 2 c d b ˆL, ˆL 2 ˆL3 ˆL 3 ˆL2 = 2ˆL 2, ˆL 2 g ˆL = ˆL 2, b = g = e iα, α = ˆL, ˆL2 ˆL = = 2 ˆL 2 2

25 6 ˆL ˆL2 ˆL 2 ˆL = ˆL 3..2 Â, ˆB } Â2 =, {Â, Â ÂÂ + Â Â =, ˆB = Â Â. B, Â. B,, ˆB. ˆB 2 = Â ÂÂ Â = Â Â ÂÂ = Â Â Â Â Â 2 = Â Â = ˆB ˆB λ λ 2 = λ, λ =,. B, ˆB B = ˆB Â a c, b ˆBÂ d = Â ÂÂ = a b = c d c =, d =, Â2 = a 2 =, ab =, a =. b Â Â Â = ˆB b b = b b =, b = e iθ, e iθ Â = e iθ Â = e iθ

26 ,.,. Â, F Â F a k, a k Â..2 e i α 2 u ˆσ = cos α 2 i sin α 2 u ˆσ u ˆσ,. u ˆσ 2 =,.5, ˆσ z, u ˆσ ±., u ˆσ e i α 2 u ˆσ e i α 2 e i α 2 = cos α 2 i sin α 2 cos α 2 + i sin α 2 = cos α 2 i sin α 2 cos α 2 i sin α 2 u ˆσ,..22. Â, det eâ = e trâ ˆB = i i i i

27 8 det e ˆB., Â, Â., eâ. Â A n. eâ e An, trâ = n A nn = n A n det eâ = n e An = e A n n = e trâ,, detû ÂÛ = det Â Û det e ˆB = e tr ˆB = e =. { µ k }, { µ k } µ k = µ k T kk, k µ k ψ = k T k k µ k ψ ψ µ k = k ψ µ k T kk Ã k l = kl T k k A kl T ll, T kk = µ k µ k T k k = T kk = µ k µ k Ã k l = µ k Â µ l.,..3.5,

28 .3 9 k µ k µ k =.,,,. 2.,. ; ; ; ; ;.. 3,. r p, { r } { p } ˆQ q n, q n, ˆQ = n q n q n q n trâ = k = k µ k Â µ k µ k ν l ν l Â µ k l = kl ν l Â µ k µ k ν l = l ν l Â ν l. 2 ˆQ ψ, n q n q n = ˆQ ψ = ˆQ n q n q n ψ = n q n q n q n ψ ˆQ = n q n q n q n.24 ˆσ ˆσ z, ˆσ x, ˆσ y.

29 2 ˆσ z, i ˆσ z, ˆσ x, ˆσ y i ˆσ z ψ, ψ 2 ˆσ x φ i 2, φ 2 2 ˆσ y χ 2 i, χ 2 2 i ˆσ z { ψ i } ˆσ x { φ j } φ j = i ψ i ψ i φ j = i ψ i T ij, T ij = ψ i φ j = T = i 2 i = T ˆσ y x = T ˆσ y zt i i 2 i i i 2 i = ˆσ y χ x = T χ z i i 2 2 i = i 2 i

30 .3 2 χ 2 x = i 2 +i, ˆσ y x ±. A Â..25 Â ˆB { Â, ˆB } =, Â 2 = ˆB 2 =, A B S. A A =, B = ˆB 2 2 A B.3.6 S = 2 { r } { p } ˆr r = r r, ˆp p = p p r r = δ 3 r r, p p = δ 3 p p, d 3 r r r = d 3 p p p = { µ },, µ ψ µ, ψµ Â Â pre µ Â ψ = Â pre µ ψ

FJXBQ

FJXBQ 高等医学院校选用教材 ( 供成人教育中医药专业中西医结合专业使用 ) 方剂学闫润红主编 2 0 0 1 内容简介本书是供成人教育中医药专业中西医结合专业使用的教材全书分总论和各论两部分, 总论部分对中医方剂的基本理论, 如治法君臣佐使剂型剂量等及其现代研究进展进行了介绍各论部分对常用方剂的主治病证配伍意义临床应用加减变化规律及现代研究概况等内容, 按分类进行了系统阐述在保证方剂学学科知识结构完整性的前提下,