2.1 切線但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例例求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商

Size: px

Start display at page:

Download "2.1 切線但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例例求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商"

凡沧郝
5 years ago
Views:

1 臺灣大學開放式課程微積分甲 - 朱樺教授第 2 章微分 (Differentiation) 目錄 2.1 切線導函數微分公式連鎖律高階導函數隱函數微分三角函數的導函數昇降性平均值定理反導函數線性估計變化率 (i) 由切線的概念導入微分 (ii) 定義導函數及導數 (iii) 導出微分的四則運算和合成運算的公式 (iv) 隱函數微分 (v) 微分應用, 包括變化率及線性估計 2.1 切線 (Tangents) 註圓 C 在 P 點的切線 L, 滿足以下三特性 : (a) L 與過 P 之半徑垂直 (b) L 與 C 只交於一點 (c) C 位於 L 的一側 23 本著作除另有註明外, 採取創用 CC 姓名標示 - 非商業性 - 相同方式分享台灣 3.0 版授權釋出

2 2.1 切線但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例例求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商 (Newton quotient) (2) 曲線 y = f(x) 在點 P (a, b), b = f(a), 之斜率 (slope) 為 ( 假設其極限存在 ) m = lim h 0 f(a + h) f(a) h (3) 其 ( 非垂直 ) 切線 (tangent line) 為通過 P, 且其斜率為 m 的直線, 即 y = f(a) + m(x a) (4) 其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即 y = f(a) 1 (x a) m (5) 若 f(a + h) f(a) lim h 0 h 則 x = a 為 ( 垂直 ) 切線, y = b 為法線 = 或 lim h 0 f(a + h) f(a) h 例證明直線 y = mx + b 在其上任一點的切線為本身例討論以下函數在 x = 0 的切線 : (1) f(x) = x, (2) f(x) = x 1 3, (3) f(x) = x 2 3 定義 =, (1) 設兩曲線相交於 P 點, 則此兩曲線在 P 點的交角定義為它們過 P 點之切線的交角 (angle between two curves) (2) 若兩曲線在 P 點的交角為直角, 則稱它們在 P 點正交 (orthogonal) (3) 若兩曲線在 P 點的切線相同, 則稱它們在 P 點相切微積分講義, 24

3 2.2 導函數 2.2 導函數 (Derivatives) 導數與導函數定義 f(a+h) f(a) (1) 令 f(x) 為一函數, 且 a Dom f 假設極限 lim 存在, 則定義此極限為 h 0 h 函數 f(x) 在 x = a 的導數 (erivative), 記為 f (a), 且稱函數 f(x) 在 x = a 可微 (ifferentiable) (2) 對任一個可微點 a, 其對應一值 f (a); 此對應可定義一個函數 f (x), 稱為 f(x) 對於 x 的導函數 (erivative)即 ( ) f f(x + h) f(x) f(y) f(x) (x) = lim = lim h 0 h y x y x 導函數的定義域即為所有可微之點註 (1) 求導函數的過程稱為微分 (ifferentiation) (2) 給定 y = f(x), 其導函數可記為以下形式 : f (x) = y = y x = f x = x f(x) = Df(x) = D xf(x) = f(x) (3) 給定 y = f(x), 其在 x = a 的導數可記為以下形式 : f (a) = y x=a = y x x=a = f x x=a = x f(a) = Df(a) = D xf(x) x=a = f(a) x=a 稱為取值符號 (evaluation symbol) (4) 曲線 y = f(x) 在點 (a, f(a)) 之切線斜率即為導數 f (a) 例 ( 圖形微分, Graphical ifferentiation) 試描繪圖中之函數的導函數圖形例求 x xn, n N 例求 x 例求 x ( 1 x n ), n N n x, n N 例求 x x, 及 y = x 在 x = 4 的切線, 法線方程式例 (a) 求過 (1, 1), 且與 y = x 2 相切的直線 (b) 求過 ( 1, 1), 且與 y = x 2 相切的直線例求 y = 1 + x 2 及 y = 1 x 2 的公切線微積分講義, 25

4 2.3 微分公式例若 f(x) 在 x = a 可微, 求 lim h 0 f(a+h) f(a h) 2h 定義 (1) 若 f(x) 在一開區間 (a, b) 上每一點均有導數, 則稱它在 (a, b) 上可微 f(a+h) f(a) (2) 若 lim 存在, 則稱 f(x) 在 x = a 有右導數 f h 0 + h +(a); f(a+h) f(a) 若 lim 存在, 則稱 f(x) 在 x = a 有左導數 f h 0 h (a) (3) 若 f(x) 在 (a, b) 上可微, 且在 x = a 有右導數, 在 x = b 有左導數, 則稱 f(x) 在 [a, b] 上可微例 f(x) = x 在 x = 0 不可微 (corner), 求其導函數例 f(x) = x 在 x = 0 不可微 (cusp) 可微性與連續性定理若 f(x) 在 x = a 可微, 則 f(x) 在 x = a 連續註 (1) f(x) 在 x = a 不可微的三種可能狀況 : (a) f(x) 在 x = a 不連續 (b) f(x) 在 x = a 連續, 但 f +(a) f (a), 稱為拐點 (corner 或 kink) (c) f(x) 在 x = a 連續, 但 lim f (x) = lim f (x) =, 或 lim f (x) = lim f (x) = x a+ x a x a+ x a, 則稱為臍點 (cusp) (2) (a) 一函數連續, 不見得可微 ( 例如 f(x) = x 在 x = 0 處 ) (b) 一函數在 a 可微, 則必有切線 (c) 一函數在 a 有切線, 則不必可微 ( 可能為垂直切線 ) 定理 (Darboux, 導函數的中間值定理 ) 若 f(x) 在 I 上可微, 且 a, b I, 則 f (x) 對 f (a) 及 f (b) 之間每一數均可取值即 : 對介於 f (a) 與 f (b) 之間的任意數 k, 皆存在 c I 使得 f (c) = k 例求 f(x) = x 之導函數例是否存在 R 上的可微函數, 使其導函數是 x? 2.3 微分公式定理假設 f(x), g(x) 均可微 (1) x (c) = 0 (2) x (c(f(x))) = c x f(x) (3) (f ± g) = f ± g x x x 微積分講義, 26

5 2.4 連鎖律 g (4) (fg) = f + g f x x x f g h (5) (fgh) = gh + f h + fg x x x x (6) ( f ) = f x x g g f g x g 2 例若 y = uv, 且 u(2) = 3, u (2) = 4, v(2) = 1, v (2) 2, 求 y (2) 例若 f(x) = xg(x), 且 g(4) = 2, g (4) = 3, 求 f (4) 例求 y = x 4 6x 的水平切線方程式例求函數 y = (x2 + 1 x )(x3 +3) 的導函數 x+1 例令 f ij (x) 為可微函數求行列式 g(x) = 2.4 連鎖律 (Chain Rule) f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) 的導函數定理 ( 連鎖律 ) 若 f(u) 在 u = g(x) 處可微, g(x) 在 x 處可微, 則合成函數 f g 在 x 處可微, (f g) (x) = f (g(x)) g y (x) 或 = y u x u x 註以放大率解釋連鎖律例微分以下函數 : (1) f(x) = (3x 2 + 1) 2, (2) f(x) = (x 3 1) 100, (3) f(x) = ( x 2 2x+1 )9, (4) f(x) = 1 3 x 2 +x+1, (5) f(x) = (2x + 1) 5 (x 3 2x + 1) 4, (6) f(x) = 3 x 2 + x 3 + 1, (7) f(x) = x 2 1 例證明 y = 1 (1 2x) 3 的每一條切線都是正斜率例假設 f(x) 在實數上可微, 試以 f (x) 表出以下各函數的導函數 : (1) f(3x), (2) f(x 2 ), (3) f(πf(x)), (4) [f(3 2f(x))] 4 微積分講義, 27

6 2.5 高階導函數 2.5 高階導函數 (Higer-Orer Derivatves) 定義給定 y = f(x), 假設 f (x) 也可微定義 f (x) = (f (x)), 稱為 f(x) 的二階導函數同樣, 可定義 f (x) = (f (x)),..., f (n) (x) = (f (n 1) (x)) f (n) 稱為 f 的 n 階導函數註符號 : y = f(x) = f (0) (x), y = f (x) = f (1) (x), ; 一般 y (n) = n y x n = D n y 定理 (Leibniz) (fg) (n) = n ( n ) i=0 i f (i) g (n i), 其中 f (0) = f, ( ) n i = n! 例求以下各例的 f (n) : (1) f(x) = x 3 3x 2 + 2, (2) f(x) = x n, (3) f(x) = 1 2x+3, (4) f(x) = 1 x 例 y =, 求 y (n) x 2 4x+3 ( 例證明 n ax+b ) x n cx+ = ( 1) n 1 n!c n 1 (a bc) (cx+) n+1 例求 ( x3 x 2 1 )(96) 註 i!(n i)! 為二項係數 ( ) (f g) (n) n! (x) = Σ m 1!m 2!m 3! m n! f (m 1+m 2 +m 3 + +m n g ) (g(x))π n (j) (mj) (x) j=1, j! 其中求和符號 Σ 是對所有滿足 1m 1 +2m 2 +3m 3 + +nm n = n 之非負整數 (m 1, m 2, m 3, m n ) 求和這公式稱為 faà i Bruno( ) 公式例令 Legenre 多項式為 χ n (x) = 1 2 n n! [(x2 1) n ] (n) (a) 證明 (x 2 1)χ n + 2xχ n n(n + 1)χ n = 0 (b) 求 χ n (1) 及 χ n ( 1) 2.6 隱函數微分 (Implicit Differentiation) 例 (a) 若 x 2 + y 2 y = 25, 求 x (b) 過圓 x 2 + y 2 = 25 上一點 (3, 4) 的切線方程式為何? 例若 q p Q, 求 x (x q p ) 例求 x (1 x2 ) 1/4 微積分講義, 28

7 2.7 三角函數的導函數例曲線 x 3 + y 3 2xy = 0 上有一點斜率為 1, 求該點例星芒線為 x y 2 3 為一常數 = a 2 3, a > 0 證明過其上任一點的切線, 被座標軸截出線段長度例若 x 4 + y 4 = 16, 求 y 例證明 : 對任意的 a, b, 曲線 x 2 y 2 = a 與曲線 xy = b 均為正交例 (a) 若 x 3 + y 3 = 9xy, 求 y (b) 過 the folium of Descartes x 3 + y 3 = 9xy 上一點 (2, 4) 的切線及法線方程式為何? (c) 曲線上哪一點的切線為水平? () 討論過原點的切線方程式 2.7 三角函數的導函數定理 (1) (2) cos x = sin x x (3) x tan x = sec2 x (4) x cot x = csc2 x sin x = cos x x (5) sec x = tan x sec x x (6) csc x = cot x csc x x 例求以下函數的導函數 : (1) f(x) = tan(5 sin 2x), (2) f(x) = sin(cos(tan x)), (3) f(x) = sin(x ), (4) f(x) = sin x cos x 例 (a) 證明 cos x + cos 2x + + cos nx = sin(n+ 1 2 x) 2 sin x 2 (b) 導出和 sin x + 2 sin 2x + + n sin nx 之公式例求 y = sin 5 x 在 x = π/3 的切線方程式例求 f(x) = sec x 的水平切線方程式 1+tan x 例若 sin(x + y) = y 2 cos x, 求例令 y = sec x, 求 y y x 微積分講義, 29

8 2.8 昇降性例令 y = sin x, 求 y (n) 例令 y = sin(ax + b), 求 y (n) 例令 y = x 3 sin 2x, 求 y (95) 例令 f n (x) = { x n sin 1 x if x 0 0 if x = 0, 求滿足下列各條件之 n 值並嘗試推廣 : (a) 使其連續, (b) 使其可微, (c) 使其導函數連續, () 使其二階可微 2.8 昇降性定義令 f(x) 定義在區間 I 上 (a) 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) < f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為遞增 ( 或上昇, increasing) (b) 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) > f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為遞減 ( 或下降, ecreasing) (c) 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為非遞減 ( 或上昇, nonecreasing) () 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為非遞增 ( 或下降, nonincreasing) (e) 一個函數為遞增或遞減, 統稱為在 I 上單調 (monotonic) 定理假設 f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微 (1) 若 f (x) > 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞增 (2) 若 f (x) < 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞減 (3) 若 f (x) 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上非遞減 (4) 若 f (x) 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上非遞增例證明 : sin x < x, x > 0 例證明 : 1 + x < 1 + x 2, 其中 x > 0 或 1 x < 0 微積分講義, 30

9 2.9 平均值定理 2.9 平均值定理 (Mean Value Theorem) 極值定義 (1) 若存在 c Dom f 滿足 : 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 x (a, b), f(x) f(c), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值 ( 或局部極大值, relative maximum or local maximum) (2) 若存在 c Dom f 滿足 : 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 x (a, b), f(x) f(c), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極小值 ( 或局部極小值, relative minimum or local minimum) (3) 令 c 為定義域區間的左端點, 若存在一個區間 [c, b), 使得 f(x) f(c), x [c, b), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值反之, 若使得 f(x) f(c), 則稱為相對極小值 (4) 令 c 為定義域區間的右端點, 若存在一個區間 (a, c], 使得 f(x) f(c), x (a, c], 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值反之, 若使得 f(x) f(c), 則稱為相對極小值 (5) 相對極大與相對極小值統稱相對極值定義 (1) 令 f(x) 定義在 D 上若存在 c D 使得 f(x) f(c), x D, 則稱 f 在 D 上有絕對極大值 f(c) ( 或全域極大值, absolute maximum or global maximum) (2) 若存在 c D 使得 f(x) f(c), x D, 則稱 f 在 D 上有絕對極小值 f(c) ( 或全域極小值, absolute minimum or global minimum) (3) 絕對極大值與絕對極小值統稱絕對極值 (extreme values) 定理 ( 極值定理 Extreme Value Theorem, Weierstrass 定理 ) 若 f(x) 在 [a, b] 上連續, 則 (a) f(x) 必有界 (b) f(x) 必存在極大及極小值定理 (Fermat) 若 f(x) 在 D 之內點 c 有相對極值, 且 f(x) 在 x = c 可微, 則 f (c) = 0 定義在 f(x) 之定義域 D 的內點 c, 若 f (c) = 0 或 f (c) 不存在, 則 c 稱為 f(x) 的臨界點 (critical point) 故 f(x) 的相對極值必發生在臨界點或邊界點例討論 f(x) = x 3 及 f(x) = x 在 x = 0 的行為例求 f(x) = 3x 4 4x 3 12x 的所有臨界點和升降區間, 並求其極值例令 f(x) = x 3 12x + 5 求所有臨界點, 並指出其遞增及遞減區間例求 f(x) = x 3 5 (4 x) 2 的臨界點平均值定理微積分講義, 31

10 2.10 反導函數定理 (Rolle) 假設 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微若 f(a) = f(b), 則存在 c (a, b), 使得 f (c) = 0 [ 註 ] 若 f 在 (a, b) 上不完全可微, 則此定理不一定成立例 :f(x) = x 在 [ 1, 1] 上定理 ( 平均值定理 ) 假設 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微, 則存在 c (a, b), 使得 f (c) = f(b) f(a) b a 定理 (Cauchy 平均值定理, 廣義平均值定理 ). 設 f 及 g 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微, 且 g f (x) 0, x (a, b) 則存在 c (a, b), 使得 (c) = f(b) f(a) g (c) g(b) g(a) 例令 0 a < b, 對 f(x) = x 在區間 [a, b] 上驗證平均值定理例假設高速公路限速 90 公里 / 時, 高雄台北距離 300 公里一輛車上午 8:00 從台北出發, 11:00 到達高雄, 則該車輛必有超速的時刻例若 f (0) = 3, f (x) 5 x 則 f (2) 最大可能多少? 例證明 : tan x tan y x y, x, y ( π 2, π 2 ) 例證明 : y = x3 3 3x 至少有一水平切線例證明 : x 3 + 3x 1 = 0 恰有一實根例設 F 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微若 F 在 [a, b] 上有 r 個相異根, 則 F 在 (a, b) 上至少有 r 1 個相異根例多項式 f(x) 在 x = c 有 r 重根, 則 f (x) 在 x = c 恰為 r 1 重根例設 n 次多項式 p(x) 有 n 個實根 ( 包括重根在內 ), 則 p (x) 恰有 n 1 個實根 2.10 反導函數 (Antierivatives) 定理 (1) 若 f(x) 在區間 I 上連續, 且在 I 的每一內點 x, f (x) = 0, 則 f(x) 為一常數函數 (2) f(x), g(x) 在區間 I 上連續, 且在 I 的每一內點 x, f (x) = g (x), 則存在一常數 C, 使得 f(x) = g(x) + C, x (a, b) [ 註 ] f(x) = x 不是常數函數, 但 f (x) = 0 在所有非整數上例試找一些函數 f(x), 使 f (x) = tan x sec 2 x 定義 (1) 一個函數 F (x) 若滿足 F (x) = f(x), x I, 則稱 F (x) 為 f(x) 的反導函數 (antierivative) (2) 若 F (x) 為 f(x) 的反導函數, 則所有 f(x) 的反導函數為 F (x) + C 定義 f(x) 的不定積分 (inefinite integral) 為 f(x)x = F (x) + C 例求 f(x) = sin x 之反導函數 F, 且滿足 F (0) = 3 微積分講義, 32

11 2.11 線性估計 t+5 例求一函數 g(t), 使其導函數為, 且圖形通過 (4, 1) 例求一曲線, 使其在任一點 (x, y) 處的斜率為 3x 2, 且通過 (1, 1) 例求下列各不定積分 : (1) x 5 x, (2) 1 x x, (3) (cos x x)x 定義 t 3 2 y (1) 求一函數 y, 使其滿足 = f(x), 則此式稱為微分方程 (ifferential equation), y = x F (x) + C 稱為通解 (general solution) (2) 若取定 y(x 0 ) = y 0, 則稱其為起始值問題 (initial value problem); 滿足該條件的解稱為特解 (particular solution) 例求 y = g(x), 使得例求 y = f(x), 使得 y = 4 sin x + 2x5 x x x 2.11 線性估計 (Linearizations) 2 y = 12x 2 6x 4, 且 y(0) = 4, y(1) = 1 x 2 定義令 y = f(x) 為可微函數, x, x 為兩獨立變數微分 (ifferential) y 定義為 y = f (x)x 定理 [ 線性逼近定理 (linear approximation theorem)] 若 y = f(x) 在 x = a 可微, 且 x 從 a 變化到 a + x, 令 y = f(a + x) f(a), 則當 x 很小時, y y 例若 y = f(x) = x 3 + x 2 2x + 1, 比較 y 和 y, 其中 : (a) x 從 2 到 2.05; (b) x 從 2 到 2.01 例求 3.98, 4.05 的估計值例球半徑測量值為 21 cm, 可能產生 0.05 cm 的誤差則其計算球體積時會產生多少誤差? 2.12 變化率 (Rate of Changes) 定義 (1) 給定函數 y = f(x), 在 x 1 處, x 的變化為 x = x 2 x 1, 所對應 y 的變化為 y = f (x 2 ) f (x 1 ) y = f(x 2) f(x 1 ) x x 2 x 1 稱為 y 在 [x 1, x 2 ] 上對 x 的平均變化率 (2) y = lim y 稱為 y 對 x 的瞬時變化率 ( 若此極限存在 ) x x 0 x 微積分講義, 33

12 2.12 變化率 (3) x x 稱為 f(x) 對 x 的相對變化 (relative change) (4) 100 x x 稱為 f(x) 對 x 的百分變化 (percentage change) 例求在半徑為 5 時, 圓的面積 A 對半徑的變化率例若圓半徑增加 2% 時, 求圓的面積 A 的百分增加率例午後溫度為 T = 1 3 t3 3t 2 + 8t + 10, 0 t 12 則在午後 1 時, 溫度升降速度如何? 何時溫度變化穩定? 例 ( 敏感度, sensitivity of change) 投以藥物劑量 x mg, 則血壓平均降低量為 R = x 13 24, 2(1 + ) x 現分別以藥物 5 mg, 15 mg, 35 mg, 則在那一個劑量下, 增加藥量效 2 26x+529 果反應最大? 物理定義若一物體直線運動, 在時間 t 的位置為 s = f(t), 則在時間 t, 物體的運動速度 (velocity) 為 v(t) = s = lim t t 0 f(t+ t) f(t) t 速率 (spee) 為 v(t) = s t 加速度 (acceleration) 為 a(t) = v = 2 s t t 2 急跳度 (Jerk) 為 j(t) = a = 3 s t t 3 例一物體的位置函數為 s = f (t) = t 3 6t 2 + 9t (t 單位為秒,s 單位為公尺 ) (a) 求時間 t 的速度 (b) 求 t = 2 及 t = 4 的速度 (c) 何時粒子靜止? () 何時粒子向前 ( 即正向 )? (e) 作圖表現粒子的運動 (f) 求時間 t 的加速度 (g) 何時粒子加速? 何時減速? (h) 作 0 t 5 時, 位置速度和加速度的函數圖形例一車速度為 72 km/h 現突然煞車, 減加速度 (celeration) 為 0.8 m/s 2, 則在煞車到停車時共走了多遠? 經濟例一工廠生產布料, 生產 x 公尺的成本是 C = f(x) (a) f (x) 的意義為何? 單位為何? (b) f (1000) = 9 的意義為何? (c) f (500) 及 f (50), 你認為哪一個比較大? f (5000) 呢? 微積分講義, 34

13 2.12 變化率定義若 C(x) 為生產量 x 時的成本函數 (cost function), 則生產的邊際成本 (marginal c cost) 為 x (C (n) C (n + 1) C (n). 其意義為每多生產一件產品時所增加的成本 ) 例若 C (x) = x x 2, 則 C (500) = 15,C (501) C (500) = C (500) C (501) C (500) 例需求量 y 是價格 p 的函數, 則需求彈性 (Elasticity of eman) 為 p y y p 微積分講義, 35

3.2 導函數其切線 (tangent line) 為通過 P, 且其斜率為 m 的直線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即 y = f(a) 1 (x a) m

3.2 導函數其切線 (tangent line) 為通過 P, 且其斜率為 m 的直線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即 y = f(a) 1 (x a) m 第 3 章微分 (Differentiation) 目錄 3.1 切線................................... 25 3.2 導函數.................................. 26 3.3 微分公式................................. 28 3.4 連鎖律..................................

2.1 切線 但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例 例 求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式 定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商

2.1 切線但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例例求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商