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2 集中趋势 ( 位置 ) 离中趋势 ( 分散程度 ) 偏态和峰态 ( 形状 )

3 集中趋势是指数据分布中大量数据向某个方向集中的程度 ; 离中趋势是指数据分布中数据彼此分散的程度 集中与离中趋势是次数分布的两个基本特征 用来描述一组数据这两种特点的统计量分别称为集中量数和差异量数

4 数据分布特征的和测度 数据的特征和测度 集中趋势 众数中位数 均值 离散程度 异众比率四分位差方差和标准差离散系数 分布形状 偏度 峰度

5 3.1 平均数 3.2 中数 3.3 众数 3.4 其它集中量数

6 算术平均数 (arithmetic average), 一般简称为平均数 (average) 或均数 均值 (mean) 一般用 M, 或者用 表示 算术平均数是最常用的集中量 只有在与其他几种集中量数如几何平均数 调和平均数 加权平均数相区别的时候, 才把它叫做算术平均数

7 原始数据计算公式 未分组数据平均数的计算方法 = N = 1 2 n 1 N n i= 1 i = 1 N Σ

8 意义 : 它是 真值 渐近 最佳的估计值 ( 推导略 ) 一组数据中每个变量与平均数之差 ( 称为离均差 ) 的总和等于 0; ( ) = 0 Σ = N Σ N = 0 各变量值与均值的离差平方和最小, ( 连加和计算规则, 常数 C ) 2 = min Σ ( C + ) = NC + Σ Σ( C ) = CΣ

9 (an estimated mean ) 1 = Σ N x = AM + N x = i AM AM为估计平均数 N为数据个数

10 成绩组中值 c 频数 f 合计 52 =?

11 f + f + + k 1 C1 2 C 2 k Ck 1 = = f + f + + fk N Σ 1 2 j = 1 f f j Cj = 1 N Σf C

12 成绩组中值 c 频数 f F*c 计算 合计 = 1 N Σf C 习惯上, 保留小数位要比原来的测量数据多一位

13 1 反应灵敏 ( 观测数据变化 ) 2 计算严密 ( 数据不变时, 不受其它因素影响 ) 3 计算简单 ( 四则运算 ) 4 简明易解 ( 概念简明 ) 5 适合于进一步代数方法演算 ( 其它统计特征值 : 方差等 ) 6 较少受抽样变动的影响 ( 观测样本的大小和个体的变化, 对其影响很小 在来自同一总体逐个样本的集中量数中, 它的波动通常小于其它量数的波动 最可靠 最正确 )

14 1 易受极端数据影响 ( 反应灵敏, 当数据呈偏态时, 受极值的影响 解决办法 : 修剪平均数 / 截尾平均数 : 从一组数据中去除一定百分比的最大值和最小值数据后, 再次计算算术平均数 ) 2 有模糊不清的数据时无法应用 不宜使用 : 出现极端值 数据不清楚 数据不同质 ( 使用同一观测手段, 采用相同的观测标准, 能反应某一问题的同一方面特质的数据 )

15 同质性原则 : 算术平均数只能用于表示同类数据的集中趋势 ( 如 : 课程成绩 ) 平均数与个体数值相结合的原则 : 在解释个体特征时, 既要看平均数, 也要结合个体的数据 平均数与标准差 方差相结合原则 : 描述一组数据时既要分析其集中趋势, 也要分析离散程度

16 中数 (median), 又称为中点数, 中值, Md 或 Mdn 是按顺序排列在一起的一组数据居于中间位置 (50%) 的数 求法依数据分布而定, 比较复杂 例 1:4,6,7,8,12 例 2:2,3,5,7,8,10,15,19

17 50% 50% M d 未分组数据 分组数据 一组数据中无重复数值 一组数据中有重复数值 奇数 : 第 (N+1)/2 的那个数据数据个数偶数 : 第 N/2 与 N/2+1 的均数没位于数列中间, 同前重复数值位置奇数位于数列中间, 又分偶数

18 1 排序 2 确定 n 的奇偶 3 计算 课本例题 例 :5,5,6,10,12,15,17 例 :11,11,11,11,13,13,13,17,17 例 : 11,11,11,11,13,13,13,17,17, 18

19 例 1: 求 的中数 6.67 例 2: 求 的中数 ( 将其视为连续数, 理解为 n 个 K 占据了一个分数单位的全距 )

20 由次数分布表计算中位数需要用到累积次数分布表 当表中数据的累积方向不同时, 计算公式也不同

21 成绩频数 f 累积频数 合计 52

22 公式中 : Lb 为中位数所在组的精确下限 fb 为中位数所在组下限以下的累积频数 N 为数据总数 fmd 为中位数所在组的频数 i 为组距 Md = L b + N 2 f b f i Md

23 公式中 : Md = L a N 2 f a i f Md La 为中位数所在组的精确上限 fa 为中位数所在组上限以上的累积频数 N 为数据总数 fmd 为中位数所在组的频数 i 为组距

24 成绩频数 f 累积频数计算 合计 52 n = 2 Md = 52 2 L b = + 26 N 2 f b 5 ( 26 21) 11 = = 71.8 i f Md

25 百分位数的概念 百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据 中某一百分位置的数值, 一般用 表示 P p

26 P p = L b + ( pn f ) b i f p Lb 为百分位数所在组的精确下限 fb 为百分位数所在组下限以下的累积频数 p 为百分数 N 为数据总数 fp 为百分位数所在组的频数 i 为组距

27 优点 计算简单, 容易理解 缺点 1 没利用所有的数据, 其大小不受制于全体数据 2 反应不够灵敏 ( 极端值变化不影响 ) 3 受抽样影响较大, 不如平均数稳定 4 中数 x 总数一般不等于数据总和 5 不利于进一步统计运算 不被普遍应用

28 1 当一组观测结果中出现两个极端数目时 ( 无法确定是否由于错误观测造成, 而中数不受极大极小值影响 ) 2 当次数分布的两端数据或个别数据不清楚时 3. 当需要快速估计一组数据的代表值时, 也常用中数

29 众数 (mode) 又称为范数 密集数 通常数等, Mo 指在次数分布中出现次数最多的那个数 计算众数的方法 : 1. 直接观察法 2. 用公式计算众数

30 凭观察找出出现次数最多的数据就是众数 数据整理成次数分布表后, 观察次数最多那一组区间的组中值为众数 ( 分组不同 组距 区间上下限不同, 众数也可能不同 ) 如果所有的数值只出现一次, 那就没有众数 众数可能有两个值以上, 这和平均数 中位数不一样, 它们只有一个值

31 用公式求众数 金氏插补法 用公式计算的众数称为理论众数 M M M M 1 M 3M d = o d 2 o 3 M o L b 为含众数这一区间的精确下限 f a 为高于众数所在组一个组距那一分组区间的次数 f b 为低于众数所在组一个组距那一分组区间的次数 fa=fb 时, 区间中值 皮尔逊经验公式不受次数分布的影响, 也只能在数据 分布呈正态或接近正态时才能使用 当数据分布呈偏态时, 一般用金氏插补法计算众数 = L b + f a f + a f b i

32 概念简单明了, 容易理解, 但它不稳定, 受分组的影响, 亦受样本变动的影响 计算时不需每一个数据都加入, 因而较少受极端数目的影响, 反应不够灵敏 观察众数, 不是严格计算而来, 用计算方法所得众数亦是一个估计值 同时众数不能作进一步的代数运算 总数乘以众数, 也不与数据的总数相等

33 当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时 ; 当一组数据出现不同质的情况时, 可用众数表示典型情况, 如工资收入 学生成绩等常以次数最多者为代表值 ; 当次数分布中有两极端的数目时, 有时也用众数 ( 一般用中数 ); 当粗略估计次数分布的形态时, 有时用平均数与众数之差, 表示次数分布是否偏态的指标 当一组数据两个数值的次数较多时, 即双众数, 也多用它表示数据分布形态

34 三者关系 : 平均数是一组数据的重心 ; 中数使两侧数据个数相同 ; 众数是重量较大的那个数 在正态分布中, 平均数 中数 众数三者相等

35 平均数中数众数 (A) 正态分布曲线 M = Md = Mo 众数 中数 平均数 (B) 正偏态分布曲线 M > Md > Mo Mo = 3Md 2M 皮尔逊经验关系 平均数 中数 众数 (C) 负偏态分布曲线 M < Md < Mo

36 中数 平均数 众数 平均数 :6 中数 : 只使两侧的数据个数相同, 左右各为 3 个数 众数 : 只有 8 在序列中出现两次

37 平均数 中位数 众数的比较真实存在猜中机会适用称名量尺适用顺序量尺适用等距量尺不受分组干扰代表性使用全部数据不受极端值影响四则运算抽样稳定众数 中位数 平均数

38 除了算术平均数之外, 还有几种平均数对于测量一组数据的集中趋势也很有用, 这些统计指标有 : 加权平均数 几何平均数 调和平均数

39 如果数据权重不相等, 若要计算平均数, 不能求算术平均数, 而应使用加权平均数 计算公式 : Wi 为权数, 所谓权数是指各变量在构成总体中的相对重要性, 每个变量的权数大小, 由观测者依据一定的理论或实践经验而定, 虽然是可变的, 但绝不是没有根据的

40 计算公式 : 直接开多次方的运算, 难于进行, 因此在计算上常用取对数的方法 :

41 M g 2 3 n = n 1 = n n 1 n 1 (4.10) 两边取对数, 得 lg M g = 1 n 1 ( lg lg ) 注意 : 几何平均数计算的是平均的变化情况, 如果要计算平均增长率, 需要从几何平均数中减去基数 1 n 1

42 1 直接应用基本公式计算几何平均数: 适用情况 : 一组数据有少数偏大或偏小, 数据分布呈偏态 ; 心理物理学的等距与等比量表实验结果的处理 举例 :p.70

43 2 应用几何平均数的变式计算: 适用情况 : 一组数据彼此间变异较大, 几乎按一定的比例关系变化, 所要求的不是平均数, 而是平均增长率 举例 :p.71 43

44 调和平均数 (Harmonic Mean) 用符号 MH 表示 因在计算中先将各数据取倒数平均, 然后再取倒数, 故又称倒数平均数 计算公式 :

45 调和平均数主要用来描述学习速度方面的问题 在有关研究学习速度的实验设计中, 一般常取两种形式 : 一是工作量固定, 记录各被试完成相同工作所用的时间 ; 二是学习的时间一定, 记录一定时间内各被试所完成的工作量 由于反应的指标不同, 在计算学习速度时也不一样, 这是应用调和平均数要特别注意的地方 ( 例题见书 p.75)

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48 解 : w = W 1 1 W + W W = = W + + W n n n 答 : 该生在这门课上的成绩是 87.10

49 例 : 经计算得教育学院某年级各专业在教育测量学课程上的平均分和人数为 : 1=85,n 1 =30, 2 =83,n 2 =36, 3=82,n 3 =25, 4 =86,n 4 =26, 问全年级的平均分是多少?

50 解 : w W1 1 + W Wn n = W1 + W2 + + Wn = = 答 : 全年级的平均分是

51 例 : 某大学连续四年的毕业人数为 : , 问毕业生平均增 长率是多少?

52 解 : 980 基数 根据几何平均数公式计算得, 3 g = = 所以, 该校毕业生平均年增长率为 9.87%

53 在一项问题解决的实验中, 有 5 个被试, 让他们在 2 小时内解题, 统计他们解题的量 第一被试作了 20 题, 第二被试作了 18 题, 第三个被试 12 题, 第四个被试 16 题, 第五个被试 18 题 问他们的平均解题速度是多少

54 ) ( N H N = ) ( = 8.14 = 解 : 答 : 这 5 个学生的平均解题速度是每分钟 8.14 道题

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56 1. 反应灵敏, 2. 确定严密, 3. 计算简单 4. 简明易解 5. 适合用代数方法进一步演算 6. 较少受抽样变动的影响 均数中数众数 优 点 2 由 Σf 与 Σx, 求 M 3 进行加权综合 4 推断可靠 稳定 2 少受极端数值的影响 2 粗估 3 分析各集中点的分布 应 用 1 加权平均数 2 离差 相关 推断 3 考试 评估 1 极端数值 2 单位有疑 3 距离不定 1 使用价值极少 2 多峰分布 4 最严密 可靠 灵 4 百分体制 敏, 易理解 广用 不足 1 易受极端值影响 2 i 不定时无法计算 1 抽样影响 2 代数法 基本不符合条件

57 1. 简述算术平均数的使用特点 ( 浙大 2003 研, 苏州大学 2002 研 ) 2. 算术平均数和几何平均数分别适用于什么情形?( 南开大学 2004 研 )

第三单元 : 常用的统计量 平均数 中位数 众数方差 标准差, 样本方差 样本标准差标准系数协方差 相关系数 数据的集中程度 : 平均数 数学期望 众数 中数 数据的偏离程度 离散程度 波动程度 : 方差 标准差 变异系数 数据之间的关联程度 : 协方差 相关系数 平均数 简单算术平均数 加权算术平

第三单元 : 常用的统计量 平均数 中位数 众数方差 标准差, 样本方差 样本标准差标准系数协方差 相关系数 数据的集中程度 : 平均数 数学期望 众数 中数 数据的偏离程度 离散程度 波动程度 : 方差 标准差 变异系数 数据之间的关联程度 : 协方差 相关系数 平均数 简单算术平均数 加权算术平 第二单元 : 统计表和统计图 一 统计表 1 二维统计表 高维统计表 2 个人家庭财务报表 : 资产负债表 收入支出表 二 统计图 1 直方图 2 散点图 3 饼状图 4 盒形图 :K 线图 考题 : 三级 2010-5 多 104. 常见的统计图方式有 ( ) ( A ) 直方图 (B ) 散点图 ( C ) 饼状图 (D ) 盒形图 ( E ) 对比图 考题 : 三级 2009-5 单 58.

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