臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 15 章 向量場 (Vector Fields) 目錄 15.1 向量場與純量場 保守場
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- 戊量 云
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1 臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 15 章 向量場 (Vector Fields) 目錄 15.1 向量場與純量場 保守場 線積分 向量場的線積分 線積分基本定理與路徑獨立 參數曲面 面積分 賦向曲面 通量積分 向量場與純量場 (Vector Fields nd clr Fields) 向量場 定義 (1) 令 D R 2, R 2 的向量場 (vector field) 是一個函數 F : D R 2, 將 (x, y) 對應到向量 F (x, y) (2) 令 E R 3, R 3 的向量場 (vector field) 是一個函數 F : E R 3, 將 (x, y, z) 對應到向量 F (x, y, z) 通常可表為 F (x, y, z) = F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z) = F 1 (x, y, z) i + F 2 (x, y, z) j + F 3 (x, y, z) k. (3) 若其分量函數 F 1, F 2, F 3 為連續函數, 則稱其為連續向量場 (4) 若其分量函數 F 1, F 2, F 3 可微, 則稱其為可微向量場 (5) 若其分量函數 F 1, F 2, F 3 的任意階偏導函數均連續, 則稱其為平滑 (smooth) (6) 一個純量函數也可稱為純量場 (sclr field) 例 一個點質量 m 位於 P 0 位置向量為 r 0, 則重力場為 F(x, y, z) = F(r) = 其大小為 km r r 0 2 km r r 0 3 (r r 0) = km (x x 0)i + (y y 0 )j + (z z 0 )k ((x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 ) 本著作除另有註明外, 採取創用 姓名標示 - 非商業性 - 相同方式分享 台灣 3.0 版授權釋出
2 15.1 向量場與純量場 例 一物體繞 z- 軸旋轉的角速度 (ngulr velocity) 為 Ω = Ωk, 則速度場為 v(x, y, z) = Ωyi + Ωxj 例 描繪 R 3 上的向量場 F (x, y, z) = zk 例 (1) 重力場 (grvittion field) F(x, y, z), (2) 電力場 (electrosttic field) E(x, y, z), (3) 流體速度場 (velocity field) v(x, y, z), (4) 梯度場 (grdient field) f(x, y, z) 場線 例 (1) 在一向量場上, 一曲線稱為場線 (field lines) 或積分曲線 (integrl curves), 若其上每一點之切向量為此向量場的向量 (2) 流體速度場之場線亦稱為流線 (flow lines, stremlines); 力場之場線亦稱為力線 (lines of force) 註 向量場 F (x, y, z) = F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z) 之場線的微分方程可表為 dx F 1 (x, y, z) = dy F 2 (x, y, z) = dz F 3 (x, y, z) 例 (1) 試求重力場 F(x, y, z) = km (x x 0)i+(y y 0 )j+(z z 0 )k ((x x 0 ) 2 +(y y 0 ) 2 +(z z 0 ) 2 ) 3 2 的場線 (2) 試求速度場 v(x, y, z) = Ωyi + Ωxj 的場線 (3) 試求 F = xz, 2x 2 z, x 2 的場線 極座標下的向量場 例 (1) 向量場 F 可表為 F(r, θ) = F r (r, θ)ˆr + F θ (r, θ)ˆθ, 其中 ˆr = cos θi + sin θj, ˆθ = sin θi + cos θj, ˆr 稱為徑向向量 (rdil vector), F r 稱為徑向分量 ; ˆθ 稱為橫向向量 (trnsverse vector), F θ 稱為橫向分量 (2) 極座標方程 r = r(θ) 的曲線可表為 r = rˆr (3) 描述 F(r, θ) = ˆr + ˆθ, 並求其場線 微積分講義, 160
3 15.2 保守場 15.2 保守場 (onservtive Fields) 保守場 例 求 f (x, y) = x 2 y y 3 的梯度場 定義 一個向量場 F 若是某個純量函數 φ 的梯度場, 即 F = φ, 則稱 F 為保守場 (conservtive vector field), φ 稱為 F 的位勢函數 (potentil function) 例 重力場 F(x, y, z) = km r r 0 (r r 3 0 ) 是保守場, 其位勢函數是 φ = 例 速度場 v(x, y, z) = Ωyi + Ωxj 不是保守場 保守場的必要條件 km r r 0 定理 若 F (x, y) = F 1 (x, y), F 2 (x, y) 是 xy 平面區域 D 上的保守場,F 1 及 F 2 在 F D 上有連續的一階偏導函數, 則在 D 上 1 = F 2 y x 定理 假設 F 定義在空間的單連通區域上 F = F 1, F 2, F 3 之分量函數有連續的一階偏 F 導函數則 F 為保守場的必要條件是 3 = F 2, F 1 = F 3, F 2 = F 1 y z z x x y 定義 若 φ(x, y, z) 是保守場 F 的位勢函數, 則等直值曲面 φ(x, y, z) = 稱為 F 的等位曲面對平面亦有類似定義 例 證明 F(x, y) = x, y 是保守場, 求其位勢函數, 描述其場線及等位曲線 例 向量場 F = xy sin z, 1 2 x2 ey z, ey z 2 x cos z 在 D = {(x, y, z) : z 0} 上是否為保守場? 若是, 求其位勢函數 例 對 (x, y) (0, 0), 定義向量場 F = y θ, 使得 0 θ < 2π 驗證 : () F y 1(x, y) = F x 2(x, y), (x, y) (0, 0), x 2 +y 2, (b) 對所有 (x, y) (0, 0), 且 0 < θ < 2π, θ(x, y) = F(x, y), (c) F 在整個平面上不是保守場 x 及純量場 θ(x, y) = (x, y) 的極角 x 2 +y 線積分 (Line Integrls) 線積分 定義 在空間中, f(x, y, z) 為一實值函數, 其定義域為 D, 曲線 : r(t) = g(t), h(t), k(t), t [, b] 為包含在 D 中的曲線於是 f(g(t), h(t), k(t)) 為定義在 [, b] 上的函數將曲線 分割為 n 段 s 1,, s n, 其長度為 s 1,, s n 在每一段上取任一點 (x k, y k, z k ), 則得 Riemnn 和 n k=1 f(x k, y k, z k ) s k 若極限 lim n P 0 k=1 f(x k, y k, z k ) s k 存在, 則定義它是 f(x, y, z) 在 上的線積分 (line integrl of f long ), 記為 f(x, y, z)ds 微積分講義, 161
4 15.3 線積分 註 (1) ( 線積分計算法 ) 若 r(t) 為平滑, 則 s(t) = t dr t dτ dτ = v(τ) dτ 故 b f(x, y, z)ds = f(g(t), h(t), k(t)) v(t) dt = b (dx ) 2 f(g(t), h(t), k(t)) + dt ( ) 2 dy + dt ( ) 2 dz dt dt (2) 對平面上的曲線和函數也可同樣定義線積分 (3) 若 為有限條平滑曲線 1, 2,..., n 的聯集, 即 是逐段平滑曲線, 則 1 f (x, y) ds n f (x, y) ds (4) 線積分與曲線的參數選法無關 f (x, y) ds = 例 為從 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 0), 再到 (1, 1, 1) 之折線段 求 f(x, y, z) = x 3y 2 + z 在 上的線積分 例 是 y = x 2 上從 (0, 0) 到 (1, 1) 的弧, 2 是從 (1, 1) 到 (1, 2) 的線段, 是它們的聯集求 2xds 例 令 為 x 2 + y 2 = 1 的上半圓, 求 (2 + x2 y) ds 例 若 為 cos t, sin t, t,t [0, 2π], 求 y sin zds 例 為 x y 2 3 = 2 3, 求 x y 4 3 ds 例 為 (x 2 + y 2 ) 2 = 2 (x 2 y 2 ), 求 y ds 例 為 y = cosh x, 求 ds y 2 例 為 x 2 + y 2 = z 2 與 y 2 = x 之交線上, 從 (0, 0, 0) 到 (,, 2) 的曲線段, 求 zds 線積分的應用 定義 若一金屬線位於空間平滑曲線 上, 其密度為 δ(x, y, z), 則 (1) 質量為 M = δ(x, y, z)ds (2) 對座標面的一次矩為 M yz = xδds, M xz = yδds, M xy = zδds (3) 質心 (x, y, z) 為 x = M yz M, y = M xz M, z = M xy M (4) 對座標軸及一般直線之二次矩為 I x = (y2 + z 2 )δds, I y = (x2 + z 2 )δds, I z = (x2 + y 2 )δds, I L = r2 δds, 其中 r(x, y, z) 為 (x, y, z) 到直線 L 的距離 I (5) 對直線 L 的迴轉半徑為 R L = LM 例 令 為圓心在原點, 半徑為 之上半圓, 求 對 x- 軸的力矩 例 求 : r = cos t, sin t, bt, 0 t 2π 的形心 例 一曲線 是 z = 2 x 2 2y 2 與 z = x 2 的交集, 在 (0, 1, 0) 到 (1, 0, 1) 的部份, 在 (x, y, z) 的密度為 xy 求其質量 微積分講義, 162
5 15.4 向量場的線積分 15.4 向量場的線積分 (Line Integrls of vector fields) 功 定義 令 F 是 R 3 上的連續力場, 此力作用在一物體上, 將其沿著平滑曲線 移動, 令 T 為 的單位切向量則所做的功 (work) 為 W = [ 註 ] 功的五種表法 F (x, y, z) T (x, y, z) ds = b F (r (t)) r (t) dt = F dr W = = b b F Tds = b F dr = F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz b F dr dt dt = b dx (F 1 dt + F dy 2 dt + F dz 3 dt )dt 例 求力場 F (x, y) = x 2 1, xy 沿著圓 r (t) = cos t, sin t,t [ ] 0, π 4 2 所做的功 例 力 F = y x 2, z y 2, x z 2 沿著曲線 r(t) = t, t 2, t 3 作用, 從 (0, 0, 0) 到 (1, 1, 1) 所作的功為何? 若 r(t) = t, t, t, 則如何? 流量積分 定義 (1) 若一個曲線之起點與終點相同, 則稱為封閉曲線或線圈 (closed curve or loop) (2) 若一個封閉曲線, 除端點外, 本身均不相交, 則稱為簡單曲線 (simple curve) 定義 令 F 為連續速度場, r(t) 為一曲線, 則沿著這曲線從 t = 到 b 的流量 (flow) 為 b F Tds 此積分稱為流量積分 (flow integrl) 若此曲線為封閉線圈 (closed loop), 則此流量稱為此曲線的環流量 (circultion) 例 一液體的速度場為 F = x, y, z 求它沿著曲線 r(t) = cos t, sin t, t, t [0, 2π] 的流量 例 求速度場 F = x y, x 沿著封閉曲線 r = cos t, sin t, t [0, 2π] 的環流量 例 令 F = y, x 求沿以下曲線由 (1, 0) 到 (0, 1) 的線積分 F dr. () 直線段, (b) 在單位圓上逆時針轉四分之三圈 例 令 F = y 2, 2xy 求沿以下曲線由 (0, 0) 到 (1, 1) 的線積分 F dr () 直線 y = x, (b) 曲線 y = x 2, (c) 從 (0, 0) 到 (0, 1) 再到 (1, 1) 的折線段 微積分講義, 163
6 15.5 線積分基本定理與路徑獨立 15.5 線積分基本定理與路徑獨立 線積分基本定理 定理 ( 線積分基本定理 ) 平滑曲線 定義為 r (t),t [, b] f 為可微函數, f 在 上連續, 則 f dr = f(r(b)) f(r()) 例 重力場 F (x) = mmg r 3 r 對質量 m 之物體沿著平滑曲線從 (3, 4, 12) 移到 (2, 2, 0) 求所做的功 路徑獨立 定義 以連接 (1) 一個區域 D 是連通的 (connected) 表示其上任兩點均可以用 D 上的路徑加 (2) 平面上的連通區域 D, 其上任意封閉曲線的內部均只包含 D 的點, 則稱 D 為單連通區域 (simply connected) 定理 令 D 為開連通區域, F 為 D 上的平滑向量場下列敘述是等價的 : (1) F 為 D 上的保守場 (2) 對 D 上任意逐段平滑封閉曲線, F dr = 0 (3) 任給 D 上兩點 P 1, P 2 ( 可能相同 ), 則對 D 上任意以 P 1 為起點, 以 P 2 為終點之逐段平滑曲線, 線積分 F dr 之值均相等 例 求 I = (ex sin y + 3y)dx + (e x cos y + 2x 2y)dy, 是繞橢圓 4x 2 + y 2 = 4 逆時針旋轉 y2 例 令 為從 (1, π) 到 (2, π) 的直線段, 求 (1 cos y )dx + (sin y + y cos y )dy x 2 x x x x 例 求 ydx + xdy + 4dz, 其中 是連接 (1, 1, 1) 到 (2, 3, 1) 的線段 例 求 A, B 使得向量場 F = Ax sin(πy), x 2 cos(πy) + Bye z, y 2 e z 為保守場, 並求 F dr, 其中 是 () 曲線 r = cos t, sin 2t, sin 2 t, 0 t 2π, (b) z = x 2 + 4y 2 與 z = 3x 2y 的交線上, 從 (0, 0, 0) 到 (1, 1 2, 2) 的部份 例 令 A = (1, 0), B = (0, 1), = ( 1, 0), D = (0, 1), 曲線 從 A 開始沿著 ABD 繞一圈, 求 dx+dy x + y 微積分講義, 164
7 15.6 參數曲面 15.6 參數曲面 (Prmetric surfces) 定義 (1) R 為 uv- 平面上之區域, r(u, v) = f(u, v), g(u, v), h(u, v) 為 R 上的連續向量場, 且在 R 上為一對一 則 r 的值域 稱為參數曲面 (prmetric surfce) (2) r 以及 R 稱為 的參數化 (prmetriztion), R 是參數定義域, u, v 為參數 例 () 描述向量方程 r (u, v) = 2 cos u, v, 2 sin u 之曲面 (b) 若 θ u π 2,0 v 3, 其曲面為何? 例 描述曲面 r = cos u sin v, sin u sin v, cos v,0 u 2π, 0 v π 2 其邊界為何? 例 P 0 點的位置向量為 r 0, 一平面通過 P 0 且包含兩個非平行的向量 及 b, 求該平面的向量方程 例 寫出球 x 2 + y 2 + z 2 = 2 的參數方程式 例 求柱面 x 2 + y 2 = 4,0 z 1 之參數方程式 例 寫出曲面 z = f(x, y), (x, y) R 的參數式 例 將錐面 z = x 2 + y 2, 0 z 1, 參數化 例 將曲線 y = f (x), x b 繞 x 軸旋轉 (f (x) 0) 其參數表示為 x = x y = f (x) cos θ z = f (x) sin θ, x b 0 θ 2π 15.7 面積分 (urfce Integrls) 面積分 定義 曲面 為 r (u, v) = x (u, v), y (u, v), z (u, v),(u, v) D 若 D 為矩形, 將其分割成小矩形 R ij, 其邊長為 u 及 v 於是曲面 被分成對應的小片 ij, 在 ij 上任選樣本 m n 點 Pij 則可得 Riemnn 和 f ( Pij) ij ( ij 為 ij 之面積 )則 f 在曲面 之面積分 i=1 j=1 為 f (x, y, z) d = lim m n f ( Pij) ij m,n i=1 j=1 定義 (1) 一個空間中的集合 若滿足以下條件, 則稱為平滑曲面 (smooth surfce): 對任意 P 均有一鄰域 N, 使得它是平滑函數 g(x, y, z) 的定義域, 且 (i) N = {Q N : g(q) = 0}, (ii) g(q) 0, Q N (2) 一個參數曲面若其內點滿足以上條件, 則稱為平滑曲面 定理 若 由 r (u, v),(u, v) D 所定義 (D 不見得是矩形 ) 則 (1) 其法向量為 n = r u r v = (y,z) (u,v), (z,x) (u,v), (x,y) (u,v) (2) 其面積元 (re element) 為 d = r u r v dudv = ( (y,z) (u,v) )2 + ( (z,x) (u,v) )2 + ( (x,y) (u,v) )2 dudv 微積分講義, 165
8 15.7 面積分 (3) 的曲面面積為 d (4) f(x, y, z) 在 的面積分為 f (x, y, z) d = 例 (1) 若曲面 為 z = g (x, y),(x, y) D 則 f (x, y, z) d = f (x, y, g (x, y)) 1 + D D f (r (u, v)) r u r v da ( ) 2 z + x ( ) 2 z da y (2) 若曲面 滿足 G(x, y, z) = 0, 且一對一地投影到 xy- 平面上的 D 假設在 上, G 有連續的一階偏導數且均不為 0, 則 f(x, y, z)d = f(x, y, g(x, y)) G(x, y, z) D G z (x, y, z) dxdy 例 曲面 為 z = x 2 + y 2 上介於 z = 0 與 z = 1 的部份, 求 zd 例 求柱面 x 2 + y 2 = 2y 位於球 x 2 + y 2 + z 2 = 4 2 之內的面積 例 求在半球 z = 2 x 2 y 2 上的 z2 d 例 x = 1, y = 1, z = 1 在第一卦限切出一立方體, 它在第一卦限部分的表面為 求 g(x, y, z) = xyz 在 上的積分 例 若曲面 之側面 1 為柱面 x 2 +y 2 = 1, 其底 2 為平面 z = 0 上的圓盤 x 2 +y 2 1, 其頂部在平面 z = 1 + x 上求 zd 面積分的應用 定義 令 為一薄殼, δ(x, y, z) 為其密度, 則 (1) 質量 M = δ(x, y, z)d (2) 對座標面之一次矩, M yz = xδd, M xz = yδd, M xy = zδd (3) 質心 (x, y, z) 為 x = Myz M, y = M xz M, z = Mxy M (4) 對座標軸之二次矩 I x = (x2 + y 2 )δd, I y = (x2 + z 2 )δd, I z = (x2 + y 2 )δd; 對 L 之二次矩 I L = r2 δd, 其中 r(x, y, z) 為 (x, y, z) 到直線 L 的距離 I (5) 對一直線 L 的迴轉半徑為 R L = LM 例 求參數曲面 x = 2uv, y = u 2 v 2, z = u 2 + v 2, 其中 u 2 + v 2 1, 對 z- 軸的慣性矩 例 求對 z = 0 的力矩 zd, 其中 是 z 2 = 1 + x 2 + y 2 介於 z = 1, z = 5 之 間的部份 例 一個半徑為 之半球殼, 其密度 δ 為常數, 求其質心 微積分講義, 166
9 15.8 賦向曲面 15.8 賦向曲面 (Oriented surfces) 定義 (1) 一個平滑曲面, 假設有單位向量場 ˆN(P ) 定義在 上, 且在 上是連續的如果我們對每個點 P, ˆN(P ) 均為 P 的法向量, 則稱 是賦向曲面 (oriented surfce), ˆN(P ) 決定其賦向 (orienttion), ˆN 之方向稱為正向 (positive side) (2) 一個曲面 的邊界曲線為, 的方向可以衍生 的方向 : 若你在 上沿著該方向前進, 且你的頭指向 的方向 ˆN, 則曲面 在你的左側 (3) 正賦向曲面 所定義的賦向曲線 記為 (4) 一個曲面如果是一個立體 E 的邊界, 則稱為封閉曲面 (closed surfce) x = 2 cos θ + r cos θ 2 註 (1) Mobius bnd: y = 2 sin θ + r cos θ 1 2 r 1 0 θ 2π, 為非賦向 2 2 z = r sin θ, 2 曲面 (2) 若曲面 為 z = g (x, y), 則一個自然的方向是 ˆN = 1 g 1+( x) g 2 +( y), g, 1 g 2 x y (3) 若曲面 由 r (u, v) 所定義, 則一個自然的方向是 ˆN = r u r v r u r v (4) 若曲面 滿足 G(x, y, z) = 0, 則一個自然的方向是 ˆN = G G (5) 在球面上 r (ϕ, θ) = sin ϕ cos θ, sin ϕ sin θ, cos ϕ, 則 ˆN = 1r (ϕ, θ) 15.9 通量積分 (Flux integrls) 定義 若 F 是賦向曲面 上的連續向量場, F 經過 的通量 (flux) 是 F 之法向分量在 上的積分, 即 F d = F ˆNd 註 (1) 若 是由 r (u, v) 所定義, ˆN 為自然賦向則 F d = F (r u r v ) da (2) 若 是曲面 z = g (x, y), 則 F d = D D ( ) g F 1 x F g 2 y + F 3 da 例 令 為半徑為 之單位圓, 求向量場 F = mr r 3 向球外的通量, 其中 r = x, y, z 例 求向量場 F = x, y, z 經由曲面 x 2 + y 2 2, h z h 向外的總通量 微積分講義, 167
10 15.9 通量積分 例 求向量場 F = z, 0, x 2 經由曲面 z = x 2 + y 2 在 1 x 1, 1 y 1 的部份向上的通量 例 求向量場 F = y, x, 4 經由曲面 z = 1 x 2 y 2 在第一卦限的部份向上的通量 例 求向量場 F = 2x v 2π 向下的通量 x 2 +y 2, 2y x 2 +y 2, 1 經由曲面 r = u cos v, u sin v, u 2, 0 u 1, 0 例 若 是由 z = 1 x 2 y 2 及 z = 0 所圍成之區域的邊界, F (x, y, z) = y, x, z, 求 F d 例 曲面 是由柱面 y 2 + z 2 = 1, z 0 被 x = 0 及 x = 1 所圍出 求 F = 0, yz, z 2 經由 之向外通量 例 求 F = yz, x, z 2 沿著曲面 y = x 2, 0 x 1, 0 z 4, 向外的通量 微積分講義, 168
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 10 章 向量 目錄 10.1 向量積 柱面及二次曲面 柱面座標與球面座標
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 10 章 向量 目錄 10.1 向量積.................................. 121 10.2 柱面及二次曲面.............................. 123 10.3 柱面座標與球面座標............................ 125 10.4 拓樸...................................
Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt
4-5 曲線之切線 曲率及紐率 .1. 曲線切向量 切線 曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx
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5 年台灣大學 解題老師 : 周易系所 : 醫工所 ( 甲組 ) 化工系 高分子所 食科所( 丁組 ) 科目 : 工程數學 (E). 是非題 ( 請標明題號 ()~(5), 依順序作答, 正確請寫, 不正確請寫 ): R S T 均為 階方陣, I 為 階單位方陣, 下列敘述是否正確? () 假設 R 為正交可對角化 (orthogoall diagoalizable) 矩陣, 則 R 必為對稱矩陣
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Cateian Cylindial ˆ= xˆ o + yˆin ˆ = ˆ = xˆin+ yˆ o + = Cylindial to Cateian: ˆ ˆ x o in 0 y in o 0 = 0 0 Cateian to Cylindial: + = + xˆ yˆ o in 0 x = in o 0 y 0 0 Cylindial Spheial ˆ = ˆ + ˆ = ˆ = xˆ
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26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
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第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
(Microsoft Word - chap3-\275\306\305\334\244\300\252R.doc)
Chp 複變分析 Copl Anlss - 基本觀念 在複數平面上定義一個複數 如圖所示, 其中 : 稱複數 稱為實數, 記為 R 稱為虛數, 記為 I 由圖可得, 與 r,θ 之關係可知 r osθ r snθ r osθ r snθ r osθ snθ θ r 極座標 E.. R: I: 定義 : 一個複數的絕對值 長度 r 定義 : 一個複數的共軛複數 複數加法定義 : 若 則 E.. 加法
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes
2007 GRE Math-Sub Nov 3, 2007 Test time: 170 minutes ... zqs... 10 66 60... fz zqs vonneumann vonneumann sub... Bless by Luobo June 21, 2008 1. 2. g(x) = e 2x+1, cos 3x 1 lim x 0 x 2 g(g(x)) g(e) lim x
5 (Green) δ
2.............................. 2.2............................. 3.3............................. 3.4........................... 3.5...................... 4.6............................. 4.7..............................
➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 (Stationary Processes) X = {X t ; t I}, n 1 t 1,..., t n I, n F n (t 1,..., t n ; x 1,..., x
4. 计 算 积 分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或 者 在 二 维 情 形 中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 +
微 积 分 B2 曲 面 曲 线 积 分 小 结 马 晓 光 2014 年 5 月 15 日 1 第 一 型 曲 线 曲 面 积 分 这 一 部 分 的 积 分 区 域 是 没 有 定 向 的 解 题 的 关 键 是 计 算 长 度 微 元 dl 和 面 积 微 元 ds 1.1 第 一 型 曲 线 积 分 积 分 区 域 是 一 条 曲 线 L, 可 以 在 二 维 平 面 内, 也 可 以 在
10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x
![10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x](/thumbs/93/111874830.jpg "10.1 參數方程式 註 若一函數 y = f(x) 可將其參數化為 x = t, y = f(t) 則其反函數可參數化為 x = f(t), y = t 例 討論以下曲線 : (a) x = a cos t, y = a sin t, t [0, 2π] (b) x")
第 10 章 參數方程與極座標 (Parametric Equations and Polar Coordinates) 目錄 10.1 參數方程式................................ 98 10.2 參數式之切線............................... 100 10.3 參數式之面積............................... 101
untitled
4 y l y y y l,, (, ) ' ( ) ' ( ) y, y f ) ( () f f ( ) (l ) t l t lt l f ( t) f ( ) t l f ( ) d (l ) C f ( ) C, f ( ) (l ) L y dy yd π y L y cosθ, π θ : siθ, π yd dy L [ cosθ cosθ siθ siθ ] dθ π π π si
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出
翁秉仁教授 本著作除另有註明, 所有內容取材自作者翁秉仁教授所著作的微積分講義, 採用創用 CC 姓名標示 - 非商業使用 - 相同方式分享 3.0 台灣授權條款釋出 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數 函數與圖形方程式與平面曲線 隱函數反函數反三角函數連續函數與極限 與自然對數函數定義函數必須滿足兩個條件
996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8, 3, 5, ( ),, 3,,, ;, ;,,,,,,,,,
,, AB,, ( CIP) /, 000 ( /, ) ISBN 704009448 F47 CIP ( 000) 86786 55 00009 0064054588 ht tp www hep edu cn ht tp www hep com cn 006404048 787960/ 6 05 370 000 730,, 996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8,
x y z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.1. (X, Y ) 3.2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y 1 ) F (x 1, y 2
3 3.... xy z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.. (X, Y ) 3.2 P (x < X x 2, y < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y ) F (x, y 2 ) + F (x, y ) 3. F (a, b) 3.2 (x 2, y 2) (x, y 2) (x 2, y ) (x,
95
95 96 http://www.ee.ncnu.edu.tw/announce/board.php?action=view&seqno=410 or QR 5K // 0 K 5K 5K // K 5K ------ 94 93 92 91 ( ) ( ) ( ) A e ( ) d st D L[ f ( t)] f ( t) e dt F( s) dx 0
01.dvi
物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
E = B B = B = µ J + µ ε E B A A E B = B = A E = B E + A ϕ E? = ϕ E + A = E + A = E + A = ϕ E = ϕ A E E B J A f T = f L =.2 A = B A Aϕ A A = A + ψ ϕ ϕ
.................................2.......................... 2.3.......................... 2.4 d' Alembet...................... 3.5......................... 4.6................................... 5 2 5
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
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4 6 4 4 ( n ) f( ) = lim n n +, f ( ) = = f( ) = ( ) ( n ) f( ) = lim = lim n = = n n + n + n f ( ), = =,, lim f ( ) = lim = f() = f ( ) y ( ) = t + t+ y = t t +, y = y( ) dy dy dt t t = = = = d d t +
柯西積分公式
柯西積分公式 林延輯 台灣師範大學數學系 March 22, 2016 auchy-goursat 定理示例 Theorem (auchy-goursat) 設 R 是複數平面中的 region, 是一條簡單封閉路徑 simple closed contour, 並且 與 的內部 D 都落在 R 中 如果 f 是 R 中的解析函數, 則路徑積分 dz = 0. Example 設 為開圓盤 z
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
3.2 導 函 數 其 切 線 (tangent line) 為 通 過 P, 且 其 斜 率 為 m 的 直 線, 即 y = f(a) + m(x a) (3) 其 法 線 (normal line) 為 通 過 P 且 與 切 線 垂 直 的 直 線, 即 y = f(a) 1 (x a) m
第 3 章 微 分 (Differentiation) 目 錄 3.1 切 線................................... 25 3.2 導 函 數.................................. 26 3.3 微 分 公 式................................. 28 3.4 連 鎖 律..................................
,..,.,,,,,.,,.,., ,.,,.,,.,, 1,,, ; 2,,,,.,,,,.,,.,,,.,.,.,,.,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,, i
,..,.,,,,,.,,.,.,. 6 1,.,,.,,.,, 1,,, ;,,,,.,,,,.,,.,,,.,.,.,,.,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,, i .,,,,.,,.,.,.,,.,,,., 1;,,,,,.,,,,.,,,.,.,,.,,.,,,.,,.,,.,.,.,,.,,.,..,.,,.,,,.,,,.,,,,,,.,,,,.,,????.,,,,,.,,,,.,
第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applications of Integration-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長 旋轉面表面積 力
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第 8 章 積分應用 ( 貳 ) [ Applictions of Integrtion-II ] 目錄 8.1 平面曲線之弧長.............................. 88 8. 旋轉面表面積............................... 89 8.3 力矩與質心................................ 90 8.4 Pppus 定理..............................
高等数学A
高等数学 A March 3, 2019 () 高等数学 A March 3, 2019 1 / 55 目录 1 函数 三要素 图像 2 导数 导数的定义 基本导数表 求导公式 Taylor 展开 3 积分 Newton-Leibniz 公式 () 高等数学 A March 3, 2019 2 / 55 函数 y = f(x) 函数三要素 1 定义域 2 值域 3 对应关系 () 高等数学 A March
7.2 旋轉體體積 7.2 旋轉體體積 定義 平面上有一區域及一不與該區域內部相交的直線, 將該區域繞此直線旋轉而得一立體, 稱為旋轉體 (solid of revolution) 圓盤法 (Volumes by Slicing, Disk Method) 定理 令旋轉軸
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 7 章 積分應用 (Applictions of Integrtion) 目錄 7.1 切片法求體積............................... 84 7.2 旋轉體體積................................ 85 7.3 平面曲線之弧長.............................. 86 7.4
1 2 1.1............................ 2 1.2............................... 3 1.3.................... 3 1.4 Maxwell.................... 3 1.5.......................... 4 1.6............................ 4
( )... ds.....
...... 3.1.. 3.1.. 3.1: 1775. g a m I a = m G g, (3.1) m I m G. m G /m I. m I = m G (3.2)............. 1 2............ 4.................. 4 ( )... ds..... 3.2 3 3.2 A B. t x. A B. O. t = t 0 A B t......
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
Microsoft Word - 多變量微積分講義.doc
多變量微積分 (I 偏導數 (A 多變數函數 設 為所有實數所成的集合, 為所有二元有序實數組所成的集合, 即 {(,, } 若, 且對每一 (,, 在 中有唯一的 z 與之對應, 則函數 f: 稱為兩個變數的實值函數, 為函數 f 的定義域, 為函數 f 的對應域, 在 中有被對應的 z 所成的集 合, 稱為 f 之值域 中元素 (, 所對應的 z 值, 記作 f (,, 即, 稱為自變數, z
THE 常用的極限公式 (1) x lim 1 n n n e x (2) lim 1 nx n e n n (3) lim n 1 n 1 x 微積分的複習 c- - KE (4) lim n 1 a n n b 2 n e a (5) lim x ln x 0,α >0 x ln x (6) l
THE 常用的極限公式 () lim () lim (3) lim 微積分的複習 c KE (4) lim b (5) lim l α > l (6) lim α> FEF 微分公式 fg C f gc f gc f g C fg 3 ** 若有時 應放在 g 項 ** C m! m! m! m! m! > b bk > c ** C C ** C C 二項式定理 b C b C b C b C b
7. 基本積分公式 (8) sec u tn udu = sec u + C (9) csc u cot udu = csc u + C () tn udu = ln cos u + C = ln sec u + C () cot udu = ln sin u + C = ln csc u + C
第 7 章 積分技巧 目錄 7. 基本積分公式............................... 7 7.2 分部積分................................. 72 7.3 遞迴公式................................. 73 7.4 三角函數的冪次.............................. 74 7.5 有理函數的積分..............................
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+ lim = + + lim = + lim ( ) + + + () f = lim + = + = e cos( ) = e f + = e cos = e + e + + + sin + = = = = = + = + cos d= () ( sin ) 8 cos sin cos = ( ) ( sin ) cos + d= ( + ) = cos sin cos d sin d 4 =
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6 + a lim = 8, a =. a l. a a + a a a a lim = lim + = e, a a a e = 8 a= l ( 6,, ), 4 y+ z = 8. + y z = ( 6,, ) 4 y z 8 a ( 6,, ) + = = { } i j k 4,,, s = 6 = i+ j k. 4 ( ) ( y ) ( z ) + y z =. + =, () y
ϕ ϕ R V = 2 2 314 6378 1668 0 T =. 24 = 2 R cos32 33931 V = = = 1413. 68 32 T 24 2 R cos90 V = = 0 90 T ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1
m0 m = v2 1 c 2 F G m m 1 2 = 2 r m L T = 2 π ( m g 4 ) m m = 1 F AC F BC r F r F l r = sin sinl l F = h d G + S 2 = t v h = t 2 l = v 2 t t h = v = at v = gt t 1 l 1 a t g = t sin α 1 1 a = gsinα
3 35. f (x), x dy y, lim dx x (fluxion).,, dy dx (differential quotient), (differential coefficient)., dérivée. y = f(x), y/ x (x, y) (x + x, y + y),
2 3 x y = f(x). x, x y, y, x x = x, y x = y y x x y x x. y y = y. x, x, y lim x 0 x, y = f(x) x, dy dx., x, y. h x, dy dx = lim h 0 f(x + h) f(x). h, y = f(x) x. f(x) x, f(x)., dy dx x, f(x), f (x). dy
2 a i, f, b j, Z 6. {x 1, x 2,, x n }Du = ϕx 1, x 2,, x n 7.1 F x 1, x 2,, x n ; ϕ,,,, 0 u = ϕx 1, x 2,, x n 7.1D 7.1n = 2 F x, y, z,, = 0 7.4 z = ϕx,
1. 7.1 ux 1, x 2,, x n n 2 u, u,, u F x 1, x 2,, x n ; u, u, u,, u = 0 7.1 2. F u, u, u,, u a 0 x 1, x 2,, x n u + 3. fx 1, x 2,, x n 0 a i x 1, x 2,, x n u i = fx 1, x 2,, x n 7.2 a 0 x 1, x 2,, x n u
诸病源候论
诸 病 源 候 论 巢 元 方 六 二 易 学 中 医 网 提 供 千 本 中 医 易 学 电 子 书 的 在 线 阅 读 和 下 载 服 务, 本 网 为 弘 扬 中 国 传 统 文 化, 振 兴 中 医 提 供 一 个 平 台, 尽 自 己 一 点 微 薄 之 力. 我 们 还 有 一 个 姊 妹 网 站, 蓄 德 网, 提 供 道 家 和 其 他 宗 教 的 书 籍, 包 含 整 部 道 藏,
例15
cos > g g lim lim cos lim lim lim g lim ) ) lim lim g ) cos lim lim lim 3 / ) ) y, ) ) y o y y, ) y y y) y o y) ) e, ), ) y arctan y y Ce y) C y ) e y) y ) e g n www.tsinghuatutor.com [ g ] C k n n) n
1062 微乙 班期中考解答和評分標準 1. (13%) 求 Ω (x y) 20 da, 其中 Ω 是由 2x + y = 0, 2x + y = 1, x + 2y = 0 及 x + 2y = 1 所圍成的平行 四邊形 Solution: Let x + 2y = u, x y =
6 微乙 - 班期中考解答和評分標準. (3%) 求 Ω ( y) da, 其中 Ω 是由 + y =, + y =, + y = 及 + y = 所圍成的平行 四邊形 Let + y = u, y = v that is = 3 (u + v), y = (u v)...( pt) 3 (pt) J = u u v = 3 v 3 3 =...( pt) 3 3 Note that the new
d y dy P x Q x y 0. dx dx d d P x Q x C C 1y1 y dx dx d d P x Q x C 1y 1 dx dx d d P x Q x C y 0. dx dx d x 1dx F. ox1 dt dt d x1 1dx1 x 0 1 F 1 dt dt d x 1dx x 0 F dt dt d y 1dy y F 0 1 F1 y x1 x. dt
DS Ω(1.1)t 1 t 2 Q = t2 t 1 { S k(x, y, z) u } n ds dt, (1.2) u us n n (t 1, t 2 )u(t 1, x, y, z) u(t 2, x, y, z) Ω ν(x, y, z)ρ(x, y, z)[u(t 2, x, y,
u = u(t, x 1, x 2,, x n ) u t = k u kn = 1 n = 3 n = 3 Cauchy ()Fourier Li-Yau Hanarck tcauchy F. JohnPartial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 1. 1.1 Du(t, x, y, z)d(x, y, z) t Fourier dtn
Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
u -, θ = 0, k gu = 2 ln E v, v -, θ = π 2, k gv = dθ 2 E. 2. r(u, v) = {a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u} k g = sin u dv, θ. E = a 2, F = 0, = a
202.. : r = r(u, v) u v, dv = 0, = 0, = ; E dv =. ( k gu = Γ 2 k gv = Γ 22 ( dv ) 3 E F E F 2 = Γ 2 2 E E, ) 3 E F 2 = Γ 22 E F 2., F = 0 E F k gu = Γ 2 2 E E = 2EF u EE v + F E u E F 2 2(E F 2 ) E E =
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995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
微積分作業解答 Chap 7 pplicaions of Ingaion 7.-7. 7. -. Find h aa of h shadd gion.. d. d -. Skch h gion nclosd h givn cuvs. Dcid whh o inga wih spc o o. Daw a pical appoimaing cangl and lal is high and widh.
WL100014ZW.PDF
A Z 1 238 H U 1 92 1 2 3 1 1 1 H H H 235 238 92 U 92 U 1.1 2 1 H 3 1 H 3 2 He 4 2 He 6 3 Hi 7 3 Hi 9 4 Be 10 5 B 2 1.113MeV H 1 4 2 He B/ A =7.075MeV 4 He 238 94 Pu U + +5.6MeV 234 92 2 235 U + 200MeV
證 明 : 令 φ(x f(x, ydy, 則 φ(x + x φ(x x f x (ξ, ydy f x (ξ, y f x (x, y dy f x (x, ydy f(x + x, y f(x, y d dy f x (x, ydy x f x (x, ydy, ξ ξ(y 介 於 x, x
微 分 與 積 分 的 交 換 積 分 設 f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 問 d dx f(x, y? f(x, ydy x 首 先 (1 式 兩 邊 必 須 有 意 義 f(x, ydy 必 須 對 x 可 導 若 f 及 x f(x, ydy 積 分 必 須 存 在 x f 在 [a, b] [, d] 上 連 續, 則 ( 及 (3 式 成 立, 下 面 的 定 理 告 訴
zyk00168ZW.PDF
() 0 4 5 (km).5 4 5.5 7 8.5 () 0 4 5 (km) 4 4.5 5 5.5 6 6.5 y5x. y0. 5x4 x y 9 5x y x y 9 5x y x x 6 x y. 55 y5x. y0. 5x4 x 0 x x y y y 5 x x x 4 y y y 5 () x y () y x x 4y 0 4x y x 0 0.4 y 0.5 0 5x y
(CIP) ().: ISBN O4-44 CIP (2004)
( ) (CIP) ().:. 2004.11 ISBN 7-04 - 015565-6... - -.O4-44 CIP (2004)092157 010-64054588 4 800-810 - 0598 100011 http:www.hep.edu.cn 010-58581000 http:www.hep.com.cn 8501168 1 32 1 8.625 220 000 12.00,.
ο HOH 104 31 O H 0.9568 A 1 1 109 28 1.01A ο Q C D t z = ρ z 1 1 z t D z z z t Qz = 1 2 z D z 2 2 Cl HCO SO CO 3 4 3 3 4 HCO SO 2 3 65 2 1 F0. 005H SiO0. 032M 0. 38 T4 9 ( K + Na) Ca 6 0 2 7 27 1-9
3978 30866 4 3 43 [] 3 30 4. [] . . 98 .3 ( ) 06 99 85 84 94 06 3 0 3 9 3 0 4 9 4 88 4 05 5 09 5 8 5 96 6 9 6 97 6 05 7 7 03 7 07 8 07 8 06 8 8 9 9 95 9 0 05 0 06 30 0 .5 80 90 3 90 00 7 00 0 3
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3s + cos lm cos l ( + ) ( + ) 3. 997 = 3s + cos 3 s lm = lm + lm cos 3 3 = + =. = ( 4).. + 3 =. = + = = = 3 3 < ( 4) e θ + y = e.. ρ =. = ρ cos θ y = ρs θ ρ = e θ dy d θ = cosθ sθ θ = = e y = e θ θ cos
13.2 向量值函數之極限與連續性 (3) r(t) = (4+sin 20t) cos t, (4+sin 20t) sin t, cos 20t 之圖形稱為環狀螺線 (toroidl spirl) (4) r(t) = (2 + cos 1.5t) cos t, (2 + cos 1.5t) s
第 13 章 向量值函數 (Vector-Vlued Functions) 目錄 13.1 向量值函數................................ 147 13.2 向量值函數之極限與連續性........................ 148 13.3 向量值函數的導函數............................ 148 13.4 向量值函數之積分.............................
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
: p Previous Next First Last Back Forward 1
7-2: : 7.2......... 1 7.2.1....... 1 7.2.2......... 13 7.2.3................ 18 7.2.4 0-1 p.. 19 7.2.5.... 21 Previous Next First Last Back Forward 1 7.2 :, (0-1 ). 7.2.1, X N(µ, σ 2 ), < µ 0;
Cauchy Duhamel Cauchy Cauchy Poisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel ) u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (
Cauchy Duhamel Cauchy CauchyPoisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel) 1.1.......... u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (t, x) 1 C 1 C 2 u(t, x) = C 1 u 1 (t, x) + C 2 u 2 (t,
Gauss div E = 1 ε 0 ρ(x, y, z), (1.3) E (x, y, z)ε 0 ρ(x, y, z) E = 0 (curl E = 0), (1.4) E = u(x, y, z), (1.5) u ( )(1.5) (1.3) u(x, y, z) = 1 ε 0 ρ(
Laplace Laplace() Poisson () Laplace Poisson Laplace Poisson ( ) GreenLaplace Green ( )Laplace Poisson Harnack Laplace Laplace 1. Laplace ( ) u n i=1 u x i = 0 (1.1) Poisson u n i=1 u x i = f(x 1,, x n
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8.1 f G(f) 3.1.5 G(f) f G(f) f = a 1 = a 2 b 1 = b 2 8.1.1 {a, b} a, b {a} = {a, a}{a} 8.1.2 = {{a}, {a, b}} a, b a b a, b {a}, {a, b}{a} {a, b} 8.1.3
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
<4D6963726F736F667420576F7264202D2032303135C4EAC8EBD1A74D4241C1AABFBCD7DBBACFB2CEBFBCB4F0B0B8BCB0CFEABDE22E646F6378>
05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
本講內容 3. 單變數函數積分之回顧 3. 二重積分的定義與性質 3.3 Fubini 定理 3. 變元代換 3.5 各種不同場合之應用
d T : { u,v u,v Φ Ω Φ c o 第 3 講 d R 二重積分 k, k k k A k c a b 銘傳大學網路教學 製作人應用統計與資訊學系 o 本講內容 3. 單變數函數積分之回顧 3. 二重積分的定義與性質 3.3 Fubini 定理 3. 變元代換 3.5 各種不同場合之應用 3. 單變數函數積分之回顧 3 [ ] d A i f i n i i n i A A A A
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1 1 2 3 4 2 2004 20044 2005 2006 5 2007 5 20085 20094 2010 4.. 20112116. 3 4 1 14 14 15 15 16 17 16 18 18 19 19 20 21 17 20 22 21 23 5 15 1 2 15 6 1.. 2 2 1 y = cc y = x y = x y =. x. n n 1 C = 0 C ( x
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B 1 1.1 V N 1 H = p 2 i 2m i 1. Z = β =(k B T ) 1. 1 h 3N N! exp( βh)d p 1 d p N d x 1 x N 2. F ( F = k B T log Z ) 3. ( ) F p = V T 1.2 H μ μh μh N H T 1. Z Z 1 N Z 1 Z 2. F S ( ) F S = T 3. U = F + TS
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F = k Q Q r F = k Q = k Q r r Q Q = Fr k = C 0 5 C 9 0 5 Q 0 3 n = = 9 = 65. 0 e 6. 0 4 3 A B 7 7 9 6 C D 7 7 F = k q 7q = k 7q r r q + 7q = 4q F = k 4q 4q = k 6q r r F = 6 F 7 7q q = 3q s c = t s c =
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:,,, Matlab R = 29.9003 2.4% 400 Z 200 0 400 400 200 200 X 0 0 Y /20 µ m z z = 0 z = 99 2/20 3/20 Q Q ( x, y ) R z Z 0 0 0 0 O ( x, y, z ) z = x = φ ( t) y = ϕ ( t) ( 2 2 n n ) Q ( ) Q z n = { ϕ ϕ 2 φ
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
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5 55-% 8-8 8-5% - 7 7 U- n n lim n n n n lim n n n n un n n k k n k u n k k k n k ` n k u n k k n n n lim n n.7. 8 f f e f f f e. f f e f f f f f f f [ e ] f e e www.tsinghuatutor.om 5 79 755 f f f f [
初 啼 八 集 2006 至 2007 年 度 出 地 版 : 伯 特 利 中 學 址 : 元 朗 錦 繡 花 園 F 段 第 四 街 11 號 電 話 :2471 2622 傳 真 :2471 5171 製 作 : 同 理 心 創 念 有 限 公 司 出 版 日 期 :2007 年 7 月 序 初 啼, 是 由 本 校 中 文 科 和 活 力 組 合 辦 的 文 集, 提 供 給 學 生 發 表
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二 多 重 選 擇 題 : 1. 下 列 何 種 情 形, 有 我 國 刑 法 之 適 用? (A) 菲 律 賓 人 甲 在 航 行 於 釣 魚 台 海 域 之 我 國 國 籍 的 漁 船 上 打 傷 印 尼 人 乙 (B) 台 灣 人 甲 與 大 陸 人 乙 在 日 本 通 姦 (C) 韓 國 人 甲 在 美 國 殺 死 台 灣 人 乙 (D) 越 南 人 甲 在 越 南 販 賣 海 洛 因 給
信号与系统 (Signal & system)
Signl & sysem xucb@cqup cqup.edu.cn 5-3- ...3.4.5 .......3 3 .. δ δ d δ 4 .. i K V CF u c i δ u c - 5 .. ϕ δ ϕ δ ϕ δ d ϕ ϕ δ ϕ δ ϕ δ d ϕ 6 .. e δ e δ δ δ δ 3δ δ π sin δ d 3 e δ d 3 δ d 5 4 7 .. 3 ϕ δ ϕ
M ( ) K F ( ) A M ( ) 1815 (probable error) F W ( ) J ( ) n! M ( ) T ( ) L ( ) T (171
1 [ ]H L E B ( ) statistics state G (150l--1576) G (1564 1642) 16 17 ( ) C B (1623 1662) P (1601--16S5) O W (1646 1716) (1654 1705) (1667--1748) (1687--H59) (1700 1782) J (1620 1674) W (1623 1687) E (1656
1. PDE u(x, y, ) PDE F (x, y,, u, u x, u y,, u xx, u xy, ) = 0 (1) F x, y,,uu (solution) u (1) u(x, y, )(1)x, y, Ω (1) x, y, u (1) u Ω x, y, Ωx, y, (P
2008.9-2008.12 Laplace Li-Yau s Harnack inequality Cauchy Cauchy-Kowalevski H. Lewy Open problems F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 2002 2008 1 1. PDE u(x, y, ) PDE F (x,
- 數學 B (Ⅳ) 精選剖析 分式型無窮數列的極限 求 lim? 原式 lim 5 求 lim? 5 原式 lim 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式 lim 求 lim 原式 lim 7 分式型無窮數列的極限 求 lim 原式? lim ( )( )( ) ( )( )( ) lim ( )
第三章微積分及其應用 微積分及其應用 - 主題一極限的概念 ( 由授課老師自行選授 ) 數列極限的概念. 無窮數列的極限值定義 () 無窮數列 { }, 當 趨近無限大時, 逼近唯一定值 α, 則稱數列 { } 收斂於 α () 稱 α 為數列 { } 之極限值, 記作 lim = α () 若數列無法收斂到唯一定值, 即數列的極限不存在, 稱該數列為發散. 極限的運算性質 設無窮數列 { } {
a b a = a ϕ λ ϕ λ ρ δ ρ δ ϕ λ M' J' x' = = m MJ x M' K' y' = = n MK y x' x = m 2-1 y' y = n 2 2 x + y = 1 2-2 2 2 x' y' 2 + 2 = 1 m n µ = ds ' ds 2 2 2 2 m + n = a + b 2-3 mnsinθ = ab 2-4 2 2 2 (
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公職技師工程數學 95-101 年歷屆試題詳解 電機高普特考技師專用書 喻超凡博士 喻超弘老師編著 喻超凡數位企業限公司 http:// www.superyu.idv.tw 目錄 I 95 年詳解 1 1. 95 年公務人員電力 電子 醫學工程三級高考..................... 3 2. 95 年地方政府電力 電子工程三等考試........................ 19
➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 : Stochastic Processes? (Ω, F, P), I t I, X t (Ω, F, P), X = {X t, t I}, X t (ω)
信 也 是 为 序 \x 弘 治 二 年 己 酉 秋 七 月 望 日 赐 进 士 出 身 中 顺 大 夫 直 隶 宁 国 府 知 府 天 台 范 吉 以 贞 书 \x < 目 录 > < 篇 名 > 朱 序 属 性 : 保 幼 大 全 即 小 儿 卫 生 总 微 论 方 之 别 名 也 以 其 制
< 篇 名 > 小 儿 卫 生 总 微 论 方 书 名 : 小 儿 卫 生 总 微 论 方 作 者 : 不 详 朝 代 : 宋 年 份 : 公 元 1158 年 < 目 录 > < 篇 名 > 萧 序 属 性 : 唐 孙 真 人 着 千 金 要 方 谓 生 民 之 道 莫 不 以 养 小 为 大 若 无 小 卒 不 成 大 故 孙 氏 方 先 小 儿 而 后 丈 夫 耆 老 实 崇 本 之 义 譬
ii
i ii iii iv Abstract This senior project is to use compute simulation to accomplish analysis and synthesis of Cam. The object of these focuses on three major partsthe first one is to establish the mathematical
W L Gates.Open Lecture The influences of the ocean on climate.scientific lecture at the 28th section of the ECWMO.WMO Bulletin. July1977168 169. WCP 1 WCRP2 WCAP 3 WCIP4 WCDP .. 1991 A Henderson-SellersP
數學教育學習領域
高 中 数 学 课 程 补 充 资 料 013/14 学 年 就 读 中 四 学 生 适 用 013 ( 空 白 页 ) 目 录 页 数 1. 概 论 1 1.1 背 景 1 1. 关 注 事 项 及 考 虑 因 素 1 1.3 短 期 方 案 摘 要 1 1.4 评 核 设 计 概 要. 修 订 后 的 高 中 数 学 课 程 学 习 内 容 3.1 修 订 后 的 必 修 部 分 学 习 内 容
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
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In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線 求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,
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v ( ) a = dv ln θ T ln θ S T ln θ θ 90 o θ = κ mb= R C ( θ) ( ) ln = ln T κ ln + const d κ d d log a = q = Tds ds = c d lnθ a = c Td ln θ = c teh. teh. 45 o ln T 45 o ( ) = ( ) + θ + = ( ) + κ κ κ δa =
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
x iy x y 2 2 + value I / 2 0 R X 2 2 + é t S = vdt 2 t l é x iy i x y x = 1, ( é ü 3 17320508 =. é é 2EvM ü
2.1 切線 但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例 例 求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式 定義 (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商
臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 2 章 微分 (Differentiation) 目錄 2.1 切線................................... 23 2.2 導函數.................................. 25 2.3 微分公式................................. 26 2.4 連鎖律..................................
a b 2 a 1 2a 3b 11. b 3. b - a = 0, a = 1, k ab 1. 5b 2a 3. b 1 6 1 16x 4 1 3 2 [8x 1] 4 1 3 3 8x 1 8x 1 4 1 4 2 3 1 2 3 [( x) + ][( x) 1 ] 1 2 [ 2x 1 4x 2x 1 2x 1 4 2x 1 4 2 6 3x, x x 6 x x 1 x 6 x x
ü ü ö ä r xy = = ( x x)( y y) ( x x) ( y y) = = x y x = x = y = y rxy x y = Lxy = x x y y = xy x y ( )( ) = = = = Lxx = x x = x x x ( ) = = = Lyy = y y = y y ( ) = = = r xy Lxy = ( ) L L xx yy 0
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00, + lim l[ ] =. ( + lim[ ] = lim[ ] ( + i e ( = ( + lim l[ ] = l e = ( 4 (, (, (, 0 d f d D= D + D, d f d + d f d =. 0 D = (, 0,, 4 D = (,, 4 D ( D =, 0,. 4 0 0 4 ( + ( = ( d f, d d f, d d f, d. - =
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要