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章崇松
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1 第三章总体数量的统计描述根据统计发展史, 国际统计学界把统计学分为描述统计学和推断统计学描述统计是指通过大量统计调查, 用总体的确定性实际指标来反映现象的现状过程的统计分析方法在数理统计和推断统计产生以前, 无论是人类长期的统计实践, 还是统计学理论, 在研究对象统计方法应用范围等各方面, 都属于描述统计它曾是我国统计学的主体推断统计是指通过抽样调查, 用局部的实际指标对总体数量特征进行估计, 来反映现象的现状未来趋势的统计分析方法这种统计方法是在数理统计的基础上发展起来的, 或者说它是对数理统计学的完善和发展推断统计学成为西方当代统计学的主流具体来讲, 总量指标相对指标平均指标和标志变异指标等综合指标的基本特征和统计方法, 以及各种指标的综合分析及应用, 基本上都属于描述统计范畴, 即总体规模的描述对比关系的描述集中趋势的描述离散程度的描述等总体变量分布特征的统计描述是统计推断和统计分析的基础和前提, 统计绝对数是总体变量描述的基础数据集中趋势与离中趋势是总体变量描述相辅相成的两个方面集中趋势和程度的代表值有变量的平均值和变量的位置值 ; 离中趋势和程度的代表值常用的有标准差与标准差系数集中趋势与离中趋势从两个不同侧面共同描述变量分布的全貌其中, 平均数是统计推断和统计分析中最常用的基础性指标, 而标准差则是抽样技术和相关与回归分析中测度衡量判断性指标, 两者结合运用使对变量分布的描述更为深入透彻几何平均数在时间数列分析中有重要应用, 中位数与众数是统计分析中的重要指标第一节总体规模的统计描述一总量指标的概念总量指标是反映统计总体在一定时间空间条件下的总规模或总水平的综合数

2 第一节总体规模的统计描述 51 据它反映总体绝对数量, 因此, 总量指标也称统计绝对数如 2001 年某地区国内生产总值 752 亿元, 年末人口数 320 万人等总量指标的特点是它的数值大小随所研究总体范围大小而呈同方向变化, 即数值随总体外延范围的大小而增减总量指标多是在实验调查和整理过程中直接获得的, 也有些是运用间接或推算的方法得到的总量指标是对总体数量特征和数量关系进行统计描述的基础数据, 是从数量上认识客观事物的起点数据当我们对研究对象的数量方面进行观察时, 首先需要了解的就是它的总体规模和水平, 即它的总量数值统计绝对数又是计算统计相对数和统计平均数的基础数据在运用统计绝对数时, 应注意正确地使用计量尺度和计量单位以及准确界定被研究对象的总体范围二总量指标的种类标 ( 一 ) 按照总量指标反映的总体内容不同, 可分为总体单位总量和总体标志总量总体单位总量即总体所包含的总体单位总个数, 是从构成角度反映总体大小的指总体标志总量是指总体各单位某一数量标志的总和在表 3-1 中, 该总体中的总体单位总数 ( 工人总数 ) 为 25 人 ; 总体标志总量 ( 总产量 ) 为 400 件日产量 ( 件 ) 变量值 (x) 表 3-1 某生产组 25 名工人日产量资料工人数 ( 人 ) 频数 (f) 各组工人人数比重 (% ) 频率 f f 日产量工人数 ( 件 ) 变量值总量 (x f) 合计应当注意的是 : 一个总体一经确定, 其总体单位数就固定了, 即总体单位总量是惟一的而一个总体内各单位可以有许多不同的数量标志, 任何一个数量标志的各标志值之和都能形成该标志的标志值总量因此, 一个总体内标志值总量不是惟一的, 可以有许多个如生产组内工人日产量总和是标志值总量, 工资总额也是标志值总量等等

3 52 第三章总体数量的统计描述 ( 二 ) 按照总量指标反映的时间状况不同, 可分为时期总量指标和时点总量指标时期总量指标是指能够反映总体在一段时期内发展变化结果的总数量例如, 总销售额国内生产总值货物流通量工资总额利息支出 ( 收入 ) 总额等等它属于流量时点总量指标是指反映总体在某一时刻上呈现存在或达到的总数量的指标它属于存量如人口数土地面积存 ( 货 ) 款余额商品库存量等时期总量指标与时点总量指标具有不同的特点, 形成了它们之间的区别 : 时期总量在不同时间内的数值可以相加, 数值的大小与时间长短有着直接的联系, 它具有时间长度 ; 相反, 时点总量在不同时刻上的数值则不能相加, 数值的大小与时间长短没有直接关系, 它不具有时间长度正确区分时期总量和时点总量, 在统计上有重要意义, 如表 3-2 所示表 3-2 账页账户名称 ( 会计科目 ) 期初余额本期发生额期末余额借方贷方借方贷方借方贷方合计 ( 存量 ) 时点总量 ( 流量 ) 时期总量 ( 存量 ) 时点总量三总量指标的计量单位总量指标是反映客观实际存在的, 具有一定社会经济内容的数字, 所以, 要用计量单位来表示根据被研究对象的特点性质和作用, 总量指标的计量单位主要有三种, 即实物单位货币单位劳动单位 ( 一 ) 实物单位实物单位是反映事物使用价值的计量单位, 它又可以分为自然单位度量衡单位双重单位和复合单位 1. 自然单位自然单位是按照事物的自然属性来表现其数量的计量单位例如, 人口以人为单位, 汽车以辆为单位, 牛以头为单位, 鞋以双为单位, 机器以台为单位等 2. 度量衡单位度量衡单位是以长度重量面积体积等度量衡制度规定的单位来计量事物的

4 第一节总体规模的统计描述 53 数量例如, 粮食按千克或吨计量, 棉布按米计量, 建筑面积按平方米计量, 木材按立方米计量等 3. 双重单位有些事物用一种计量单位不能准确地反映其真实的规模和水平, 需要同时用两个单位分别加以反映, 这种计量单位叫双重单位例如, 拖拉机以台马力为单位, 电动机以台千瓦为单位, 起重机以台吨为单位等 4. 复合单位复合单位是把两种计量单位有机地结合在一起表示事物的数量例如, 货物周转量用吨公里表示, 发电量用千瓦小时表示, 参观人数用人次表示等 ( 二 ) 货币单位货币单位是以货币作为价值尺度来计量社会物质财产和劳动成果的一种计量单位例如, 国民生产总值国内生产总值劳务作价资产负债外汇收入等等因此, 用货币单位来计量的总量指标都是价值指标价值指标的优点是具有广泛的综合性, 是应用最广泛的指标价值计量单位的形成, 可以抽象或概括为实物量 ( 包括劳务量, 假定用 q 表示 ) 与价格 ( 假定用 p 表示 ) 的乘积, 表示为 pq 其中的实物量是一个客观量, 而价格存在许多变化, 同一实物量可以分别按不同的价格计算, 因而就形成了不同口径的价值指标现实的统计工作当中常用的有两种口径 : 一种是按实际价格计算, 例如, 总产值按当期的实际价格计算叫现价总产值 ; 一种是各个时期的实物量分别都与某一时期的价格相乘这个价格叫固定价格或不变价格因为这种计算的目的主要是为了可比, 因此这个价格又叫做可比价格 ( 三 ) 劳动单位劳动单位是用劳动时间来表示的一种计量单位劳动单位也叫做劳动量单位, 是用活劳动的计量方式来度量统计对象所形成的指标计量单位根据统计范围目的和内容等方面的不同, 活劳动的计量方式有两种, 因而劳动单位也有两种形式 : 一种是按活劳动的原始自然计量方式, 直接用 ( 个 ) 人作计量单位这种情况一般是在统计范围相对较大, 为了掌握或统计活劳动资源量, 或者是为了分析直接与人数有关的现象而采用的单位例如, 国民经济宏观核算企业的年度劳动生产率统计等, 其中的活劳动量都是采用人做计量单位一种是按活劳动消耗量的抽象计量方式, 用工时工日等劳动时间作计量单位这种情况一般是在基层微观范围内, 为了管理活动的需要而采用的指标计量单位它虽然有复合单位的含义, 但是由于这类劳动单位时间性太强, 在管理活动中又有着其他计量方式所无法取代的重要作用, 因此, 我们把它单独列为一类四总量指标的计算总量指标的计算和使用, 不仅是简单的技术性问题, 而首先是一个理论问题和实际问题要正确地计算和使用总量指标必须注意以下几个问题 :

5 54 第三章总体数量的统计描述 ( 一 ) 要有明确的含义总量指标不同于数学中的绝对数, 不是一个单纯技术性的加总问题, 而是一定社会经济现象的数量表现每一个总量指标都具有确定的社会经济内容, 都具有一定质的规定性因此, 必须正确地确定总量指标所表示的各种社会现象的概念构成范围和计算方法否则, 就不能得到反映社会经济内容的正确数字例如, 要统计工业产品, 就要从理论上实际上弄清什么是工业产品, 应当包括哪些范围, 用什么样的计算方法等只有弄清工业产品的概念构成范围计算方法后, 才能得到正确的数字这就要注意现象的同质性, 同质性是形成一个统计总体的基础 ( 二 ) 要明确时域概念这就是要弄清统计对象是属于时期指标还是时点指标因为这两种指标的计算方法是不同的这就是要区分清楚什么是时期现象, 什么是时点现象, 然后才能计算出正确的指标数值 ( 三 ) 要有统一的计量单位关于总量指标的计量单位, 我们已在前面做了介绍计量单位是一个重要问题, 必须按照国家统一规定的计量单位进行计量为此,1984 年 2 月国务院发布了关于在我国统一实行法定计量单位的命令计算总量指标的具体方法有 : 1. 直接计量法这是通过统计调查和数据整理, 对所有调查单位进行计数点数或测量等, 然后逐步汇总得到总量指标的方法 2. 推算法这是在总量指标不能直接计算或不必直接计算的条件下, 根据有关资料进行推算或估算的方法一般有 : 根据抽样调查典型调查资料进行推算 ; 根据有关资料进行平衡推算因素关系推算比例关系推算插值推算等第二节相对水平的统计描述在对现象总体规模进行统计描述的基础上, 我们再来对现象总体的数量特征和数量关系进行统计描述要解决这些问题, 就必须计算一系列比率, 以描述现象数量之间的相对水平或程度在我国的统计理论和实践中, 常称这类比率为相对指标一相对指标的概念和作用 ( 一 ) 相对指标的概念相对指标也称统计相对数, 它是指将两个有联系的统计指标进行对比所得的比率或比值, 用来描述相关数量之间的相对水平或程度这里的有联系是指同一总体内不同现象不同部分之间的内在性联系, 也可以是为了研究目的的需要, 在两个独立总体之间比较同类现象的外在联系相对指标的基本公式为 :

6 第二节相对水平的统计描述 55 比数相对指标基数作为分母的基数, 是用来作为对比标准的基础数据 ; 作为分子的比数, 是用来与基数对比的那个数据例如, 某工厂 1998 年计划工业总产值为 250 万元, 实际完成 270 万元, 其计划完成程度为 : 工业总产值计划完成程度 % 108% 250 该厂 1998 年工业总产值超额 8% 完成计划这里, 计划规定数就是对比的标准对比的基础 ( 二 ) 相对指标的作用相对指标并不是随意的两个统计指标对比而求得的, 必须是有经济联系的两个指标进行对比才能求得借助于相对指标对现象进行对比分析, 是统计分析的基本方法在统计分析中, 相对指标的作用主要表现在以下两方面 : 1. 相对指标能清楚地描述总体数量的相对水平计划完成情况相对数可以描述总体数量的相对程度, 结构相对数可以描述总体数量的内部构成, 比较相对数可以描述不同总体间的水平高低, 比例相对数可以描述总体内部是否协调, 动态相对数可以描述总体数量的发展变化态势, 强度相对数可以描述客观事物或现象的强度密度普遍程度分布程度和利用程度等等 2. 相对指标能将不可比的总量指标转化为可比如比较两个营业额不同的商店的流通费用额节约情况, 仅以费用额支出多少进行评价难以说明问题, 因为流通费用额的大小直接受营业额多少的影响, 而采用相对指标流通费用率对比, 则可做出正确判断二相对指标数值的计量形式相对指标数值有两种计量形式 : 一是无名数, 一是有名数 ( 一 ) 有名数相对指标有名数相对指标是指有具体的计量单位的相对指标由于相对指标分子分母的计量单位不同, 因此在计算相对指标时, 同时使用分子或分母数值的计量单位形成复名数强度相对指标数值用有名数表示, 它同时使用了分子和分母指标数值的计量单位, 如平均每人分摊的粮食产量用千克 / 人表示, 人口密度用人 / 平方公里表示等等, 就是保留了原有分子与分母使用的计量单位 ( 二 ) 无名数相对指标无名数相对指标是指相对指标值后边没有计量单位, 或者没有实质性的具体计量单位而只有抽象的计量单位从种类上讲, 大多数相对指标为无名数无名数相对指标具体分为以下几种 : 1. 系数系数是指两个有联系的指标对比时, 把对比的基数抽象为 1 而直接计算的结果

7 56 第三章总体数量的统计描述多用于比较两个有内在联系且数值差别不大的指标系数反映的内容一般都是客观存在的关系例如, 投资效果系数是投资带来的产出增加额与投资额之比 2. 倍数倍数是把对比基数抽象为 1 而直接对比计算的结果从形式和方法上, 倍数与系数是一样的但是, 倍数多用于比较没有直接或内在关系且数值相差很大的指标例如,2000 年职工平均货币工资, 上海为元, 山西为元, 上海大约是山西的倍 3. 成数成数是把对比的基数抽象为 10 而计算出来的相对数或者说, 把一个指标值平均分为 10 份, 每一份即每十分之一或每 10% 就叫一成成数多用于无法或不要求准确计算的现象比较 4. 百分数百分数是把对比的基数抽象为 100 而计算对比的相对数它是最常用的相对数形式这种形式的相对数, 如果对比指标之间的差异太大, 还可以采用千分数万分数等三相对指标的种类及计算方法统计相对数按其研究的目的和对比标准不同, 可分为计划完成相对数结构相对数比较相对数动态相对数比例相对数和强度相对数 ( 一 ) 计划完成相对数计划完成相对数是同一时期实际完成数与计划数之比, 用来说明计划完成的程度与进度一般以百分数表示, 故又称计划完成百分数其基本公式是 : 计划完成相对数实际完成数 100% 计划数由于计划指标的表现形式有三种 : 绝对数平均数和相对数, 所以, 上述基本公式的应用也就有三种情况 1. 根据绝对数计算计划完成相对数 (1) 计划完成程度的计算这种情况是实际完成数和计划数属于同一时期, 且时期长度相等其公式是 : 计划完成程度实际完成数 100 % 计划规定数例 2004 年第一季度某部门总产值计划为万元, 实际完成万元, 该部门计划完成情况为 : 总产值计划完成程度 % % 计算结果表明,2004 年第一季度该部门总产值超额完成计划 % % 3. 7%, 超额绝对数为万元万元 200 万元 (2) 计划执行进度的检查计划完成程度指标只反映了计划执行的结果, 在分析计划执行情况中, 还要检查计划执行的进度和均衡程度, 这就需要计算计划执行进度

8 第二节相对水平的统计描述 57 指标, 反映计划执行的均衡性它是用计划期中某一段时期的实际累计完成数与计划期全期计划数对比其计算公式为 : 计划执行进度某段时期实际累计完成数 100 % 计划期全期计划数例某企业 2002 年全年和各季度计划总产值前三个季度实际完成产值和累计至第三季度止总产值的资料如表 3-3 所示表 3-3 某工业企业 2002 年工业总产值计划完成情况计划数 ( 万元 ) 实际数 ( 万元 ) 计划完成程度 (% ) 实际累计产值 ( 万元 ) 计划执行进度 (% ) ( 甲 ) (1) (2) (3) (2) (1) (4) (5) (4) 全年第一季第二季第三季第四季全年各季情况 : 该企业第一季度完成了 90%, 差 10% ; 第二季度完成了 109%, 超额 9% ; 第三季度完成了 113%, 超额 13% 执行进度 ; 第一季度完成全年计划的 20%, 差 5% ; 第二季度完成全年计划的 46. 7%, 差 3. 3% ; 第三季度完成全年的 75. 5%, 超额 0. 5 % 从总的执行情况来看呈上升趋势, 现在关键是要抓紧第四季度的正常生产检查计划执行进度, 最直接的目的就是保证计划能够顺利按时完成因此, 时间就成为衡量计划执行进度的一个客观标准从社会经济发展的基本要求来讲, 持续稳定协调的发展才是健康的发展因此, 计划执行进度应该是持续稳定协调这一原理可概括为计划执行进度检查的标准 : 全年分为四个季度, 每个季度应完成计划数的四分之一, 即 25% 2. 根据相对数计算计划完成相对数在经济管理中, 有许多计划任务是用相对数表示的, 如计划成本降低率出勤率等这些计划任务完成程度的考核, 有两种方法 : (1) 对比法这是用实际完成数 ( 百分数 ) 与计划数 ( 百分数 ) 对比来考核计划完成程度的方法这种形式的计算, 一般适用于考核各种社会经济现象的增长率降低率的计划完成情况例如, 考核人口自然增长率流通费用降低率等的计划完成情况则例某企业 2002 年规定总产值比上年提高 8%, 实际执行结果比上年提高 12%, 该厂总产值计划完成 % 100 % + 12 % % 100% + 8%

9 58 第三章总体数量的统计描述 3. 7% 计算结果表明, 该企业总产值实际比计划超额完成 3. 7%, 即 % % 例 2002 年某企业生产某单位产品计划工时消耗比上年降低 4%, 实际比上期降低 6%, 则该企业单位工时降低 % 100% - 6 % 97. 9% 100% - 4 % 计算结果表明, 该企业单位产品的实际工时消耗超额 2. 1% 完成计划规定, 即 97. 9% - 100% % 注意 : 这里下达的计划数是以比上期增长或降低百分之几的形式出现的, 在计算时不能用实际增长 ( 或降低率 ) 除以计划增长率 ( 或降低率 ), 而应包括原有基数 100% 在内 (2) 差额法这是用实际完成的增减百分数与计划规定的增减百分数的差额说明计划完成情况的方法如上例, 用差额法计算则为 :6% - 4% 2%, 计算结果表明单位产品的实际工时消耗降低率比计划规定多降低了 2 个百分点这两种方法的计算结果不同, 说明的问题也不同前者说明的是计划完成程度, 后者只是检查和评价是否完成了计划, 不是用来说明完成的相对程度 3. 根据平均数计算计划完成相对数计划完成相对数实际平均水平 100% 计划平均水平例某工厂某年某月生产 A 产品计划每个工人日平均产量为 100 件, 实际每人日平均产量为 150 件, 则劳动生产率计划完成相对数 % 150 % 100 计算结果说明超额 50% 完成了计划对计划完成程度的评价, 实际数超过计划数好, 还是低于计划数好, 这要根据计划指标的性质和内容而定反映工作成果的指标是作为最低限度提出的, 如产品产量商品销售额等计划完成相对数等于或大于 100% 表示完成或超额完成计划 ; 而反映人力物力财力消耗的指标是作为最高限度提出的, 如单位产品成本商品流通费计划, 则实际数应力求比计划数低, 计划完成程度必须小于 100% 才算超额完成计划在评价完成情况的绝对效果时, 一定要用实际指标减计划指标, 并保留正负号, 但在文字说明时, 要排除正负号, 将其换成相应的文字 ( 二 ) 结构相对数结构相对数是在分组资料的基础上, 总体各组成部分的数值与总体总数值之比它表明总体各部分在总体中所占的比重, 一般用百分数表示, 总体中各组成部分比重之和必须等于 100% 其计算公式是 : 结构相对数例结构相对数示例, 见表 3-4 总体各组成部分数值 100% 总体总数值

10 第二节相对水平的统计描述 59 表年某地国内生产总值构成状况按三次产业分组国内生产总值 ( 亿元 ) 国内生产总值构成比重 (% ) 第一产业第二产业第三产业合计该地区结构相对数为 : 第一产业比重 % % 25% 第二产业比重 % % 35% 第三产业比重 % % 40% 各部分比重之和 25% + 35% + 40% 100% 结构相对数可以用来在求得总量平衡的基础上, 进行总体内部的结构调整资源配置优化组合结构相对数的分子和分母, 可以是部分和总体的单位数, 也可以是部分的标志总量和总体标志总量结构相对数除用来反映总体内部结构外, 还可通过不同时期结构相对数的变化, 反映出事物发展变化过程及其规律性 ( 三 ) 比例相对数比例相对数是总体中某一组的指标数值与另一组指标数值之比它表明组与组之间的联系程度或比例关系, 一般是用百分数或倍数表示, 有时用 1 比多少或 100 比多少表示其计算公式是 : 比例相对数总体中某一组的指标数值总体中另一组的指标数值例某地 2003 年第一二三产业增加值分别为 250 亿元 350 亿元 400 亿元, 那么该地 2003 年第一二三产业增加值的比例相对数是 : 二产 350 一产三产 400 一产即一产二产三产比例相对数常用来研究现象之间的比例关系, 以利于促进其协调发展计算时一般用绝对数进行对比, 有时根据研究目的和所掌握的资料, 也可用总体中各部分的相对数或平均数 ( 四 ) 动态相对数动态相对数是同一现象在不同时间上的两个数值之比它表明现象在不同时间上的变化程度通常把用来作为比较基础的时期称为基期, 与基期比较的时期称为报告期动态相对数一般用百分数或倍数表示其计算公式是 :

11 60 第三章总体数量的统计描述某现象报告期数值动态相对数同一现象基期数值例 2003 年某地生产总值为亿元,2002 年某地生产总值为亿元, 则 2003 年为 2002 年的动态相对指标为 : 动态相对数 % 亿元 100% 108% 亿元动态相对指标的作用, 在于说明现象在时间上的发展变化因此, 基期的选择, 要根据统计研究的目的来确定通常以前期或上年同期为基期, 也可以历史上某一重要时期或者历史最好水平的时期为基期介绍动态相对指标可以利用总量指标计算, 可以用平均指标计算, 这将在第五章详细 ( 五 ) 比较相对数比较相对数是指同一时期两个同类现象在不同空间的静态对比, 用来表明两个同类事物在不同条件下的数量对比关系比较相对数一般用百分数或倍数表示其计算公式是 : 比较相对数某类现象的数值不同空间同类现象的数值例某市甲乙两个商店 2001 年人均商品销售额分别为 60 万元与 50 万元比较两店的人均销售额为 : 甲商店人均销售额乙商店人均销售额 60 万元 100% 120% 50 万元计算结果表明, 甲店人均销售额比乙店高 120% - 100% 20% 比较相对数既可用两个平均数对比计算, 也可用两个绝对数或相对数对比计算 ( 六 ) 强度相对数强度相对数是反映总体中两种不同现象不同性质指标的对比所形成的比值其计算方法是 : 强度相对数某一现象某一性质指标值另一有联系现象另一性质指标值它是用来反映现象的强度密度普遍程度或利用程度的综合指标某国 ( 地 ) 年该国 ( 地 ) 年国内生产总值人均国内生产总值该国 ( 地 ) 年平均人口数某国 ( 地 ) 年该国 ( 地 ) 年该产品产量人均某产品产量该国 ( 地 ) 年平均人口数上述强度相对数数值计量单位为复名数, 是反映一个国家或一个地区经济实力强弱的综合指标某国 ( 地 ) 年人口密度某国 ( 地 ) 年均人口总数某国 ( 地 ) 土地面积每千人拥有全国 ( 地区 ) 零售商业机构数 ( 个 ) 商业机构数全国 ( 地区 ) 人口数 ( 千人 ) 上述强度相对数数值计量单位为复名数, 反映客观事物或现象分布的密度

12 第二节相对水平的统计描述 61 度小学 ( 或初中高中 ) 在校生人数小学 ( 或初中高中 ) 入学率 100% 小学 ( 或初中高中 ) 学龄人数成人文盲和半文盲人口数成人文盲率 100 % 15 岁及以上人口数上述强度相对数数值计量单位为无名数, 说明一个国家或地区文化教育的普及程原材料利用率 (%) 现有设备使用率出勤工时 ( 工日 ) 利用率产品 ( 或劳务 ) 总量 100% 原材料总消耗量实际使用设备数量现有设备数量制度内实际工作工时 ( 工日 ) 数 100% 出勤工时 ( 工日 ) 数上述强度相对数数值计量单位为无名数, 反映客观事物或现象的利用程度专利 ( 或技术转让 ) 成本收益率价格弹性系数专利转让 ( 或技术转让 ) 收益获得专利 ( 或技术 ) 所需成本供给 ( 或需求 ) 的增长速度 % 相应的价格升 ( 降 ) 速度 % 上述强度相对数数值计量单位为无名数, 反映双向作用强度资本收益率销售利润率成本费用利润率净利润 100% 实收资本平均余额利润总额 100% 销售收入利润总额 100% 成本费用总额上述强度相对数数值计量单位为无名数, 反映企业获利能力总资产周转次数总资产周转天数流动资产周转次数流动资产周转天数销售收入平均资产总额平均资产总额计算期天数销售收入成本费用总额流动资产平均余额流动资产平均余额计算期天数成本费用总额上述强度相对数数值计量单位为无名数, 反映运营能力流动资产负债率总资产负债率流动负债 100 % 流动资产负债总额 100% 资产总额上述强度相对数数值计量单位为无名数, 反映偿债能力总资产增长率净资产增长率期末资产总额 - 期初资产总额 100% 期初资产总额期末所有者权益 - 期初所有者权益 100% 期初所有者权益

13 62 第三章总体数量的统计描述期末固定资产净值固定资产净值率 100% 期末固定资产原值上述强度相对数数值计量单位为无名数, 反映发展能力综上所述, 强度相对数的比值, 当分子分母是不同计量单位时, 用有名数表示, 是两种计量单位组合在一起所形成的复名数 ; 当强度相对数中的对比双方是相对数, 或者是同一种计量单位的指标时, 强度相对数就表现为无名数形式在这里, 提请大家注意的是, 强度相对指标的计算应该在同一总体范围内, 否则, 对比双方内在联系就无法解释第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述一集中趋势的代表值变量分布数列是统计描述的一种重要方法如将表 3-1 资料绘制成频率分布图如图 3-1 所示从表 3-1 与图 3-1 中显示得知 : 日产量 16 件为中心值, 该总体各变量值集中在以 16 件为中心值的两侧 16 件是数列分布的中心值, 即远离中心值的变量值的频数很少, 而接近中心值的变量值的频数居多, 整个变量数列是围绕中心值左右波动所以, 中心值显示了总体全部变量值分布在集中点上的数值, 它是总体变量值总量的平均数, 表明总体分布的一个重要特征这种反映同质总体中各单位的某种变量值分布集中趋势的中心值称为集中趋势的代表值 ( 一 ) 算术平均数图 3-1 频率分布图算术平均数是最常用的平均指标和方法, 表现形式为有名数根据内容, 其计量单位有时全部表示出来, 是一种复合单位有时只写出一个, 表现为单名数算术平均数的基本计算公式是 : 算术平均数总体标志总量总体单位总量依据资料的条件不同, 具体计算方法可分为两种情况 1. 简单算术平均数简单算术平均数就是将总体各个单位的标志值相加除以总体单位数求得如果用字母表示, 其计算公式为 : x x1 + x2 + x3 + + x x i

14 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 63 式中 : x 算术平均数 ; x i 第 i 个总体单位的变量值 ; 总频数 ; 加总符号例某生产组 6 名工人生产同一种零件的日产量分别为 : 其算术平均数为 : x x ( 件 ) 简单算术平均数的特点是各变量值出现的次数相同上例中各个变量值出现的次数都是 1 如果变量值出现的次数不同, 就得计算加权算术平均数 2. 加权算术平均数加权算术平均数是在总体经过分组形成变量数列 ( 包括单项数列和组距数列 ), 有变量值和次数的情况下, 将各组变量值分别与其次数相乘后加总求得标志总量, 再除以总体单位数 ( 即次数总和 ) 而求得计算公式为 : 加权算术平均数 ( 各组变量值各组次数 ) 各组次数 (1) 根据单项变量分布数列计算算术平均数用字母表示为, 其计算公式为 : x x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 + + x f f 1 + f 2 + f f x i fi 式中 : x 算术平均数 ; x i 第 i 组的各组变量值 ; 第 i 组的变量值出现的次数, 即频数 ; 加总符号利用分组数据计算算术平均数的过程是 : 1 表内 : 根据 x 栏与 f 栏内数值计算出 xf 栏内数值 xf 为各组变量总值, xf 栏合计为总体变量总值 2 表外 : 将 xf ( 变量总值 ) 和 f ( 总频数 ) 代入公式, 计算出算术平均数 x 例某生产组 10 名工人生产甲产品, 日产量分组资料如表 3-5 所示, 计算工人的平均日产量表 3-5 算术平均数计算表之一日产量 ( 件 ) x i 工人人数 x i 合计

15 64 第三章总体数量的统计描述根据资料, 可以计算该生产组 10 名工人的平均日产量为 : x x i fi ( 件 ) 由此可见, 平均日产量 26 件趋向于工人人数最多, 即频数最大的那个变量值 30 件如果上例中变量数列的各个变量值 x 不变, 各组的工人分布有所变化, 则可得表 3-6 的分布数列表 3-6 算术平均数计算表之二日产量 ( 件 ) x i 工人人数 xi fi 合计根据资料, 可以计算该生产组 10 名工人的平均日产量为 : x xifi ( 件 ) 由此可见, 平均日产量 14 件趋向于工人人数最多, 即频数最大的那一个变量值 10 件由以上例子可以看到, 以分组数据计算算术平均数时, 其数值的大小受两个因素的影响 : 一个是受各组变量值 x 的影响 ; 另一个是受各组变量值出现的次数, 即频数 f 的影响当各组变量值 x 不变时, 各组变量值出现的次数 f, 对于算术平均数 x 的大小起着权衡轻重的作用, 算术平均数 x 总是趋向于出现次数最多的那个变量值因此, 次数 f 又称为权数, 这种计算算术平均数的方法, 叫做加权平均法用这种方法计算的算术平均数, 就叫做加权算术平均数需要注意的是, 权数不仅可以用绝对数, 即频数 f 表示, 也可以用相对数, 即频 f 率或比重表示如将上面加权算术平均数公式变换一下, 则可以得到按频率或比 f f 重作为权数的加权算术平均数公式 : f x x i xi fi

16 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 65 例仍用表 3-5 中的资料, 用频率见表 3-7 f f 作权数来计算加权算术平均数, 结果表 3-7 算术平均数计算表之三日产量 ( 件 ) xi 工人人数 fi 人数比重 (%) fi x i fi 合计根据资料, 计算加权算术平均数为 : x x i fi 26 ( 件 ) f 用频率作权数, 比用频数 (f) 作权数, 更能直观地表明权数对平均数的 f f 影响即权数对平均数发生作用, 实质在频率的变化, 若在一个变量数列中, f 各组频数均增减几倍, 频率仍不变, 平均数也不变 (2) 根据组距变量分布数列计算算术平均数上面所介绍的都是用单项变量数列来计算加权算术平均数的方法如果我们掌握的是组距数列的资料, 则计算加权算术平均数的方法是 : 先计算各组的组中值, 用组中值代表变量值 x, 然后根据要求, 用 f 频数 (f) 或频率作为权数, 代入公式, 则可得加权算术平均数组距数列加 f 权算术平均数计算举例如表 3-8 所示日包装量 ( 件 ) 表 3-8 组距式变量数列加权算术平均数计算表组中值工人数 ( 人 ) x i (1) (2) (3) x i (1) (2) x i fi (1) (3) 400 以下 ~ ~ ~ ~ 以上合计组中值的一般计算方法是 : 闭口组 ( 上下限齐全 ) 的组中值, 可按下列公式计算 :

17 66 第三章总体数量的统计描述上限 + 下限组中值 2 缺上限或下限的开口组的组中值, 可按下列公式计算 : 表中第一组组中值上限 - 表中最末组组中值下限 + 根据资料, 计算平均日包装量的过程为 : 相邻组组距 2 相邻组组距 2 ( 缺下限的组中值 ) ( 缺上限的组中值 ) 1 表内 : 根据日包装量栏, 计算组中值 xi ; 根据工人数 fi ( 总体单位数, 也称次数频数 ) 栏, 计算各组次数占总次数比重, 即 ( 频数, 也称比重 ); 根据 xi 栏与栏计算 x i ; 根据 x i 栏与 fi 计算 x i fi fi 2 表外 : 将 x i 栏的合计数 x i 代入公式分子, 将栏的合计数 60 代入公式分母, 则 : 将 x i fi 栏的合计数 i x xi fi x i fi x fi ( 件 ) 570 直接代入公式, 则 : xi 570 ( 件 ) 在加权算术平均数的计算中, 应当以各组的组平均数乘以相应的频数计算各组的变量值总量在组距变量数列中, 由于缺乏组平均数资料, 是以各组的组中值作为组平均数的代表值来计算各组的变量值总量的做这样变通处理是假定各组变量值在组内的分布是完全均匀的, 因此, 其计算结果只能是一个近似值综上所述, 简单算术平均数与加权算术平均数之间并没有根本区别, 因为一个变量值乘上一个频数 ( 权数 ) 与多次加总这个变量值, 意义是完全相同的, 它们的基本计算公式都是 : 算术平均数总体变量值总量总体频数总量算术平均数是指同质总体内各单位某种变量值分布集中趋势的中心位置的代表值, 它是同质总体内所有变量值的平均值算术平均数是统计中最常用的一种表示集中趋势的代表值由于在计算时所有变量值均参加了计算, 因此, 算术平均数能够代表所有的变量值应该注意的是算术平均数对极端值反应很灵敏, 容易受两侧极端值的影响 * ( 二 ) 调和平均数在实际统计工作中, 有时由于资料的原因不能直接计算算术平均数, 可采用调和

18 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 67 平均数的形式间接计算出算术平均数, 其计算结果与算术平均数相同因此, 在这种情况下, 我们把对调和平均数形式的应用, 看成是算术平均数的变形形式例在市场经济中, 商品价格放开, 同一种商品售价可以在一定范围内上下浮动现有某种商品在三个不同商场某期的单位价格及销售量资料, 如表 3-9 所示表 3-9 某期某商品价格及销售量资料商场名称价格 ( 元 / 件 ) 销售量 ( 件 ) 甲乙丙合计要求计算该种商品的平均价格计算过程见表 3-10 根据资料计算 : 平均价格 x x i fi ( 元 / 件 ) 表 3-10 算术平均数 ( 某商品平均价格 ) 计算表之一商场名称销售价格 ( 元 / 件 ) 销售量 ( 件 ) 销售额 ( 元 ) xi fi xi fi 甲乙丙合计例中, 每件商品是总体单位, 销售量是频数 f, 销售量合计是频数总数 f; 价格是该商品的变量, 三个商场的具体价格是变量值 x, 销售额的合计数是变量总值 xf 在上例中, 若价格 x 和销售额 xf ( 设为 m) 已知, 而销售量未知, 则平均价格的计算要先计算出总频数, 然后, 仍用变量总值与总频数进行对比, 而求得平均数, 如表 3-11 所示表 3-11 某期商品价格及销售额资料商品名称销售价格 ( 元 / 件 ) 销售额 ( 元 ) x m 甲乙丙合计

19 68 第三章总体数量的统计描述试计算三个商场该种商品的平均价格, 见表 3-12 表 3-12 算术平均数 ( 某商品平均价格 ) 计算表之二商场名称销售价格 ( 元 / 件 ) 销售额 ( 元 ) 销售量 ( 件 ) x m f m x 甲乙丙合计 m m 是变量总值, 因为 m xf, 所以 x f 是各组频数, m 就是总频数由此 x 可见, 调和平均数实际是各变量值倒数的算术平均数的倒数, 是算术平均数的变形形式它也有简单平均和加权平均两种方法加权调和平均数的公式为 : m1 + m2 + m3 + + m xh m 1 + m2 + m3 x1 x2 x3 根据表 3-9 资料, 该商品平均价格为 : 调和平均数有以下特点 : + + m x m m x x H m m ( 元 / 件 ) x (1) 调和平均数由于是根据所有变量值计算的, 所以易受极端值的影响当数列分布呈明显偏态时, 调和平均数的代表性也会受到影响 (2) 当数列中有一数据值为 0 时, 无法计算调和平均数 * ( 三 ) 众数众数是指在总体各单位的某一数量标志上, 出现次数最多的那个标志值众数也是变量值集中趋势的代表值众数 1. 根据单项数列确定众数在分组整理的单项式变量分布数列中, 可以通过观察直接寻找到众数例某地区男胶鞋销售量资料如表 3-13 所示, 试确定众数从表中可以直接看出, 众数组就是销售量最多的千双这个组,25 厘米就是 2. 根据组距数列确定众数在组距数列中, 众数是频数最多一组的组中值例如 : 某班 50 名学生某科考试成绩分组表如表 3-14 所示

20 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 69 表 3-13 胶鞋销售量分组表按号码分组 ( 厘米 ) 销售量 ( 千双 ) 合计考试成绩 ( 分 ) x 表 3-14 某班学生考试成绩分组表人数 ( 人 ) f 60 以下 1 60~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 以上 2 合计 50 从表中可看出, 学生人数最多的一组是 19 人, 对应的分数是 75~ 80 分, 该组的组中值分就是众数从理论上说, 众数是与频数分布理论曲线最高点相对应的横坐标上的一点但众数的理论值求法甚繁, 一般是用经验公式求理论众数的近似值用近似公式计算的众数是按频数的比例分摊求得, 这里不作深入介绍 * ( 四 ) 中位数中位数是指把总体中的各个单位, 按某一数量标志值的大小顺序排列, 处于中间位置的那个标志值这一定义表明, 总体中有一半单位的标志值小于中位数, 一半单位的标志值大于中位数中位数能够把总体平分为两个部分中位数是由数值的位置确定的, 因此, 是以位置来表示集中趋势的代表值中位数在实际计算时, 根据掌握的数据不同, 要采用不同的计算方法 1. 根据原始数据计算中位数直接根据原始数据计算中位数的过程是 : 将一组原始数据按照从大到小 ( 或从小到大 ) 的顺序排列, 那么位居中点位置上的那个变量值就是中位数应该注意, 在计算中位数时, 首先是要确定中位数的位置, 然后再根据确定的位置找出或计算出中位数的数值中点位置用下列公式确定 : 中点位置 + 1 2

21 70 第三章总体数量的统计描述式中代表总频数如果数列项数为奇数, 中位数就是中点位置的变量值例某班组有 9 名工人生产甲产品, 某日产量分别为 : 即第五位工人的日产量 16 件是中位数数中点位置如果数列项数为偶数, 中位数则应取中点位置相邻的两个变量值的平均值为中位例某班组有 8 名工人生产甲产品, 某日产量分别为 : 中点位置即第四位和第五位工人之间为中位数位置第四位工人的日产量为 16 件, 第五位工人的日产量是 18 件, 则 : 中位数 (Me) 2. 根据单项式数列计算中位数 ( 件 ) 在单项式数列中, 先计算各组的累计次数, 然后根据中点位置的计算公式确定中位数所在的组, 该组的变量值就是中位数中点位置 f 2 以表 3-15 资料为例说明中位数的计算方法表 3-15 中位数的计算示例家庭人口数 ( 人 ) 家庭数 ( 户 ) 户数累计人及 7 人以上合计 303 中位数的计算过程为 : 第一步 : 累计次数如表 3-15 中的第 3 列第二步 : 计算中位数位置可采用公式来计算, 即 : 中位数位置总体单位总量 2 f 2

22 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 71 f 本例的中位数位置第三步 : 确定中位数本例中第 152 户在第 4 组, 所以, 中位数为 4 人即 : Me 4 人在组距式分组的统计资料中, 中位数的确定方法较为复杂在确定中位数所在组以后, 要假定组内的分布是均匀的, 然后按比例推算中位数依据次数分布的不对称和过渡过程, 可以分别从下限或上限方向推算中位数具体方法这里不作深入介绍二离中趋势的代表值 ( 一 ) 离中趋势统计描述的意义和作用 1. 离中趋势统计描述的意义前一节我们讨论了描述某一变量集中趋势代表值的方法, 用以反映该变量分布的中心水平集中趋势是变量数量特征的一个重要方面, 但仅仅掌握集中趋势的度量, 对变量分布的中心位置进行描述是不全面的为此, 我们还需要了解变量数列围绕中心位置分布情况所表现出来的另一个方面的重要数量特征离中趋势, 即离散状况变量的离散状况可以用变量的离散范围和离散程度来反映, 它们是变量数量特征的另一个方面要进一步描述和刻画变量分布的数量特征, 就需要计算变量的离中趋势, 它是与集中趋势相辅相成, 共同反映变量分布规律性的一对对立统一的数量代表值例如, 有甲乙两组日产量组成两个数列, 甲数列 : , x 70 乙数列 : , x 70 绘制成线段图, 如图 3-2 所示图 3-2 数列线段图由图可见, 甲数列集中程度大, 乙数列离散程度大显然, 变量的离散趋势越大, 说明集中趋势越差, 如乙数列 ; 变量的离散趋势越小, 说明集中趋势越强, 如甲数列算术平均数是测定集中趋势最常用的代表值, 它的实质是把同质总体中各个单位某种变量值的差异 ( 即离差 ) 正负相互抵消后反映变量集中趋势的中心点的代表值例如甲乙两数列 : 甲数列 : , x 70 离差 : 乙数列 : , x 70 离差 :

23 72 第三章总体数量的统计描述本节对离散程度的描述, 主要介绍的是离差程度的度量, 用它来描述变量围绕中心值分布的差异状况 2. 离中趋势统计描述的作用 (1) 能够反映总体各单位标志值分布的离中趋势总体各单位标志值的分布, 从中心来看是围绕平均数, 因此, 平均指标反映了总体各单位标志值的集中趋势这种集中趋势在许多现象中都存在, 但是集中的快慢或集中程度的高低, 平均指标则无法说明集中程度的高低, 也就是总体各单位标志值离中趋势的强弱, 往往决定着总体的性质特征从统计推断方法来讲, 变异程度的高低和离中趋势的强弱会直接决定和影响推断结果的准确性 (2) 可以说明和比较平均指标代表性的高低变异指标是测量标志变异程度的指标, 变异程度越大, 即标志变动度越大, 则变异指标值越大, 变异指标值的大小与标志变动度的大小成正方向关系而标志变异程度的大小与平均指标的代表性呈反方向关系, 所以, 用变异指标可以比较说明平均指标代表性的高低, 二者成反方向关系, 即变异指标值越大, 则平均指标的代表性越低, 反之, 变异指标值越小, 则平均指标的代表性越高平均指标代表性的高低直接决定着其作用和意义的大小没有代表性的平均指标将毫无意义 (3) 可以说明和比较社会经济现象的均衡稳定和协调性的高低变异是客观存在, 是统计的前提但变异必须符合人们的要求, 即保持必要的均衡稳定协调性变异程度太大, 会破坏社会经济现象健康发展所需要的比例关系因此, 对变异的分析认识, 是正确处理社会经济关系的一个重要前提条件联系变异的特征表现可以看出, 社会经济现象的均衡稳定协调性, 与平均数的代表性基本一致, 二者呈正方向关系, 所以, 变异指标的大小, 与社会经济现象的均衡稳定协调性呈反方向关系, 变异指标值越大, 说明均衡稳定性越差, 反之, 变异指标值越小, 说明稳定性越好 (4) 变异指标是推断统计的重要依据推断统计的核心内容是用部分来估计总体, 它不可避免地要产生代表性误差从推断结果来看, 总体各单位的标志变异程度, 对推断估计结果的准确可靠性具有决定性的意义从统计工作的科学性来看, 总体变异程度的大小, 是推断统计设计时必须首先考虑的先决条件从方法上看, 推断统计的所有理论都直接或间接地应用了变异指标及其分析方法因此, 变异指标是推断统计的重要依据, 变异分析方法对于保证推断统计的科学合理准确性具有重要意义 ( 二 ) 离中趋势代表值的计算方法描述离散程度的测量值有 : 极差标准差和离散系数 1. 极差极差也称为全距, 是变量分布中最大值与最小值之差它是描述变量离散状况最简单的测量值, 用公式可表示为 : 全距 (R) 最大变量值 - 最小变量值式中 : R 表示极差

24 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 73 例如 : 甲数列 : , x 70, R 乙数列 : , x 70, R 用极差来评价变量离散状况是 : 极差值较小, 说明变量值离散范围小, 离散程度也较小, 变量值较集中, 平均数的代表性较大 ; 反之, 极差值较大, 说明变量值离散范围大, 离散程度较大, 变量值较分散, 平均数的代表性较小根据组距数列计算极差, 公式为 : 全距 (R) 最高值组上限值 - 最低值组下限值例如, 某车间 40 名工人日产量资料如表 3-16 所示表 3-16 某车间 40 名工人日产量资料表日产量 ( 件 ) 50~ 60 60~ 70 70~ 80 80~ 90 90~ 100 合计工人数 ( 人 ) 根据资料计算 : R ( 件 ) 应用极差计算较简便, 能够较快地直接做出判断但它只考虑了最大值与最小值之差, 主要反映变量的离散范围, 由于没有联系变量数列中其他数值的差异情况, 不能较好地表现离散程度, 只能粗略反映离散状况鉴于它对极端数值反应灵敏, 在误差监测与控制中有重要应用 2. 标准差标准差是测定标志变动程度的主要指标标准差是总体单位各变量值与其平均数的离差平方的算术平均数的平方根习惯上用字母 σ 表示标准差的计量单位与变量值的计量单位相同由于算术平均数有简单算术平均数和加权算术平均数之分, 与算术平均数的这种区分相对应的标准差, 也有简单式和加权式两种 (1) 简单式标准差如果算术平均数是采用简单平均法计算的, 则标准差也采用简单式其计算公式如下 : σ 式中,σ 标准差, 读西格玛简单式标准差的计算步骤如下 : 1 计算算术平均数 x; (x - x) 2 2 计算变量值 x i 与算术平均数 x 的离差 :(x i - x); 3 计算离差的平方和 : (x i - x) 2 ; i 1 4 计算离差平方的平均数 : (xi - x) 2 i 1

25 74 第三章总体数量的统计描述 5 计算离差平方的平均数的平方根 : (x i - x) 2 i 1 标准差愈大, 说明标志变动程度愈大, 因而平均数的代表性就愈小 ; 反之, 标准差愈小, 说明标志变动程度愈小, 平均数的代表性就愈大现仍以前面甲乙两个数列的例子来说明简单式标准差的计算方法, 见表 3-17 和表 3-18 表 3-17 甲组日产量标准差计算表日产量 ( 件 ) x i 离差 (x i - x 甲 ) 离差平方 (x i - x 甲 ) 合计 10 表 3-18 乙组日产量标准差计算表日产量 ( 件 ) xi 离差 (xi - x 乙 ) 离差平方 (xi - x 乙 ) 合计 x 甲 x i ( 件 ) σ 甲 (xi - x 甲 ) 2 i 1 x 乙 x i ( 件 ) 70( 件 ) σ 乙 (x i - x 乙 ) 2 i ( 件 ) 计算结果表明, 甲组标准差比乙组标准差小, 所以甲组变量的离散程度比乙组小, 即甲组变量分布范围比乙组集中, 甲组平均数的代表性大

26 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 75 (2) 加权式标准差如果算术平均数是采用加权平均法计算的, 则标准差也就是加权式计算公式如下 : σ (xi i 1 - x) 2 fi 单项式变量分布数列加权式标准差的计算步骤如下 : 1 计算算术平均数 x; 2 计算变量值 xi 与算术平均数 x 的离差 :(xi - x); 3 计算离差的平方和 : i 1 4 计算离差平方的平均数 : (x i - x) 2 ; (x i - x) 2 5 计算离差平方的平均数的平方根 : (x i - x) 2 i 1 例某班组 25 名工人日产量分组资料如表 3-19 所示, 试计算标准差表 3-19 单项数列标准差计算表日产量 ( 件 ) 工人数 ( 人 ) 总产量 ( 件 ) 离差离差平方离差平方加权 xi fi xi fi x i - x (x i - x) 2 (x i - x) 合计 x x i ( 件 )

27 76 第三章总体数量的统计描述 σ (xi - x) 2 fi i ( 件 ) 由组距变量数列计算标准差, 用组中值为变量值, 计算公式与上述公式相同以表 3-20 资料计算如下 : 表 3-20 组距变量数列标准差计算表日产量 ( 千克 ) 工人数 ( 人 ) 组中值 x i x i x i - x (x i - x) 2 (x i - x) 2 15~ ~ ~ 合计 x x i ( 千克 ) 3. 离散系数 σ (x i - x) 2 i ( 千克 ) 以上所介绍的极差标准差, 固然可以反映研究总体的离中趋势, 但由于它们都有相同的计量单位, 代表相同的实物量, 其数值的大小, 受变量值本身绝对量水平高低的影响, 是离中趋势的绝对数若研究的总体不相同, 或计量单位不相同, 或平均数相差悬殊, 它们离中趋势的绝对数是不可以比较的为此, 要计算离中趋势的相对数, 即离散系数离散系数有几种, 常使用的是标准差系数, 它是利用反映某种现象变量分布状况的标准差除以平均数来表明每单位平均数的离散程度, 用百分数表示, 是变量分散性的一个相对度量标准差系数习惯上用字母 Vσ 表示计算公式为 : 离散系数可以用在以下几个方面 : Vσ σ x 100% (1) 比较总体相同, 而计量单位不同的两组变量数列的离散程度例某市 6 岁男童体重与身高资料如下 : 平均数 (x) 标准差 (σ) 体重 : 千克千克身高 : 厘米厘米则计算标准差系数为 :

28 第三节总体变量集中与离中趋势的统计描述 77 体重 : Vσ σ % 100% % x 身高 : Vσ σ % 100% 4. 19% x 由此可见, 该市 6 岁男童体重的变异大于身高的变异, 其平均体重千克比平均身高厘米的代表性小 (2) 比较计量单位相同, 而平均数差异悬殊的两组变量的离散程度例根据表 3-21 和表 3-22 两组资料, 比较离散程度表 3-21 成人组身高标准差计算表身高 ( 厘米 ) x i 离差 xi - x (x 168 厘米 ) 离差平方 (xi - x) 合计 40 成年人组平均身高为 : x 成人组身高标准差计算如下 : σ ( 厘米 ) 表 3-22 幼儿组身高标准差计算表 168( 厘米 ) 身高 ( 厘米 ) xi 离差 x i - x (x 73 厘米 ) 离差平方 (x i - x) 合计 10 幼儿组平均身高为 : x 幼儿组身高标准差计算如下 : 标准差系数计算如下 : 成人组 : V σ σ x σ 73( 厘米 ) ( 厘米 ) % 100 % 1. 68% 168

29 78 第三章总体数量的统计描述幼儿组 : Vσ σ % 100 % 1. 94% x 73 计算结果表明, 成人组的标准差系数小于幼儿组, 说明成人组身高的离散程度较小而通过计算标准差所显示的结论, 与此恰恰相反, 是不正确的 (3) 比较总体不同, 计量单位也不相同的两组变量的离散程度例某月甲国某企业员工的平均收入是美元, 标准差为 180 美元, 该月乙国某企业员工的平均收入是欧元, 标准差为 300 欧元问哪个企业平均月收入的离散程度小? 由于两个企业是不同总体, 收入计量单位不同, 而且平均收入也不同, 所以单凭标准差不能判定两个企业员工月平均收入离散程度的大小, 应该计算标准差系数甲国企业 : Vσ σ x 100% % 6 % 乙国企业 : V σ σ % x % 5 % 由于乙国企业员工月平均收入的标准差系数小于甲国企业员工, 所以乙国企业员工月平均收入的离散程度小 * 三变量值平均值与标准差的关系平均数通常被用来寻找变量分布的中心值 ; 标准差度量了各变量值对于平均数的离散程度中心值与各变量值分布的关系可通过正态分布方式来展示标准差可以直接地概括地平均地描述变量的离散程度, 是变量分布中各变量值 x i 距离它们的中心值平均数 x 远近的一种尺度概率论指出 : 在正态分布中, 有 68% ( 近似值 ) 的变量值分布在离平均数 1 个 σ 范围内,95% 的变量值分布在离平均数 2 个 σ 范围内, 其余的 5 % 的变量值则离得较远, 如图 3-3 所示图 3-3 正态分布曲线图

Tj2.s92

Tj2.s92 第三章统计综合指标本章内容提要第一节总量指标一综合指标的意义经过统计整理, 将大量反映总体单位数量特征的原始资料进行加工汇总, 就可以得到反映社会经济现象总体数量特征的统计指标, 这就是综合指标二综合指标的分类综合指标分为三类 : 总量指标相对指标平均指标 ( 含标志变异指标 ) 三总量指标总量指标是反映社会经济现象在一定条件下的总规模总水平的综合指标总量指标按反映的内容不同可以分为总体单位总量和总体标志总量