無投影片標題
|
|
|
- 盗肋 宿
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 6. 反微分 例 求 f ( x) x 的反微分 解 : 吾人要求得其微分為 f ( x) x 為 x, 故得 F( x) x, 因 但下列亦為真 : 故 d dx ( x ) 的函數 F, 吾人已確知 x x d dx ( x x d dx x x d ) ( 4 ) dx ( x ) x 吾人說 f ( x) x d dx ( x C) x C 為任意常數 的反導函數為 的導函數 F( x) x C 49
2 例 計算積分 xdx 解 : 此處要對 x 作反微分 ( 或積分 ) 運算, 其實就是例 的問題, 只 是符號不同 故 xdx x C 其中, 常數 C 稱為積分常數 (constant of integration) 4 例 計算積分 xdx 解 : x xdx C x C 4 5 吾人先使用 n xdx 公式來積分, 再由積分的結果求導函數以作驗 算 : 5 d dx x 5 5x 4 C x 5 5 4
3 例 4 求 t dt t t 解 : t dt C C t 例 5 計算積分 x dx 解 : 將 x 寫成 x /, x dx / x 將被積分函數寫成 x 的乘冪得 再應用反微分公式得積分為 最後得 x / x / / dx C dx x dx x / C 或 x C 5
4 / 例 6 計算 ( x x ) dx 5/ / / x x / 解 : ( x x ) dx x dx x dx C x 5 x C 5/ 5 注意, 雖然是有兩個個別的積分, 但只要一個積分常數 ( C ), 因為兩 個常數的和也是常數, 故不需有兩個常數 例 7 計算積分 ( 4x x) dx 解 : ( 4x x) dx 4x dx xdx 4 x dx xdx x x 4x x 4 C C 5
5 例 8 計算積分 7dx 解 : 7dx 7x C 例 9 計算積分 dx 解 : dx dx x C 例 計算積分 5x 4 x 6 dx 解 : 5x dx 5x dx dx 6dx 5 x dx x dx 6dx x 4 x 5 5 5x x 5 6xC x 6xC 5 x
6 例 求 ( e x x) dx x x x x x 解 : ( e x) dx e dx xdx e xdx e C 例 求 t dt t 解 : t dt tdt t t dt t ln t C 例 計算 x x dx 解 : 可將被積分函數分成兩個分式再積分, 54 x x dx dx dx x dx x x C x x x x ln
7 例 4 計算下列的積分 : x x (a) e dx (b) e dx 解 : (a) e x x dx e C (d) 4e.. x (c) e dx x dx (b) e x x x dx e C e C (c) e. x x x dx e. C 5e. C... (d) e x dx e x dx e x C 4 ( ) e x C 4e x C. 55
8 6. 反微分的應用 例 若 f ( x) x x 及 f ( ) 4, 求 f ( x) 解 : f ( x) 可由 f ( x) 的反微分運算求得, 即 f ( x) ( x x ) dx f ( x) x x xc 接著應用 f ( ) 4 來求 C 值, 其中 f ( ) 4 表示當 x 時 f ( x) 4 在上式中代入 x 及 f ( x) 4 得 故 C 為 4 且函數為 4 C 4 C C 4 f ( x) x x x4 56 注意,C 值已定, 故此函數稱為 f ( x) 的特定反導函數
9 例 解 : 若某曲線的斜率為 x 且通過點 (, ), 求其方程式 因斜率為 x, 故可寫成 接下來 dy dx x y xdx 或 y x C 因曲線通過點 (, ), 表示當 x 時 y 在上式中代入 x 及 y 得 故曲線的方程式為 C 或 C y x 57
10 例 解 : 58 火箭飛行玩具火箭自地面以初速度 ft/sec 垂直向上發射, 若重力加速度為 ft / sec ( 負號表加速度是向下的 ), (a) 試求火箭發射 t 秒後的速度公式 (b) 試求火箭發射 t 秒後的位移公式 ( 從地面算起 ) (a) 由第三章已知加速度為速度的微分, 亦即 dv a dt 因加速度已知等於, 故 dv dt 以反微分得 v 為 v ( ) dt 或 v tc 利用初速度等於 ft/sec 的條件可求出 C, 此條件表示在 t 時 v, 將此條件 ( v( ) ) 代入 v t C 可得 故速度公式為 ( ) C 或 C v t
11 (b) 同樣的由第三章知速度為位移的微分, 亦即 又因 v t, 故 v ds dt 以反微分得 s 為 ds dt t s( t) dt 或 s6t tc 因火箭是由地面開始向上發射, 故在 t 時, s, 將此條件 (() s ) 代入 s6t tc 故位移公式為 可得 6( ) ( ) C 或 C s 6t t 59
12 例 4 學習實驗 為了測試學習能力, 某心理學家要人們記憶一長串的數字 假設記住 數字的速率為 dy dt t 54. e. 每分鐘的字數 其中 y 為記住之數字的數目, 又 t 為時間 ( 以分鐘計算 ) (a) 求為 t 之函數的 y, 即 t 分鐘後記住之數字的數目 (b) 5 分鐘後記住之數字為多少? 6
13 解 : (a) 由 以反微分得 y 為 dy dt 54. e. t t t t t y e. dt e. 54. dt e C 8e... C. 在開始時 ( t ), 記住之數字的數目為零 ( y ), 故 t 時 y, 可得.() 8e C 8() C C 8 記住之數字的數目 ( y ) 為 y 8 8e. t 6 此函數的圖形示於圖 6- 中
14 6 (b) 在 5 分鐘 ( t 5 ) 後, 記住之數字的數目為 y 8 8e.(5) e 8 8(. ) 在 5 分鐘後大約記住 4 個數字
15 6. 定積分 : 曲線下的面積 例 計算 f ( x i ) i 假設 f ( x) x, 而 x, x 及 x 7 解 : f ( xi ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( ) f ( ) f ( 7) i
16 64
17 65
18 66
19 67
20 68
21 69
22 7
23 例 求 f ( x)4 x x 軸 及垂直線 x 和 x 所界定之區域的近 似面積 (a) 以 n (b) 以 n 4 解 : (a) 若 n, 則 x b a n ( ) 其矩形示於圖 6. 中 近似的面積為 A f ( x ) x f ( x ) x f ( ) f ( ) ( 4 ) ( 4 ) 7 7
24 (b) 若 n 4, 則 x b a n ( ) 4 5. 其矩形示於圖 6. 中 近似的面積為 A f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) x 4 f ( 5.)(.) 5 f ( )(.) 5 f (.)(.) 5 5 f ()(.) 5 ( 75. )( 5. ) ( 4)( 5. ) ( 75. )( 5. ) ( )( 5. ) 75. 當 n 值愈大時, 近似值就愈接近正確 在下一節中會發現正確的 面積為 7 7
25 7 6.4 微積分基本定理
26 74
27 75
28 76
29 例 用微積分的基本定理計算 xdx 解 : 因 f ( x) x 的反導函數為 F( x) x /, 故 x b xdx F x a 這是 [ ( )] ( ) ( ) 這是 Fb ( ) Fa ( ) 例 計算定積分 ( 5 x ) dx 4 5x 54 ( ) 解 : ( 5x) dx x 4 ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) 77 t 例 積分 ( e ) dt 解 : ( e t t ) dt [ t e ] ( e ) ( e ) ee
30 例 4 求曲線 y x 下由 x 至 x 4 的面積 解 : 圖 6.8 中的陰影面積為吾人所欲計算之面積 曲線 y f ( x) 下由 x a 至 x b 的面積為定積分 b a f ( x) dx 本例中, f ( x) x, a, b4 故 4 5 圖 6.8 y x 下由 x 至 x 4 的面積 78 y 4 4 面積 / / x / xdx x dx x / 4 / / 8 6 x 及 x 軸之間, 在區間 [, 4] 的面積等於 4/ 4 4 4
31 例 5 求曲線 y / x 下由 x 至 x 7 的面積 解 : x dx [ln x ] ln ln ln ln 79
32 6.5 定積分的應用 例 自由落體 一球自具相當高度的熱氣球落下, 若該球落下之速度為 v, 試求該球前 4 秒移動的距離 t ft / sec 解 : 已知 v t, 因 v ds dt s( t), 故 s() t t 球從 t 到 t 4 的位移為 s( 4) s( ), 或 4 s() t dt tdt [ 6t ] 56 ft 4 因距離等於位移的大小 ( 即位移的絕對值 ), 故球在前 4 秒移動的距離為 56 ft ( 若熱氣球高度低於 56 ft, 則球將在前 4 秒內撞擊到地 4 8 面 )
33 例 日本的石油消耗量 日本石油由 987 ( t ) 至 99 ( t 5 ) 的消耗速率為 c( t) 8. t 64. ( 以每年十億桶計算 ), 求 987 到 99 的石油總消耗量 ( 參見圖 6.) 解 : 函數 c( t) 8. t 64. 為消耗速率 dc / dt, 故消耗量 ct ( ) 為 c( t) 的 反導函數 由 987 至 99 的石油總消耗量可由以下的定積分求得 : c( t) dt ( 8. t 64. ) dt [ 4. t 64. t] ( 十億桶 ) 5 石油的總消耗量為 9. 9 億桶 5
34 例 求 f ( x)x 4x5 在區間 [, ] 的平均值 解 : 例 4 平均值為 動脈中的血液流動 ( x 4x5) dx ( x x ) dx [ x x x] [( 7 8 5) ( 5)] 6 血液在動脈中流動時並不是以相同的速度流動, 血液在血管中心區域的流動速度要比靠近管壁附近的流動速度快 事實上, 血液在距離血管中心 x 處的流動速度 v 可以表示成 x 的函數, 例如, 當血管半徑為. 公分, 則速度函數為 v 4 99x 其中 x 的單位為公分, 而速度的單位為公分 / 秒 請參閱圖 6., 8 並請求出血液在動脈流動的平均速度
35 解 : 因 f ( x) 在區間 [ a, b ] 的平均值為 f b a b a f ( x) dx 可知血液的平均速度 v 為 8. v x dx ( 4 99 ).. ( 4 99x ) dx 5[ 4xx ]. 5{[ 4(. ) ( )(. ) ] [( 4)( ) ( )( ) ]} 6. 8 cm /sec.
36 故血液在動脈中流動的平均速度為 6.8 cm/sec 其中必須注意的是 x 的區間為 [,.], 當 x 時代表血管的中心位置, x. 則代表 在血管的管壁, 若血管的半徑與本例不同, 則前述的速度函數 v 99x 也會不同 4 例 5 試問 f ( x) x 在區間 [, ] (a) 積分均值定理是否成立? (b) 若 (a) 的答案是肯定的, 試求 c 值 84
37 解 : (a) 因 f ( x) 為多項式函數, 對於 x R, f ( x) 均為連續, 故積分均 值定理成立 (b) 由積分均值定理 得 b f () c f () x dx b aa c c x dx x 7 7 因只有 在 (, ) 區間內, 故得 85 c
38 例 6 試問 f ( x) x 在區間 [, ] 積分均值定理是否成立? 解 : 因 f ( x) x 在 x 處 ( (, )) 不連續, 故知 f ( x) x 在區間 [, ] 積分均值定理不成立 例 7 若 f () t 為週期函數, 其週期為 4, 且 f () t 在第一週期內可表示成 f () t t t t t 4 86
39 f () t - 4 t 圖 6. f 的函數圖形如圖 6. (a) 求 f 在 [, 4] 的平均值 (b) 求 f 在 [, 4] 的均方根 87
40 解 : (a) 在 [, 4] 的平均值 f av 為 fav 4 4 f t dt t dt t dt 4 () 4 ( ) ( ) t t t 4 t ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 [ ( 4) ( 4)] 4 4 ( ) ( 4) ( ) ( ) 88
41 (b) f 在 [, 4] 的均方根 f rms 為 4 frms f t dt 4 [ ( )] / 4 t dt t dt 4 ( ) ( ) / 4 t t dt t t dt 4 ( ) 4 ( 9 6 ) t t t t t t / / 4 / / 8 8 / 89
42 例 8 一彈簧的原始長度為 5 英呎 設 4 英磅的力能使彈簧伸長 4 英呎 求 出要伸長彈簧需作多少功 : (a) 若由原始長度到長 7 英呎 (b) 若由 6 英呎到 8 英呎 解 : 我們必須先求出常數 k, 當 x 4 呎, 力為 4 磅, 則由虎克定律我們得 到 F kx 4磅 k 呎或 k 6磅 / 呎 4 即 f ( x) kx 6x (a) 彈簧由 x ( 沒有伸展 ) 至 x ( 由自然長度 5 呎到長 7 呎 ) W 6xdx 8x 呎 - 磅 (b) 彈簧由 x 伸長至 x 9 W 6xdx 8x 8( 9 ) 64 呎 - 磅
43 例 9 一高為. 公尺半徑為 6. 公尺的圓柱水槽蓄滿了水, 求將水抽至 離槽頂 5. 公尺處所需作的功 解 : 因為是鉛直運動, 所以我們沿水槽邊緣分割 ( 如圖 6.) 而得厚度為 dy 的代表性元件 這水槽被分割為許多小圓柱體, 而代表性圓柱體 的體積為 ( 6) dy 6dy 若水的密度為 公斤 / 公尺, 則每一 立方公尺的水重, 牛頓, 因此每一小圓柱體重為, ( 6dy) 9
44 參考圖 6. 中的座標系, 將每一小圓柱體移至槽上 5 公尺之距離為 5 y 公尺, 所以所作的功為, ( 6dy)( 5 y) 我們將對所有小 圓柱體所作的功加起來可得總功, 即由 y 至 y 積分 : W, ( 6)( 5 y) dy 6, ( 5 y) dy 6, 5y y 焦耳 例 有一半徑為.5 公尺, 高為 7. 公尺的圓錐槽 ( 頂點向下 ) 若此圓 錐槽注滿水, 求將水由上方抽出所作的功 9
45 解 : 我們將水槽細分為厚度為 dy 的小圓柱體 ( 圖 6.4), 當圓柱體的大 小改變時, 主要的問題是如何以 y 來表示半徑 x 為了這個目的, 我 們觀察圖 6.4 中的座標系, 右邊的直線斜率為 m 7 5. 所以直線的方程式為 y x 9
46 現在我們可以得下列各結果 :. 小圓柱體的半徑 : x 5. y. 小圓柱體的體積 : (. 5y) dy. 小圓柱體的重量 :[ (. 5y) dy],, 牛頓 / 立方公尺 每一個小圓柱體移動距離為 7 y, 所以所作的功為 [ ( 5. y) dy]( 7 y) 自 y 至 y 7 積分, 可得總功 : 94 W (. 5y)( 7 y) dy (.) 5 y ( 7 y) dy y 7 (.) 5 y , 57, 45 焦耳 7 7
47 平面區域面積
48 96
49 例 試求在曲線 y x 與 y x 間, 由 x 至 x 之區域面積 解 : 該二函數之圖形及所要的區域如圖 6. 所示 很明顯的, y x 為較大的函數 ( 位於上方的曲線 ), 故令 f ( x) x 及 gx ( ) x, 則 b 面積 [ f ( x) g( x)] dx [( x ) ( x )] dx a x x ( x x) dx x
50 98
51 例 試求由曲線 y x 及 y x 所圍成之區域面積 解 : 本例並未給定 a 及 b, 但這兩條曲線相交並形成一封閉區域, 因此 由曲線交點的 x 座標, 即可得 a 與 b 的值, 關於這一點, 可由圖 形輕易地獲得理解 在圖 6. 中陰影部份即為吾人所要的區域 由圖 6. 可觀察到 (a) y x 為較大的函數 ( 位於上方的曲線 ), 故令 f ( x) x 及 gx ( ) x (b) 曲線 y x 與 y x 的交點為 (, ) 及 (, 4), 故積分之極限 為 a 及 b 99
52
53 (c) 陰影部份之面積為 [( x) ( x )] dx ( xx ) dx x x 4 (d) 在本例中, 交點 (, ) 及 (, 4) 同時在 y x 與 y x 之圖形 上, 故可由下列聯立方程式求得 y y x x 利用代入消去法得 x x x x xx ( ) x, x 當 x 時 y, 而當 x 時, y 4, 故得到上述之交點 (, ) 及 (, 4)
54 例 試求由 y x 4x 與 x 軸所圍成之區域面積 解 : 本例與前述例題略有不同, 此因函數 y x 4x 的圖形部份係落 在 x 軸之下方, 圖 6. 中陰影部份即為吾人所要的區域 由圖 6. 中可以發現吾人所求的面積範圍是從 x 到 x, 但因 x 軸 ( y ) 在該區間為較大的函數, 故令 f ( x) 及 gx ( ) x 4x, 吾人可得
55 面積 [( ) ( x 4x)] dx ( x 4x) dx x x x 4 在本例中的積分上下限 ( x 及 x ) 可由代數方法求得, 亦即由聯立 y x 4x 與 y, 可得方程式 x 4x, 解之得 x 及 x 例 4 試求在 y x 4 與 x 軸間由 x 至 x 4 之區域面積 解 : 若吾人未繪出函數圖形而直接以下式求面積, 將得到錯誤的答案, ( x 4) dx 9 錯誤! 4
56 4
57 在圖 6.4 中, 陰影部份為吾人所要的區域 從圖 6.4 中可以很明顯 的看出來, 利用上式計算出來的面積是錯的, 因為該區域的面積是兩 部份面積的和, 第一部份 ( f ( x), g( x) x 4) 由 x 至 x, 第二部份 ( f ( x) x 4, g( x) ) 由 x 到 x 4, 故 面積 [ ( x 4)] dx [( x 4) ] dx ( 4 x ) dx ( x 4) dx 4x x x x
58 例 5 試求由 y x 與 y x 所圍成區域之面積 解 : 圖 6.5 中陰影部份為吾人所要的區域 該區域實際上包括兩部份, 左邊部份 x 由 至, 且 y x 為較 大函數, 而右邊部份, x 由 至, 且 y x 為較大函數, 故 6
59 面積 [( x ) ( x)] dx [( x) ( x )] dx ( x x) dx ( x x ) dx 4 x x x x ( ) ( ) 4 4 同樣地, y x 與 y x 的交點可由下列聯立方程式求解, y x y x 利用代入消去法得 x x, 整理成 x x 或 xx ( ), 解之得 x, x 及 x 7
60 8 6.7 旋轉體體積
61 9
62
63
64 例 體積 試求由 y x, x 軸, x 及 x 所界定的區域繞 x 軸旋轉所 形成之旋轉體體積 解 : 由 y x, x 軸, x 及 x 所界定的區域如圖 6.4 所示, 該 區域繞 x 軸旋轉所形成之旋轉體體積為 b x V y dx x dx xdx a [ ] 9 4 故該旋轉體體積為 4 立方單位
65
66 例 體積 試求由 y x,y 軸, y 及 y 所界定之區域繞 y 軸旋轉所成之 旋轉體體積 解 : 由 y x,y 軸, y 及 y 所界定之區域如圖 6.4 所示, 該區 域繞 y 軸旋轉所形成之旋轉體體積為 V x dy y dy c d 4 y 故該旋轉體體積為 5 立方單位 在本例中,x dy 為微小圓柱體之 體積, x y 為半徑,dy 為厚度 4
67 y y y x dy x y x x 圖 6.4 平面區域及對應之旋轉體 ( 繞 y 軸旋轉 ) 5
68 6
69 7
70 8
71 例 體積 試求由 y x,x 軸, x 及 x 所界定的區域繞 y 軸旋轉所形 成之旋轉體體積 解 : 由 y x, x 及 x 所界定的區域如圖 6.47 所示, 該區域繞 y 軸旋轉所形成之旋轉體體積為 / V x x dx x dx x x x ( ) 故該旋轉體體積為 4 ( 9 ) 立方單位 5 9
72
73 例 4 體積試求由 y x,x 軸,y 軸所界定之區域繞 x 軸旋轉所形成之旋轉 體體積 解 : 由 y x,x 軸,y 軸所界定之區域如圖 6.48 所示, 該區域繞 x 軸旋轉所形成之旋轉體為一圓錐體, 如圖 6.48 所示, 此圓錐體之體積為 V yxdy y( y) dy c d y y ( y y ) dy 6 故該旋轉體體積為 立方單位 在本例中, yxdy 為一微小圓殼體之體積, y 為圓殼體之圓周長, x 為高度, dy 為厚度
74
75 例 5 體積 試求 y x 及 y x 所圍成之區域 ( 如圖 6.49 (a) ) 繞 x 軸旋轉所形成之旋轉體體積 解 : (a) 採用圓柱體法 ( 參閱圖 6.49 (b) ): b V ( y y ) dx [( x) ( x ) ] dx a 5 4 x x ( x x ) dx (b) 採用圓殼法 ( 參閱圖 6.49 (c) ): V y( x x ) dy y( y y) dy c d y y y dy 5 ( ) y 5 5 ( 立方單位 ) 5 ( 立方單位 )
76 4
77 6.8 質心 例 求如圖具有均勻密度 之薄板的質心 5
78 解 : 首先我們將薄板分割成 I II III 三個矩形, 如圖 6.5 個別的重心 位置為 (, ),(, ) 和 (, ) 令 為密度 ( 質量 / 單位面積 ), 因薄板的重量與面積成正比, 則每單位面積的重量為 g 如果矩形 面積分別為, 8,, 則相對的重量為 g, 8g, g 而質心位置 ( x, y ) 的兩個座標可以分別求得 注意個別重心的 x 座標為, 和, 則我們可得 x [ g ( ) ( 8) ( )] ( 8 ) g 5 相同地, 個別重心的 y 座標為, 和, 我們得到 y [ ( ) ( 8) ( )( )] g g 9 6
79 7
80 8
81 例 求出由 y 4 x 及座標軸所圍成區域的質心座標 ( 圖 6.55) 解 : 為了求出 x, 我們確定代表性長方形對 y 軸的力矩為 x ydx x( 4 x) dx [ 力臂 面積 ] 由 x 至 x 積分, 可得 因此 My x( 4x) dx x M A y x( 4 x) dx ( 4 xdx )
82 為了求出 y, 我們先求代表性長方形對 x 軸所產生的力矩, 由圖 6.56 y ydx ( 4 x )( 4 x ) dx [ 力臂 面積 ] 由 x 至 x 積分, 可得 將其代入, 則 y Mx ( x x dx 4 )( 4 ) x x dx M ( x 4 )( 4 ) A 4 ( 6 6x4x ) dx 我們也可將代表性長方形置於水平位置求出 y ( 圖 6.57) 代表性長方 形對 x 軸的力矩可被表示為
83 yxdy y y dy ( 4 ) [ 力臂面積 ] 因積分在 y 軸上的上下限為自 y 至 y 4, 可得 y M A x 4 y ( y dy 4 ) 4 4
84 例 求 y 4x 和 y 8 x 所圍成區域的質心 解 : 由圖 6.58, 求 x x M A y x( 8x 4x ) dx ( 8x 4x ) dx 6 6 由圖 6.59, 求 y y M A x 6 y( y y) dy 8 A
85
86 例 4 求出由 x y 及 y x 4 在第一象限所圍成區域的質心 圖 6.6 解 : 在求解已知聯立方程式後, 可知兩曲線在第一象限的交點座標為 (4, 8) 厚度為 dx 的代表性長方形有 ( x ) 4 x 的長度, 而力臂長為 x 我們將在 [, 4] 區間內的力矩相加起來得到 4
87 5 My x[( x4) x ] dx x( x x4) dx ( x x 4x) dx 計算 M x 需要多注意一些 : 因有 x 軸圍在下方所形成之區域的代表性 長方形的質心為 ( x, y) 而這問題中的區域是由兩個方程式所圍 成, 則代表性長方形之質心的 y 座標是此長方形上下兩端縱座標的算術平均數, 也就是 ( x4) x 因此代表性長方形對 x 軸的力矩是 [( x4) x ][( x4) x ] dx [( x ) ( x ) ] dx x x x
88 累加後, 可得 Mx ( 4 x x 4x 8 ) dx 面積 A 可以很容易求得 因此 A ( x x4 ) dx 4 4 x M y 64 A 和 y M x 76 A
89 7
90 例 5 求出由 y 4 x 與座標軸所圍成在第一象限部份的區域對 x 軸旋轉 所得旋轉體的質心 ( 圖 6.6) 8
91 解 : 代表性圓柱體的體積為 而對 y 軸所產生的力矩為 由 x 積分到 x 可得 ( 半徑 ) ( 厚度 ) ( 4 x ) dx x( 4 x ) dx x( 4 x ) dx 因為 My x( 4 x ) dx 故 V ( 4 x ) dx 由於對稱性, y x M y 5 V
92 4
93 4 6.9 慣性矩
94 例 圖 6.65 中, 假設 m 5kg, m kg, d 5m 及 d 8 m 若系統繞 著通過 O 點的軸以 4 rad/s 的角速度旋轉, 求系統動能 解 : 可求得慣性矩為 I kg m 於是 K I ( 765)( 4) 6 焦耳 4
95 例 求由 y x, x 和 x 軸所圍成區域 ( 圖 6.67) 的 I y 4 5 解 : 當長方形的高度為 y 時, 我們得到代表性長方形對 y 軸旋轉的慣性矩 為 由 x 積分至 x, 我們得到 x 質量 x ( ydx) 4 Iy x ydx x x dx x 6 6 6
96 例 求由 y x 和 y x 所圍成區域 ( 如圖 6.68) 對 x 軸的迴旋半徑 44
97 解 : 45 因我們要求對 x 軸的慣性矩, 故我們必須水平地畫出代表性長方形 解所給方程組的 x 我們得到有 x y 和 x y 所以代表長方形的質 量為 ( y y) dy 而其對 x 軸的慣性矩 y ( y y) dy y ( y y) dy, 由 y 積分至 y 9, 可得 I x 9 y y y dy y y dy 9 5 / 7 / 4 7 y y / / 7 ( ) ( ) 7 87 ( ) 又區域面積為 A ( x x ) 9 dx 所以質量 M 為 9 /, 因此 R x 9 / / I x M
98 例 4 求出半徑為 r, 高度為 h 的正圓錐對其中心軸的慣性矩 解 : 圓錐可藉由曲線 y ( h/ r) x, y h 和 y 軸所圍成區域 ( 圖 6.69) 繞 y 軸旋轉而產生 依 6.7 節之圓殼法, 我們可以得知代表性圓殼體的質量為 ( 半徑 ) ( 高度 ) ( 厚度 ) xh hx r dx 46
99 因與 y 軸的距離為 x, 將上式乘以 x 可得代表性圓殼體的慣性矩為 x xh hx r dx 由 x 積分到 x r, 可得 r hx r Iy x xh dx x h r hx r dx hr 4 我們同時知道圓錐體積為 V r h, 且圓錐的質量 M 為 rh 所以 R y I y M / 4 / hr hr 4 / rh rh r 47
100 例 5 若例 4 中的圓錐具有質量. kg, 半徑為. m, 且以 rev/min 對其軸旋轉, 求其動能 K 和角動量 L 解 : 首先我們必須先將轉速轉換成每秒多少弳 (rad/sec): rev min rad min rev 6 s 4 rad s 我們現在知道 K I ( mr ) (.. )( 4 ) 95. 焦耳 以及 L I ( mr ) (.. )( 4 ) 5kg. m /s 48
101 6. 微分方程式 例 請證明 y x 為下列微分方程式的一個解 xy y 解 : 若 y x 滿足 xy y, 則 y x 為該微分方程式之解, 換句話 說, 以 y x 及 y x 代入 xy y, 若等號成立, 則 y x 為 xy y 的一個解 現由 xy y 將 y x 及 y x 代入等號之左右兩邊 得 x y xx x 及 y x 因 x x 49 等號成立, 故 y x 為 xy y 的一個解
102 5 7
103 例 請解微分方程式 y 4x 解 : 因未知函數 y 的導函數為 4x, 故 y 可由 4x 求其反微分而求 得 亦即因 故 dy dx 4x y ( 4 x ) dx x xc 此微分方程式之通解為 y x xc 5
104 例 求下列微分方程式之特解 y x 8, y( ) 6 解 : 先以反微分求通解 y x 8 y 4x 8xC ( 通解 ) 因 y( ) 6, 故 64() 8() C 或 648C 即 C, 代入通解中, 得特解為 y 4x 8x ( 特解 ) 5
105 例 4 請解微分方程式 dy dx x y 解 : 在此題中, 等式右邊因同時存在有 x 及 y, 故無法直接以反微分求 解, 而必須將變數 x 及 y 加以分離, 寫成微分形式, 即 接著, 直接對等號兩邊積分 : ydy xdx ydy 4 xdx y x C ( 通解 ) 4 5
106 例 5 解 : 細菌成長假設細菌在培養皿的成長速率為每小時 % 若 A 表示細菌在任何時間 t 之數量, 則 A 對 t 之變化率等於. 乘上 A, 或 da dt 為解出 A, 將上式改寫成微分形式 da. Adt da. dt A da dt A. ln A. t C 將上式取自然指數, 得 A. ln A. t C 因為 A.t C A e e 分離變數 積分 54 因 e 及 C 均為常數, 故 e C 亦為一常數 C, 則上式可寫成 A Ce.t
107 6. 機率 7 55
108 56 例 若 f ( x) x, 其中 x [, 4] (a) 證明 f 為一個機率密度函數 (b) 求 p( x ) 解 : (a) 我們必須證明 f 滿足下面兩個條件 :. f ( x), x[, 4]. f ( x) dx 4 首先, 因對於所有的 x[, 4], x, 故 f ( x), 第一個條件滿足 接著, 因 4 f ( x) dx 4 x x dx 4 x [ ] 第二個條件亦滿足, 故 f 為一個機率密度函數 (b) p( x ) x dx x ( ) x, 亦即 9 故 p( x). 6 6
109 例 燈泡壽命 假設燈泡使用壽命 (x 小時 ) 之機率密度函數為. x f ( x). e x (a) 證明 f 為一機率密度函數 (b) 求燈泡壽命小於等於 小時之機率 (c) 求燈泡壽命落在 小時到 4 小時間之機率 57
110 解 : (a) 因對於任意實數 u, e u, 故對於 x,. x f ( x). e 第一個條件滿足 接著, 對於 x,. x. x. e dx. lim e dx b lim[ e ] b. x b.b.b lim e.b lim[ e ] lim[ e e ] b b b b 第二個條件亦滿足, 故 f 為一個機率密度函數. x (b) p( x) f ( x) dx. e dx 58. x.6.6 [ e ] [ e e ] ( e )
111 4. x (c) p( x4) f ( x) dx. e dx 4. x 4.8. [ e ] [ e e ]
112 例 函數 f ( x) 4x 定義在區間 [, 5], 此函數並非機率密度函數, 請求 出一個常數, 使 f 乘上該常數後成為一個機率密度函數 解 : 對於 x [, 5], f ( x) 4x, 故第一個條件滿足, 但 5 5 4x f ( x) dx 4x dx 56 5 故 f 不是一個機率密度函數, 現令 x g( x) f ( x) x 則對於 x x [, 5], g( x) 9, 又 5 5 x x g( x) dx dx ( ) 故 g( x) f ( x) 56 為一個機率密度函數
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
Microsoft Word - 1-1泰宇解答
學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
微積分作業解答 Chap 7 pplicaions of Ingaion 7.-7. 7. -. Find h aa of h shadd gion.. d. d -. Skch h gion nclosd h givn cuvs. Dcid whh o inga wih spc o o. Daw a pical appoimaing cangl and lal is high and widh.
Microsoft Word - CoordinatesTransform.doc
Cateian Cylindial ˆ= xˆ o + yˆin ˆ = ˆ = xˆin+ yˆ o + = Cylindial to Cateian: ˆ ˆ x o in 0 y in o 0 = 0 0 Cateian to Cylindial: + = + xˆ yˆ o in 0 x = in o 0 y 0 0 Cylindial Spheial ˆ = ˆ + ˆ = ˆ = xˆ
Microsoft Word - 0.5bh.doc
198 FG7. 199 HG8 E 圖中,DE 為一正方形, = 及 為一邊長 1 cm 的等邊三角形, 而 為此 = 90 若 DE 的面積為 10 cm, 三角形內的任意一點 ( 如圖所示 ) 若 至三邊 求 的面積 及 的垂直距離的總和為 x cm, 求 x 的值 In the figure shown, DE is a square and is an equilateral triangle
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
<4D F736F F D20B3AFABD8EA4D2DB9EFBAD9A668B6B5A6A1AABA652D68ABEDB5A5A6A15FA4555F>
對稱多項式的 h恆等式 ( 下 ): 將 h 用 的行列式表示 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 前言 : 關於對稱多項式, 有一個很重要的事實, 稱為 對稱多項式的基本定理, 簡單地說, 即任何 元 (,,, ) 的對稱多項式, 總是可以寫成 個基本對稱多項式 ( 即,,, ) 的多項式 ( 參考資料 [4]) 例如: ( ) ( ) [ (,, )] (,, ) 那 麼, 既然 h(,,,
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
01.dvi
物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
Microsoft PowerPoint - B9-2.pptx
單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
Microsoft Word - CS-981.doc
4. 資料表示法 4.1 十進位與數字系統 (1). 基本觀念 數字系統的觀念 人們習慣以十進位的計量方式來計算 不同的數字系統有二進位 (Binary) 八進位 (Octal) 十進位 (Decimal) 十六進位(Hexadecimal) 二進位 電腦內部用來表達訊號的資料只有兩種符號 : 0 表示沒電,1 表示有電透過多個電路的組合表示出無數符號, 電腦便利用這些符號來表示不同的數字 利用兩條電線可以表示出
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
標題
函數的微分 ( 甲 ) 函數的導函數 () 導函數的引入 : 例子一 : 設 f(x)x / f ( x) f ( a) x a,a 為任意數 f ( a) lim lim a x a x a x a x a 對於 f(x) 的定義域中的每一個 a 而言,f(x) 在 xa 處的導數為 f / (a)a a 5 f / (a) 4 5 6 根據上表, 可知 f(x) 定義域中的每個點 a f(x)
虎克定律實驗 楊勝斐
虎 克 定 律 實 驗 楊 勝 斐 1. 目 地 : 測 試 彈 簧 的 虎 克 定 律, 並 從 彈 簧 作 簡 諧 運 動 的 特 性, 以 求 其 彈 性 係 數. 儀 器 : 彈 簧 一 條, 砝 碼 一 組, 虎 克 定 律 儀 一 組, 碼 錶 一 個, 米 尺 一 支 圖 1. 虎 克 定 律 儀 器 全 圖 與 零 件 圖 1 圖. 彈 簧 受 外 力 產 生 反 彈 力 與 變 形
untitled
5 年台灣大學 解題老師 : 周易系所 : 醫工所 ( 甲組 ) 化工系 高分子所 食科所( 丁組 ) 科目 : 工程數學 (E). 是非題 ( 請標明題號 ()~(5), 依順序作答, 正確請寫, 不正確請寫 ): R S T 均為 階方陣, I 為 階單位方陣, 下列敘述是否正確? () 假設 R 為正交可對角化 (orthogoall diagoalizable) 矩陣, 則 R 必為對稱矩陣
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
koji-13.dvi
26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
2-3 圓錐曲線的切線與法線
-3 隱函數的微分 ( 甲 ) 隱函數的微分 討論曲線的切線, 本是幾何中的一個重要題材 ; 但是, 許多曲線並不是函數圖形, 對於這 類曲線, 前面利用微分一個函數來求切線斜率的方法, 無法直接利用在這類的曲線上 而我 們知道基本上求曲線上一個點的切線, 只須要這個點附近的圖形即可, 因此可將曲線分成若 干部分, 使每一個部分都是函數圖形, 再微分通過這個切點的函數, 求出切線斜率, 進一步 求出切線的方程式
Microsoft Word - HKU Talk doc
In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
= 6000000 6000000 6000000 x = x = 8000000 x = 8000000 0 00 x = 00 x = 00 y = 0 00 y = 0 00 6000000 9000000 6 80 60 000 8000 = 8 000 6000 = 6 000 0000 00 A. B. C. 0000 000000 A. B. C. 0 00 000 A. B. C.
第一章 函數與極限
第五章不定積分 反導微 - 簡介 定義 : 若, F, 其中 為一個區間 則稱 F 為 在 上 的一個反導微 tdervtve, 或不定積分 dete tegrl, 並以符號 d F c 其中 c 為常數 表之 [ 注意 ]: s the 唯一 dervtve o F o F s 不一定唯一 tdervtve o F o 與不定積分有關的三個問題 : 一 存在性 : 若 是定義在區間 上的任何一個函數,
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes ... zqs... 10 66 60... fz zqs vonneumann vonneumann sub... Bless by Luobo June 21, 2008 1. 2. g(x) = e 2x+1, cos 3x 1 lim x 0 x 2 g(g(x)) g(e) lim x
標題
5 反三角函數的基本概念 ( 甲 ) 反函數的概念 (1) 反函數的定義 : 函數 f() g(), 設, 分別是 f() g() 定義域內任意元素, 如果 g(f())= 且 f(g())= 則稱 f() 與 g() 互為反函數,f() 的反函數記為 f 1 (), 即 g()=f 1 () 此時 f() g() 的定義域與值域互換, 即 f() 的定義域為 f 1 () 的值域,f() 的值域為
95
95 96 http://www.ee.ncnu.edu.tw/announce/board.php?action=view&seqno=410 or QR 5K // 0 K 5K 5K // K 5K ------ 94 93 92 91 ( ) ( ) ( ) A e ( ) d st D L[ f ( t)] f ( t) e dt F( s) dx 0
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
dn = kn ( 5 1) dt t = 2 303 1 k tg N 0. ( 5 2) N S m + M v = V (5 3) K S dx = µ X dt 5 4 S µ = µ m K + S ( 5 5) S ds 1 dx 1 = = µ X ( 5 6) dt Y dt Y x/ s x/ s ds 1 = + + ( ) dt Y X mx 1 dp
7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C
第 7 章 積分技巧 目錄 7. 基本積分公式............................... 7 7.2 分部積分................................. 72 7.3 遞迴公式................................. 73 7.4 三角函數的冪次.............................. 74 7.5 有理函數的積分..............................
996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8, 3, 5, ( ),, 3,,, ;, ;,,,,,,,,,
,, AB,, ( CIP) /, 000 ( /, ) ISBN 704009448 F47 CIP ( 000) 86786 55 00009 0064054588 ht tp www hep edu cn ht tp www hep com cn 006404048 787960/ 6 05 370 000 730,, 996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8,
第二冊3-5三角函數的性質與應用-複數的極式
第二冊 -5 三角函數的性質與應用 - 複數的極式 定義 複數平面 ( 高斯平面 : 每個複數 = + i( R 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( 反之 給定坐標平面上一個點 ( 可找到唯一一個複數 = + i 與之對應 這種與複數對應的平面稱為複數平面 又稱 軸為實軸 軸為虛軸 當點 P( 對應於複數 = + i( R 我們稱 = + i 為 P 點的複數坐標 並寫成 P( 或 P ( + i
Microsoft Word - HKMO1986final.doc
Sample Event (Individual) (i) In the given figure, the sum of the four marked angles is a. Find a. 附圖所示四角之和為 a, 求 a a = (ii) The sum of the interior angles of a regular b-sided polygon is a. Find b. 一正
untitled
995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
PowerPoint Presentation
西华大学应用数学系朱雯 微分方程 习题课 解题方法流程图 求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程 齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量 通解为 Pd Pd y
- 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 分式型無窮數列的極限 求 lim? 原式 lim 5 求 lim? 5 原式 lim 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式 lim 求 lim 原式 lim 7 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式? lim ( )( )( ) ( )( )( ) lim ( )
第三章微積分及其應用 微積分及其應用 - 主題一極限的概念 ( 由授課老師自行選授 ) 數列極限的概念. 無窮數列的極限值定義 () 無窮數列 { }, 當 趨近無限大時, 逼近唯一定值 α, 則稱數列 { } 收斂於 α () 稱 α 為數列 { } 之極限值, 記作 lim = α () 若數列無法收斂到唯一定值, 即數列的極限不存在, 稱該數列為發散. 極限的運算性質 設無窮數列 { } {
untitled
arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
避孕篇
避 孕 篇 生 育 后 时 期 的 避 孕 方 法 : 适 用 的 方 法 : 1) 宫 内 节 育 器 类 : 金 属 环 可 放 置 15 年 左 右 ;V 型 环 可 放 置 5-7 年 ;T 型 环 可 放 置 10-15 年 2) 避 孕 药 ( 针 ) 类 : 各 种 短 效 口 服 避 孕 药, 如 妈 富 隆 敏 定 偶 三 相 片 及 达 英 -35 等, 按 规 定 方 法 服
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
,..,.,,,,,.,,.,., ,.,,.,,.,, 1,,, ; 2,,,,.,,,,.,,.,,,.,.,.,,.,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,, i
,..,.,,,,,.,,.,.,. 6 1,.,,.,,.,, 1,,, ;,,,,.,,,,.,,.,,,.,.,.,,.,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,, i .,,,,.,,.,.,.,,.,,,., 1;,,,,,.,,,,.,,,.,.,,.,,.,,,.,,.,,.,.,.,,.,,.,..,.,,.,,,.,,,.,,,,,,.,,,,.,,????.,,,,,.,,,,.,
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
1. (10%) 解微分方程 y = y(y 2 1),y 為非常數函數 1052 微乙 班期末考解答和評分標準 Solution: 題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為 0 或 ±1 因此透過移項可得 針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B,
. (%) 解微分方程 y = y(y ),y 為非常數函數 5 微乙 -5 班期末考解答和評分標準 題目要考慮 y 非常數函數, 即 y 不恆為零的解, 即 y 不總是為 或 ± 因此透過移項可得 針對左式使用部分分式, 即考慮待定常數 A, B, C 滿足 dy y (y ) d = y (y ) = A y + 容易解得 A = B = C =, 因此題目的微分方程寫為 B y + + C y
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
市 ( 地 州 盟 ) 无 锡 市 江 阴 市 798635012 江 阴 新 浩 再 循 环 纸 业 有 限 公 司 无 锡 市 宜 兴 市 714086395 江 苏 三 木 化 工 股 份 有 限 公 司 无 锡 市 宜 兴 市 607994371 江 苏 国 信 协 联 能 源 有 限 公
附 件 2016 年 国 家 重 点 监 控 企 业 名 单 一 废 水 国 家 重 点 监 控 企 业 名 单 ( 共 2660 家 ) 江 苏 省 (182 家 ) 市 ( 地 州 盟 ) 南 京 市 栖 霞 区 690442841 南 京 中 电 熊 猫 液 晶 显 示 科 技 有 限 公 司 南 京 市 栖 霞 区 721730177 中 石 化 股 份 有 限 公 司 金 陵 分 公 司
䥄 ‱‰⁝㙁㡂㕄㡃䉂㔾w）
II I E T... 1...58...58...59...61...63...68...69...71...75...79...81...84...87...91...96...99...99...101...102...104...107...108... 110... 112... 116 II...121...124...127...131...132...134...136...139...141...143...144
Microsoft Word - EMC3_new_no_answer.doc
Chaper 3 The Laplace Tranform Preliminary Concep 積分轉換 (Inegral ranform) 積分轉換係將某函數 f k, x, 並於指定變數區間 x ab, x, 乘上核函數 (kernel funcion) F 者 我們以下列通式來表達此一概念 : b, F f x k x dx a 積分, 而得一 之函數 原始問題 ( x 空間 ) 較難解決之途徑
第三單元 平面座標與直線的斜率
第二十一單元 三角函數公式 倍角公式 ( 甲 ) 倍角公式 () 二倍角公式 : 由和角公式 :sin(α +β)=sinα cosβ+cosα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (a)sinθ= sinθ cosθ 由和角公式 :cos(α +β)=cosα cosβ sinα sinβ, 令 α=β=θ, 可得 (b)cosθ=cos θ sin θ=cos θ = sin θ 由和角公式 :tan(α
Chap 8: Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis
第五講 連鎖律與隱函數微分法 Chain Rule & Implicit Dierentiation 5 - 目錄 5. :綱要 5. :合成函數 5. :連鎖律 5. :隱函數微分 5.4 :動動腦想一想 5 - 綱 要 本講將介紹連鎖律與隱函數微分法, 前者是有關合成函數之微分公式, 後者則有別於前面第四講之顯函數微分 5 - o g 合成函數 C o m p o s i t e F u n c
(1) (2) (3) 1. (1) 2
0386 71.32% 14A 1 (1) (2) (3) 1. (1) 2 (a) (b) (i) (ii) (iii) 3 (iv) (a) (b) (c) (d) 6% 4 2013 3 26 [2013]624 10 5 2013 6 28 [2013]1246 2015 3 [2015]351 0.2 6 [2015]748 180C 7 * * 8 14A (2) 417,800,000
<4D6963726F736F667420576F7264202D20AFB4A7C7A555B2D5C2B4A657B3E62E646F63>
中 華 民 國 大 專 校 院 100 學 年 度 排 球 運 動 聯 賽 排 球 隊 職 員 名 單 一 般 男 生 組 不 分 級 共 56 所 學 校, 總 計 1083 位 隊 職 員 校 名 : 國 立 嘉 義 大 學 (0018) 校 址 :[600] 嘉 義 市 鹿 寮 里 學 府 路 300 號 聯 絡 人 / 電 話 : 鍾 宇 政 / 05-271#7271 校 長 : 李 明
YS1.mps
影 视 与 戏 剧 特 征 化 妆 影 视 与 戏 剧 特 征 化 妆 是 化 妆 艺 术 范 畴 内 具 有 代 表 性 的 内 容, 是 掌 握 了 基 础 化 妆 的 前 提 下, 进 入 较 深 入 的 造 型 化 妆 阶 段 影 视 戏 剧 特 征 化 妆 其 妆 型 显 著, 效 果 突 出, 既 是 专 业 影 视 戏 剧 化 妆 的 基 本 内 容 之 一, 又 可 以 在 影 视
Microsoft Word - 第四章.doc
第 四 章 - 試 分 別 說 明 組 合 邏 輯 電 路 與 序 向 邏 輯 電 路 之 定 義 解 : 組 合 邏 輯 電 路 由 基 本 邏 輯 閘 所 組 成 的 此 種 邏 輯 電 路 之 輸 出 為 電 路 所 有 輸 入 的 組 合 因 此 輸 出 狀 態 可 完 全 由 目 前 之 輸 入 來 決 定 而 組 合 邏 輯 電 路 之 示 意 圖 如 圖 所 a 示 ; 而 序 向 邏
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
直角座標與二元一次方程式的圖形 直角座標與二元一次方程式的圖形 一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y
一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 +b = c, 則 : +b = c b =- + c =- + c b b 令 m =- b, k = c b, 則原式可改寫為 : = m + k 稱此式為直線方程式, 其中 m 即是直線方程式之斜率 m =0 的圖形 : 直線方程式 m =0 的圖形是一條平行 軸的水平直線, 如右圖所示 : o (0, k) = k m >0 的圖形 :
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.
() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applications of Integration-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長 旋轉面表面積 力
![第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applications of Integration-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長 旋轉面表面積 力](/thumbs/103/157849687.jpg "第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applications of Integration-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長 旋轉面表面積 力")
第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applictions of Integrtion-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長.............................. 88 8. 旋轉面表面積............................... 89 8.3 力矩與質心................................ 90 8.4 Pppus 定理..............................
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
前 言
股 票 直 效 技 术 分 析 操 盘 圣 经 傅 吾 豪 / 著 当 代 中 国 出 版 社 目 录 特 立 独 行 的 传 道 者 -- 傅 吾 豪 老 师 小 传... 5 直 效 技 术 分 析 应 用 之 缘 起... 7 直 效 技 术 分 析 应 用 之 展 望... 9 导 言 - 正 确 的 投 资 观... 10 第 一 篇 永 不 套 牢 法... 13 第 1 章 直 效
WL100014ZW.PDF
A Z 1 238 H U 1 92 1 2 3 1 1 1 H H H 235 238 92 U 92 U 1.1 2 1 H 3 1 H 3 2 He 4 2 He 6 3 Hi 7 3 Hi 9 4 Be 10 5 B 2 1.113MeV H 1 4 2 He B/ A =7.075MeV 4 He 238 94 Pu U + +5.6MeV 234 92 2 235 U + 200MeV
數學教育學習領域
高 中 数 学 课 程 补 充 资 料 013/14 学 年 就 读 中 四 学 生 适 用 013 ( 空 白 页 ) 目 录 页 数 1. 概 论 1 1.1 背 景 1 1. 关 注 事 项 及 考 虑 因 素 1 1.3 短 期 方 案 摘 要 1 1.4 评 核 设 计 概 要. 修 订 后 的 高 中 数 学 课 程 学 习 内 容 3.1 修 订 后 的 必 修 部 分 学 习 内 容
➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 (Stationary Processes) X = {X t ; t I}, n 1 t 1,..., t n I, n F n (t 1,..., t n ; x 1,..., x
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
重 要 声 明 长 城 证 券 股 份 有 限 公 司 编 制 本 报 告 的 内 容 及 信 息 来 源 于 陕 西 东 岭 工 贸 集 团 股 份 有 限 公 司 提 供 的 证 明 文 件 以 及 第 三 方 中 介 机 构 出 具 的 专 业 意 见 长 城 证 券 对 报 告 中 所 包
2015 年 陕 西 东 岭 工 贸 集 团 股 份 有 限 公 司 ( 宝 鸡 市 马 营 路 东 段 ) 公 司 债 券 受 托 管 理 事 务 报 告 (2015 年 度 ) 债 券 代 理 人 长 城 证 券 股 份 有 限 公 司 ( 深 圳 市 福 田 区 深 南 大 道 6008 号 特 区 报 业 大 厦 16-17 层 ) 2016 年 4 月 12 日 1 重 要 声 明 长 城
第一章
第 一 章 拉 普 拉 斯 轉 換 - 緒 言 在 求 解 數 學 問 題 時, 常 常 碰 到 需 使 用 複 雜 的 數 學 運 算, 而 使 得 求 學 過 程 變 成 相 當 困 難, 甚 至 無 法 求 解 針 對 此 一 問 題, 有 許 多 數 學 家 嘗 試 著 利 用 轉 換 (Trnform) 的 技 巧, 以 達 到 將 一 個 求 解 困 難 的 數 學 問 題 轉 換 成
10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x
![10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x](/thumbs/93/111874830.jpg "10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x")
第 10 章 參數方程與極座標 (Parametric Equations and Polar Coordinates) 目錄 10.1 參數方程式................................ 98 10.2 參數式之切線............................... 100 10.3 參數式之面積............................... 101
經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x
![經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x](/thumbs/95/126244036.jpg "經濟系微積分 (95 學年度 ) 單元 28: 對數函數的導函數 單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 d e ln x = x dx [eln x ] = d [x")
單元 28: 對數函數的導函數 ( 課本 x4.5) 一. 自然對數函數的導函數 因為 e x 與 ln x 互為反函數, 故對於 x > 0, 將兩邊對 x 微分, 得 e ln x = x x [eln x ] = [x] () x 接著, 根據自然指數函數的導函數公式 由 () 式, 得 x [eu ] = e u u x 亦相當於 e ln x x [ln x] = x [ln x] = x
招行2002年半年度报告全文.PDF
2 2 12 13 13 16 19 19 1 2 7088 518040 14,444 2,744-370 -1,955-864 14,889 3 4 8% 16.38 14.01 10.26 11.39 11.93 11.61 4% 10.73 9.69 4.23 10.89 11.11 11.30 15% 6.43 7.59 8.15 10.64 9.28 11.44 75% 55.67 57.74
(Microsoft Word - outline for Genesis 9\243\2721\243\25529.doc)
創 世 紀 9:1-29; 神 的 憐 憫 及 與 挪 亞 立 約 韋 江 傳 道 暖 身 問 題 : 當 別 人 無 意 識 地 踩 到 你 的 腳, 確 一 句 話 不 說 就 走 開 的 時 候, 你 會 怎 麼 樣 做? 注 意 : 大 綱 中 問 題 較 多, 但 顯 然 不 是 所 有 的 都 需 要 討 論 到, 比 較 多 的 是 供 你 們 參 考 所 以, 每 一 個 帶 領 者
穨Shuk-final.PDF
: : ( ( ( ( ( D : 20 25 -, -, - :, D ( ( ((,! ( ( ( 15 20 ( - - - ( ( ( 1985 33 ( ( ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - - - - - ( ( ( - --- ( - ( - - - - ( ( ( ( ( ( ( ( 1985 35 1. ( ( ( ( ( 2.
2
1 2 3 4 4 5 5 6 6 I 17 27 31 63 II 79 87 91 99 103 107 113 119 III 129 135 137 141 145 153 163 165 169 175 177 181 7 187 193 195 199 201 7 8 9 9 10 11 11 12 12 I 13 13 14 14 I.... 17... 27 15... 31...
Microsoft Word - 75413980_4
中 国 资 产 管 理 业 翘 首 等 待 修 订 后 的 证 券 投 资 基 金 法 及 配 套 法 规 的 施 行 2012 年 12 月 28 日, 业 内 期 盼 已 久 的 中 华 人 民 共 和 国 证 券 投 资 基 金 法 ( 新 基 金 法 ) 修 订 通 过, 自 2013 年 6 月 1 日 起 施 行 为 了 支 持 新 基 金 法 的 实 施, 有 关 监 管 部 门, 主
郑州大学（下）.doc
...1...10 ( )...12...14...18...20...24...26...30...33...37...39...42...45...48...52...53 I ...57...63...65...74...82...84...85...87...91...95...97... 101... 103... 106... 109... 115... 124... 126... 128
厨房小知识（六）
...1...1...2...2...4...6...7...8...9...10...13...14...17...18...20...20...21...23...24...24...26...27...28 I II...31...32...32...35...36...39...40...41...41...42...43...44...47?...49...50...52...53...54...54...60...67...68...69
广 东 纺 织 职 业 技 术 学 院 发 展 党 员 公 示 制 实 施 办 法...189 关 于 推 荐 优 秀 团 员 作 为 党 的 发 展 对 象 工 作 的 意 见...192 后 勤 管 理 工 作 广 东 纺 织 职 业 技 术 学 院 新 引 进 教 职 工 周 转 房 管 理
目 党 政 工 作 广 东 纺 织 职 业 技 术 学 院 党 委 理 论 中 心 组 学 习 制 度...1 广 东 纺 织 职 业 技 术 学 院 教 职 工 政 治 理 论 学 习 制 度...4 广 东 纺 织 职 业 技 术 学 院 党 风 廉 政 建 设 责 任 制 实 施 办 法 ( 试 行 )...6 广 东 纺 织 职 业 技 术 学 院 党 风 廉 政 建 设 暂 行 规 定...18
2005 2005 12
2005 2005 http://www.nsfc.gov.cn 2005 12 2005...1 1-1 2005...1 1-2 2005...2 1-3 2005...5 1-4 2005...6 1-5 2005...7 1-6 2005...8 1-7 2005...9 1-8 2005...10 1-9 2005 200...11 1-10 2005...21 1-11 2005...61
游戏攻略大全（五十）.doc
I...1...2...18...32...37...39...40...40...41...41...41...42...42...42...43...44...44...44...45...45...45...46 ...46...46...47...47...47...47...48...48...48...49...51...72...80...82...85...86...91...94...97
金融英语证书考试大纲
金 融 英 语 证 书 考 试 大 纲 第 一 部 分 考 试 说 明 一 考 试 目 的 金 融 英 语 证 书 考 试 是 国 家 级 行 业 性 专 业 外 语 水 平 考 试, 旨 在 通 过 统 一 的 标 准 化 考 试 程 序 和 测 试 标 准, 为 中 国 金 融 业 提 供 金 融 英 语 水 平 行 业 参 考 标 准, 测 试 并 认 定 应 试 人 员 的 金 融 英 语
I...1...2...3...4...6...7...8...10... 11...12...13...14...16...17...18...20...21...22...23...25...26...27...28...30 II...31...33...34...35...37...38...39...41...43...44...45...47...49...50...52...54...55...56...57...59...60...61...62...63...64...65
健康知识（二）
I...1...6...7...8...10...12...14...15...17...19...22...26...28...29...30...31...32...34...36...37...38...39...40 II...41...42...43...46 7...47...48...49...53...55...56...57...58...60...66...67...68...69...69...70...73...73...74...75...78...79...79
中南财经大学（二）.doc
2004...1...3 2004...5...9 2004...10 2004...13...16...18...19...23...35...39...42...44...46...50 I ...53...54 ( )...57...58...62... 121... 124... 149 ( )... 151... 152... 154... 157... 158... 159... 163...
广西大学（一）.doc
.....1... 11...14...15...16...17...19...19...22 ( )...30 ( )...32...34...39...44 ( )...63...64...67...69 I ...75...77...79...81...87 ( )...88...92...93...95...98... 100... 104... 114... 116... 124 ( )...
根据学校教学工作安排，2011年9月19日正式开课，也是我校迁址蓬莱的第一学期开学
济 南 大 学 泉 城 学 院 2014 届 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告 前 言 济 南 大 学 泉 城 学 院 是 国 家 教 育 部 和 山 东 省 人 民 政 府 正 式 批 准 成 立, 实 施 本 科 层 次 学 历 教 育 的 综 合 性 高 等 院 校 自 2005 年 建 校 以 来, 学 院 依 托 济 南 大 学 雄 厚 的 办 学 实 力, 坚 持 以 学 生
山东大学（一）.doc
...1...8...23...27...30 ( )...33...36...40...44...46...52 ( )...53...54...54 I ...55...56...58...59...60 ( )...63...75...88...92...99 ( )... 110... 118... 138... 142... 148 ( )... 152 2004 2006... 156
主 编 : 杨 林 副 主 编 : 张 新 民 邹 兰 曹 纯 纯 周 秋 婷 李 雅 清 黄 囡 囡 评 审 顾 问 : 杨 林 张 新 民 评 审 : 张 新 民 邹 兰 曹 纯 纯 周 秋 婷 李 雅 清 黄 囡 囡 李 忆 萍 徐 如 雪 文 字 编 辑 : 曹 纯 纯 邹 兰 李 雅 清
主 编 : 杨 林 副 主 编 : 张 新 民 邹 兰 曹 纯 纯 周 秋 婷 李 雅 清 黄 囡 囡 评 审 顾 问 : 杨 林 张 新 民 评 审 : 张 新 民 邹 兰 曹 纯 纯 周 秋 婷 李 雅 清 黄 囡 囡 李 忆 萍 徐 如 雪 文 字 编 辑 : 曹 纯 纯 邹 兰 李 雅 清 周 秋 婷 李 忆 萍 徐 如 雪 何 雯 技 术 编 辑 : 李 雅 清 曹 纯 纯 薛 莞 陈 敏
最新文物管理执法全书（十四）.doc
I...1...3...5...8...12...15...19...23...25...28...30...34...37...39...43...47...50...52...55...59...60...63...67...70 ...75...79...82...83...85...90...92...95...99... 103... 106... 113... 117... 119...
园林常识（二）.doc
I...1...1...1...2...32...33...36...38...41...42...43...43...43...44...45...45...46...48...49...56...62...65 ...68...77...84...98... 103 :... 104... 105 :... 107 :... 109... 110...111... 126... 127... 130
前 言 二 一 六 年 四 月 四 日, 兒 童 節, 誕 生 了 一 件 美 事 : 中 國 作 家 曹 文 軒 在 意 大 利 博 洛 尼 亞 國 際 童 書 展 榮 獲 國 際 安 徒 生 文 學 獎, 是 該 獎 創 設 六 十 年 來, 第 一 位 摘 桂 的 中 國 作 家, 意 義 重
目 錄 前 言 i 童 年 1 關 於 肥 肉 的 歷 史 記 憶 ( 節 錄 ) 7 疲 民 15 水 邊 的 文 字 屋 23 海 邊 的 屋 29 紅 葫 蘆 37 追 隨 永 恆 ( 草 房 子 代 跋 一 ) 53 因 水 而 生 草 房 子 寫 作 札 記 59 書 香 人 家 73 朗 讀 的 意 義 79 知 無 涯, 書 為 馬 85 讀 是 誰 91 給 孩 子 講 課 文 學
湖 南 科 技 大 学
I 目 录 第 一 章 2015 年 度 培 训 概 况 1 1 基 本 情 况 1 1.1 项 目 申 报 情 况 1 1.2 项 目 实 施 情 况 3 1.3 学 员 来 源 情 况 5 1.4 项 目 经 费 情 况 7 2 组 织 管 理 9 2.1 学 校 设 立 培 训 项 目 实 施 工 作 领 导 小 组 9 2.2 施 训 学 院 设 立 项 目 实 施 办 公 室 9 3 培
上海外国语大学（二）.doc
...1...3...4...9...10 ( )... 11...12...16...31...33...34...50...56...58...60...62 I II...63...65...68...74...75...75...76...76...78...87...92...96 ( )...96 ( )...97 ( )...98 ( )...99... 100 ( )... 101
2009 陳 敦 德
前 言 : 發 掘 香 港 歷 史 獨 有 的 寶 藏 2010 2009 陳 敦 德 目 錄 前 言 發 掘 香 港 歷 史 獨 有 的 寶 藏 / i 第 一 章 香 港 設 立 八 路 軍 辦 事 處, 青 年 廖 承 志 為 主 任 /1 一 毛 澤 東 認 為, 八 路 軍 駐 香 港 辦 事 處, 是 個 獨 特 的 辦 事 處 /10 二 毛 澤 東 親 自 點 將, 為 小 廖 舉
切 实 加 强 职 业 院 校 学 生 实 践 能 力 和 职 业 技 能 的 培 养 周 济 在 职 业 教 育 实 训 基 地 建 设 工 作 会 议 上 的 讲 话 深 化 教 育 教 学 改 革 推 进 体 制 机 制 创 新 全 面 提 高 高 等 职 业 教 育 质 量 在
目 录 中 华 人 民 共 和 国 职 业 教 育 法... 1 国 务 院 关 于 大 力 推 进 职 业 教 育 改 革 与 发 展 的 决 定... 7 国 务 院 关 于 大 力 发 展 职 业 教 育 的 决 定... 17 教 育 部 财 政 部 关 于 实 施 国 家 示 范 性 高 等 职 业 院 校 建 设 计 划 加 快 高 等 职 业 教 育 改 革 与 发 展 的 意 见...
鸽子（三）
...1...3...5...7....9...12...20...28...30...33...39...52....53...56...60...61...64...67....86 I ...88...90...95.... 102... 107... 112... 115... 125... 127... 128... 134... 139... 149... 151... 152... 156...
兽药基础知识（四）
...1...1...3...4...9...10... 11...13...14...15...16...18...19...23...24...26...29...32...34 I ...36...38...39...40...41...43...45...47...49...50...52...53...54...55...57...59...61...64 E...68...69...72
园林植物卷（十）.doc
I II III 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
园林植物卷（十七）.doc
I II III 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
临床手术应用（三）
...1...5...5... 11...16...16...24...30...34...36...38...42...49...49...51...53...55...57...58...58...61 I ...63...65...67...69...73...73...75...80...83...85...86...88...92...94...94...98... 101... 102...
家装知识（二十）
I..1...2...5...7...10... 11...12...14...17...19...20...21...25...26...27...30...32...33...37...40...42...44...45 II...49...50...53...54...56...61...62...63...64...67...68...69...71...74...75...76...79...80...81...81...82...83...87...90...91...93