普通高等教育 十二五 重点规划教材公共课系列中国科学院教材建设专家委员会规划教材 应用线性代数 陈伏兵主编陈学华郭嵩副主编 北 京

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2 普通高等教育 十二五 重点规划教材公共课系列中国科学院教材建设专家委员会规划教材 应用线性代数 陈伏兵主编陈学华郭嵩副主编 北 京

3 内容简介 本书根据普通高等院校线性代数课程的教学要求与考研大纲编写而成, 包括行列式 线性方程组 矩阵 矩阵的特征值 二次型 线性空间与线性变换 线性经济模型 工程技术与管理中的线性模型等基本内容. 选编的题型较为丰富, 习题量适度, 并在众多学科中广泛选用了一些实际应用的例子, 体现了线性代数在解释基本原理 简化计算等方面所起到的重要作用. 在编写过程中, 我们力求培养 提升学生的应用实践能力, 在教材中以一系列应用实例激发学生的学习兴趣, 使学生在掌握线性代数的基本概念 基本理论和基本方法的同时, 能够了解线性代数这一数学工具在工程技术 经济管理等领域中的实际作用. 本书可作为经济类和部分工科类专业的教材, 也可作为其他非数学专业大学生以及在职人员的参考用书. 图书在版编目 ( 犆犐犘 ) 数据 应用线性代数 / 陈伏兵主编. 北京 : 科学出版社,2011 ISBN Ⅰ.1 应 Ⅱ.1 陈 Ⅲ.1 线性代数 高等学校 教材 Ⅳ 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2011) 第 号 责任编辑 : 赵丽欣郭丽娜杨阳 / 责任校对 : 耿耘责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 东方人华平面设计部 科学出版社发行 印刷 各地新华书店经销 2011 年 6 月第一版开本 : / 年 6 月第一次印刷印张 :11 印数 : 字数 : 定价 :2600 元 ( 如有印装质量问题, 我社负责调换 ) 销售部电话 编辑部电话 版权所有, 侵权必究 举报电话 : ; ; 科学出版社职教技术出版中心

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5 前 言 线性代数 (LinearAlgebra) 是一个研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学 分支. 由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型, 使得线性代数被广泛地 应用于自然科学和社会科学中. 线性代数是理 工 农 管理和经济等专业重要的基础课 程, 也是全国硕士研究生入学统一考试课程 高等数学一 高等数学三 的重要组成内 容. 该课程所体现的几何观念与代数方法之间的联系 从具体概念抽象出来的公理化方法 以及严谨的逻辑推证 巧妙的归纳综合等, 对于强化学生的数学思维, 培养学生的逻辑推 理和抽象思维能力 应用知识解决线性模型问题的能力具有重要的作用. 本书根据普通高等院校线性代数课程的教学要求和当前高等院校线性代数教育教学 改革的形势, 由长期从事线性代数教学的教师在讲授线性代数的讲义的基础上编写而成. 在编写过程中, 我们力求保持传统线性代数教材的结构严谨 逻辑性强等特点, 同时, 积极汲取近年来同类教材改革的成功经验, 结合我们教学实践中的切身体会以及对历年 全国硕士研究生入学考试线性代数考题的研究, 在内容选取 结构安排 知识应用等方面 作了一些探讨, 力求做到系统完整 内容简练 语言准确 通俗适用. 此外, 我们力求提升学 生的应用实践能力, 以一系列应用实例激发学生的学习兴趣, 使学生在掌握线性代数基本 概念 理论和证明的同时, 能够了解线性代数这一数学工具在工程技术 经济管理中的实 际作用. 教材每一章都配备了适量的习题, 其中大部分是基础题, 有助于读者掌握 巩固所 学的基本概念 基本结论和基本方法 ; 此外, 还有一些习题选自于近年的考研真题, 有一定 的难度和技巧性, 供读者选做. 本书共分为 8 章, 分别介绍了行列式 线性方程组 矩阵 特征值 二次型 线性空间与线 性变换 线性经济模型以及工程技术与管理中的线性模型等内容. 其中第 1~3 章由陈伏兵 执笔, 第 4~6 章由陈学华执笔, 第 7~8 章由郭嵩执笔. 全书由陈伏兵负责统稿. 本书由陈伏兵任主编, 陈学华 郭嵩任副主编. 孙智宏教授认真审阅了书稿, 并提出了 许多建设性的建议, 在此谨向孙智宏教授表示真诚的谢意 ; 同时, 感谢何光明 王程凌 王 珊珊 陈海燕对我们提供的帮助. 在编写过程中, 我们参阅了大量线性代数 高等代数和经济中的数学方法等书籍和资 料, 在此, 谨向有关作者表示衷心的感谢. 本书可作为经济类和工科类专业线性代数课程的教学用书, 也可供其他非数学专业 大学生以及在职人员参考. 由于作者水平有限, 书中定有不妥之处, 恳请专家 同行和读者批评指正. 科学出版社职教技术出版中心

6 目 录 前言第 1 章行列式 二阶行列式与三阶行列式 二元线性方程组与二阶行列式 三元线性方程组与三阶行列式 排列 排列的相关概念 排列的性质 狀阶行列式 行列式的性质 行列式按行 ( 列 ) 展开 余子式与代数余子式 行列式依行 ( 列 ) 展开法则 行列式的计算 数学归纳法 递推法 乘法法则 克莱姆法则 24 习题一 27 第 2 章线性方程组 消元法 狀维向量及其线性相关性 狀维向量及其运算 向量组的线性相关性 向量组的秩 矩阵的秩 线性方程组有解的判别定理 线性方程组解的结构 齐次线性方程组解的结构 线性方程组解的结构 55 习题二 58

7 iv 应用线性代数 第 3 章矩阵 矩阵的运算 矩阵的加法 矩阵的数乘 矩阵的乘法 矩阵的转置 可逆矩阵 可逆矩阵的概念 矩阵可逆的条件 初等矩阵 矩阵的分块 77 习题三 82 第 4 章矩阵的特征值 特征值的概念与性质 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的求法 特征值 特征向量与特征多项式的性质 矩阵的对角化问题 矩阵的相似 矩阵可对角化的一个充分必要条件 实对称矩阵 向量的内积 向量的长度 夹角与正交 标准正交组 正交矩阵 97 科学出版社职教技术出版中心 实对称矩阵可以对角化 98 习题四 100 第 5 章二次型 二次型的基本概念 二次型及其矩阵表示 线性替换 矩阵的合同 标准形 主要结论 配方法 107

8 目 录 v 合同变换法 复二次型和实二次型的规范形 用正交线性替换化实二次型为标准形 正定二次型 115 习题五 117 第 6 章线性空间与线性变换 线性空间的概念与基本性质 线性空间的定义 线性空间的基本性质 线性子空间 维数 基 坐标 基本概念 基到基的过渡矩阵 坐标变换公式 线性变换的概念与运算 线性变换的概念 线性变换的性质 线性变换的线性运算 线性变换的矩阵 线性变换矩阵的定义 线性变换运算结果的矩阵 线性变换在两个基下矩阵的关系 128 习题六 130 第 7 章线性经济模型 基本概念 简单国民收入模型 简单凯恩斯国民收入模型 希克斯 汉森模型 : 封闭经济 关联商品市场模型 价格弹性矩阵 投入产出模型 状态转移矩阵 市场占有率转移 企事业人员结构控制 矩阵幂次的计算 144

9 vi 应用线性代数 习题七 145 第 8 章工程技术与管理中的线性模型 交通流量模型 线性方程组的建立 方程组解的意义 GOOGLE 与网页排序算法 基因遗传 亲体基因遗传方式 随机交配情形 固定母体基因对 密码与解密中的线性模型 线性置换密码系统 Hil 密码系统 最小二乘法 155 习题八 157 附录犕犃犜犔犃犅简介 159 参考文献 166 科学出版社职教技术出版中心

10 第 1 章行列式 行列式的理论起源于解线性方程组,17 世纪末已有了行列式的概念,19 世纪由德国数学家高斯 (Gauss) 等建立了行列式的系统理论, 目前行列式在数学的许多分支及某些自然科学技术中有着广泛的应用. 本章主要介绍狀阶行列式的定义 性质及其计算方法. 此外, 还介绍用狀阶行列式求解狀元线性方程组的克莱姆 (Cramer) 法则. 1.1 二阶行列式与三阶行列式 111 二元线性方程组与二阶行列式 对二元一次线性方程组 犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2 = 犫 1 { 2 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2 = 犫用加减消元法, 当犪 11 犪 22- 犪 12 犪 21 0 时, 可以求得方程组 (1.1.1) 的解为 (1.1.1) 犫 1 犪狓 22- 犪 12 犫 2 1 =, 犪 11 犫狓 2- 犫 1 犪 21 2 = 犪 11 犪 22- 犪 12 犪 21 犪 11 犪 22- 犪 12 犪 21 (1.1.2) 式 (1.1.2) 中的分子 分母都是四个数分两对先相乘再相减而得, 其中分母 ( 犪 11 犪 22- 犪 12 犪 21) 是由方程组 (1.1.1) 的四个系数确定的. 为了方便记忆, 把这四个数按照它们在方程组 (1.1.1) 中的位置, 排成二行二列 ( 横排称行 竖排称列 ) 的数表 犪 11 犪 12 犪 21 犪 22 表达式 ( 犪 11 犪 22- 犪 12 犪 21) 称为数表 (1.1.3) 所确定的二阶行列式, 并记作 (1.1.3) 即 犪 11 犪 12 犪 21 犪 22 (1.1.4) 犪 11 犪 12 犪 21 犪 22 = 犪 11 犪 22- 犪 12 犪 21 数犪犻犼 ( 犻 =1,2; 犼 =1,2) 称为行列式 (1.1.4) 的元素. 元素犪犻犼的第一个下标犻称为行标, 表明该元素位于第犻行 ; 第二个下标犼称为列标, 表明该元素位于第犼列. 上述定义的二阶行列式, 可以用对角线法则来记忆. 参看图 1.1.1, 把 犪 11 到犪 22 的实联线称为主对角线, 犪 12 到犪 21 的虚联线称为副对角线, 于是二阶行列式便是主对角线上的两个元素之积减去副对角线两个元素之积所得的差. 图 1.1.1

11 2 应用线性代数 利用二阶行列式的定义, 式 (1.1.2) 中狓 1 狓 2 的分子也可以写成二阶行列式, 即 若令 犫 1 犪 22- 犪 12 犫 2 = 犫 1 犪 12 犫 2 犪 22, 犪 11 犫 2- 犫 1 犪 21 = 犪 11 犫 1 犪 21 犫 2 犪 11 犪 12 犱 = 犪 21 犪 22 那么式 (1.1.2) 也可以写成, 犱 1 = 犫 1 犪 12 犫 2 犪 22, 犱 2 = 犪 11 犫 1 犪 21 犫 2 犱 1 狓 1 = = 犱 犫 1 犪 12 犫 2 犪 22 犪 11 犪 12, 犱 2 狓 2 = = 犱 犪 11 犫 1 犪 21 犫 2 犪 11 犪 12 犪 21 犪 22 犪 21 犪 22 注意这里的犱是由方程组 (1.1.1) 的系数所确定的二阶行列式 ( 称为系数行列式 ), 狓 1 的分子犱 1 是用方程组 (1.1.1) 中方程的常数项犫 1 犫 2 替换犱中狓 1 的系数犪 11 犪 21 所得到的行列式, 狓 2 的分子犱 2 是用方程组 (1.1.1) 中方程的常数项犫 1 犫 2 替换犱中狓 2 的系数 犪 12 犪 22 所得到的行列式. 根据二阶行列式定义和上面的叙述, 如果一个二元一次方程组的系数行列式不等于 零, 那么可以方便地求出它的解. 例 111 求解二元一次方程组 2 狓 1+ 狓 2 =1 { 5 狓 1- 狓 2 =13 解由于犱 = =-7 0, 犱 1 = =-14, 犱 2 = =21 因此, 方程组的解为 112 犱 1 狓 1 = = -14 犱 -7 =2, 狓 2 = 三元线性方程组与三阶行列式 与二元一次方程组类似, 对三元一次线性方程组 令 犱 2 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ 犪 13 狓 3 = 犫 1 烅犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ 犪 23 狓 3 = 犫 2 烆 3 犪 31 狓 1+ 犪 32 狓 2+ 犪 33 狓 3 = 犫 = 21 犱 -7 =-3 科学出版社职教技术出版中心 (1.1.5) 犱 = 犪 11 犪 12 犪 13 犪 21 犪 22 犪 23 (1.1.6) 犪 31 犪 32 犪 33 = 犪 11 犪 22 犪 33+ 犪 12 犪 23 犪 31+ 犪 13 犪 21 犪 32- 犪 13 犪 22 犪 31- 犪 12 犪 21 犪 33- 犪 11 犪 23 犪 32 (1.1.7) 这里式 (1.1.6) 称为方程组 (1.1.5) 中未知量狓 1 狓 2 和狓 3 的系数所确定的 3 阶行列

12 第 1 章行列式 3 式, 式 (1.1.7) 为它的展开式, 则当犱不为零时, 方程组有唯一解, 并可以如下表示 : 狓 1 = 犫 1 犪 12 犪 13 犫 2 犪 22 犪 23 犫 3 犪 32 犪 33 犪 11 犪 12 犪 13 犪 21 犪 22 犪 23, 狓 2 = 犪 11 犫 1 犪 13 犪 21 犫 2 犪 23 犪 31 犫 3 犪 33 犪 11 犪 12 犪 13 犪 21 犪 22 犪 23, 狓 3 = 犪 11 犪 12 犫 1 犪 21 犪 22 犫 2 犪 31 犪 32 犫 3 犪 11 犪 12 犪 13 犪 21 犪 22 犪 23 犪 31 犪 32 犪 33 犪 31 犪 32 犪 33 上述定义表明三阶行列式含 6 项, 每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号, 其规律遵循图 所示的对角线法则. 图中, 三条实线看作是平行于对角线的联线, 三条虚线看作是平行于副对角线的联线, 实线上三元素乘积冠正号, 虚线上三元素乘积冠负号. 例 112 计算三阶行列式 犪 31 犪 32 犪 33 图 犱 = 解按对角线法则, 有犱 =2 (-2)(-2) (-4) 2 (-3) - (-4) (-2) (-2)-2 1 (-3) = =14 例 113 解三元线性方程组 解 由于 烄 2 狓 1+3 狓 2- 狓 3=2 烅 4 狓 1-2 狓 2+2 狓 3=1 烆狓 1- 狓 2 =0 因此方程组的解为 犱 = = 狓 1 = = 5 13, 狓 2 = = 5 13, 狓 3 = =- 1 13

13 4 应用线性代数 1.2 排列 121 排列的相关概念 定义 121 由狀个数码 1,2,, 狀组成的一个有序数组称为这狀个数码的一个排列, 简称为一个狀元排列. 例如,312,213 都是 3 元排列. 用 三个数码, 可以组成多少种不同的 3 元排列? 3 元排列有 3 个数码可放置三个位置 : 第一个位置可取 3 个数码中的任何一个, 有 3 种放法 ; 第二个位置仅能在剩下的两个数码中选取, 有两种选法 ; 第三个位置仅能在剩下的一个数码中选取, 只有一种选法. 这样根据乘法原理, 总共有 种不同的选法, 于是 3 元排列有 3! 种不同的排列, 它们是 123,213,312,132,231,321 同样道理, 对于狀元排列的第一个位置有狀种选法, 第二个位置有狀 -1 种选法,, 第狀 -1 个位置有 2 种选法, 第狀个位置有 1 种选法, 于是狀元排列有狀! 种不同的排列. 在 3 元排列中, 除 123 是按自然顺序外, 其余排列中都有较大数码排列在较小数码的前面. 例如,312 中,3 排在 1 的前面, 此时说 3 与 1 构成一个逆序, 同样 3 与 2 也构成一个逆序. 定义 122 在一个狀元排列中, 如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数, 那么它们就称为一个逆序. 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 例如,4 元排列 3412 中,3 与 1,4 与 1,3 与 2,4 与 2 都构成逆序, 于是 4 元排列 3412 的逆序数为 4, 记为 τ(3412)=4. 一般地, 在狀元排列犻 1 犻 2 犻狀中, 设排在 1 前面的数码个数为犿 1, 排在 2 前面且比 2 大的数码个数为犿 2,, 排在狀 -1 前面且比狀 -1 大的数码个数为犿狀 -1, 那么排列犻 1 2 犻狀的逆序数为狀 -1 τ( 犻 1 2 犻狀 )= 犿犻犻 =1 例如,6 元排列 中, 犿 1=3, 犿 2=4, 犿 3=2, 犿 4=1, 犿 5=0, 故 5 τ(543162)= 犿犻 = =10 犻 =1 定义 123 逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列. 定义 124 把一个排列中某两个数的位置互换, 而其余的数不动, 就得到另一个排列. 对排列施行的这样一个变换称为一个对换. 在一个狀元排列中, 只交换数码犻和犼, 而其他数码位置不动, 这样的对换记为 ( 犻, 犼 ), 例如 ( 3,1 ) (4,2 ) 即 经过两次对换 (3,1) 和 (4,2) 后变为 科学出版社职教技术出版中心

14 第 1 章行列式 排列的性质 定理 121 任意一个狀元排列犻 1 犻 2 犻狀, 可以经过一系列对换变为自然排列 12 狀. 证明对数码的个数狀采用数学归纳法. (1) 狀 =2, 结论显然成立. (2) 假设狀 -1 元排列结论成立, 考查狀元排列犻 1 犻 2 犻狀, 现分犻狀 = 狀与犻狀 狀两种情况讨论. 1 第一种情况, 若犻狀 = 狀, 则由归纳假设, 犻 1 2 犻狀 -1 可以经过一系列对换变为 12 ( 狀 -1), 于是对犻 1 犻 2 犻狀施行同样的对换, 可以把它变为自然排列 12 狀. 2 第二种情况, 若犻狀 狀, 设犻犽 = 狀 (1 犽 狀 -1), 我们有 ( 犻犽, 犻狀 犻 1 犻犽 犻狀 ) 犻 1 犻狀 犻犽 = 犻 1 犻狀 狀于是归结为第一种情况, 因此对狀元排列结论成立. 由对换的可逆性可得以下推论. 推论 121 自然排列 12 狀可以经过一系列对换变为任意一个狀元排列犻 1 犻 2 犻狀. 推论 122 任意两个狀元排列犻 1 犻 2 犻狀和犼 1 犼 2 犼狀都可以经过一系列对换互变. 定理 122 每一个对换改变排列的奇偶性. 证明对所对换的两个数码是相邻或不相邻两种情况分别给予讨论. 1) 对换相邻两个数码设狀元排列 对其施行对换 ( 犼, 犽 ), 得 犃 犅 {, 犼, {犽, 犃 (1.2.1) {, 犽, {犼, (1.2.2) 比较对换前后两个狀元排列 (1.2.1) 与 (1.2.2) 的逆序数, 由于属于犃与犅部分数码的位置没有变化, 因此, 这些数码所构成的逆序数没有改变, 同时, 犼与犽和犃或犅部分数码所构成的逆序数也没有变化, 而犼与犽在排列 (1.2.1) 与 (1.2.2) 中的逆序数不同. 若犼 > 犽, 犼与犽在排列 (1.2.1) 中构成一个逆序, 但在排列 (1.2.2) 中不构成逆序. 反之, 若犼 < 犽, 犼与 犽在排列 (1.2.1) 中不构成逆序, 但在排列 (1.2.2) 中构成一个逆序. 无论哪一种情况, 排列 (1.2.1) 与 (1.2.2) 的逆序数相差 1, 因此对换改变排列的奇偶性. 2) 对换不相邻两个数码设狀元排列 对其施行对换 ( 犼, 犽 ), 得 犃 犅 犅 {, 犼, 狆,,, { 1 狆狊犽, 犃 (1.2.3) {, 犽, 狆,,, { 1 狆狊犼, (1.2.4) 即对排列 (1.2.3) 直接施行对换 ( 犼, 犽 ) 得到排列 (1.2.4). 排列 (1.2.4) 也可经排列 (1.2.3) 连续施行 2 狊 +1 次相邻数码对换得到. 事实上, 排列 (1.2.3) 中犼与犽之间有狊个数码 犅

15 6 应用线性代数 狆 1,, 狆狊, 先让犼向右移动, 依次与狆 1,, 狆狊对换, 经过狊次相邻数码对换得排列 犃 {, 狆,,, 1 狆狊犼, {犽, (1.2.5) 然后让排列 (1.2.5) 中的犽向左移动, 依次与犼, 狆狊狆对换, 1 这样施行狊 +1 次相邻数码 的对换即可得到排列 (1.2.4). 而由 1) 知对换 1 次相邻数码排列奇偶性发生改变, 因此, 经过 2 狊 +1 次相邻数码对换, 前后两个排列的奇偶性必定不同, 即排列 (1.2.3) 与排列 (1.2.4) 奇偶性不同. 定理 123 当狀 >1 时, 在全部狀级排列中, 奇 偶排列的个数相等各有狀! 个. 2 证明假设在全部狀级排列中共有狊个奇排列, 狋个偶排列. 将狊个奇排列中前两个 数字对换, 得到狊个不同的偶排列, 因此狊 狋. 同理可证狋 狊, 于是狊 = 狋, 即奇 偶排列的总! 数相等, 各有狀个. 2 犅 1.3 狀阶行列式 1.1 节定义了二 三阶行列式, 本节先考查它们的结构规律, 然后定义狀阶行列式. 二阶行列式定义为 犪 11 犪 12 犪 21 犪 22 = 犪 11 犪 22- 犪 12 犪 21 (1.3.1) 二阶行列式 (1.3.1) 有如下规律 : (1) 共有 2! 项. (2) 每一项都是两个元素的乘积, 这两个元素位于行列式中不同行不同列, 并且展开 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成. (3) 每一项都带有符号, 当行下标按自然顺序排列时, 列下标为偶排列时带正号, 列 下标为奇排列时带负号. 根据上述规律, 二阶行列式又可以表示为 犪 11 犪 12 犪 21 犪 22 这里 犼 1 犼 2 表示对所有二元排列求和. 三阶行列式定义为 犪 11 犪 12 犪 13 犪 21 犪 22 犪 23 犪 31 犪 32 犪 33 = 犼 1 犼 2 (-1) τ ( 犼 1 犼 2 ) 犪 1 犼犪 1 2 犼 2 (1.3.2) 科学出版社职教技术出版中心 = 犪 11 犪 22 犪 33+ 犪 12 犪 23 犪 31+ 犪 13 犪 21 犪 32- 犪 13 犪 22 犪 31- 犪 12 犪 21 犪 33- 犪 11 犪 23 犪 32 (1.3.3) 通过观察, 它类似于二阶行列式有如下规律 : (1) 共有 3! 项. (2) 每一项都是 3 个元素的乘积, 这 3 个元素位于行列式中不同行不同列, 并且展开

16 第 1 章行列式 7 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成. (3) 每一项都带有符号, 当行下标按自然顺序排列时, 列下标为偶排列时带正号, 列下标为奇排列时带负号. 因此三阶行列式可以表示为 犪 11 犪 12 犪 13 犪 21 犪 22 犪 23 犪 31 犪 32 犪 33 = (-1) τ ( 犼 1 犼 2 犼 3 ) 犪 1 犼犪 1 2 犼犪 2 3 犼 3 犼 1 犼 2 犼 3 这里 表示对所有三元排列求和. 犼 1 犼 2 犼 3 根据上述二阶 三阶行列式结构规律, 可定义一般狀阶行列式. 定义 131 狀阶行列式 (1.3.4) 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪 21 犪 22 犪 2 狀 = (-1) τ ( 犼 1 犼 2 ) 犼狀犪 1 犼犪 犼 1 犼 犼 2 犪狀犼狀犼狀 (1.3.5) 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 这里 表示对所有狀元排列求和, 犪犻犼是数, 称为狀阶行列式元素. 犼 1 犼 2 犼狀从狀阶行列式的定义知它表示的是一个数, 且与二阶 三阶行列式的定义一致, 同样满足以下规律 : (1) 共有狀! 项. (2) 每一项都是狀个元素的乘积, 这狀个元素位于行列式中不同行不同列, 并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成. (3) 每一项都带有符号, 当行下标按自然顺序排列时, 列下标为偶排列时带正号, 列下标为奇排列时带负号. 例 131 计算狀阶上三角行列式 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犱狀 = 0 犪 22 犪 2 狀 0 0 犪狀狀 解犱狀中共有狀! 项, 只需求出犱狀中非零项的和. 由于犱狀的一般项为 (-1) τ ( 犼 1 犼 2 ) 犼狀犪 1 犼犪 1 2 犼, 其中含有第狀行元素, 但第狀行元素除犪狀狀外均为零, 因此考 2 犪狀犼狀查非零项时, 第狀行元素只能取犪狀狀, 又犱狀中每一项都是狀个元素的乘积, 这狀个元素位于行列式中不同行不同列, 于是第狀 -1 不能取犪狀 -1 狀, 因而只能取犪狀 -1 狀 -1,, 第二行只能取犪 22, 第一行只能取犪 11, 故犱狀展开式只有一项不为零, 即 犱狀 = (-1) τ (12 狀 ) 犪 11 犪 22 犪狀狀 = 犪 11 犪 22 犪狀狀换句话说, 上三角行列式犱狀等于主对角线 ( 从左上角到右下角这条对角线 ) 上元素的乘积. 作为例 的特殊情况, 有

17 8 应用线性代数 犪 犪 22 0 = 犪 11 犪 22 犪狀狀 (1.3.6) 0 0 犪狀狀 = 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式. 式 (1.3.6) 表明, 对角形行 列式等于主对角线上元素的乘积. 例 132 计算 5 阶行列式 犱 5 = 犪 11 犪 12 0 犪 14 犪 15 犪 犪 24 0 犪 31 犪 32 犪 33 犪 34 犪 35 犪 犪 44 0 犪 51 犪 52 0 犪 54 0 解犱 5 中共有 5!(=120) 项, 只需求出犱 5 中非零项的和. 由于每一项都含有第二行 元素, 但第二行元素除犪 21 和犪 24 外均为零, 若第二行元素取犪 21, 这一项其他元素不能再取 第一列元素, 于是第四行只能取犪 44, 进而第五行元素只能取犪 52, 第一行元素只能取犪 15, 第三行元素只能取犪 33; 若第二行元素取犪 24, 第四行只能取犪 41, 第五行元素只能取犪 52, 第 一行元素只能取犪 15, 第三行元素只能取犪 33; 于是犱 5 只是下面两项的和, 即 犱 5= (-1) τ (51342) 犪 15 犪 21 犪 33 犪 44 犪 52+ (-1) τ (54312) 犪 15 犪 24 犪 33 犪 41 犪 52 = 犪 15 犪 21 犪 33 犪 44 犪 52- 犪 15 犪 24 犪 33 犪 41 犪 52 在行列式定义 中, 为了确定每一项的符号, 我们把狀个元素的行标排为自然顺 序. 事实上数的乘法是可交换的, 因而这狀个元素的次序是可以任意写的, 一般地, 狀阶行 列式的项可以写成 犪犻 1 犼 1 犪犻 2 犼 2 犪犻狀犼狀 (1.3.7) 其中犻 1 犻 2 犻狀, 犼 1 犼 2 犼狀是两个狀元排列. 利用排列的性质, 不难证明, 式 (1.3.7) 的符号为 (-1) τ ( 犻 1 犻 2 犻狀 )+τ( 犼 1 犼 2 犼狀 ) (1.3.8) 例如, 犪 32 犪 21 犪 14 犪 43 是 4 阶行列式的一项, 由于 τ(3214)=3,τ(2143)=2, 所以它的符号 为 (-1) τ (3214)+τ(2143) = (-1) 3+2 = -1. 如按行指标排列起来, 就是犪 14 犪 21 犪 32 犪 43, 由于 τ(4123)=3, 所以它的符号也是 (-1) 3 =-1. 按式 (1.3.8) 来确定行列式中每一项的符号的好处在于, 行指标与列指标是对称的, 因而为了确定每一项的符号, 我们同样可以把每一项按列标排列起来, 于是行列式定义又 可以写成定义 定义 131 狀阶行列式 科学出版社职教技术出版中心

18 第 1 章行列式 9 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪 21 犪 22 犪 2 狀 = (-1) τ ( 犻 1 犻 2 ) 犻狀犪犻犻 1 犻 2 1 犪犻 2 犪犻狀狀犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 1.4 行列式的性质 按定义计算一般行列式是很麻烦的,5 阶行列式就有 5! 项, 况且还得利用排列的奇偶性来确定符号, 若行列式的阶数再大一些, 计算量则更庞大, 因此我们需要讨论行列式的性质, 并利用它来简化行列式的计算, 同时我们也可以通过学习行列式的性质, 对一般行列式作更进一步的认识. 首先说明转置行列式概念. 看一个狀阶行列式 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犱 = 犪 21 犪 22 犪 2 狀 如果把犱的行变为列, 就得到一个新的行列式 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 犪 11 犪 21 犪狀 1 犱 T = 犪 12 犪 22 犪狀 2 犪 1 狀犪 2 狀 犪狀狀 犱 T 叫做犱的转置行列式. 性质 141 行列式犱与它的转置行列式犱 T 相等. 证明 记犱 =det( 犪犻犼 ) 的转置行列式 犫 11 犫 12 犫 1 狀 犱 T = 犫 21 犫 22 犫 2 狀 犫狀 1 犫狀 2 犫狀狀 即犱 T 的 ( 犻, 犼 ) 元素为犫犻犼, 则犫犻犼 = 犪犼犻 ( 犻, 犼 =1,2,, 狀 ). 按定义 有 而由行列式定义 有 犱 T = (-1) τ ( 犼 1 犼 2 ) 犼狀犫 1 犼犫 犼 1 犼 犼 2 犫狀犼狀犼狀 = (-1) τ ( 犼 1 犼 2 ) 犼狀犪犼犼 1 犼 2 1 犪犼 2 犪犼狀狀犼狀 犱 = (-1) τ ( 犼 1 犼 2 ) 犼狀犪犼犼 1 犼 2 1 犪犼 2 犪犼狀狀犼狀故犱 = 犱 T. 性质 表明, 在行列式中行与列是对称的, 因此凡是有关行的性质, 对列也同样成

19 10 应用线性代数 立. 下面我们讨论的行列式的性质大多是对行来说的, 对于列也有相同的性质, 就不重复了. 性质 142 行列式中某行有公因子可以提到行列式符号外面, 或者说以一个数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式, 即 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犽犪犻 1 犽犪犻 2 犽犪犻狀 = 犽 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 证明利用行列式的定义. 左端 = 犼 1 犼犻 犼狀 = 犽 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 (-1) τ ( 犼 1 ) 犼犻犼狀犪 ( 1 犼 ) 1 犽犪犻犼犻犪狀犼狀 (-1) τ ( 犼 1 ) [ 犼犻犼狀犪 1 犼 1 犪犻犼犻犪狀犼 ] 狀 犼 1 犼犻 犼狀 = 右端性质 143 若行列式的某一行是两组数的和, 那么这个行列式等于两个行列式的和, 这两个行列式的这一行的元素分别为对应的两个加数之一, 其余各行的元素与原行列 式相同, 即 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犫犻 1+ 犮犻 1 犫犻 2+ 犮犻 2 犫犻狀 + 犮犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 = 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犫犻 1 犫犻 2 犫犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 证明左端 = (-1) τ ( 犼 1 ) 犼犻犼狀犪 ( 1 犼犼 1 1 犫犻犼犻 + ) 犮犻犼犻犪狀犼狀 犼犻犼狀 = 犼 1 犼犻 犼狀 + 犼 1 犼犻 犼狀 (-1) τ ( 犼 1 ) 犼犻犼狀犪 1 犼 1 犫犻犼犻犪狀犼狀 (-1) τ ( 犼 1 ) 犼犻犼狀犪 1 犼 1 犮犻犼犻犪狀犼狀 + 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犮犻 1 犮犻 2 犮犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 = 右端性质 144 若行列式中有两行相同, 那么行列式为零. 所谓两行相同就是说两行的 对应元素都相等. 证明设行列式犱 =det( 犪犻犼 ) 中第狆行与第狇行相同, 即 犪狆犽 = 犪狇犽, ( 犽 =1,2,, 狀 ) 只需证明犱 =det( 犪犻犼 ) 展开式所出现的项全能两两相消就行了. 事实上, 与项 同时出现的还有 (-1) τ ( 犼 1 ) 犼狆犼狇犼狀犪 1 犼 1 犪狆犼狆犪狇犼狇犪狀犼狀 科学出版社职教技术出版中心 (-1) τ ( 犼 1 ) 犼狇犼狆犼狀犪 1 犼 1 犪狆犼狇犪狇犼狆犪狀犼狀 =, =, 又 (-1) 但犪狆犼狆犪狇犼狆犪狇犼狇犪狆犼狇 τ ( 犼 1 犼狆犼狇犼狀 ) = -(-1) τ ( 犼 1 ) 犼狇犼狆犼狀, 于是上述两项相互消去. 行列式犱中所有项都两两相互消去, 因此犱 =0.

20 第 1 章行列式 11 由性质 与性质 可得以下推论. 推论 141 若行列式中有两行元素对应成比例, 那么行列式为零. 性质 145 若行列式的某一行元素乘以同一个数后加到另一行的对应元素上, 那 么行列式不变. 证明 犪犻 1+ 犽犪犼 1 犪犻 2+ 犽犪犼 2 犪犻狀 + 犽犪犼狀 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 = = 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 + 犽犪犼 1 犽犪犼 2 犽犪犼狀 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 这里, 第一步用性质 1.4.3, 第二步用推论 性质 146 若交换行列式中两行元素, 那么行列式改变符号, 即 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 =- 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 证明 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 = = 犪犻 1+ 犪犼 1 犪犻 2+ 犪犼 2 犪犻狀 + 犪犼狀 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 犪犻 1+ 犪犼 1 犪犻 2+ 犪犼 2 犪犻狀 + 犪犼狀 - 犪犻 1 - 犪犻 2 - 犪犻狀

21 12 应用线性代数 = 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 =- 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 - 犪犻 1 - 犪犻 2 - 犪犻狀 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 这里第一步是把第犼行加到第犻行, 第二步是把第犻行乘以 -1 加到第犼行, 第三步是把 第犼行加到第犻行, 最后把第犼行的公因子 -1 提出. 下面给出 3 个利用行列式的性质来简化行列式计算的例子. 为了叙述方便, 我们采用 一些符号, 用 [ 犻, 犼 ] 表示互换行列式第犻行与第犼行, 用 [ 犻 ( 犽 )] 表示行列式第犻行乘以数犽, 用 [ 犼 ( 犽 )+ 犻 ] 表示把行列式第犼行乘以犽加到第犻行 ; 用 { 犻, 犼 } 表示互换行列式第犻列与第 犼列, 用 { 犻 ( 犽 )} 表示行列式第犻列乘以数犽, 用 { 犼 ( 犽 )+ 犻 } 表示把行列式第犼列乘以犽加到第犻列. 例 141 计算 4 阶行列式 解 犱 = [1,2 犱 ] [3(1)+2] [3(-1)+4 ] - [2(9)+4] [2(34)+3 ] [1(-2)+4] [1(-3)+3] [1(2)+2 ] [2,4 ] = [3(-1)+4 ] = (-12)=-312 我们计算行列式时, 经常利用行列式的性质把它变为上三角形行列式 ( 主对角线下方 元素全为零 ) 或下三角形行列式 ( 主对角线上方元素全为零 ), 这种方法称为三角形法. 例 就是用三角形法来计算的, 下面两个例子也如此. 科学出版社职教技术出版中心

22 第 1 章行列式 13 例 142 计算 4 阶行列式 解 犱 = 犪犫犮犱犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮犪 + 犫 + 犮 + 犱犪 2 犪 + 犫 3 犪 +2 犫 + 犮 4 犪 +3 犫 +2 犮 + 犱犪 3 犪 + 犫 6 犪 +3 犫 + 犮 10 犪 +6 犫 +3 犮 + 犱 犱 = 犪犫犮犱犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮犪 + 犫 + 犮 + 犱犪 2 犪 + 犫 3 犪 +2 犫 + 犮 4 犪 +3 犫 +2 犮 + 犱犪 3 犪 + 犫 6 犪 +3 犫 + 犮 10 犪 +6 犫 +3 犮 + 犱 [1(-1)+2] [2(-1)+3] [3(-1)+4 ] [3(-1)+4 ] 犪犫犮犱 0 犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮 ] 0 犪 2 犪 + 犫 3 犪 +2 犫 + 犮 0 犪 3 犪 + 犫 6 犪 +3 犫 + 犮 犪犫犮犱 0 犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮 0 0 犪 2 犪 + 犫 犪 例 143 计算狀阶行列式 4 = 犪 [2(-1)+3] [3(-1)+4 犪犫 犮 犱 0 犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮 0 0 犪 2 犪 + 犫 0 0 犪 3 犪 + 犫 犱 = 犪 犫 犫 犫 犫 犪 犫 犫 犫 犫 犪 犫 犫犫犫 犪 解这个行列式的特点是每一行的元素有一个是犪, 其余狀 -1 个都是犫, 于是从第二列起到第狀列, 每一列乘以 1 加到第一列可得 { 犼 (1)+1} 犱 犼 =2,3,, 狀 犪 +( 狀 -1) 犫犫 犫 犫 1 犫 犫 犫 犪 +( 狀 -1) 犫犪 犫 犫 1 犪 犫 犫 犪 +( 狀 -1) 犫犫 犪 犫 = [ 犪 +( 狀 -1) 犫 ] 1 犫 犪 犫 犪 +( 狀 -1) 犫犫犫 犪 1 犫犫 犫 0 犪 - 犫 0 0 [1(-1)+ 犻 ] [ 犪 +( 狀 -1) 犫 ] 0 0 犪 - 犫 0 犻 =2,3,, 狀 犪 - 犫 1 犫犫 犪 = [ 犪 +( 狀 -1) 犫 ]( 犪 - 犫 ) 狀 -1

23 14 应用线性代数 1.5 行列式按行 ( 列 ) 展开 上一节里我们已经学过利用行列式的性质把行列式化为上 ( 或下 ) 三角形行列式进行计算, 在这一节我们学习另一种方法, 就是将较高阶行列式先化为较低阶行列式然后进行计算. 为此, 先介绍行列式的余子式和代数余子式的概念. 151 余子式与代数余子式 定义 151 在狀阶行列式犱中划去元素犪犻犼所在的第犻行与第犼列, 剩下的元素按原来的排法构成一个狀 -1 阶行列式称为元素犪犻犼的余子式, 记为犕犻犼. 即 则称犃犻犼为元素犪犻犼的代数余子式. 例如, 四阶行列式 犃犻犼 = (-1) 犻 + 犼犕犻犼 犪 11 犪 12 犪 13 犪 14 犪 21 犪 22 犪 23 犪 24 犪 31 犪 32 犪 33 犪 34 犪 41 犪 42 犪 43 犪 44 中 (2,3) 位置元素犪 23 的余子式和代数余子式分别为 引理 151 犕 23 = 犪 11 犪 12 犪 14 犪 31 犪 32 犪 34 犪 41 犪 42 犪 44 犃 23 = (-1) 2+3 犕 23 =- 犕 23 将狀阶行列式 犱 = 中第犻行换为犫犻 1, 犫犻 2,, 犫犻狀, 并记为犱 1, 即 犱 1 = 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犫犻 1 犫犻 2 犫犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀则犱中 ( 犻, 犼 ) 位置元素犪犻犼与犱 1 中 ( 犻, 犼 ) 位置元素犫犻犼有相同的余子式和代数余子式 ( 犼 =1, 2,, 狀 ). 请读者自己证明. 科学出版社职教技术出版中心

24 第 1 章行列式 15 引理 152 若狀阶行列式 犱 = 犪 11 犪 12 犪 1 狀 -1 犪 1 狀 犪 21 犪 22 犪 2 狀 -1 犪 21 狀 犪狀 -11 犪狀 -12 犪狀 -1 狀 -1 犪狀 -1 狀 犪狀狀中第狀行除犪狀狀外其余元素全为零, 则犱 = 犪狀狀犃狀狀, 这里犃狀狀为犱中元素犪狀狀的代数余子式. 证明 按行列式定义有 犱 = (-1) τ ( 犼 1 犼 2 ) 犼狀犪 1 犼犪 犼 1 犼 犼 2 犪狀犼狀犼狀当犼狀 狀时, =0, 于是犪狀犼狀 引理 153 犱 = 犼 1 犼 2 犼狀 -1 狀 = 犪狀狀 (-1) τ ( 犼 1 犼 2 犼狀 -1 狀 ) 犪 1 犼 1 犪 2 犼 2 犪狀 -1 犼狀 -1 犪狀狀 (-1) τ ( 犼 1 犼 [ 2 犼狀 -1 ) 犪 1 犼犪 1 2 犼 2 犪狀 -1 ] 犼狀 - 犼 1 犼 2 犼狀 -1 若狀阶行列式 1 = 犪狀狀犃狀狀 犪 11 犪 1 犼 -1 犪 1 犼 犪 1 犼 +1 犪 1 狀 犱 = 犪犻 -11 犪犻 -1 犼 -1 犪犻 -1 犼犪犻 -1 犼 +1 犪犻 -1 狀 犪犻犼 0 0 犪犻 +11 犪犻 +1 犼 -1 犪犻 +1 犼犪犻 +1 犼 +1 犪犻 +1 狀 犪狀 1 犪狀犼 -1 犪狀犼犪狀犼 +1 犪狀狀 中第犻行除犪犻犼外其余元素全为零, 则犱 = 犪犻犼犃犻犼, 这里犃犻犼为犱中元素犪犻犼的代数余子式. 证明先把犱中第犻行元素依次与第犻 +1 行 第犻 +2 行 第狀行元素交换, 共交换狀 - 犻次, 然后再把第犼列元素依次与第犼 +1 列 第犼 +2 列 第狀列元素交换, 共交换狀 - 犼次, 这里总共交换狀 - 犻 + 狀 - 犼 (=2 狀 -( 犻 + 犼 )) 次, 于是有 犪 11 犪 1 犼 -1 犪 1 犼 犪 1 犼 +1 犪 1 狀 犱 = 犪犻 -11 犪犻 -1 犼 -1 犪犻 -1 犼犪犻 -1 犼 +1 犪犻 -1 狀 犪犻犼 0 0 犪犻 +11 犪犻 +1 犼 -1 犪犻 +1 犼犪犻 +1 犼 +1 犪犻 +1 狀 犪狀 1 犪狀犼 -1 犪狀犼犪狀犼 +1 犪狀狀 = (-1) 狀 - 犻 犪 11 犪 1 犼 -1 犪 1 犼 犪 1 犼 +1 犪 1 狀 犪犻 -11 犪犻 -1 犼 -1 犪犻 -1 犼犪犻 -1 犼 +1 犪犻 -1 狀 犪犻 +11 犪犻 +1 犼 -1 犪犻 +1 犼犪犻 +1 犼 +1 犪犻 +1 狀 犪狀 1 犪狀犼 -1 犪狀犼 犪狀犼 +1 犪狀狀 0 0 犪犻犼 0 0

25 16 应用线性代数 = (-1) ( 狀 - 犻 )+( 狀 - 犼 ) 犪 11 犪 1 犼 -1 犪 1 犼 +1 犪 1 狀 犪 1 犼 犪犻 -11 犪犻 -1 犼 -1 犪犻 -1 犼 +1 犪犻 -1 狀犪犻 -1 犼 犪犻 +11 犪犻 +1 犼 -1 犪犻 +1 犼 +1 犪犻 +1 狀犪犻 +1 犼 犪狀 1 犪狀犼 -1 犪狀犼 +1 犪狀狀犪狀犼 犪犻犼 = (-1) 2 狀 -( 犻 + 犼 ) 犪犻犼犕犻犼 = (-1) 2 狀 -2( 犻 + 犼 ) 犪犻犼 [(-1) ( 犻 + 犼 ) 犕犻犼 ]= 犪犻犼犃犻犼这里倒数第三个等式利用了引理 行列式依行 ( 列 ) 展开法则 定理 151 狀 ( 狀 >1) 阶行列式犱 =det( 犪犻犼 ) 等于行列式任意一行 ( 列 ) 元素与它们对 应的代数余子式的乘积之和, 即 犱 = 犪犻 1 犃犻 1+ 犪犻 2 犃犻 2+ + 犪犻狀犃犻狀 (1 犻 狀 ) (1.5.1) = 犪 1 犼犃 1 犼 + 犪 2 犼犃 2 犼 + + 犪狀犼犃狀犼 (1 犼 狀 ) (1.5.2) 这里犃犻犼为犱中元素犪犻犼的代数余子式. 证明这里仅给出依行展开法则 ( 式 (1.5.1)) 的证明, 列的情形 ( 式 (1.5.2)) 留给读 者证明. 设狀 ( 狀 >1) 阶行列式 犱 = 把犱中第犻行各个元素改写为狀个数的和, 即 犱 = 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪犻 犪犻 犪犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 利用性质 1.4.3, 将它拆成狀个行列式之和, 即 犱 = 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪犻 犪 11 犪 12 犪 1 狀 0 犪犻 2 0 科学出版社职教技术出版中心 犪 11 犪 12 犪 1 狀 0 0 犪犻狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 再利用引理 和引理 可得 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀

26 第 1 章行列式 17 犱 = 犪犻 1 犃犻 1+ 犪犻 2 犃犻 2+ + 犪犻狀犃犻狀定理 叫做行列式依行 ( 列 ) 展开法则. 利用这一法则并结合行列式的性质, 可以简化行列式的计算, 下面举例加以说明. 例 151 计算行列式的值 犱 = 解犱中第 5 行零最多, 先依此行展开有 再依第 1 行展开有 最后 3 阶行列式依第 1 行展开有 犱 =2(-1) 犱 =-2(-1) {1(1)+3} {1(-2)+2 } 犱 = (-10) (-2)(-1) 2 6 =20 [(-7) 6-6 2]=-1080 在行列式计算中, 我们经常利用行列式的展开把狀阶行列式转化为狀 -1 阶行列式, 通过降阶逐步变为低阶行列式后进行计算, 但行列式按某一行或列展开时, 只有在该行或列有较多的零时, 才能起到减少计算量的作用. 如果不具备这个条件, 我们往往先运用 化零 后进行降阶. 利用行列式性质降低行列式阶数, 然后计算行列式的值的方法叫做降阶法, 例 就是降阶法的一例. 例 152 计算狀阶范德蒙德 (Vandermonde) 行列式 解 犱狀 = 犪 1 犪 2 犪狀 -1 犪狀 2 2 犪 1 犪 2 犪狀 2 2 犪狀 -1 狀 -1 狀 -1 犪 1 犪 2 犪 狀 -1 狀 -1 狀 -1 犪狀 从犱狀的第狀 -1 行起到第一行止, 每行乘以 - 犪狀加到下一行, 可得

27 18 应用线性代数 犱狀 = 依第狀列展开, 有 犪 1- 犪狀犪 2- 犪狀 犪狀 -1- 犪狀 0 犪 1( 犪 1- 犪狀 ) 犪 2( 犪 2- 犪狀 ) 犪狀 -1( 犪狀 -1- 犪狀 ) 0 狀 -2 犪 狀 1 ( 犪 1- 犪狀 ) -2 狀犪 2 ( 犪 2- 犪狀 ) -2 犪狀 -1( 犪狀 -1- 犪狀 ) 0 犱狀 = (-1) 1+ 狀 提取各列公因子后, 得 犪 1- 犪狀犪 2- 犪狀 犪狀 -1- 犪狀 犪 1( 犪 1- 犪狀 ) 犪 2( 犪 2- 犪狀 ) 犪狀 -1( 犪狀 -1- 犪狀 ) 2 犪 2 2 1( 犪 1- 犪狀 ) 犪 2( 犪 2- 犪狀 ) 犪 狀 -2 犪 狀 1 ( 犪 1- 犪狀 ) -2 犪 2 ( 犪 2- 犪狀 ) 犪 犱狀 = (-1) 1+ 狀 ( 犪 1- 犪狀 )( 犪 2- 犪狀 ) ( 犪狀 -1- 犪狀 ) 右端行列式结构与犱狀一样, 用犱狀 -1 表示, 于是有 狀 -1( 犪狀 -1- 犪狀 ) 狀 -2 狀 -1( 犪狀 -1- 犪狀 ) 犪 1 犪 2 犪狀 -2 犪狀 犪 1 犪 2 犪狀 犪狀 -2 狀 -2 狀 -2 犪 1 犪 犱狀 = ( 犪狀 - 犪 1)( 犪狀 - 犪 2) ( 犪狀 - 犪狀 -1) 犱狀 -1 这个式子叫做递推关系式. 对犱狀 -1 同样方法可得到 依次类推, 得 而 故有 2 犪 犱狀 -1=( 犪狀 -1- 犪 1)( 犪狀 -1- 犪 2) ( 犪狀 -1- 犪狀 -2) 犱狀 -2 犱狀 -2=( 犪狀 -2- 犪 1)( 犪狀 -2- 犪 2) ( 犪狀 -2- 犪狀 -3) 犱狀 -3 犱 3=( 犪 3- 犪 1)( 犪 3- 犪 2) 犱 2 犱 2=( 犪 2- 犪 1) 犱狀 =( 犪狀 - 犪 1)( 犪狀 - 犪 2) ( 犪狀 - 犪狀 -1) ( 犪狀 -1- 犪 1)( 犪狀 -1- 犪 2) ( 犪狀 -1- 犪狀 -2) ( 犪狀 -2- 犪 1)( 犪狀 -2- 犪 2) ( 犪狀 -2- 犪狀 -3) ( 犪 3- 犪 1)( 犪 3- 犪 2) ( 犪 2- 犪 1) = 1 ( 犪犼 - 犪犻 ) 犻 < 犼 狀 狀 -2 狀 -2 狀 -2 犪狀 -1 这里 是连乘符号, 上式表示满足 1 犻 < 犼 狀所有因子犪犼 - 犪犻的连乘积. 科学出版社职教技术出版中心

28 第 1 章行列式 19 定理 152 行列式某一行 ( 列 ) 的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零, 即 或 犪犽 1 犃犻 1+ 犪犽 2 犃犻 2+ + 犪犽狀犃犻狀 =0, 犽 犻 (1 犽, 犻 狀 ) (1.5.3) 犪 1 犾犃 1 犼 + 犪 2 犾犃 2 犼 + + 犪狀犾犃狀犼 =0, 犾 犼 (1 犾, 犼 狀 ) (1.5.4) 这里犃犻犼为犱中元素犪犻犼的代数余子式. 证明这里只是证明行的情形, 列的情形留给读者证明. 把狀阶行列式犱 =det( 犪犻犼 ) 按第犻行展开, 有 犪 11 犪 1 狀 犪犻 1 犃犻 1+ 犪犻 2 犃犻 2+ + 犪犻狀犃犻狀 = 犪犽 1 犪犽狀 犪犻 1 犪犻狀 在上式中把犪犻犼换成犪犽犼 ( 犼 =1,2,, 狀 ), 可得 犪狀 1 犪狀狀 犪犽 1 犃犻 1+ 犪犽 2 犃犻 2+ + 犪犽狀犃犻狀 = 犪 11 犪 1 狀 犪犽 1 犪犽 1 犪犽狀 犪犽狀 第犽行 第犻行 犪狀 1 犪狀狀 当犽 犻时, 上式右端行列式第犽行与第犻行相同, 故行列式等于零, 因此 犪犽 1 犃犻 1+ 犪犽 2 犃犻 2+ + 犪犽狀犃犻狀 =0 ( 犽 犻 ) 综合定理 和定理 得到下面的推论. 推论 151 设犱 =det( 犪犻犼 ) 则 犱犽 = 犻犪犽 1 犃犻 1+ 犪犽 2 犃犻 2+ + 犪犽狀犃犻狀 = { 0 犽 犻 (1 犽, 犻 狀 ) (1.5.5) 犱犾 = 犼犪 1 犾犃 1 犼 + 犪 2 犾犃 2 犼 + + 犪狀犾犃狀犼 = { 0 犾 犼 (1 犾, 犼 狀 ) (1.5.6) 这里犃犻犼为犱中元素犪犻犼的代数余子式. 1.6 行列式的计算 计算行列式, 已经学过三角形法与降阶法. 这一节再介绍狀阶行列式计算的一些常用方法.

29 20 应用线性代数 161 数学归纳法 可以利用数学归纳法计算行列式. 例 161 证明 犪 11 犪 1 犽 0 0 犪犽 1 犪犽犽 0 0 犮 11 犮 1 犽 犫 11 犫 1 狉 = 犪 11 犪 1 犽 犪犽 1 犪犽犽 犫 11 犫狉 1 犫 1 狉 犫狉狉 (1.6.1) 犮狉 1 犮狉犽犫狉 1 犫狉狉 证明对犽用数学归纳法. 当犽 =1 时, 式 (1.6.1) 左端为 犪 犮 11 犫 11 犫 1 狉 犮狉 1 犫狉 1 犫狉狉 依第一行展开, 就得到所要的结论. 假设式 (1.6.1) 对犽 = 犿 -1, 即左端行列式的左上角是犿 -1 阶时已经成立, 现在来 看犽 = 犿的情形, 依第一行展开, 有 犪 11 犪 1 犿 0 0 犪犿 1 犪犿犿 0 0 犮 11 犮 1 犿 犫 11 犫 1 狉 犮狉 1 犮狉犿犫狉 1 犫狉狉 = 犪 11 犪 21 犪 2 犿 0 0 犪犿 1 犪犿犿 0 0 犮 11 犮 1 犿 犫 11 犫 1 狉 犮狉 1 犮狉犿犫狉 1 犫狉狉 犪 21 犪 2 犻 -1 犪 2 犻 +1 犪 2 犿 (-1) 1+ 犪犿 1 犪犿犻 -1 犪犿犻 +1 犪犿犿 0 0 犻犪 1 犻 + 犮 11 犮 1 犻 -1 犮 1 犻 +1 犮 1 犿犫 11 犫 1 狉 + (-1) 1+ 犿犪 1 犿 犮狉 1 犮狉犻 -1 犮狉犻 +1 犮狉犿犫狉 1 犫狉狉 犪 21 犪 2 犿 犪犿 1 犪犿犿 犮 11 犮 1 犿 -1 犫 11 犫 1 狉 犮狉 1 犮狉犿 -1 犫狉 1 犫狉狉 科学出版社职教技术出版中心

30 第 1 章行列式 21 熿 = 犪 11 燀 犪 21 犪 2 犿 犪犿 1 犪犿犿 + + (-1) 1+ 犿犪 1 犿 + + (-1) 1+ 犻犪 1 犻 犪 21 犪 2 犿 -1 犪犿 1 犪犿犿 -1 燄 燅 犪 21 犪 2 犻 -1 犪 2 犻 +1 犪 2 犿 犪犿 1 犪犿犻 -1 犪犿犻 +1 犪犿犿 犫 11 犫狉 1 犫 1 狉 犫狉狉 = 犪 11 犪 1 犽 犫 11 犫 1 狉 犪犽 1 犪犽犽犫狉 1 犫狉狉 这里第二个等号是用了归纳法假定, 最后一步是根据依第一行展开的法则. 根据归纳法原理, 式 (1.6.1) 普遍成立. 162 递推法 利用高阶行列式和结构相同的低阶行列式的关系式, 求得行列式值的方法叫做递推法. 例 就是递推法的一个例子, 这里再举一例加以说明. 例 162 计算狀级行列式 解 犱狀 = α+β αβ α+β αβ α+β α+β αβ α+β 将犱狀依第一行展开, 可以得到 于是有递推关系式 递推得到 进而有关系式 利用 α 与 β 的对称性有 (1.6.2) 犱狀 = (α+β ) 犱狀 -1-αβ 犱狀 -2 (1.6.3) 犱狀 -β 犱狀 -1 =α( 犱狀 -1-β 犱狀 -2) (1.6.4) 狀 -3 狀犱狀 -β 犱狀 -1 =α ( 犱 3-β 犱 2)=α (1.6.5) 狀犱狀 -β 犱狀 -1 =α (1.6.6) 狀犱狀 -α 犱狀 -1 =β (1.6.7) 若 α=β, 则由式 (1.6.6) 递推得到 狀犱狀 =α 若 α β, 则由式 (1.6.6) 式 (1.6.7) 解得 一般地, 对形如 狀 +α 犱狀 -1 = ( 狀 +1)α (1.6.8) 犱狀 = α 狀 +1 狀 +1 -β α-β

31 2 应用线性代数 犱狀 = α β γ α β γ α β γ α α β γ α 的三对角行列式, 可求得如下递推关系式 : (1.6.9) 犱狀 =α 犱狀 -1-βγ 犱狀 -2 (1.6.10) 取犪与犫是一元二次方程狓 2 -α 狓 +βγ=0 的两个根, 则必有 从而有 故 犪 + 犫 =α, 犪犫 =βγ (1.6.11) 犱狀 = ( 犪 + 犫 ) 犱狀 -1- 犪犫犱狀 -2 (1.6.12) 狀犪狀 +1 烄 - 犫犱狀 =烅犪 - 犫 ( 犪 犫 ) 烆狀 ( 狀 +1) 犪 ( 犪 = 犫 ) 例 163 计算狀级行列式 犱狀 = 解 将犱狀依第一行展开, 可以得到关系式 解一元二次方程 (1.6.13) 犱狀 =7 犱狀 犱狀 -2 (1.6.14) 狓 2-7 狓 +10=0 (1.6.15) 求得两个不同的根犪 =2, 犫 =5, 于是利用 (1.6.13) 式有 163 乘法法则 犱狀 = 2 狀 +1 狀 =5 狀 +1 狀 +1-2 下面介绍两个行列式乘法法则, 并举出通过乘法法则进行行列式计算的例子. 定理 161( 乘法法则 ) 3 科学出版社职教技术出版中心 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犫 11 犫 12 犫 1 狀 犮 11 犮 12 犮 1 狀 犪 21 犪 22 犪 2 狀 犫 21 犫 22 犫 2 狀 = 犮 21 犮 22 犮 2 狀 (1.6.16) 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 犫狀 1 犫狀 2 犫狀狀 犮狀 1 犮狀 2 犮狀狀

32 第 1 章行列式 23 其中 犮犻犼 = 犪犻 1 犫 1 犼 + 犪犻 2 犫 2 犼 + + 犪犻狀犫狀犼, 1 犻, 犼 狀 证明略. 例 164 计算狀 ( 狀 >2) 级行列式 解 犱狀 = 利用乘法法则有 犱狀 = cos(α1-β1 ) cos(α1-β2 ) cos(α1-β 狀 ) cos(α2-β1 ) cos(α2-β2 ) cos(α2-β ) 狀 cos(α 狀 -β1 ) cos(α 狀 -β2 ) cos(α 狀 -β 狀 ) cos(α1-β1 ) cos(α1-β2 ) cos(α1-β 狀 ) cos(α2-β1 ) cos(α2-β2 ) cos(α2-β ) 狀 cos(α 狀 -β1 ) cos(α 狀 -β2 ) cos(α 狀 -β 狀 ) cosβ1 cosβ2 cosα1 sinα1 0 cosβ 狀 0 sinβ1 sinβ2 cosα2 sinα2 0 0 sinβ 狀 = cosα 狀 sinα 狀 =0( 狀 >2) 例 165 计算四阶行列式 犇 = 犪犫犮犱 - 犫犪 - 犱犮 - 犮犱犪 - 犫 - 犱 - 犮犫犪这里犪, 犫, 犮, 犱是不全为零的实数. 解由于行列式与其转置行列式相等, 所以 利用行列式乘法法则, 有 犇犇 T = = 犪犫犮犱 犪 犇 2 T = 犇犇 - 犫 - 犮 - 犱 - 犫犪 - 犱犮犫犪犱 - 犮 - 犮犱犪 - 犫犮 - 犱犪犫 - 犱 - 犮犫犪犱犮 - 犫犪 犪 + 犫 + 犮 2 + 犱 犪 + 犫 + 犮 2 + 犱 犪 + 犫 + 犮 2 + 犱 犪 + 犫 + 犮 2 + 犱 = ( 犪 2 + 犫 2 + 犮 2 + 犱 2 ) 4

33 24 应用线性代数 于是 犇 2 = ( 犪 2 + 犫 2 + 犮 2 + 犱 2 ) 4 4 由于犪前应是正号 ( 为什么? 请读者思考 ), 故犇 =( 犪 2 + 犫 2 + 犮 2 + 犱 2 ) 克莱姆法则 作为行列式的应用, 这节介绍克莱姆法则. 与第一节里二 三元线性方程组相类似, 含 有狀个未知量狓 1, 狓 2,, 狓狀, 狀个方程的线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 = 犫 1 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 = 犫 2 烅 烆犪狀 1 狓 1+ 犪狀 2 狓 2+ + 犪狀狀狓狀 = 犫狀它的解可以用行列式表示. 定理 171( 克莱姆法则 ) 如果线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 = 犫 1 的系数行列式 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 = 犫 2 烅 烆犪狀 1 狓 1+ 犪狀 2 狓 2+ + 犪狀狀狓狀 = 犫狀犪 11 犪 12 犪 1 狀 (1.7.1) 犱 = 犪 21 犪 22 犪 2 狀 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀不为零, 那么线性方程组 (1.7.1) 有解, 并且解是唯一的 狓 1 = 犱 1, 犱 2 犱狀狓 2 =,, 狓狀 = 犱犱犱 (1.7.2) 这里犱犼 ( 犼 =1,2,, 狀 ) 是把犱中第犼列换成方程组的常数项犫 1, 犫 2,, 犫狀所成的行列式, 即 犱犼 = 犪 11 犪 1 犼 -1 犫 1 犪 1 犼 +1 犪 1 狀 犪 21 犪 2 犼 -1 犫 2 犪 2 犼 +1 犪 2 狀 犪狀 1 犪狀犼 -1 犫狀犪狀犼 +1 犪狀狀 证明首先证明 (1.7.2) 是线性方程组 (1.7.1) 的解. 把 (1.7.3) 中的犱犼依第犼列展开, 有 (1.7.3) 犱犼 = 犫 1 犃 1 犼 + 犫 2 犃 2 犼 + + 犫狀犃狀犼 ( 犼 =1,2,, 狀 ) (1.7.4) 将 (1.7.2) 代入线性方程组 (1.7.1) 的第一个方程的左端, 有 科学出版社职教技术出版中心 犱 1 犪 11 犱 2 + 犪 12 犱犱 犱狀 + + 犪 1 狀犱 (1.7.5)

34 第 1 章行列式 25 利用式 (1.7.4), 则式 (1.7.5) 可写为 1( 犪 11 犱 1+ 犪 12 犱 2+ + 犪 1 狀犱狀 ) 犱 = 1 [ 犪 11( 犫 1 犃 11+ 犫 2 犃 犫狀犃狀 1) 犱 + 犪 12( 犫 1 犃 12+ 犫 2 犃 犫狀犃狀 2) + + 犪 1 狀 ( 犫 1 犃 1 狀 + 犫 2 犃 2 狀 + + 犫狀犃狀狀 )] 合并含有犫 1, 犫 2,, 犫狀的项,(1.7.5) 可改写为 1[ 犫 1( 犪 11 犃 11+ 犪 12 犃 犪 1 狀犃 1 狀 ) 犱 + 犫 2( 犪 11 犃 21+ 犪 12 犃 犪 1 狀犃 2 狀 ) + + 犫狀 ( 犪 11 犃狀 1+ 犪 12 犃狀 2+ + 犪 1 狀犃狀狀 )] 根据定理 和定理 或其推论得 (1.7.1) 的第一个方程的左端为 1( 犫 1 犱 + 犫 犫狀 0)= 犫 1 犱可见 (1.7.2) 满足 (1.7.1) 的第一个方程. 同理可证 (1.7.2) 满足 (1.7.1) 的其他各个方程. 下面证明解的唯一性. 设犮 1, 犮 2,, 犮狀是方程组 (1.7.1) 的任一解, 代入可得 烄犪 11 犮 1+ 犪 12 犮 2+ + 犪 1 狀犮狀 = 犫 1 犪 21 犮 1+ 犪 22 犮 2+ + 犪 2 狀犮狀 = 犫 2 烅 烆犪狀 1 犮 1+ 犪狀 2 犮 2+ + 犪狀狀犮狀 = 犫狀用犃 11, 犃 21,, 犃狀 1 分别乘 (1.7.6) 的第 1,2,, 狀个等式, 然后将狀个等式相加可得 犮 1( 犪 11 犃 11+ 犪 21 犃 犪狀 1 犃狀 1) + 犮 2( 犪 12 犃 11+ 犪 22 犃 犪狀 2 犃狀 1) + + 犮狀 ( 犪 1 狀犃 11+ 犪 2 狀犃 犪狀狀犃狀 1) = 犫 1 犃 11+ 犫 2 犃 犫狀犃狀 1 利用等式 (1.7.4) 及定理 和定理 或推论 上式可化简为 (1.7.6) 即得 同理可知 至此, 唯一性获证. 犮 1 犱 + 犮 犮狀 0= 犱 1 犮 2 = 犱 1 犮 1 = 犱 犱 2 犱狀,, 犮狀 = 犱犱

35 26 应用线性代数 例 171 解线性方程组 解 烄 2 狓 1 + 狓 2-5 狓 3 + 狓 4=8 狓 1-3 狓 2-6 狓 4=9 烅 2 狓 2 - 狓 3+2 狓 4=-5 烆狓 1+4 狓 2-7 狓 3+6 狓 4=0 由于方程组的系数行列式 又 犱 = 犱 1 = 犱 2 = 犱 3 = 犱 4 = = = = = = 利用克莱姆法则知方程组有唯一解 犱 1 狓 1 = 犱 犱 2 =3, 狓 2 = 犱 犱 3 =-4, 狓 3 = 犱 =-1, 狓 4 = =1 犱 例 172 设犱 =det( 犪犻犼 ) 0, 证明线性方程组 烄犃 11 狓 1+ 犃 12 狓 2+ 犃 1 狀狓狀 = 犫 1 科学出版社职教技术出版中心 犱 4 犃 21 狓 1+ 犃 22 狓 2+ 犃 2 狀狓狀 = 犫 2 烅 烆犃狀 1 狓 1+ 犃狀 2 狓 2+ 犃狀狀狓狀 = 犫狀有唯一解, 其中犃犻犼为犱中元素犪犻犼的代数余子式. 证明由犱 =det( 犪犻犼 ) 0 及 (1.7.7)

36 第 1 章行列式 27 犪 11 犪 12 犪 1 狀 犪 21 犪 22 犪 2 狀 犃 11 犃 21 犃狀 1 犃 12 犃 22 犃狀 2 = 犱 犱 0 狀 = 犱 可得 犪狀 1 犪狀 2 犪狀狀 犃 1 狀犃 2 狀 犃狀狀 0 0 犱 犃 11 犃 12 犃 1 狀 犃 21 犃 22 犃 2 狀 狀 = 犱 -1 0 犃狀 1 犃狀 2 犃狀狀 即线性方程组 (1.7.7) 的系数行列式不等于零, 从而结论成立. 利用克莱姆法则, 下面定理 是显然的. 定理 172 如果齐次线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 =0 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 =0 烅 (1.7.8) 烆犪狀 1 狓 1+ 犪狀 2 狓 2+ + 犪狀狀狓狀 =0 的系数行列式犱 0, 那么它只有零解. 例 173 求 λ 在什么条件下, 齐次线性方程组 λ 狓 1+ 狓 2 =0 { (1.7.9) 狓 1+λ 狓 2 =0 有非零解. 解利用定理 1.7.2, 要使齐次线性方程组有非零解, 必需它的系数行列式为零, 即 λ 1 1 λ =0 于是 λ 2-1=0, 求得 λ=±1. 不难验证, 当 λ=±1 时, 方程组确有非零解. 习题一 1. 计算下列二阶行列式. (1) (3) cos 狓 -sin 狓 sin 狓 cos 狓 2. 计算下列三阶行列式 (1) (2) 狓 -1 (4) 3 狓 1 狓 2 + 狓 +1 0 犪 0 (2) 犫 0 犮 0 犱 0 狓 1 狓 2 0 (3) 狔 1 狔 狕

37 28 应用线性代数 (4) (5) 决定以下排列的反序数, 从而决定它们的奇偶性. (1) (2) (3) 如果排列狓 1 狓 2 狓狀 -1 狓狀的反序数为犽, 排列狓狀狓狀 -1 狓 2 狓 1 的反序数是多少? 5. 写出 4 阶行列式中所有带有负号并且包含因子犪 23 的项. 6. 用定义计算行列式 (1) (3) (5) 狀 -1 狀 计算下列行列式. (1) (3) (5) 犪 2 ( 犪 +1) 2 ( 犪 +2) 2 ( 犪 +3) 2 犫 2 ( 犫 +1) 2 ( 犫 +2) 2 ( 犫 +3) 2 2 犮 ( 犮 +1) 2 ( 犮 +2) 2 ( 犮 +3) 2 犱 2 ( 犱 +1) 2 ( 犱 +2) 2 ( 犱 +3) (7) (2) (4) (6) (2) (4) (6) 犪 犫 犮 犱 狀 狀 狓狔狓 + 狔 狔狓 + 狔狓 狓 + 狔狓狔 1+ 狓 科学出版社职教技术出版中心 狓 狔 狔

38 第 1 章行列式 计算下列狀阶行列式. (1) (3) 狀 狓 - 犪 犪 犪 犪 犪 狓 - 犪 犪 犪 犪 犪 狓 - 犪 犪 犪犪犪 狓 - 犪 9. 证明下列行列式. 犫 + 犮 犮 + 犪 犪 + 犫 犪 犫 犮 (1) 犫 1+ 犮 1 犮 1+ 犪 1 犪 1+ 犫 1 =2 犪 1 犫 1 犮 1 犫 2+ 犮 2 犮 2+ 犪 2 犪 2+ 犫 2 0 狓狔狕 狓 0 狕狔 (2) = 狔狕 0 狓狕狔狓 0 (3) 狕 犪 2 犫 2 犮 2 2 狔 1 狕 狓 2 1 狔狓 2 0 cosα cosα cosα cosα 10. 用克莱姆法则解下列方程组. 烄 2 狓 1 - 狓 2 - 狓 3=4 (1) 烅 3 狓 1+4 狓 2-2 狓 3=11 烆 3 狓 1-2 狓 2+4 狓 3=11 烄狓 1+2 狓 2+3 狓 3-2 狓 4=6 2 狓 1 - 狓 2-2 狓 3-3 狓 4=8 (3) 烅 3 狓 1+2 狓 2 - 狓 3+2 狓 4=4 烆 2 狓 1-3 狓 2+2 狓 3 + 狓 4= 当 λ 为何值时, 方程组 可能存在非零解? (2) 狀 (4) ( 狓狔狕 0) =cos 狀 α 烄 λ 狓 1+ 狓 2+ 狓 3 =0 烅狓 1-2 狓 2+ 狓 3 =0 烆狓 1- 狓 2+λ 狓 3 = 烄狓 1 + 狓 2 + 狓 3 =5 2 狓 1 + 狓 2 - 狓 3 + 狓 4=1 (2) 烅狓 1+2 狓 2 - 狓 3 + 狓 4=2 烆狓 1 +2 狓 3+3 狓 4=3 烄狓 1+4 狓 2+ 狓 3+14 狓 4=-2 狓 1 + 狓 2+ 狓 3 + 狓 4=5 (4) 烅狓 1+2 狓 2- 狓 3 +4 狓 4=-2 烆 2 狓 1 + 狓 2- 狓 3 - 狓 4=2

39 第 2 章 线性方程组 狀元线性方程组的一般形式为 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 = 犫 1 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 = 犫 2 烅 烆犪犿 1 狓 1+ 犪犿 2 狓 2+ + 犪犿狀狓狀 = 犫犿 (2.0.1) 其中狓 1, 狓 2,, 狓狀代表未知量, 犪犻犼 (1 犻 犿,1 犼 狀 ) 称为方程组的系数, 犫 1, 犫 2,, 犫犿称 为常数项. 若常数项犫 1, 犫 2,, 犫狀不全为 0, 称式 (2.0.1) 为非齐次线性方程组. 若常数项犫 1, 犫 2,, 犫狀全为 0, 即 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 =0 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 =0 烅 烆犪犿 1 狓 1+ 犪犿 2 狓 2+ + 犪犿狀狓狀 =0 (2.0.2) 称式 (2.0.2) 为齐次线性方程组. 当狓 1= 犮 1, 狓 2= 犮 2,, 狓狀 = 犮狀时, 线性方程组 (2.0.1) 成立, 则称 ( 犮 1, 犮 2,, 犮狀 ) 为该方 程组的解向量. 狓 1=0, 狓 2=0,, 狓狀 =0 显然是狀元齐次线性方程组 (2.0.2) 的解, 因此狀元齐次线性方程组 (2.0.2) 肯定有零解 (0,0,,0). 若齐次线性方程组 (2.0.2) 有非零解 ( 犮 1, 犮 2,, 犮狀 ), 那 么对任意数犽, 有 ( 犽犮 1, 犽犮 2,, 犽犮狀 ) 都是齐次线性方程组 (2.0.2) 的解, 于是该方程组有无 穷多个解. 这就是说, 齐次线性方程组仅有零解和无穷多解两种情况. 解对照. 2.1 消元法 中学代数曾学过消元法解 2 元和 3 元线性方程组. 先看一个例子. 例 211 解线性方程组 科学出版社职教技术出版中心 烄 2 狓 1 - 狓 2+3 狓 3=1 烅 4 狓 1+2 狓 2+5 狓 3=4 烆 2 狓 1 +2 狓 3=6 采用消元法并且把解法过程与线性方程组相应系数及常数项的变化过程进行

40 第 2 章 线性方程组 31 消元法过程相应系数组成表变化过程 烄 2 狓 1 - 狓 2+3 狓 3=1 烅 4 狓 1+2 狓 2+5 狓 3=4 烆 2 狓 1 +2 狓 3=6-2 乘第一个方程加到第二个方程与 -1 乘第一个方程加到第三个方程, 得 烄 烌 烆 烎 -2 乘第一行加到第二行与 -1 乘第一行加到第 3 行, 得 烄 2 狓 1- 狓 2+3 狓 3=1 烄 烌烅 4 狓 2 - 狓 3= 烆狓 2 - 狓 3=5 烆 烎互换第二个方程与第三个方程, 得互换第二行与第三行, 得 烄 2 狓 1- 狓 2+3 狓 3=1 烄 烌 烅 狓 2 - 狓 3= 烆 4 狓 2 - 狓 3=2 烆 烎 -4 乘第二个方程加到第三个方程, 得 -4 乘第二行加到第三行, 得 烄 2 狓 1- 狓 2+3 狓 3=1 烄 烌 烅 狓 2 - 狓 3= 烆 3 狓 3=-18 烆 烎 1 乘第三个方程, 得 3 烄 2 狓 1- 狓 2+3 狓 3=1 烅 狓 2 - 狓 3=5 烆 狓 3=-6-3 乘第三个方程加到第一个方程与 1 乘第三个方程加到第二个方程, 得 1 乘第三行, 得 3 烄 烌 烆 烎 -3 乘第三行加到第一行与 1 乘第三行加到第二行, 得 烄 2 狓 1- 狓 2 =19 烄 烌烅狓 2 = 烆狓 3=-6 烆 烎 1 乘第二个方程加到第一个方程, 得 1 乘第二行加到第一行, 得 烄 2 狓 1 =18 烅狓 2 =-1 烆狓 3=-6 1 乘第一个方程, 得 2 烄狓 1 =9 烅狓 2 =-1 烆狓 3=-6 烄 烌 烆 烎 1 乘第一行, 得 2 烄 烌 烆 烎 最后得原方程组的解为狓 1=9, 狓 2=-1, 狓 3=-6, 即 (9,-1,-6) 是原方程组的解向

41 32 应用线性代数 量, 它正是由右边表最后一列元素组成. 分析一下消元法, 不难发现, 用消元法解线性方程组实质上是反复对方程组施行如下 三种变换 : (1) 用一个非零数乘某一个方程两端, 称为倍法变换. (2) 用一个数乘某一个方程两端加到另一个方程上去, 称为消法变换. (3) 互换两个方程的位置, 称为换法变换. 这三种变换统称为线性方程组的初等变换. 消元的过程就是对方程组反复施行初等变换的过程, 这主要是基于下面的事实. 引理 211 线性方程组初等变换总是将方程组化为同解的方程组. 证明仅就消法变换加以证明, 其他两种变换情形, 读者可以仿照证明. 设线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 = 犫 1 犪犻 1 狓 1+ 犪犻 2 狓 2+ + 犪犻狀狓狀 = 犫犻 烅 (2.1.1) 犪犼 1 狓 1+ 犪犼 2 狓 2+ + 犪犼狀狓狀 = 犫犼 烆犪犿 1 狓 1+ 犪犿 2 狓 2+ + 犪犿狀狓狀 = 犫犿施行消法变换, 将第犻个方程两端乘以犽加到第犼个方程, 可得线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 = 犫 1 犪犻 1 狓 1+ 犪犻 2 狓 2+ + 犪犻狀狓狀 = 犫犻烅 (2.1.2) ( 犽犪犻 1+ 犪犼 1) 狓 1+ ( 犽犪犻 2+ 犪犼 2) 狓 2+ + ( 犽犪犻狀 + 犪犼狀 ) 狓狀 = ( 犽犫犻 + 犫犼 ) 烆犪犿 1 狓 1+ 犪犿 2 狓 2+ + 犪犿狀狓狀 = 犫犿为了证明线性方程组 (2.1.1) 与线性方程组 (2.1.2) 同解, 只需证明线性方程组 (2.1.1) 的任一解都是线性方程组 (2.1.2) 的解, 反之线性方程组 (2.1.2) 的任一解也是线 性方程组 (2.1.1) 的解. 线性方程组 (2.1.1) 与线性方程组 (2.1.2) 的差别仅在第犼个方程, 若线性方程组 (2.1.1) 的任一解为 ( 犮 1, 犮 2,, 犮狀 ), 把它代入式 (2.1.2) 的第犼个方程左端, 得 ( 犽犪犻 1+ 犪犼 1) 犮 1+ ( 犽犪犻 2+ 犪犼 2) 犮 2+ + ( 犽犪犻狀 + 犪犼狀 ) 犮狀 = 犽 ( 犪犻 1 犮 1+ 犪犻 2 犮 2+ + 犪犻狀犮狀 )+ ( 犪犼 1 犮 1+ 犪犼 2 犮 2+ + 犪犼狀犮狀 ) (2.1.3) 由于 ( 犮 1, 犮 2,, 犮狀 ) 是式 (2.1.1) 的解, 所以 犪犻 1 犮 1+ 犪犻 2 犮 2+ + 犪犻狀犮狀 = 犫犻 科学出版社职教技术出版中心 代入式 (2.1.3) 得 犪犼 1 犮 1+ 犪犼 2 犮 2+ + 犪犼狀犮狀 = 犫犼 ( 犽犪犻 1+ 犪犼 1) 犮 1+ ( 犽犪犻 2+ 犪犼 2) 犮 2+ + ( 犽犪犻狀 + 犪犼狀 ) 犮狀 = 犽犫犻 + 犫犼

42 第 2 章 线性方程组 33 故 ( 犮 1, 犮 2,, 犮狀 ) 是 (2.1.2) 的解. 因为将线性方程组 (2.1.2) 的第犻个方程两端乘以 - 犽加到第犼个方程, 可得线性方程组 (2.1.1) 的第犼个方程, 所以根据上面已经证明的事实可知 (2.1.2) 的任一解也是 (2.1.1) 的解. 这就证明了线性方程组 (2.1.1) 与 (2.1.2) 同解. 从例 可以看出, 对方程组进行初等变换, 实际上只对方程组的系数和常数进行运算, 未知量并未参与运算. 如果把线性方程组的系数和常数项按它们相对位置排成一个表 烄 烌 烆 烎那么线性方程组的初等变换过程相当于对这个表作相应的变换, 为了方便, 我们把这个表称为矩阵. 定义 211 由犿 狀个数犪犻犼 ( 犻 =1,2,, 犿 ; 犼 =1,2,, 狀 ) 排成的表 烄犪 11 犪 12 犪 1 狀烌 犪 21 犪 22 犪 2 狀 烆犪犿 1 犪犿 2 犪犿狀烎称为一个犿行狀列矩阵, 简称犿 狀矩阵. 矩阵中横排叫行, 纵排叫列, 犪犻犼称为矩阵的 ( 犻, 犼 ) 元素 ( 犻 =1,2,, 犿 ; 犼 =1,2,, 狀 ). 矩阵常用大写的拉丁字母犃, 犅, 犆, 表示, 有时为了明确起见, 犿行狀列矩阵犃写成 犃犿 狀. 当犃的元素为犪犻犼 ( 犻 =1,2,, 犿 ; 犼 =1,2,, 狀 ) 时, 可写成犃 =( 犪犻犼 ) 或犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀. 元素全为零的矩阵叫做零矩阵 ; 若两矩阵有相同的行数和列数, 且对应位置元素相等, 则称这两个矩阵相等 ; 行数与列数都等于狀的矩阵称为狀阶矩阵或狀阶方阵 ; 若犃是一个狀阶方阵, 则 犃 称为矩阵犃的行列式. 相应于线性方程组的初等变换, 我们引入矩阵的初等变换. 定义 212 矩阵的行 ( 列 ) 初等变换指的是下列三种变换 : (1) 倍法变换 : 用一个非零数乘矩阵某一行 ( 列 ). (2) 消法变换 : 用一个数乘矩阵的某一行 ( 列 ) 加到另一行 ( 列 ) 上去. (3) 换法变换 : 互换矩阵中两行 ( 列 ) 的位置. 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. 对线性方程组 (2.1.1), 记 犃 = 烄犪 11 犪 12 犪 1 狀烌 犪 21 犪 22 犪 2 狀 珚犃 = 烄犪 11 犪 12 犪 1 狀犫 1烌 犪 21 犪 22 犪 2 狀 犫 2 烆犪犿 1 犪犿 2 犪犿狀烎烆犪犿 1 犪犿 2 犪犿狀犫犿烎则犃和珚犃分别称为线性方程组 (2.1.1) 的系数矩阵和增广矩阵. 对非齐次线性方程组 (2.1.1) 作初等变换, 实质上就是对它的系数矩阵和增广矩阵进行相应的初等变换. 根据引理 2.1.1, 可得下面结论.

43 34 应用线性代数 定理 211 若对线性方程组 (2.1.1) 的增广矩阵珚犃作行初等变换, 将珚犃化为珚犅, 则 以珚犅为增广矩阵的线性方程组与线性方程组 (2.1.1) 同解. 为了叙述方便, 与上一章计算行列式类似, 关于矩阵的初等变换, 我们采用一些符号, 用 [ 犻, 犼 ] 表示互换矩阵第犻行与第犼行, 用 [ 犻 ( 犽 )] 表示矩阵第犻行乘以数犽, 用 [ 犼 ( 犽 )+ 犻 ] 表 示把矩阵第犼行乘以犽加到第犻行 ; 用 { 犻, 犼 } 表示互换矩阵第犻列与第犼列, 用 { 犻 ( 犽 )} 表示 矩阵第犻列乘以数犽, 用 { 犼 ( 犽 )+ 犻 } 表示把矩阵第犼列乘以犽加到第犻列. 例 212 解线性方程组 烄 2 狓 1 - 狓 2+3 狓 3=1 烅 4 狓 1-2 狓 2+5 狓 3=4 (2.1.4) 烆 2 狓 1 - 狓 2+4 狓 3=-1 解 先写出线性方程组的增广矩阵 烄 烌 珚犃 = 烆 烎 然后, 对珚犃施行行初等变换可得 [1(-2)+2] 烄 烌 [2(3)+1] 烄 烌 [1(-1)+3 ] [2(1)+3 ] 珚犃 烆 烎 烆 烎 1 [ 1( 2 )] 烄 1-1 [2(-1 )] 烌 2 = 珚犅 烆 烎 根据定理 2.1.1, 珚犅对应的方程组 烄狓 1-1 狓 2 = 7 烅 2 2 烆狓 3=-2 与原线性方程组 (2.1.4) 同解, 由 (2.1.5) 可得 烄狓 1 = 1 2 ( 7+ 狓 2) 烅烆狓 3=-2 这就是方程组的一般解, 其中狓 2 称为自由未知量. 例 213 解线性方程组烄 5 狓 1 - 狓 2+2 狓 3 + 狓 4=7 烅 2 狓 1 + 狓 2+4 狓 3-2 狓 4=1 烆狓 1-3 狓 2-6 狓 3+5 狓 4=0 解线性方程组的增广矩阵为烄 烌珚犃 = 烆 烎 (2.1.5) 科学出版社职教技术出版中心 (2.1.6)

44 第 2 章 线性方程组 35 对珚犃施行行初等变换, 可得 烄 烌 [1(-2)+2] 烄 烌 [1,3 ] [1(-5)+3 ] 珚犃 烆 烎烆 烎 烄 烌 [2(-2)+3 ] = 珚犅 烆 烎根据定理 2.1.1, 珚犅对应的方程组 烄狓 1-3 狓 2-6 狓 3 +5 狓 4=0 烅 7 狓 2+16 狓 3-12 狓 4=1 烆 0= 5 与原线性方程组 (2.1.6) 同解, 但线性方程组 (2.1.7) 的第三个方程 0 狓 1+0 狓 2+0 狓 3+0 狓 4 =5 无解, 故线性方程组 (2.1.7) 无解, 因此线性方程组 (2.1.6) 无解. 例 214 解线性方程组 其中犪是实数. 解线性方程组的增广矩阵为 对珚犃施行行初等变换, 可得 [4(-1)+1 ] 珚犃 [2,3 ] 烄 烌 1 犪 烆 烎 烄 烌 犪 烆 烎 烄 2 狓 1+2 狓 2+3 狓 3 =1 狓 1+ 犪狓 2+2 狓 3 + 狓 4=2 烅 2 狓 1+3 狓 2+3 狓 3 - 狓 4=4 狓 1 + 狓 2 + 狓 3 - 狓 4=3 烆 7 狓 1+9 狓 2+9 狓 3-5 狓 4=17 烄 烌 1 犪 珚犃 = 烆 烎 [1(-7)+5] [1(-1)+4] [1(-2)+3] [1(-1)+2 ] [2(1- 犪 )+3] [2(-2)+5 ] 烄 烌 0 犪 烆 烎 (2.1.7) (2.1.8) 烄 烌 犪 -1 3( 犪 -1) -4(2 犪 -3) 烆 烎

45 36 应用线性代数 [3,4 ] 烄 犪 -1 3( 犪 -1) -4(2 犪 -3) 烆 烄 烌 [3( 犪 -1)+4] [3(-3)+5 ] = 珚犅 犪 犪 烆 当犪 =1 时, 珚犅对应的方程组无解, 从而原方程组 (2.1.8) 无解. 当犪 1 时, 珚犅可经行初等变换化为 [3(-1)] 4 1 [( )] 犪 - 珚犅 1 [3(-2)+1] [3(1)+2 ] 烄 烌 犪犪 -1 烆 烄 犪烌犪 犪 -1 犪 犪 犪 [2(-1)+1 ] 犪 -1 烆 烎由此可知, 这时原方程组 (2.1.8) 有唯一解 : 烎 烌 烎 烄犪 烌犪 -1 [4(-1)+1] [4(3)+2] 犪犪 -1 [4(-2)+3 ] 犪 犪 -1 烎 犪犪 -1 烆 烎烄 犪烌犪 犪 -1 犪 犪 犪犪 -1 烆 烎 狓 1 = 9- 犪犪 -1, 狓 2 = 4 犪 -1, 犪狓 -9 3 = 犪 -1, 狓 4 = 7-3 犪犪 -1. 定义 213 若一个矩阵从第一行开始, 每行遇到的第一个非零元素下方的元素全为零, 这样的矩阵称为阶梯形矩阵. 如果每行遇到的第一个非零元素又多是 1, 且与这个 1 同列的其他元素都是零, 这样的阶梯形矩阵称为规范形矩阵. 例如 烄 烌烄 烌烄 烌 ,, 烆 烎烆 烎烆 烎 科学出版社职教技术出版中心

46 第 2 章 线性方程组 37 3 个矩阵都是阶梯形矩阵, 其中后两个还是规范形矩阵. 由定理 与上述几个例子, 我们可以将消元法解线性方程组步骤总结如下. (1) 写出线性方程组的增广矩阵珚犃. (2) 对珚犃施行行初等变换, 把它化为规范形矩阵 珚犅 = 烄 烌 烆 为方便起见, 不妨设珚犅为 (3) 判断 : 烄 犫 1 狉 +1 犫 1 狀 犱 1 烌 犫 2 狉 +1 犫 2 狀 犱 犫狉狉 +1 犫狉狀犱狉 犱狉 烆 当犱狉 +1 0 时, 原线性方程组无解. 2 当犱狉 +1=0 时, 原线性方程组有解. 0 0 烎 当狉 = 狀时, 方程组有唯一解 ( 犱 1, 犱 2,, 犱狉 ). 当狉 < 狀时, 方程组有无穷多个解, 这时方程组的一般解为 烄狓 1 = 犱 1- 犫 1 狉 +1 狓狉 犫 1 狀狓狀 0 0 烎 狓 2 = 犱 2- 犫 2 狉 +1 狓狉 犫 2 狀狓狀烅 烆狓狉 = 犱狉 - 犫狉狉 +1 狓狉 犫狉狀狓其中, 狓狉 +1, 狓狉 +2,, 狓狀为自由未知量. 把以上结果应用到齐次线性方程组, 就有 定理 212 在齐次线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 =0 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 =0 烅 烆犪犿 1 狓 1+ 犪犿 2 狓 2+ + 犪犿狀狓狀 =0 中, 如果犿 < 狀, 那么它必有非零解. 狀 (2.1.9)

47 38 应用线性代数 证明 : 显然, 方程组的系数矩阵化成阶梯形矩阵之后, 非零行的数目狉不会超过方程 组方程个数, 即狉 犿 < 狀, 由此知方程组 (2.1.9) 的解不唯一, 因而必有非零解. 2.2 狀维向量及其线性相关性 上一节我们介绍了消元法. 消元法是解线性方程组的最有效和最基本的方法. 我们知 道方程组有的有解 有的无解, 有解时又分唯一解与无穷多解两种情况, 那么, 能否不解方 程直接从原方程组判断它的解的情况? 当有无穷多解时, 这些解之间是否有联系? 有何 联系? 为了回答这些问题, 我们需要对线性方程组作进一步的研究, 这一节先讨论狀维向 量及其线性相关性. 221 狀维向量及其运算 定义 221 由狀个数犪 1, 犪 2,, 犪狀组成的 1 狀矩阵 称为狀维向量, 其中犪犻称为向量 (2.2.1) 的第犻个分量. ( 犪 1, 犪 2,, 犪狀 ) (2.2.1) 以后我们用小写希腊字母 α, β,γ, 来代表向量. 如 α=(1,1,1) 是一个 3 维向量, β = (1,-2,0,5) 是一个 4 维向量. 分量全为零的向量称为零向量, 两个向量相等当且仅当这 两个向量对应分量相等. 狀维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义 222 设狀维向量 α=( 犪 1, 犪 2,, 犪狀 ), β =( 犫 1, 犫 2,, 犫狀 ), 则向量 γ= ( 犪 1+ 犫 1, 犪 2+ 犫 2,, 犪狀 + 犫狀 ) 称为 α 与 β 的和, 记作 α+β=γ, 即 ( 犪 1, 犪 2,, 犪狀 )+ ( 犫 1, 犫 2,, 犫狀 )= ( 犪 1+ 犫 1, 犪 2+ 犫 2,, 犪狀 + 犫狀 ) 由定义 立即推出向量加法满足下列运算规律 : α+β=β+α ( 交换律 ) (2.2.2) (α+β ) +γ=α+ ( β+γ ) ( 结合律 ) (2.2.3) 定义 223 设狀维向量 α=( 犪 1, 犪 2,, 犪狀 ), 则向量 (- 犪 1,- 犪 2,,- 犪狀 ) 称为 α 的负向量, 记作 -α, 即 -α= (- 犪 1,- 犪 2,,- 犪狀 ) 容易验证, 对于任意狀维向量 α, 都有 α+0=α (2.2.4) α+ (-α)=0 (2.2.5) 利用负向量, 我们可以定义向量的减法 : α-β=α+ (-β ) 显然, 对任意向量 α, β,γ, 都有 定义 224 α+β=γβ=γ-α 设犽是实数,α=( 犪 1, 犪 2,, 犪狀 ) 是狀维向量, 则向量 ( 犽犪 1, 犽犪 2,, 犽犪狀 ) 科学出版社职教技术出版中心

48 第 2 章 线性方程组 39 称为犽与 α 的数量乘法, 简称数乘, 记作犽 α, 即 数乘满足下列运算规律 : 犽 α = ( 犽犪 1, 犽犪 2,, 犽犪狀 ) 犽 (α+β ) = 犽 α+ 犽 β (2.2.6) ( 犽 + 犾 )α= 犽 α+ 犾 α (2.2.7) 犽 ( 犾 α)= ( 犽犾 )α (2.2.8) 1α =α (2.2.9) 由式 (2.2.6)~ 式 (2.2.9) 或者由定义不难推出 : 如果犽 0,α 0, 则 0α =0 (2.2.10) (-1)α =-α (2.2.11) 犽 0=0 (2.2.12) 犽 α 0 (2.2.13) 定义 225 设犞 ={( 犪 1, 犪 2,, 犪狀 ) 犪犻 犚, 犻 =1,2,, 狀 }, 则赋予向量加法和数量乘法的向量集合犞称为实数集上狀维向量空间. 下面将讨论实数集上狀维向量空间的性质, 并用这些性质描述和解决线性方程组中的一些问题. 形如 α=( 犪 1, 犪 2,, 犪狀 ) 的向量通常称为行向量, 有时候向量也写成一列 ( 狀 1 矩阵 ) 形式 犪 1 烄 烌 这种形式的向量称为列向量. α= 犪 2 烆犪狀烎 222 向量组的线性相关性 定义 226 设 α, β1, β2,, β 都是狀维向量, 狊如果有狊个数犽 1, 犽 2,, 犽狊, 使 α= 犽 1β1+ 犽 2β2+ + 犽狊 β, 则称狊 α 为向量组,,, β1 β2 β 的一个线性组合, 这时也称狊 α 可由向量组 β1, β2,, β 狊线性表出. 例如, 若 α1=(2,-1,3,1),α2=(4,-2,5,4),α3=(-4,2,-4,-6), 则有 α3= 2α1-2α2, 这表明 α3 是 α1,α2 的一个线性组合, 或 α3 可由 α1,α2 线性表出. 又如, 任一个 3 维向量 α=( 犪 1, 犪 2, 犪 3) 都是向量组 ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3= (0,0,1) 的一个线性组合. 因为 α= 犪 1ε1+ 犪 2ε2+ 犪 3ε3 向量 ε1,ε2,ε3 称为 3 维单位向量. 一般地, 向量烄 ε1 = (1,0,,0) ε2 = (0,1,,0) 烅 烆 ε 狀 = (0, 0,1 )

49 40 应用线性代数 称为狀维单位向量. 由定义可以看出, 零向量是任一向量组的线性组合 ( 只要取系数全为 0 就行了 ). 定义 227 如果向量组 α1,α2,,α 狊中的每一个向量 α 犻都可以经向量组,,, β1 β2 β 线性表出, 那么称向量组狋 α1,α2,,α 狊可由向量组,,, β1 β2 β 线性表出, 如果两个向狋量组互相可以线性表出, 它们就称为等价. 例如, 设 α1=(1,1,1),α2=(1,1,0),α3=(1,0,0), 则向量组 α1,α2,α3 与单位向量组 ε1,ε2,ε3 等价. 这是因为 ε1=α3,ε2=α2-α3,ε3=α1-α2. 由定义不难证明向量组之间的等价具有下列性质 : (1) 反身性 : 每一个向量组都与它自身等价. (2) 对称性 : 如果向量组 α1,α2,,α 狊与,,, β1 β2 β 等价, 那么向量组,,, 狋 β1 β2 β 狋也与 α1,α2,,α 狊等价. (3) 传递性 : 如果向量组 α1,α2,,α 狊与,,, β1 β2 β 等价, 狋 β1, β2,, β 与狋 γ1,γ2,, γ 狆等价, 那么向量组 α1,α2,,α 狊与 γ1,γ2,,γ 狆等价. 定义 228 给定向量组 α1,α2,,α 狊, 如果存在不全为零的数犽 1, 犽 2,, 犽狊使犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狊 α 狊 =0 (2.2.14) 称向量组 α1,α2,,α 狊是线性相关的, 否则称它线性无关. 向量组 α1=(2,-1,3,1),α2=(4,-2,5,4),α3=(-4,2,-4,-6) 是线性相关的, 因为 2α1-2α2-α3 =0 从定义可以看出, 含有零向量的向量组是线性相关的, 由一个非零向量组成的向量组 是线性无关的, 并且容易证明 : 如果由 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狊 α 狊 =0 可以推出犽 1= 犽 2= = 犽狊 =0, 那么向量组 α1,α2,,α 狊线性无关. 下面讨论关于向量组的一些性质. 性质 221 向量组 α1,α2,,α 犿 ( 犿 2) 线性相关的充分必要条件是向量组中至少 有一个向量能由其余犿 -1 个向量线性表出. 证明先证必要性, 根据定义 (2.2.8), 因为向量组 α1,α2,,α 犿 ( 犿 2) 线性相关, 所 以存在不全为零的数犽 1, 犽 2,, 犽犿, 使 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽犿 α 犿 =0 (2.2.15) 不妨设犽犾 0(1 犾 犿 ), 于是式 (2.2.15) 可改写为 α 犾 =- 犽 1 犽犾 α1- - 犽犾 -1 犽犾 +1 α 犾 -1- 犽犾犽犾 α 犾 犽犿 α 犿犽犾 这就是说,α 犾可由向量组 α1,,α 犾 -1,α 犾 +1,,α 犿线性表出. 再证充分性, 因为向量组 α1,α2,,α 犿 ( 犿 2) 中至少有一个向量能由其余犿 -1 个 向量线性表出, 譬如说有 科学出版社职教技术出版中心 把它改写一下就有 α 犿 = 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽犿 -1α 犿 -1 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽犿 -1α 犿 -1+ (-1)α 犿 =0

50 第 2 章 线性方程组 41 其中数犽 1, 犽 2,, 犽犿 -1,-1 不全为 0( 至少 -1 0), 根据定义 (2.2.8) 知向量组 α1,α2,, α 犿线性相关. 性质 222 如果一个向量组的一部分线性相关, 那么这个向量组线性相关. 证明设向量组为 α1,α2,,α 狉,,α 狊, 其中一部分, 譬如说 α1,α2,,α 狉线性相关, 即有不全为零的数犽 1, 犽 2,, 犽狉, 使 于是有 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狉 α 狉 =0 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狉 α 狉 +0α 狉 α 狊 =0 因为犽 1, 犽 2,, 犽狉不全为零, 所以犽 1, 犽 2,, 犽狉,0,,0 不全为零, 因此向量组 α1,α2,, α 狊线性相关. 性质 223 如果一个向量组线性无关, 那么这个向量组的任一部分组也线性无关. 由性质 知性质 显然成立, 事实上性质 为性质 的逆否命题. 性质 224 设 α 犻 = ( 犪犻 1, 犪犻 2,, 犪犻狀 ), 犻 =1,2,, 狊 (2.2.16) 则向量组 α1,α2,,α 狊线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 只有零解. 证明若有一组数犽 1, 犽 2,, 犽狊使 烄犪 11 狓 1+ 犪 21 狓 2+ + 犪狊 1 狓狊 =0 犪 12 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪狊 2 狓狊 =0 烅 烆犪 1 狀狓 1+ 犪 2 狀狓 2+ + 犪狊狀狓狊 =0 (2.2.17) 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狊 α 狊 =0 (2.2.18) 按分量写出来, 得到齐次线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 21 狓 2+ + 犪狊 1 狓狊 =0 犪 12 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪狊 2 狓狊 =0 烅 (2.2.19) 烆犪 1 狀狓 1+ 犪 2 狀狓 2+ + 犪狊狀狓狊 =0 若齐次线性方程组 (2.2.19) 有非零解, 则有不全为零的数犽 1, 犽 2,, 犽狊使式 (2.2.18) 成立, 从而向量组 (2.2.16) 线性相关, 这与条件向量组 (2.2.16) 线性无关矛盾, 因此定理的必要性成立. 反之, 若有不全为零的数犽 1, 犽 2,, 犽狊使式 (2.2.18) 成立, 则线性方程组 (2.2.19) 有非零解, 这与条件方程组 (2.2.19) 只有零解矛盾, 因此定理的充分性成立. 维向量 性质 225 若向量组 (2.2.16) 线性无关, 则在每一向量上添上犿个分量得到犿 + 狀 β 犻 = ( 犪犻 1,, 犪犻狀, 犪犻狀 +1,, 犪犻狀 + 犿 ), 犻 =1,2,, 狊也线性无关. 若向量组 (2.2.16) 线性相关, 则在每一向量上删去犿个分量得到狀 - 犿维向量 也线性相关. γ 犻 = ( 犪犻 1,, 犪犻狀 - 犿 ), 犻 =1,2,, 狊

51 42 应用线性代数 定理 221 设 α1,α2,,α 狉与,,, β1 β2 β 是两个向量组, 如果狊 (1) 向量组 α1,α2,,α 狉可以经,,, β1 β2 β 线性表出狊. (2) 狉 > 狊. 那么向量组 α1,α2,,α 狉必线性相关. 证明 由 (1) 有 狊 α 犻 = 狋犼犻 β, 犼犻 =1,2,, 狉犼 =1 为了证明向量组 α1,α2,,α 狉必线性相关, 只需证明存在不全为零的数犽 1, 犽 2,, 犽狉, 使 得 为此, 我们作线性组合 犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狉 α 狉 =0 狉狊狊狉狓 1α1+ 狓 2α2+ + 狓狉 α 狉 = 狓犻 ( 狋犼犻 β 犼 ) = ( 狋犼犻狓犻 ) β 犼犻 =1 犼 =1 犼 =1 犻 =1 如果我们能找到不全为零的数狓 1, 狓 2,, 狓狉使,,, β1 β2 β 的系数全为零, 那就证明了狊 α1,α2,,α 狉必线性相关. 这一点是能够做到的, 因为由条件 (2), 即狉 > 狊, 齐次线性方程组 烄狋 11 狓 1+ 狋 12 狓 2+ + 狋 1 狉狓狉 =0 狋 21 狓 1+ 狋 22 狓 2+ + 狋 2 狉狓狉 =0 烅 烆狋狊 1 狓 1+ 狋狊 2 狓 2+ + 狋狊狉狓狉 =0 中未知量的个数大于方程的个数, 根据定理 知它有非零解. 推论 221 如果向量组 α1,α2,,α 狉可以经,,, β1 β2 β 线性表示, 且狊 α1,α2,,α 狉线性无关, 那么狉 狊. 推论 222 若向量组 α1,α2,,α 狉与向量组,,, β1 β2 β 满足条件狊 (1)α1,α2,,α 狉线性无关. (2) 狉 > 狊. 那么向量组 α1,α2,,α 狉不能由 β1, β2,, β 狊线性表出. 上面两个推论都是定理 的逆否命题. 推论 223 任意狀 +1 个狀维向量线性相关. 事实上, 每个狀维向量都可以被狀维单位向量 ε1,ε2,,ε 狀线性表出, 且狀 +1> 狀, 根 据定理 知任意狀 +1 个狀维向量线性相关. 223 由推论 2.2.1, 得推论 推论 224 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. 向量组的秩 科学出版社职教技术出版中心 定义 229 一个向量组的一个部分向量组称为它的一个极大线性无关组, 如果这个部分组本身是线性无关的, 并且向其添加向量组中任意一个向量 ( 如果还有的话 ), 所得 的部分向量组都线性相关. 例如, 设 α1=(2,-1,3,1),α2=(4,-2,5,4),α3=(2,-1,4,-1), 则部分向量组

52 第 2 章 线性方程组 43 α1,α2 与 α2,α3 都是向量组 α1,α2,α3 的一个极大线性无关组. 应该看到, 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 此外, 关于极大线性无关组还有下面两个性质, 请读者自己证明. 性质 226 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. 性质 227 一个向量组的任意两个极大线性无关组是等价的. 虽然一个向量组的极大线性无关组可能有很多, 但是由推论 2.2.4, 立即得出. 定理 222 一个向量组的任一极大线性无关组都含有相同个数的向量. 定义 2210 向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为向量组的秩. 例如向量组 α1=(2,-1,3,1),α2=(4,-2,5,4),α3=(2,-1,4,-1) 的秩是 2, 这是因为 α1,α2 是其一个极大线性无关组. 由零向量组成的向量组没有极大线性无关组, 规定这样的向量组秩为零. 关于向量组的秩有下面两个性质, 请读者自己证明. 性质 228 等价向量组有相同的秩. 性质 229 一个向量组线性无关的充分必要条件是它的秩与它所含的向量个数相等. 定理 223 对矩阵犃施行行初等变换得到矩阵犅, 则犃与犅的列向量组有相同的 线性关系. 证明犃的列向量分别记为 α1,α2,,α 狀, 犅的列向量分别记为 β1, β2,, β 狀 [ 犻 ( 犽 (1) 倍法变换 : 犃 )] 犅, 即 烄犪 11 犪 12 犪 1 狀烌 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 烆犪犿 1 犪犿 2 犪若犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狀 α 狀 =0, 则有 于是 犿狀烎 烄犽 1 犪 11+ 犽 2 犪 犽狀犪 1 狀 =0 烆犽 1 犪犿 1+ 犽 2 犪犿 2+ + 犽狀犪犿狀 =0 烄犪 11 犪 12 犪 1 狀烌 犮犪犻 1 犮犪犻 2 犮犪犻狀 烆犪犿 1 犪犿 2 犪 犿狀烎 烄犽 1 犪 11+ 犽 2 犪 犽狀犪 1 狀 =0 烅犽 1 犪犻 1+ 犽 2 犪犻 2+ + 犽狀犪犻狀 =0 烅犽 1 犮犪犻 1+ 犽 2 犮犪犻 2+ + 犽狀犮犪犻狀 =0 [ 犼 ( 犽 )+ 犻 (2) 消法变换 : 犃 ] 犅, 即烄 烌烄 烆犽 1 犪犿 1+ 犽 2 犪犿 2+ + 犽狀犪犿狀 =0 犽 1β1+ 犽 2β2+ + 犽狀 β 狀 =0 烌 犪犻 1 犪犻 2 犪犻狀 犪犻 1+ 犽犪犼 1 犪犻 2+ 犽犪犼 2 犪犻狀 + 犽犪犼狀 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 烆 烎 烆 犪犼 1 犪犼 2 犪犼狀 烎

53 4 应用线性代数 若犽 1α1+ 犽 2α2+ + 犽狀 α 狀 =0, 则有 第犼个方程乘以犽加到第犻个方程, 有 烄 犽 1 犪犻 1+ 犽 2 犪犻 2+ + 犽狀犪犻狀 =0 烅 犽 1 犪犼 1+ 犽 2 犪犼 2+ + 犽狀犪犼狀 =0 烆 于是 烄 犽 1( 犪犻 1+ 犽犪犼 1)+ 犽 2( 犪犻 2+ 犽犪犼 2)+ + 犽狀 ( 犪犻狀 + 犽犪犼狀 )=0 烅 犽 1 犪犼 1+ 犽 2 犪犼 犽狀犪犼狀 =0 烆 犽 1β1+ 犽 2β2+ + 犽狀 β 狀 =0 (3) 换法变换 : 同理可证. 又施行同样的行初等变换可将犅化为犃, 故犃与犅的列向量组有相同的线性关系. 利用定理 可方便地求向量组的极大无关组, 进而得到向量组的秩. 例 221 求向量组 α1 = (1,-1,2,4) T, α2 = (0,3,1,2) T, α3 = (3,0,7,14) T, α4 = (1,-1,2,0) T, α5 = (2,1,5,6) T 的一个极大无关组和秩. 解 : 记 对犃施行行初等变换化阶梯形 : 烄 烌 犃 = (α1,α2,α3,α4,α5)= 烆 烎 烄 烌烄 烌 犃 烆 烎烆 烎 烄 烌烄 烌 烆 烎烆 烎 科学出版社职教技术出版中心

54 第 2 章 线性方程组 45 烄 烌 = 犅 烆 烎将犅的列向量分别记为,,,,, 观察可知,, 线性无关, 且 β1 β2 β3 β4 β5 β1 β2 β4 β3 =3β1+β2, β5 =β1+β2+β4 利用定理 有 α1,α2,α4 线性无关, 且 α3 =3α1+α2, α5 =α1+α2+α4 因此,α1,α2,α4 是向量组 α1,α2,α3,α4,α5 的一个极大无关组, 向量组的秩是 3. 现在把上面的概念与方程的解的关系进行联系, 给定两个方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 = 犱 1 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 = 犱 2 烅 烆犪狊 1 狓 1+ 犪狊 2 狓 2+ + 犪狊狀狓狀 = 犱狊烄犫 11 狓 1+ 犫 12 狓 2+ + 犫 1 狀狓狀 = 犮 1 (2.2.20) 犫 21 狓 1+ 犫 22 狓 2+ + 犫 2 狀狓狀 = 犮 2 烅 烆犫狉 1 狓 1+ 犫狉 2 狓 2+ + 犫狉狀狓狀 = 犮狉它们对应的向量组分别记为 (2.2.21) α 犻 = ( 犪犻 1, 犪犻 2,, 犪犻狀, 犱犻 ), 犻 =1,2,, 狊 (2.2.22) β 犻 = ( 犫犻 1, 犫犻 2,, 犫犻狀, 犮犻 ), 犻 =1,2,, 狉 (2.2.23) 容易证明当向量组 (2.2.22) 与 (2.2.23) 等价时, 线性方程组 (2.2.20) 与 (2.2.21) 同解. 2.3 矩阵的秩 在上一节我们定义了向量组的秩. 如果我们把矩阵的每一行看成一个向量, 那么矩阵可以认为由这些行向量组成的. 同样, 如果把矩阵的每一列看成一个向量, 那么矩阵也可以认为是由这些列向量组成的. 定义 231 矩阵行 ( 列 ) 向量组的秩称为矩阵的行 ( 列 ) 秩. 由行秩和列秩定义, 容易看出, 矩阵行 ( 列 ) 秩不大于矩阵的行 ( 列 ) 数. 例 231 求矩阵 犃 = ( ) 的行秩与列秩. 解矩阵犃的行向量组为 α1=(1,0,3,4),α2=(0,1,5,6), 这两个向量线性无关, 它们构成行向量组的极大无关组, 因此, 矩阵犃的行秩为 2. 犃的列向量是 β1=(1,0), β2 = (0,1), β3 =(3,5), β4 =(4,6), 容易看出它们的部分向量组, 线性无关, 且 β1 β2 β3=3β1+ 5β2,, 因此, β4=4β1+6β2 β1, β2 是犃的列向量的极大无关组, 从而犃的列秩为 2.

55 46 应用线性代数 从例 我们知道矩阵犃的行秩等于列秩, 这一点不是偶然的, 下面来一般地证 明矩阵的行秩与列秩是相等的. 为此, 作为定理 的改进, 先介绍齐次线性方程组有非零解的又一个充分条件. 引理 231 如果齐次线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 =0 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 =0 烅 烆犪狊 1 狓 1+ 犪狊 2 狓 2+ + 犪狊狀狓狀 =0 的系数矩阵的行秩 < 狀, 那么方程组有非零解. 证明齐次线性方程组的系数矩阵为 犃 = 烄犪 11 犪 12 犪 1 狀烌 犪 21 犪 22 犪 2 狀 (2.3.1) 烆犪狊 1 犪狊 2 犪狊狀烎假设其行秩为狉. 用 α1,α2,,α 狊表示犃的行向量, 则 α1,α2,,α 狊的极大无关组含 有狉个向量. 不妨设 α1,α2,,α 狉是一个极大线性无关组, 根据性质 2.2.6, 向量组 α1, α 狉,,α 狊与 α1,α2,,α 狉等价, 再利用 2.2 节最后的说明, 方程组 (2.3.1) 与下面方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 12 狓 2+ + 犪 1 狀狓狀 =0 犪 21 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪 2 狀狓狀 =0 烅 烆犪狉 1 狓 1+ 犪狉 2 狓 2+ + 犪狉狀狓狀 =0 同解. 对于方程组 (2.3.2) 应用定理 2.1.2, 即得所要结论. 由此就可以证明下面的定理. 定理 231 矩阵的行秩等于列秩. 证明设讨论的矩阵为 犃 = 烄犪 11 犪 12 犪 1 狀烌 犪 21 犪 22 犪 2 狀 烆犪狊 1 犪狊 2 犪而犃的行秩 = 狉, 列秩 = 狉 1, 犃的行向量组记为 狊狀烎 (2.3.2) α 犻 = ( 犪犻 1, 犪犻 2,, 犪犻狀 ), 犻 =1,2,, 狊不妨设 α1,α2,,α 狉是其一个极大线性无关组. 因为 α1,α2,,α 狉线性无关, 所以 狓 1α1+ 狓 2α2+ + 狓狉 α 狉 =0 只有零解, 即齐次线性方程组 烄犪 11 狓 1+ 犪 21 狓 2+ + 犪狉 1 狓狉 =0 犪 12 狓 1+ 犪 22 狓 2+ + 犪狉 2 狓狉 =0 烅 烆犪 1 狀狓 1+ 犪 2 狀狓 2+ + 犪狉狀狓狉 =0 科学出版社职教技术出版中心

56 第 2 章 线性方程组 47 只有零解. 根据引理 2.3.1, 这个齐次线性方程组的系数矩阵的行秩 狉, 因此在它的行向量中可以找到狉个线性无关的向量, 譬如前狉个向量 ( 犪 11, 犪 21,, 犪狉 1),( 犪 12, 犪 22,, 犪狉 2),,( 犪 1 狉, 犪 2 狉,, 犪狉狉 ) 线性无关, 根据性质 2.2.5, 向量组 ( 犪 11, 犪 21,, 犪狉 1,, 犪狊 1),( 犪 12, 犪 22,, 犪狉 2,, 犪狊 2),,( 犪 1 狉, 犪 2 狉,, 犪狉狉,, 犪狊狉 ) 线性无关. 即犃的狉个列向量线性无关. 因此犃的列秩 狉, 即狉 1 狉. 同理可证狉 狉 1. 故狉 1= 狉. 因为矩阵的行秩等于列秩, 所以下面统称为矩阵的秩. 今后, 矩阵犃的秩表示为狉 ( 犃 ). 定理 表明一个矩阵的秩既等于它的行向量组的秩又等于它的列向量组的秩, 因此, 我们可以通过求矩阵的行 ( 或列 ) 向量组的秩, 以便获得矩阵的秩. 矩阵的秩具有下面性质. 定理 232 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 这是因为矩阵的行初等变换把行向量组变成与之等价的向量组, 而等价的向量组有相同的秩, 所以矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩 ; 同理列初等变换也不改变矩阵的秩. 定理 233 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的数目. 证明因为初等变换不改变矩阵的秩, 所以适当变换列的顺序, 不妨设阶梯形矩阵为 犃 = 烄犪 11 犪 12 犪 1 狉 犪 1 狀烌 0 犪 22 犪 2 狉 犪 2 狀 0 0 犪狉狉 犪狉狀 烆 其中犪犻 0, 犻 =1,2,, 狉. 对犃施行行初等变换, 可求得其规范形矩阵如下 0 烎 (2.3.3) 烄 犫 1 狉 +1 犫 1 狀烌 犫 2 狉 +1 犫 2 狀 犫狉狉 +1 犫狉狀 (2.3.4) 烆 烎利用定理 2.2.3, 犃的列向量组与其规范形 (2.3.4) 的列向量有相同的线性关系, 由此可以推出犃的前狉个列向量构成列向量的极大无关组, 故犃的秩为狉, 即犃的秩为非零行的数目. 定理 和定理 表明, 为了计算一个矩阵的秩, 只要用行初等变换把它变成阶梯形矩阵, 这个阶梯形矩阵中非零行的数目就是原来矩阵的秩. 例如, 例 中的矩阵是阶梯形矩阵, 它有两个非零行, 故它的秩为 2.

57 48 应用线性代数 例 232 求矩阵 烄 烌 犃 = 烆 烎的秩. 解对犃施行行初等变换, 化阶梯形矩阵 [1(-1)+2] [1(-1)+3] 烄 烌 [2(-2)+3] 烄 烌 [1(-1)+4 ] [2(-3)+4 ] 犃 烆 烎烆 烎最后得到的阶梯形矩阵中有两个非零行, 故狉 ( 犃 )=2. 利用定理 和定理 2.3.3, 我们可得 定理 234 秩为狉的矩阵可经初等变换化为如下标准形矩阵 : 烄 烌 (2.3.5) 烆 烎 其中 1 的个数为狉, 我们称 (2.3.5) 为标准形矩阵. 现在我们再来把矩阵的秩与行列式的概念联系起来. 仅讨论方阵的情形, 一般矩阵的 秩与行列式的关系, 这里不再赘述, 有兴趣的读者可以参阅高等代数的教材. 定理 235 设犃是狀阶矩阵, 则犃的行列式等于零的充分必要条件是犃的秩小于狀. 证明充分性 : 因为犃的秩小于狀, 所以犃的行向量组线性相关. 当狀 >1 时, 根据性 质 2.2.1, 犃中有一行是其余各行的线性组合, 再利用行列式性质知 犃 =0; 当狀 =1 时, 犃 科学出版社职教技术出版中心 中只有一个数零, 当然 犃 =0. 必要性 : 对狀采用数学归纳法. 当狀 =1 时, 由 犃 =0 可知犃的仅有的一个元素就是零, 因而犃的秩为零. 假设结论对狀 -1 阶矩阵成立, 现在来看狀阶矩阵的情形. 以 α1,α2,,α 狀代表犃的 行向量. 考查犃的第一列元素犪 11, 犪 21,, 犪狀 1, 如果它们全为零, 那么犃的列向量中有零向 量, 当然秩小于狀. 如果这狀个元素中有一个不为零, 由于初等变换不改变矩阵的秩, 不妨设 犪 11 0, 那么从第二行到第狀行减去第一行的适当倍数, 把第一列的其他元素消为零, 即得 狘犃狘 = 犪 11 犪 12 犪 1 狀 0 犪 22 犪 2 狀 0 犪 狀 2 犪 狀狀 = 犪 11 犪 22 犪 2 狀 犪 狀 2 犪 狀狀