内容简介 本书内容包括行列式 矩阵及其运算 向量组 线性方程组 相似矩阵与二次型 投入产出模型和线性规划模型简介 MATLAB 在线性代数中的应用等七章 每节后面配有习题 每章后面配有复习题 并附习题及复习题参考答案 本书可供普通高等院校理工类和经济管理类各专业作为教材 也可供在职科技工作者 经济管

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1 普通高等教育 十二五 规划教材 公共基础课教材系列线性代数及其应用 主编李学银盛集明 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 北 京

2 内容简介 本书内容包括行列式 矩阵及其运算 向量组 线性方程组 相似矩阵与二次型 投入产出模型和线性规划模型简介 MATLAB 在线性代数中的应用等七章 每节后面配有习题 每章后面配有复习题 并附习题及复习题参考答案 本书可供普通高等院校理工类和经济管理类各专业作为教材 也可供在职科技工作者 经济管理者和其他人员自学或参考使用 图书在版编目 ( 犆犐犘 ) 数据 线性代数及其应用 / 李学银 盛集明主编 北京 : 科学出版社 038 普通高等教育 十二五 规划教材 公共基础课教材系列 ISBN Ⅰ 线 Ⅱ 李 盛 Ⅲ 线性代数 高等学校 教材 ⅣO5 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (03) 第 6940 号 责任编辑 : 沈力匀 / 责任校对 : 马英菊责任印制 : 吕春珉 / 封面设计 : 耕者设计工作室 中国科学院印刷厂印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 03 年 8 月第一版开本 :787 09/6 03 年 8 月第一次印刷印张 :4/4 字数 : 定价 :900 元 ( 如有印装质量问题 我社负责调换 ) 销售部电话 编辑部电话 (VP04) 版权所有 侵权必究举报电话 : ; ;

3 前 言 随着计算机技术的发展和普及 线性代数的重要性越来越突出 它的应用领域也越来越广泛 本书依据国家教育部审定颁发的本科线性代数课程教学基本要求编写 可供普通高等学校理工类和经济管理类各专业作为教材 也可供在职科技工作者 经济管理者和其他人员自学或参考使用 特别强调矩阵方法 即用矩阵表述问题并解决问题的方法 矩阵方法对于很多专业的后继课程学习不可或缺 如机械 电子类专业的以下课程 : 物理 化学 计算方法 离散数学 计算机图形学 电路 理论力学 材料力学 信号与系统 数字信号处理 机械振动等 经济管理类的课程如统计学 运筹学 计量经济学等 都要应用矩阵方法 本书具有以下特点 : () 提供丰富例题和习题 典型例题便于读者理解相关概念和方法 帮助读者克服学习障碍 增强学习兴趣 每节后面都提供经过挑选的习题 每章后面还给出较为综合的复习题 供读者选择练习 逐步掌握线性代数的基本内容和方法 () 强调应用 本书第六章介绍了行列式 矩阵和线性方程组在经济中的一些应用 如投入产出模型和线性规划模型 第七章介绍了线性代数方法的综合应用实例 包括化学方程式的配平问题 生物遗传模型 学业成绩换算问题 超定方程的解 最小二乘问题 电路分析问题 交通流量分析问题 人口迁徙模型 信号加密问题等 教师在教学过程中加以引导 学生会明白线性代数课程中学习的内容将会在以后的专业课中发挥重要作用 (3) 利用计算机软件 现代软件技术为数学教学提供了强有力的支持 能够改善教学方式 提高教学质量 本书第七章介绍了 MATLAB 在线性代数中的应用 主要就本课程范围内的问题给出利用该软件进行计算的示例 使用 MATLAB 教学有助于强化学生的学习 为他们提供学习线性代数的新手段 对于进一步理解线性代数基本内容 把握线性代数实质 运用矩阵方法解决实际问题 提供了十分有益的帮助 建议组成线性代数课程学习和研讲小组 利用 MATLAB 解决不同领域中的更多实际问题 本书内容包括行列式 矩阵及其运算 向量组 线性方程组 相似矩阵与二次型 投入产出模型和线性规划模型简介 MATLAB 在线性代数中的应用等七章 每节后面配有习 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 题 每章后面配有复习题 并附习题及复习题参考答案 参加本书编写的作者都是多年从事线性代数课程教学的教师 由李学银 盛集明担任主编 刘古胜 孔君香担任副主编 参加编写的还有万文婷 习长新 刘艳萍等 全书由李学银统稿 本书从立项到成功出版得到了同事和朋友的热心帮助与大力支持 特别要向科学出版社基础与服务分社沈力匀社长 吕燕新和戴薇表示我们最诚挚的谢意 感谢他们为本书的出版所给予的鼓励引导和付出的辛勤劳动 由于作者水平有限 本书难免存在疏漏之处 敬请广大读者提出批评和建议性意见

4 目 录 前言第一章行列式 第一节全排列及其逆序数 一 全排列 二 逆序数 习题 第二节狀阶行列式的定义 一 二阶与三阶行列式 二 狀阶行列式 6 习题 8 第三节狀阶行列式的性质 9 一 对换 9 二 行列式的性质 0 习题 3 5 第四节行列式按行 ( 列 ) 展开 6 习题 4 第五节克拉默法则 4 习题 5 7 复习题一 8 第二章矩阵及其运算 30 第一节矩阵的运算 30 一 矩阵及其有关概念 30 二 矩阵的运算 3 习题 38 第二节逆矩阵 39 一 逆矩阵的概念 39 二 逆矩阵的性质与运算规律 40 习题 43 第三节分块矩阵 44 一 分块矩阵的概念 44 二 分块矩阵的运算 45 习题 3 50 第四节矩阵的初等变换 50 一 用消元法解线性方程组 50 二 矩阵的初等变换 5

5 iv 线性代数及其应用 习题 4 54 第五节矩阵的秩 55 一 矩阵的秩的概念 55 二 用初等行变换求矩阵的秩 56 习题 5 58 第六节初等矩阵 59 一 三种初等矩阵 59 二 利用初等行变换求逆矩阵 6 习题 6 6 复习题二 63 第三章向量组 65 第一节向量组的线性相关性 65 一 狀维向量 65 二 向量组的线性相关性 65 习题 3 70 第二节向量组的秩 7 一 向量组的极大线性无关组 向量组的秩 7 二 等价向量组 7 三 向量组的秩与矩阵秩的关系 7 习题 3 74 第三节向量空间 74 一 向量空间的概念 74 二 向量空间的基和维数 75 习题 复习题三 77 第四章线性方程组 79 第一节线性方程组有解的充要条件 79 科学出版社职教技术出版中心 一 线性方程组的表示形式 79 二 齐次线性方程组 79 wwwaboo 三 非齐次线性方程组 83 习题 4 87 第二节线性方程组的解的结构 90 一 齐次线性方程组的基础解系与通解 90 二 非齐次线性方程组的通解 94 习题 4 96 复习题四 00 第五章相似矩阵与二次型 0 第一节向量的内积 0 一 向量内积的概念 0 二 正交向量组 03

6 目 录 v 三 正交矩阵与正交变换的概念 06 习题 5 07 第二节相似矩阵 08 一 方阵的特征值和特征向量 08 二 相似矩阵的概念与性质 三 实对称矩阵的相似矩阵 3 习题 5 5 第三节二次型 6 一 二次型及其标准型 6 二 用配方法化二次型为标准型 0 三 正定二次型 习题 53 3 复习题五 4 第六章投入产出模型和线性规划模型简介 5 第一节投入产出模型 5 一 价值型投入产出模型 5 二 直接消耗系数 9 三 完全消耗系数 34 四 投入产出方法的应用 36 习题 6 40 第二节线性规划 4 一 线性规划模型 4 二 线性规划模型的标准形式 48 三 线性规划问题的基本概念 5 四 线性规划问题的图解法 53 习题 6 56 第三节单纯形法 58 一 引例 58 二 单纯形表 6 三 单纯形法的进一步讨论 66 习题 复习题六 7 第七章犕犃犜犔犃犅在线性代数中的应用 73 第一节矩阵及其运算 73 一 矩阵的输入与基本操作 73 二 特殊矩阵 74 三 矩阵的运算 75 第二节向量组的线性相关与极大无关组 77 第三节线性方程组的求解问题 78 一 齐次线性方程组求解 79

7 vi 线性代数及其应用 二 非齐次线性方程组求解 80 第四节矩阵的特征值 特征向量以及对角化问题 8 第五节综合应用实例 83 一 化学方程式的配平问题 83 二 生物遗传模型 83 三 学业成绩换算问题 85 四 交通航线问题 87 五 超定方程的解 最小二乘问题 88 六 电路分析问题 89 七 化矩阵为行最简形的具体实现 90 八 交通流量分析问题 93 九 人口迁移模型 94 十 信息加密问题 95 复习题七 97 习题及复习题参考答案 98 主要参考文献 9 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

8 第一章行列式 初等数学中讨论过二阶 三阶行列式 并且利用它们来解二元 三元线性方程组 为了研究狀元线性方程组 需要把行列式推广到狀阶 即讨论狀阶行列式的问题 为此 本章先介绍一些预备知识 然后引出狀阶行列式的定义并讨论其性质 第一节 全排列及其逆序数 一 全排列 定义 由 狀组成的一个有序数组称为这狀个数的一个全排列 也称为狀级排列 例如 :3 是一个 3 级排列 43 是一个 4 级排列 543 是一个 5 级排列 由 狀组成的所有不同的狀级排列共有狀! 个 例如 3 级排列有 3!=6 个 它们 是 二 逆序数 值得注意的是 在上面的 6 个 3 级排列中 除了 3 中的数码是按由小到大的自然顺 序排列以外 在其余的排列中 都是较大的数码排在较小的数码前面 例如 在排列 3 中 比 大 但 排在了 的前面 这时就说 和 构成了一个逆序 一般地 我们有如下定义 : 定义 在一个排列中 如果一对数的前后位置与大小顺序相反 即前面的数大于后面的数 那么就称它们为一个逆序 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数 例如 在排列 43 中 4343 是逆序 43 的逆序数就是 4 而排列 453 的 逆序数是 9 排列狆 狆 狆狀的逆序数记为狋 ( 狆 狆 狆狀 ) 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列 例如 43 是偶排列 453 是奇排列 狀的逆序数是零 因此是偶排列 下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法 不失一般性 不妨设排列元素为自然数 ~ 狀 并规定由小到大为标准次序 设狆 狆 狆狀为这狀个自然数的一个排列 考虑元素狆犻 ( 犻 = 狀 ) 如果比狆犻大且排在狆犻前面的 元素有狋犻个 就说狆犻这个元素的逆序数是狋犻 全体元素的逆序数之总和 即是这个排列的逆序数 狀狋 = 狋 + 狋 + + 狋狀 = 狋犻犻 =

9 线性代数及其应用 例 求排列 354 的逆序数 解在排列 354 中 3 排在首位 逆序数为 0; 的前面比 大的数有一个 (3) 故逆序数为 ; 5 是最大数 逆序数总是为 0; 的前面比 大的数有 3 个 (3 5) 故逆序数为 3; 4 的前面比 4 大的数有 个 (5) 故逆序数为 ; 于是该排列的逆序数为 狋 = =5 习题 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 : ()43; ()543; (3)37465; (4) 狀 ( 狀 ) 3; (5)( 犽 )( 犽 ) ( 犽 +) 犽 ; (6)3 ( 狀 )( 狀 )( 狀 -) ; (7)3 ( 狀 )4 ( 狀 ) 设狆 狆 狆狀是一个狀级排列 且狋 ( 狆 狆 狆狀 )= 犽 求狋 ( 狆狀狆狀 狆 狆 ) 一 二阶与三阶行列式 第二节狀阶行列式的定义 行列式起源于解线性方程组 首先看二元线性方程组犪 狓 + 犪 狓 = 犫 { 犪 狓 + 犪 狓 = 犫 用消元法解此方程组 先用犪 乘方程组 () 中的第 式的两端 得 犪 犪 狓 + 犪 犪 狓 = 犫 犪 再用犪 乘方程组 () 中的第 式的两端 得 然后将所得的前式减去后式 消去狓 得 同理 也可以消去狓 得到 犪 犪 狓 + 犪 犪 狓 = 犫 犪 ( 犪 犪 - 犪 犪 ) 狓 = 犫 犪 - 犫 犪 ( 犪 犪 - 犪 犪 ) 狓 = 犫 犪 - 犫 犪 因此 当犪 犪 - 犪 犪 0 时 若方程组 () 有解 其解可写成 科学出版社职教技术出版中心 () wwwaboo

10 第一章行列式 3 烄犫 犪狓 - 犫 犪 = 犪 犪 - 犪 犪 烅 () 犫 犪狓 - 犫 犪 = 烆犪 犪 - 犪 犪 检验可知式 () 是式 () 的解 式 () 给出了式 () 的解的一般公式 但它记忆困 难 应用也不方便 因而有必要引进一个新符号来表示它 这样就产生了行列式 在式 () 的解的表达式 () 中 分母都是犪 犪 - 犪 犪 它只含未知量的系数 把 未知量的系数按照它们在方程组中原来的位置排列成正方形 即 a a a a 可以看出犪 犪 - 犪 犪 是这样两项的和 : 一项是正方形中实线表示的对角线 ( 从左上角 到右下角的直线叫做行列式的主对角线 ) 上两元素的积 再添上正号 ; 另一项是虚线表示 的对角线 ( 从右上角到左下角的直线叫做行列式的次对角线 ) 上两元素的积 再添上负号 在这 4 个数的两旁各加一条竖线 引进符号 并且规定它就表示 犪 犪 犪 犪 (3) 犪 犪 - 犪 犪 (4) 式 (3) 叫做二阶行列式 式 (4) 叫做二阶行列式的展开式 犪 犪 犪 犪 叫做行列 式 (3) 的元素 这 4 个元素排成两行两列 ( 横排叫行 竖排叫列 ) 例如 犪 是位于第 行 第 列上的元素 利用对角线把二阶行列式 (3) 展开成式 (4) 这种方法叫做二阶行列 式展开的对角线法则 犫 犪 解的表达式 () 中的 个分子也可以分别写成二阶行列式犫 犪 犪 犫 和犪 犫 犪 犪 这样当犪 犪 0 时 线性方程组 () 的解可写成 烄 犫 犪 狓 = 犫 犪 犪 犪 烅 犪 犪 犪 犫 (5) 狓 = 烆 犪 犫 犪 犪 犪 犪 为了方便起见 通常用犇 犇 犇 分别表示式 (5) 中作为分母和分子的行列式 犇 = 犪 犪 犪 犪 犇 = 犫 犪 犫 犪 犇 = 犪 犫 犪 犫

11 4 线性代数及其应用 行列式犇是由方程组 () 中未知量狓 狓 的系数组成的 叫做这个方程组的系数行列 式 犇中第 列的元素犪 犪 ( 即狓 的系数 ) 分别换成方程组 () 的常数项犫 犫 就得 到行列式犇 ; 犇中第 列的元素犪 犪 ( 即狓 的系数 ) 分别换成常数项犫 犫 就得到行 列式犇 综上所述 利用行列式这一工具可以得到以下结论 : 当线性方程组 () 的系数行列式犇不等于零时 它的唯一解的公式是 烄犇 狓 = 犇烅犇 狓 = 烆犇 其中犇 犇 是将系数行列式犇中第 列 第 列分别换成方程组 () 的常数项而得出 的 个二阶行列式 再看三元线性方程组 烄犪 狓 + 犪 狓 + 犪 3 狓 3 = 犫 烅犪 狓 + 犪 狓 + 犪 3 狓 3 = 犫 (6) 烆犪 3 狓 + 犪 3 狓 + 犪 33 狓 3 = 犫 3 为了解此方程组 可依照前面的方法 先从方程组 (6) 中的第 第 两式消去狓 3 第 第 3 两式消去狓 3 再从所得的 个方程消去狓 就得到 ( 犪 犪 犪 33+ 犪 犪 3 犪 3+ 犪 3 犪 犪 3- 犪 3 犪 犪 3- 犪 犪 犪 33- 犪 犪 3 犪 3) 狓 = 犫 犪 犪 33+ 犫 3 犪 犪 3+ 犫 犪 3 犪 3- 犫 3 犪 3 犪 - 犫 犪 犪 33- 犫 犪 3 犪 3 (7) 注意式 (7) 中狓 的系数是一个代数和 它是由方程组 (6) 的未知量系数按这样的规律构成的 : 把未知量的系数按照它们在方程组中原来的位置排成三行三列的正方形 即 犪 犪 犪 3 犪 犪 犪 3 犪 3 犪 3 犪 33 主对角线上 3 个元素相乘 主对角线的平行线上 个元素与对角元素相乘 一共有 3 个乘 积 都取正号 ; 次对角线上 3 个元素相乘 次对角线的平行线上 个元素与对角元素相乘 又有 3 个乘积 都取负号 在这 9 个数组成的正方形两旁各加上一条竖线 引进符号 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犪 犪 犪 3 犪 犪 犪 3 (8) 犪 3 犪 3 犪 33 并且规定它就表示犪 犪 犪 33+ 犪 犪 3 犪 3+ 犪 3 犪 犪 3- 犪 3 犪 犪 3- 犪 犪 犪 33- 犪 犪 3 犪 3 (9) 式 (8) 叫做三阶行列式 式 (9) 叫做三阶行列式的展开式 将式 (8) 展开成式 (9) 的

12 第一章行列式 5 方法叫做三阶行列式展开的对角线法则 因此式 (7) 的右端正好可写成三阶行列式 犫 犪 犪 3 犫 犪 犪 3 (0) 犫 3 犪 3 犪 33 记式 (8) 为犇 式 (0) 为犇 则式 (7) 可写成 犇狓 = 犇 犪 犫 犪 3 设犇 = 犪 犫 犪 3 犪 犪 犫 犇 3= 犪 犪 犫 犪 3 犫 3 犪 33 犪 3 犪 3 犫 3 则由方程组 (6) 求得类似于式 (7) 的另外两个方程是 于是方程组 (6) 的解狓 狓 狓 3 满足 犇狓 = 犇 犇狓 3 = 犇 3 烄犇狓 = 犇 烅犇狓 = 犇 () 烆犇狓 3 = 犇 3 而在方程组 (6) 的系数行列式犇 0 的条件下 由方程组 () 可得烄狓 = 犇 / 犇 烅狓 = 犇 / 犇 () 烆狓 3 = 犇 3/ 犇 在本章第五节 克拉默法则 中将证明公式 () 中的狓 狓 狓 3 确为方程组 (6) 的解 因此式 () 是方程组 (6) 的解 ( 唯一解 ) 的公式 3 狓 - 狓 = 例 求二元线性方程组 { 的解 狓 + 狓 = 解由于犇 = 3 - =3- (-4)=7 0 犇 = - =- (-)=4 犇 = 3 =3-4= 犇 因此犇 狓 = = 4 犇 7 = 狓 = = 犇 7 =-3 例 3 计算三阶行列式犇 = 解 按对角线法则 有

13 6 线性代数及其应用 犇 = (-)+ (-3)+ (-4) (-) 4 4- (-) (-)- (-4) (-3) = =4 例 4 设犪 ={} 犫 = {} 计算犪 犫 犻解犪 犫 = 犼 犽 例 5 解方程 3 狓 =0 4 9 狓解方程左端的三阶行列式 = 犻 - 犼 - 犽 - 犽 - 犻 -4 犼 = 犻 -5 犼 -3 犽 = {-5-3} 犇 =3 狓 +4 狓 +8-9 狓 - 狓 = 狓 -5 狓 +6 由狓 -5 狓 +6=0 解得狓 = 或狓 =3 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 为了研究四阶及更高阶行列式 必须引出狀 阶行列式的概念 二 狀阶行列式 为了定义狀阶行列式 我们先研究三阶行列式的结构 三阶行列定义为 犪 犪 犪 3 犪 犪 犪 3 犪 3 犪 3 犪 33 容易看出 : = 犪 犪 犪 33+ 犪 犪 3 犪 3+ 犪 3 犪 犪 3- 犪 3 犪 犪 3- 犪 犪 犪 33- 犪 犪 3 犪 3 (3) () 式 (3) 右端的每一项都恰是 3 个元素的乘积 这 3 个元素位于不同的行 不同 的列 因此 式 (3) 右端的任意项除正 负号外可以写成犪 狆 犪 狆 犪 3 狆 3 这里第 个下标 ( 称行标 ) 排成标准排列 3 而第 个下标 ( 称列标 ) 排成狆 狆 狆 3 它是 3 三个数的某 个排列 这样的排列共有 6 种 对应式 (3) 右端共含 6 项 () 各项的正负号与列标的排列对照 : 带正号的三项列标排列是 :333; 带负号的三项列标排列是 :333 经计算可知前三个排列都是偶排列 而后三个排列都是奇排列 因此各项所带的正 负号 可以表示为 () 狋 其中狋为列标排列的逆序数 总之 三阶行列式可以写成 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犪 犪 犪 3 犪 犪 犪 3 = ( ) 狋犪 狆 犪 狆 犪 3 狆 3 犪 3 犪 3 犪 33 其中狋为排列狆 狆 狆 3 的逆序数 表示对 3 三个数的所有排列 ( 共有 3!=6 个 ) 对

14 第一章行列式 7 应的项求和 仿此 我们可以把行列式推广到一般情形 定义 4 设有狀个数 排成狀行狀列的数表 犪 犪 犪 狀 犪 犪 犪 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 做出表中位于不同行不同列的狀个数的乘积 并冠以符号 () 狋 得到形如 狋 () 犪 狆犪 狆 犪狀狆狀 (4) 的项 其中狆 狆 狆狀为自然数 狀的一个排列 狋为这个排列的逆序数 由于这样 的排列共有狀! 个 因而形如式 (4) 的项共有狀! 项 所有这狀! 项的代数和 称为狀阶行列式 记作 ( ) 狋犪 狆 犪 狆 犪狀狆狀 犇 = 犪 犪 犪 狀 犪 犪 犪 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 简记作 det( 犪犻犼 ) 数犪犻犼称为行列式 det( 犪犻犼 ) 的元素 显然 按定义 4 定义的二阶 三阶行列式与用对角线法则定义的二阶 三阶行列式 是一致的 当狀 = 时 犪 = 犪 注意不要将行列式两侧的竖线与与绝对值记号相混淆 犪 0 0 犫 0 犮犱 0 例 6 计算行列式犇 = 0 犲犳 0 犵 0 0 犺解由定义可知 犇是一个 4!=4 项的代数和 然而在这个行列式里 除了犪犮犳犺 犪犱犲犺 犫犱犲犵 犫犮犳犵这四项外 其余的项都至少含有一个因子 0 因而等于 0 与上面四项对应的排列依次是 而狋 (34)=0 狋 (34)= 狋 (43)=6 狋 (43)=5 因此 犇 = 犪犮犳犺 - 犪犱犲犺 + 犫犱犲犵 - 犫犮犳犵 例 7 证明对角行列式 ( 其中对角线上的元素是 λ 犻 其他未写出的元素都是 0) λ λ =λλ λ 狀 λ 狀

15 8 线性代数及其应用 λ λ 狀 ( 狀 ) = () λλ λ 狀 λ 狀 证第 式是显然的 下面只证第 式 若记 λ 犻 = 犪犻 狀 - 犻 + 则依行列式定义 λ 犪 狀 λ = 犪 狀 λ 狀 犪狀 其中狋为排列狀 ( 狀 ) 的逆序数 故 狋狋 = () 犪 狀犪 狀 犪狀 = () λλ λ 狀 狋 = ( 狀 ( 狀狀 ) )= 主对角线以下 ( 上 ) 的元素都是 0 的行列式 叫做上 ( 下 ) 三角行列式 它的计算与对角 行列式计算一样 例 8 证明下三角行列式 犇 = 犪 犪 犪 0 0 犪狀 犪狀 犪狀 狀 0 犪狀 犪狀 犪狀狀 犪狀狀 = 犪 犪 犪狀狀 证由于当犼 > 犻时 犪犻犼 =0 故犇中可能不为 0 的元素犪犻狆犻的下标应有狆犻 犻 即狆 狆 狆狀 狀 在所有排列狆 狆 中 能满足上述关系的排列只有一个自然排列 狆狀 狀 所以犇狋中可能不为 0 的项只有一项 () 狋犪 犪 犪狀狀 此项的符号 () =() 0 = 所以 犇 = 犪 犪 犪狀狀 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 习题 计算下列行列式 : () ; () (4) 犪 犪 0 ; (5) 犫 犫 ; 狓 (3) 狓狓 + 狓 + ; 犪 0 ; (6) 犫 0 犮 0 犱 0

16 第一章行列式 9 狓 3 4 解方程 狓 0 =0 0 狓 3 狓 3 当狓取何值时 4 狓 0 0? 0 狓 4 在六阶行列式 det( 犪犻犼 ) 中 下列元素乘积应取什么符号? () 犪 5 犪 3 犪 3 犪 44 犪 5 犪 66; () 犪 犪 6 犪 3 犪 44 犪 53 犪 65; (3) 犪 犪 53 犪 6 犪 4 犪 65 犪 34; (4) 犪 5 犪 3 犪 3 犪 44 犪 65 犪 6 5 选择犽 犾 使犪 3 犪 犽犪 34 犪 4 犪 5 犾成为五阶行列式 det( 犪犻犼 ) 中带有负号的项 第三节狀阶行列式的性质 一 对换 为了研究狀阶行列式的性质 我们先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系 在排列中 将任意 个元素对调 其余的元素不动 这种做出新排列的方法叫做对换 将相邻 个元素对换 叫做相邻对换 定理 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性 证先证相邻对换的情形 设排列为犪 犪犾犪犫犫 犫犿 对换犪与犫 变为犪 犪犾犫犪犫 犫犿 显然犪 犪犾 ; 犫 犫犿这些元素的逆序数经过对换并不改变 而犪 犫两元素的逆序数改变为 : 当犪 < 犫时 经过对 换后犪的逆序数增加 而犫的逆序数不变 ; 当犪 > 犫时 经过对换后犪的逆序数不变而犫 的逆序数减少 所以排列犪 犪犾犪犫犫 犫犿与排列犪 犪犾犫犪犫 犫犿的奇偶性不同 再证一般对换的情形 设排列为犪 犪犾犪犫 犫犿犫犮 犮狀 把它作犿次相邻对换 调成犪 犪犾犪犫犫 犫犿犮 犮狀 再作犿 + 次相邻对换 调成犪 犪犾犫犫 犫犿犪犮 犮狀 总之 经 犿 + 次相邻对换 排列 犪 犪犾犪犫 犫犿犫犮 犮狀调成排列犪 犪犾犫犫 犫犿犪犮 犮狀 所以这两个排列的奇偶性相反 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数 偶排列调成标准排列的对换次 数为偶数 证由定理 知 对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 ( 逆序数为 0) 因此推论成立 下面利用定理 讨论行列式定义的另一种表示法 对于行列式的任一项 狋 () 犪 狆 犪犻狆犻犪犼狆犼犪狀狆狀 其中 犻 犼 狀为自然排列 狋为排列狆 的逆序数 有 狆犻狆犼狆狀对换元素犪犻狆犻与犪犼狆犼 狋 () 犪 狆 犪犼狆犼犪犻狆犻犪狀狆狀

17 0 线性代数及其应用 这时 这一项的值不变 而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换 设新的行标排 列 犼 犻 狀的逆序数为狉 则狉为奇数 ; 设新的列标排列狆 狆犼 狆犻 狆狀的逆序数为狋 则 () 狋 =- () 狋 故 () 狋 =() 狉 + 狋 = () 狊 于是 狋 () 犪 狉 狆 犪犻狆犻犪犼狆犼犪狀狆狀 = () + 狋 犪 狆 犪犼狆犼犪犻狆犻犪狀狆狀这就表明 对换乘积中两元素的次序 从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换 则 行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性 经一次对换是如此 经多次对换当然 还是如此 于是 经过若干次对换 使得 : 列标排列狆 狆 狆狀 ( 逆序数为狋 ) 变为自然排列 ( 逆序数为 0); 行标排列则相应地从自然排列变为某个新的排列 设此新排列为狇 狇 狇狀 其逆序数为犾 则有 () 狋犪 狆 犪 狆 犪狀狆狀 = () 犾犪狇 犪狇 犪狇狀狀 又 若狆犻 = 犼 则狇犼 = 犻 ( 即犪犻狆犻 = 犪犻犼 = 犪狇犼犼 ) 可见排列狇 狇 狇狀由排列狆 狆 狆狀所唯一确 定 由此可得 定理 狀阶行列式也可定义为 其中狋为行标排列狆 狆 的逆序数 狆狀 证按行列式定义有 记 犇 = ( ) 狋犪狆 犪狆 犪狆狀狀 犇 = () 狋犪 狆 犪 狆 犪狀狆狀 犇 = () 狋犪狇 犪狇 犪狇狀狀 狋按上面讨论知 : 对于犇中任一项 () 犪 狆犪 狆 总有且仅有犇 犪狀狆狀 中的某一项 () 犾犪狇 犪狇 犪狇狀狀与之对应并相等 ; 反之 对于犇 中的任一项 () 犾犪狇 犪狇 犪狇狀狀 也总 狋有且仅有犇中的某一项 () 犪 狆犪 狆与之对应并相等 于是犇与犇 犪狀狆狀 中的项可以一一对应并相等 从而犇 = 犇 二 行列式的性质 记犇 = 犪 犪 犪 狀 犪 犪 犪 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 犇 T = 犪 犪 犪狀 犪 犪 犪狀 犪 狀犪 狀 犪狀狀 转置行列式 性质 行列式与它的转置行列式相等 证犇 =det( 犪犻犼 ) 的转置行列式 犫 犫 犫 狀 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 行列式犇 T 称为行列式犇的 犇 T = 犫 犫 犫 狀 犫狀 犫狀 犫狀狀

18 第一章行列式 即犫犼犻 = 犪犻犼 ( 犻 犼 = 狀 ) 按定义 而由定理 有 故 犇 T = ( ) 狋犫 狆犫 狆 犫狀狆狀 = ( 狋 ) 犪狆 犪狆 犪狆狀狀 犇 = ( ) 狋犪狆 犪狆 犪狆狀狀 犇 T = 犇 由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对 列也同样成立 反之亦然 性质 互换行列式的两行 ( 列 ) 行列式变号 证 设行列式 犫 犫 犫 狀 犇 = 犫 犫 犫 狀 犫狀 犫狀 犫狀狀 是由行列式犇 =det( 犪犻犼 ) 交换犻 犼两行得到的 即当犽 犻 犼时 犫犽狆 = 犪犽狆 当犽 = 犻 犼时 犫犻狆 = 犪犼狆 犫犼狆 = 犪犻狆 于是 犇 = ( ) 狋犫 狆 犫犻狆犻 犫犼狆犼 犫狀狆狀 = ( ) 狋犪 狆 犪犼狆犻 犪犻狆犼 犪狀狆狀 = ( ) 狋犪 狆 犪犻狆犼 犪犼狆犻 犪狀狆狀 其中 犻 犼 狀为自然排列 狋为排列狆 狆犻 狆犼 狆狀的逆序数 设排列狆 狆犼 狆犻 狆狀的逆序数为狋 则 () 狋 =-() 狋 故 犇 =- ( ) 狋犪 狆 犪犻狆犼 犪犼狆犻 犪狀狆狀 =- 犇 以狉犻表示行列式的第犻行 以犮犻表示第犻列 交换犻 犼两行记作狉犻 狉犼 交换犻 犼两列 记作犮犻 犮犼 推论 如果行列式有两行 ( 列 ) 完全相同 则此行列式为零 证把这两行互换 犇 =- 犇 故犇 =0 性质 3 行列式的某一行 ( 列 ) 中所有的元素都乘以同一数犽 等于用数犽乘此行 列式 第犻行 ( 或列 ) 乘以犽 记作狉犻 犽 ( 或犮犻 犽 ) 推论 3 行列式中某一行 ( 列 ) 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 第犻行 ( 或列 ) 提出公因子犽 记作狉犻 犽 ( 或犮犻 犽 ) 性质 4 行列式中如果有两行 ( 列 ) 元素成比例 则此行列式为零 性质 5 若行列式的某一列 ( 行 ) 的元素都是两数之和 例如犇的第犻列的元素都是两数之和 :

19 线性代数及其应用 犪 犪 ( 犪 犻 + 犪 犻 ) 犪 狀 犇 = 犪 犪 ( 犪 犻 + 犪 犻 ) 犪 狀 则犇等于下列两个行列式之和 : 犪狀 犪狀 ( 犪狀犻 + 犪 狀犻 ) 犪狀狀 犪 犪 犪 犻 犪 狀 犪 犪 犪 犻 犪 狀 犇 = 犪 犪 犪 犻 犪 狀 + 犪 犪 犪 犻 犪 狀 犪狀 犪狀 犪狀犻 犪狀狀 犪狀 犪狀 犪 狀犻 犪狀狀 性质 6 把行列式的某一列 ( 行 ) 的各元素乘以同一数然后加到另一列 ( 行 ) 对应的元素上去 行列式不变 例如 以数犽乘以第犼列加到第犻列上 ( 记作犮犻 + 犽犮犼 ) 有 犮犻 + 犽犮犼 犪 犪 犻 犪 犼 犪 狀 犪 犪 犻 犪 犼 犪 狀 犪狀 犪狀犻 犪狀犼 犪狀狀 犪 ( 犪 犻 + 犽犪 犼 ) 犪 犼 犪 狀 犪 ( 犪 犻 + 犽犪 犼 ) 犪 犼 犪 狀 犪狀 ( 犪狀犻 + 犽犪狀犼 ) 犪狀犼 犪狀狀 ( 犻 犼 ) 同样 以数犽乘第犼行加到第犻行上 ( 记作狉犻 + 犽狉犼 ) 可得到类似结果 以上诸性质请读者证明之 利用这些性质可以简化行列式的计算 例 9 计算 犮 犮解犇 狉 狉 狉 - 狉 狉 4+5 狉 狉 3+4 狉 狉 4-8 狉 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

20 第一章行列式 3 3 狉 4+ 5 狉 = / 3 3 例 0 计算犇 = 3 3 解这个行列式的特点是各列 4 个数之和都是 6 今把第 3 4 行同时加到第 行 提出公因子 6 然后各行减去第 行 有 狉 + 狉 + 狉 3+ 狉犇 狉 狉 - 狉 狉 3- 狉 =48 狉 4- 狉 犪犫犮犱 3 3 犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮犪 + 犫 + 犮 + 犱 例 计算犇 = 犪 犪 + 犫 3 犪 + 犫 + 犮 4 犪 +3 犫 + 犮 + 犱 解 犪 3 犪 + 犫 6 犪 +3 犫 + 犮 0 犪 +6 犫 +3 犮 + 犱从第 4 行开始 后行减前行 有 狉 4- 狉 3 狉 3- 狉 犇 狉 - 狉 狉 4- 狉 3 犪犫犮犱 0 犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮狉 4- 狉 3 0 犪 犪 + 犫 3 犪 + 犫 + 犮狉 3- 狉 0 犪 3 犪 + 犫 6 犪 +3 犫 + 犮 犪犫犮犱 0 犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮 0 0 犪 犪 + 犫 犪 例 计算犇 = = 犪 狀 犪犫 犮 犱 0 犪犪 + 犫犪 + 犫 + 犮 0 0 犪 犪 + 犫 0 0 犪 3 犪 + 犫

21 4 线性代数及其应用 解 0 3 狀 犮犻 犻 0 0 犇 狀! 犮 - 犮 - 犮 3- - 犮狀 狀! ( ) =- 狀! 狀 狀 犪 犪 犽 0 0 犪犽 犪犽犽 0 0 例 3 设犇 = 犮 犮 犽犫 犫 狀 犇 =det( 犪犻犼 )= 犮狀 犮狀犽犫狀 犫狀狀 犪 犪 犽 犪犽 犪犽犽 3 狀 犇 =det( 犫犻犼 )= 证明犇 = 犇 犇 证对犇 作运算狉犻 + 犽狉犼 把犇 化为下三角行列式 设 犇 = 狆 狆犽 狆犽犽 对犇 作运算犮犻 + 犽犮犼 把犇 化为下三角行列式 设 = 狆 狆犽犽 ; 犫 犫狀 犫 狀 犫狀狀 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犇 = 狇 = 狇 狇狀狀 狇狀 狇狀狀 于是 对犇的前犽行作运算狉犻 + 犽狉犼 再对后狀列作运算犮犻 + 犽犮犼 把犇化为下三角行列式

22 第一章行列式 5 狆 犇 = 狆犽 狆犽犽 犮 犮 犽狇 故 犮狀 犮狀犽狇狀 狇狀狀 犇 = 狆 狆犽犽狇 狇狀狀 = 犇 犇 习题 3 计算下列行列式 : () ; () ; (3) (4) 犪犫犪犮犪犲 犫犱 - 犮犱犱犲 犫犳犮犳 - 犲犳 ; (5) 狓 + 犪 犪 犪 3 犪狀 犪 0 0 犫 0 ; 0 犮 0 0 犱 ; 3 (6) 犪 狓 + 犪 犪 3 犪狀 犪 犪 狓 + 犪 3 犪狀 犪 犪 犪 3 狓 + 犪狀 证明 : 犪 () 犪犫 犫 犪犪 + 犫 犫 =( 犪 - 犫 ) 3 ; 犫犪犪犪 犪犫犪犪 () 犪 =(3 犪 + 犫 )( 犫 - 犪 ) 3 ; 犪犪犫犪 犪犪犪犫 犪狓 + 犫狔犪狔 + 犫狕犪狕 + 犫狓 (3) 犪狔 + 犫狕犪狕 + 犫狓犪狓 + 犫狔 犪狕 + 犫狓犪狓 + 犫狔犪狔 + 犫狕 =( 犪 + 犫 ) 狓狔狕狔狕狓 ; 狕狓狔

23 6 线性代数及其应用 犪 - 犫 - 犮 犪 犪 (4) 犫 犫 - 犮 - 犪 犫 犮 犮犮 - 犫 - 犪 3 计算下列行列式 ( 犇狀为狀阶行列式 ): =( 犪 + 犫 + 犮 ) 3 犪 () 犇狀 = 其中主对角线上的元素都是犪 未写出的元素都是 0; () 犇狀 = 犪 狓 犪 犪 犪 狓 犪 ; 犪 犪狓 (3) 犇狀 =det( 犪犻犼 ) 其中犪犻犼 = 犻 - 犼 ; (4) 犇狀 = 狀 狀 3 4 狀 - 狀 犪 3 狀 -3 狀 - 犪犪 狀 -4 狀 -3 犪 犪 犪 狀 -5 狀 -4 犪 犪 犪 犪 犪 第四节 行列式按行 ( 列 ) 展开 一般来说 低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便 于是 我们自然地考虑到 用低阶行列式来表示高阶行列式的问题 为此 先引进余子式和代数余子式的概念 定义 5 在狀阶行列式中 把元素犪犻犼所在的第犻行和第犼列划去后 留下来的 ( 狀 ) 个元素按原来的排法构成一个狀 阶的行列式称为元素犪犻犼的余子式 记作犕犻犼 记 犃犻犼叫做元素犪犻犼的代数余子式 例如四阶行列式 犃犻犼 = () 犻 + 犼犕犻犼 犪 犪 犪 3 犪 4 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犇 = 犪 犪 犪 3 犪 4 犪 3 犪 3 犪 33 犪 34 中元素犪 3 的余子式和代数余子式分别为 犪 4 犪 4 犪 43 犪 44 犕 3 = 犪 犪 3 犪 4 犪 犪 3 犪 4 犪 4 犪 43 犪 44

24 第一章行列式 7 犃 3 = () 3+ 犕 3 =- 犕 3 引理 一个狀阶行列式 如果其中第犻行所有元素除犪犻犼外都为零 那么这个行列式等于犪犻犼与它的代数余子式的乘积 即犇 = 犪犻犼犃犻犼 证先证犪犻犼位于第 行第 列的情形 此时 犪 0 0 犇 = 犪 犪 犪 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 这是例 3 中当犽 = 时的特殊情形 按此例的结论 即有 犇 = 犪 犕 又犃 = () + 犕 = 犕 从而犇 = 犪 犃 再证一般情形 此时 犪 犪 犼 犪 犼 犪 犼 + 犪 狀 犇 = 犪犻 犪犻 犼 犪犻 犼犪犻 犼 + 犪犻 狀 0 0 犪犻犼 0 0 犪犻 + 犪犻 + 犼 犪犻 + 犼 犪犻 + 犼 + 犪犻 + 狀 犪狀 犪狀犼 犪狀犼犪狀犼 + 犪狀狀 为了利用前面的结果 把犇的行列作如下调换 : 把犇的第犻行依次与第犻 行 第 犻 - 行 第 行对换 这样犪犻犼就调到原来犪 犼的位置上 调换的次数为犻 再把第犼列依次与第犼 列 第犼 - 列 第 列对换 这样犪犻犼就调到左上角 调换的次数为 犼 总之 经犻 + 犼 - 次调换 把犪犻犼调到左上角 所得的行列式犇 =() 犻 + 犼 - 犇 = () 犻 + 犼犇 而元素犪犻犼在犇 中的余子式仍然是犪犻犼在犇中的余子式犕犻犼 由于犪犻犼位于犇 的左上角 利用前面的结果 有 犇 = 犪犻犼犕犻犼 于是犇 = () 犻 + 犼犇 = () 犻 + 犼犪犻犼犕犻犼 = 犪犻犼犃犻犼 即 或 定理 3 行列式等于它的任一行 ( 列 ) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 证 犇 = 犪犻 犃犻 + 犪犻 犃犻 + + 犪犻狀犃犻狀 ( 犻 = 狀 ) 犇 = 犪 犼犃 犼 + 犪 犼犃 犼 + + 犪狀犼犃狀犼 ( 犼 = 狀 )

25 8 线性代数及其应用 犪 犪 犪 狀 犪犻 犪犻 犪犻 狀 犇 = 犪犻 犪犻 犪犻狀 犪犻 + 犪犻 + 犪犻 + 狀 犪狀 犪犻狀 犪狀狀 = 犪 犪 犪 狀 犪 狀 犪犻 犪犻 犪犻 狀 犪犻 狀 犪犻 犪犻 + 犪犻 + 犪犻 + 狀 犪犻 + 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 犪狀狀 犪 犪 犪 狀 犪 狀 + 犪 犪 犪 3 犪 狀 犪犻 犪犻 犪犻 3 犪犻 狀 0 犪犻 0 0 犪犻 + 犪犻 + 犪犻 +3 犪犻 + 狀 犪狀 犪狀 犪狀 3 犪狀狀 犪 犪 犪 狀 犪 狀 + 犪犻 犪犻 犪犻 狀 犪犻 狀 犪犻 犪犻 犪犻 狀 犪犻 狀 犪犻狀 犪犻狀 根据引理 即得 犪犻 + 犪犻 + 犪犻 + 狀 犪犻 + 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 犪狀狀 犪犻 + 犪犻 + 犪犻 + 狀 犪犻 + 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 犪狀狀 犇 = 犪犻 犃犻 + 犪犻 犃犻 + + 犪犻狀犃犻狀 ( 犻 = 狀 ) 类似地 若按列证明 可得 犇 = 犪 犼犃 犼 + 犪 犼犃 犼 + + 犪狀犼犃狀犼 ( 犼 = 狀 ) 定理 3 叫做行列式按行 ( 列 ) 展开法则 利用这一法则并结合行列式的性质 可以简 化行列式的计算 下面用此法来解例 9 即计算 犇 = 保留犪 33 把第 3 行其余元素变为 0 然后按第 3 行展开 即 犮 - 犮 3 犮 4+ 犮犇 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo = ()

26 第一章行列式 9 狉 + 狉 例 4 计算 解 犇 狀 = 犪 按第 行展开 有 犪 犮 犪 犮 犇 狀 = 犫 犱 0 烏烐 ( 狀 ) +3-6 = () -5-5 犪 犮烏 犫 犱 0 烑 犪 犮 0 0 犱 犪犫 犮犱 烐 狀 犮 - 犮 =40 + 犫 () + 狀 犫 犱 0 0 犮 犫 犱烑 = 犪犱犇 ( 狀 )- 犫犮 () 狀 + 犇 ( 狀 )= ( 犪犱 - 犫犮 ) 犇 ( 狀 ) 以此作递推公式 即可得 犪 犮 犪 犮 犫 犱 0 烏烐 ( 狀 ) 犇 狀 = ( 犪犱 - 犫犮 ) 犇 ( 狀 )= ( 犪犱 - 犫犮 ) 狀犇 ( 狀 -)= ( 犪犱 - 犫犮 ) 犇 = ( 犪犱 - 犫犮 ) 狀 犪犫犮犱 = ( 犪犱 - 犫犮 ) 狀 例 5 证明范德蒙德行列式 犫 犱 0 烑 犇狀 = 狓 狓 狓狀 狓 狓 狓狀 狀 狀 狓 狓 狀 狓狀 = 狀 犻 > 犼 ( 狓犻 - 狓犼 ) (5) 其中记号 表示全体同类因子的乘积 证 用数学归纳法 因为 犇 = 狓 狓 = 狓 - 狓 = 犻 > 犼 ( 狓犻 - 狓犼 )

27 0 线性代数及其应用 所以当狀 = 时式 (5) 成立 现在假设式 (5) 对于狀 阶范德蒙德行列式成立 要证 式 (5) 对狀阶范德蒙德行列式也成立 为此 设法把犇狀降阶 : 从第狀行开始 后行减去 前行的狓 倍 有 犇狀 = 0 狓 - 狓 狓 3- 狓 狓狀 - 狓 0 狓 ( 狓 - 狓 ) 狓 3( 狓 3- 狓 ) 狓狀 ( 狓狀 - 狓 ) 狀 - 狀 0 狓 ( - 狀狓 - 狓 ) 狓 3 ( 狓 3- 狓 ) - 狓狀 ( 狓狀 - 狓 ) 按第 列展开 并把每列的公因子 ( 狓犻 - 狓 )( 犻 =3 狀 ) 提出 就有 犇狀 = ( 狓 - 狓 )( 狓 3- 狓 ) ( 狓狀 - 狓 ) 狓 狓 3 狓狀 狀 - 狀 - 狓 狓 狀 - 3 狓狀 上式右端的行列式是狀 阶范德蒙德行列式 按归纳法假设 它等于所有 ( 狓犻 - 狓犼 ) 因子 的乘积 其中狀 犻 > 犼 故 犇狀 = ( 狓 - 狓 )( 狓 3- 狓 ) ( 狓狀 - 狓 ) ( 狓犻 - 狓犼 )= ( 狓犻 - 狓犼 ) 狀 犻 > 犼 狀 犻 > 犼 例 6 计算狀阶行列式犇狀 = 0 犪 + 犪 犪 + 犪 3 犪 + 犪狀 犪 + 犪 0 犪 + 犪 3 犪 + 犪狀 犪 3+ 犪 犪 3+ 犪 0 犪 3+ 犪狀 犪狀 + 犪 犪狀 + 犪 犪狀 + 犪 3 0 犪 犪 犪狀 0 解将狀阶行列式犇狀镶边构成狀 + 阶行列式 其值不变 即作 犇狀 = 再将第 3 狀 狀 + 行分别减去第 行 有 犪 犪 犪狀 0 0 犪 + 犪 犪 + 犪狀 0 犪 + 犪 0 犪 + 犪狀 0 犪狀 + 犪 犪狀 + 犪 0 犪 犪 犪狀 其中 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犇狀 = - 犪 犪 犪 犪 - 犪 犪 犪狀犪狀 - 犪狀将这狀 + 阶行列式再镶边构成狀 + 阶行列式 其值也不变 即

28 第一章行列式 犪 犪 犪狀 犇狀 = 犪 - 犪 犪 犪 犪 犪 - 犪 犪 犪狀 犪狀犪狀 - 犪狀 再将第 34 狀 + 狀 + 列分别减去第 列 便得 0 犇狀 = 0 犪 犪 犪狀 犪 - 犪 0 0 犪 0 - 犪 0 犪狀 犪狀 将第 34 狀 + 狀 + 列乘以 然后都加到第 列上去 将第 34 狀 + 狀 + 列分 别乘以 然后都加到第 列上去 于是有 犪 犪 犪狀 犇狀 = 狀 - 狀 狀 犪犼 - 犼 = 犼 = 犪犼 狀 犪 犪 犪狀 犪 犪 犪狀 = (-) 狀犪 犪 犪狀 狀 - 狀 狀 犪犼 - 犼 = 犼 = 犪犼 狀 犪犼 [ ] 犼 犽 = 犽 狀狀 = (-) - 犪 犪 犪狀 (- 狀 )- 犪 这个例子告诉我们 有时把行列式的阶增高反而容易求出行列式的值 在行列式的计 算中 只有充分利用行列式的元素间的特性 才能简单地计算出行列式的值来 由定理 3 还可得下述重要推论 推论 4 行列式任一行 ( 列 ) 的元素与另一行 ( 列 ) 的对应元素的代数余子式乘积之 和等于零 即 犪犻 犃犼 + 犪犻 犃犼 + + 犪犻狀犃犼狀 =0 犻 犼

29 线性代数及其应用 或 证 犪 犻犃 犼 + 犪 犻犃 犼 + + 犪狀犻犃狀犼 =0 犻 犼 把行列式犇 =det( 犪犻犼 ) 按第犼行展开 有 犪 犪 狀 犪犼 犃犼 + 犪犼 犃犼 + + 犪犼狀犃犼狀 = 犪犻 犪犻狀 犪犼犻 犪犼狀 在上式中把犪犼犽换成犪犻犽 ( 犽 = 狀 ) 可得 犪狀 犪狀狀 犪犻 犃犼 + 犪犻 犃犼 + + 犪犻狀犃犼狀 = 犪 犪 狀 犪犻 犪犻狀 犪犻 犪犻狀 第犻行 第犼行 犪狀 犪狀狀 当犻 犼时 上式右端行列式中有两行对应元素相同 故行列式为零 即得 或 其中 犪犻 犃犼 + 犪犻 犃犼 + + 犪犻狀犃犼狀 =0 犻 犼 上述证法如按列进行 即可行 犪 犻犃 犼 + 犪 犻犃 犼 + + 犪狀犻犪狀犼 =0 犻 犼 综合定理 3 及其推论 得有关于代数余子式的重要性质狀犇 犻 = 犼 犪犽犻犃犽犼 = 犇 δ 犻犼 = { 犽 = 0 犻 犼 狀 犪犻犽犃犼犽 = 犇 δ 犻犼 = 犽 = δ 犻犼 = 犻 = 犼 { 0 犻 犼 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犇 犻 = 犼 { 0 犻 犼 习题 4 已知犇 = 写出元素犪 34 的余子式和代数余子式

30 第一章行列式 3 计算行列式犇 = 3 中第 行的代数余子式之和 0 4 犪犫 犪犫 按第 列展开行列式犇 = 0 0 犪犫 0 并计算其值 犪犫犫 犪 按第 行展开行列式犇 = 并计算其值 计算下列行列式的值 : () 犇 = ; () 犇 = ; 犪狀 犫狀 + 狓 (3) 犇 = - 狓 + 狔 ; (4) 犇 狀 = 犪 犫 犮 犱 ; - 狔 (5) 犇狀 = + 犪 + 犪 犮狀 其中犪 犪 犪狀 0 犱狀 6 证明 : + 犪狀 犪犫犮犱 () =( 犪 - 犫 )( 犪 - 犮 )( 犪 - 犱 )( 犫 - 犮 )( 犫 - 犱 )( 犮 - 犱 )( 犪 + 犫 + 犮 + 犱 ); () 犪 4 犪 犫 4 犫 犮 4 犮 犱 4 犱 狓 狓 狓 犪狀犪狀 犪 狓 + 犪 狀狀 = 狓 + 犪 狓 + 犪狀 狓 + 犪狀

31 4 线性代数及其应用 第五节 克拉默法则 含有狀个未知数狓 狓 狓狀的狀个线性方程的方程组 烄犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 = 犫 犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 = 犫 烅 烆犪狀 狓 + 犪狀 狓 + + 犪狀狀狓狀 = 犫狀 与二元 三元线性方程组相类似 它的解可以用狀阶行列式表示 克拉默法则如果线性方程组 (6) 的系数行列式不等于零 即 (6) 犇 = 犪 犪 狀 0 犪狀 犪狀狀 那么 方程组 (6) 有唯一解狓 = 犇 / 犇 狓 = 犇 / 犇 狓狀 = 犇狀 / 犇 (7) 其中犇犼 ( 犼 = 狀 ) 是把系数行列式犇中第犼列的元素用方程组右端的自由项代替后所得到的狀阶行列式 即 证 犇犼 = 犪 犪 犼 犫 犪 犼 + 犪 狀 犪狀 犪狀犼 犫狀犪狀犼 + 犪狀狀 用犇中第犼列元素的代数余子式犃 犼 犃 犼 犃狀犼依次乘以方程组 (6) 的狀个 方程 再把它们相加 得 狀 犽 = ( 犪犽 犃犽 ) 狀 狓 + + ( ) 犪犽犼犃犽犽 = 狀犼狓犼 + + ( ) 犪犽狀犃犽 = 狀 犽狀狓狀 = 犫犽犃犽犼 犽 = 根据代数余子式的重要性质可知 上式中狓犼的系数等于犇 而其余狓犻 ( 犻 犼 ) 的系数均为 零 ; 又 等式右端即是犇犼 于是 犇狓犼 = 犇犼 ( 犼 = 狀 ) (8) 当犇 0 时 方程组 (8) 有如式 (7) 所示的唯一解 由于方程组 (8) 是由方程组 (6) 经数乘与相加两种运算而得 故方程组 (6) 的解一定是方程组 (8) 的解 现在方程组 (8) 仅有一个解为式 (7) 故方程组 (6) 如果有解 就只可能是式 (7) 为证式 (7) 是方程组 (6) 的唯一解 还需验证式 (7) 是方程组 (6) 的解 也 就是要证明 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犪犻 犇 犇 犇狀 + 犪犻 + + 犪犻狀 = 犫犻 ( 犻 = 狀 ) 犇犇犇

32 第一章行列式 5 为此 考虑有两行相同的狀 + 阶行列式 犫犻犪犻 犪犻狀 犫 犪 犪 狀 ( 犻 = 狀 ) 犫狀犪狀 犪狀狀 它的值为零 把它按第 行展开 由于第 行中犪犻犼的代数余子式为 () + 犼 + 所以有 0= 犫犻犇 - 犪犻 犇 - - 犪犻狀犇狀 犫 犪 犪 犼 犪 犼 + 犪 狀 犫狀犪狀 犪狀犼 犪狀犼 + 犪狀狀 =() 犼 + () 犼 犇犼 = () 犼 犇犼 =- 犇犼 即 犪犻 犇 犇 犇狀 + 犪犻 + + 犪犻狀 = 犫犻 ( 犻 = 狀 ) 犇犇犇 烄 狓 -4 狓 + 狓 3= 例 7 解线性方程组烅狓 -5 狓 +3 狓 3= 烆狓 - 狓 + 狓 3= 解先计算线性方程组的系数行列式的值 即 犇 = 再计算犇 犇 犇 3 的值 即 = =-8 0 犇 = 犇 = 犇 3 = 于是方程组的解为 = = 3 =4+3-+6= = =6 狓 =/8 狓 =-9/8 狓 3 =-3/4

33 6 线性代数及其应用 烄 狓 + 狓 -5 狓 3+ 狓 4=8 狓 -3 狓 -6 狓 4=9 例 8 解线性方程组烅 狓 - 狓 3+ 狓 4=-5 解 犇 = =- 犇 = 狉 - 狉 0 狉 4- 狉 烆狓 +4 狓 -7 狓 3+6 狓 4=0 犮 + 犮 犮 3+ 犮 = = =8 犇 = = 犇 3= =-7 犇 4 = = 于是狓 =3 狓 =-4 狓 3 = 狓 4 = 克拉默法则有重大的理论价值 撇开求解公式 (7) 克拉默法则可叙述为下面的重 要定理 定理 4 如果线性方程组 (6) 的系数行列式犇 0 则方程组 (6) 一定有解 且解是唯一的 定理 4 的逆否命题为定理 4 定理 4 如果线性方程组 (6) 无解或有 个不同的解 则它的系数行列式犇必 为零 当线性方程组 (6) 右端的自由项犫 犫 犫狀不全为零时 线性方程组 (6) 叫做非齐次方程组 当犫 犫 犫狀全为零时 线性方程组 (6) 叫做齐次线性方程组 对于齐次线性方程组 烄犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 =0 犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 =0 烅 烆犪狀 狓 + 犪狀 狓 + + 犪狀狀狓狀 =0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo (9)

34 第一章行列式 7 狓 = 狓 = = 狓狀 =0 一定是它的解 这个解叫做齐次线性方程组 (9) 的零解 如果一组不全为零的数是齐次线性方程组 (9) 的解 则它叫做齐次线性方程组 (9) 的非零解 齐次线性方程组 (9) 一定有零解 但不一定有非零解 把定理 4 应用于齐次线性方程组 (9) 可得定理 5 定理 5 定理 5 如果齐次线性方程组 (9) 的系数行列式犇 0 则齐次线性方程组 (9) 只有零解 定理 5 如果齐次线性方程组 (9) 有非零解 则它的系数行列式犇必为零 定理 5 或定理 5 说明系数行列式犇 =0 是齐次线性方程组 (9) 有非零解的必要条件 在第四章中我们还将证明这个条件也是充分的 例 9 λ 取何值时 齐次线性方程组烄 (5-λ) 狓 + 狔 + 狕 =0 烅 狓 + (6-λ) 狔 =0 (0) 烆 狓 + (4-λ) 狕 =0 有非零解? 解由定理 5 可知 若齐次线性方程组 (0) 有非零解 则齐次线性方程组 (0) 的系数行列式犇 =0 而 5-λ 犇 = 6-λ 0 = (5-λ)(6-λ)(4-λ)-4(4-λ)-4(6-λ) 0 4-λ = (5-λ)(-λ)(8-λ) 由犇 =0 得 :λ=λ=5 或 λ=8 不难验证 当 λ 为 5 或 8 时 齐次线性方程组 (0) 确有非零解 习题 5 用克拉默法则解下列方程组 : 狓 + 狓 + 狓 3= 烄狓 - 狓 +3 狓 3+ 狓 4= 烄狓 - 狓 3+3 狓 4=8 () 烅 3 狓 - 狓 =3 () 烅狓 + 狓 +6 狓 4=3 烆狓 - 狓 3= ; 烆 4 狓 -3 狓 +5 狓 3+ 狓 4= ; 烄狓 + 狓 + 狓 3+ 狓 4=5 烄 狓 +3 狓 - 狓 3- 狓 4=0 狓 + 狓 - 狓 3+4 狓 4=- 狓 -3 狓 -6 狓 4=0 (3) 烅 (4) 烅 狓 -3 狓 - 狓 3-5 狓 4=- 狓 - 狓 3+ 狓 4=0 烆 3 狓 + 狓 + 狓 3+ 狓 4=0 ; 烆狓 + 狓 +3 狓 3- 狓 4=0 ;

35 8 线性代数及其应用 烄 5 狓 +6 狓 = 狓 +5 狓 +6 狓 3=0 (5) 烅狓 +5 狓 3+6 狓 4=0 狓 3+5 狓 4+6 狓 5=0 烆狓 4+5 狓 5= 烄 λ 狓 + 狓 + 狓 3=0 λ μ 取何值时 齐次线性方程组烅狓 +μ 狓 + 狓 3=0 有非零解? 烆狓 +μ 狓 + 狓 3=0 烄 (-λ) 狓 - 狓 +4 狓 3=0 3λ 取何值时 齐次线性方程组烅 狓 +(3-λ) 狓 + 狓 3=0 有非零解? 烆狓 + 狓 +(-λ) 狓 3=0 烄犽狓 + 狔 - 狕 =0 4 犽取何值时 齐次线性方程组烅狓 + 犽狔 - 狕 =0 仅有零解? 烆 狓 - 狔 + 狕 =0 烄 狓 + 狓 - 狓 3=0 5 判断齐次线性方程组烅狓 - 狓 +4 狓 3=0 是否仅有零解 烆 5 狓 +8 狓 - 狓 3=0 复习题一 计算 证明 3 计算犇狀 = 犪 ( 犪 +) ( 犪 +) ( 犪 +3) 犫 ( 犫 +) ( 犫 +) ( 犫 +3) 犮 ( 犮 +) ( 犮 +) ( 犮 +3) 犱 ( 犱 +) ( 犱 +) ( 犱 +3) 犫犮犱犪犪 犪犮犱犫犫 犪犫犱犮犮 犪犫犮犱犱 3 犪 3 犫 3 犮 3 犱 = 犪 犫 犮 犱 3 犪 3 犫 3 犮 3 犱 4 犪 4 犫 4 犮 4 犱 犪 犪 犪 犪 犪狀 - 犪狀 犪狀 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

36 第一章行列式 9 4 计算犇狀 = + 犪 犪 犪 3 犪狀 犪 + 犪 犪 3 犪狀 犪 犪 + 犪 3 犪狀 5 计算犇狀 = 6 计算犇狀 = 犪 犪 犪 3 + 犪狀 犆 犆 犆 3 犆 3 犆 3 0 犆狀 犆狀 犆狀 犆狀 3 犆 3 犆 狀 犆 狀 犆 狀 狀 狀 狀 狀狀狀狀犪 ( 犪 ) ( 犪 -) ( 犪 - 狀 ) 狀 犪 狀 ( 犪 ) 狀 ( 犪 -) 狀 ( 犪 - 狀 ) 犪犪 犪 - 犪 - 狀 用数学归纳法证明犇狀 = = 狀 烄狓 + 狔 + 狕 = 犪 + 犫 + 犮 8 用克拉默法则解下列方程组犪狓 + 犫狔 + 狕 = 犪 + 犫 + 犮 烅 ( 其中犪 犫 犮互不相等 ) 烆犫犮狓 + 犮犪狔 + 犪犫狕 =3 犪犫犮 9 对 λ 的不同取值 讨论下面方程组的可解性并求解 : 烄 (λ+) 狓 + 狓 + 狓 3 =λ +3λ 烅狓 + (λ+) 狓 + 狓 3 =λ 3 +3λ 烆狓 + 狓 + (λ+) 狓 3 =λ 4 +3λ 3 烄狓 + 狔 + 狕 = 0 用克拉默法则解下列方程组烅犪狓 + 犫狔 + 犮狕 = 犱 犪 狓 + 犫 烆狔 + 犮狕 = 犱

37 第二章 矩阵及其运算 矩阵是现代科学技术不可缺少的数学工具之一 特别是计算机出现以后 矩阵得到了 更广泛的应用 本章主要介绍矩阵的有关概念及其运算 矩阵的求逆 分块运算及矩阵的 初等变换和矩阵的秩 第一节 矩阵的运算 一 矩阵及其有关概念 数表 定义 由犿 狀个数犪犻犼 ( 犻 = 犿 ; 犼 = 狀 ) 排成的犿行 狀列的矩形 犃 = 熿犪 犪 犪 狀燄 犪 犪 犪 狀 燀犪犿 犪犿 犪 犿狀燅 () 称为一个犿 狀矩阵 (matrix) 这犿 狀个数称为矩阵犃的元素 简称为元 数犪犻犼位于矩 阵犃的第犻行第犼列 称为矩阵犃的 ( 犻 犼 ) 元 元素都是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 本书中的矩阵除特 别说明者外 都指实矩阵 式 () 也可简记为犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀或犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀矩阵犃也可记为犃犿 狀 当犿 = 狀时 矩阵犃 =( 犪犻犼 ) 狀 狀称为狀阶矩阵或狀阶方阵 狀阶矩阵犃也记作犃狀 示例 某供货商向 3 家超市发送 4 种食品的数量 ( 千克 ) 可用以下矩阵给出 : 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 熿 燄犃 = 燀 燅这里行表示超市而列为食品 例如第 4 列就是第 4 种食品 其 3 个分量分别表示供货商向 3 家超市发送该食品的数量 示例 狀个变量狓 狓 狓狀与犿个变量狔 狔 之间的关系式 狔犿烄狔 = 犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 狔 = 犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 烅 () 烆狔犿 = 犪犿 狓 + 犪犿 狓 + + 犪犿狀狓狀 表示从变量狓 狓 狓狀到变量狔 狔 狔犿的一个线性变换 其中犪犻犼为常数 线性变

38 第二章 矩阵及其运算 3 熿犪 犪 犪 狀燄 换 () 的系数犪犻犼构成一个犿 狀矩阵犃 = 下面介绍一些常用的特殊矩阵 零矩阵 犪 犪 犪 狀 燀犪犿 犪犿 犪 所有元素都是零的矩阵称为零矩阵 记为犗 一个犿行狀列的零矩形常记为犗犿 狀 单位矩阵 主对角线 ( 从方阵的左上角到右下角的对角线 ) 上的元素都是 其他元素全为零的狀阶方阵称为狀阶单位矩阵 简称单位阵 记为犈或犐 即 例如线性变换 熿 0 0燄 0 0 犈 = 燀 0 0 燅 烄狔 = 狓 狔 = 狓 烅 烆狔狀 = 狓狀 叫做恒等变换 这个线性变换的系数构成一个狀阶单位矩阵 单位阵犈的 ( 犻 犼 ) 元为 犿狀燅 δ 犻犼 = 犻 = 犼 { 0 犻 犼 ( 犻 犼 = 狀 ) 3 行矩阵与列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 ( 或行向量 ) 只有一列的矩阵称为列矩阵 ( 或列向量 ) 犃 = ( 犪 犪 犪狀 ) 犅 = 犃为行矩阵 ( 行狀列 ) 犅是列矩阵 ( 犿行 列 ) 4 上 ( 下 ) 三角矩阵 犫 熿 犫 燄 燀犫犿燅 主对角线下方的元素全为零的方阵 称为上三角矩阵 (uppertriangularmatrix)

39 3 线性代数及其应用 类似地 主对角线上方的元素全为零的方阵 称为下三角矩阵 (lowertriangular matrix) 上 ( 下 ) 三角矩阵统称为三角矩阵 例如 熿 燄熿 0 0燄犃 = 犅 = 7 0 燀 燅燀 5 3 燅犃是上三角矩阵 犅是下三角矩阵 5 对角矩阵 主对角线以外的元素全为零的狀阶方阵 称为狀阶对角阵 (diagonalmatrix) 对角矩阵也称为对角阵 例如 犱 熿 燄 犇 = 燀 犱 犱狀燅 =diag( 犱 犱 犱狀 ) 行数相等 列数也相等的矩阵称为同型矩阵 如果犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀 犅 =( 犫犻犼 ) 犿 狀 且犪犻犼 = 犫犻犼 ( 犻 = 犿 ; 犼 = 狀 ) 就称为矩阵犃与矩阵犅相等 记为犃 = 犅 也就是说 当 两个同型矩阵的对应元素都相等时 两个矩阵相等 二 矩阵的运算 矩阵的加法与减法 定义 设有 个犿 狀矩阵犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀 犅 =( 犫犻犼 ) 犿 狀 规定犃与犅的和是由犃与犅的对应元素相加所得到的一个犿 狀矩阵 记为犃 + 犅 即 犃 + 犅 = ( 犪犻犼 + 犫犻犼 ) 犿 狀 显然 只有 个同型矩阵才可以进行加法运算 矩阵的加法满足下列运算规律 ( 设犃 犅 犆都是犿 狀矩阵 ): () 犃 + 犅 = 犅 + 犃 ; ()( 犃 + 犅 )+ 犆 = 犃 +( 犅 + 犆 ) 设矩阵犃 =( 犪犻犼 ) 记 - 犃 =(- 犪犻犼 )- 犃称为矩阵犃的负矩阵 显然有 由负矩阵可以定义矩阵的减法为 犃 + (- 犃 )= 犗 犃 - 犅 = 犃 + (- 犅 )= ( 犪犻犼 - 犫犻犼 ) 犿 狀 即两个同型矩阵相减 归结为它们的对应元素相减 数与矩阵相乘 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 定义 3 设矩阵犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀 犽为常数 规定犽与犃的乘积是犽乘以犃的每一个

40 第二章 矩阵及其运算 33 元素所得到的 个犿 狀矩阵 记为犽犃 ( 或犃犽 ) 即 犽犃 = 犃犽 = 熿犽犪 犽犪 犽犪 狀燄 犽犪 犽犪 犽犪 狀 燀犽犪犿 犽犪犿 犽犪 犿狀燅 数与矩阵的乘法满足下列运算规律 ( 其中犃 犅为犿 狀矩阵 犽 犾为任意常数 ): () 犽 ( 犃 + 犅 )= 犽犃 + 犽犅 ; ()( 犽 + 犾 ) 犃 = 犽犃 + 犾犃 ; (3)( 犽犾 ) 犃 = 犽 ( 犾犃 ) 3 矩阵与矩阵相乘 定义 4 ( 犮犻犼 ) 犿 狀 记为犃犅 = 犆 其中 设矩阵犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狊 犅 =( 犫犻犼 ) 狊 狀 规定矩阵犃与犅的乘积为矩阵犆 = 狊犮犻犼 = 犪犻 犫 犼 + 犪犻 犫 犼 + + 犪犻狊犫狊犼 = 犪犻犽犫犽犼 ( 犻 = 犿 ; 犼 = 狀 ) 犽 = 即犃犅的第犻行第犼列的元素为犃的第犻行与犅的第犼列对应元素的乘积之和 注意只有当第 个矩阵犃 ( 左矩阵 ) 的列数等于第 个矩阵犅 ( 右矩阵 ) 的行数时 个矩阵才可以相乘 它们的乘积记为犃犅 而不能记为犅犃 熿 燄 例 已知矩阵犃 =(-3) 犅 = 3 求犃犅 燀 5燅解犃是 3 矩阵 犅是 3 矩阵 犃与犅可以相乘 其乘积犃犅 = 犆是 矩阵 由矩阵乘法定义 得 熿 燄犆 = 犃犅 = (-3) 3 = ( + (-3) 3+ 5)= (3)=3 燀 5燅 熿 3燄 - -3 例 设矩阵犃 = - 犅 = [ ] 0 求犃犅 燀 3 燅解犃是 3 矩阵 犅是 3 矩阵 犃与犅可以相乘 其乘积犃犅是 3 3 矩阵 由矩阵乘法定义 得 熿 3燄 - -3 犃犅 = - [ ] 0 燀 3 燅熿 +3 (-)+3 () (-3)+3 0 燄 = + (-) (-)+ (-) () (-3)+ (-) 0 燀 (-)+ () 3 (-3)+ 0 燅

41 34 线性代数及其应用 熿 燄 = 燀 燅 例 3 设矩阵犃 = 犅犃 犅犆 [ ] 4 犅 = [ ] 4-8 犆 = [ ] 求犃犅 [ ][ ] -3-6 [ ] 解犃犅 = = 犅犃 = 4-4 [ ][ ] [ = 0 0 ] 0 0 犅犆 = [ ] -3-6 [ ] [ - 4 = 0 0 ] 由例 3 可知 矩阵的乘法不满足交换律 即在一般情况下 犃犅 犅犃 同时 虽然犃 犗 犅 犗 但却有犃犅 = 犗 这说明在矩阵的乘法中 当犃犅 = 犗时 不一定有犃 = 犗或犅 = 犗 此外 消去律也不成立 即犅犃 = 犅犆且犅 犗 也不能推出犃 = 犆 由此可见矩阵乘法与数的乘法的不同之处 矩阵的乘法满足下列运算规律 ( 假定其中的运算都是可行的 犈犿和犈狀分别是犿阶和狀阶单位矩阵 犽为常数 ): () 犈犿犃犿 狀 = 犃犿 狀犈狀 = 犃犿 狀 ; ()( 犃犅 ) 犆 = 犃 ( 犅犆 ); (3)( 犽犃 ) 犅 = 犃 ( 犽犅 )= 犽 ( 犃犅 ); (4) 犃 ( 犅 + 犆 )= 犃犅 + 犃犆 ( 犅 + 犆 ) 犃 = 犅犃 + 犆犃 根据矩阵的乘法及矩阵相等的定义 可以把一个线性方程组用矩阵形式来表示 一般地 由犿个方程 狀个未知量组成的线性方程组 可表示成 其中 烄犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 = 犫 犪 狓 + 犪 狓 + + 犪 狀狓狀 = 犫 烅 烆犪犿 狓 + 犪犿 狓 + + 犪犿狀狓狀 = 犫犿 犃 = ( 犪犻犼 ) 犿 狀 狓 = (3) 犃狓 = 犫 (4) 狓 熿 狓 燄 燀狓狀燅 犫 = 犫 熿 犫 燄 燀犫犿燅 称犃为方程组 (3) 的系数矩阵 称式 (4) 为方程组 (3) 的矩阵形式 如果把犫中的元 素添加在系数矩阵犃的第狀列的右边 便得到一个犿 ( 狀 +) 矩阵 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

42 第二章 矩阵及其运算 35 犅 = 熿犪 犪 犪 狀犫 燄 犪 犪 犪 狀 犫 燀犪犿 犪犿 犪犿狀犫犿燅 称犅为方程组 (3) 的增广矩阵 有了矩阵的乘法 就可以定义狀阶方阵的幂 设犃是狀阶方阵 定义 犃 = 犃 犃 犿 = 犃犃 犃 = 犃犃 犃 烏烐烑 由于矩阵乘法满足结合律 因此方阵的幂满足下列运算规律 : 犽犾 + 犾犽犾犃犃 = 犃犽 ( 犃 ) = 犃犽犾 其中犽 犾为正整数 又因为矩阵的乘法一般不满足交换律 所以对于 个狀阶方阵犃与 犽犽犽犅 一般来说 ( 犃犅 ) 犃犅 4 矩阵的转置 犿个 定义 5 把犿 狀矩阵 犃 = 熿犪 犪 犪 狀燄 犪 犪 犪 狀 燀犪犿 犪犿 犪 的行依次换成列 ( 列依次换成行 ) 所得到的狀 犿矩阵称为犃的转置矩阵 记为犃 T ( 或 犃 ) 即 犃 T = 犿狀燅 熿犪 犪 犪犿 燄 犪 犪 犪犿 燀犪 狀犪 狀 犪 犿狀燅 矩阵的转置也是一种运算 满足下列运算规律 ( 假设运算都是可行的 ): ()( 犃 T ) T = 犃 ; ()( 犃 + 犅 ) T = 犃 T + 犅 T ; (3)( 犽犃 ) T = 犽犃 T ( 犽为数 ); (4)( 犃犅 ) T = 犅 T 犃 T 以上规律都容易验证 下面仅证规律 (4) 设犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狊 犅 =( 犫犻犼 ) 狊 狀 记犃犅 = 犆 =( 犮犻犼 ) 犿 狀 犅 T 犃 T = 犇 =( 犱犻犼 ) 狀 犿 于是根据矩阵的乘法 有 狊犮犼犻 = 犪犼犽犫犽犻 犽 = 而犅 T 的第犻行为 ( 犫 犻 犫 犻 犫狀犻 ) 犃 T 的第犼列为 ( 犪犼 犪犼 犪犼狊 ) T 因此

43 36 线性代数及其应用 狊狊犱犻犼 = 犫犽犻犪犼犽 = 犪犼犽犫犽犻 犽 = 犽 = 所以犱犻犼 = 犮犼犻 ( 犻 = 狀 ; 犼 = 犿 ) 即犇 = 犆 T 于是 T 犅犃 T = ( 犃犅 ) T 规律 (4) 可推广到犽个矩阵相乘的情况 例如 ( 犃犅犆 ) T 犜 = [( 犃犅 ) 犆 ] = 犆 T ( 犃犅 ) T T T = 犆犅犃 T 熿 7 燄 0 例 4 已知犃 = [ ] 3 犅 = 4 3 求 ( 犃犅 ) T 燀 0 燅解解法一因为犃犅 = [ 0 熿 7 燄 ] 4 3 = [ ] 燀 0 燅熿 0 7 燄所以 ( 犃犅 ) T = 4 3 燀 -3 0 燅解法二 熿 4 燄熿 燄熿 0 7 燄 ( 犃犅 ) T T = 犅犃 T = = 4 3 燀 3 燅燀 燅燀 -3 0 燅若方阵犃 =( 犪犻犼 ) 狀 狀满足犃 T = 犃 即犪犻犼 = 犪犼犻 ( 犻 犼 = 狀 ) 则称犃为对称矩阵 简称对称阵 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 例 5 设列矩阵犡 =( 狓 狓 狓狀 ) T T 满足犡犡 = 犈为狀阶单位阵 犎 = 犈 - 犡犡 T 证明犎是对称阵 且犎犎 T = 犈 证犎 T = ( 犈 - 犡犡 T ) T = 犈 -( 犡犡 T ) T = 犈 - 犡犡 T = 犎 所以犎是对称阵 犎犎 T = 犎 = ( 犈 - 犡犡 T ) = 犈 -4 犡犡 T +4( 犡犡 T )( 犡犡 T ) = 犈 -4 犡犡 T T +4 犡 ( 犡犡 ) 犡 T = 犈 -4 犡犡 T +4 犡犡 T = 犈 5 方阵的行列式 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 定义 6 由狀阶方阵犃的元素所构成的行列式 ( 各元素的位置不变 ) 称为方阵犃的行列式 记为 犃 或 det 犃 方阵犃的行列式 犃 满足以下运算规律 ( 设犃 犅为狀阶方阵 犽为常数 ): () 犃 T 狀 = 犃 ; () 犽犃 = 犽 犃 ; (3) 犃犅 = 犃 犅

44 第二章 矩阵及其运算 37 下面仅证明规律 (3) 记 狀阶行列式 犇 = 犪 犪 犪 狀 犪 犪 犪 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 犫 犫 犫 狀 0 0 犫 犫 犫 狀 0 0 犫狀 犫狀 犫狀狀 记狀阶行列式 犪 犪 犪 狀 犫 犫 犫 狀 狘犃狘 =det( 犪犻犼 )= 犪 犪 犪 狀 狘犅狘 =det( 犫犻犼 )= 犫 犫 犫 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 犫狀 犫狀 犫狀狀 第 步 根据第一章例 3 得犇 = 犃 犅 第 步 证明犇 = 犃犅 在犇中以犫 犼乘以第 列 以犫 犼乘以第 列 犫狀犼乘以第狀列 都加到第狀 + 犼列上 ( 犼 = 狀 ) 有 犇 = = 犪 犪 犪 狀 犪 犪 犪 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀 犫 犫 犫 狀 0 0 犫 犫 犫 狀 0 0 犫狀 犫狀 犫狀狀 犪 犪 犪 狀犮 犮 犮 狀 犪 犪 犪 狀 犮 犮 犮 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀犮狀 犮狀 犮狀狀 其中犮犻犼 = 犫 犼犪犻 + 犫 犼犪犻 + + 犫狀犼犪犻狀 ( 犻 犼 = 狀 ) 记犆 =( 犮犻犼 ) 则犆 = 犃犅

45 38 线性代数及其应用 再对犇作狉犼 狉狀 + 犼 ( 犼 = 狀 ) 有 犇 = () 狀 犪 犪 犪 狀犮 犮 犮 狀 利用第 步的结论 得 犇 = () 狀 犪 犪 犪 狀 犮 犮 犮 狀 犪狀 犪狀 犪狀狀犮狀 犮狀 犮狀狀 犮 犮 犮 狀 犮 犮 犮 狀 0 0 犮狀 犮狀 犮狀狀因此 狘犃犅狘 = 狘犃狘狘犅狘 = () 狀 () 狀狘犆狘 = 狘犃犅狘 习题 [ ] 犅 = [ 3 ] 犆 = [ ] 求 3 犃 - 犅 + 犆 设犃 = 熿 燄 熿 4 3 燄 设犃 = 犅 = - - 犡满足 ( 犃 - 犡 )+( 犅 - 犡 )= 燀 3 4燅 燀 0 0 燅 犗 求犡 3 已知矩阵犃 3 犅 3 4 则下列 ( ) 运算可行 A 犃 + 犅 B 犃 - 犅 C 犃犅 D 犅犃 4 计算 : 熿 3燄 熿 燄 ()(3) ; () (3); 燀 燅 燀 燅 熿 3 燄 (3) [ 4 0 熿 3燄熿 - -4 燄 0 ] ; (4) ; 燀 3 6 9燅燀 4燅燀 燅 熿 0 5 燄 (5) [ 3 熿 0燄熿 λ 0 0燄熿犪 犪 燄 0 0 ] 5 ;(6) 0 λ 0 犪 犪 ; 燀 0 燅燀 0 0 λ3 燅燀犪 3 犪 3 燅燀 0 3 0燅 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

46 第二章 矩阵及其运算 熿 0燄熿犪 0 0燄 (7) 0 ; (8) 0 犫 0 ; (9) 狀 [ ]( 狀为正整数 ) 0 燀 0 0 燅燀 0 0 犮燅熿 燄 5 已知犃 = 3 设犳 ( 狓 )= 狓 - 狓 求犳 ( 犃 ) 燀 0燅熿 λ 0燄 6 已知犃 = 0 λ 求犃狀 燀 0 0 λ燅熿 0 燄 7 设犃 = 0 0 求犃 03 - 犃 0 燀 0 燅 8 举例说明下列命题是错误的 : () 若犃 = 犗 则犃 = 犗 ; () 若犃 = 犃 则犃 = 犗或犃 = 犈 ; (3) 若犃犅 = 犃犆 且犃 犗 则犅 = 犆 9 设犃 犅为狀阶方阵 试问 : 下列等式是否成立? ( 犃 + 犅 ) = 犃 + 犃犅 + 犅 ( 犃 + 犅 )( 犃 - 犅 )= 犃 - 犅 若不成立 在什么条件下成立? 0 设犃 = 3 熿 5燄 [ ] -4 犅 = 0 求 犃 -3 犅 T 燀 -3 燅 T 设犃 犅为狀阶方阵 且犃为对称矩阵 证明犅犃犅也是对称矩阵 设犃 =( 犪犻犼 ) 狀 狀 判断犃是否为对称矩阵 : () 犪犻犼 = 犻 + 犼 ; () 犪犻犼 = 犻 - 犼 ; (3) 犪犻犼 = 犻 +3 犼 3 3 设犃为三阶方阵 且 犃 =3 求 ( 犃 ) 第二节逆矩阵 一 逆矩阵的概念 由狀个方程 狀个未知量组成的线性方程组可简记为犃狓 = 犫 其中 熿 狓 燄 熿 犫 燄 犃 = ( 犪犻犼 ) 狀 狀 狓 = 狓 犫 = 燀狓狀燅 像犃狓 = 犫这样含有未知矩阵狓的等式 称为矩阵方程 犫 燀犫 狀燅

47 40 线性代数及其应用 当 犃 0 时 线性方程组犃狓 = 犫有唯一解 根据克拉默法则可求出其解 能否解像 一元一次代数方程 由犪狓 = 犫 ( 犫犪 0) 可得狓 = 那样解出犃狓 = 犫中的未知矩阵狓呢? 犪显然不能 因为没有定义矩阵的除法 但是如果存在狀阶方阵犅 使得犅犃 = 犈 那么 用犅左乘犃狓 = 犫的两端 就得到犈狓 = 犅犫 从而得到线性方程组犃狓 = 犫的解狓 = 犅犫 由此引入逆矩阵的定义 定义 7 设犃为狀阶方阵 如果存在狀阶方阵犅 使得犃犅 = 犅犃 = 犈 则称方阵犃是可逆的 并称方阵犅为方阵犃的逆矩阵或逆阵 如果方阵犃是可逆的 那么犃的逆阵是唯一的 事实上 设犅 犆都是犃的逆阵 则有 所以犃的逆阵是唯一的 犅 = 犅犈 = 犅 ( 犃犆 )= ( 犅犃 ) 犆 = 犈犆 = 犆 犃的逆阵记为犃 即若犃犅 = 犅犃 = 犈 则犅 = 犃 方阵并不一定都是可逆的 例如矩阵 ( ) 犃 = 0 0 就是不可逆的 因为对于任何二阶方阵犅 =( 犫犻犼 ) 都有 犅犃 = 犫 犫 0 [ ][ ] 犫 犫 0 = [ ] 犫 + 犫 0 犈 犫 + 犫 0 如果方阵犃无逆阵 就称犃为奇异方阵 如果犃有逆阵 那么称犃为非奇异方阵 简 称为非异阵 二 逆矩阵的性质与运算规律 定义 8 设狀阶方阵犃 =( 犪犻犼 ) 狀 狀 由犃的行列式 犃 中的每个元素犪犻犼的代数余子式犃犻犼所构成的方阵 熿犃 犃 犃狀 燄 犃 犃 犃狀 燀犃 狀犃 狀 犃 称为方阵犃的伴随矩阵 通常记为犃 它是犃的每个元素换成其对应的代数余子式后转 狀狀燅 置得到的矩阵 定理 狀阶方阵犃可逆的充要条件是 犃 0 且 犃 = 犃 狘犃狘 其中犃 是犃的伴随矩阵 证必要性设犃可逆 记犃的逆矩阵为犃 则犃犃 = 犈 因为 犃犃 = 犈 又 犃犃 = 犃 犃 犈 = 犃 犃 = 故 犃 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

48 第二章 矩阵及其运算 4 充分性 设 犃 0 有 狀 犪犻犽犃犼犽 = 犽 = 狘犃狘 犻 = 犼 { 0 犻 犼 熿犪 犪 犪 狀燄熿犃 犃 犃狀 燄 则犃犃 = ( ) 由 犃 0 故犃犃 犃 犪 犪 犪 狀 燀犪狀 犪狀 犪 熿狘犃狘狘犃狘 = 燀 由定理 可得如下推论 : = 犈 同理 犃 犃 狀狀燅 ( ) 犃 犃 犃狀 燀犃 狀犃 狀 犃 燄 狘犃狘燅 犃 = 犈 故 犃 = 犃 狘犃狘 = 狘犃狘犈 狀狀燅 推论 如果犃犅 = 犈 ( 或犅犃 = 犈 ) 则犅 = 犃 证由犃犅 = 犈可得 犃犅 = 犃 犅 = 犈 = 故 犃 0 因此犃 存在 于是 犅 = 犈犅 = ( 犃犃 ) 犅 = 犃 ( 犃犅 )= 犃犈 = 犃 同理可得犅犃 = 犈时 犅 = 犃 方阵的逆阵满足下列运算规律 ( 设犃 犅为同阶可逆阵 ): ()( 犃 ) = 犃 ; ()( 犃 ) T =( 犃 T ) ; (3)( 犽犃 ) = 犃 ( 犽为非零常数 ); (4) 犃 = 犽 犃 ; (5)( 犃犅 ) = 犅犃 以上规律都容易验证 这里仅证明规律 (5) 因为 犅犃 ( 犃犅 )= 犅 ( 犃犃 ) 犅 = 犅犈犅 = 犅犅 = 犈 所以 ( 犃犅 ) = 犅 犃 规律 (5) 可推广到犽个可逆阵乘积的情况 即 ( 犃 犃 犃犽 ) = 犃 犽犃犽 犃 犃 当 犃 0 时 还可定义犃 0 = 犈 犃 - 犽 =( 犃 ) 犽 其中犽为正整数 这样 当 犃 0λ μ 为整数时 有 λ 犃犃 μ = 犃 λ+μ ( 犃 λ ) μ λμ = 犃 熿 3燄 例 6 求方阵犃 = 的逆矩阵犃 燀 3 4 3燅

49 4 线性代数及其应用 解因为 犃 = 0 所以犃存在 犃 = 犃 =6 犃 3 =-4 犃 =-3 犃 =-6 犃 3 =5 犃 3 = 犃 3 = 犃 33 =- 熿 6-4燄于是犃 = 燀 - 燅熿 3 -燄因此犃 = 犃 = - 3 狘犃狘 -3 5 燀 燅 含有未知矩阵的矩阵等式称为矩阵方程 满足矩阵方程的矩阵称为矩阵方程的解矩 阵 求矩阵方程的解矩阵的过程称为解矩阵方程 熿 3燄 例 7 设犃 = 犅 = 熿 3燄 [ ] 5 3 犆 = 0 解矩阵方程犃犡犅 = 犆 燀 3 4 3燅燀 3 燅 解因为犃 犅存在 以犃左乘上式 犅右乘上式 得 犃犃犡犅犅 = 犃犆犅 即 犡 = 犃犆犅 由例 6 知 熿 3 -燄 犃 = 燀 燅 而 犅 = [ 3 ] -5 于是 熿 3 -燄 犡 = 犃犆犅 = 熿 3燄 3 0 [ ] -5 燀 3 燅燀 燅 熿 燄熿 - 燄 3 = 0 - [ ] -5 = 0-4 燀 0 燅燀 0 4 燅 例 8 设方阵犃满足犃 - 犃 - 犈 = 犗 证明犃及犃 + 犈都可逆 并求它们的逆 矩阵 证 由犃 - 犃 - 犈 = 犗得犃 - 犃 = 犈 即犃 [ ( 犃 - 犈 ] = 犈 故犃可逆 且 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

50 第二章 矩阵及其运算 43 犃 = ( 犃 - 犈 ) 又因为 ( 犃 + 犈 )- [ 4 ( 犃 -3 犈 ) ] = 犈 故犃 + 犈也可逆 且 ( 犃 + 犈 ) =- 4 ( 犃 -3 犈 ) [ ] 犅 = [ 4-6 ] 解矩阵方程犃犡 = 犅 + 犡 例 9 设犃 = 5 3 解由犃犡 = 犅 + 犡得 ( 犃 - 犈 ) 犡 = 犅 当犃 - 犈可逆时 有 犡 = ( 犃 - 犈 ) 犅 又犃 - 犈 = [ 5 ] 狘犃 - 犈狘 =-3 0( 犃 - 犈 ) = 故 熿 - 5燄 3 3 燀 3-3燅 熿 - 5燄熿 7 燄 犡 = ( 犃 - 犈 ) 犅 = [ ] 燀 3 - = 3 3 3燅燀 3-7 3燅 例 0 设犃是三阶方阵 犃 =- 求 (3 犃 ) - 犃 解由于 (3 犃 ) = 犃 犃 = 犃 犃 = 犃 犃 3 犃 所以 狘 (3 犃 ) - 犃 狘犃犃狘 = 狘犃狘狘犃狘 = 狘犈狘 = 狘犃狘 = =- 狘犃狘 狘 = 犃 ( ) 犃 = 4 犃 = ( ) 3 狘犃狘 =- 8 7 习题 求下列矩阵的逆矩阵 : () 熿 -3 燄 [ ] 5 ; cosθ sinθ () [ ]; (3) 0 ; -sinθ cos θ 燀 0 0 燅熿 燄熿 0 0燄 (4) ; (5) 燀 5-4 燅燀 0 0 4燅

51 44 线性代数及其应用 解下列矩阵方程 : () ( 3 3 5) 犡 =( 熿 燄熿 燄 3 4 ) () 犡 0 = 0 ; 燀 0燅燀 燅 熿 0 0燄熿 0 0燄 熿 -4 3燄 (3) 0 0 犡 0 0 = 0 燀 0 0 燅燀 0 0燅 燀 - 0燅 3 利用逆矩阵解下列线性方程组 : 烄 狓 +4 狓 = () 烅 3 狓 +8 狓 + 狓 3=5 烆狓 +3 狓 +4 狓 3=8 ; 烄狓 + 狓 + 狓 3=6 () 烅 狓 - 狓 + 狓 3= 烆 4 狓 - 狓 3=5 4 设方阵犃满足犃 -4 犃 - 犈 = 犗 证明犃及 4 犃 + 犈都可逆 并求它们的逆矩阵 5 对于方阵犃 证明 : () 如果犃 4 = 犗 那么 ( 犈 - 犃 ) = 犈 + 犃 + 犃 + 犃 3 ; () 如果犃狀 + = 犗 那么 ( 犈 - 犃 ) = 犈 + 犃 + 犃 + + 犃狀 6 对下列矩阵 计算犃 - - 犽 犃和犃 : () 0 熿 0 0燄 [ ] 0 - () 燀 燅 7 设犘 = 4 [ ] Λ= 0 [ ] 狀犃犘 = 犘 Λ 求犃 0 8 设犃是四阶方阵 犃 = 3 求 3 犃 -4 犃 ( ) 9 设犃 =diag 3 5 且犃犅犃 =4 犃 + 犅犃 求犅 熿 燄 0 设犃 - 犃犡 = 犈 其中犃 = 0 犈为三阶单位矩阵 求犡 燀 0 0 燅熿 -8 - 燄 设犃 = 狓 -4 不可逆 求狓 燀 - -4 狓燅 设矩阵犃可逆 且犃 = 犃 犈 证明犃的伴随矩阵为犃 = 犃 3 设矩阵犃可逆 证明其伴随矩阵犃也可逆 且 ( 犃 ) =( 犃 ) 4 狀阶方阵犃的伴随矩阵为犃 证明 犃 狀 = 犃 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 第三节 分块矩阵 一 分块矩阵的概念 对于行数和列数较高的矩阵犃 运算时常采用分块的方法 使大矩阵的运算化成小矩

52 第二章 矩阵及其运算 45 阵的运算 将矩阵犃用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵 每一个小矩阵称为犃的子 块 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵 例如 可采用多种方法将矩阵 熿犪 犪 犪 3 犪 4 燄犃 = 犪 犪 犪 3 犪 4 燀犪 3 犪 3 犪 33 犪 34 燅分块 下面举出三种分块形式 : 熿犪 犪 犪 3 犪 4 燄熿犪 犪 犪 3 犪 4 燄 () 犃 = 犪 犪 犪 3 犪 4 ; () 犃 = 犪 犪 犪 3 犪 4 ; 燀犪 3 犪 3 犪 33 犪 34 燅燀犪 3 犪 3 犪 33 犪 34 燅熿犪 犪 犪 3 犪 4 燄 (3) 犃 = 犪 犪 犪 3 犪 4 燀犪 3 犪 3 犪 33 犪 34 燅分块 () 可记为 犃 犃 犃 = [ ] 犃 犃 犪 犪 犪 3 犪 4 [ ] 犃 = [ ] 其中犃 = 犪 犪 犪 3 犪 4 犃 = ( 犪 3 犪 3) 犃 = ( 犪 33 犪 34) 即犃 犃 犃 犃 为犃的子块 而犃形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵 分块 () 及 (3) 的分块矩阵请读者写出 二 分块矩阵的运算 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 下面分别介绍 分块矩阵的加法及数与分块矩阵的乘法 设对同型矩阵犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀和犅 =( 犫犻犼 ) 犿 狀进行同样分块 得分块矩阵 熿犃 犃 犃 狋燄 熿犅 犅 犅 狋燄 犃 = 犃 犃 犃 狋 燀犃狊 犃狊 犃 狊狋燅 犅 = 犅 犅 犅 狋 燀犅狊 犅狊 犅 熿犃 + 犅 犃 + 犅 犃 狋 + 犅 狋燄 狊狋燅 那么 犃 + 犅 = 犃 + 犅 犃 + 犅 犃 狋 + 犅 狋 燀犃狊 + 犅狊 犃狊 + 犅狊 犃狊狋 + 犅 狊狋燅

53 46 线性代数及其应用 分块矩阵的转置 犽犃 = 熿犽犃 犽犃 犽犃 狋燄 犽犃 犽犃 犽犃 狋 燀犽犃狊 犽犃狊 犽犃 狊狋燅 ( 犽为常数 ) 设分块矩阵 则犃的转置矩阵为 犃 = 犜犃 = 熿犃 犃 犃 狋燄 犃 犃 犃 狋 燀犃狊 犃狊 犃 熿犃 T T 犃 T 犃 狊狋燅 T 犃狊 燄 T T 犃 犃狊 燀犃 T T 狋犃 狋 犃 T 狊狋燅 3 分块矩阵的乘法 设犃为犿 犾矩阵 犅为犾 狀矩阵 分块成 熿犃 犃 狋燄熿犅 犅 狉燄犃 = 犅 = 燀犃狊 犃狊狋燅燀犅狋 犅狋狉燅其中犃犻 犃犻 犃犻狋 ( 犻 = 狊 ) 的列数分别等于犅 犼 犅 犼 犅狋犼 ( 犼 = 狉 ) 的行数 则熿犆 犆 狉燄犃犅 = 燀犆狊 犆狊狉燅犻其中犆犻犼 = 犃犻犽犅犽犼 ( 犻 = 狊 ; 犼 = 狉 ) 犽 = 熿 0燄熿 燄 例 设犃 = 犅 = 求犃犅 燀 燅燀 0燅解将犃 犅分块成 熿 0 燄 0 0 犃 = = 燀 燅 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 犃 犈 [ ] 3 犈 犗

54 第二章 矩阵及其运算 47 熿 燄 0 0 犅 犅 犅 = = [ ] -4 犅 犅 燀 0 燅则犃 犈 犅 犅 犃 犅 + 犅 犃 犅 + 犅 犃犅 = [ ][ ] = [ ] 3 犈 犗 犅 犅 3 犅 3 犅 其中 犃 犅 + 犅 = ( 0 )() 0 () + () = 3 犅 =() 3 0 犃 犅 + 犅 = ( 0 ) ( 0) ( ) ( = ) 3 犅 =3 ( 0) ( = ) 故熿 3 燄 6 0 犃犅 = 燀 燅 4 分块对角阵及其性质设犃为狀阶方阵 如果犃的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块 其余子块都是零矩阵 且非零子块都是方阵 即 熿 犃 燄 犃 = 燀 犃 犃狊燅 其中犃犻 ( 犻 = 狊 ) 都是方阵 那么称犃为分块对角阵 ( 或准对角阵 ) 一般地 设有 个分块对角阵 熿 犃 燄 熿 犅 燄 犃 = 燀 犃 犅 = 犃犿燅燀 其中犃犻与犅犻 ( 犻 = 犿 ) 为同阶方阵 则 犅 犅犿燅 熿犃 犅 燄 犃犅 = 燀 犃 犅 犃犿犅犿燅

55 48 线性代数及其应用 当 犃犻 0 时 有 犃 = 熿犃 燀 犃 犃 燄 犿燅 熿 4 0 0燄 例 设犃 = 0 5 求犃 燀 0 3燅熿 4 0 0燄 犃 犗解犃 = 0 5 =[ ] 犗犃 燀 0 3燅 犃 =(4) 犃 =(/4); 犃 = [ 5 ] 犃 = [ ] ; 熿 /4 0 0燄 于是犃 = 燀 0 燅犗犅 例 3 设犃 =[ ] 其中犅 犆均为狀阶可逆方阵 求犃 犆犗解由于犅 犆均为狀阶可逆方阵 所以 犅 0 且 犆 0 狘犃狘 = () 狀狘犅 犆狘 0 故犃可逆 犡犢设犃 =[ ] 犣犠犗犅犡犢犅犣犅犠犐犗则犃犃 = 犐 即 [ ][ ] =[ ] =[ ] 犆犗犣犠犆犡犆犢犗犐即犅犣 = 犐 犅犠 = 犗 犆犡 = 犗 犆犢 = 犐 解得犣 = 犅 犠 = 犗 犡 = 犗 犢 = 犆 犗犆故犃 = [ ] 犅犗对矩阵分块时 按行分块和按列分块应予特别重视 犿 狀矩阵犃有犿行 称为矩阵犃的犿个行向量 若第犻行记作 α犻 T = (α 犻 α 犻 α 犻狀 )( 犻 = 犿 ) 则矩阵犃便记为 犃 = α T 熿燄 α T 燀 α犿燅 T 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

56 第二章 矩阵及其运算 49 犿 狀矩阵犃有狀列 称为矩阵犃的狀个列向量 若第犼列记作 犪犼 = 犪 犼 熿 犪 犼 燀犪犿犼燅则犃 = ( 犪 犪 犪狀 ) 矩阵犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狊与犅 =( 犫犻犼 ) 狊 狀的乘积为矩阵犃犅 = 犆 =( 犮犻犼 ) 犿 狀 若把犃按行分成犿 块 犅按列分成狀块 便有 燄 α T 熿 燄 熿 α T 犫 α T 犫 α T 犫狀燄 其中 犃犅 = α T 燀 α犿燅 T ( 犫 犫 犫狀 )= 犜犮犻犼 =α α T 犫 α T 犫 α T 犫狀 燀 α T 犿犫 α T 犿犫 犫 犼 熿 犫 犼 犻犫犼 = ( 犪犻 犪犻 犪犻狊 ) 燄 燀犫狊犼燅 α T 犿犫狀燅 狊 = 犪犻犽犫犽犼 犽 = = ( 犮犻犼 ) 犿 狀 例 4 证明矩阵犃 = 犗的充分必要条件是方阵犃 T 犃 = 犗 证必要性显然成立 下面证明充分性 设犃 =( 犪犻犼 ) 犿 狀 将犃按列分成狀块表示为犃 =( 犪 犪 犪狀 ) 则 T 犃犃 = α T 熿 α T 燄 燀 α狀燅 T ( 犪 犪 犪狀 )= T T T 熿犪 犪 犪 犪 犪 T 犪 犪狀 犪 T 犪 犪 T 犪 犪狀 T 燀犪狀犪 T T T 即犃犃的第犻行第犼列的元素为犪犻犪犼 因犃犃 = 犗 故 T 而犪犼犪犼 = ( 犪 犼 犪 犼 犪犿犼 ) T 犪狀犪 T 犪犻犪犼 =0( 犻 犼 = 狀 ) 犪 犼 熿 犪 犼 燄 T 犪狀犪狀燅 燀犪犿犼燅得犪 犼 = 犪 犼 = = 犪犿犼 =0( 犼 = 狀 ) 即犃 = 犗 燄 = 犪 犼 + 犪 犼 + + 犪犿犼 =0

57 50 线性代数及其应用 习题 3 熿 0 3燄熿 0 0燄 设矩阵犃 = 犅 = 用分块矩阵计算犽犃 犃 燀 燅燀 0-0 燅 犅及犃犅 按指定分块的方法 用分块矩阵乘法求下列矩阵的乘积 : 熿 - 0燄熿 0 燄熿 燄熿 0燄 () 0 ; () 燀 0 3 燅燀 0 燅燀 燅燀 燅 3 求下列分块对角阵的逆矩阵 : 0 0 熿 熿 燄 燄 0 0 () 0 ; () 燀 0 3 4燅燀 0 0 3燅犃犗 4 设犡 =[ ] 其中犃 犅均为狀阶可逆方阵 求犡 犆犅熿 燄 设犃 = 求犃 4 犃 燀 0 0 燅熿 5 0 0燄 设犃 = 求犃 cosθ sinθ 3 燀 -sinθ cosθ 0 燅 一 用消元法解线性方程组 第四节 矩阵的初等变换 已学过的求解二元 三元线性方程组的消去法 也是求解一般线性方程组的有效方 法 消元法的基本思想是通过对方程组施行一系列的同解变换 消去一些方程中的若干个 未知量 把方程组化成易求解的同解方程组 例 5 用消元法求解线性方程组 烄狓 + 狓 3= 烅 狓 +3 狓 + 狓 3=5 烆 3 狓 + 狓 - 狓 3= 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo (5) (6) (7)

58 第二章 矩阵及其运算 5 解将式 (5) 与式 (6) 对调 得 烄 狓 +3 狓 + 狓 3 =5 烅狓 + 狓 3 = 烆 3 狓 + 狓 - 狓 3 = ; 将式 (8) 乘以 -3/ 加到式 (0) 上 得烄 狓 +3 狓 + 狓 3=5 狓 + 狓 3= 烅 - 7 狓 -4 狓 3=- 7 ; 烆 将式 () 乘以 7/ 加到式 (3) 上 得烄 狓 +3 狓 + 狓 3=5 狓 + 狓 3= 烅 - 狓 3=- 3 ; 烆 将式 (6) 乘以 - 得 (8) (9) (0) () () (3) (4) (5) (6) 烄 狓 +3 狓 + 狓 3=5 (7) 烅烆 狓 + 狓 3= 狓 3=3; (8) (9) 将式 (9) 乘以 加到式 (8) 上 式 (9) 乘以 - 加到式 (7) 上 得 烄 狓 +3 狓 = (0) 烅烆 狓 = 狓 3=3; () () 将式 () 乘以 -3 加到式 (0) 上 并将得到的方程两边同乘以 / 得 烄狓 = 烅狓 = 烆狓 3 =3 由例 5 容易看出 消元法解线性方程组实际上是对方程组反复施行以下三种变换 : () 交换某两个方程的位置 ; () 用非零常数犽乘以某方程的两端 ; (3) 把某方程的两端乘以不为零的数后加到另一个方程上 这三种变换都是线性方程组的同解变换 由于线性方程组可由其增广矩阵完全确定 因此例 5 中对方程组所施行的三种变换 实质上就是在对方程组的增广矩阵施行变 换 由此引入矩阵的初等变换 二 矩阵的初等变换 定义 9 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 :

59 5 线性代数及其应用 () 对换两行 (row)( 对调犻 犼两行 记为狉犻 狉犼 ); () 以非零数犽乘以某一行中的所有元素 ( 第犻行乘以犽 记为犽狉犻 ); (3) 把某一行所有元素的犽倍加到另一行对应的元素上去 ( 第犼行的犽倍加到第犻行 上 记为狉犻 + 犽狉犼 ) 把定义 9 中的 行 换成 列 (column)( 相应把记号 狉 换成 犮 ) 即得矩阵的初等 列变换的定义 矩阵的初等行变换与初等列变换 统称为矩阵的初等变换 如果矩阵犃经过有限次初等变换变成矩阵犅 就称矩阵犃与犅等价 记为犃 ~ 犅 例 5 中对方程组施行的变换 相当于对方程组的增广矩阵施行相应的初等行变 换 下面用矩阵的初等行变换来表示例 5 的消元过程 熿 0 燄熿 3 5燄狉 狉狉 3-3 狉犅 = 3 5 熿 3 5 燄 0 0 燀 3 燅燀 3 燅燀 0-7/ -4 7/ 燅狉 3+ 7 狉 熿 3 5 燄 3 5 狉 狉 3 (- ) 熿燄 - 狉 3 熿 3 0 燄狉 - 狉 燀 0 0 / -3/ 燅燀 燅燀 燅熿 0 0 燄 狉 -3 狉狉 熿 0 0 燄 燀 燅燀 燅 定理 矩阵 : 设犃是一个犿 狀矩阵 可以通过初等行变换把犃化为如下行阶梯形 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 其中犫犻 0 犻 = 狉 所谓行阶梯形矩阵 是指满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵 : () 若存在零行 ( 元素全为零的行 ) 则零行都在矩阵的下方 ; () 每一个非零行的第 个非零元素左边的零元素的个数随行的序数增大而增多 例如 矩阵

60 第二章 矩阵及其运算 53 都是行阶梯形矩阵 如果对行阶梯形矩阵继续施行初等行变换 就可以将其化为行最简形矩阵 这种矩阵 的特点是 : 非零行的第一个非零元素为 且含这些元素的列的其他元素都为零 例如 矩阵就是行最简形矩阵 例 6 用初等行变换把矩阵 化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵 熿 0燄 0-4 犃 = 燀 燅 熿 0燄狉 3- 狉熿 0燄 0-4 狉 4-3 狉解犃 = 燀 燅燀 燅 熿 0燄狉 4- 狉 = 犅 燀 燅 这是行阶梯形矩阵 继续施行初等行变换 有 熿 0 / 燄狉 + 狉 犅 狉 - 狉 狉 + 狉 燀 燅 这是行最简形矩阵 狉 3 -( ) 熿 0 0 / 燄 / 燀 燅

61 54 线性代数及其应用 简式 : 如果对矩阵犃既施行初等行变换 又施行初等列变换 则可以将犃化为如下的最 犈狉犗 [ ] 犗 犗 这是一个分块矩阵 形如这样的矩阵称为标准形 它的特点是 : 左上角是一个狉阶单位阵 其他元素都是零 若犃等价于犅 则犃与犅有相同的标准形 熿 燄 例 7 用初等变换把矩阵犃 = 化为标准形 3 - 燀 燅 狉 - 狉 熿 燄 3 - 狉 4+ 狉 熿燄 熿 3 - 燄 狉 狉狉 解犃 = 燀 燅燀 燅燀 0 0 燅 习题 4 狉 3- 狉 狉 4- 狉 3 - 燄 狉 3 熿狉 狉 燀 燅 犮 -3 犮 犮 3+ 犮 犮 4- 犮 熿 0 0 0燄 燀 燅 犮 犮 3 犮 3 犮 4 熿 0 0 0燄 燀 燅 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 用初等变换将下列矩阵化为行阶梯形矩阵 : () 熿 3燄熿 燄 [ ] 3-3 ; () -3 ; (3) 3-3 ; 燀 燅燀 - -4 燅熿 燄熿 0 0 燄 (4) ; (5) 燀 0 燅燀 7 0 0燅 用初等行变换将下列矩阵化为行最简形矩阵 : () 熿 燄 [ ] 3-3 ; () 3-3 ; 燀 - -4 燅

62 第二章 矩阵及其运算 55 熿 燄熿 0 燄 (3) ; (4) 燀 0 燅燀 0 0 燅 3 用初等变换将下列矩阵化为标准形 : () [ ] 3 ; () 熿 燄 [ ] 3-3 ; (3) 3 ; 燀 - 0燅熿 燄熿 0 0 燄 (4) ; (5) 燀 燅燀 7 0 0燅 第五节 矩阵的秩 一 矩阵的秩的概念 矩阵的秩是描述矩阵的一个数值特征 它是线性代数中的一个重要概念 在定义矩阵的秩之前 先介绍矩阵的子式 在犿 狀矩阵犃中 任取犽行与犽列 ( 犽 犿 犽 狀 ) 位于这些行列交叉处的犽个元素 不改变它们在犃中所处的位置次序而得到的犽阶行列式 称为矩阵犃的犽阶子式 熿 3 0 燄 0 0 例如 在矩阵犃 = 中 取第 行 第 3 行和第 列 第 4 列交叉处的 0 4 燀 0 0 0燅 3 0 元素所组成的二阶子式 4 = 就是矩阵犃的一个二阶子式 犽一般地 犿 狀矩阵犃的犽阶子式共有犆犽犿犆狀个 定义 0 犿 狀矩阵犃中 不等于零的子式的最高阶数称为矩阵犃的秩 (rank) 记 为犚 ( 犃 ) 并规定零矩阵的秩为零 根据矩阵的秩的定义 容易得出 : () 若犃为犿 狀矩阵 则犃的秩不会大于矩阵的行数或列数 即犚 ( 犃 ) min{ 犿 狀 }; () 犚 ( 犃 T )= 犚 ( 犃 ); (3) 若犃的所有狉 + 阶子式都为零 则犚 ( 犃 ) 狉 此时若有一个狉阶子式不为零 则 犚 ( 犃 )= 狉 如果狀阶方阵犃的秩为狀 就称犃为满秩矩阵 如果狀阶方阵犃的秩小于狀 就称犃 为降秩矩阵 显然满秩矩阵就是可逆矩阵 降秩矩阵就是不可逆矩阵

63 56 线性代数及其应用 例 8 求下列矩阵的秩 : 熿 3 5 燄熿 3-9 3燄 () 犃 = ; () 犅 = 燀 燅燀 燅解 () 犃是一个行阶梯形矩阵 显然有三阶子式 = 而所有的四阶子式都含有零行 都为零 所以犚 ( 犃 )=3 () 犅中最高阶子式为三阶 共有 4 个 即 = = = = 又有二阶子式 0 0 所以犚 ( 犅 )= 由例 8 可知 用定义求一般矩阵的秩是很烦琐的 但求行阶梯形矩阵的秩 ( 即非零 行的个数 ) 比较容易 二 用初等行变换求矩阵的秩 对于较高阶的矩阵 直接用定义求太烦琐 若能将矩阵变换成行阶梯形矩阵 而这种 变换又不改变矩阵的秩 则可先用初等变换将矩阵变换成行阶梯形矩阵 然后直接由行阶 梯形矩阵的非零行的个数得出矩阵的秩 定理 3 任一犿 狀矩阵犃经有限次初等变换后秩不变 证明先证明 : 若矩阵犃经过一次初等行变换变为犅 则犚 ( 犃 ) 犚 ( 犅 ) 现分别对三类初等行变换证明犚 ( 犃 ) 犚 ( 犅 ) 设犚 ( 犃 )= 犽 狉犻 狉 犼当犃 犅 此时犃必有一犽阶非零子式犕犽 显然 在犅中可得到一个相应的犽阶子式犖犽 犖犽 =± 犕犽 0 从而犚 ( 犅 ) 犽 = 犚 ( 犃 ) 狋当犃狉犻 犅 若犃的犽阶非零子式犕犽含有第犻行元时 可找到犅的相应犽阶子式 犖犽 有犖犽 = 狋犕犽 0; 若犃的犽阶非零子式犕犽不包含第犻行元时 可得犅的相应犽阶子式 犖犽 有犖犽 = 犕犽 0 总之 有犚 ( 犅 ) 犽 = 犚 ( 犃 ) 狋 狉犻 + 狉犼 当犃 犅 对犃的任一犽阶非零子式有 4 种可能 : () 同时含有犃的第犻行与第犼行的元 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

64 第二章 矩阵及其运算 57 () 含有犃的第犼行但不含第犻行的元 (3) 含有犃的第犻行但不含第犼行的元 (4) 既不含犃的第犻行也不含第犼行的元 如果犃可取到 () () (4) 三种情况的犽阶非零子式犕犽 则在犅中以同序号的行和 列 构成一个犽阶子式犖犽 有犖犽 = 犕犽 0 如果犃只有第 (3) 种情况的犽阶非零子式犕犽 则若在犅中取同序号的行和列 构成犽阶子式犖犽 并对犖犽中相应于犃第犼行的那一行用行列式按行展开法则 有 犖犽 = 犕犽 + 狋 0= 犕犽 0 于是得犚 ( 犅 ) 犽 = 犚 ( 犃 ) 以上证明了若矩阵犃经过一次初等行变换变为犅 则犚 ( 犃 ) 犚 ( 犅 ) 由于犅也可以 经过一次初等行变换变为犃 故也有犚 ( 犅 ) 犚 ( 犃 ) 因此犚 ( 犃 )= 犚 ( 犅 ) 矩阵犃经过一次初等行变换后秩不变 则经过有限次初等行变换后秩仍不变 设犃经过初等列变换变为犅 则犃 T 经过初等行变换变为犅 T 有以上证明可知 犚 ( 犃 T )= 犚 ( 犅 T ) 因此犚 ( 犃 )= 犚 ( 犅 ) 总之 矩阵犃经有限次初等变换后秩不变 熿 3-9 3燄 例 9 用初等行变换求矩阵犃 = 的秩 燀 燅 熿 3-9 3燄熿 3-9 3燄熿 3-9 3燄狉 3+ 狉解犃 = 狉 3-3 狉 = 犅 燀 燅 燀 燅 燀 燅 因为矩阵犅是行阶梯形矩阵 犚 ( 犅 )= 所以犚 ( 犃 )= 熿 犪犪燄 例 0 已知矩阵犃 = 犪 犪 且犚 ( 犃 )= 求犪的值 燀犪犪 燅 解犃是 3 阶方阵 犚 ( 犃 )=<3 则犃是降秩矩阵 也是不可逆阵 故 狘犃狘 =0 即 犃 =+ 犪 -3 犪 =0 所以 犪 = 或犪 =- 熿 熿 燄当犪 = 时 犃 = 犚 ( 犃 )= 不合题意 舍去 当犪 = - 时 犃 = 燀 燅 - 燄 熿 - 燄 - 燀 - - 燅 0 燀 燅

65 58 线性代数及其应用 犚 ( 犃 )= 即犪 =- 例 设犃 犅均为犿 狀矩阵 证明 : 证 max{ 犚 ( 犃 ) 犚 ( 犅 )} 犚 ( 犃 犅 ) 犚 ( 犃 )+ 犚 ( 犅 ) 因犃的最高阶非零子式也是 ( 犃 犅 ) 的非零子式 所以犚 ( 犃 ) 犚 ( 犃 犅 ) 同理 犚 ( 犅 ) 犚 ( 犃 犅 ) 即 max{ 犚 ( 犃 ) 犚 ( 犅 )} 犚 ( 犃 犅 ) 设犚 ( 犃 )= 狉 犚 ( 犅 )= 狋 把矩阵犃和犅分别作初等列变换化为列阶梯形矩阵珦犃和珟犅 则珦犃和珟犅分别含狉个和狋个非零列 故可设 犮犮 ~ 犃 ~珦犃 = ( 珘犪 珘犪狉 0 0) 犅 ~犅 = ( 珘犫 珘犫狋 0 0) 犮 ~ ~ 从而 ( 犃 犅 )~ ( 犃 犅 ) 由于 ( 珦犃 珟犅 ) 中只含狉 + 狋个非零列 因此犚 ( 珦犃 珟犅 ) 狉 + 狋 又犚 ( 犃 犅 )= 犚 ( 珦犃 珟犅 ) 故 犚 ( 犃 犅 ) 狉 + 狋 即犚 ( 犃 犅 ) 犚 ( 犃 )+ 犚 ( 犅 ) 习题 5 判断题 : () 设矩阵犃的秩为狉 则犃中所有狉 阶子式都不等于零 () 设矩阵犃的秩为狉 则犃中有可能存在值为零的狉阶子式 (3) 设矩阵犃的秩为狉 则犃中至少有一个狉阶子式不为零 (4) 设矩阵犃的秩为狉 则犃中可以有不为零的狉 + 阶子式 (5) 从犿 狀 ( 狀 >) 矩阵犃中划去一列得到矩阵犅 则犚 ( 犃 )> 犚 ( 犅 ) (6) 设犃 犅均为犿 狀矩阵 若犚 ( 犃 )= 犚 ( 犅 ) 则犃与犅必有相同的标准型 填空题 : 熿 6 7 燄 () 已知对三阶矩阵犃施行初等行变换得到犃的行阶梯形矩阵为 0 5 则燀 0 0 0燅犚 ( 犃 )= 熿 3燄 () 已知矩阵犃 = 则犚 ( 犃 )= 燀 3 4 3燅 3 选择题 : 熿 犪犪燄 () 矩阵犃 = 犫犫的秩为 3 则 ( ) 燀 犮犮燅 (a) 犪 犫 犮都不等于 (b) 犪 犫 犮都不等于 0 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

66 第二章 矩阵及其运算 59 (c) 犪 犫 犮互不相等 (d) 犪 = 犫 = 犮 () 设犃为三阶方阵 犚 ( 犃 )= 则 ( ) (a) 犚 ( 犃 )=3 (b) 犚 ( 犃 )= (c) 犚 ( 犃 )= (d) 犚 ( 犃 )=0 4 求下列矩阵的秩 : 熿 3 4燄 熿 4-3 燄 () ; () ; 燀 0 燅 燀 -3 燅 熿 0燄 熿 0 燄 (3) ; (4) 燀 燅 燀 0 0 燅 熿 3 燄 5 能否选取适当的 λ 使矩阵犃 = 有 燀 4 8 λ燅 () 犚 ( 犃 )=; () 犚 ( 犃 )=; (3) 犚 ( 犃 )=3 6 设犃 犅均为犿 狀矩阵 证明 : 犚 ( 犃 + 犅 ) 犚 ( 犃 )+ 犚 ( 犅 ) 7 设犃为狀阶方阵 证明 : 犚 ( 犃 + 犈 )+ 犚 ( 犃 - 犈 ) 狀 第六节 初等矩阵 一 三种初等矩阵 定义 对单位矩阵犈施行一次初等变换所得到的矩阵 称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵 () 对调两行或对调两列 把单位阵中第犻 犼两行 ( 或两列 ) 对调 得第 种初等矩阵熿 燄 0 第犻行 犈 ( 犻 犼 )= 0 第犼行 燀 燅 () 以非零数犽乘以某行或某列 以非零数犽乘以单位阵的第犻行 ( 或第犻列 ) 得第 种

67 60 线性代数及其应用 初等矩阵 犈 ( 犻 ( 犽 ))= 熿 燀 犽 燄 燅 第犻行 (3) 以数犽乘以某行 ( 或列 ) 加到另一行 ( 或列 ) 上 以数犽乘以犈的第犼行加到第犻行 上 ( 或以数犽乘以犈的第犻列加到第犼列上 ) 得第 3 种初等矩阵 犈 ( 犼 ( 犽 ) 犻 )= 熿 燀 犽 燄 燅 第犻行 第犼行 容易验证 三种初等矩阵的行列式都不等于零 因此初等矩阵都是可逆的 且它们的 逆矩阵也是初等矩阵 即 (( ) 犈 ( 犻 犼 ) = 犈 ( 犻 犼 ) 犈 ( 犻 ( 犽 )) = 犈犻犽 犈 ( 犼 ( 犽 ) 犻 ) = 犈 ( 犼 (- 犽 ) 犻 ) 下面介绍几个有关初等矩阵的定理 定理 4 设犃为犿 狀矩阵 则对犃施行一次初等行变换 就相当于在犃的左边乘上一个相应的犿阶初等矩阵 ; 对犃施行一次初等列变换 就相当于在犃的右边乘上一个 相应的狀阶初等矩阵 定理 4 说明了初等矩阵与初等变换的关系 定理 5 任何可逆方阵犃都可经过若干次初等变换化成单位矩阵犈 定理 6 方阵犃可逆的充要条件是犃可以表示成若干个初等矩阵的乘积 证必要性设方阵犃可逆 由定理 5 可用若干次初等行变换把犃化为单位矩阵 犈 根据定理 4 存在若干个初等矩阵犘 犘 犘犿 使 犘犿 犘 犘 犃 = 犈 故犃 = ( 犘犿 犘 犘 ) = 犘 犘 犘 犿 因为初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵 所以上式说明犃可以表示成若干个初等矩阵的 乘积 充分性 如果犃可以表示成若干个初等矩阵犙 犙 犙犿的乘积 即 犃 = 犙 犙 犙犿 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo

68 第二章 矩阵及其运算 6 则因为初等矩阵都是可逆的 且可逆矩阵的乘积也是可逆的 所以犃可逆 例 已知犃 犅均为三阶矩阵 将犃中第 3 行乘以 - 加到第 行得矩阵犃 熿 燄将犅中第 列和第 列交换得到矩阵犅 又犃 犅 = 0 求犃犅 燀 3 燅解由已知 熿 0 0燄熿 0 0燄犃 = 0 - 犃 犅 = 犅 0 0 燀 0 0 燅燀 0 0 燅熿 0 0燄熿 0 0燄熿 燄犃 犅 = 0 - 犃犅 0 0 = 0 燀 0 0 燅燀 0 0 燅燀 3 燅熿 0 0燄 熿 燄熿 0 0燄犃犅 = 燀 0 0 燅燀 3 燅燀 0 0 燅 熿 燄熿 0 0燄熿 燄 = = 5 8 燀 3 燅燀 0 0 燅燀 3 燅 二 利用初等行变换求逆矩阵 根据定理 6 可以得到一种求逆矩阵的方法 即用初等行变换求逆矩阵 事实上 若犃可逆 由犃 = 犙 犙 犙犿 有 犙犿犙犿 犙 犙 犃 = 犈 (3) 及 犙犿犙犿 犙 犙 犈 = 犃 (4) 式 (3) 表明 犃经过若干次初等行变换可化为犈 ; 式 (4) 表明 犈经过同样的若干次初等行变换可化为犃 用分块矩阵形式 式 (3) 式 (4) 可合并为 犙犿犙犿 犙 犙 ( 犃 犈 )= ( 犈 犃 ) 即对狀 狀矩阵 ( 犃 犈 ) 施行初等行变换 当把犃化成犈时 原来的犈就化成了犃 即 狉 ( 犃 犈 ) 熿 3燄 例 3 设犃 = 求犃 燀 3 4 3燅 ( 犈 犃 )

69 6 线性代数及其应用 熿 3 0 0燄解 ( 犃 犈 )= 0 0 燀 燅熿 3 0 0燄狉 - 狉 狉 3-3 狉 燀 燅熿 0-0燄狉 + 狉 狉 3- 狉 燀 0 0 燅熿 燄狉 - 狉 狉 -5 狉 3 燀 0 0 燅熿 燄 狉 -( ) 狉 3 ( ) 燀 3 -燄 于是犃 = 燀 燅 习题 6 熿 燅 判断题 : () 可逆矩阵犃总可以只经若干次初等行变换化成单位矩阵犈 () 若犃可逆 则对矩阵 ( 犃 犈 ) 施行若干次初等行变换和初等列变换 当犃变为犈 时 相应的犈变为犃 故求得犃的逆矩阵 (3) 对于矩阵犃 总可只经过初等行变换把它化为标准型 (4) 若犃 犅都是狀阶可逆矩阵 则犃总可经初等行变换化为犅 选择题 : 科学出版社职教技术出版中心 wwwaboo 熿 3燄熿 7 8 9燄熿 0 0 燄 () 设犃 = 犅 = 犘 = 0 0 则犅 =( ) 燀 7 8 9燅燀 3燅燀 0 0燅 (a) 犘犃 (b) 犃犘 (c) 犘犃 (d) 犃犘 () 下列矩阵不是初等矩阵的是 ( ) (a) 0 熿 0 0燄熿 0 0燄 0 [ ] (b) [ ] (c) 0 0 (d) 燀 0 0 燅燀 0 燅

70 第二章 矩阵及其运算 63 熿犪 犪 犪 3 燄 熿犪 3 犪 犪 + 犪 燄 熿 0 0 燄 熿 0 0燄 (3) 设犃 = 犪 犪 犪 3 犅 = 犪 3 犪 犪 + 犪 犘 = 0 0 犙 = 0 燀犪 3 犪 3 犪 33 燅燀犪 33 犪 3 犪 3+ 犪 3 燅 燀 0 0燅 燀 0 0 燅 则必有 ( ) (a) 犅 = 犃犘犙 (b) 犅 = 犃犙犘 (c) 犃 = 犅犘犙 (d) 犃 = 犅犙犘 3 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵 : 0 熿 0 0 0燄熿燄 0 0 () 0 ; () ; 3 0 燀 -3-5 燅燀 4 3 燅 熿 0 0燄 熿 3-0 燄 (3) ; (4) 燀 5 燅 燀 0 燅 4 用初等变换将下列矩阵化为标准型 : 0 熿 3 4燄熿燄 () 3 0 ; () 3 燀 0 4燅燀 6 4燅 5 已知犪 犪 犪 3 犪 4 犪均不为零 求下列矩阵的逆矩阵 : 犪 熿 燄 熿 犪 燄 () 燀 犪 犪 3 犪 4 燅 熿犪 0 0 0燄 犪 0 0 (3) 0 犪 0 燀 0 0 犪燅 ; () 燀犪 4 犪 3 犪 燅 ; 复习题二 犜犽 设犃 =(3) 犅 =(3) 求 ( 犃犅 ) 设三阶方阵犃 犅满足犃犅 - 犃 - 犅 = 犈 其中犈为三阶单位矩阵 犃 = 熿 0 燄 0 0 求 犅 燀 - 0 燅 3 设三阶方阵犃 犅满足犃犅犃 =6 犃 + 犅犃 且犃 = 犱犻犪犵 ( ) 求矩阵犅