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缎金
5 years ago
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1 第三节能量量子化声子学习内容 : 33 能量量子化 33 声子

2 晶格振动格波简谐近似独立的振动模式由 B--K 边界条件分立值晶格振动能量量子化声子

3 33 能量量子化声子 33 能量量子化一维单原子链的情况 x A, i a 3 3 x, A i a x 由玻恩 - 卡门周期性边界条件 : 可以取 N 个值 x A i a

4 根据经典力学, 系统的总能量为势能 U 和动能 T 之和令 H T U m x x x x ia, Nm 则 : T m x U x x, * ia N 0, ' '

5 x * 证明 : x ia, Nm ia, Nm * * ia x, Nm x ia, Nm X 是实数, x * x *

6 证明 : ' ' 0, ia N 若, s Na π s Na π h l Na s s Na π π,l,s s 均为整数 iah inah N iah N iah ia N N N N π π l Na ia l Na ina N, ia N

7 x m T ia, Nm x i a i a, N T ia, N,, * *

8 x x U ia a i ia a i Nm ia a i ia a i N m ia ia ia ia ia a i N m

9 ia ia ia ia ia a i N m, ia ia m a m cos si 4 * a m, ia ia m

10 广义动量 : L P 哈密顿函数 : P L H 又 : H P 0 k m o x X ma f m x kx 0 x m k x 0 x x 谐振子的振动方程拉格朗日函数 : U T L

11 由 N 个原子组成的一维单原子链的振动等价于 N 个谐振子的振动, 谐振子的振动频率就是晶格振动频率据量子力学, 频率为 i 的谐振子的振动能 : E i i i N 晶格振动能量 : E i i i 三维晶格振动的总能量为 : E N 3 i i i 其中 N 为晶体中的原胞个数, 为每个原胞中的原子个数

12 晶格振动的能量是量子化的, 能量单位为格波晶格振动的能量量子声子 33 声子声子是晶格振动的能量量子, 其能量为, 准动量为声子不是真实的粒子, 称为准粒子, 它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元声子只存在于晶体中, 脱离晶体后就没有意义了一个格波一种振动模式, 称为一种声子一个, 就是一种声子, 当这种振动模式处于 i i本征态时, 称为有 i 个声子, i 为这种声子的声子数

13 3 由于晶体中可以激发任意个相同的声子, 所以声子是玻色型的准粒子, 遵循玻色统计 i i kbt 4 当电子或光子与晶格振动相互作用时, 交换能量以为单位, 若电子从晶格获得电子给晶格能量, 称为发射一个声子能量, 称为吸收一个声子, 若在简谐近似下, 声子是理想的玻色气体, 声子间无相互作用而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞, 正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态

14 例题一维复式格子中, 如果 m kg M m 4 5 N / m 计算光学波频率的最大值 o 和最小值 o, 声学波频率 A 的最大值 ; max O E max max O E mi A E max 相应声子的能量, 和 ; mi 3 在 T=300 下, 三种声子数目各为多少? 4 如果用电磁波激发光学波, 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段?

声学波的最大频率 M m 4 5 N / m A m ax 3 0 4 ra d / s 光学波的最大频率 mm m

15 声学波的最大频率 M m 4 5 N / m A m ax ra d / s 光学波的最大频率 mm m M 0 M O max M rad / s 光学波的最小频率 O mi m 4 60 / rad s

16 相应声子的能量 E A 0 98 m ax V E O 0 44 m ax V E O m i V

17 3 某一特定谐振子具有激发能的几率 T k T k B B P / / 根据归一化条件归一化常数 T k / B C P T k / B C P T k / B C T k / T k / B B P

18 P 频率为谐振子的平均能量 / T k B ] [ i i 频率为谐振子的能量 / T k i B i 第 i 个态的平均数声子玻色统计 T k / T k / B B P P T k / T k / B B

19 光学波频率的声子数目 O O -8 m ax m ax E O m i V O O m i m i 声学波频率的声子数目 E A 0 98 m ax V A A m ax m ax

20 4 如果用电磁波激发光学波, 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段? 对应电磁波的能量和波长 E O 0 44 m ax V 8 m 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 Nar IfrardNIR

21 34 离子晶体的长光学波声学波中, 相邻原子都沿同一方向振动光学波中, 原胞中不同的原子相对地作振动波长原胞的线度长波近似波长很长的光学波 : 长光学波波长很长的声学波 : 长声学波长声学波代表原胞质心的振动长光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动正负离子组成的晶体, 长光学波使晶格出现宏观极化

22 长波极限下, 晶格格波可以看作是弹性波晶格可以看成是连续介质连续媒质中弹性波的波动方程 : d r, K r, d 其中方程解的形式 : x y z r, 为拉普拉斯算符 A i r 为波矢量, 方向为波的传播方向 ; 为波的角频率或圆频率色散关系 : K

23 长光学波的宏观方程两种正负离子组成的复式格子半波长内, 正离子组成的布拉伐原胞同向位移, 负离子组成的布拉伐原胞反向位移使晶体中出现宏观的极化长光学波极化波

24 原胞中的两个正负离子质量两个正负离子的位移 M ad M ad 描述长光学波运动的宏观量原胞体积黄昆方程 W W P M M bw b W M M M M be b E b b P ad E 宏观极化强度和宏观电场强度

25 离子相对运动的动力学方程正负离子相对运动位移产生的极化和宏观电场产生的附加极化静电场下晶体的介电极化 W 恒定电场下 0 W b b E P b b b E

26 因为 0E P 0 0 E P [ 0 ] E 0 和 P b b b E 比较 [ 0 ] b 0 b b 高频电场下晶体的介电极化电场的频率远远高于晶格振动的频率 P P b W [ b E ] 0 E P b W 0 E [ ] b 0

27 在长光学波下有 W P bw b W be b E b 0 横长光学波的频率 Lydda-Sachs-TllrLST 关系 T 0 L0 0 光频介电常量静电介电常量

28 0, Lo To T 0 L0 0 铁电软模光学软模 / 有些晶体在某种温度下, 0 0, 0 TO 恢复力消失, 发生位移的离子回不到原来平衡位置, 即晶体结构发生了改变在这一新结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 产生了所谓的自发极化 0 TO 相当于弹簧振子系统中的弹簧丧失了弹性, 即弹簧 0 变软称的振动模式为铁电软模或光学软模

29 3 极化声子和电磁声子晶体中存在长光学纵波 LO 和长光学横波 TO 因为长光学波是极化波, 且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场, 所以长光学纵波声子称为极化声子长光学横波与电磁场相耦合, 它具有电磁性质, 称长光学横波声子为电磁声子

30 35 晶格振动谱的实验方法晶格振动的频率与波矢之间的关系称为格波的色散关系, 也称为晶格振动谱实验方法主要有中子的非弹性散射 X 射线和光的散射 35 中子的非弹性散射原理中子与晶体的相互作用中子吸收或发射声子非弹性散射中子与晶体中声子的相互作用散射过程满足能量守恒和准动量守恒

31 入射中子流 : 动量为 p 能量为 P E M 为中子质量从晶体中出射的中子流 : 动量为 p 能量为 E P M 由能量守恒和准动量守恒得 : P' M P M P' P K h + 表示吸收一个声子 - 表示发射一个声子

32 测出不同散射方向上的动量, p P E M 固定入射中子流的动量, ; 中子源仪器反应堆中产生的慢中子流单色器准直器样品 p E 准直器中子谱仪结构示意图 P M 分析器布拉格反射产生单色的动量为 P 的中子探测器布拉格反射产生单色的动量为 P 的中子

33 美国橡树岭国家实验室 ORNL Oak Ridg Naioal Laboraory 散裂中子源 SNSSpallaio Nuro Sourc 是以加速器为基础的中子源 33

34 35 光的散射和 X- 射线散射光的散射光子与晶体的相互作用光子吸收或发射声子非弹性散射光子与晶体中声子的相互作用散射过程满足能量守恒和准动量守恒 Ω Ω k k K h + 表示吸收一个声子 - 表示发射一个声子

35 Ω Ω k k K h k 和代表入射光的波矢和能量, k 和 Ω 代表出射光的波矢和能量可见光范围, 波矢为 0 5 cm - 的量级, 故相互作用的声子的波矢也在 0 5 cm - 的量级, 只是布里渊区中心附近很小一部分区域内的声子, 即长波声子布里渊散射 : 光子与长声学波声子的相互作用 ; 拉曼散射 : 光子与光学波声子的相互作用 ;

36 3 斯托克斯散射 : 散射频率低于入射频率的散射 ; 4 反斯托克斯散射 : 散射频率高于入射频率的散射 X- 射线散射 X 光光子能量 V 声子能量 ---0 V 能量变化很少, 不易测量

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Microsoft PowerPoint - Lattice-vibration.ppt 第三章晶格振动的红外吸收和 Raman 散射在实际晶体中, 原子 ( 离子 ) 实不是处于完全静态的位置只要有一定的温度, 就有一定的热运动能量, 原子实就不可能是静止的存在原子实的运动和存在特定的运动形式, 以及存在原子实运动与电子运动相互作用等, 在一系列现象得以表现在晶体中, 原子的简谐运动就是晶格振动模, 或者说是声子晶格振动模, 或声子可以同各种辐射波相互左右同光的相互左右之一就是红外吸收