ok423 三元一次連立方程組 1 ok423 三元一次聯立方程式 主題一 解聯立方程式 1. 可用加減消去法或代入消去法求解. 2. 聯立方程式的解可分成三種: (1) 恰有一解. (2) 無限多組解. (3) 無解.
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1 三元一次聯立方程組 陳清海 老師
2 ok423 三元一次連立方程組 1 ok423 三元一次聯立方程式 主題一 解聯立方程式 1. 可用加減消去法或代入消去法求解. 2. 聯立方程式的解可分成三種: (1) 恰有一解. (2) 無限多組解. (3) 無解.
3 2 ok423 三元一次連立方程組 例題 1 x y z 9 解三元一次聯立方程式 2x 3y 4z 29. 3x 2y z 8 Ans:x=2 y=3 z=4 x y z 9 先將聯立方程式編號為 2x 3y 4z 29 3x 2y z 8 然後採用加減消去法求解如下:由 -2-3 消去 x x y z 9 得 y2z 11 y 4z 19 再由 + 消去 y x y z 9 得 y2z 11 2z 8 由 解得 z=4 代回 解得 y=3 再將 y=3 z=4 代回 解得 x=2. 解二 採用代入消去法:由 得 x=9-y-z 代入 消去 x x y z 9 得 y2z 11 y 4z 19 再由 得 y=11-2z 代入 消去 y x y z 9 得 y2z 11 2z 8 由 解得 z=4 代回 解得 y=3 再將 y=3 z=4 代回 解得 x=2.故聯立方程式的解為 x=2 y=3 z=4.
4 ok423 三元一次連立方程組 3 類題 1 x y 2z 3 解三元一次聯立方程式 2x 2y 3z 5. 3x y 2z 5 Ans:x=1 y=0 z=1 x y 2z 3 先將聯立方程式編號為 2x 2y 3z 5 3x y 2z 5 然後採用加減消去法求解如下:由 -2-3 消去 x x y 2z 3 得 4y z 1 4y 4z 4 再由 - 消去 y x y 2z 3 得 4y z 1 3z 3 由 得 z=1 代回 解得 y=0 再將 y=0 z=1 代回 解得 x=1. 例題 2 x y 2z 7 解三元一次聯立方程式 2x y 3z 5. 4x y 7z 10 Ans: 無解 x y 2z 7 先將聯立方程式編號為 2x y 3z 5 4x y 7z 10 然後用加減消去法求解如下:由 -2 及 -4 消去 x x y 2z 7 得 3y z 9 3y z 18 由 - 消去 y
5 4 ok423 三元一次連立方程組 x y 2z 7 得 3y z 9 09 因為沒有 x y z 滿足 式所以原聯立方程式無解. 類題 2 x 2y z 0 解三元一次聯立方程式 3x y 2z 3. x 7y 2z 6 Ans: 無解 x 2y z 0 先將聯立方程式編號為 3x y 2z 3 x 7y 2z 6 然後用加減消去法求解如下:由 -3 及 - 消去 x x 2y z 0 得 5yz 3 5y z 6 由 + 消去 y x 2y z 0 得 5yz 因為沒有 x y z 滿足 式所以原聯立方程式無解. 例題 3 x y z 0 解三元一次聯立方程式 x y 2z 2. 3x y 5z 4 x 2 3t y t z 2 2t Ans: (t 為實數 )即有無限多組解
6 ok423 三元一次連立方程組 5 x y z 0 先將聯立方程式編號為 x y 2z 2 3x y 5z 4 然後用加減消去法求解如下:由 - 及 -3 消去 x x y z 0 得 2y z 2 4y2z 4 由 -2 x y z 0 x y z 0 得 2yz 2 即. 2yz 令 y=t 代入 解得 z=2-2t 再將 y=t z=2-2t 代回 解得 x=2+3t. x 2 3t 可得聯立方程式的解為 y t (t 為實數 ) z 2 2t 即聯立方程式有無限多組解. 類題 3 x 2y z 1 解三元一次聯立方程式 x y 2z 4. 4x y 5z 13 x 2 t y t z 1 t Ans: (t 為實數 )即有無限多組解 x 2y z 1 先將聯立方程式編號為 x y 2z 4 4x y 5z 13 然後用加減消去法求解如下:由 - 及 -4 消去 x x 2y z 1 得 3y 3z 3 9 y 9z 9
7 6 ok423 三元一次連立方程組 由 -3 x 2y z 1 x 2y z 1 得 3y 3z 3 即. y z 令 y=t 代入 解得 z=1+t 再將 y=t z=1+t 代回 解得 x=2-t. x 2 t 可得聯立方程式的解為 y t (t 為實數 ) z 1 t 即聯立方程式有無限多組解. 例題 4 已知二次函數 y=ax 2 +bx+c 的圖形通過 (13)(28)(315) 三點求 a b c 的值. Ans:a=1 b=2 c=0 因為 y=ax 2 +bx+c 的圖形通過 (13)(28)(315) 三點所以可列得聯立方程式並編號為 a b c 3 4a 2b c 8 9a 3b c 15 利用加減消去法由 - 及 - 消去 c a b c 3 得 3a b 5 8a2b 12 由 解得 a=1 b=2 再將 a=1 b=2 代回 解得 c=0.故 a=1 b=2 c=0. 類題 4 已知圓 x 2 +y 2 +dx+ey+f=0 通過 (11)(35)(24) 三點求 d e f 的值. Ans:d=2 e=4 f=8
8 ok423 三元一次連立方程組 7 因為 x 2 +y 2 +dx+ey+f=0 通過 (11)(35)(24) 三點所以可列得聯立方程式並編號為 d e f 2 0 3d 5e f d 4e f 20 0 利用加減消去法由 - 及 - 消去 f d e f 2 0 得 4d 6e 32 0 d 5e 18 0 由 解得 d=2 e=4 再將 d=2 e=4 代回 解得 f=8.故 d=2 e=4 f=8. 例題 x y z 解三元一次聯立方程式 3. x y z x y z Ans:x=1 1 1 y z 令 A B C x y z A B C 6 將聯立方程式改寫並編號為 2A B C 3 A 2B C 2 然後利用加減消去法 解得 A=1 B=2 C=3. 1 因此 1 x 1 2 y 1 3 z 解得 x=1 y 1 z
9 8 ok423 三元一次連立方程組 類題 x 1 y z 解三元一次聯立方程式 2. x 1 y z x 1 y z Ans: x 4 y 1 z= 令 A B 1 x 1 C 1 y z 將聯立方程式改寫並編號為 A B C 6 A 2B 3C 2 A B 2C 3 然後利用加減消去法 解得 A=3 B=2 C=1. 因此 解得 x1 y 1 1 z 4 x y 1 z=1. 3 2
10 ok423 三元一次連立方程組 9 主題二 克拉瑪公式:三元一次聯立方程式的公式解 a1x b1 y c1z d1 設三元一次聯立方程式 a2x b2 y c2z d2.令 a3x b3 y c3z d3 a b c x a b c a b c d b c d b c d b c y a d c a d c a d c z a b d a b d a b d 可得 x x y y z z. (1) 當 0時此聯立方程式恰有一組解 x y z x y z. 我們將上式稱為克拉瑪公式. (2) 當 0時若 有非 0 的情形 則聯立方程式無解. x y z (3) 當 0時若 0 x y z 則聯立方程式無解或無限多組解.
11 10 ok423 三元一次連立方程組 例題 6 2x y 2z 1 利用克拉瑪公式解聯立方程式 x y z 1. x 2y 3z 0 Ans:x=3 y=3 z=1 因為 ( 4) ( 3) 所以此聯立方程式恰有一組解.又因為 ( 2) ( 3) 0 6 x ( 3) 2 6 y z 所以此聯立方程式恰有一組解 x 3 y 3 z 類題 6-1 已知三平面 3x+2y+z=4 x-2y+z=32x-y+2z=0 交於一點求此交點的坐標 ( 2 ) Ans: 2 2 因為三平面 3x+2y +z=4 x-2y+z=32x-y+2z=0 的交點 3x 2y z 4 就是方程組 x 2y z 3 2x y 2z 0
12 ok423 三元一次連立方程組 11 的解所以利用克拉瑪公式計算如下: ( 3) 4 ( 4) ( 4) x y ( 9) 0 ( 16) 33 z 得聯立方程式的解為 27 9 x y 2 z 故三平面的交點為 ( 2 ). 2 2 類題 6-2 已知三平面 x 3y 2z 2 3x y 2z 1 2x 2y z 2 交於 點 (abc) 求 a 的值. Ans: x 由克拉瑪公式可知: a 並計算如下: ( 9) ( 4) ( 3) 4 15 x x 故 a
13 12 ok423 三元一次連立方程組 例題 2x y z 1 已知聯立方程式 x y 2z 2有無限多組解求 a b 的值. ax 2y z b Ans:a=7 b=5 因為聯立方程式有無限多組解所以 a 2 1 即 2-2a-2-8-(1)-(a)=0 整理得 a-7=0 解得 a=7. 2x y z 1 現在將聯立方程式編號為 x y 2z 2 7x 2y z b 利用加減消去法由 -2 及 +7 3y 5z 3 得 x y 2z 2 9y 15z b 14 再由 +3 消去 y 3y 5z 3 得 x y 2z 2 0 b 5. 因為聯立方程式有無限多組解 所以 式為 0=0 的形式即 b=5. 故由上面的討論可得: a=7 b=5. 類題 7 x 2y z 3 已知聯立方程式 3x y z 1無解求 a 的值. ax 3y z 4 Ans:5 因為聯立方程式無解所以 a 3 1
14 ok423 三元一次連立方程組 13 即 1-2a+9-(3)-6-(a)=0 整理得 a+5=0 解得 a=5. 例題 8 甲 乙兩家共用一口井.用甲家繩子 1 條乙家繩子 4 條連結起來取水正好到達水面;用甲家繩子 3 條乙家繩子 1 條連結起來取水距水面還有 3 尺;用甲家繩子 2 條乙家繩子 2 條連結起來取水離水面還有 6 尺.只知甲家繩子均等長乙家繩子也均等長問井深及甲 乙兩家的繩子各幾尺長? Ans: 井深 48 尺甲家繩長 12 尺乙家繩長 9 尺設井深 x 尺甲家繩子長 y 尺乙家繩子長 z 尺.由題意可列得三元一次聯立方程式 x y 4z x y 4z 0 x 3 3y z 整理得 x 3y z 3.因為 x 6 2y 2z x 2y 2z x ( 6) 0 ( 12) 12 y ( 6) ( 6) 0 9 z 所以此聯立方程式的解為 x 48 y 12 z 故井深 48 尺甲家繩長 12 尺乙家繩長 9 尺.
15 14 ok423 三元一次連立方程組 類題 8 麵粉批發:低筋麵粉一斤 中筋麵粉三斤 高筋麵粉二斤售價 215 元 ; 低筋麵粉二斤 中筋麵粉一斤 高筋麵粉三斤售價也是 215 元;低筋麵粉三斤 中筋麵粉二斤 高筋麵粉一斤售價則為 200 元.問:低筋 中筋 高筋麵粉一斤各售多少元? Ans: 低筋 30 元中筋 35 元高筋 40 元設低筋麵粉一斤 x 元 中筋麵粉一斤 y 元 高筋麵粉一斤 z 元.由題意可列得聯立方程式並編號為 x 3y 2z 215 2x y 3z x 2y z 200 利用加減消去法由 -2 及 -3 x 3y 2z 215 得 5y z 215 7y 5z 445 由 解得 y=35 z=40 再將 y=35 z=40 代回 解得 x=30.故低筋麵粉一斤 30 元中筋麵粉一斤 35 元高筋麵粉一斤 40 元. 例題 9 饅頭店特賣炭烤小饅頭每天中午 12 點時出爐限量 100 個每位顧客最多只能買 3 個;購買 1 個 2 個或 3 個小饅頭的價錢分別為 元.已知今天小饅頭銷售一空買饅頭的顧客共有 50 位總共賣得 531 元問購買 1 個 2 個或 3 個小饅頭的顧客各多少人? Ans:19 人 12 人 19 人設購買 1 個 2 個或 3 個小饅頭的顧客人數分別為 x y z 人.由題意可列得聯立方程式並編號為 x y z 50 x 2y 3z x 11y 15z 531 利用加減消去法由 - 及 -6 得
16 ok423 三元一次連立方程組 15 x y z 50 y2z 50 5y9z 231 再將 -5 相加得 z=19 即 z=19 並可推得 y=12 x=19.故購買 1 個 2 個或 3 個小饅頭的顧客人數分別為 人. 類題 9 相傳包子是三國時白羅家族發明的.孔明最喜歡吃他們所做的包子因此白羅包子店門庭若市一包難求必須一大早去排隊才買得到.事實上白羅包子店只賣一種包子每天限量供應 999 個且規定每位顧客限購三個;而購買一個 兩個或三個包子的價錢分別是 分錢.在那三國戰亂的某一天包子賣完後老闆跟老闆娘有如下的對話:老闆說 : 賺錢真辛苦一個包子成本就要 5 分錢今天到底賺了多少錢? 老闆娘說: 今天共賣了 7195 分錢只有 432 位顧客買到包子. (1) 請問當天白羅包子店淨賺多少錢? (2) 聰明的你請幫忙分析當天購買一個 兩個及三個包子的人數各多少人? Ans:(1) 2200 分錢 (2) 95 人 107 人 230 人 (1) =2200 分錢. (2) 設購買 1 個 2 個或 3 個包子的人數分別為 x y z 人.由題意可列得聯立方程式並編號為 x y z 432 x 2y 3z 999 8x 15y 21z 7195 利用加減消去法由 - 及 -8 得 x y z 432 y 2 z 567 7y13z 3739 再將 -7 得 z=230 即 z=230 並可推得 y=107 x=95.故購買 1 個 2 個或 3 個包子的人數分別為 人.
17 16 ok423 三元一次連立方程組 主題三 三平面幾何關係的代數判定 a1x b1 y c1z d1 三元一次聯立方程式 a2x b2 y c2z d2 之解的幾何意義為三平面 a3x b3 y c3z d3 a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d 的共同交點 (1) 當 0時此聯立方程式恰有一組解 x y z x y z 三平面恰交於一點如右圖所示. L E 1 E 2 E 3 三平面恰交於一點 (2) 當 0且 有非 0 的情形時三平面的關係有下圖 2 種情 形: x y z E 3 E 2 E 1 二平面平行且與第三平面分別交於一直線 E 3 E 2 E 1 三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 (3) 當 x y z 0 時三平面的關係有下圖 5 種情形:
18 ok423 三元一次連立方程組 17 E 3 E 2E1 三平面重合 E 3 E 2 E1 二平面重合且與第三平面平行 E 3 E 2 E 1 三平面平行 E 3 E 2 E 1 二平面重合且與第三平面交於一直線 E 3 E 1 E 2 平面兩兩不重合且相交於一直線 a1x b1 y c1z d1 三元一次聯立方程式 a2x b2 y c2z d2 的解與幾何關係有以下的結論: a3x b3 y c3z d3 聯立方程式的解 幾何關係 0 恰有一解三平面恰交於一點 x 0 有非 0 的情形 y z x y z 0 無解 無解 無限多組解 三平面沒有共同交點 三平面沒有共同交點 三平面交於一直線或一平面
19 E 1 E3 18 ok423 三元一次連立方程組 例題 10 判定三平面 E1:x+2y+3z=4 E2:2x+3y+z=5 E3:4x+6y+2z=6 的相交情形. Ans:E2 與 E3 平行且與 E1 分別交於一直線因為 E2 的法向量 (231) 與 E3 的法向量 (462) 平行且二平面相異所以 E2 與 E3 互相平行.又因為 E1 的法向量 (123) 和二平面的法向量不平行所以 E1 和 E2 與 E3 二平面分別交於一直線.三平面相交的情形如下圖所示. E 1 E 2 E 3 類題 10 判定三平面 E1:x-y+2z=4 E2:2x-2y-2z=5 E3:2x-2y+4z=8 的相交情形. Ans:E1 與 E3 重合且與 E2 交於一直線因為 E3 的方程式可以改寫成 E1:x-y+2z=4 即 E1 與 E3 是兩個重合平面.又因為 E2 的法向量 (222) 和二平面的法向量不平行所以 E2 和 E1 與 E3 二平面同時交於一直線.三平面相交的情形如下圖所示. E 2
20 ok423 三元一次連立方程組 19 例題 11 判定三平面 E1:x+y-2z=3 E2:2x-y+z=1 E3:x+4y-7z=8 的相交情形. Ans: 三平面兩兩不重合且相交於一直線 因為三平面 E1 E2 E3 的法向量 n1 (11 2) n 2 (2 11) n 3 (14 7) 均不互相平行所以此三平面的相交情形只有 3 種. 因此我們只需求出三平面的交點個數 就可以判定它們的相交情形是 3 種情形中的哪一種. 現在將三平面的方程式聯立起來並編號為 x y 2z 3 2x y z 1 x 4y 7z 8 利用加減消去法 由 -2 及 - 消去 x 得 x y 2z 3 3y 5z 5 3y 5z 5 再由 + 消去 y 得 x y 2z 3 3y 5z x y 2z 3 即 3y 5z 5. 令 y=5t 代入 解得 z=1+3t 再將 y=5t z=1+3t 代回 解得 x=1+t. 可得聯立方程式有無限多組解 x1t 其解為 y 5t (t 為實數 ). z 1 3t 因此在幾何上此三平面兩兩不重合且相交於一直線 L 如下圖所示.
21 20 ok423 三元一次連立方程組 E 3 E 1 L E 2 類題 11 判定三平面 E1:x+2y-3z=1 E2:x+y-2z=2 E3:x+4y-5z=8 的相交情形. Ans: 三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 因為三平面 E1 E2 E3 的法向量 n1 (12 3) n 2 (11 2) n 3 (14 5) 均不互相平行所以此三平面的相交情形只有 3 種. 現在將三平面的方程式聯立起來並編號為 x 2y 3z 1 x y 2z 2 x 4y 5z 8 利用加減消去法由 - 及 - 消去 x 得 x 2y 3z 1 y z 1 2y 2z 7 再由 +2 消去 y 得 x 2y 3z 1 y z 因為沒有 x y z 滿足 式所以聯立方程式無解. 因此在幾何上此三平面兩兩交於一直線 但沒有共同交點如下圖所示.
22 ok423 三元一次連立方程組 21 E 3 E 2 E 1 例題 12 試就實數 a 的值判定三平面 E1:x-y+z=1 E2:3x+2y-z=2 E3:x+4y-3z=a 的相交情形. Ans:a=4 時三平面兩兩不重合且相交於一直線 a 4 時三平面 兩兩交於一直線但沒有共同交點 因為三平面 E1 E2 E3 的法向量 n1 (1 11) n 2 (32 1) n 3 (14 3) 均不互相平行所以此三平面的相交情形只有 3 種. 現在將三平面的方程式聯立起來並編號為 x y z 1 3x 2y z 2 x 4y 3z a 利用加減消去法由 -3 及 - 消去 x 得 x y z 1 5y 4z 5 5y 4z a 1 x y z 1 再由 - 得 5y 4z 5 0a 4 x y z 1 即 5y 4z 5 a 4. (1) 當 a=4 時令 z=5t 代入 解得 y=1+4t 再將 y=1+4t z=5t 代回 解得 x=t. xt 可得聯立方程式有無限多組解其解為 y 1 4t(t 為實數 ). z 5t
23 22 ok423 三元一次連立方程組 因此當 a=4 時三平面兩兩不重合且相交於一直線 如下圖所示. E 3 E 1 E 2 (2) 當 a 4 時因為沒有 x y z 滿足 式所以原聯立方程式無解. 因此當 a 4 時三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 如下圖所示. E 3 E 2 E 1 類題 12 下列哪個 a 的值使得平面 E1:x-2y+z=1 E2:2x-3y-z=2 E3:x-3y+az=4 兩兩相交於一直線但沒有共同的交點? (1) a=1(2) a=2(3) a=3(4) a=4(5) a=5. Ans:(4) 因為三平面 E1 E2 E3 的法向量 n1 (1 21) n 2 (2 3 1) n 3 (1 3 a) 均不互相平行 所以將三平面的方程式聯立起來並編號為 x 2y z 1 2x 3y z 2 x 3y az 4 因為三平面兩兩相交於一直線 但沒有共同的交點所以方程組無解. 利用加減消去法由 -2 及 - 消去 x 得
24 ok423 三元一次連立方程組 23 x 2y z 1 y 3z 0 y ( a 1) z 3 再由 + 消去 y 得 x 2y z 1 y3z 0 ( a4) z 3. 因為當 a-4=0 即 a=4 時 式為 0=3 表示聯立方程式無解. 故正確的選項為 (4). 解二 因為三平面兩兩相交於一直線但沒有共同的交點 表示將三平面的方程式聯立起來的聯立方程式 x 2y z 1 2x 3y z 2 無解所以 0. x 3y az 計算 a ( a4 ) ( 3) a 由 a-4=0 解得 a=4. 故正確的選項為 (4). a 例題 13 x y z ax 已知聯立方程式 x y z ay 除了 x=0 y=0 z=0 的解之外尚有其他解. x y z az (1) 求 a 的值. (2) 就 a 值討論聯立方程式的幾何意義. Ans:(1) 0 或 3 (2) a=0 時三平面重合 ;a=3 時三平面兩兩不重合且相交於一直線 x y z ax 將 x y z ay x y z az 改成 1 a x y z 0 x 1 a y z 0 x y 1 a z 0
25 24 ok423 三元一次連立方程組 因為除了 x=0 y=0 z=0 的解之外尚有其他解 1a 1 1 所以 0即 1 1a a 1a 1 1 (1) 計算 1 1a 1 2 a (3 a ) a 因此 a 2 (3 a) 0解得 a=0 或 3. (2) 當 a=0 時聯立方程式為 x y z 0 x y z 0表示三個重合的平面. x y z 0 2x y z 0 當 a=3 時聯立方程式為 x 2y z 0 x y 2z 0 表示三個兩兩不平行的平面. 因為聯立方程式有無限多組解 所以此三平面相交於一直線如下圖所示. E 3 E 1 E 2 類題 13 ax y z 1 就 a 值討論聯立方程式 x ay z 1 的幾何意義. x y az 1 1 Ans:a 1 且 a 2 時三平面交於一點 ( a 2 1 a 2 1 a 2 );a=1 時三平面重合 ;a=2 時三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 a 計算 1 a 1 ( a 1) ( a 2) x 1 a 1 ( a 1) 1 1 a 1 1 a
26 ok423 三元一次連立方程組 ( a 1) y a 1 1 a a 1 ( a1) z a (1) 當 a 1 且 a 2 即 0時 聯立方程式恰有一解 ( ) a2 a2 a 即三平面交於一點 ( ). a2 a2 a2 x y z 1 (2) 當 a=1 時聯立方程式為 x y z 1 x y z 1 表示三個重合平面. 2x y z 1 (3) 當 a=2 時聯立方程式為 x 2y z 1 x y 2z 1 2 因為 ( a 1) 9 0所以聯立方程式無解 x 表示三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點 如下圖所示. E 3 E 2 E 1
27 26 ok423 三元一次連立方程組 重要精選考題 基礎題 1. 判定三平面 E1:x+2y+3z=1 E2:2x+3y+4z=2 E3:3x+5y+7z=3 的相交情形. Ans: 三平面兩兩不重合且相交於一直線 因為三平面 E1 E2 E3 的法向量 n1 (1 23) n 2 (234) n 3 (357) 均不互相平行所以此三平面的相交情形只有 3 種. 現在將三平面的方程式聯立起來並編號為 x 2y 3z 1 2x 3y 4z 2 3x 5y 7z 3. 利用加減消去法由 -2 及 -3 消去 x 得 x 2y 3z 1 y 2z 0 y 2z 0. 令 z=t 代入 解得 y=2t 再將 y=2t z=t 代回 解得 x=1+t. x1t 可得聯立方程式有無限多組解其解為 y 2t (t 為實數 ). z t 因此在幾何上此三平面兩兩不重合且相交於一直線 L 如下圖所示. E 3 E 1 L E 2
28 ok423 三元一次連立方程組 已知空間中四平面 E1:x-2y+3z=5 E2:2x+y-3z=3 E3:3x+y+2z=8 E4:x+3y+4z=k 恰交於一點求實數 k 的值. Ans:12 x 2y 3z 5 由聯立方程式 2x y 3z 3 解得 3x y 2z 8 (xyz)=(112)即三平面 E1 E2 及 E3 恰交於一點 (112).由題意得知點 (112) 在平面 E4 上將 (112) 代入 E4 的方程式得 1+3+8=k 解得 k= x y 2z 3 已知聯立方程式 2x 2y z 1 有無限多組解求 a b 的值. 3x ay z b Ans:a=1 b=4 因為聯立方程式有無限多組解 所以 a 1 展開得 2-3-4a+12-a-2=0 整理得 5a=5 解得 a=1. x y 2z 3 代入原聯立方程式得 2x 2y z 1 3x y z b 利用加減消去法由 -2 及 -3 消去 x 得 x y 2z 3 4y 5z 5 4y 5z b 9. 因為聯立方程式有無限多組解 所以由 和 可得 b-9=5 解得 b=4.
29 28 ok423 三元一次連立方程組 4. 設 a 為實數關於三平面 x+y-z=12x+3y+az=3 x+ay+3z=2. (1) 若三平面兩兩不重合且相交於一直線則 a 的值為何? (2) 若三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點則 a 的值為何? Ans:(1) 2(2) a 2 計算 2 3 a 2 1 a 2 a a 3 1 a1 4 = (a+3)(a-2). 因為當 0時三平面恰交於一點所以考慮 0 即 a=2 或 3 的情形: x y z 1 (1) 當 a=2 時聯立方程式為 2x 3y 2z 3 x 2y 3z 2 利用加減消去法由 -2 及 - 消去 x x y z 1 得 y4z 1 y4z 1 由聯立方程式得知有無限多組解. 因為三平面的法向量均不互相平行 所以此三平面兩兩不重合且相交於一直線. x y z 1 (2) 當 a=3 時聯立方程式為 2x 3y 3z 3 x 3y 3z 2 利用加減消去法由 -2 及 - 消去 x x y z 1 得 y z 1 4y 4z 1 並由 得 y-z= 1 4.由聯立方程式得知無解. 因為三平面的法向量均不互相平行 所以此三平面兩兩交於一直線但沒有共同交點.
30 ok423 三元一次連立方程組 29 k 3 5 kx 3y 5z 已知 1 2 k ( k 3)( k 15) 且聯立方程式 x 2y kz 3k 3 3 k 3x 3y kz 3k 恰有一組解求 (1) 實數 k 的範圍. (2) 聯立方程式的解. Ans:(1) k 3 且 k 15(2) x=0 y=0 z=3 (1) 因為聯立方程式恰有一組解所以 0 即 k k ( k 3)( k 15) k 故 k 3 且 k 15. (2) 計算行列式: x 3k 2 k 3 k 2 k 0 3k 3 k k 3 k 15 5 k k k 3 1 k k 0 y k 3 3k k 3 k k 3 15 k k k 3 z k 3 3 3k 3 3 k 利用克拉瑪公式得其解為 x x y z 3 0 y 0 z 3. 2x y z 0 6. 已知聯立方程式 3x y 4z 0 除了 x=0 y=0 z=0 外 5x 2y kz 0 還有其他組解求 (1) 實數 k 的值. (2) x 2 +y+z 的最小值. Ans:(1) 3(2) 1
31 30 ok423 三元一次連立方程組 (1) 由題意得知聯立方程式中的三個平面至少有二個交點 因此聯立方程式有無限多組解 計算 k k 因為當 0聯立方程式恰有一解 所以當聯立方程式有無限多組解時 0 故 k 3. 2x y z 0 (2) 將 k=3 代入聯立方程式得 3x y 4z 0 5x 2y 3z 0 利用加減消去法由 + 及 -2 消去 y 2x y z 0 得 5x 5z 0 x z 0. 令 x=t 代入 得 z=t 再代入 得 y=t 即聯立方程式的解為 x=t y=t z=t t 為實數. 因此 x 2 +y+z=t 2 +t+t=t 2 +2t=(t+1) 2-1 故當 t=1 時 x 2 +y+z 有最小值 某公司有甲 乙 丙三條生產線現欲生產三萬個產品如果甲 乙 丙 三條生產線同時開動則需 10 小時;如果只開動乙 丙兩條生產線則需 15 小時;如果只開動甲生產線 15 小時則需再開動丙生產線 30 小時才 能完成所有產品.問如果只開動乙生產線則需多少小時才能生產三萬個 產品? Ans:20 小時 設甲 乙 丙獨立生產時分別需要 x y z 小時 x y z 由題意列得聯立方程式 y z x z 解得 x=30 y=20 z=60.
32 ok423 三元一次連立方程組 31 故只開動乙生產線需 20 小時才能生產三萬個產品. 進階題 8. 假設坐標空間中三相異平面 E 1 E 2 3 試問以下哪些點也同時在此三平面上? E 皆通過 A 120 與 B 學測 (1) 222.(2) 111.(3) 4 22.(4) 240.(5) Ans:(2). 題意知三平面共線僅需驗證向量是否成比例即知是否在線上 亦即在三平面上.令 P(120) Q(302) PQ =(422)=2(211) (A) :令 A(222) PA=(302) // PQ. (B) :令 B(111) PB =(211)// PQ. (C) :令 C(422) PC =(542) // PQ. (D) :令 D(240) PD =(120) // PQ. (E) :令 E(542) PE =(462) // PQ. 兩點 x 2y az 1 9. 設 a b c 為實數下列有關聯立方程式 3x 4y bz 1的敘述 2x 10y 7z c 哪些是正確的? (1) 若此聯立方程式有解則必定恰有一組解. (2) 若此聯立方程式有解則 11a3b 7. (3) 若此聯立方程式有解則 c 14. (4) 若此聯立方程式無解則 11a3b 7. (5) 若此聯立方程式無解則 c 學測 Ans:(4)(5) = z= a b =28+30a+4b-8a-42-10b=22a-6b =4c c+10=28-2c 2 10 c
33 32 ok423 三元一次連立方程組 (A) 若此線性方程組有解 則可能恰有一組解或無限多解 (B)(C) 若此線性方程組有解 則 11a-3b 7 或 (11a-3b=7c=14) (D) 若此線性方程組無解 則 =0 即 11a-3b=7 (E) 若此線性方程組無解 則 =0 z 0 即 c 14 a1x b1 y c1z d1 10. 已知 x=4 y=2 z=3 是聯立方程式 a x b y c z d a x b y c z d a1x 2b1 y 3c1 z 4d1 求聯立方程式 a x 2b y 3c z 4d a x 2b y 3c z 4d Ans:x=16 y=4 z=4 的解 唯一的一組解 令 a b c a b c a b c x d b c d b c d b c y a d c a d c a d c z a b d a b d a b d 則 a 2b 3c a2 2b2 3c2 6 a 2b 3c a1 4d 1 3c 1 a 4d 3c 12 y a 4d 3c y 4d 2b 3c x 4d2 2b2 3c2 24 x 4d 2b 3c a1 2b1 4d1 a 2b 4d 8 z a 2b 4d 因為 x=4 y=2 z=3 為第一個聯立方程式唯一的一組解 x 所以 0且 y 4 z 2 3. 因此第二個聯立方程式的解為 x 24x 24 x y 12y 12 y z 8z 8 z z.
34 ok423 三元一次連立方程組 33 a1x b1 y c1z d1 11. 設聯立方程式 ( L) : a x b y c z d a x b y c z d 恰有一組解 (456) 且聯立方程式 (2a1 3 b1 ) x 4b1 y c1 z d1 ( L) : (2a2 3 b2 ) x 4b 2 y c2 z d2 也恰有一組解 ( ) 求 的值. (2a3 3 b3 ) x 4b3 y c3 z d3 Ans:2 在聯立方程式 (L) 中 a b c 若 a b c a b c 在聯立方程式 (L) 中 d1 b1 c1 x x d2 b2 c2 則 x 4. d b c a 3b 4b c a 3b 4b c a 3b 4b c a 4b c a 4b c a 4b c a b c a b c a b c ( ) 4 d1 4b1 c1 d1 b1 c1 且 d 4b c 4 d b c 4. x d 4b c d b c x 4x 4 故 x a1 x b1 y c1z 設聯立方程式 L : a2x b2 y c2z 0所表示的三平面互異有一組解 (123). a3x b3 y c3z 0 a1x b1 y c1z d1 若聯立方程式 L: a x b y c z d a x b y c z d 有一解 (321) 則下列哪些選項為聯立方程式 L 的解? (1) (123)(2) (567)(3) (678)(4) (202)(5) ( ). Ans:(2)(4)(5)
35 34 ok423 三元一次連立方程組 因為聯立方程式 L 中三個平面互異 且至少有兩個交點 (000) 與 (123) 所以三平面交於一直線且此直線的方向向量為 v (123). a1 b1 c1 因為聯立方程式 L 有無限多組解所以 a b c 0. 於是聯立方程式 L 不是無解就是無限多組解 a b c 但是因為 (321) 為 L 的一組解所以 L 有無限多組解. 因此三平面交於一直線且此線與 v (123) 平行. 由直線的參數式得三平面的交線參數式為 x3 t y 2 2 t (t 為實數 ). z 1 3 t 將各選項代入檢查得僅選項 (2)(4)(5) 的點在交線上. 故正確的選項為 (2)(4)(5). 13. 設 a 是不為零的實數且三元一次聯立方程式 x3 y5 2 3 y 5 z 4 3 有解試問下列哪些選項是正確的? x z 2 a y 1 z 2 3 (1) a 2. (2) 原聯立方程式有唯一解. x3 y5 2 3 (3) 聯立方程式 有無窮多解. x z 2 a x z 2 a (4) 聯立方程式 有唯一解. y 1 z 2 3
36 ok423 三元一次連立方程組 35 x3 y5 2 3 (5) 聯立方程式 有無窮多解. y 5 z 4 3 Ans:(2)(3)(5) 96 指甲 由 x3 y5 z 4 k 2 3 x=2k+3y=3k+5z=k+4 代入 3k 5 1 k k+2=k+2 k 為任意數 (1) 代入 2k 3 k 4 2 a 2k+3=a(k+2) k= 3 2 a a 2 a 2 (2) 當 a 2a 0 時 原方程組恰有一組解 (3) 由 得 3x-2y+1=0 法向量 v1 =(3 20) 由 得 x-ay+2a=0 法向量 v3 =(1 a0) 此兩法向量不平行 兩平面恰交於一直線 故有無限多解 (4) 與 (3) 同理 有無限多解 (5) 有無窮多解 : x=2k+3y=3k+5z=k+4k 為任意實數 14. 設 ABC 的三頂點坐標分別為 A B C (1) 求通過 A B C 三點的平面方程式. (2) 求 ABC 的外心坐標. 96 指甲 Ans:(1) x+y+z=20(2) (398) (1) 設 E:ax+by+cz=d A(2715) 代入得 2a+7b+15c=1 B(1163) 代入得 C(1073) 代入得 - a-b=0 b=a a+16b+3c=1 10a+7b+3c=1.
37 36 ok423 三元一次連立方程組 代入 17a+3c=1 3c=1-17a 代入 2a+7a+5(1-17a)=1 a= 1 20 b= 1 20 c= 1 20 故得 E:x+y+z=20 (2) 外心 O 到三頂點等距離且在平面 ABC 上 設 O(pqr) 則 (p+2) 2 +(q-7) 2 +(r-15) 2 =(p-1) 2 +(q-16) 2 +(r-3) 2 =(p-10) 2 +(q-7) 2 +(r-3) 2 4p-14q-30r+278 =2p-32q-6r+266 =20p-14q-6r+158 6p+18q-24r+12=0 18p-18q+108=0 p+3q-4r+2=0 p-q+6=0 代入 p+3(p+6)-4r+2=0 r=p+5 代入 E 得 p+(p+6)+(p+5)=20 p=3q=9r=8 故外心為 O(398) 15. 一礦物內含 A B C 三種放射性物質放射出同一種輻射.已知 A B C 每公克分別會釋放出 1 單位 2 單位 1 單位的輻射強度又知 A B C 每過半年其質量分別變為原來質量的 倍.於一年前測得此礦物的 4 輻射強度為 66 單位而半年前測得此礦物的輻射強度為 22 單位 且目前此礦物的輻射強度為 8 單位求目前此礦物中 A B C 物質 之質量分別為多少公克. 100 學測 Ans: A : 4公克 B : 1公克 C : 2公克 設目前此礦物中 A B C 物質的質量分別為 x y z 公克 則半年前此礦物中 A B C 物質的 質量分別為 2x 3y 4z 公克
38 ok423 三元一次連立方程組 37 且一年前此礦物中 A B C 物質的質量分別為 4x 9y 16z 公克 則 4x 18y 16z 66 (1) 2x 6y 4z 22 (2) x 2y z 8 (3) (1)-(2) 2 6y+8z=22 3y+4z=11 (4) (2)-(3) 2 2y+2z=6 y+z=3 (5) (4)-(5) 3 z=2 代入 (5) y+2=3 y=1 代入 (3) x+2+2=8 x=4 故目前此礦物中 A B C 物質的質量分別為 公克
面積與二階行列式 陳清海 老師
面積與二階行列式 陳清海 老師 1 主題一 二階行列式 1. 二階行列式: 符號 即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
遞迴數列
- 三元一次方程組 目標 i 能利用加減消去法與代入消去法解三元一次方程組及三元一次方程組的應用 ii 除 i 之教材外 利用三階行列式解三元一次方程組或討論三平面的幾何關係 討論. 在三元一次方程式 4 6 中 由於 的係數不為 任意給 的值 都可求得 例如 5 令 時 4 6 4 5 4 5 得到方程式的一解 4 由此可知 4 6 有無限多解 一般而言 三元一次方程式 中 不皆為 假設 則 故任意給定
對數函數 陳清海 老師
對數函數 陳清海 老師 p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
ok332 平面向量的座標表示法
1 ok33 平面向量的坐標表示法 主題一 向量的坐標表示法 1 對於任意一個向量 a,必有唯一的一點 A 使得 a OA 此時 A 點的坐標 xy, 就是向量 a 的坐標表示, 即 a x, y,其中 x 和 y 分別稱為向量 a 的 x 分量 與 y 分量且 a OA x y 設 r 為實數,向量 a x, y, b x, y 1 1 (1) a b x x, y y () r a rx, ry
ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
ok321 直線方程式
主題一 直線的斜率 斜率的定義:設 Ax, y,, B x y 為直線 L 上相異兩點, y y () 若 L 非鉛直線 ( x x ),則 L 的斜率 m x x () 若 L 為鉛直線 ( x x ),則稱直線 L 無斜率 斜率的變化: () 直線由左下向右上傾斜時,斜率為正 () 直線由左上向右下傾斜時,斜率為負 () 直線為水平線時,斜率為 0 直線為鉛直線時沒有斜率 同時,直線的傾斜程度愈大,斜率的絕對值也愈大
1. Ans: 4 a a 10 a 4c 2 0 b 12 a b c 4 2 5c b 0 c 2 2. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P123~P124 第一單元 1/2 L L L 三線共點, 交於 (3,2) k=-2 不能圍成 的情況有 (2)L
. Ans: a 5 a 0 a c 0 b a b c 5c b 0 c. Ans:(B)(C) 第九章直線與圓 P~P 第一單元 / L L L 三線共點, 交於 (,) k=- 不能圍成 的情況有 ()L //L k / () L //L k /. Ans: () () (A)(B)(C)(E) () 如右圖, 虛線為符合題意的直線 斜率最小為 m () m m 0 0 a c a c. Ans:
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x
- 一元二次不等式 基礎型. 試解下列各不等式 ()x+ > x, 答 : () x + x < x, 答 : () ( x+ )( x), 答 : 答 () x < () x > () x 解 ()x+ > x + > x x > x () 同乘 6 得 :( x) (x+ ) < 6(x ) 9x x < 8x 6 + 6< 8x 5x < x () 同乘 ( ) 得 : ( x+ )(x )
Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc
台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
1 32 a + b a + b 2 2 a b a b 2 2 2 4a 12a + 9 a 6 2 4 a 12a + 9 a 6 ( 2a 3) 2 a 6 3 1 2 4 + 2 4 8 + 3 6 12 + 1 3 9 + 2 6 18+ 3 9 27 + 1 10 1 10 ax + by = 2 cx 7y = 8 1 2 1 4 1 8 1
台北市立南門國中 104 學年度第 2 學期七年級數學科第 1 階段定期評量試題卷 範圍 : 康軒第一冊 1-1~2-1 七年班座號 : 姓名 : 務必將答案書寫在答案卷上, 才予計分一 選擇題 ( 每題 4 分, 共 40 分 ) 1.( ) 下列哪一個聯立方程式的解是 " 無限多組解 "? x
台北市立南門國中 104 學年度第 2 學期七年級數學科第 1 階段定期評量試題卷 範圍 : 康軒第一冊 1-1~2-1 七年班座號 : 姓名 : 務必將答案書寫在答案卷上, 才予計分一 選擇題 ( 每題 4 分, 共 40 分 ) 1.( ) 下列哪一個聯立方程式的解是 " 無限多組解 "? x = 1 2y (A) 4x + 8y = 8 (B) 3x + 2y = 6 9x + 5y = 2
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9 4 不等式及其應用 4- 二元一次不等式的圖形 重點整理 設 L : abyc,a b 不同時為 () a a by c 時, 圖解區域在直線 L 的右側 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的左側 或 a b a b () b a by c 時, 圖解區域在直線 L 的上方 a by c 時, 圖解區域在直線 L 的下方 b a 或 b a 第 4 章不等式及其應用 9 基本練習題 老師講解學生練習
B4C2
- ( )( ) B=A A A k A A A k (B)=(A )+(A )+ +(A k ) (B) B A A A k B (Patitios) Ex. 6 4 As. ()(A )=(U) (A) ()(A B )=((A B) )=(U) (A B) (DeMoga). (A-B)=(A) (A B) Ex. A={x x N x 0 6 } B={x x=0k k Z} (A B)=
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
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1 2 3 4 5 6 2005 30 28 36 29 19 33 6 58 1 1 2. 3 1 2 4 5 6 7 8 58 2 30 30 1 01 58 3 2 1 2 3 1 2 3 4 5 58 4 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 ( 1 ) 21 22 23 24 25 26 58 5 27 28 29 30 31 32 33
2012年 MBA系统班数学应用题部分
202 年 管 理 类 研 究 生 考 试 系 统 班 数 学 应 用 题 部 分 编 写 孙 华 明 前 言 随 着 MBA,MPA,MPAcc 考 试 的 合 并, 考 查 高 等 数 学 的 时 代 已 经 过 去, 为 了 体 现 考 试 的 公 平 性, 目 前 我 们 的 联 考 只 涉 及 初 等 数 学 的 知 识 点, 而 联 考 目 的 是 选 拔 具 有 高 素 质 高 洞 察
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- 第一章 觀念篇 聯立方程式 定義 解 已知, 的和為 6, 且 的 倍比 的 倍多, 求, 聯立方程式的解 就是兩個並列的二元 6 一次方程式, 例如 : 它的解 可以同時滿足兩個方程式 例題, 是下列哪些聯立方程式的解? A B - 解 觀念 解一元一次方程式 ~ 等量公理 5 同時減 同時除以 解, 就是要將其中一個變數消去, 並得到一元一次方程式 接著只要解一元一次方程式就能得到變數的值
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- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
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用向量來看平面族定理 蘇俊鴻 / 北一女中 前言 在空間中的平面與直線的章節中, 我們經常使用 平面族定理 來解題, 這個定理在現行課程大綱的安排上並未納入 因此, 許多人對它只是知其然, 而不知其所以然 事實上, 透過向量觀點的切入, 可以為我們提供理解的途徑 本文的目的, 就是由此出發, 想把它說個清楚 最後, 也提供一些可用 平面族定理 處理的例子 平面族定理 的由來 在空間中的平面與直線的章節裡,
四川省教育厅
四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 川 教 函 2015 727 号 四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 关 于 举 办 2016 年 四 川 省 中 学 生 篮 球 比 赛 和 排 球 乒 乓 球 羽 毛 球 田 径 锦 标 赛 的 通 知 各 市 ( 州 ) 教 育 局 体 育 局 有 关 学 校 : 为 推 动 我 省 篮 球 排 球 乒 乓 球 运 动 的 发 展,
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8.1 f G(f) 3.1.5 G(f) f G(f) f = a 1 = a 2 b 1 = b 2 8.1.1 {a, b} a, b {a} = {a, a}{a} 8.1.2 = {{a}, {a, b}} a, b a b a, b {a}, {a, b}{a} {a, b} 8.1.3
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
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A B C D A B C D A B C D a a b c x x x x x x x x x x x x x x x x x a b c x a x x x x x x x x x x a b a b a b x x x x x x x x x x x x A B C A B C A B A B A x B C x D A B C a b c a b x x x x x x x A B A
龍騰100-B5-習作-CH3.doc
8 第 章 不 等 式 不 等 式 - 絕 對 不 等 式. 已 知 正 數 a, b 滿 足 a+ b = 8, 求 ab 的 最 大 值 及 此 時 a, b 的 值. a+ b 解 : 由 算 幾 不 等 式 可 知 a ( b). 8 將 a+ b = 8代 入 上 式, 得 將 兩 邊 平 方, 整 理 得 ab. ab, 因 為 當 a = b時, 等 號 才 成 立, 且 a+ b =
2009年挑战乔戈里
2009 年 挑 战 乔 戈 里 活 动 概 况 : 乔 戈 里 峰 海 拔 8611 米, 它 是 喀 喇 昆 仑 山 脉 的 主 峰, 是 世 界 上 第 二 高 峰, 国 外 又 称 K2 峰 乔 戈 里 峰, 国 际 登 山 界 公 认 的 攀 登 难 度 较 大 的 山 峰 之 一 乔 戈 里 峰 峰 巅 呈 金 字 塔 形, 冰 崖 壁 立, 山 势 险 峻, 在 陡 峭 的 坡 壁 上
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
論鄭玄對《禮記‧月令》的考辨
19997 183-196 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 183 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 一 問 題 的 背 景 20b 8a 1 472 24 20a 33 7a 2 3 1 35 60 64 472 240241 2 1a 3 19b 184 4 5 二 鄭 玄 考 辨 月 令 成 書 時 代 及 來 源 的 論 證 65 4 20b 282 5 235244
戲劇研究 創刊號 詞之雅化 實為 折子戲 源生之三個重要背景 歷代戲曲劇種如先秦至唐代之 戲曲小戲 宋金雜劇院本 北曲雜劇四折每折作獨立性演出 乃至明清民間 小戲與南雜劇之一折短劇 均實為折子戲之 先驅 則明正德至嘉靖間北劇南 戲選本之 摘套 與 散齣 迎神賽社禮節傳簿 中之 零折散齣 均可 視之為
戲 劇 研 究 200 年1月 創刊號 頁1 2 論說 折子戲 曾永義 世新大學講座教授 緒論 折子戲 這一戲曲名詞 大家耳熟能詳 但如果進一步思考 1. 折子戲 之名始於何時 2. 折子戲 之詞彙結構如何形成 3.如果把 折子戲 當作一生命體 那麼其源生 形成 成熟與衰老的不同 階段 各自如何 其源生 形成的背景如何 其成熟興盛和衰老頹廢的原因又是 如何 4.當折子戲成熟之時 折子戲本身具有何等樣的周延義涵
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-1-3 無窮等比級數 061 無窮等比數列設 { } 為一無窮等比數列, 首項為, 公比為 r, 若 -1<r<1 時, 則 為收斂數列 06 無窮等比級數 : 設 為一無窮等比級數, 首項為, 公比為 r, 總和為 S, 若 -1<r<1 時, = 1 則 為收斂級數, 其和為 S= 1 r =
-1-1 等差數列與級數 055-1-0 數列與級數 數列 : 將一串數字排成一列, 形如 1,, 3, 4 k, 其中的 1 稱為第一項 或首項 稱為第二項 依此類推 k 稱為一般項或第 k 項, 通常以 { } 或 k 是表示第 k 項為 k 的數列 級數 : 將數列中的每一項用 + 連接起來, 讀作 前 項和, 記為 S = 1 + + 3 + + 056 級數連加性質 的性質 : (1) ()
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https://sites.google.com/site/hysh4math 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為
臺北市103學年度國民中學（含完全中學國中部）學校課程計畫審閱
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 10 學年度第 2 學期七年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 七年級數學領域教師 本學期學習目標(以條列式文字敘述) 1. 能理解二元一次聯立方程式及其解的意義, 並能由具體情境中列出二元一次聯立方 程式 2. 能熟練使用代入消去法與加減消去法求二元一次聯立方程式的解 3. 能理解平面直角坐標系.
2016 年第 12 屆 IMC 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IMC International Mathematics Contest (singapore), 2016 國中三年級決賽試題解答 第 1-16 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 題需在試題空白處寫出計
01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9
Microsoft Word - 2-2空間中直線方程式(2016).doc
空間中直線方程式 ( 甲 ) 空間中直線方程式 空間直線的參數式坐標平面上只要給定直線的方向向量與線上的一點, 就可以用參數式來表示直線上的點 當直線置於空間坐標中, 仍然可以利用參數式來表示直線 空間中, 直線 L 通過點 A(,, ) 且方向向量 v (a,b,c), 如何表示直線 L 呢? 設 P 點在直線 L 上, 且 P A, 由方向向量的意義, 可得 AP 平行 v 反過來說, 若 P
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
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, 5, ;,,,,,, ; ; 4,,, ; () 1345, 2,,,,,,,, 2014 2 1 1 11 1 111 1 112 2 113 Cramer 3 12 3 121 3 122 4 123 4 13 5 131 5 132 13 133 13 134 Cramer 14 135 16 14 17 15 20 16 () 27 2 30 21 31 211 31 212 31 213
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2010年江西公务员考试行测真题
2010 年 江 西 省 公 务 员 录 用 考 试 行 政 职 业 能 力 测 验 真 题 说 明 这 项 测 验 共 有 五 个 部 分,135 道 题, 总 时 限 120 分 钟 各 部 分 不 分 别 计 时, 但 都 给 出 了 参 考 时 限, 供 以 参 考 以 分 配 时 间 请 在 机 读 答 题 卡 上 严 格 按 照 要 求 填 写 好 自 己 的 姓 名 报 考 部 门,
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
穨資料題_中三_中五適用__慈禧太后的功過_林麗貞_20
( )...P.1. - (1)-(8).. P.2-P.14 1. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. (7) -- (8). - (1) (3) P.15-P.17 (1) (2) (3)....P.18-P.22..P.23 1 (1835-1908) 15 ( ) ( ) (1) 3 ( 1997 ) 50. 3 ( 1970 ) 182-183 2 1. 1. 1. 2.
中華民國青溪協會第四屆第三次理監事聯席會議資料
- 1 - 中 華 民 國 第 八 屆 第 四 次 理 監 事 聯 席 會 議 程 序 表 日 期 中 華 民 國 1 0 4 年 1 2 月 1 9 日 ( 星 期 六 ) 地 點 臺 南 南 紡 夢 時 代 雅 悅 會 館 五 樓 ( 臺 南 東 區 中 華 東 路 一 段 366 號 ) 項 次 程 序 起 訖 時 間 使 用 時 間 主 持 人 或 報 告 人 報 到 16:30~17:00
第一部分 公共基础知识
2016 年 福 建 事 业 单 位 笔 试 真 题 解 析 完 整 版 (5 月 28 日 联 考 ) 针 对 地 市 : 漳 州 莆 田 泉 州 龙 岩 福 州 第 一 部 分 公 共 基 础 知 识 根 据 题 目 要 求, 在 四 个 选 项 中 选 出 一 个 正 确 答 案 ( 共 30 题, 每 题 0.9 分, 计 27 分 ) 1 2016 年 1 月, 中 共 中 央 政 治 局
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第六章 数据分析(排列组合、概率和数据描述)
考 纲. 排 列 组 合 第 六 章 数 据 分 析 ( 排 列 组 合 概 率 和 数 据 描 述 ) () 加 法 原 理 乘 法 原 理 () 排 列 与 排 列 数 () 组 合 与 组 合 数. 概 率 () 事 件 及 其 简 单 运 算 () 加 法 公 式 () 乘 法 公 式 () 古 典 概 型 () 贝 努 里 概 型. 数 据 描 述 一 排 列 组 合 ㈠ 知 识 要 点
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第二套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 2 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
標題
行列式與其應用 甲 二階行列式 引入二階行列式 : 解二元一次方程組 :, 其中, 是未知數, 我們使用代入消去法解之 當 時, 解得唯一解 : 為了簡化過程與符號, 定義二階行列式 定義 : 當,,,d 為 個數, d d 它是左上與右下的乘積減去右上與左下的乘積 引入二階行列式的符號之後, 重新考慮解 的過程, 可得, 其中,, 當 時, 方程組,, [ 此稱為克拉瑪公式 ] 當, 方程組有無限多解
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西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞
二次曲線 西元前四世紀 希臘的梅 納克繆斯 Menaechmus 大約 西元前 380 西元前 30 在求解所謂的倍立方問題 即 作一立方體 其體積是給定立 方體的兩倍 時 導致他對圓 錐曲線的研究 希臘的阿波羅 尼 Apollonius 大約西元前 6 西元前 190 則定義了拋 物線 橢圓和雙曲線這些名詞 十七世紀 解析幾何的主要 發現之一 是許多幾何曲線從幾 何的觀點來看似乎是彼此完全不 同的
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( CIP).:,3.7 ISBN 7 568 383 3.......... TB CIP (3) 334 3 37 ( ) 64536 www.hdlgpress.com.c 7879 6 9.75 479 3 7 3 7 45 ISBN 7 568 383 3O78 : 3. 995,.,.,.,. :,,,,.. :,,,,,,.,,,,.,,. ,,.,,,.,,,.,,,,.,.,,,
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保 母 人 員 單 一 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科 測 試 應 檢 參 考 資 料 試 題 編 號 :15400-960401~8 審 定 日 期 :96 年 11 月 30 日 修 訂 日 期 :97 年 1 月 31 日 98 年 0 月 06 日 保 母 人 員 單 一 級 技 術 士 技 能 檢 定 術 科 測 試 應 檢 參 考 資 料 第 二 部 份 壹 保 母 人 員 技
國中數學基本學習內容補救教材 第二冊
五 -1 單 元 五 比 與 比 例 式 主 題 1 比 與 比 值 及 其 應 用 一 比 : 兩 個 數 量 以 : 區 隔, 藉 以 呈 現 兩 個 數 量 的 關 係 稱 為 比 例 如 : 一 年 四 班 有 15 個 男 生,18 個 女 生, 則 男 生 人 數 : 女 生 人 數 =15:18 練 習 大 小 兩 個 正 方 形 的 邊 長 各 為 3 公 分 與 2 公 分, 請
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
重點一不等式的意義
重 點 一 不 等 式 的 意 義 ( 一 ) 基 本 定 義 : 由 符 號 數 字 和 不 等 號 > < 所 組 合 成 的 數 學 式 叫 做 ( 二 ) 不 等 號 的 唸 法 : (1) > : 大 於 ( 超 過 高 於 ) () : 大 於 等 於 ( 不 小 於 至 少 以 上 ); 表 示 大 於 或 等 於 (3) < : 小 於 (4) : 小 於 等 於 ( 不 大 於 最
. (A) (B) (C) A (D) (E). (A)(B)(C)(D)(E) A
. () () () () () (A) (B) (C) B (D) (E). (A) (B) (C) E (D) (E) (A) (B) (C) (D). () () () () E (A) (B) (C) (D) (E). C (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) D (E). () - () - () - () - () - D (A) (B) (C) (D)
4 1 1 16 1 0 1 5 3 8 5 8 5 8 7 8 5 1 3 5 1 4 4 5 1 5 1 8 = 1 16 16 10000 16 1 1 5 + 3 8 + = ( = 3 5 3 5 15 1 1 7 4 3 = =. 4 7 4 7 8 4 x y z x + 1 = y + 1 = z + 1 x y z = 1 y z x zx = z-x xy = x-y y-z
(Microsoft Word - 3-3 \245\277\244\361\273P\244\317\244\361.doc)
觀 念 篇 關 係 式 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 題 練 習 1. 時 速 60 (km/h) 前 進, 求 距 離 y ( 公 里 ) 與 時 間 x ( 小 時 ) 的 關 係 式 關 係 式 就 是 描 述 兩 個 變 數 x 與 y 之 間 關 係 的 數 學 式 子 例 如 :y=60x 2. 媽 媽 的 年 齡 (x 歲 ) 比 女 兒
H2 空間中的平面與直線 2-1 空間中的平面 1. 能了解空間中平面的法向量.當給定空間中一點及法向量時,能寫出通過此點的平面方程式. 2. 能利用法向量與平面外一點求平行平面的方程式. 3. 能利用外積求通過不共面三點的平面方程式. 4. 能利用法向量求兩平面的夾角. 5. 能計算空間中點到平面
高中數學第四冊 (99 課綱 ) H1 空間向量 H2 空間中的平面與直線 H3 矩陣 H1 空間向量 1-1 空間概念 1. 能了解直線與直線的關係,包含兩歪斜線. 2. 能了解直線與平面的關係,包含直線與平面垂直. 3. 能了解平面與平面的關係,包含兩平面的夾角. 4. 能了解三垂線定理及其基本應用 1-2 空間向量的坐標表示法 1. 能了解空間坐標系. 2. 能了解空間中兩點距離公式與中點公式.
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分
微 分 2 極限 limit 是由 無限接 近 的想法產生出來的數學概 念 最初用來決定某些函數在沒 有定義的點上的函數值 使得它 與鄰近的函數值有某種協調關 係 極限觀念的第一個應用 是 在決定函數由平均變化率導出瞬 間變化率 此過程即為微分 萊 布尼茲 Leibniz 1646 1716 從幾何觀點討論微分 切線的斜 率 牛頓 Newton 1642 1727 從物理觀點討論微分 瞬 時速度 微積分實際上是在研討極
中正高工附設進修學校
1 數學 C 考前重點複習 ( 上 ) 重點 01 + m 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 P() 在 AB 上且 AP : BP m :, 則 m+ 比例相加當分母, 交叉相乘再相加當分子! 重點 0 設 A() B() 為數線上相異兩點, 若點 M() 在 AB 上且 AP : BP 1:1 重點 03 +, 則 二 (-,+) 三 (-,-) 一 (+,+) 四 (+,-) 重點
章節
試題 設有兩直線 L :7x y 與 L :x 9y 交於 P 點,求通過 P 點,且 x 軸截距為 之直線方程 式. 編碼 難易 中 出處 康熹自命題 解答 x y 設過 P 點的直線方程式為 (7x y ) k(x 9y ),則 (7 k)x ( 9k)y ( k) (7 k)x ( 9k)y ( k), ( k) 令 y 得 x 為 x 截距, 7 k ( k) ( k) (7 k) 8k 8
頭 上 下 舌 齒 三 十 二 相 大 智 度 論 卷 4 ( 大 正 25,90a-91a) (22) 四 十 齒 相 (23) 齒 齊 相 (24) 牙 白 相 (26) 味 中 得 上 味 相 (27) 大 舌 相 八 十 種 好 大 般 若 經 卷 381 ( 大 正 6,968a9-969
十 住 毘 婆 沙 論 卷 9 念 佛 品 第 20 補 充 講 義 p.1 般 舟 三 昧 一 印 順 導 師 初 期 大 乘 佛 教 之 起 源 與 開 展 第 十 一 章,p.863-p.864: 十 住 毘 婆 沙 論 (20 品 ~25 品 ) 所 說 的 念 佛 三 昧, 是 依 般 舟 三 昧 經 的, 論 卷 12( 大 正 26,86a-b) 說 : 1. 新 發 意 菩 薩, 應
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在數學的三一律中, 就有兩個不等符號, 所以在一般的運算過程中, 經常會碰到不等式 解任何不等式都要用到求方程式的根, 所以要特別留意不等式與方程式之間的關係, 一次不等式的重要應用就是線性規劃 應用線性規劃的基本假設是 : 將決策上所面臨的問題, 利用線性的數學式來加以描述, 在線性等式及不等式組的條件下, 使用特定的方法, 以求得最符合決策者要求的解 而數學式中變數或式子的數目, 端視問題的複雜性而定,
縣 94 學年度 上 學期 區 國民中學 Q 年級 R 領域教學計畫表 設計者：
高雄市立正興國中 107 學年度第二學期一年級數學學習領域教學計畫表 一 教材來源 : 選用 ( 翰林版第二冊 ) 二 教學節數 : 每週 () 節, 學期共 (80) 節 三 各單元內涵分析 : 週次 第一週 第二週 2/11-2 /15 2/18-2 /22 1-1 二元一次方程式 1-1 二元一次方程式 1. 利用兩個符號表徵列式, 並依照符號代表的數求出算式的值 2. 能處理含兩個未知數的式子化簡,
推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 四邊形四邊中點連線性質 : 例 ABCD E F G H AC 6 BD 8 EFGH AC BD 14 E A H B F C G D
40 3-1 推理證明 本節性質與公式摘要 1 推理與證明 : 1 已知 2 求證 3 證明 2 思路分析與證明 : 3 輔助線 : 1 2 4 四邊形四邊中點連線性質 : 例 H 68 H 14 H 41 41 基礎題 1 ab a366b12 2 a 36 證明 10 分 10 分 P131 2 a366b12 2 1 a6b12 2 36 6b1266b126 6b186b6 36b3b1 b3b1
幻灯片 1
135 第 期 2015年2月6日 2015年2月6日 一周精粹 明 星 组 合 金 牛 实 盘 模 拟 组 合 初 始 资 金 为 50 万 对 热 门 板 块 成 长 股 重 组 股 和 价 值 股 稳 健 配 置, 结 合 市 场 热 点 转 换 进 行 灵 活 操 作 和 仓 位 管 理, 以 期 获 得 最 大 收 益 组 合 鉴 于 公 司 大 力 发 展 电 子 商 务, 推 进 网
鼠年运程
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lt99ok441 拋物線
lt99ok441 拋物線 p1 llt99ok441 拋物線 主題一 拋物線的幾何定義 1. 拋物線的定義:設 L 是平面上的一定直線, F 是不在 L 上的一定點.平面上到 L 與 F 等距離的所有點 P 所形成的圖形,稱為拋物線,而 L 與 F 分別稱為此拋物線的準線與焦點 L P F. 拋物線的圖形要素: (1) 對稱軸:通過焦點 F 且與準線 L 垂直的直線稱為對稱軸,簡稱軸. () 頂點:對稱軸和拋物線的交點
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
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8 第 章 機 率 - 樣 本 空 間 與 事 件 列 出 擲 一 粒 骰 子 所 出 現 點 數 的 樣 本 空 間, 並 以 集 合 表 示 下 列 各 事 件 : A 是 出 現 點 數 為 偶 數 的 事 件, B 是 出 現 點 數 為 奇 數 的 事 件, C 是 出 現 點 數 大 於 的 事 件 骰 子 出 現 的 點 數 可 能 是,,, 4,5, 6, 因 此 出 現 點 數 的
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( 甲 ) 空間向量的外積 第三十單元外積 體積與三階行列式 在物理學中, 設力 F 作用在位移 r 的終點上, 它的力矩定義為一個向量 M, 其大小 為 F r sinθ, 方向垂直 F 與 r, 且 M 與 r F 構成右手系, 符號寫成 : M r F 這樣的概念抽象化之後, 形成 外積 的定義 () 外積的定義 : F 設空間中兩向量 與 的外積為一個向量, 符號記為, 設空間中兩向量 與
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試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
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五 福 一 自 p1 高 雄 市 立 五 福 國 中 97 學 年 度 第 2 學 期 第 1 次 段 考 一 年 級 自 然 與 生 活 科 技 學 習 領 域 試 題 卷 一 選 擇 題 : 每 題 2 分,35 題 共 70 分 ㄧ 年 班 號 姓 名 : ( )1. 下 列 關 於 有 性 生 殖 的 特 色, 哪 一 項 敘 述 是 正 確 的? (A) 高 等 植 物 利 用 營 養 器
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
保母人員丙級應檢資料第二部份 doc
15400903018 9 09 15 95 01 10 95 11 16 ...-3...4-9... 10...11-1...13-16...17-54... 55...56-64 1 5 3 154-90301154-9030 1 1 3 1 4 60 1 180 L 5 1 6 1 7 1 8 1 9 90 70 1 10 1 11 1 1 1 13 1 14 1 15 1 16 1 17
第三讲 空间解析几何与向量代数
第 三 讲 空 间 解 析 几 何 与 向 量 代 数 3.. 向 量 代 数. 数 量 积 ( 内 积 ): a b = a b cos θ; θ 是 ab, 之 间 的 夹 角. 向 量 积 ( 外 积 ): a b = a b sin θ; a b a, a b b, 构 成 右 手 系 a b( 含 共 线 ) a b = ; a b a b = aba,, b 3. 坐 标 表 示 : ab
竞赛报名与报名审核
2014 年 全 国 职 业 院 校 技 能 大 赛 高 职 组 广 东 省 选 拔 赛 工 程 造 价 基 本 技 能 赛 项 竞 赛 指 南 主 办 : 广 东 省 教 育 厅 承 办 : 广 州 城 建 职 业 学 院 协 办 : 广 联 达 软 件 股 份 有 限 公 司 目 录 一. 竞 赛 的 几 个 重 要 时 间...1 二. 竞 赛 时 间 地 点 及 费 用...1 ( 一 )
序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改 革 的 不 断 进 行, 课 堂 学 时 越 来 越 少
工 程 力 学 (I) 试 用 讲 义 中 国 石 油 大 学 ( 北 京 ) 机 械 与 储 运 工 程 学 院 安 全 工 程 系 011 年 8 月 1 序 言 工 程 力 学 是 我 国 绝 大 部 分 高 等 院 校 工 科 专 业 必 修 的 基 础 课 程, 其 主 要 内 容 由 理 论 力 学 和 材 料 力 学 构 成 随 着 近 年 来 专 业 调 整 及 课 程 体 系 改
数量关系部分题目溯源：
** 绝 密 ** 行 测 包 过 班 内 部 资 料 ( 含 详 解 ) 第 一 部 分 : 数 量 关 系 部 分 题 目 溯 源 : 1 33, 32, 34, 31, 35, 30, 36, 29,? A. 33 B. 37 C. 39 D. 41 选 B 解 答 : 交 叉 数 列 ( 即 隔 项 或 称 奇 偶 数 列 ) 分 项 后 为 等 差 数 列 源 自 : 国 考 2002 年
2016 年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 管 理 类 专 业 学 位 联 考 综 合 能 力 冲 刺 密 押 试 卷 ( 一 ) 一 问 题 求 解 : 第 1~15 小 题, 每 小 题 3 分, 共 45 分 下 列 每 题 给 出 的 A B C D E 五 个 选 项 中,
绝 密 启 用 前 考 生 姓 名 考 生 编 号 2016 年 全 国 硕 士 研 究 生 招 生 考 试 管 理 类 专 业 学 位 联 考 综 合 能 力 冲 刺 密 押 试 卷 ( 科 目 代 码 :199) 1. 考 生 必 须 严 格 遵 守 各 项 考 场 规 则 (1) 考 生 在 考 试 开 考 15 分 钟 后 不 得 入 场 (2) 交 卷 出 场 时 间 不 得 早 于 考
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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宣讲团.FIT)
青 少 年 思 想 道 德 教 育 宣 讲 团 宣 讲 资 料 汇 编 宁 海 县 关 心 下 一 代 工 作 委 员 会 二 O 一 五 年 五 月 青 少 年 思 想 道 德 教 育 宣 讲 团 宣 讲 资 料 汇 编 浙 江 省 关 心 下 一 代 工 作 委 员 会 专 职 副 主 任 林 斌 题 词 - 1 - 宁 波 市 关 心 下 一 代 工 作 委 员 会 主 任 邵 孝 杰 题
Microsoft Word 除法原理的應用.docx
除法原理的應用 建國中學 林信安老師 --3 除法原理的應用 餘式定理 我們以五次多項式 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 所得的 餘式 為例來說明 引用綜合除法 : 商式為 x 4 +x 3 +4x +8x+16, 餘式為 5 =f () 故 f (x)=x 5 除以 ( x- ) 的 餘式 就是 f (x) 在 x= 所取的值 f (). (1) 餘式定理多項式 f(x) 除以 x a 的餘式等於