4.2 求根法例一倒立的圓錐形容器, 高 4 m, 底半徑 2 m 現以 2 m 3 /min 的速率倒入水, 則當水面高 3 m 時, 水面升高的速率為若干? 並求加速度例一人在路上以 1.5 m/s 的速度走, 探照燈在距馬路 6 m 遠處持續照這人, 則這人

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溪夜右焦
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1 臺灣大學開放式課程微積分甲 - 朱樺教授第 4 章導函數應用目錄 4.1 相對速率求根法不定形漸近線昇降性凹凸性函數極值極值判別法作圖極值應用線性估計 Taylor 多項式 (i) 導函數在圖形上的意義 (ii) 作圖 (iii) 極值及極值應用 (iv) 其他應用 : 相對速率, 求根, 不定型, 線性估計, Taylor 多項式 4.1 相對速率 (Related Rates) 例一矩形長 10 cm, 寬 8 cm 現長以 2 cm/sec 之速率增加, 寬以 3 cm/sec 之速率增加, 求面積之增加速率? 例空氣注入球形氣球, 其體積以速率 100 cm 3 /sec 增加, 則在直徑為 50 cm 時, 其半徑增加速率為何? 例 m 長的梯子斜靠一牆, 其底部以 1 m/s 速率滑開, 則在底部離牆腳 3 m 時, 梯子頂部下降速率若干? 51 本著作除另有註明外, 採取創用 CC 姓名標示 - 非商業性 - 相同方式分享台灣 3.0 版授權釋出

2 4.2 求根法例一倒立的圓錐形容器, 高 4 m, 底半徑 2 m 現以 2 m 3 /min 的速率倒入水, 則當水面高 3 m 時, 水面升高的速率為若干? 並求加速度例一人在路上以 1.5 m/s 的速度走, 探照燈在距馬路 6 m 遠處持續照這人, 則這人位在距探照燈與馬路最近之點 8 m 處時, 探照燈轉動的速度若干? 例有一高 4 公尺電線桿. 王先生在 9 公尺外放天燈, 天燈以 1 3 公尺 / 秒的速率上升則在高度為 16 公尺時, 電線桿影子縮短的速率若干? 例一車以 100 km/h 之速度往東南行駛, 此刻飛機在汽車的正上方 1 km 處以 400 km/h 之速度往東飛行求 36 秒後兩者間之距離增加速度為何? 4.2 求根法 (Finding Roots of Equations) 固定點疊代法固定點疊代法 (fixed point iteration) 是處理形如 f(x) = x 的方程式其解稱為固定點 (fixed point) 例解方程式 cos x = 5x 定理 ( 固定點定理 ) 令 f(x) 定義在區間 I = [a, b] 上, 且滿足 (i) 當 x I, 則 f(x) I; (ii) 存在 K, 0 < K < 1, 使得對所有 u, v I, f(u) f(v) K u v 則有惟一的固定點 r 且對任意的 x 0 I, 迭代 x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ),... 均收斂到 r 例證明 : f(x) = k cos x, 0 < k < 1 均滿足定理之條件例解方程式 x = 0 牛頓法欲解一方程式 f(x) = 0, 先適當選取方程式 f(x) = 0 之根的第一個估計值 x 0, 再利用 x n+1 = x n f(xn) f (x n ) ( 若 f (x n ) 0), 陸續求出根的逼近值例以牛頓法求 x 3 x 1 = 0 的根, 從 x 0 = 1.5 開始估計例估計 cos x = x 之根到小數 6 位 { x r if x r 例試以牛頓法估計 f(x) = r x if x < r 的根定理 (Newton 法之誤差 ) 若 f(x) = 0 之根為 r, I 為一包含 r, x n, x n+1 之區間假設 f, f, f 均在 I 上連續, 且假設存在 K > 0 及 L > 0, 使得對所有 x I, 滿足 f (x) K 及 f (x) L 則 x n+1 r K 2L x n+1 x n 2 且 x n+1 r K 2L x n r 2 微積分講義, 52

3 4.3 不定形 4.3 不定形 (Indeterminate Forms) 定理 (l Hôpital 定律, 初步型 ) 假設 f(a) = g(a) = 0, f (a), g (a) 存在, 且 g f(x) (a) 0 則 lim = f (a) x a g(x) g (a) 定理 (l Hôpital 定律, 加強型 ) 假設 f(a) = g(a) = 0, f 及 g 在包含 a 的開區間 I 上可微, 且在 I 上, g (x) 0 若下式右 f(x) 側極限存在, 則 lim = lim f (x) x a g(x) x a g (x) 註 (1) 以上的 l Hôpital 定律所處理的極限記為 0 0 型, l Hôpital 定律對型亦成立 (2) l Hôpital 定律對 x a +, x a, x, x 均成立 (3) 0 0 型型 0 型型極限統稱為不定形另有指數型不定形 ( 0 0 ) 型例求 lim 3x sin x x 例求 lim 1+x 1 x 1+x 1 x 2 例求 lim x 2 例求 lim 1 cos x x+x 2 例求 lim sin x x 2 例求 lim sin x x x 3 例求 lim + x+sin x x 例求 lim 1 cos x 2 x 2 sin x 2 例求 lim x cot x 1 x 2 例求 lim tan x x x 3 例求 lim x π sin x 1 cos x 例求 lim x π 2 2x π cos 2 x 例求 lim x 1 例求 lim ln x x 2 1 x2 1 sin x tan x 例求 lim 2 sin x sin(2x) 2e x 2 2x x 2 微積分講義, 53

4 4.3 不定形例求 lim xe 2x +xe x 2e 2x +2e x (e x 1) 3 ( ) 型例求 lim x π 2 sec x 1+tan x 例求 lim x x 2x 2 3x 2 +5x sec θ 例求 lim θ π tan θ 2 e 例求 lim x x x 2 ln x 例求 lim 3 x x ( 0) 型例求 lim + x ln x 例求 lim + x ln x 例求 lim x (x sin 1 x ) ( ) 型例求 lim( 1 1) sin x x 例求 lim ( 1 sin 2 x 1 x 2 ) 例求 lim (sec x tan x) x π 2 指數型例求 lim + xx 例求 lim x x 1 x 例求 lim +(1 + x) 1 x sin x 例求 lim +( x )cot x 例求 lim +(sin x)sin x x 例求 lim x (1 + sin 3 x )x 例求 lim + (1 + sin 4x)cot x 微積分講義, 54

5 4.4 漸近線 4.4 漸近線 (Asympotes) 定義 (1) 若 lim f(x) = b 或 lim f(x) = b, 則 y = b 稱為 y = f(x) 之水平漸近線 x x (2) 若 lim x a + f(x) = ± 或 lim x a f(x) = ±, 則 x = a 稱為 y = f(x) 之垂直漸近線 (3) 若 lim x ± f(x) (mx + b) = 0, 則 y = mx + b 稱為 y = f(x) 的斜漸近線 (oblique asymptote) 註斜漸近線之求法 : m = 存在 ) f(x) lim, b = lim (f(x) mx)( 若 m 存在且 m 0, b x ± x x ± 例在右圖中的函數 f(x), 求無限極限在無窮遠的極限和漸近線例討論 y = tan x 及 y = sec x 的漸近線例求 y = e x 及 y = ln x 的漸近線例求 y = f(x) 的漸近線 (1) y = 1 x 2 x, (2) y = 3x2 x 2 5x 2 +4x+1, (3) y = x3 x 2 +x+1, (4) y = x2 3 2x 4, (5) y = 2x x 5, (6) y = xex 1+e x 例討論 f(x) = sin 1 x + 2 的漸近線例求 y = 2 + sin x x 之漸近線 [ 註 ] 漸近線可能與曲線交無限多個點 4.5 昇降性定理假設 f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微 (1) 若 f (x) > 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞增 (2) 若 f (x) < 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞減微積分講義, 55

6 4.6 凹凸性 4.6 凹凸性凹凸性定義令 f(x) 為 I 上的可微函數若 f 在 I 上遞增, 則稱 y = f(x) 之圖形在 I 上為上凹 ( 或凹向上, concave up) 若 f 在 I 上遞減, 則稱 y = f(x) 之圖形在 I 上為下凹 ( 或凹向下, concave down) 註若 y = f(x) 之圖形在 I 上為上凹, 則其圖形位於切線之上方 ; 若 y = f(x) 之圖形在 I 上為下凹, 則其圖形位於切線之下方定理 ( 凹凸性之二階導數判別法 ) 設 f(x) 在 I 上二次可微 (1) 若在 I 上, f > 0, 則 f 之圖形在 I 上為上凹 (2) 若在 I 上, f < 0, 則 f 之圖形在 I 上為下凹例描述一函數 f (x) 之圖形使其滿足以下條件 : (i) 在 (, 1) 上, f (x) > 0, 在 (1, ) 上, f (x) < 0, (ii) 在 (, 2) 及 (2, ) 上, f (x) > 0, 在 ( 2, 2) 上, f (x) < 0, (iii) 反曲點 lim f (x) = 2, lim f (x) = 0 x x 定義令 P 為 y = f(x) 之圖形上一點若在 P 點的切線存在, 且在該點凹凸性改變, 則稱此點為反曲點 (point of inflection) 註若 (x, f(x)) 為反曲點, 則 f (x) 不存在或 f (x) = 0 例一物體在直線上運動, 其位置函數為 s(t) = 2t 3 14t t 5 求其速度及加速度函數並描述其運動例討論以下函數之的升降凹凸性及反曲點 : (1) y = x 3, (2) y = x 2, (3) y = x 4, (4) y = x 1/3, (5) y = 3 + sin x, 在 [0, 2π] 上, (6) y = x 4 4x 3 微積分講義, 56

7 4.7 函數極值 4.7 函數極值 (Extreme Values) 相對極值定理 (Fermat) 若 f(x) 在 D 之內點 c 有相對極值, 且 f(x) 在 x = c 可微, 則 f (c) = 0 定義 (1) 在 f(x) 之定義域 D 的內點 c, 若 f (c) = 0, 則 c 稱為 f(x) 的臨界點 (critical point) (2) 在 f(x) 之定義域 D 的內點 c, 若 f (c) 不存在, 則 c 稱為 f(x) 的奇異點 (singular point) 故 f(x) 的相對極值必發生在臨界點, 奇異點或邊界點例討論 f(x) = x 3 及 f(x) = x 在 x = 0 的行為例求 f(x) = x 3 5 (4 x) 2 的臨界點, 奇異點絕對極值例討論 f(x) = x 2 分別在 (, ), [0, 2], (0, 2], (0, 2) 上的極值定理 ( 極值定理 Extreme Value Theorem, Weierstrass 定理 ) 若 f(x) 在 [a, b] 上連續, 則 (1) f(x) 必有界 (2) f(x) 必存在極大及極小值例 f(x) = sin 2 x + x 3 + x4 + tan 1 x + ln x 在 [1, 4] 上是否有絕對極大值? 註求連續函數 f 在閉區間 [a, b] 上之極值的方法 : (a) 求 f 在 (a, b) 上的臨界點 ; (b) 求 f(a) 及 f(b); (c) 比較 (a) (b) 中各函數值例 (1) 求 f(x) = x 3 3x 在 [ 1, 4] 之極值 (2) 求 g(x) = x 3 3x 2 9x + 2 在 [ 2, 2] 上的絕對極值 (3) 求 f(x) = x 4 2x 2 3 在 [ 2, 2] 上的絕對極值 (4) 求 f(x) = x 2 3 在 [ 2, 3] 上的絕對極值 (5) 求 h(x) = 3x 2 3 2x 在 [ 1, 1] 上的絕對極值 (6) 求 f(x) = x x 2 3 在上 [ 1, 2] 的絕對極值 (7) 求 f(x) = 10x(2 ln x) 在 [1, e 2 ] 上的絕對極值微積分講義, 57

8 4.8 極值判別法定理若 f(x) 在 (a, b) 連續, 且 lim f(x) = L lim f(x) = M, 則 x a+ x b (a) 若對某個 u (a, b), f(u) > L 且 f(u) > M, 則 f(x) 在 (a, b) 上有絕對極大值 (b) 若對某個 u (a, b), f(u) < L 且 f(u) < M, 則 f(x) 在 (a, b) 上有絕對極小值例證明 : f(x) = x + 4 x 在 (0, ) 上有絕對極小值例求 f(x) = xe x2 的所有臨界值, 求 lim x ± f(x), 並作圖例求 f(x) = (x 2 3) e x 的臨界點, 並求極值 4.8 極值判別法定理 ( 局部極值的一階導數判別法 ) 令 f 在 [a, b] 上連續, c (a, b), 且 f 在包含 c 的某一開區間上可微 ( 但 c 可能除外 ) 1. 當 x 從 c 的左側移到 c 的右側, f (x) 從負變為正, 則 f 在 c 點有局部極小 ( 即 f (c ) < 0, f (c + ) > 0) 2. 當 x 從 c 的左側移到 c 的右側, f (x) 從正變為負, 則 f 在 c 點有局部極大 ( 即 f (c ) > 0, f (c + ) < 0) 定理 ( 局部極值之二階導數判別法 ) 假設 f(x) 在包含 c 之某一開區間上連續 1. 若 f (c) = 0 且 f (c) < 0, 則 f 在 x = c 有局部極大 2. 若 f (c) = 0 且 f (c) > 0, 則 f 在 x = c 有局部極小值 3. 若 f (c) = 0 且 f (c) = 0, 則無固定結論 4.9 作圖 (1) 定義域 (2) 對稱性週期性 (3) 截距 (4) 漸近線 (5) 解 f (x), f (x) = 0 (6) 製表 (7) 判斷昇降凹凸區間, 極值, 反曲點 (8) 作圖例討論 f (x) = x2 (x+1) 3 (x 2) 2 (x 4) 4 之圖形微積分講義, 58

9 4.10 極值應用例作圖 f(x) = x 6 10x 4 例作圖 f(x) = x 4 4x 例作圖 f(x) = x2 +2x+4 2x 例作圖 f(x) = x2 1 x 2 +1 例作圖 f(x) = 2x2 x 2 1 例作圖 f(x) = (x+1)2 1+x 2 例作圖 f(x) = x3 x 2 +x+1 例作圖 f(x) = (x 2 1) 2 3 例作圖 f(x) = x 4/3 4x 1/3 例作圖 f(x) = (x 1)x 2 3 例作圖 f (x) = x2 x+1 例作圖 f(x) = x + x 2 1 例作圖 f(x) = 3 x 2 x 3 例作圖 f(x) = ln (4 x 2 ) 例作圖 f(x) = e 2 x 例作圖 f(x) = xe x2 2 例作圖 f(x) = x 2 e x 例作圖 f(x) = xe x 例作圖 f(x) = sin 2 x cos x 例作圖 f(x) = 4.10 極值應用 cos x 2+sin x 例一個農莊有 1200 公尺長的竹籬, 要沿著河岸圍出一塊矩形農地, 則如何圍才使面積最大? 例利用 in 2 之鋁片, 在四個角切去四個小正方形以製作無蓋之盒子, 則所切之正方形邊長多少, 才使盒子容積最大? 例要製作尺寸如何之圓柱形罐頭, 使其容量為 1 升, 而所用的材料最省? 例求曲線 y 2 = 2x 上, 與點 (1, 4) 最靠近的點例一個矩形內接於半徑為 2 之半圓內, 則尺寸如何才使矩形面積最大? 微積分講義, 59

10 4.11 線性估計例有一倒立的直圓錐, 內接在高為 h, 底半徑為 r 的直圓錐中, 則最大體積為何? 例 (Fermat 原理及 Snell 定律 ) Fermat 原理 : 光線從 A 到 B 的路徑是使其所使用時間最短現 A 在第一種介質中, 其光速是 c 1, B 在第二種介質中, 其光速是 c 2 求光線從 A 到 B 的路徑例在經濟上, 產生最大利潤時, 邊際收益必等於邊際成本例一家店在一星期可以賣出每片 350 元的 DVD 200 片若每降價 10 元, 可以增加銷售量 20 片則他要降價多少, 使收益最大? 例一傢俱廠每天生產 5 件產品, 放在倉庫的倉儲費用為每件每天 10 元每經過 x 天便出貨一次, 每次出貨費用 5000 元, 則每經幾天出貨一次, 才使這些成本最低? 例在籬笆前 1 公尺處有 2 公尺高矮牆欲架梯子靠在矮牆上延伸到籬笆, 則長度最短為多少? 例燈塔 L 位於東西向之海岸線上某處 A 之正北方 5 公里處, 海岸線上 B 點距離 A 點 5 公里今欲從 L 鋪電纜到 B, 先由直線鋪到海岸線上某處 C, 再沿海岸線到 B 設電纜在水底成本為 5000 /km, 在海岸線成本為 3000 /km (a) 如何鋪設使成本最低? (b) 若 A, B 距離 3 公里, 則又如何? 例有 T 字型交叉路口, A 點在路口南方 1 公里處, B 點在路口東方 3 公里處現有一車在 A 拋錨, 欲走到 B 點之修車廠求援在公路的速度是 5 公里 / 小時, 在路旁林地的速度是 3 公里 / 小時, 則該如何走才最省時? 例有直徑 40 m 之圓形游泳池, 一人由岸邊 A 欲到對面 B 他先沿岸邊跑到 C, 再下水游到 B 若地面速度是水中速度的 2 倍, 則該如何才可最快到達? 例有一迴廊, 東西向及南北向之寬度分別為 a, b 現有一長竿欲水平地穿過此迴廊, 則所容許的最長長度為若干? 4.11 線性估計 (Linearizations) 定義 (1) 若 f(x) 在 x = a 可微, 則函數 L(x) = f(a) + f (a)(x a) 稱為 f 在 a 的線性化 (linearization) (2) 此估計 f(x) L(x) 稱為 f 在 a 的線性估計 ( linear approximation), a 稱為估計中心 (center of approximation) 定義令 y = f(x) 為可微函數, dx 為一獨立變數微分 (differential) dy 定義為 dy = f (x)dx 微積分講義, 60

11 4.12 Taylor 多項式註 ( 微分的幾何意義及誤差 ) 若 y = f(x) 在 x = a 可微, 且 x 從 a 變化到 a + x, 則 y = f(a + x) f(a) = f (a) x + ϵ x, 此處 x 0 時, ϵ 0 因此當 x 很小時, y dy 此即線性逼近定理 (linear approximation theorem) 定理區間 I 包含 a, x 假設 f 在 I 上存在, 則存在 s 介於 a 和 x 之間, 使得誤差 E(x) = f(x) L(x) 滿足 E(x) = f (s) 2 (x a) 2 推論假設 f 在 a 和 x 之間不變號, 則 E(x) 與其同號推論假設在 a 和 x 之間, f < K, 則 E(x) < K 2 (x a)2 推論假設 f 在 a 和 x 之間滿足 M < f (t) < N, L(x) + M 2 (x a)2 < f(x) < L(x) + N 2 (x a)2 若 M, N 同號, 則 f(x) L(x) + M+N 4 (x a) 2 其誤差滿足 E < N M 4 (x a) 2 例估計時, 求誤差之範圍及符號, 給出一個較小的區間以確保它包含 26 例估計 cos 36 時, 求誤差之範圍及符號, 給出一個較小的區間以確保它包含 cos Taylor 多項式 (Taylor Polynomials) Taylor 多項式定義令 f(x) 在一個包含 a 之區間的內點上有 N 階導數, 則對 n, 1 n N, n 階的 Taylor 多項式 (Taylor polynomial of order n) 為 P n (x) = f(a) + f (a)(x a) + + f (n) (a) (x a) n n! 若 a = 0, 則稱為 Maclaurin 多項式例 (1) 求 f(x) = x 在 x = 25 的 P 2 (x) (2) 求 f(x) = ln x 在 x = e 的 P 3 (x) 例求下列函數在 x = 0 之 Taylor 多項式 : (1) e x, (2) cos x, (3) sin x, 微積分講義, 61

12 4.12 Taylor 多項式 (4) 1 1 x, (5) ln(1 + x), (6) tan 1 x 定理 (Taylor 定理.) 若 f(x) 及 f (n) (x) 在 [a, b] 上連續, 且 f (n) (x) 在 (a, b) 上可微, 則存在 c (a, b) 使得 f(b) = f(a) + f (a)(b a) + + f (n) (a) (b a) n + f (n+1) (c) n! (n + 1)! (b a)n+1 例以 x 的 P 2 (x) 估計 26, 求誤差之範圍, 給出一個區間以確保它包含 26 例以 e x 的 P 7 (x) 估計 e, 證明其精確可以到小數第三位大 O 符號定義 (1) 若在包含 a 的某個開區間上, 存在 K, 使得 f(x) K u(x), 則我們記為 : 當 x a 時, f(x) = O(u(x)) (2) 若在包含 a 的某個開區間上, 存在 K, 使得 f(x) g(x) K u(x), 則我們記為 : 當 x a 時, f(x) = g(x) + O(u(x)) 定理若當 x a 時,f(x) = Q n (x) + O((x a) n+1 ), 其中 Q n (x) 是次數至多為 n 的多項式, 則 Q n (x) = P n (x) 例 (1) e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + O(x n+1 ), (2) cos x = 1 x2 2! + x4 4! + ( 1) n x2n (2n)! + O(x2n+2 ), (3) sin x = x x3 3! + x5 5! + ( 1) n x2n+1 (2n+1)! + O(x2n+3 ), (4) 1 1 x = 1 + x + x2 + x x n + O(x n+1 ), (5) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + ( 1)n 1 xn n + O(xn+1 ), (6) tan 1 x = x x3 + x5 x2n+1 + ( 1)n n+1 O(x2n+3 ) 例求 cosh x 的 Maclaurin 多項式例求 e 2x 在 x = 1 的 3 階 Taylor 多項式例求 ln x 在 x = e 的 3 階 Taylor 多項式例求 lim x 1 ln x x 2 1 例求 lim 2 sin x sin(2x) 2e x 2 2x x 2 微積分講義, 62

lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),

2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15

4.2 求根法 例 一倒立的圓錐形容器, 高 4 m, 底半徑 2 m 現以 2 m 3 /min 的速率倒入水, 則當水面高 3 m 時, 水面升高的速率為若干? 並求加速度 例 一人在路上以 1.5 m/s 的速度走, 探照燈在距馬路 6 m 遠處持續照這人, 則這人

4.2 求根法例一倒立的圓錐形容器, 高 4 m, 底半徑 2 m 現以 2 m 3 /min 的速率倒入水, 則當水面高 3 m 時, 水面升高的速率為若干? 並求加速度例一人在路上以 1.5 m/s 的速度走, 探照燈在距馬路 6 m 遠處持續照這人, 則這人