单摆周期影响因素探究

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坐眇柳
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1 李润岐宋馥璇朱家楠赵兴政

2 目录实验背景... 2 实验目的... 2 文献综述... 2 理想单摆周期公式推导... 2 空气阻力对小球周期的影响... 4 实验设计方法... 5 变量的初步选择... 5 响应变量... 5 控制变量... 5 固定变量... 6 干扰参数... 6 实验器械... 7 实验设计... 8 变量输入... 8 实验实施... 8 数据分析主效应图和交互作用图主效应图交互作用图一般线性模型以 m θ l 为控制变量,20T 为反应变量的一般线性模型以 m θ lnl 为控制变量,ln(20T) 为反应变量的一般线性模型对模型的验证参考文献

3 实验背景单摆 : 质点振动系统的一种, 是最简单的摆绕一个悬点来回摆动的物体, 都称为摆, 但其周期一般和物体的形状大小及密度的分布有关但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为 l 且不能伸长的细绳上, 把质块拉离平衡位臵, 使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于 5, 放手后质块往复振动, 可视为质点的振动, 其周期 T 只和摆长 l 及当地的重力加速度 g 有关, 即而和质点的质量形状和振幅的大小都无明显关系, 其运动状态可用简谐振动公式表示, 称为单摆或数学摆如果振动的角度大于 10, 则振动的周期将随振幅的增加而变大, 就不服从简单的简谐振动规律了此时单摆的摆动的周期需要由高等数学来做推导实验目的本实验的目的在于探究单摆周期经验公式所反映的变量关系的正确性 ; 并发掘在不是完全理想条件下 ( 如存在空气阻力等 ) 影响单摆周期的其他因素, 如摆角大小摆球质量摆球大小等 ; 并分析这些新增变量对单摆周期的具体影响从而给出在非理想条件下, 影响单摆周期长短的一般性结论文献综述理想单摆周期公式推导当单摆在摆角小于 5 的条件下, 单摆运动近似为简谐运动, 其周期为 2

4 关于单摆运动近似为简谐运动的过程如下 : M = - m * g * l * Sin x. 其中 m 为质量,g 是重力加速度,l 是摆长,x 是摆角我们希望得到摆角 x 的关于时间的函数, 来描述单摆运动由力矩与角加速度的关系不难得到, M = J * β. 其中 J = m * l^2 是单摆的转动惯量,β = x''( 摆角关于时间的 2 阶导数 ) 是角加速度于是化简得到 x'' * l = g * Sin x 我们对上式适当地选择比例系数, 就可以把常数 l 与 g 约去, 再移项就得到化简了的运动方程 x'' + Sin x = 0 因为单摆的运动方程 ( 微分方程 ) 是 x'' + Sin x = 0 (1) 而标准的简谐振动 ( 如弹簧振子 ) 则是 x'' + x = 0 (2) 我们知道 (1) 式是一个非线性微分方程, 而 (2) 式是一个线性微分方程所以严格地说上面的 (1) 式描述的单摆的运动并不是简谐运动 3

5 不过, 在 x 比较小时, 近似地有 Sin x x ( 这里取的是弧度制即当 x 0 时有 Sin x / x = o(1) ) 因而此时 (1) 式就变为 (2) 式, 单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动然后说一下为什么是 10 由于 Sin x x 这个近似公式只在角度比较小的时候成立 ( 这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出 ), 所以只有在小角度下 (1) 式化作 (2) 式才是合理的事实上弧度,Sin , 二者相差只有千分之一点几, 是十分接近的在低精度的实验中, 这种系统误差可以忽略不计 ( 因为实验操作中的偶然误差就比它大 ) 但如果换成 25, 误差高达百分之三, 就不宜再看成是简谐振动了由于正弦函数的性质, 这个近似是角度越小, 越精确, 角度越大越不精确如果角度很大 ( 比如 60 度处, 误差高达 17%), 就完全不能说它是简谐振动了当单摆大于 5 时, 有关 T 的推导过程较为复杂, 这里只记录有关结论, 相应推导过程请参看附件单摆周期推导此时, 单摆的周期服从下式 : T = T0 (1+ sin2 + sin4 + ), 其中 T0 = 2π 从这一公式也可以看出, 当摆角增大时, 单摆的周期 T 是变长的空气阻力对小球周期的影响根据查阅的文献, 当小球速度不大时, 其受到的空气阻力正比于小球速度 v, 正比于小球半径 R 而小球质量正比于 R3 因此与回复力方向相反的空气阻力 4

6 所产生的加速度应反比于 R2 因此在同种材质的条件下, 小球的半径越大, 振幅在空气阻力作用下衰减得也越快实验设计方法变量的初步选择响应变量单摆摆动 20 个周期的时间和因为希望反应变量能够准确而且尽可能明显地反应微小的差异, 我们通过多个周期的时间和来放大单摆周期的变化反应变量单位测量方法与真实周期的关系单摆 20 次周期 t 秒 (s) 测量单摆 20 次连续摆动的时间从单摆第 1 次经过最低点时开始, 第 21 次经过最低点时停止操作员 1 名, 每次由该操作员将摆球移动至相应位臵放开测量员 3 名, 每次测量取 3 人平均值由于空气阻力摩擦力等噪音的存在,20 次摆动的周期一定是逐渐减小的但是由于单摆单次摆动的周期很难精确测量, 且 20 次摆动的周期差异不大, 因此平均值对真实周期仍然具有很强的描述性控制变量控制变量主要是连续变量, 主要针对我们需要研究的影响因素具体参见下表 : 控制变量单位测量方法变量取值对反应变量的预期影响摆球质量 m 克 (g) 精确测量 7.4; 8.4; 27.5 m 对 T 影响甚微摆长 l 米 (m) 精确测量 0.20; 0.30; 0.40; 0.50; 0.60 l 与 T 正相关摆角 θ 度 ( ) 精确测量 10; 20; 30; 40; 50 θ 对 T 有较小影响 5

7 在后面的实验中, 我们发现 : 由于空气阻力的存在, 摆球质量并不能较好地反应摆球这一变量的影响因此, 将这一变量细化为摆球密度和摆球体积两个离散变量控制变量测量方法变量取值对反应变量的预期影响摆球密度精确测量塑料 ; 钢密度越大 t 越大摆球体积精确测量直径 1.25cm; 1.85cm; 2.65cm 体积越大 t 越大固定变量我们通过固定某些对反应变量影响及其微小的变量来降低实验难度如下表 : 固定变量单位一般水平控制方法对反应变量的影响室温 t C 25 固定实验时间与地点影响不大重力加速度 g m/s 固定实验地点影响不大气体波动 \ \ 关门关窗影响较大干扰参数实验中有些变量难以控制或无法侦测, 只能尽量降低其对实验结果的影响如下表 : 干扰参数应对策略对实验结果的影响操作员 Repetition 较大单摆与挂钩的摩擦力使用打磨得较光滑的挂钩较小 6

8 实验器械为了确保单摆固定点的稳定, 并尽量避免锥形摆动的形成, 我们利用宿舍墙壁作为背景, 粘贴挂钩作固定点, 并在墙壁上粘贴相应的带有长度和角度标尺的自制背景来方便摆长摆角的调节当摆的摆动不在同一平面内即形成锥摆时, 摆球会碰撞墙壁摆绳的一段穿过摆球以固定, 另一端绕过挂钩被粘贴在墙上, 以方便摆长的变换真实的实验场景如下图 : 7

9 实验设计变量输入变量名称控制水平摆长 0.2m; 0.3m; 0.4m; 0.5m; 0.6m 摆角 10 ;20 ;30 ;40 ;50 摆球质量 7.4g; 8.4g; 27.5g 摆球体积摆球密度半径 1.25cm; 1.85cm; 2.65cm 塑料 ; 钢实验实施摆球共有 4 种 : 小钢球大钢球小塑料球大塑料球, 摆长分为 5 档, 摆角分为 5 档将每种摆球的摆长摆角搭配所得的 20 个周期的时间总和 t 分别按序测量, 汇总得到 100 个实验数据, 并详细记录每个实验数据所对应的变量实验数据记录如下 : 摆长 (m) 摆角小钢球 (8.4g)t 大钢球 (27.5g)t 小塑料球 (7.4g)t 大塑料球 (8.4g)t

11 数据分析主效应图和交互作用图主效应图从主效应图中可以看出, 摆长对于周期的影响最显著, 而摆角和质量对周期略有影响, 但效果不明显 10

12 交互作用图从交互作用图中可以看出, 三个变量之间基本不存在交互作用, 因此在建模过程中不考虑交互作用一般线性模型以 m θ l 为控制变量, 20T 为反应变量的一般线性模型由 Minitab 对数据拟合生成的残差图如下 : 11

13 由残差图可以看出, 残差的正态性并不理想, 具有一定的周期性, 因此, 以 m l 为控制变量,20T 为反应变量生成的一般线性模型并不能令人满意为了使残差更符合正态性, 我们对 20T 和 l 取对数, 又进行了一次一般线性模型的拟合以 m θ lnl 为控制变量, ln(20t) 为反应变量的一般线性模型第一次拟合由 Minitab 对数据拟合生成的残差图如下 : 12

14 在残差图中, 我们可以看到, 左下角有几个异常值, 经过检查, 发现这几个异常值都是在摆角较大时产生的, 而摆角较大时, 振幅衰减现象严重, 造成观测值与拟合值相比偏小, 这与残差图所展现的结果是一致的因此, 去掉异常值后, 对数据进行下一步拟合而 Minitab 的输出中, 三个控制变量的 P 值均为 0, 说明三个控制变量与反应变量之间是存在相关性的去掉异常值后进行拟合去掉 3 个异常值后, 由 Minitab 对数据拟合生成的残差图如下 : 13

15 由残差图可以看出, 残差的正态性是比较令人满意的此时 Minitab 输出的结果为 : ln( 周期 ) 的方差分析, 在检验中使用调整的 SS 来源自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P 质量摆角 ( ) ln( 摆长 ) 误差合计 S = R-Sq = 99.95% R-Sq( 调整 ) = 99.95% 项系数系数标准误 T P 常量质量摆角 ( ) ln( 摆长 ) R 2 的值为 99.95%, 也显示了模型是比较良好的于是, 我们可以得到周期与摆球质量摆角摆长的关系为 : 14

16 ln(20t) = m θ lnl 对模型的验证 l 考虑最简单的单摆周期公式 T 2π, 可以推导 : g ln(20t ) ln(40 ) 1 1 ln l ln l c 1 ln 2 l 1 ln 2 g ln g ln(40 ) 令重力加速度 g = 9.8m/s 2 1, 可以得到 c ln g ln(40 ) 即: 2 ln(20t) = lnl 与模型所得比较, 非常接近, 因此可以判定, 所建模型符合理论参考文献单摆的周期与摆角的关系对单摆振动周期的讨论卢伟辉在空气阻力下的抛物运动 15

壹、計畫緣起

壹、計畫緣起倫理倫理 7 2005 論倫理說路來了量兩不來年諸率路了不立數不不車麗不不女老不什不勵不易都來行臨來不劣論不不不不不流令更來烈異不來 8 倫理力更旅更力來流不不不來不都寧來說不 1000 400 年來歷稜旅識來倫理林北流量年年