第三节平均指标

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蝴磋黄
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1 统计学是一门科学技术逻辑, 更是一门艺术统计学没有任何固定的对象, 是一门独特的学问依赖于解决其他领域内的问题而存在并兴旺发达的 L.J.Savage 说 : 统计学基本是寄生的 : 靠研究其他领域内的工作而生存这不是对统计学表示轻视, 这是因为对大多数寄主来说, 如果没有寄生虫就会死对有的动物来说, 不能消化它们的食物因而, 人类奋斗的很多领域, 如果没有统计学, 虽然不会死, 但一定会变得很弱

2 统计学 1. 区分科学真理和科学虚伪 2. 在可利用的资源上, 收集和处理所得的信息, 从而能做出最佳的决策

3 原因天数原因天数未婚男性 3500 饮酒 130 惯用左手 3285 枪炮事故 11 未婚女性 1600 自然放射线 8 30% 超重 1300 医疗放射线 6 20% 超重 900 咖啡 6 吸烟 ( 男 ) 2250 家有烟雾报警 -10 吸烟 ( 女 ) 800 有空调汽车 -5 抽雪茄 330 活化冠状动脉 -125 抽烟丝 ( 烟斗 ) 220 长期压抑 4-8 年危险工作事故 300 好友肥胖 57% 一般工作事故 74 每天 5 杯茶 -46%

4 提纲第一章数据收集第二章统计描述第三章统计数据预处理第四章统计指数第五章非参数统计第六章贝叶斯方法第七章常用算法第八章分布滞后模型和时间序列模型

5 第一章数据收集什么是数据? 一种描述性的定义是 : 可以由它作出推断的已知事情或事物数据有不同的表达形式 : 数字, 类别, 性别等数据的完整性是一个最大的问题够用数据的质量数据有偏差或误导可以毁掉一个有效的决策过程

6 为决策而准备数据前, 首先要明确问题是什么? 难点是什么? 在收集数据时我们要考虑 : 1. 什么是我们考虑的相关总体 (population)? 2. 数据从何处而来? 3. 在分析所收集的数据时要进一步分析一下我们提问了多少人, 他们是如何被挑选出来的? 4. 如何从这些回答者中收集信息? 5. 谁没有回答提问? 6. 收集的数据类型是什么?

7 数据来源二大来源 : 原始数据 (primary data), 二手数据 (secondary data) 原始数据普查 (census) 随机抽样抽样 (sampling) 配额 ( 比例 ) 抽样

8 二手数据 : 已有的数据 ( 别人调查所得, 包括政府数据 ), 如年鉴, 别的公司调查结果等来源 : 行业或地区组织内部 ; 国内外有关资料二手数据大部分来自官方统计, 如年鉴 (Annual Abstract of Statistics) 月度统计报表 (The Monthly Digest of Statistics) 财经统计 (Financial Statistics) 经济趋势 (Economic Trends)

9 原始数据 : 自己经过调查所获得的数据它的特点是为指定目的而收集原始数据得到的方式如下 : 面试电话访谈发信调查一般抽样访查跟踪研究普查 : 仅局限于总体较小时

10 样本大小 (sample size) 的选择 : 当总体太大时不能全面调查, 这时要用抽样方法, 关键是样本要有代表性, 即全面反映该总体观点, 所以抽样前要做好抽样方案确定要调查多少人, 调查什么样的人等抽样代表性是指每个人都可能被抽到, 且抽到的可能性相同这样的抽样称为随机抽样 (random sampling)

11 例 1. 抽查时, 不抽身高 1.80 米, 则不能反映 1.80 米以上人群的观点, 因此这种抽样是非随机的如何做到抽样有很好的随机性? 通常用如下手段 : 首先把总体中要调查的每个人编上号然后用计算机, 随机数表, 摇奖机等方法得一组随机数把随机数对应的人群构成一个样本

12 提问 (asking questions) 认定调查总体及决定用问卷方式以得到所需信息后, 下一步是确定问什么, 如何问问卷设计 (questionnaire design) 问卷结构特点 : 问答由一个问题顺势转入下一个问题 ; 由一个主题转到另一主题不要有跳跃以导致回答的无方向性建议 : 从一般问题到特殊问题盖洛普 (Gallup) 组织总结提问的目的有如下 5 种 : 1. 找出回答者是否觉察到这一结果, 例. 你是否知道合肥和徐州之间要修条高速公路的计划? 知道 / 不知道

13 2. 获得关于结果的一般感觉例. 你是否同意合肥和徐州之间要修条高速公路? 请在下列选择中选择一个 : 强烈同意同意无所谓不同意强烈不同意 3. 获得该结果指定部分的答案例. 你认为高速公路会对当地环境产生影响吗? 有 / 没有对是否影响环境, 有时可分得再细一点, 如指出是噪音还是风景 4. 获得反映回答者观点的理由例. 如果反对, 那你反对的理由是 : (a) 已有一条可用的主干道 (b) 合肥和徐州之间运量不足

14 (c) 高速公路会损坏美丽的乡村风景 (d) 道路会破坏历史文物 (e) 其他, 请指定这一条是先知道他 ( 她 ) 的观点, 然后给机会以让他 ( 她 ) 说明理由把条件叙述如果反对看作一种预先设定的过滤此外, 这一条也可提成 " 为什么你反对修这条高速公路 " 这种提法称为开放式的这两种设定互有优缺点预先设定的容易回答 ; 开放式的结论需要回答者有较高的文化修养

15 5. 找出持有这些观点的强烈程度例. 你准备用下列哪一种行动来支持你的观点? (a) 给地区人大代表写信 (b) 给本单位的全国人大代表写信 (c) 给新闻单位写信 (d) 在政府召开的公众听证会上发言 (e) 在网上发表呼吁文章进行调查建设高速公路将会毁坏一些历史文物, 因此可以提这样的问题 : 这些历史文物的重要性有多大? 请在下列小格中打 ( 应不惜一切代价保存 ) ( 不重要 )

16 一提问的方式开放式提问的优缺点 : 缺点 :1. 导致偏爱社区中有文化和教育程度高的人, 因他们能很快地组织和表达他们的思想和理念优点 : 有助于人们回答自己想要表达的观点预先设定答案提问的优缺点 : 优点 : 容易回答缺点 : 不能准确和全面反映被调查者的意见例如, 你的提问是你同意在某国布置核武器吗? 预先设定的答案如下 : 同意, 不同意, 不知道某些回答者可能说是的, 但仅仅是某一种核武器, 或不, 但没有可以代替它们的, 或是的, 只要它们的发射受到严格控制对这类问题的解决办法是试图扩大预设答案的范围如果不行, 只能提成开放式的

17 二提问的措辞 (wording questions) 提问的措辞在诱导出有代表性回答中是非常重要的一个有偏差的或诱导性提问将偏离给定的回答在问卷设计中发现的偏差主要有 : 1. 把两个或两个以上问题表达为一个例如在调查一个小区建公用车库还是建自有车库时, 如果你的问题设计为由于自有车库使用方便和比较清洁, 因此你赞成修自有车库使用方便和比较清洁是两个不同的问题, 有人愿意修自有车库是因为使用方便, 但不一定清洁 2. 问题中含有含糊或不熟悉的单词例 1 你通常到哪儿去购物? 问题是几次算通常? 2 感冒后你吃盐酸马啉脒胍片吗? 盐酸马啉脒胍片是医学用的专业词汇通常百姓只知道感冒灵

18 三用软化难度或方向的词开始的提问如对一个女孩提如下问题 : 我希望你不要在意我提出这个问题, 你多大了? 回答者会立即警惕起来向你发出警告 ( 不回答 ) 再举一个例 : 像大多数人那样, 你是否认为在北大西洋公约组织里应该有英国的声音? 是 / 不是这类引导性问题有两种可能反应 : (a) 导致同意这种论述, 以作出和大多数人一样的回答 (b) 单纯为了不同意而不同意在两种情况下, 回答者都不一定能反应出自已所持的观点

19 四包含条件或假设条款例 : 如果你有 6 个小孩, 你认为你的生活会有多少改变? 一般情况下, 有 6 个孩子的情况很难发生, 因此回答者无法回答你的问题五包含对回答者一个或多个指令的提问例 : 如果你拿到周薪后, 在你预留下所有日常支出的钱以及小孩上学费用后你还有多少钱可以消费或存起来? 一般机关事业人员拿月薪或年薪, 水电费也是一个月或两个月收一次费, 而孩子上学费用一般是半年一次因此被访者无法回答你的问题

20 数据的类型根据数据的来源, 我们可以把数据分成四类 : ⒈ 定性数据 : 又称分类 ( 名义 ) 数据 (categorical or nominal data) 或分类标志, 例如 ⒉ 定量数据 : (1) 有序数据它们之间有大小之分, 但没有大多少的概念例如可以把人们对某一事件的态度进行量化, 用 1,2, 来表示对某一事件的态度 (2) 间隔数据间隔数据是有序数据, 他们之间的差是有意义的例如温度是一个典型的间隔数据例子 0 C 不表示没有热量,40 C 和 30 C 的温差在数量上等于 80 C 和 70 C 之间的温差, 但它们代表的热量是不一样的

21 (3) 比例数据测量的最高水平是比例数据这类数据有一个起点, 记为 0 例如距离和时间,0 是有意义的, 可以看作距离和时间的起点两倍的距离和两倍的时间也是有意义的数据也可以根据定性或定量被分类, 前者由定性数据产生, 后者由定量数据产生定量数据可进一步分为离散数据和连续数据, 这在统计上是本质的, 即离散数据是可以一个一个地数的, 而连续数据往往用一个区间或一条直线上的数值来表示

22 第二章统计描述第一节统计表与统计图一统计表 ( 一 ) 统计表的定义和结构统计表的概念 : 对统计调查所获得的原始资料进行整理, 得到的数据, 把这些数据按一定的顺利排列在表格上, 就形成了统计表

23 标题题标统计表的结构 : 我国 2002 年国内生产总值按三次产业分国内生产总值 ( 亿元 ) 比上年增长率 (%) 第一产业第二产业第三产业料主词宾词横数字资

24 ( 二 ) 统计表的分类 1 按主词的结构分类, 根据主词是否分组和分组的程度, 分为简单表分组表和复合表 (1) 简单表 : 主词未经任何分组的统计表称为简单表, 也称一览表 (2) 分组表 : 主词只按一个标志进行分组形成的统计表, 也称简单分组表 (3) 复合表 : 主词按两个或两个以上标志进行分组的统计表, 也称复合分组表

25 1999 年国际旅游收入居世界前十名的国家国家位次旅游收入收入 ( 亿美元 ) 占世界比重 (%) 美国西班牙意大利法国英国德国中国奥地利加拿大

26 1998 年某公司所属两企业自行车合格品数量表厂别合格品数量 ( 辆 ) 甲厂乙厂合计

27 1999 年我国人口数及构成市镇乡村人口数 / 万人比例 /% 男女男女资料来源 : 中国统计年鉴 (2000) 第 95 页

28 2 按宾词设计分类, 可分为宾词简单排列分组平行排列和分组层叠排列等 (1)) 宾词简单排列宾词不进行任何分组宾词不进行任何分组, 按一定顺序排列在统计表上 (2)) 宾词分组平行排列宾词栏中各分组标宾词栏中各分组标志彼此分开, 平行排列 (3)) 宾词分组层叠排列统计指标同时有层次地按两个或两个以上标志分组, 各种分组层叠在一起, 宾词的栏数等于各种分组的组数连乘积

29 ( 三 ) 统计表的设计统计表设计总的要求是 : 简练明确实用美观便于比较 (1)) 线条的绘制表的上下端应以粗线绘制, 表内纵横线以细线绘制两端一般不划线, 采用开口式 (2)) 合计栏的设置 (3)) 标题设计统计表的总标题, 横栏纵栏标题应简明扼要, 以简练而又准确的文字表述统计资料的内容资料所属的空间和时间范围

30 (4)) 指标数值表中数字应该填写整齐, 对准位数当数字小且可略而不计时, 可写上 0 ; 当缺某项数字资料时, 可用符号 ; 不应有数字时用符号 - 表示 (5)) 计量单位统计表必须注明数字资料的计量单位当全表只有一种计量单位时, 可以把它写在表头的上方如果表中各格的指标数值计量单位不同, 可在横行标题后添一列计量单位 (6)) 注解或资料来源必要时, 在统计表下应加注解或说明, 以便查考

31 ( 四 ) 数据初步处理 - 茎叶表 (R 命令 stem()) 把每个观测值分成茎和叶两个部分茎视实际需要可以是任何位数, 而叶子只能是一位数把茎由小到大, 从上往下写成一列把每片叶子写在它所属的茎的右边, 由小到大排成一列

32 例观察每 10 分钟进入某小超市的人数,144, 个数据如下 : 23,23,35, 7, 29, 3,15,20,30,18,23, 32,34,40,17, 25,30,33, 51,37,43,52, 67,34,20,26,46,68,79,82,57,61,96, 75,59,64, 77,99,87,48,58,95,96, 68,46,73,57,39,45,28,24,35,43,25, 27,30,42,30,22,18,21,26,21, 8,19, 15, 24,12, 8, 8, 6, 8,20, 8,25, 29, 26,36,26,28,36,22,41,37,30,50,28, 35,24,36, 50,44,48,38,47,55,30,44, 50,40,47,83,75,64,66,75,83,90, 87, 59,63,78,75,86,86,77,64,70,65,69, 56,55,42,47,33,36, 34,29,33,25,16, 30,22,18,9,14,16,20, 26,10,18, 9, 7, 8 如何加工?

33 枝叶频数

34 二统计图统计图 : 统计图是借助几何图形或具体形象来显示统计数据的一种形式 ( 一 ) 直方图 (R 命令 hist())

35 例 44 个消费者在某商店购买食品金额如下购物款人数频率 (0,5] (5,10] (10,15] (15,20] (20,30] (30,40] > 总计

36 频数图和直方图

37 ( 二 ) 折线图多边形图, 是在直方图的基础上绘制的 15 频 12 数 9 ( 人 )

38 ( 三 ) 曲线图当变量数列的组数无限时, 折线便表现为一条平滑曲线曲线图的绘制方法与折线图基本相同, 只是在连接各组次数坐标点时应当用平滑曲线 ( 四 ) 累计曲线图频数 ( 人 )

39 ( 五 ) 洛伦兹 (Lorenz) 曲线 (R 语言 Lc {ineq} ) 洛伦兹曲线常用来描述财富 ( 或收入 ) 的分配是否公平. 当然它并不蕴含公平或不公平的判断价值, 仅仅表达当前的真实情况设有如下数据 :

40 人群 ( 最多的 ) A 人口比例累积百分比财富百分比累积财富百分比 B C D E ( 最少的 ) F

41 累计收入 % 税前公平分配线税后洛伦茨曲线累计家庭数 %

42 三频 ( 次 ) 数分布图的类型主要有以下三种类型 : ( 一 ) 钟形分布钟形分布的特征是两头小, 中间大, 即中间的变量值分布的次数多, 靠近两边的变量分布的次数少, 其曲线图宛如一口古钟对称分布右偏分布左偏分布

43 ( 二 )U) 型分布 U 型分布的形状与钟形分布相反, 靠近中间的变量值分布次数少, 靠近两端的变量值分布次数多, 形成两头大, 中间小的 U 型分布 U 型分布

44 ( 三 )J) 型分布 J 型分布有两种类型, 一种是次数随着变量的增大而增多, 另一种是成反 J 型分布, 其次数随着变量的增大而减少正 J 型分布反 J 型分布

45 第二节分布的集中趋势一描述分布集中趋势的主要指标及其分类 ( 一 ) 平均指标含义指概括地描述统计分布的一般水平或集中趋势的数值 ( 二 ) 平均指标的特点具有代表性和抽象性

46 ( 三 ) 平均指标的作用统计平均数具有重要作用, 主要体现在以下几点 : 1 反映总体各变量分布的集中趋势和一般水平 2 便于比较同类现象在不同单位间的发展水平 3 能够比较同类现象在不同时间的发展变化趋势或规律 4 分析现象之间的依存关系

47 ( 四 ) 平均数的分类平均数数值平均数位置平均数算术平均数调和平均数几何平均数众数中位数

48 二数值平均数数值平均数是对总体各单位某一标志值的平均, 表明总体单位标志值的一般水平基本计算公式是 : 总体标志总量 / 总体单位数总体标志总量 : 总体单位数 : 数总体各单位某种数量标志值的总和表示的是一个总体内所包含的总体单位

49 ( 一 ) 算术平均数 1 算术平均数的计算计算算术平均数有两种式 : (1)) 简单算术平均数适用于未分组资料, 用总体各单位标志值加总得到标志总量除以总体单位总量而得计算公式为 : 公式中, x + x + x + + x x = = n _ x x n n i= 1 n n 代表算术平均数表示各单位标志值表示总体单位数 x i

50 (2)) 加权算术平均数 1 根据单项数列计算加权算术平均数计算公式 : x x f + x f + x f + + x f = = n n i= 1 n n f i i= 1 i= 1 n x f 应用条件 : 单项式分组, 各组次数不同 i f i i

51 根据组距数列计算加权算术平均数应用条件 : 组距式分组, 各组次数不同例 : 某车间 200 名工人日产量资料 : 按日产量分组 ( 公斤 ) 工人数 f 组中值 x 日产总量 xf 合计平均日产量 8400 = 200 = 42( 公斤 )

52 2 权数 (1)) 概念对平均数的大小起着权衡轻重的作用平均数总是趋向于出现次数最多的哪个标志值 (2)) 权数的表现形式绝对数形式相对数形式

53 3 是非标志的平均数是非标志 : 也称交替标志, 当总体单位某种品质标志的具体表现为是与非或有与无两种情况时, 这种品质标志就称为是非标志平均数的计算 : 把具有某种特征的用 1 表示, 不具有该种特征的用 0 表示是非标志 x 1 0 单位数 f 比重 N 1 N 0 f 合计 N 1 f N 1 = N N 0 = N p q x = = 是 = n i = 1 n i= 1 x f 1 N + 0 N P i f i 1 0 i N

54 ( 二 ) 调和平均数 (H)( 是社会经济统计中常用的另一种平均指标, 它是根据标志值的倒数计算的, 所以又称倒数平均数与算术平均数一样, 调和平均数有简单调和平均数和加权调和平均数两种 1 简单调和平均数计算公式 : H n = = x x x x = 13 ( 里 ) + 3 小时 n n i = 1 n 1 x 应用条件 : 资料未分组, 各个变量值次数都是 1 例 : 一个人步行两里, 走第一里时速度为每小时候 10 里, 走第二里时为每小时 20 里, 则平均速度为 : i

55 2 加权调和平均数 m + m + + = 2 m3 m H n = 计算公式 : m m + 2 m + 3 m n x1 x2 x3 xn 应用条件 : 资料经过分组, 各组次数不同平均速度 = 例 1: = 12 ( 里小时 ) 速度 x 1 m ( 里小时行走里程 m 合计 6 ) m x 所需时间 m x

56 例 2 班组平均劳动生产率 x 实际工时 m x 产品产量 ( 件 ) m 一二三四五合计平均劳动生产率车间产品产量 ( = 车间实际工时 ( = = 18.09( 件 ) 工时 m) m ) x

57 ( 三 ) 几何平均数 (G)( 是另一种形式的平均数, 是 N 个变量值乘积的 N 次方根主要用于计算平均比率和平均速度几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数两种

58 1 简单几何平均数计算公式 : G x x x x xi 应用条件 : 资料未分组 ( 各变量值次数都是 1) ) = n n n = 例 : 某企业生产某种产品需经过三个连续作业车间才能完成 80% 90% 70% 车间投入量产出量合格率 % x 一二三 = = 个车间平均合格率 = % 90% 70% = 50 4 %

59 2 加权几何平均数 i i = 1 f1 f2 3 计算公式 : n n f = = f n f f f n i i = 1 i n G x x x x i = 1 x 应用条件 : 资料经过分组, 各组次数不同例 : 将一笔钱存入银行, 存期 10 年, 以复利计息,10, 年的利率分配是第 1 年至第 2 年为 5% 第 3 年至 5 年为 8% 第 6 年至第 8 年为 10% 第 9 年至第 10 年 12%,, 计算平均年利率 x 0设本金为年份累计存款额本利率 % 第 1 年 105% x x0 % = x0105% 第 2 年 2 105% x 0105% + x0105%5% = x0105% 第 3 年 % x 0105% + x0105% 8% = x0105% 108% 第 10 年 % x0 105% 108% 110% 112% i

60 本利率 x 年数 f 105% 2 108% 3 110% 3 112% 2 平均本利率 = % = % 108% 110% 112% 合计 10 平均年利率 =8.77%

61 三位置平均数 ( 一 ) 众数 1 众数的含义 : 总体中出现次数最多频率最高的标志值 2 确定众数的方法 (1) 单项数列确定众数按日产量分组 ( 件 ) 工人数 ( 人 ) M o = 21( 件 )

62 (2) 由组距数列确定众数 ) 由组距数列确定众数 1 计算公式 : 计算公式 : ) ( ) ( ) ( 下限公式 M M M M M M M M d f f f f f f l M = ) ( ) ( ) ( 上限公式 M M M M M M M M d f f f f f f U M =

63 例 : 农户年人均收入众数计算表年人均纯收入 ( 千元 ) 农户数 ( 户 ) 5 以下以上 160 合计 3000 = M f M M 1 0 = lm + dm ( fm f ) ( ) 0 M fm f 0 M f = 6 61( 千元 ) ( ) + ( ) 0

64 ( 二 ) 中位数 1 中位数的含义: 将总体各单位按其标志值大小顺序排列起来居于中间位置的那个数就是中位数 2 确定中位数的方法 (1) 由未分组资料确定中位数 1 标志值的个数是奇数例 :7 名工人生产某种产品, 日产量 ( 件 ) 分别为位于中间位置的第四名工人的日产量 8 件为中位数

65 2 标志值的个数是偶数上例增加为 8 名工人, 日产量为中位数为 (8+9( 8+9)/2=8.5, 其位置在第四和第五名中间.

66 例 : (2)) 由单项数列确定中位数按日产量分组 ( 件 )x 工人数 ( 人 )f 向上累计累计次数向下累计合计 80 中位数为第 40 名和 41 名日产量的平均值 [ 24 ]

67 (3)) 由组距数列确定中位数计算公式 f s M = L + d ( 下限公式 ) 2 M e 1 e M e M f M e e f s M = U d ( 上限公式 ) 2 M e + 1 e M e M f M e e

68 例年人均纯收入 ( 千元 ) 农户数 ( 户 ) 向上累计次数 5 以下以上合计 3000 中位数位次 : f 3000 = = (1) 计算累计次数 (2) 确定中位数组 (6 7) (3) 根据中位数计算公式计算中位数 M e = ( 千元 ) 1100

69 ( 三 ) 众数中位数和算术平均数和的关系 x = M e = M 对称分布 0 x < M < M M 0 < M e < x e 左 ( 负 ) 偏分布 o 右 ( 正 ) 偏分布众数 mode 中位数 median 和算术平均数 average 数量关系的经验公式为 : 算术平均数和众数的距离约等于算术平均数与中位数距离的三倍 : x M 3( x M ) o e

70 第三节分布的离中趋势一描述分布离中趋势的主要变异指标及其作用 ( 一 ) 变异指标的含义变异指标是用来刻画总体分布的离散程度或变异状况, 变异指标越大, 表明总体各单位标志值的变异程度越大它是反映总体各标志值间差异程度的, 且能衡量总体平均数的代表性常见的变异指标有 : 极差分位差标准差方差和变异系数

71 ( 二 ) 变异指标的作用 1 用于衡量平均指标的代表性 2 反映社会经济活动的均衡性 3 研究总体标志值分布偏离正态的情况

72 二极差与四分位距 ( 一 ) 极差极差也称全距, 用 R 表示公式 : R = 最大值最小值优点 : 计算简便缺点 : 易受极端值的影响例 :5 名学生的成绩为则 R=97-50=47

73 ( 二 ) 四分位距四分位距是从变量数列中剔除最大和最小各 1/4 的单位, 用上四分位数 Q3 和下四分位数 Q1 的标志值之差来表示公式 :IQR=Q3: IQR=Q3-Q1Q1

74 箱线图 boxplot 溢出点 Q3+1.5*IQR Q3 中位数 Q1 Q1-1.5*IQR

75 三方差与标准差方差 : 各变量值与其均值离差平方的平均数标准差 : 方差的平方根, 也称均方差 ( 一 ) 数量标志的方差与标准差 1 数量标志的方差与标准差计算, 其计算其公式为 : 资料未分组 : n 2 ( x i x ) 2 i = 1 σ = n 资料已分组 : n 2 ( x i x) fi = 2 i = 1 σ n i = 1 f i = n i = 1 σ = n i = 1 σ ( x x) i n ( ) 2 2 x i x f i n i = 1 f i

76 例 1: x = 23( 件 ) 2 20 σ = = 4( 件 ) 5 20 σ = = 2( 件 ) 5 日产量 ( 件 ) ( x 合计 20 2 x)

77 例 2: x = 42( 公斤 ) σ = 200 = 60 95( 公斤 ) σ = = = 781( 公斤 ) 日产量 ( 公斤 ) 工人数 f 组中值 x (x x) 合计 f

78 2 总方差组间方差和组内方差组内方差反映组内标志值对组平均数的方差, 组间方差反映组平均数对总平均数的方差它们之间的关系为 : σ 2 = δ 2 + δ 2 i

79 3 方差与标准差的数学性质 (1)) 变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方即 : σ = x ( x) (2)) 变量对算术平均数的方差小于对任何常数的方差 (3)n 个同性质独立变量和的方差等于各个变量方差的和 σ = σ + σ + σ + L + σ x x1 x2 x3 x n

80 (4)n 个同性质独立变量平均数的方差等于各变量方差平均数的 1/n σ σ 2 + σ 2 + σ 2 + L + σ x1 x2 x3 x = n = σ 2 x 2 i (5)) 变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方 n σ 2 = b 2 σ 2 y x n

81 ( 二 ) 是非标志的方差与标准差如前 : 是非标志的平均数为 P 标志值 x 1 0 合计单位数 f N 1 N 0 N (x x) ( 1 ( 0 P) 2 N 1 P) 2 N 0 2 σ 是 (1 P) N + P N = N = P(1 P) = P(1 P) 由于标准差有良好的数学性质, 相比较而言, 它的应用最为广泛 2 f σ 是

82 第四节分布的偏度和峰度一统计动差 ( 一 ) 动差的概念动差原是物理学中的概念 : 矩, 表示力和力臂对重心的关系这种关系, 与统计学中变量和权数对平均数的关系很相似故统计学中也用动差来说明次数分配的性质

83 ( 二 ) 原点矩和中心矩原点矩 : 是 K 阶动差的一般形式, 公式为 : n i = 1 μ k = n i = 1 中点矩 : 如果把原点移动到算术平均数的位置, 就可以得到一个以频数分配各组标志值对平均数 x 的 K 阶中心动差, 即称中心矩, 通常用 v k n 表示 k v k = i = 1 i = 1 x k f i f ( x x) f i n f i i k

84 二偏度 ( 一 ) 概念要点 1 数据分布偏斜程度的测度 2 偏态系数 =0 为对称分布 3 偏态系数 > 0 为右偏分布 4 偏态系数 < 0 为左偏分布 ( 二 ) 计算公式 α ( ) 3 i = 3 σ f i X X f i

85 例 1: 已知已知 1997 年我国农村居民家庭按纯收入分组的有关数据如表试计算偏态系数 1997 年农村居民家庭纯收入数据按纯收入分组 ( 元 ) 户数比重 (%) 500 以下 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 以上 4.94

86 例 2: 农村居民家庭纯收入数据偏态及峰度计算表按纯收入分组 ( 百元 ) 组中值 X i 户数比重 (%) F i (X i - X ) F i 3 (X i - X ) F i 4 5 以下以上合计

87 根据上表数据计算得 K K F i F i X = & X i = & ( 百元 ) σ = & K X i = & ( 百元 ) K i = 1 i = 1 F F i = 1 将计算结果代入公式得 i K X i X F i X i F i i = 1 i = K 11 ( ) ( ) α = = = = N σ ( ) 结论 : 偏态系数为正值, 而且数值较大, 说明农村居民家庭纯收入的分布为右偏分布, 即收入较少的家庭占据多数, 而收入较高的家庭则占少数, 而且偏斜的程度较大 i = 1 i

88 偏态分布的形状左偏分布右偏分布

89 三峰度 ( 一 ) 概念要点 1 数据分布扁平程度的测度 2 峰度系数 =3 扁平程度适中 3 偏态系数 <3 为扁平分布 4 偏态系数 >3 为尖峰分布 ( 二 ) 计算公式 β ( ) 4 i = 4 σ f i X X f

90 例 : 根据表中的计算结果, 计算农村居民家庭纯收入分布的峰度系数代入公式得 ( ) i 4 σ f i 4 X X f i β = = = ( ) 3.4 结论 : 由于 =3.4>3,, 说明我国农村居民家庭纯收入的分布为尖峰分布, 说明低收入家庭占有较大的比重

91 峰度分布的形状扁平分布与标准正态分布比较! 尖峰分布

92 户数比重 (%) 偏态与峰度 ( 从直方图上观察 ) 结论 :1.: 为右偏分布 2. 峰度适中按纯收入分组 ( 元 )

公式名称

公式名称数学公式说明字母含义组距组中值 ( 最大值 - 最小值 )/ 组数全距 /+3.3*lg 全距 / 组数 ( 上限 + 下限 )/ 上限 - 相邻组的组距 / 下限 + 相邻组的组距 / 开口组只有上限开口组只有下限算术平均数调和平均数几何平均数中位数众数简单 : 平均数 : 单位变量值 : 总体单位数加权 : 权数 H H G G 简单 m 加权 * m H : 平均数 : 单位变量值

第三节 平均指标

第三节平均指标