Microsoft Word - 96_3_stat_講義.doc

Transcription

1 靜宜大學企管系 97 學年第 3 學期 統計學 講義 任課老師 : 陳欣得 9 年 6 月

2 第零章統計學概論 6 年 9 月 8 日最後修改. 統計學的定義. 敘述統計學與推論統計學.3 測量尺度.4 資料 資訊與因果關係. 統計學的定義 統計學 (Statistics) 蒐集 組織 呈現 分析與詮釋資料的科學, 其目的在協助作更好的決策 統計學作蒐集 組織 呈現 分析與詮釋等操作 統計學操作的對象是資料 (data) 統計學的目的是協助決策 範例. 統計學如何協助決策決策者需要有資訊才能最適當的決策 例如, 行銷人員需要知道推出的新產品受歡迎的程度, 政治人物需要知道選民支持率. 敘述統計學與推論統計學 統計學以操作資料的動作分成兩類 : 敘述統計學 (Descriptive Statistics) 推論統計學(Iferetial Statistics) 只作蒐集 組織 呈現資料之操作即可達到目的者為敘述統計學 ; 除以上三者外, 還需作分析 詮釋資料者為推論統計學 母體 (Populatio) 與樣本 (Sample) 5 陳欣得統計學 統計學概論第 - 頁

3 研究對象的全體稱為母體 ; 有特殊目的 使用特定方法挑選出來之母體的部分集合稱為樣本 母體資料經蒐集 組織 呈現後即可達到瞭解研究對象的目的, 此為敘述統計學 ; 樣本資料除蒐集 組織 呈現外, 還需作分析 詮釋才能瞭解研究對象, 此為推論統計學 範例. 母體與樣本我們有興趣的研究對象稱為母體 如果我們關心企管系同學的學業表現, 那麼企管系所有的同學是母體 ; 但是如果關心的是整個靜宜大學同學們的學業表現, 則企管系同學只是樣本 一般而言, 我們真正接觸 測量的對象是樣本 例如, 在超市前的訪談對象是樣本, 電話訪談的對象也是樣本 ; 前者的母體可能是所有的消費者, 後者的母體會是所有的投票公民.3 測量尺度 特徵 (Characters) 屬性(Attributes) 與變數 (Variables) 用以描述具體研究對象的工具 概念 (Cocept) 構念(Costruct) 構面(Dimesios) 與變數 (Variables) 用以描述抽象研究對象的工具 測量 (Measuremet): 對某特定對象, 賦予某變數一個內容 ( 數值 ) 範例.3 測量執行測量之前需確定三樣東西 :() 測量對象,() 測量特徵,(3) 測量工具 以體重計量張三的身高, 或以 IQ 量表測量李四的智商, 這兩句話中都包含上述的三樣東西 這三樣東西中, 測量工具的花樣最多 例如就測量體重而言, 除體重計外, 人腦的判斷也是成用的測量工具 不是常聽到, 這人看起來有六 七十公斤, 或這人是肥胖身材等等 四種測量尺度 (Levels of Measuremet) 5 陳欣得統計學 統計學概論第 - 頁

4 () 名目尺度 (Nomial Level) () 順序尺度 (Ordial Level) (3) 等距尺度 (Iterval Level) (4) 比例尺度 (Ratio Level) 資料 (data): 資料是測量的產物 資料一定與某變數相連結, 而一筆資料裡應該會有很多個數值 測量尺度是對資料的描述, 不是對變數的描述 測量尺度的意義 : 確定資料可以使用的哪些數學運算作整理 名目尺度資料 只可計數 ( 算出現幾次 ) 順序尺度資料 可以排序等距尺度資料 可以作加 減運算比例尺度資料 可以作比例 ( 倍數 ) 的運算 範例.4 與測量工具 測量尺度的不同是由測量工具的不同所產生 例如, 用體重計測量體重可得到 75.6 公斤的比例尺度資料, 用人腦判斷則只能有肥胖 中等 纖瘦等順序尺度資料 質性資料 (Qualitative Data): 名目尺度資料或順序尺度資料 ; 量化資料 (Quatitative Data): 等距尺度資料或比例尺度資料 ( 可以作加 減計算 ) 離散資料 (Discrete Data) 連續資料 (Cotiuous Data) 變數 測量尺度 個體 測量 資料 範例.5 質性資料與量化資料質性資料 量化資料的分類, 主要在於能否作數學的加 減運算 ; 量化資料可作加減運算, 數學工具比較可以幫得上忙, 因而從資料中可以獲得比較多的訊息 另外, 質性 量化是對資料的形容, 不是對變數的形容 例如下列資料中 5 陳欣得統計學 統計學概論第 -3 頁

5 ID 性別 身高 體重 血型 高挑 73 A 高挑 65 O 3 中等 5 O 4 矮小 53 B 5 高挑 5 A 6 中等 45 AB 7 矮小 58 O 身高是質性資料 ( 順序尺度 ), 但一般身高計量出來的 7 公分 68.5 公分等是量化資料 亦即, 說身高是質性或量化都是不適當的 最後, 質性資料比量化資料容易得到 還是以測量身高為例, 量化資料非有正式的身高計不可, 但質性資料只要人腦眼看判斷即可 互斥且周延 (mutually eclusive ad ehaustive) 測量儀器產生的測量解果必須有互斥且周延的特性 互斥 (Mutually Eclusive) 只有一種結果周延 (Ehaustive) 一定有結果 範例.6 互斥且周延互斥且周延的限制, 是希望測量出來會恰有一個結果 ( 不多不少就是一個結果 ) 就某特徵對企管系同學作測量, 其結果為 一 二 三 四 之一是合理的, 如果出現結果為 一 二 三 A B 之一就不合理了 前者的合理在於滿足互斥且周延的精神 事實上如嚴格考究, 若有延畢生則 一 二 三 四 就不周延了 解決之道很簡單, 加上一個 其他 項就可以了.4 資料 資訊與因果關係 資料 (data) 測量的結果 資訊 (iformatio) 資料分析 詮釋後的結果 有用的資料為資訊 資料有用與否一定涉及研究目的 5 陳欣得統計學 統計學概論第 -4 頁

6 研究目的會影響到變數 測量尺度 樣本的選擇 ( 以蒐集資料 ) 會影響到組織 呈現資料之方法的選擇 ( 以傳達某種資訊 ) 會影響到分析 詮釋資料的立場 角度 變數 測量尺度 目的 個體 測量 資料 分析 詮釋 資訊 統計關係 (statistical associatio) 與因果關係 (causatio) 範例.7 統計關係與因果關係統計可以告訴我們兩個現象之間有同步變化的關連 例如, 新書在架上的陳列數量與銷售量之間呈正向關係 陳列數量多者銷售量亦多, 潮水水位高低與路上交通擁塞成度也呈正向關係 我們知道後者沒有因果關係, 也就是說, 控制交通擁塞並不會影響潮水水位 前者是有因果關係, 但是哪一個是因呢? 陳列數量多造成銷售量高, 還是銷售量高引致陳列數量多? 5 陳欣得統計學 統計學概論第 -5 頁

7 第一章敘述統計學 7 年 月 3 日最後修改. 原始資料. 統計表.3 統計圖.4 統計量值.5 一些經驗法則. 原始資料 下表是測量 34 個體 (items) 之 7 個變數的原始資料 : 編號 性別 年齡 學歷 年資 職位 城市 月薪 男 台北 44, 男 3 3 台中 6,6 3 女 高雄 3, 4 女 3 高雄 6,4 5 女 3 台北, 6 女 高雄 9,6 7 男 高雄 34,8 8 男 37 4 台北 6, 9 男 台北 43, 男 台北 3, 男 台北 3,3 女 高雄 9,8 3 男 台北 43, 4 女 台北 43,6 5 男 台中 8,8 6 男 高雄 7, 7 男 台北 9,6 8 男 3 3 台中,5 9 女 台中 8,8 女 8 台中, 男 高雄 36,7 女 台北 3, 3 男 高雄 3,3 4 男 高雄 36,8 5 男 3 4 高雄 34, 6 男 高雄,8 7 男 台北 3, 8 男 3 3 台北 3, 9 女 3 3 台北 3,8 3 女 高雄 8, 3 女 3 3 高雄 4, 3 女 台中 35, 33 女 33 6 高雄, 34 女 3 4 台中 3, 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

8 原始資料 (source data) 每欄 ( 行 ) 表示一變數, 每列表示一個測量的個體 測量尺度在原始資料中並不一定看得出來 若只有一個變數, 原始資料會如下表 ( 質性資料 ) 台北 台中 高雄 高雄 台北 高雄 高雄 台北 台北 台北 台北 高雄 台北 台北 台中 高雄 台北 台中 台中 台中 高雄 台北 高雄 高雄 高雄 高雄 台北 台北 台北 高雄 高雄 台中 高雄 台中 或 ( 量化資料 ) 分組 (groupig) 原始資料的觀察個數 ( 列數 ) 一般會超過人類可以輕鬆處理的 5~9 項 分組是處理大量資料的典型作法 統計表 (charts) 與統計圖 (graphs) 統計表類似原始資料表, 只是給的是分組後的資料, 而且內容是組出現次數 統計圖是將統計表的訊息 ( 各組出現次數 ) 以圖形來表示 次數 城市 次數 台北 3 台中 7 高雄 4 合計 台北台中高雄 統計量 (statistic) 另一種處理大量資料的作法為用一個數值來表示 這個數值稱為統計量 ( 嚴格而言應為統計量值 ) 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

9 最常見的統計量為平均數 變異數 極大值 極小值等. 統計表 製作統計表有三個動作 : () 分組 ;() 計數 ;(3) 整理成統計表 其中最重要的是分組 分組分組的原則 : 互斥且周延 組數最好不要超過 9 組, 一般建議 5 至 7 組 組數的決定也與觀測值的個數有關, 觀測個數少則不適合分太多組 質性資料有自然的分組, 但仍須注意是否需合併以免過多組數 量化資料需人工分組 量化資料分組程序 : () 決定全距 (rage), R R ma mi ( 全距 極大值 極小值 ) () 決定組數 (3) 決定組距 (class width), w R w 全距 組距 組數 (4) 寫出組限 (class limits), i u i i mi i mi + i w u + i w (, u, i> ) mi i+ i (5) 寫出分組準則 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -3 頁

10 第一組 : u mi i i 第 i 組 : < u i 各組組距不一定要相等 順序尺度以上資料之分組應依次序 ( 由大而小 或由小而大 ) 排列 範例. 定組限 就以下 個測量值的資料 : 極小值與極大值分別為 mi ma 85, 全距為 R 我們決定分成 8 組, 組距應為 R 74 w 為了符合一般習慣, 將組距 第一組的下限作以下調整 : w, mi 則各組上下限依次為 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -4 頁

11 u, u 3, u 9, 3 8 各組條件寫出如下表 < 3 8 < 9 如果取得的是離散資料 ( 整數數值 ), 則第一組以後可以寫成, 3, 8 9 統計表分類 : () 次數分配表 (frequecy tables) () 相對次數分配表 (relative frequecy tables) (3) 累計次數分配表 (cumulative frequecy tables) 累計相對次數分配表 (4) 列聯表 (cotigecy tables 交叉表) 次數分配表 城市 次數 台北 3 台中 7 高雄 4 合計 34 相對次數分配表 累計次數分配表 城市 次數 相對次數 台北 3 3/34 台中 7 7/34 高雄 4 4/34 合計 34 年資 次數 相對次數 累計次數 ( 以下 ) 累計次數 ( 以上 ) ~ 6 6/ ~5 3 3/ ~9 / 以上 4 4/ 只有順序尺度以上資料才可以有累計次數分配表 ( 為什麼?) 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -5 頁

12 相對次數分配表有助於不同資料間的比較 相對次數分配表是推論統計的基礎, 需多注意 列聯表 列聯表 (cotigecy table, 交叉表 ): 將兩個變數的次數分配列於同一個統計表 列聯表中的邊際次數 (margial frequecy) 即個別變數的次數分配 年資 \ 城市 台北 台中 高雄 邊際次數 ~ 6 3~ ~9 3 6 以上 3 4 邊際次數 統計圖 以原始資料為基礎的統計圖 : () 莖葉圖 分組整理資料並呈現 () 點圖 分組整理資料並呈現 (3) 散佈圖 呈現兩變數的變化關係以統計表為基礎的統計圖 : () 長條圖 直方圖 比較分組間的次數大小 () 圓餅圖 比較分組次數占整體的比例 (3) 折線圖 肩形圖 比較組間次數的變化趨勢 長條圖 直方圖 長條圖 (bar chart): 用於質性資料 直方圖 (histogram): 用於量化資料 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -6 頁

13 城市別長條圖 8 4 台北台中高雄 年資直方圖 8 4 ~ 3~5 6~9 以上 圓餅圖 圓餅圖 (pie chart): 用於相對次數分配表 年資 以上 ~ 6~9 3~5 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -7 頁

14 折線圖 肩形圖折線圖 : 用於順序尺度以上之資料肩形圖 (ogive): 用於累計次數表 ( 累計相對次數表 ) 年資折線圖 8 4 ~ 3~5 6~9 以上 34 年資肩形圖 ~ 3~5 6~9 以上 莖葉圖 莖葉圖 (stem-ad-leaf display): 保留原始資料 範例. 莖葉圖 例 資料前 5 筆畫入莖葉圖如下 : 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -8 頁

15 其中第一行稱為莖, 其餘為葉 圖中表示五十幾的有 3 筆, 分別是 前 3 筆填入的結果如下 : 莖葉圖只適用於小量資料, 筆太多了 點圖點圖 (dot plot): 適用於觀測數量大的資料 散佈圖 散佈圖 (scatter diagram): 瞭解兩量化資料為正相關或負相關 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -9 頁

16 年齡 年資散佈圖 年資 年齡.4 統計量值 順序尺度資料的統計量值 : () 中位數 (media, M e ) 至少有 5% 的數值小於等於 M, 且最少有 5% 的數值小於 M () 眾數 (mode, M o ) e e 出現次數最多的數值, 可能有一個以上的眾數 (3) 四分位數 (quartiles, Q Q Q 3 ) 至少有 5% 的數值小於等於 Q, 且最少有 5% 的數值小於 Q Q 稱為第一四分位數, Q 3 稱為第三四分位數 Q M e (4) 百分位數 (percetiles, P P P 9 P 99 ) (5) 極值 至少有 % 的數值小於等於 P5 Q P 5 Q M e P 75 Q 3 P, 且最少有 % 的數值小於 P 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

17 量化資料的統計值 : () 位置測量值 : 平均數 (mea, μ ) N Σi μ N N Σi 樣本平均數 : () 離散測量值 : 標準差 (stadard deviatio,σ ) 變異數(variace, σ ) μ N μ Σ i Σ i σ N N Σ i Σ i 樣本變異數 : s (3) 變異係數 (coefficiet of variace,cv) CV σ % 或 CV s % μ (4) 偏態 (skewess, α 3 ) Σ α ( μ ) 3 i 3 3 σ N α 3 < 的情況稱為左偏 (egatively skewed); α 3 > 的情況稱為右偏 (positively skewed) 偏態係數 (coefficiet of skewess) S k ( μ M ) 3 e σ S < 稱為左偏 S > 為右偏 k k (5) 峰態 (kurtosis, α 4 ) Σ α ( μ ) 4 i 4 4 σ N α < 稱為低闊峰 (platy-kurtosis) α 4 > 3 稱為高狹峰 (lepto-kurtosis) 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

18 兩變數間相關性的統計量值 : () 共變數 (covariace, σ y ) Σ i μ yi μy Σy i i N μ μ y σ y N N Σ( i )( yi y) Σy i i y Σiyi ( ΣiΣyi) 樣本共變數 : sy () 相關係數 (correlatio coefficiets, ρ ) ( i μ)( i μy) σ Σ y y Σy i i N μ μy ρ σσ Σ Σ Σ μ Σ μ ( μ ) ( y μ ) N y N y i i y i i y 樣本相關係數 : sy Σy i i y Σy i i ( ΣiΣyi) r ss Σ Σy y Σ Σ Σy Σy y i i i i i i ρ, ρ 時稱完全負相關 ρ 時稱完全正相關 第 百分位數 ( P ) 的求解步驟 () 求所在位置的名次 ( 令總觀察值數目為 N) i N % +.5 () 找第 i 名的數值即為 P (a) 未分組資料 (a) 需要報告觀察值 P roud () i (a) 不需要報告觀察值 I + I+ P 或 P i i 為整數 其中,I 為 i 之整數部分 (b) 分組資料 i.5 Nk % N Nk P + w + w k k k k k k 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

19 其中, k k N w 為所在組的下限 該組個數 該組前累計個數 組寬 k k 第 百分位數 ( P ) 的求解步驟 ( 課本的作法 ) () 求所在位置的名次 ( 令總觀察值數目為 N) i N % () 找第 i 名的數值即為 P (a) 未分組資料 (a) 若 i 為整數 + i i+ P (a) 若 i 不是整數 P I + 其中,I 為 i 之整數部分 (b) 分組資料 i Nk % N Nk P + w + w k k k k k k 其中, k k N w 為所在組的下限 該組個數 該組前累計個數 組寬 k k 第 百分位數 ( P ) 的求解步驟 (Ecel 內建函數的作法 ) () 求所在位置的名次 ( 令總觀察值數目為 N) i N % + () 找第 i 名的數值即為 P (a) 未分組資料 (a) 若 i 為整數 P i (a) 若 i 不是整數 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -3 頁

20 P + R I I+ I 其中,I 為 i 之整數部分,R 為 i 之小數部分 (b) 分組資料 (Ecel 未提供此部分解答 ) 範例.3 未分組資料之 P 就下列資料 : 求 P : 求 Q Q 3 : N 3, i , 則 ( 需給觀察值 ) P ( 3.5) 4 9 roud ( 不需觀察值 ) P 7.5 N 3, i i i , 則 Q 8 38 Me Q Q IQR Q3 Q IQR 稱為四分位數距 ( 課本作法 ) N 3, i i i , 則 Q 8 38 Me Q 5 Q IQR Q3 Q (Ecel 作法 ) N 3, i i i , 則 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -4 頁

21 8 9 8 Q M Q e Q IQR Q3 Q 範例.4 分組資料之 P 就下列資料 : 求 P : 求 Q Q 3 : 組別 次數 X<3 4 3 X<4 6 4 X<5 5 X<6 4 6 X<7 7 7 X 8 7 總和 5 N 5, i , 則 k, 3, 6, N 4, w i.5 Nk P k + wk k N 5, i i i , 則 i.5 N3 3.5 Q w i.5 N Me Q w i3.5 N Q w IQR Q3 Q 盒鬚圖 (bo chart): 將 mi Q Q Q 3 ma 化在同一圖上 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -5 頁

22 mi Q Q Q3 ma 範例.5 盒鬚圖 就下列資料 : mi ma Q 8 38 Me Q Q 其盒鬚圖如下 : 由盒鬚圖得知這些數值整體而言呈對稱分配, 但有一點左偏 動差 (momets) () 零動差 (zero momets) Σ 級零動差 N i () 主動差 (priciple momets) 級主動差 M ( μ ) ( μ ) Σ Σ i M N ( μ ) i i i Σ Σ Σ N N N i N M 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -6 頁

23 M σ 3 M α σ M α σ 4 4 範例.6 未分組資料之變異數 就下列資料 : 計算工作表如下 ² , ,46 ( Σ ) Σ Σ 58 Σ 母體變異數 σ X Σ 58 Σ 樣本變異數 s X 範例.7 分組資料之變異數 就下列資料 : 組別 次數 X<3 4 3 X<4 6 4 X<5 5 X<6 4 6 X<7 7 7 X 8 7 總和 5 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -7 頁

24 計算工作表如下 組別代表數次數累計次數 X X X< ,5 3 X< ,35 4 X< ,3 5 X< ,35 6 X< ,575 7 X ,375 總和 5,6 45,45 6 μ Σ 5 N 5 Σ Σ N 45,45,6 5 σ 5 N 5 σ CV 4.3 σ % μ 5 範例.8 分組資料之相關係數 就下列資料 : 計算工作表如下 y y ² y² y 47 44, , ,65, , ,56 8, 3, , ,489, ,96, ,46 3,778,49 s Σ X ΣY X X Y Y ΣXY ( ) Σ Σ 3, 陳欣得統計學 敘述統計學第 -8 頁

25 s s y y ( y) Σ Σy 3, Σ Σ y Σy, sy 4.5 r.94 ss y 平均數 中位數 眾數的關係 皮爾森公式 : () 中位數一定介於平均數與眾數之間 () 眾數 中位數 平均數 中位數 左偏 μ M e M o 右偏 M o M e μ 範例.9 皮爾森公式 解 已知 μ M e 6, 求 M o 由 M e < μ 知此資料為右偏, 且 M < M 6, 因 M M μ M 6 8, o e e o e 故 M M o e 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -9 頁

26 .5 一些經驗法則 z 分數 (z-score) z μ σ i i i 或 zi s 範例. z 分數 求以下數值的 z 分數 : 解 計算平均數與標準差, 工作表如下 : 其中 ² z-score Σ Σ 37, 3, 5 故 Σ 37 Σ Σ s 5 5 s z.46 s z.5 s , 9.3, Z 分數小於零表示該觀測值小於平均數 ;z 分數之絕對值越大, 表示該觀測值離平均 數越遠 z.8 表示該觀測值大於平均數有.8 個標準差 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

27 柴比雪夫定理 (Chebyshev s theory) 一組觀察值中, 至少有 k 比例的觀察值, 落在距離平均數 k 個標準差之內 ( k ) 以機率符號表示則為 k ( μ kσ) P 範例. 柴比雪夫定理已知企管系 名學生, 統計學的平均分數為 6 分, 變異數為 6; (a) 請估計至少有多少人分數落在 55 分到 65 分之間 ; (b) 請找出至少有 89 個學生在內的區間 ; (c) 請估計至少有多少人分數落在 55 分到 75 分之間 解 (a) k P( 55 X 65) 至少有 36 位同學 5 (b) (c) 89 機率 k 3.5 k 範圍為 { 6 k 6 X 6 + k 6} { 48 X 7} k, k P( 55 X 75) 經驗法則 (the empirical rule) 若資料呈鐘形 ( 單峰 對稱 ) 分佈, 則 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

28 () 約 68% 的觀察值落在離平均數 個標準差內 ; () 約 95% 的觀察值落在離平均數 個標準差內 ; (3) 約 99.7% 的觀察值落在離平均數 3 個標準差內 ; (4) 約. k 的觀察值落在離平均 k( k 4 ) 個標準差內 範例. 經驗法則已知企管系 名學生, 統計學的分數呈常態的鐘形分配, 其平均分數為 6 分, 變異數為 6; (a) 請估計至少有多少人分數落在 56 分到 64 分之間 (b) 請找出至少有 95 個學生在內的區間 解 μ 6, σ 6 4 (a) z P( 56 X 64) 68% 6 6 至少有 68% 68 位同學 (b) 95 機率 95% z { 6 z 6 X 6 + z 6} { 5 X 68} 範圍為 離群值 (outlier) 離平均數太遠, 以致於被認為不屬於該群資料的數值 離群值的判斷 ()z 分數法 () 盒鬚圖法 若 z i > 3, 則 i 可視為離群值 若 Q i >.5 IQR 或 i Q3 >.5 IQR, 則 i 認定為懷疑離群值 ; 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 - 頁

29 若 Q i > 3 IQR 或 i Q3 > 3 IQR, 則 i 認定為確定離群值 外圍 內圍 範例.3 離群值 就下列資料 : 請判斷是否有離群資料 解 平均數 97. 樣本標準差. ma mi 74 計算結果 : 97., s., ma, mi 74 下界限值 , 上界限值 沒有任何離群值 範例.4 離群值 解 就下列資料 : (a) 請分別計算懷疑之離群值的上 下界限值 ( 內圍值 ); (b) 請分別計算確定之離群值的上 下界限值 ( 外圍值 ); (c) 請問本組資料有沒有確定之離群值 或懷疑之離群值 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -3 頁

30 Q 5. mea 3. Q 6.5 media 6.5 Q3 34. mode 6 IQR 9. MAX 65. MIN. (a) 懷疑離群值之上 下限分別離 Q Q.5 個 IQR : Q +.5 IQR Q.5 IQR (b) 確定離群值之上 下限分別離 Q Q 3 個 IQR : Q +3 IQR Q 3 IQR (c) 本組資料有確定離群值 65 6 陳欣得統計學 敘述統計學第 -4 頁

31 第二章機率概論 6 年 月 7 日最後修改. 相對次數與機率. 樣本空間 事件與隨機變數.3 抽樣與樣本空間.4 事件的性質與計數法則.5 貝氏定理. 相對次數與機率 相對次數大的組別出現的機會比較大, 我們以相對次數作為該組別出現的機率 城市 次數 相對次數 台北 3 3/34 台中 7 7/34 高雄 4 4/34 合計 34 機率 (probability) 客觀相對次數, 機率大表示該類別組成份子之數目比較多, 因此比較容易出現 可能性 (possibility) 主觀相退次數, 可能性大表示決策者選擇該組的傾向比較大 範例. 機率與可能性 陳老師在拍賣網站購買某特定商品的可能性是 3%, 根據以往經驗, 陳老師在網路上購物被騙的機率是 %; 所有進入某特定商品拍賣網頁的瀏覽者中, 出價的機率是 5% 機率的分類 古典機率 (classical probability) 已知母體次數分配表, 相對次數即該類別 ( 事件 ) 出現的機率 6 陳欣得統計學 機率概論第 - 頁

32 經驗機率 (empirical probability) 只知樣本次數分配表, 相對次數即該類別 ( 事件 ) 出現的機率 客觀機率 (objective probability) 有真正次數分配表為依據的機率, 如古典機率 經驗機率等 主觀機率 (subjective probability) 沒有完整次數分配表為依據, 主要由人類心智判斷 產生的機率 範例. 機率與可能性 牛蛇對戰中, 沒有牛勝的古典機率, 因為未來的對戰情況尚未發生 ; 參考本球季的紀錄, 牛勝的機率為 6 ( 經驗機率 ); 基於牛奪冠, 興隆超市會全館打折, 陳老師希望牛勝的機率是 9%( 主觀機率 ); 考慮兩對的紀錄與狀況, 陳老師認為牛勝的機率是 7%( 什麼機率?) 量化資料的機率質性資料不能作加法運算, 在數學無法介入的情況下, 能作的事並不多 量化資料的相對次數 ( 機率 ) 分配表如果可以用數學公式呈現, 則大有作為 可以寫成量化資料相對次數 ( 機率 ) 分配表的變數稱為隨機變數 (radom variables) 請瞭解, 統計表 ( 相對次數分配表 ) 中的一個分組, 即是隨機變數之每一個對應值 範例.3 機率分配與隨機變數 以下是量化資料的相對次數分配表, 其中相對次數已經直接寫成機率 P( ) : P() /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 上表可以寫成函數形式 P 4 4 3,,,,4!4!!4! ( ) ( ) 6 陳欣得統計學 機率概論第 - 頁

33 為一個有 5 個可能數值 (5 組 ) 的隨機變數. 樣本空間 事件與隨機變數 在機率的應用裡, 我們有興趣的分組不見得與樣本特徵相關的自然分組相同 範例.4 樣本特徵與分組 一個骰子有六個面, 若以,,,6代表出現那面的點數, 則擲一個骰子的機率分配表如 下 : p() /6 /6 3 /6 4 /6 5 /6 6 /6 然而, 擲骰子遊戲每次不止擲一個骰子 最常見的是擲四個骰子, 扣除兩個相同點數的骰子, 以其他兩個骰子的點數和之個位數為其結果 例如, 擲出 (,3,,4 ) 其結果為 7, 而擲出 ( 3,3,5,6 ) 的結果為 若四個骰子的點數都不相同, 則需重擲 為了可以簡單分析, 假 設我們只擲兩個骰子, 令 y 為其結果, 則 y 的分配表如下 : y p(y) 3/36 /36 /36 3 /36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 為了增加遊戲的趣味性, 我們會擲不同個數的骰子, 也會有不同結果的規則 ; 但是不變的 是擲一個骰子的點數分配一定如, 而其他的變化一定以 為基礎計算而來 樣本空間 (sample space, Ω ) 6 陳欣得統計學 機率概論第 -3 頁

34 樣本空間是我們有興趣之個體所成的集合, 即相對次數分配表中的母體 樣本空間是一個集合 (set) 樣本空間的每一元素 ( 個體 ) 是我們作測量的單位 隨機變數 (radom variables,rv) 隨機變數為建立於樣本空間的實數值函數 隨機變數是一個函數 ( 不是一個變數!) 隨機變數的定義域是樣本空間, 值域是實數 隨機變數的定義讓相對次數分配表的分組一定是量化資料 實驗 (eperimet) 實驗為對樣本空間之元素作挑選 出象 (outcome) 實驗的結果稱為出象, 也就是對實驗挑選的元素作測量的結果 事件 (evets) 事件為樣本空間的部分集合 對母體而言, 事件是有某種共同特徵的個體所組成的集合 我們以其共同特徵來指稱某事件 對相對次數分配表 ( 機率分配表 ) 而言, 事件是一個分組 在敘述統計學中, 事件大多以隨機變數的某個範圍來描述 事件空間 (evet space, E ) 所有事件所成的集合稱為事件空間 機率 (probability) 建立於事件空間, 值域為 [, ] 區間的函數 機率公理 機率是事件的特徵 函數 f ( i ) 要成為一機率函數, 需滿足下列三條件 : () f ( ), f ( Ω ) ; () f ( A), A E; (3) A B f ( A) f ( B) 機率空間 (probability space) 樣本空間 事件空間與機率函數, ( f(), i E, Ω) 注意隨機變數在機率空間中的角色, 之組合 6 陳欣得統計學 機率概論第 -4 頁

35 範例.5 機率空間 在擲兩個骰子的範例中, 所有可能結果的集合為 {(, ),,6,,,6 } {(,,,, ),,6,,,,,6,3,,,4,,,5,,,6,,,6,6 } Ω 事件空間為 其中 { y,,,9} E E y y 9 { E, E,, E } 9 {(, ) 或 } {( 4,6 ),( 5,5 ),( 6,4) } {( 5,6 ),( 6,5) } E + y + + y E E E 機率函數為 {( 4,5 ),( 5,4) } P( E ) P y P( E ) P y ( 9) P( E ) P y 離散隨機變數 (discrete radom variables) 以整數或整數之部分集合為值域的隨機變數 連續隨機變數 (cotiuous radom variables) 以實數或實數之部分集合為值域的隨機變數 注意 將相對次數分配表對照 比喻為機率空間有兩個差異點 : () 前者單一個體間的機率完全相等, 後者則沒有這種限制 ; () 前者可以是質性資料, 後者則必然是量化資料 6 陳欣得統計學 機率概論第 -5 頁

36 .3 抽樣與樣本空間 樣本空間的元素可以代表單一個體, 也可以代表一組個體 後者在統計上的應用比較重要 抽樣 (samplig) 抽樣為從母體中選出一組個體 ( 母體的部分集合 ) 樣本 (sample) 樣本為抽樣所選出來的那組個體 樣本是母體的部分集合 ; 大多情況, 一個樣本 中有多於一個的個體; 因此, 稱為 一組樣本 比較恰當 有時 ( 比較不嚴謹 ), 樣本會指一組樣本中的一個元素 樣本空間 (sample space) 所有樣本所成的集合 範例.6 樣本空間 假設母體為四個元素所成的集合 P { abcd,,, } 而且每一組樣本為母體中之 個相異元素所組成, 則樣本空間為 Ω {( ab, ),( ac, ),( ad, ),( bc, ),( bd, ),( cd, )} 又令隨機變數 X 的定義為 X a, b 3, X a, c 4, X a, d 5, X b, c 5, X b, d 6, X c, d 7 則事件 { X 5} 的機率為 { } ( Ω) a, d, b, c P( X 5 ) P( {( a, d),( b, c) }) 6 範例.7 樣本空間 一班 5 位同學, 如果每一元素代表一個同學, 則樣本空間有 5 個元素 ; 6 陳欣得統計學 機率概論第 -6 頁

37 如果每一元素代表 位一組同學, 則樣本空間有 5 49, 5個元素 ; 如果每一元素代表 3 位一組同學, 則樣本空間有 ,6 個元素 3 排列與組合排列與組合是兩種用以計算樣本空間之元素個數的技術 因為有不同的抽樣方法, 故有各種不同的計算花樣 ( 階乘 ) 定義! (! ),,!! 4! ! ! 排列 (permutatio) 從 個不同的物件中取 m 個排成一列 ( 次序有關係 ), 則有 P 種排法 組合 (combiatio) Pm m+ m個! ( m) 從 個不同的物件中取出 m 個成一組 ( 次序沒有關係 ), 則有 C 種組法 重複排列 C C m P m+ m! m! m! m! m! m C m m m C m m m + m C C C C! ( ) m m 從 個不同的物件選取 m 次 ( 選後放回, 次序有關 ), 則有 重複組合 m m個 種選法 從 個不同的物件選取 m 次 ( 選後放回, 次序無關 ), 則有 H 種選法 6 陳欣得統計學 機率概論第 -7 頁 m

38 H m 二項式定理與多項式定理 ( m ) (! ) m! + m +! C m! + y+ z y z pqr!!! m m m m + y C y p q r p+ q+ r pqr,,,, 範例.8 樣本空間元素個數 梭哈遊戲為從一副撲克牌 (5 張 ) 中取 5 張為一手牌, 然後以手牌中花樣出現的機率大小來決定勝負 梭哈遊戲手牌的所有可能組合個數為 5 5! C 5,598,96 5! 47! 大樂透從 49 個號碼中選 6 個, 因此頭彩是以下所有組合之一 49 C 6 3,983,86 樂透彩從 38 個號碼中選 6 個, 一定要中頭彩的話, 只要買 38 C 6,76,68 張彩券就可以了 四星彩正彩由四個阿拉伯數字組成 ( 可重複 次序有關 ), 一共有 4 種組合 加法律與乘法律若抽樣需分幾個階段進行, 計算樣本空間元素個數會稍複雜 同一階段中, 不同狀況的次數應加總計算, 是為加法律 ; 不同階段間, 應將各階段的次數相乘以得樣本空間元素個數, 是為乘法律 範例.9 加法律與乘法律 假設從甲地到乙地的交通工具有 3 種火車,4 種公車, 6 陳欣得統計學 機率概論第 -8 頁

39 () 則從甲地到乙地一共有 種方式 ( 加法律 ); () 來回一共有 ( 3+ 4) ( 3+ 4) 49種方式 ( 階段內加法律 階段間乘法律 ); (3) 若甲地到乙地需先搭火車 然後再搭公車, 則一共有 3 4 種方式 ( 乘法律 ) 範例. 加法律與乘法律 排列公式的邏輯 : 分 m 個階段選出物件, 第 階段有 個可以挑, 第 階段有 個可 以挑選, 直到第 m 階段剩下 m+ 個可以挑, 因此共有 m P m+ 種挑選法 ( 乘法律 ) 範例. 加法律與乘法律 五張同花的梭哈牌有幾種? 分兩個階段決定五張同花牌 : 第一階段決定花色, 第二階段決定數字 前者有 4 種花色, 後者為 3 個數字中選 5 個, 因此 五張同花的手牌數目 4 C 4,87 5, 富豪 (full-house, 三張同數字配上另兩張同數字 ) 的梭哈牌有幾種? 分兩個大階段進行 : 先挑出三張同數字, 再挑出另兩張同數字 每個大階段又分成兩個小 階段 : 先決定三條 ( 一對 ) 的數字, 再由該數字的 4 張牌中挑出 3 張 ( 或 張 ) 因此 富豪的手牌數目 C C3 C C ,744 順子的梭哈牌有幾種? 分兩個階段進行 : 先決定順子的最小數字 (A 到 共 個 ), 然後決定各個數字的花色 ( 每個數字都可以有 4 種花色 ) 因此 5 順子的手牌數目 4,4 6 陳欣得統計學 機率概論第 -9 頁

40 .4 事件的性質與計數法則 事件 A 的機率 ( 相對次數 ): P A ( Ω) A 其中, Ω 為樣本空間, A Ω, A ( Ω ) 為樣本空間元素個數, 為集合 ( 事件 ) A之元素個數 範例. 事件的機率 分別求梭哈牌中取得富豪 同花 順子的機率? 令 A A A 3 分別為取得富豪 同花 順子的事件 由之前範例的討論, 得知 P A ( ) ( Ω) A ( ) ( Ω) ( ) ( Ω) 3,744,598,96 A 5,48 P( A ),598,96 A, 4 P( A ),598,96 交集事件的機率 聯合機率 (joit probability) P A B 為 A B 兩事件交集的機率, 也稱為聯合機率 互斥 (eclusive) 兩事件 A B, 若 A B, 則稱為此兩事件互斥 互斥事件的聯合機率為零 A與 B互斥 A B ( B) P A 6 陳欣得統計學 機率概論第 - 頁

41 範例.3 聯合機率與列聯表 就下列列聯表 : 年資 \ 城市 台北 台中 高雄 邊際次數 ~ 6 3~ ~9 3 6 以上 3 4 邊際次數 令 A A A 3 分別表示住台北 台中 高雄的事件, B B B 3 B 4 分別表示四種不 同年資的事件 則 ( 住台中且住高雄 ) P A A P P 3 6 P( A3 B3) P( 住高雄且年資 6到 9年 ) 34 因分組有互斥且周延的要求, 故 A A A 3 相互間互斥, B B B 3 B 4 亦同 條件機率 條件機率 (coditioal probability) P ( AB ) 為事件 B 發生的條件下, 事件 A 的機率, 其定義如下 P A B ( ) ( B) ( ) P( B) A B P A B 若條件事件為樣本空間 Ω, 則條件機率即為其絕對機率 ( Ω) ( Ω) ( Ω) A A P ( A Ω ) P A 注意 : P ( AB ) 是有關事件 A 的機率 ; P ( BA ) 是有關事件 B 的機率 獨立 (idepedet) 若 P ( AB) P( A), 則稱 A B 兩事件獨立 P( B) A與 B獨立 P A B P A P B A P A B P A P B 6 陳欣得統計學 機率概論第 - 頁

42 邊際機率 (margi probability) 若 B B,,, B 互斥且周延, 則 ( Ω ) P B P A B P B P A B P B P A B P A P A 為 A 之邊際機率 範例.4 條件機率 邊際機率與列聯表 就下列列聯表 : 年資 \ 城市 台北 台中 高雄 邊際次數 ~ 6 3~ ~9 3 6 以上 3 4 邊際次數 令 B B B 3 分別表示住台北 台中 高雄的事件, A A A 3 A 4 分別表示四種不 同年資的事件 則 ( 3 3) P A B ( 3 3) P B A ( 3 B3) ( B3 ) ( 3 A3) ( A ) A 6 ( 只看 B 3 高雄那一行 ) 4 B 6 ( 只看 A 3 6 9歲那一列 ) 3 4 P( B 3 ) 34 ( 只看最後一行的邊際次數 ) P( A 3 ) 34 ( 只看最後一列的邊際次數 ) 聯集事件的機率 因 故 ( A B) ( A) + ( B) ( A B) P ( A B) P( A) + P( B) P( A B) 6 陳欣得統計學 機率概論第 - 頁

43 補集與機率 A B A B A B A B P( A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A B P A B P A B P A B P A B P A B 機率加法法則 若 A 與 B 互斥, 則 P( A B), 因此 P ( A B) P( A) + P( B) 機率乘法法則 若 A 與 B 獨立, 則 P( AB) P( A) P( BA) P( B), 因此 P ( A B) P( A) P( B) 範例.5 事件的機率 就下列資料 : 直接計算可得 : A 9, B 3, C 4, Ω 39 以下為事件機率的計算 : ( Ω) A P( A) P( AΩ ) 9 39 ( A B) 7 ( B) 3 ( A B C) ( C) ( B C) P A B P A B 陳欣得統計學 機率概論第 -3 頁

44 ( ) ( ) ( ) A C B C A C 5 P( A C B C) B C B C 3.5 貝氏定理 分割 (partitio): A, A,, A 互斥且周延, 則稱 A, A,, A 為 Ω 的一組分割 ; 若 A, A,, A 分割 Ω 也稱 次數分配表 列聯表中的分組必須是母體 ( 或樣本空間 ) 的一組分割 總機率法則 B, B,, B 為 Ω 的一組分割, 則 若 ( ) + ( ) + + ( ) P A P B A P B A P B A P B P AB + P B P AB + + P B P AB 貝氏定理 (Bayes Rule) B, B,, B 若 為 Ω 的一組分割, 且 P( A) ( j ) P B A ( ), 則 P Bj A P Bj P A Bj P A P B P AB P B P AB P B P AB 注意 : 貝氏定理等號左邊是 A 條件下 B 的機率, 右邊則是 A 的條件機率與 B 的機率 事前機率 (prior probability) 與事後機率 (posterior probability): 貝氏定理中等號右邊的 ( j ) j P AB 稱為事前機率, 左邊的 ( j ) P B A 則稱為事後機率 貝氏定理一定涉及兩種分割, 一個為已知的條件機率 ( 事前機率, A, A,, A 之條件機率 ), 另一個為需要求解的事後機率 ( B, B,, B 之條件機率 ) 後者之分割的絕對機率則為已知 ( B, B,, B 之機率 ) j 範例.6 貝氏定理 某公司某產品由三個工廠生產, 產量分別為 % 3% 5%; 三工廠的該產品的不良率 分別為 % 3% % 若發現不良品, 計算該不良品由第一個工廠生產的機率 6 陳欣得統計學 機率概論第 -4 頁

45 解 兩種分割, 事前機率分組 : 工廠一 工廠二 工廠三 事後機率分組 : 正常品 不良品 已知 P B., P B.3, P B.5 3 ( ) ( ) ( 3) P A B., P A B.3, P A B. 整理成以下工作表 事前機率 P( 行 j 列 i) P( 列 i) 正常品 不良品 邊際機率 工廠一 98.%.% % 工廠二 97.% 3.% 3% 工廠三 99.%.% 5% 作以下兩工作表的計算 聯合機率 P( 列 i 行 j) 正常品 不良品 工廠一.96.4 工廠二.9.9 工廠三 邊際機率.98.8 其中, 98% %.96 97% 3%.9 事後機率 P( 列 i 行 j) P( 行 j) 正常品 不良品 工廠一.996. 工廠二 工廠三 邊際機率.98.8 其中, 不良品由第一個工廠生產的機率為. P 工廠一不良品 6 陳欣得統計學 機率概論第 -5 頁

46 3 第三章機率分配 6 年 月 日最後修改 3. 機率分配概論 3. 離散隨機變數之機率分配 3.3 連續隨機變數之機率分配 3.4 機率表 3.5 計算隨機變數的期望值與變異數 3.6 動差與動差母函數 3. 機率分配概論 機率分配 (probability distributio) 機率分配是隨機變數的機率函數 機率分配是一個函數, 其定義域是實數值, 值域是機率 ([, ]) 機率分配可以想像為相對次數分配表, 只是這裡分組是隨機變數的值 ( 所以, 會有很多, 或無限多個分組 ) 以下是一個機率分配 : P() /6 4/6 6/6 3 4/6 4 /6 P C 4,,,,4 其中, 4 期望值 (epectatio value), 變異數 (variace) 機率分配的期望值如同相對次數分配表的平均數, 變異數亦同 隨機變數 X 的期望值與變異數分別寫成 E ( X ) μ P( ) E X V X V X E μ μ P P μ 6 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

47 或 E X P f d V X E μ μ f d f d μ 其中, P( ) 為離散隨機變數 X 的機率函數, f 是連續隨機變數 X 的機率函數 共變數 (covariace) 如同敘述統計中的共變數, 以 cov ( X, Y ) 表示隨機變數 X Y 的共變數 cov ( XY, ) E ( μ )( y μ ) ypy (, ) μ μ y y y, 或 cov ( X, Y ) E ( μ μ )( y μ ) yf (, y) ddy μ μ y y y, 期望值 變異數 共變數的希臘字母符號 X μ E X σ X V X E X E X ( X Y) E( XY) E( X) E( Y) σ XY, cov, Σ E ( ) V ( ) cov (, ) 的操作 Σ i ( i) ( i) Σ af af + af + + af aσf Σ f i + g i Σ f i +Σg i E ( a) a E ( ax ) ae ( X ) E f ( X) + g( X) E f ( X) + E g( X) E ( ax + by ) ae ( X ) + be ( Y ) E X μ E X μ X + μ E X μ E X + μ E X μ X X X X X X E X μx Y μy E XY μxμy 6 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

48 ( ) V X E X μ X V( a ) V( ax) a V( X) + ( + ) + + ( μf )( μg) V f X g X V f g V f V g E f g ( + ) + + cov (, ) V ax by a V X b V Y ab X Y ( XY) E ( X μ )( Y μ ) cov, X Y cov ( ax, ) ( ax by ) ab ( X Y ) ( X + YZ) ( XZ) + ( YZ) cov, cov, cov, cov, cov, 範例 3. E ( ) 的操作 解 已知 E( X ) 8 EY 6, 求 E ( 3X Y) E 3X Y 3E X E Y 範例 3. V ( ) 的操作 解 已知 V( X ) 8 V( Y ) 6, 且 X 與 Y 互相獨立, 求 V( 3X Y) X 與 Y 互相獨立隱含 cov XY,, 因此 + V 3X Y 3 V X V Y 離散隨機變數之機率分配 討論機率分配應注意事項 : () 有哪些參數, 參數的意義為何 () 隨機變數的意義為何 (3) 分配的機率函數 ( 機率密度函數 ) 為何 (4) 隨機變數的期望值 變異數為何 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-3 頁

49 我們將介紹 7 個離散機率分配 : () 白努力分配 () 二項分配 (3) 超幾何分配 (4) 卜瓦松分配 (5) 多項分配 (6) 負二項分配 (7) 幾何分配 白努力分配白努力分配 (Beroulli distributio) 白努力分配又稱為點二項分配 (poit biomial distributio) 白努力分配是所有機率分配的基礎 參數 : 每次實驗成功的機率 p, 每個樣本作 次實驗隨機變數 : 樣本中有 次成功機率函數 期望值與變異數 : ( p) { } p ( ) P f( ; p) p,,, < p< E V p p 二項分配二項分配 (biomial distributio) 二項分配是複數樣本的白努力分配 參數 : 每次實驗成功的機率 p, 每個樣本作 次實驗隨機變數 : 樣本中有 次成功機率函數 : p p( p) { } p p( p) P f( ;, ) C,,,,, < p< E V 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-4 頁

50 二項分配與白努力分配的關係 若 X, X,, X 為相同且互相獨立的白努力分配, 令 X X + X + + X 則 X 為二項分配 範例 3.3 二項分配 若有 % 的網友謊報其性別, 則 個網友中, () 恰好有 位謊報性別的機率為何? () 沒有人謊報的機率? (3) 位以上謊報的機率為何? 解 p %.,, 二項分配 () () 8 9 P( ) C ! C P (3) P > P P P 超幾何分配 超幾何分配 (hyper-geometric distributio) 如同二項分配, 只是成功機率在抽取樣本的過程會變動 參數 : 一共有 N 個球, 其中有 S 球為 成功 的球, 每次 ( 每樣本 ) 抽出 個球 隨機變數 : 樣本中有 個 成功 球 機率函數 : 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-5 頁

51 S N S CC P( ) f( ; NS,, ), {,,, }, S N N C S E( ) N S S N V( ) N N N 超幾何分配與二項分配的關係 抽取後 不放回 與抽取後 放回 : 超幾何分配是 不放回 的情況 若抽取後 放回, 則抽到 成功 的機率都是 p S N, 故與二項分配相同 當 N 的時候 : 若 N, 則每次抽到 成功 的機率都是 p S N, 故與二項分配相同 ( ) ( ) ( ) ( ) S N S C!!! C! N S N S lim lim N N C N! ( S )!! N S +! N! 項 項! S( S ) ( N S)( N S ) lim N! ( )! N( N )! S N S!! N S S C N N S N 超幾何分配可視為 p 的二項分配, 只是變異數需加上修正項 N N : S N S S N E( ) p, V( ) p( p) N N N N N 項 範例 3.4 超幾何分配 解 某一 人的旅行團中, 有 8 個人睡覺會打鼾, 若 3 人一個房間, 則某一房間 () 恰好有 人會打鼾的機率為何? () 沒有人打鼾的機率? N, S 8, 3, 超幾何分配 () 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-6 頁

52 () CC 8 7 8! P C ! C P 卜瓦松分配 卜瓦松分配 (Poisso distributio) 卜瓦松分配為每組樣本中實驗次數非常多 ( ) 的二項分配 參數 : 每組樣本的平均成功次數為 λ 隨機變數 : 樣本中有 次成功機率函數 : λ P( ) f( ; λ), {,, }, λ >! E λ V ( ) λ λ e 卜瓦松分配與二項分配的關係 二項分配的極限狀況 : p 且 p λ ( λ 為常數 ) 在極限狀況下, 二項分配會趨近於卜瓦松分配! λ λ lim C p ( p) lim! ( )! 項 λ ( ) ( + ) λ λ lim! λ λ e! 其中 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-7 頁

53 項 ( ) ( + ) lim λ lim e λ lim λ 範例 3.5 卜瓦松分配 若.5% 的車子有保颱風洪水險, 則 輛泡水車中, () 恰好有 輛有保洪水險的機率為何? () 沒有車輛保洪水險的機率? 解 p.5%.5,, 二項分配 () () 98 C P C P 或 λ p.5%.5, 卜瓦松分配 ().5 e.5 P( ) ! () P( ) e e.867! 範例 3.6 卜瓦松分配 解 某打字員平均每兩頁出現一次錯誤, 則該員在 5 頁的文稿中, () 恰好有 個錯誤機率為何? () 都沒有錯誤的機率? λ 5.5, 卜瓦松分配 () 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-8 頁

54 .5 e.5 P( ) ! () P( ) e e.8! 多項分配 多項分配 (multiomial distributio) 多項分配是二項分配的延伸, 每次實驗有兩個以上的出象 參數 : 每次實驗有 m 種出象, 出現機率分別為 p, p,, pm, 每個樣本作 次實驗隨機變數 : 每組樣本中第 i 種出象出現有 i 次, i,,, m 機率函數 : 其中! P,, f( ;, ) p p p 3,, 3 p, p, p3!! 3!,, ( 3) 3 ( ), ( ) p ( p ), V( ) p ( p ) E p E p E p V p p V { } ,,,,,, + +, < p, p, p <, p + p + p 負二項分配負二項分配 (egative biomial distributio) 負二項分配與二項分配互為對偶關 二項分配以每組樣本中之實驗次數為參數, 成功次數為隨機變數 ; 負二項分配以每組樣本中之實驗次數為隨機變數, 成功次數為參數 ( 最後一次實驗的出象一定是成功 ) 參數 : 每次實驗成功的機率 p, 每組樣本中有 r 次成功實驗 隨機變數 : 樣本中有 次實驗 機率函數 : 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-9 頁

55 r r r p p ( p) { } P f( ;, ) C, rr, +,, < p< E V r p r ( p) p r 注意 另一種隨機變數的定義 : 第 r 次成功之前作了 次實驗 幾何分配幾何分配 (geometric distributio) 幾何分配為負二項分配的特殊狀況 ( 第一次成功 ) 幾何分配與白努力分配互為對偶關係 參數 : 每次實驗成功的機率 p, 每組樣本中有 次成功實驗隨機變數 : 樣本中有 次實驗機率函數 : p p( p) { } P f( ; ),,,, < p< E V p p p 範例 3.7 幾何分配與負二項分配 假設在某廟裡擲出 笑杯 的機率為.4, 則連續擲杯 5 次後, () 出現第一個笑杯的機率為何? () 出現第三個笑杯的機率? 解 () p.4, 幾何分配 4 P () p.4, 3, 負二項分配 4 3 C P 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

56 離散分配間之關係 (, p, p λ) 3.3 連續隨機變數之機率分配 我們將介紹 3 個連續機率分配 : () 均等分配 () 指數分配 (3) 常態分配 機率函數與機率密度函數 機率密度函數 (probability desity fuctio): 若連續隨機變數 X 之機率密度函數為 f ( ), 則機率函數 P ( ) f ( ) d; 均等分配 a 累計機率函數 均等分配 (uiform distributio) F a P a f d 每個點出現的機率均相等稱為均等分配 參數與隨機變數 : [ ab, ] 機率密度函數 : 且出現的機率皆相等 6 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

57 f ( ) f( ; a, b), a b b a a+ b E( ) V ( ) ( b a) 範例 3.8 均等分配 公車每 3 分鐘來一班, 假設乘客不看時刻表, 隨機來等車, 則 () 平均等候時間為何? () 等候時間的標準差為何? (3) 等候超過 分鐘的機率? 解 a, b 3, 均等分配 () a b 3 E () (3) σ ( b a) V X P > d 指數分配指數分配 (epoetial distributio) 指數分配與卜瓦松分配互為對偶 兩者有相同的參數 : 每個樣本的平均成功次數為 λ 兩者隨機變數互為對偶 : 卜瓦松分配 : 以樣本的成功次數為隨機變數, 指數分配 : 以兩成功實驗間的時間間隔為隨機變數 ( 成功次數多則時間間隔小, 反之亦然 ) 參數 : 單位時間 ( 每個樣本 ) 的平均成功次數為 λ 隨機變數 : 經過時間 後產生第一次成功 6 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

58 機率函數 : f f( ; λ) e, >, λ > E V λ λ λ λ F a P a e λa 指數分配的另一種表示法 : 參數 : 平均兩次成功間的時間間隔為 β ( 即 λ β ) 隨機變數 : 經過時間 後產生第一次成功機率函數 : ( ; ) β f f β e, >, β > β E V β β F a P a e β a 範例 3.9 指數分配 解 某路段平均每年發生 件車禍, 則 () 平均多久發生一次車禍? () 某個月內沒有發生任何車禍的機率為何? λ, 指數分配 () λ ( 年 ) E () ( 一個月 ) ( 年 ) P > P > F e.4346 常態分配 常態分配 (ormal distributio) 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-3 頁

59 常態分配為抽樣分配的共同極限分配 參數 : 平均數 μ, 標準差 σ 機率密度函數 : ( ) σ π μ σ f f( ; μσ, ) e, R, σ >, μ R E V μ σ 標準常態分配 (ormal distributio) 標準常態分配為平均數 μ, 標準差 σ 的常態分配 ( z) π z f ( z) e, z R E V z 將常態分配標準化 若 X 為參數 μ σ 的常態分配,Z 為標準常態分配, 則 μ z 或 μ + zσ σ 有關常標準分配的幾個重要數值 : ( z ) ( z ) ( z ) P % P % P % ( z.645) ( z.96) (.5 z. 57 ) P P P (.8) (.645) P z.9 P z.95 P z σ σ σ σ σ 3σ 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-4 頁

60 .58σ.96σ.645σ.645σ.96σ.58σ.8σ.645σ.3σ 範例 3. 常態分配 解 已知 為 μ σ 4 的常態分配, 則 () 求 P( 8 X 6) ; () 求 a 使 P( X a).9 () 8 μ 8 6 μ 6, σ 4 σ 4 * * z z * * P 8 X 6 P z z z P z.687 () P z.8.9 z.8 * * a μ + z σ 常態分配是二項分配的極限分配 若 越大, 則二項分配 ( 參數 p) 與參數 μ p σ p( p) 的常態分配越接近 以常態分配 ( 連續分配 ) 近似二項分配 ( 離散分配 ) 時, 特別注意修正項 ± : 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-5 頁

61 ( ) 連續分配 ( + ) ( ) ( + ), ( ) ( ) ( < ) ( ), ( > ) ( + ) P a P a a 離散分配 P a P a P a P a 離散分配連續分配離散分配連續分配 P離散分配 a P連續分配 a P a P a 離散分配連續分配 ( 9.5) ( 9) ( < ) P P P 連續分配離散分配離散分配 ( 9.5) ( ) ( > 9) P P P 連續分配離散分配離散分配 範例 3. 以常態分配近似二項分配 解 已知 為 p. 的二項分配,y 為 μ σ 4 P 9 X ; () () P( 9 Y ) ; (3) P( 8.5 Y.5) σ E X p, Var X p p 6, p p 4 X 的常態分配, 請計算 () ()! a a ( a)..8 a! ( a)! P P 9 P 9 + P + P * 9 * z.5, z P 9 Y P.5 z (3) 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-6 頁

62 * 8.5 *.5 z.375, z P 8.5 Y.5 P.375 z 機率表 兩種方法計算隨機變數的機率 : () 直接由機率函數計算 ; () 查機率表 四種形式的機率 : () 左尾, P( a) α, 以下累計機率 ; () 右尾, P( b) α, 以上累計機率 ; (3) 區間, P( a b) α ; (4) 雙尾, P( a 或 b) α 其中,a b 稱為臨界值,α 為機率 a b 左尾 : P a α a b 右尾 : P b α a b 區間 : P a b α a b ( 或 ) 雙尾 : P a b α 查機率表注意事項 : () 機率表的內容可能是機率, 也可能是臨界值 () 內容是機率時, 表索引為臨界值 ; 而內容是臨界值時, 表索引為機率 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-7 頁

63 (3) 必須看清楚機率的形式是左尾或右尾 ( 離散變數時也可能是區間 ) 二項分配與卜瓦松機率表 二項分配左尾機率表 p 卜瓦松項分配左尾機率表 λ 範例 3. 查表求二項分配的機率 解 假設 為 p. 的二項分配, 請計算 () P( ) ;() P( ) ;(3) P( ) ;(4) () P( ).998 () P( ).736 (3) P( ) P( ) P( ) (4) P( ) P( ) P > > 範例 3.3 查表求卜瓦松分配的機率 解 假設 為 λ 卜瓦松分配, 請計算 () P( ) ;() P( ) ;(3) P( ) ;(4) () P( ).6767 () P( ).46 (3) P( ) P( ) P( ) (4) P( ) P( ) P > > 陳欣得統計學 機率分配第 3-8 頁

64 標準常態機率表 z 分配機率表 z z 範例 3.4 查表求標準常態分配的機率 假設 z 為標準常態分配, 請計算 P z (a) ( ) ;(b) P( z ) ;(c) P( z ) ;(d) P( z ) (e) P( z.8) ;(f) P( z.8) ;(g) P( z.6) 解 z 分配是一個以 令 ( ) α b P z b, 則 * ; * z 為中心的對稱分配, 上表給的是 P( z z ) P z b P z + P z b.5+ αb P( z b) P( z b).5 + αb P( b z ) P( z b) αb ( ) ( ) ( ) P( z b) P( z b).5 αb P b z b P b z + P z b αb P z b P z P b z.5 αb ( a) z, 查表得 α.343, P z α.343 * * * z z * z * z * z * z * 的機率 ( b) z, P z.5 + α.843 * ( c) z, P z α.343 * ( d) z, P z α.686 * ( e) z.8.8, P z.8.5 α * (f ) z.6, P z.6.5 α z.6 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-9 頁

65 範例 3.5 查表求標準常態分配的臨界值 解 假設 z 為標準常態分配, 請求臨界值 b: (a) P( z b). ;(b) P( z b).84 ;(c) P( z b).8 ;(d) P( z b).64 α * * * ( a) P z b z.77 b z.77 α * z * * ( b) P z b z.995 b z.995 α * z * * ( c) P z b z.95 b z.95 α * z * * ( d) P z b z.36 b z.36 z 範例 3.6 查表求常態分配的機率 臨界值 解 (a) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為, 求 α ; (b) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為.8, 求 α ; (c) 標準常態分配, 右尾, 臨界值為.6, 求 α ; (d) 標準常態分配, 左尾, α., 求臨界值 ; (e) 標準常態分配, 左尾, α.84, 求臨界值 ; (f) 標準常態分配, 右尾, α.64, 求臨界值 (a) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為, 求 α α P( z ) (b) 標準常態分配, 左尾, 臨界值為.8.843, 求 α α P( z ).8.6 (c) 標準常態分配, 右尾, 臨界值為.6, 求 α α P( z ) (d) 標準常態分配, 左尾,. (e) 標準常態分配, 左尾, α, 求臨界值 P( z b). b.77 α, 求臨界值 P( z b).84 b.995 (f) 標準常態分配, 右尾, α.64, 求臨界值 P( z b).64 b 計算隨機變數的期望值與變異數 積分基本操作 () 多項函數的不定積分 : 6 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

66 a a+, a d a + () 指數函數的不定積分 : a a e d a e, a (3) 定積分 : β a a+ β a+ a+ α a+ α a+ a+ d α β, a, α < β (4) 函數和的積分 : + + f g d f d g d (5) 常數積的積分 : af d a f d (6) 函數積的積分 ( 部分積分 ): f ( g ) '( d ) f( g ) g f'( d ) 或 fdg fg gdf 範例 3.7 基本積分計算 請計算下列積分 : 3 (a) d 3 (b) (d) 解 (a) λe λ d y 3 (c) ( 3 ) y λ ay dy λe d 6 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

67 3 3 3 d (b) λ λ λe d λ e λ (c) y 3 y 3 y 3 y ay dy dy aydy y a y a y y y y (d) λ 令 f, dg λe d df d, g e λ λ λ λ λ λe d fdg fg gdf e e d e λ + λ 範例 3.8 以積分計算隨機變數之期望值 變異數 解 隨機變數 X 的機率密度函數如下 : f( ), 3 3 計算 E( X ) Var( X ) 計算期望值 E( X) f( ) d d 計算變異數 或 Var ( X ) ( E ( )) f ( ) d 3 d 4 Var ( X ) f ( ) d ( E ( )) 3 3 d 陳欣得統計學 機率分配第 3- 頁

68 範例 3.9 以積分計算隨機變數之期望值 變異數 隨機變數 Y 的機率密度函數如下 : 解 3 計算 E( Y ) Var( Y ) 求未知參數 a: f( y) ay, y 3 y 3 y 3 y y y 3 y y f ( y) dy ( ay) dy y a a a 9 計算期望值 3 y 3 y 3 y 3 y y y EY yf( ydy ) y y dy y y 計算變異數 或 Var ( Y y ) ( y E ( y )) f ( y ) dy y ( y ) 7 y y 3 9 y dy + + Var ( Y y ) y f ( y ) dy ( E ( y y )) y 3 9 y dy 6 y y 範例 3. 計算條件機率 邊際機率 解 隨機變數 X Y 的聯合機率密度函數如下 : f, y + ay, < <,< y< otherwise 計算 f ( ) f ( y ) V( X ) cov (, ) 求未知參數 a: y y X Y + ay ddy + ay dy + a a f y + y dy + 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-3 頁

69 f y + y d + y 因 f (, y) y f ( ) f ( y) ( )( y ) + + +, 故 X Y 兩者不獨立 7 E( ) E( y) y ( + y) dy + 3 ( ) ( ) 5 E E y y + y dy y y E( y) y( + y) ddy ( + 3 ) dy V X E E cov ( XY, ) E( y) E( E ) ( y) 陳欣得統計學 機率分配第 3-4 頁

70 3.6 動差與動差母函數 動差 (momets) 或零動差 (zero momets) 級零動差 μ M E 中央動差 (cetral momets) 或主動差 (priciple momets) ( μ) 級主動差 μ M E 動差 中央動差 平均數 與變異數之關係 中央動差直接定義 σ α 3 α 4 等有意義的係數 零動差比較容易計算 3 M E μ E μe + μ M E μ E μe + μ E μ i i ( μ) i ( μ) M E C E σ μ E i M E μ M α σ 動差母函數 (momet geeratig fuctio, 動差生成函數 ) 由動差母函數可以很容易計算各級動差 ( 零動差 ) t () Ee mt 範例 3. 由動差母函數產生各級動差 t e 的泰勒展開式為 3 4 e t + t+ t + t + t +! 3! 4! 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-5 頁

71 即 () ( t 3 4 ) t ( ) t ( 3 ) t ( 4 ) mt Ee + te+ E + E + E +! 3! 4! 也就是 d t 3 mt E te E E dt t! d dt d dt () t k k mt E te E E! t t 3 t 4 () mt E te E E! k k+ () ( t k+ ) ( k + + ) + t t 範例 3. 由動差母函數求期望值 變異數 解 若隨機變數 的動差母函數為 ( e t ) mt e λ () 請計算 E( ) Var( ) 由 mt 求一 二級動差, 過程如下 則 () t λ( e ) t E m e λe λ t ( ) t ( ) t λ e t λ( e ) t E m { e ( λe ) + e λe } λ + λ Var E E λ + λ λ λ t 範例 3.3 白努力分配之機率函數驗證 動差母函數 期望值 變異數 白努力分配的機率函數為 f p p { } P ( ; ) p,,, < p < 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-6 頁

72 驗證機率函數 p p p + p 其 mt 的求解過程如下 期望值 變異數 t t t t () p ( p) ( ) + + ( ) mt Ee e p ep pe p ( ) t E m pe p ( ) t t E m pe p t ( ) ( ) Var E E p p p p 範例 3.4 二項分配之機率函數驗證 動差母函數 期望值 變異數 二項分配的機率函數為 p p ( p) { } P f( ;, ) C,,,,, < p< 驗證機率函數 C p p p+ p ( 二項式定理 ) 其 mt 的求解過程如下 期望值 變異數 t t t t () ( ) ( p) + ( p) mt Ee e C p p C pe pe () t t E m pe ( p) pe + p t 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-7 頁

73 ( m ) E t ( ) t t t pe p ( pe ) pe ( p) pe ( ) p + p ( ) ( ) + ( ) Var E E p p p p p t 範例 3.5 動差母函數之性質 令 X, X,, X 為一致且互相獨立的分配, 其動差母函數皆為 mt, 若 Y X + X + + X 則 Y 之動差母函數為 t t t t t t t ( ) () ty ( ) E e E e E e e e E e E e E e m t 例如, 白努力分配的動差為 t + ( ) mt pe p 則二項分配的動差為 t () ( ) mt pe+ p 範例 3.6 幾何分配之機率函數驗證 動差母函數 期望值 變異數 幾何分配的機率函數為 p p( p) { } P f( ; ),,,, < p < 驗證機率函數 p p p p p ( p) 其 mt 的求解過程如下 期望值 t t t t pe mt () Ee e p( p) pe e ( p) t e t pe ( p) ( ) t p e t 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-8 頁

74 變異數 E () t t t t pe pe ( p) e pe m + t ( p) e t t ( p) e ( p) e p ( m ) E t t t t t t t pe ( p) e pe pe p e + p + t t 3 t 3 ( p) e ( p) e ( p) e p t t p p p Var( ) E( ) E( ) p p p p p 範例 3.7 負二項分配之機率函數驗證 動差母函數 期望值 變異數 負二項分配的機率函數為 r r r p p ( p) { } P f( ;, ) Cr, rr, +,, < p< r E( ) p r( p) V( ) p 驗證機率函數 r 項 r Cr p ( r p) p ( r p) r p r r ( ) r! r r! ( r! ) p 其 mt 可由幾何分配的動機母函數寫出 t pe t ( p) e t () Ee mt 期望值 變異數 r () t t pe pe r E m r t ( p) e t ( p) e p r t 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-9 頁

75 r ( ) t t pe pe E m r( r ) ( t p) e t ( p) e r t t t pe pe + ( p) e + r t 3 ( pe ) t ( p) e ( ) ( ) ( + ) r r r p r r p + p p p t ( + ) r ( ) r r p r p p Var( ) E( ) E( ) r p p p p p t 範例 3.8 卜瓦松分配之機率函數驗證 動差母函數 期望值 變異數 卜瓦松分配的機率函數為 λ λ e P( ) f( ; λ), {,, }, λ >! 驗證機率函數 λ! e e λ λ λ! e λ e λ 其 mt 的求解過程如下 e λ λ! 期望值 變異數 t () λ t ( λe ) t t λ λe λ( e ) t λ e λ mt Ee e e e e e!! () t λ e t E m e λe λ ( ) t t t λ e t λ( e ) t { } E m e λe + e λe λ + λ Var E E λ + λ λ λ t 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-3 頁

76 範例 3.9 指數分配之機率函數驗證 動差母函數 期望值 變異數 指數分配的機率密度函數為 ( ; λ) λ, >, λ > f f e λ 驗證機率密度函數 λ λ λe d λ e λ 其 mt 的求解過程如下 期望值 變異數 t t λ ( t λ) ( t λ) λ mt () Ee e λe d λ e d λ e t λ λ t λ ( λ t) λ () m E ( m ) E ( λ t) t λ 3 λ t Var( ) E( ) E( ) λ λ λ 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-3 頁

77 附錄 : 各分配期望值與變異數之計算過程 ( 直接積分 ) 白努力分配 機率函數 : { } f( ; p) p p,,, < p< p p p + p E X p p + p p V X p p E X p p p p 二項分配 機率函數 : { } f( ; p, ) C p p,,,,, < p< C p p p+ p ( ) ( ) E X C p p p p+ p p ( ) V X E X E( X) E X X + E X E( X)! ( ) p p + p p!! ( ) p + p p p p p+ q C p q C p q pc p q p p + q ( ) ( ) ( + ) C p q p p q 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-3 頁

78 超幾何分配 S N S C C f( ; N, S, ),,,,, < S < N N C 機率函數 : { } S N S CC S N S S+ ( N S) CC N N C N + ( ) C C C S N S CC S N S N S E ( X) CC SC N N N N N C C C N ( ) ( ) V X E X E( X) E X X + E X E( X) C N S N S S S ( ) CC + C N N S S S S + N N N N ( ) ( ) S S S S SN + N N + S N + + N N N N N N S N S N S S N N N N N N N ( N! ) M N M N M+ N C C M C C MC M N M+ N C C C N! N N C! N!! N! ( ) ( ) M N M+ N C C M M C N 卜瓦松分配 λ ( ; ),,,, λ >! λ 機率函數 : f λ e { } λ! e e λ λ λ! e λ e λ λ λ E( X) e e λ!! λ λ λ ( ) 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-33 頁

79 ( ) ( ( )) + ( ) λ λ ( ) e + λ λ! λ λ ( ) λ e + λ λ! V X E X E X E X X E X E X λ e ! +! 幾何分配 機率函數 : { } f( ; p) p p,,,, < p< p p p p p ( p) E( X) p( p) p ( p) p ( p) p ( ) V X E X X + E X E X ( ) p( p) + p( p) ( )( p) + p p p p ( p) p p( p) + + ( p) p p p p p p p q q + q+ q + q d q q dq d dq ( q) q ( ) q 3 3 ( q) 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-34 頁

80 負二項分配 機率函數 : { } f( ;, p) C p p,, +,, < p< 項 ( )( ) ( )! (! ) (! ) ( p) C p ( p) p ( p) p ( ) 項 p E( X) C p ( p) p! p! + (! ) ( p) p ( ) V X E X X + E X E X dq d dq ( ) C p p + p p 項 ( ) ( ) ( )( ) ( p) (! ) ( ) ( + )! + (! ) ( p) p p ( + )( ) p ( ) p p + p p p p + p p + p p p p q q + q+ q + q 項 q ( )( ) q d 項 q ( ) q! ( q) + ( ) ( q)! 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-35 頁

81 均等分配 機率密度函數 : f (;,) ab, a b b a b a b a d b a b a b a b a b b a E d b a a b a b a b a b ( + ) ( b+ a) ( b a) ( b+ a) b V( ) E( ) ( E( ) ) d a b a 3 3 b a 3 b a a 指數分配 λ 機率密度函數 : f( ; λ) λe, >, λ > λ λ λe d λ e λ λ E λe d λ λ λ V e d a λ λ λ λa λ λ a P > a F a λe d e e λ 6 陳欣得統計學 機率分配第 3-36 頁

82 4 第四章抽樣與抽樣分配 6 年 8 月 9 日最後修改 4. 抽樣與抽樣方法 4. 抽樣分配概論 4.3 常見的抽樣分配 4.4 中央極限定理 4. 抽樣與抽樣方法 母體 (populatio): 我們有興趣的研究對象, 一般是由許多個體或所組成的集合 樣本 (sample): 母體的部分集合 我們有興趣的是母體, 但是實際測量 研究的是樣本 我們希望經由樣本提供的資訊來推測母體的狀況 ( 推論統計 ) 需要樣本的理由 : 普查的成本高 ( 時間 金錢 ) 無法作普查 ( 無法掌握每一個體 ) 有時測量會破壞樣本 抽樣 (samplig): 由母體中挑選出樣本的動作 抽樣的考量 : 代表性 ( 正確反應母體的狀況 ) 抽樣成本 ( 金錢 時間 方便性 ) 研究母體 (study populatio, 抽樣母體 ): 以抽樣的目的而對母體的另一種定義 真正可以被選取之個體的集合為研究母體 例如 以電話訪問選民的投票傾向, 母體是所有合格選民, 研究母體 ( 抽樣母體 ) 則是有登錄電話號碼的選民 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4- 頁

83 抽樣方法抽樣方法分成兩大類 : () 隨機抽樣方法 () 非隨機抽樣方法隨機抽樣 (radom samplig): 知道母體中特定個體被抽中之機率 隨機抽樣可以計算抽出某特定樣本的機率 非隨機抽樣 (o-radom samplig): 不涉及機率的抽樣方法 隨機抽樣方法 : () 簡單隨機抽樣 (Simple Radom Samplig) 每個元素被抽中的機率皆相等 () 分層隨機抽樣 (Stratified Radom Samplig) 有自然分組, 各組內分別作簡單隨機抽樣 適用組間差異大的情況 (3) 叢集抽樣 (Cluster Samplig) 有自然分組, 以組為單位作簡單隨機抽樣 ( 抽中哪些組 ) 適用組間差異小的情況 (4) 系統抽樣法 (Systematic Samplig) 有系統分組後,( 以簡單隨機抽樣法 ) 隨機抽取一組 隨機抽樣方法 : () 立意抽樣法 () 滾雪球抽樣法 (3) 偶遇抽樣法 (4) 定額抽樣法抽樣誤差母體參數 (populatio parameters): 母體的特徵, 如 μ σ 樣本統計量 (sample statistic): 樣本的特徵, 如 s 樣本統計量是一個樣本的函數, 應寫成 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4- 頁

84 + + + (,,, ) (,,, ) s s ( ) + ( ) + + ( ) 樣本統計量隨樣本的不同而改變, 母體參數則為定值 樣本統計量也是隨機變數 既然,,, 都是隨機變數, ( ) s( ),,,,,, 抽樣誤差 (samplig error): 樣本統計量與母體參數間的差距 ε μ,,, μ, 也是隨機變數 抽樣誤差, ( ) 當然也是隨機變數 4. 抽樣分配概論 抽樣分配 (samplig distributios): 樣本統計量的分配 最常見的樣本統計量為 : (,,, ) (,,, ) s s 基本樣本統計量 : (,,, ) ( ) T T U U,,, ( ) + ( ) + + ( ) 一致且獨立分配 (Idetical ad Idepedet Distributio, i.i.d.): 若,,, 有相同的分配, 而且互相獨立, 則稱,,, 為一致且獨立 樣本需 i.i.d. 才容易計算其抽樣分配 例 若,,, 皆為參數 p 的白努力分配, 且互相獨立, 則 T 為參數 p 的二項分配 例題 設 Z X + Y, 其中 X Y 的機率分配分別如下 : P(X,Y) X \ Y 3 3/3 3/3 4/3 3/3 4/3 3/3 3 4/3 5/3 3/3 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-3 頁

85 求 Z 的分配 解 X Y ZX+Y P(Z)P(X+Y) Z P(Z) 3/3 3/3 3 3/3 3 6/ /3 4 /3 3 3/3 5 8/3 4 4/3 6 3/ / / / /3 例題 設 Z X + Y, 其中 X Y 的機率分配分別如下 : X P(X) Y P(Y) 3 /3 / 5 /3 4 / X Y 相互獨立, 求 Z 的分配 解 P(X,Y) X \ Y 4 3 /6 /6 5 /6 /6 X Y ZX+Y P(Z) Z P(Z) 3 5 /6 5 / /6 7 3/6 5 7 /6 9 / /6 例題 3 設 Z X + X + X3, 其中 X, X, X 3的機率分配分別皆如下 : X P(X) /3 /3 X, X, X 3相互獨立, 求 Z 的分配 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-4 頁

86 解 X X X 3 ZX +X +X 3 P(Z) Z P(Z) /7 /7 /7 6/7 /7 /7 4/7 3 8/7 /7 4/7 4/7 3 8/7 計算統計量的分配 給定一組隨機變數,,,, 則求取統計量 f ( ),,, 的分配有三種方法 : () 累計分配函數法 (Cumulative-distributio-fuctio Techique) () 動差母函數法 (Momet-geeratig-fuctio Techique) (3) 變數變換法 (Trasformatios) 兩個簡單的結果 : 若 XY, 的聯合機率函數為 P XY,, 且 Z X+ Y則 (, ) (, ) P Z P X Z X P Z Y Y X 範圍 Y 範圍 若 XY, 的聯合機率密度函數為 f y,, 且 Z X+ Y則 (, ) (, ) f z f z d f z y y dy 範圍 y 範圍 例題 4 若 (a) f ( ) (b) 解 f, y y,, y, 且令 z + y, 求 f y (c) f y (d) f z 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-5 頁

87 y y ( a) f f, y dy ydy y (, ) ( b) f y f, y d yd y y f y y () c f y f y y ( ) ( d) f z f, z d ( z ) d z z 3 z 3 ( z ) d z ( z ) 3( z ) < z 3 ( z ) d z z ( z ) 3 ( z ) < z 3 計算統計量的期望值與變異數定理 : 令 Z X+ X + + X, 若 X, X,, X 互相獨立, 則 E Z E X + E X + + E X Var Z Var X + Var X + + Var X 定理 : 對任一隨機變數 X, 與任一實數值常數 r R, 則 E( rx ) re( X ) Var rx r Var( X ) 定理 : X + X + + X 令 Z EZ, 若 X, X,, X 互相獨立, 則 E( X ) + E( X ) + + E( X ) Var( X) + Var( X ) + + Var( X ) Var( Z) 定理 : X + X + + X 令 Z EX EX EX μ, 若 X, X,, X 互相獨立, 且 Var( X ) Var( X ) Var( X ) σ 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-6 頁

88 則 EZ EX + EX + + EX μ μ Var( X ) + Var( X ) + + Var( X ) σ σ Var( Z) 例題 5 設 Z X + Y, 其中 解 X 為 p.5 的二項分配,Y 為 3 p.3 的二項分配, 且 X Y 相互獨立, 計算 E( Z ) Var( Z ) EZ EX ( + Y) EX + EY Var( Z) Var( X + Y ) Var( X ) + Var( Y ).5 (.5) (.3).3 例題 6 設 Z X + Y, 其中 X Y 為相互獨立的標準常態分配, 計算 E( Z ) Var( Z ) 解 EZ EX + EY + Var Z Var X Var Y + + 例題 7 設 Z X + X + X3, X 為 λ 的卜瓦松分配, X 為 λ 的卜瓦松分配, X 3 為 λ.5 的卜瓦松分配, 解 計算 E( Z ) Var( Z ) EZ EX + EX + EX Var( Z) Var( X ) + Var( X ) + Var( X ) 例題 8 設 Z X+ X + X3 + X4 + X5, X, X,, X 分別為 p.4, 相互獨立的二項分配, 解 5 計算 E( Z ) Var( Z ) EZ 5 EX 5 p 5.4 Var( Z) 5 Var( X ) 5 p ( p) 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-7 頁

89 4.3 常見的抽樣分配 四個基本的抽樣分配 : () z 分配 標準常態分配, 對稱 鐘形, μ, σ () χ 分配 卡方分配, 右偏, μ k, σ k ( 自由度 k ) (3) F 分配 m+ 右偏分配, μ, σ mm 4 ( ( m, ) (4)t 分配對稱 鐘形分配, μ, k σ k ( 自由度 k ) 自由度 ) 若 則 X, X,, X 皆為標準常態分配, 且相互獨立, Y X + X + + X 為自由度 的卡方分配 df χ 若 X X 皆為自由度 的卡方分配, 且相互獨立, X 則 Y 為自由度 ( X, ) 的 F 分配 F df, 若 X 為標準常態分配, X 為自由度 的卡方分配, 且相互獨立, X 則 Y 為自由度 的 t 分配 t X df 一些有用的結果 : 若 X N( μ, σ ) X N( μ, σ ) (, ) Y X + X N μ + μ σ + σ, 且相互獨立, 則 若 X, X,, X N( μ, σ ), 且相互獨立, 則 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-8 頁

90 ( μ, σ ) T X + X + + X N X+ X + + X X X μ Y z 分配 σ N μ, σ 若 X, X,, X N( μ, σ ) ( ) s 其中, 且相互獨立, 則 Y χ σ s df ( ) ( ) ( ) X X + X X + + X X X + X + + X, X 若 X, X,, X, Y, Y,, Y N( μ, σ ) 其中, 且相互獨立, 則 s Z F s s s (, ) df ( ) X X + X X + + X X X + X + + X, X ( ) Y Y + Y Y + + Y Y Y + Y + + Y, Y 若 X, X,, X N( μ, σ ) X μ Y t s 其中, 且相互獨立, 則 df ( ) X X + X X + + X X X+ X + + X s, X 例題 9 設 Z X+ X + + X, 其中 X, X,, X為相互獨立的標準常態分配, 解 () 右尾檢定, 臨界值為 5, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α., 請計算臨界值 Z 成為 μ σ 的常態分配 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-9 頁

91 () 計算 P( Z ) α 5.569, () 計算 a 使得 P( Z a). a.664 X + X + + X 例題 設 Z, 其中 X, X,, X為相互獨立的標準常態分配, () 右尾檢定, 臨界值為, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α., 請計算臨界值 解 Z 成為 μ σ 的常態分配 () 計算 α P( Z ).8, () 計算 a 使得 P( Z a). a.66 例題 設 Z X + X + + X, 其中 X, X,, X為相互獨立的標準常態分配, 解 () 右尾檢定, 臨界值為 5, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α., 請計算臨界值 Z 成為自由度 的 χ 分配 α P Z χ 5.3, () 計算 ( df ) () 以及計算 a 使得 ( χ df ) P Z a. a 例題 設 Z 解 ( X + X + X3 ) ( Y + Y ) () 右尾檢定, 臨界值為, 請計算 α 值 () 右尾檢定, α., 請計算臨界值 Z 成為自由度 (3, ) 的 F 分配 () 計算 α P( Z F df ) () 以及計算 a 使得 ( df ) 3,.48, 3, 其中 X, X, X3, Y, Y 為相互獨立的標準常態分配, P Z F 3, a. a 9.68 例題 3 設 Z X ( Y + Y + Y ) 3 3 () 右尾檢定, 臨界值為 3, 請計算 α 值, 其中 X, Y, Y, Y 3為相互獨立的標準常態分配, 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4- 頁

92 解 () 右尾檢定, α., 請計算臨界值 Z 成為自由度 3 的 t 分配 () 計算 α P( Z t df ) () 以及計算 a 使得 ( df ) , P Z t 3 a. a.6377 X+ X+ X3 X+ X+ X3 X+ X+ X3 X 3 + X 3 + X3 3 例題 4 設 Z, 其中 σ X, X, X 3分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, () 右尾檢定, 臨界值為 9, 請計算 α 值 解 () 右尾檢定, α., 請計算臨界值 Z 成為自由度 3 的 χ 分配 α P Z χ df 9., () 計算 () 以及計算 a 使得 ( χ df ) 四個抽樣分配間的關係 符號 : P Z a. a 4.65 z α 表示累計機率為 α 之 z 分配臨界值 : P( z α ) α χ α, df 表示累計機率為 α 自由度 df 之 ( ),, χ 分配臨界值 : P( χα, df ) α F α 表示累計機率為 α 自由度 (, ) 之 F 分配臨界值 : P F α, (, ) α t α, df 表示累計機率為 α 自由度 df 之 t 分配臨界值 : (, df ) P t α α χ 分配的變化 α, df z α χ α, df lim 自由度 df 時, 成為 z 分配的平方 : χ 自由度 df 時, F 分配的變化 df χ α, df df 為常數 : 自由度 (, ) 與 df (, ) 自由度 df (, ) 的 F 分配互為倒數 : Fα df ( ) F α df ( ) 時, 成為 χ 分配除分子自由度 : Fα,,,, χ α, df, df, 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4- 頁

93 自由度 df (, ) t 分配的變化 zα 時, 成為 t 分配的平方 : Fα, df (, ) t α χ, df α, df 自由度 df 時, 成為 z 分配 : t α, df zα F 可由 F 分配得到 : Fα, df (, ) F α, df (, ) χ 可由 F 分配得到 : χα, df Fα, df (, ) t 可由 F 分配得到 : tα, df F α, df (, ) z 可由 F χ 或 t 分配得到 : zα F α df (, ) χ α t,, df α, df 例題 5 就以下 F 分配機率表, 請計算 :() F α.88, df ( 6,8) ;() χ α.6, df ;(3) t α.6, df 6 ;(4) z α.3 F 分配右尾機率表 α.3 α.6 α 解 () Fα.88, df ( 6,8).53 Fα., df ( 8,6).9596 () χ α.6, df F.6, (, ) α df (3) tα.6, df 6 Fα.6, df (,6) (4) zα.3 tα.3, df Fα.6, df (, ) 抽樣分配的查表練習題目 四種機率 ( 左尾 右尾 區間 雙尾 ) 中, 區間又稱為信賴區間 (cofidece itervals), 左尾 右尾 雙尾有時會稱為拒絕區域 (regio of rejectio) 一般拒絕區域不會包含等式 : P( X < a) P( X > b) P( X < a X > b) 或 左尾 右尾 雙尾的機率又稱為顯著水準 (sigificace level), 以 α 表示, 如 P( a) α, 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4- 頁

94 左尾 右尾 雙尾的機率有時也稱為 p 值 (p-value) 信賴區間的機率又稱為信賴度 (level of cofidece), 以 α 表示, 如 P( a b) α 信賴區間的兩臨界值 (cofidece limits) 一般都以平均數對稱點互相對稱 例題 6 隨機變數 X 為標準常態分配 : 解 (a) 計算信賴區間 { X } (b) 計算左尾 { X } 的顯著水準 ; (c) 計算右尾 { X 3} 的顯著水準 ; 的信賴度 ; (d) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 ; (e) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 ; (f) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 ( a) α P z.687 ( b) α P z.8 ( c) α P z 3.3 ( d) P z a.5 a.645 ( e) P z a.5 a.645 ( f) P a z a.5 a.96 例題 7 隨機變數 X 為 μ 4, σ 的常態分配 : 解 (a) 計算信賴區間 { X 7} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 9, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α., 求臨界值 ; (f) 右尾檢定, α., 求臨界值 ; (g) 雙尾檢定, α., 求臨界值 * 4 3 * α ( a) z, z, P z.8664 * * * ( b) α P z z z.9 z.645 臨界值 4 ±.645 a.7, b 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-3 頁

95 * ( c) z 4 5 5, p P z.6 * ( d) z , p P z.6 * * ( e) α P z z. z.36 a * * ( f) α P z z. z.36 b ( 或 ) * * * ( g) α P z z z z. z.576 臨界值 4 ±.576 a.5, b 9.5 例題 8 設 Z X + Y, 其中 X Y 相互獨立, 且 解 X 為 μ σ 3 的常態分配,Y 為 μ σ 4 的常態分配, (a) 計算信賴區間 { Z 7} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 9, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α., 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α., 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α., 求臨界值 拒絕區域 Z 成為 μ + 3 σ 的常態分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α.4436 ( b) 5. Z. ( c) p.9 ( d) p.5 ( e) Z < 8.63 ( f) Z > 4.63 ( g) Z 9.88 Z 5.88 例題 9 設 Z X+ X + + X9, 其中 X, X,, X9為相互獨立的標準常態分配, 解 (a) 計算信賴區間 { Z 7} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 9, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 Z 成為 μ 9 σ 9 3的常態分配 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-4 頁

96 { < 或 > } { } { } { } ( a) α.3596 ( b) 4.93 Z 4.93 ( c) p.3694 ( d) p.3 ( e) Z < 4.93 ( f) Z > 4.93 ( g) Z 5.88 Z 5.88 X + X + + X6 例題 設 Z, 其中 X, X,, X6為相互獨立的標準常態分配, 6 解 (a) 計算信賴區間 {.5 Z.5} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 6 6 Z 成為 μ σ 的常態分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α.9545 ( b).4 Z.4 ( c) p.3 ( d) p.3 ( e) Z <.4 ( f) Z >.4 ( g) Z.49 Z.49 例題 設 Z X + X + + X, 其中 X, X,, X為相互獨立的標準常態分配, 解 (a) 計算信賴區間 { Z 8} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 8, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 Z 成為自由度 的 χ 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α.943 ( b) 3.94 Z 8.3 ( c) p.37 ( d) p.55 ( e) Z < 3.94 ( f) Z > 8.3 ( g) Z 3.5 Z.48 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-5 頁

97 例題 設 Z 解 ( X + X + X3 ) ( Y + Y ) (a) 計算信賴區間 { Z 8} 3 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 8, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 Z 成為自由度 (3,) 的 F 分配 { < 或 > }, 其中 X, X, X3, Y, Y 為相互獨立的標準常態分配, { } { } { } ( a) α.974 ( b).5 Z 9.6 ( c) p.6495 ( d) p.53 ( e) Z <.5 ( f) Z > 9.6 ( g) Z.6 Z 39.7 例題 3 設 Z 解 X ( Y + Y + Y ) 3 3 (a) 計算信賴區間 { Z } 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為 3, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 3, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 Z 成為自由度 3 的 t 分配 { < 或 > }, 其中 X, Y, Y, Y 3為相互獨立的標準常態分配, { } { } { } ( a) α.867 ( b).35 Z.35 ( c) p.88 ( d) p.88 ( e) Z <.35 ( f) Z >.35 ( g) Z 3.8 Z 3.8 X+ X+ X3 X+ X+ X3 X+ X+ X3 X 3 + X 3 + X3 3 例題 4 設 Z, 其中 σ X, X, X 3分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-6 頁

98 解 (a) 計算信賴區間 { Z 6} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 6, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 Z 成為自由度 3 的 χ 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α.6897 ( b).35 Z 7.85 ( c) p.987 ( d) p.6 ( e) Z <.35 ( f) Z > 7.85 ( g) Z.6 Z Y μ 例題 5 設 Z, 其中 s 解 X+ X+ X3 X+ X+ X3 X+ X+ X3 ( X 3 ) + ( X 3 ) + ( X3 3 ) s, 3 X, X, X3, Y 分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, (a) 計算信賴區間 { Z } 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為 3, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 3, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 Z 成為自由度 3 的 t 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α.865 ( b).9 Z.9 ( c) p.98 ( d) p.98 ( e) Z <.9 ( f) Z >.9 ( g) Z 4.3 Z 4.3 s 例題 6 設 Z, 其中 s 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-7 頁

99 解 s s X+ X+ X3 X+ X+ X3 X+ X+ X3 ( X 3 ) + ( X 3 ) + ( X3 3 ) 3 Y+ Y+ Y3 Y+ Y+ Y3 Y+ Y+ Y3 ( Y 3 ) + ( Y 3 ) + ( Y3 3 ) 3 X, X, X3, Y, Y, Y 3分別為平均數 μ 標準差 σ, 相互獨立的常態分配, (a) 計算信賴區間 { Z 8} 的信賴度 ; (b) 求信賴度 α.9的信賴區間 ; (c) 左尾檢定, 臨界值為, 求 p 值 ; (d) 右尾檢定, 臨界值為 8, 求 p 值 ; (e) 左尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (f) 右尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 ; (g) 雙尾檢定, α.5, 求臨界值 拒絕區域 Z 成為自由度 (,) 的 F 分配 { < 或 > } { } { } { } ( a) α.87 ( b).53 Z 9. ( c) p.6667 ( d) p.56 ( e) Z <.53 ( f) Z > 9. ( g) Z.6 Z 中央極限定理 若 X, X,, X 為 i.i.d., 來自平均數 μ 標準差 σ 的母體, 令 X+ X + + X X 則當 時, σ X N μ, X μ N σ (,) 6 陳欣得統計學 抽樣與抽樣分配第 4-8 頁

100 5 第五章估計與信賴區間 7 年 3 月 6 日最後修改 5. 估計概論 5. 估計量的分配 5.3 信賴度 信賴區間與最大容忍誤差 5.4 優良估計量的評估準則 5.5 產生估計量的方法 5. 估計概論 估計 (estimate): 以樣本的結果推測母體參數的過程 有資料依據 有方法的推測是估計, 沒有根據的就是猜測 最需要被估計的母體參數為平均數與標準差 點估計 (poit estimate): 推測母體參數就是某個數值稱為點估計 由樣本資料產生點估計數值的公式稱為估計量 (estimator) 將特定樣本資料帶入估計量所得的數值稱為估計值 (estimate) 例如 假設樣本資料為,,,, 最常用的母體平均數 μ 的估計量為 而最常用的母體標準差 σ 的估計量為 ( ) + ( ) + + ( ) ( ) s 估計量是隨機變數的函數, 因此估計量也是一個隨機變數 估計區間 (estimate iterval): 推測母體參數應落入某區間, 該區間稱為估計區間 母體參數落入估計區間的機率與估計區間的大小成正向關係 若知道估計量的分配, 則可以計算母體參數落入某估計區間的機率 估計區間也稱為信賴區間 (cofidece iterval) 該區間的機率稱為信賴度 (degree of cofidece), 或信心水準 (level of cofidece) 信賴度或信心水準一般以百分比來表示, 如 9% 信心水準 信賴度為 95% 6 陳欣得統計學 估計與信賴區間第 5- 頁

101 例題 某樣本資料為{,8,4,9,,7 },(a) 請分別以 s 作母體 μ 與 σ 的點估計 ;(b) 若母體為常態分配 ( σ.6 ), 且估計區間為 [ 8, ], 請計算信賴度 ;(c) 請計算信賴 解 度為 95% 的信賴區間 ( a) s μ 的點估計值為, σ 的點估計值為 ( b) 為 μ, σ.6 的常態分配 6 * 8 * z.89, z P( 8 ) P(.89 z.89) % ( 為 μ, σ.6 的常態分配, 區間 { 8 }, 求機率 ) * * * ( c) α P z z z 95% z.96 臨界值.96.6 臨界值 7.9 或.8 * μ ± z σ ± 信賴區間 { 7.9.8} ( 為 μ, σ.6 的常態分配, α 95%, 求信賴區間 ) 5. 估計量的分配 最常用的估計量為 與 s : s ( ) + ( ) + + ( ) 其中,,,, 互相獨立, 來自參數為 μ σ 的常態母體 () 樣本平均數 的分配 : ( a) 母體標準差 σ 已知 μ μ 為 z 分配 σ σ 6 陳欣得統計學 估計與信賴區間第 5- 頁