4 柯西不等式 0339 777 設 a, b R, 求 a + b + ( a 3b) 的最小值 (98 清水高中 ) 答 4 778 設 x, y 均為實數, 則 (x y + 5) + (x ) + 6y 的最小值為 答 6 (99 關西高中 ) 779 設 x, y R +, 且 x + y =, 試求 x + y 之最小值 (97 台中高工 ) 答 9 780 若 x, y, z 為實數, 則 x y+z x +4y +z 的最大值為 (98 嘉義高工 ) 答 解 柯西不等式 x + 4y + z + ( ) + (x y + z) x y+z x +4y +z 易由柯西等式成立之條件 ( 向量平行 ), 找到極值點 a + b + c + d + e = 8 78 若, 求 e 的最大值 (99 屏東女中 ) a + b + c + d + e = 6 答 6 5 78 已知 解 (a + b + c + d )( + + + ) (a + b + c + d) 4(6 e ) (8 e), 5e 6e 0 0 e 6 5 e 的最大值 6 5 評 看到二次和一次想到柯西但第一次這樣做也許不是很自然或者在做不出來的情 答 4 5 況下, 應該猜測 a = b = c = d 0 0 a k = 4 且 a k = 64; 若 a, a, a 3,, a 0 均為實數, 則 a 的最大值為 k= k= (99 師大附中 ) 783 已知 x + y + 3z = 4, x + y + z = 96, 求 z 之最大值為 (99 文華高中 ) 答 3 + 65 7
784 有一個以 AB = 為直徑的半圓, 若 P 為圓周上的動 點, 如圖所示, 試求 3AP + 4BP 的最大值 (00 全國聯招 ) 答 0 785 若 3 4 x 且 f(x) = x + 4x 3, 則當 x =? 時 f(x) 有最大值為多少? 答 7 4 (00 全國聯招 ) 提示 令 a = x, b = 4x 3 則 4a + b = 5 另解 見 98 南港高工 3 x 786 a > b > 0, 橢圓 a + y b = 的切線 L 交座標軸於 A, B 兩點, 求線段 AB 的最小值 答 a + b (00 北港高中 ) 提示 考慮切線方程式 αx a + βy b =, 其中 (α, β) 為切點 787 P 為 4x + 9y = 36 上的動點, 若 P 在第一象限移動, 過 P 點之切線交 x 軸於 A 點 交 y 軸於 B 點,O 為原點, 求 OA + OB 最小值 (99 彰化藝術 ) 答 ( 3 9 + 3 4) 3 評 第一象限是不必要的條件, 反正是對稱的, 不影響距離 ; 反過來當題目沒給第一象 限條件是, 可加上此條件使得截距皆正, 方便計算 788 直線 L 過點 P (6, ) 且與 x 軸正向 y 軸正向分別交於 A B 兩點,O 為原點, 試 求 OA 3 + OB 3 的最小值 (97 台中女中 ) 答 9 4 789 已知 0 < θ < π, 求 64 sin θ + 7 cos θ 的最小值為? (00 玉井工商 ) 答 5 解 Hölder 不等式 ((sin /3 θ) 3 + (cos /3 θ) 3 ) /3 (( 6 ) 3 9 sin /3 + ( ) 3 3 θ cos /3 ) θ 64 所以 sin θ + 7 cos θ 5 另解 亦可用廣義柯西不等式, 見 99 彰化藝術 7 6 + 9 790 設 θ 為銳角, 則 64 sec θ + csc θ + 6 sec θ csc θ 的最小值為 (99 基隆女中 ) 答 5 8
提示 ( 8 cos θ + sin θ ), 廣義柯西不等式 79 若 0 < θ < π, 則 sin θ + 3 cos θ 的最小值為 (98 彰化女中 ) 答 ( 3 4 + 3 9) 3 79 設 A(4, 3, ), B(,, 4), 點 P 在平面 E x y x = 上移動, 則 P A + P B 的 最小值為 (00 文華高中代理 ) 答 4 評 平方和之極值, 自然聯想柯西不等式 類題 把平面改成球, 而本題亦可用中線定理處理之, 見 00 中科實中 793 ABC 中,AB = 3, BC = 5, AC = 6,P 為 ABC 內一點,P 到三角形三邊的距離 分別為 x, y, z, 則 x + y + z 最小值為 (99 嘉義高工 ) 答 6 5 提示由面積關係可得 3x + 5y + 6z = = 4 = 4 4 794 ABC 中, 已知 AB = 4, BC = 5, CA = 6, ABC 內部一點 P 到 AB, BC, CA 的 距離分別為 h, h, h 3, 則 h + h + h 3 的最小值為 (99 文華高中 ) 答 5 44 795 ABC 中,AB = 3, BC = 4, CA = 5, 若 P 點在 ABC 內, P 點至 AB, BC, CA 距離分別為 x, y, z, 求 3x + y + yz + z 之最小值 (00 永春高中代理 ) 答 36 5 評 同上題之思考, 但透過配方完成柯西不等式 796 ABC 中,P 為內部一點, 過 P 點作垂足分別交 BC CA AB 於 D E F 三 BC 點, 若 + AC + AB P D P E P F 答 內心 有最小值, 則此時 P 點的位置為?( 請寫證明過程 ) (97 台中二中 ) 797 已知 a, b 為正實數,m, n 為實數,m n > a m +b n 令 A = m + n, B = a+b 試證明 A > B (00 中壢高中 招 ) 證 m n > a m + b n a n + b m < 由柯西不等式得 m + n > ( a n + b m )(m + n ) (a + b), 開方得證 另證 考慮 n a +m b (n a )(m b ) > ab, 移項開方得證 9
798 x, y, z 為正數, 求證 x y+z + y z+x + z x+y (00 南科實中 ) 證 注意 x(y + z) + y(z + x) + z(x + y) = 3(xy + yz + zx) 柯西不等式 [x(y + z) + y(z + x) + z(x + y)] [ x z) y+z + y z+x + 而 (x + y + z) 3(xy + yz + zx) = [(x y) + (y z) + (z x) ], (x + y + z) 3(xy + yz + zx) 所以 3(xy+yz+zx) [ x y+z + y z+x + z x+y ] 3(xy+yz+zx) z x+y ] (x + y + x y+z + y z+x + z x+y log x 0 009+log x 009+log x 009 x 799 四相異正數 x 0, x, x, x 3, 欲使 x x 3 log x 0 009 k 恆成立, 則實數 k 的 x 3 最大值為 (98 清水高中 ) 答 9 800 求證 解 題目有誤, 應為 x 0 > x > x > x 3 > 0 令 a = log x 0 x, b = log x x, c = log x x 3, 則由柯西不等式有 log x 0 009+log x 009+log x 009 x x x 3 log x 0 009 = (a + b + c)( a + b + c ) 3 x 3 x x + x x 3 + x 3 x x + x + x 3,(x, x, x 3 > 0) (97 楊梅高中 ) 80 正方形 ABCD 的邊長為 a;e, F, G, H 分別在 AB, BC, CD, DA 上, 且 AE = BF = CG = DH; 則正方形 EF GH 面積的最小值為何? 又 AEH 的內接圓半徑之 最大值為多少? (97 高雄市聯招 ) 答 最小面積 a, 最大半徑 r = 4 a 5 算幾不等式 0344 80 在通過點 (, ) 的直線與正 x 軸 正 y 軸所形成之所有三角形中, 試求最小的三角形 面積 答 4 (99 屏北高中 ) 803 一圓錐高 h, 底圓半徑 r, 一內接圓柱, 高 y 底圓半徑 x, 試求內接圓柱的最大體積 解 4πhr 7 (00 中和高中 ) y h = r x 證 由相似形得 r ry = hr hx hx + ry = hr hx 由算幾不等式得 + hx +ry 3 3 4 h x ry 7 4 h rx y h 3 r 3 V = πx y 4πhr 7 30
評 這類題型中 雖然變數彼此互相依賴 可取出最少個自由變數 以微分處理之但 依較多變數處理時 則可運不等式在其關係式上 見以下題目 804 有一直立圓柱罐頭(圓柱的高 h, 底圓半徑 r) 若要使此圓柱的罐頭使用最少的材料 則 h 與 r 的關係為 (00內湖高工) 答 h = r 805 一個球的內接圓錐的最大體積與這個球的體積比為 答 (00台中二中) 8 7 806 設圓半徑為 今將中心角為 θ 的扇形剪去 剩下其餘部份作成一圓錐容器 當 θ 為 θ0 時 容器最大體積為 M 求 M, θ0 分別為何 答 M= π 3 7, (98高雄市聯招) θ0 = π( 3 ) 807 設 a, b 均為正數 且 f (x) = (x + a)(x + b) 則 f (a) a + f b(b) 之最小值為何 答 8 (00金門農工) 808 已知 a, b, c 為正數且 a + b + c = 則 ( a ) ( b ) ( c ) 的最小值為 解 原式 = 答 8 b+c a a+b c+a b c bc a ca b ab c (00成淵高中) = 8 809 三正數 a, b, c 且 a + b + c = 3 試求 log4 ( a3 ) + log4 ( 3b ) + log4 ( 3c ) 的最小 (00鳳山高中) 值 答 3 x x 80 設 x, x, x3,, xn 都是正數 試證 x + x3 + + xn xn x + xxn x + x + + xn k 證 令 xn+ = x xk+ + xk+ xk 將 k =,, 3, n 加起來得 x ( x + x x3 + + xn xn + xn x ) + (x (00桃園高中) + x + + xn ) (x + x + + xn ) 移項得證 8 已知 x, y, z R xyz = 且 x + y + z = 0則這三個數中最大數的最小值為何 解 三數必一正二負 不失一般性假設 x > 0, y, z < 0 答 3 則 x = y z yz = x x 3 檢驗 (x, y, z) = ( 3, 3, 3 ) 3 (00桃園高中)
8 若 x 的 0 次方程式 x 0 0x 00 + a 99 x 99 + + a x + a 0 = 0 有 0 個正實根, 對 99 於所有可能的方程式, 試求 a k 的最大值 (0 建國高中 招 ) k=0 答 3 0 03 解 令 x k, k =,, 3,, 0 是 0 個正根 多項式 (x x i ) 展開的係數正負相間 x = 代入, 每項皆負, 取絕對值得 (x i + ) = 0 k=0 a k 99 k=0 a k = (x i + ) 03 由算幾不等式得 0 (x i + ) x i 0 + = 3 所以當 x i = 時, 99 k=0 a k 有最大值 3 0 03 83 x y z 為正實數, 則 答 5 xy+yz x +y +z 的最大值為 (00 陽明高中 ) x 解 算幾得 + 5 y 5 xy, 4 5 y +z 5 yz 兩式相加得 xy + yz 5 (x + y + z )易驗等號於 (x, y, z) = t( 0,, 0 ) 時成立 84 設函數 f(x) = cos x sin 3 x 的極大值為 M, 極小值為 m, 則求數對 (M, m) 之值為 何?(Hint: 算幾不等式 ) (99 大安高工 招 ) 答 (M, m) = ( 3 3 6, 3 3 6 )解 cos x+ sin x + sin x + sin x 3 3 3 4 4 cos x sin 3 x 7 f(x) 3 3 6 85 設 a, b 為正實數, 滿足 a + b =, 試求 ab + ab 的最小值 (00 新北聯招 ) 答 7 4 解 ab + ab = ab + 6ab + 5 6ab 由算幾不等式得 ab + 6ab a+b ;( ) ab ab 4 所以 ab + 6ab + 5 6ab + 5 4 = 7 4 而等號於 a = b = 處成立 評 直覺上 ab 愈接近 時, 其有最小值, 故由猜算幾猜得 a = b = 時有最小值, 其中 才有 6ab = ab 在 a = b = 時出現因此湊出該式 86 設 a, b, c 表三角形之三邊長, 試證 :abc (a + b c)(b + c a)(c + a b) 提示 令 s = a+b+c, 則 a = (s b) + (s c) (99 中正預校 ) 87 試證 C n Cn Cn 3 Cn n < n(n ) n! (n 3) (99 左營高中 ) 88 試證 n + n n, n N (99 左營高中 ) 提示 + + + + n = n 3
89 設 n 為自然數 試證 5n + 4n 5n (98玉井工商) 80 證明 n N, 3n + n 3n (98慈濟聯招) n 8 設 n 為大於 的自然數 證明 (n!)3 < nn ( n+ ) (99松山工農) 8 設一直角三角形的斜邊長與一股長的和為 6 試求此直角三角形的面積產生最大值時的 (97台北縣聯招) 各邊長 答, 3, 4 83 求證 a, b, c 為不全相等的正數 且 a b c = 求證 a + b + c > a + b + c (97楊梅高中) 84 若三正數 x, y, z 滿足 xyz(x + y + z) = 5 則 (x + y)(y + z) 的最小值為 答 0 (97四區能力競賽) 提示 (x + y)(y + z) = (y + xy + zy) + xz, xyz(x + y + z) = xz (y + xy + zy) 6 三角不等式 凸函數不等式 0339 85 ABC 為邊長是 的正三角形 P 為三角形內部任意一點 過 P 作 DE 平行 BC, F G 平行 AB, HI 平行 AC (如圖(一)) 在空間坐標系上 取 OQ = P D, OR = P E, OS = F I (如圖(二)) 求 QRS 的周長最小值為何 (98高雄市聯招) 解 令 P D = x, P E = y, F I = z 則 x + y + z = 答 由三角不等式得 x + y + y + z + z + x (x + y + z) + (y + z + x) = 86 直角 ABC 中 C 是直角 設 ABC 的內切圓 O 交 AB 於 D r 為內切圓 O 的半徑 AB = c 求證 () r = c cot A +cot(45 A ) (00中正高中招) () r c ( ) () r cot 證 A + r cot(45 A ) = r cot A + r cot B = c (將 AB 拆成兩切線段長相加) 提示 cot x 在 (0, π ) 上為凸函數 評 看到 () 的分母 聯想到凸函數不等式 33
87 a, b, c 為三角形的三邊長 試證 a + b c+ a b + c+ a + b + c a+ b+ c 又 "=" 何時成立 (99竹科實中 99鳳新高中 97台中二中) 證 對任意 x, y 0,[ x + y ] ( + ) ( x+ y) x+y x concave x+ y 即 f (x) = 以 (x, y) = (a + b c, a b + c), (a b + c, a + b + c), ( a + b + c, a + b c) 代入以 上不等式相加除以 即得證 而等號在 x = y 時成立 即 a + b c = a b + c = a + b + c a = b = c 評 只要記得 conave 無論用柯西 算幾 還是用圖說明不等式都好 88 設 a, b, c 為 ABC 之三邊長 試證 b+c a n 89 n 為自然數 a > 0, b > 0 試證 ( a+b ) + c+a b + a+b c 9 a+b+c (99高雄市聯招) an +bn (97南港高工) 0344 7 極值問題 判別式 7 x+ ) 的最大值為 M 最小值為 m 則數對 (M, m) = 830 設 x 為實數 log ( xx +x+ 解 令 y = 答 (, ) (y 83 y = 答 9 (00嘉義高中 99松山家商招) t t+ t +t+ (y )t + (y + )t + (y ) = 0, + ) 4(y ) 0 3 y 3 (M, m) sec x tan x sec x+tan x 則 = (, ) f (y) = log9 y 的範圍為閉區間 [a, b] 求 a + b (99彰化藝術) 提示 令 t = tan x 而 sec x = tan x + 83 x R f (x) = ax+b x + 若 f (x) 之最大值為 4 最小值為 則 (a, b) = 答 (4, 3) (98玉井工商) 833 直角坐標系中, A(5, ), B(, 5), P (x, 0) 且 x > 0 求 解 評 x > 0 似乎是非必要的條件 答 PA PB 的最大值為 (00玉井工商) P (3, 0), A, B 三點正好在以原點為圓心 半徑 3 上而此圓與 x 軸另一交點 正好是最小值發生處其中似乎有所玄機 34
834 x 為實數時, 若 f(x) = ax +x+ x +x+a 為所有實數, 則常數 a 之範圍為 答 < a < 0 (99 彰化女中 ) 解 y = ax +x+ x +x+a (y a)x + (y )x + (ya ) = 0 (y ) 4y(y a)(ya ) 0, y a, 整理得 ( 4a)y + (4a + )y + ( 4a) 0 若 a = 4, 易驗不合, 因此 4a > 0 且判別式為負值 由判別式得 (4a + ) 4( 4a) 0 a 0 或 a = 而從 4a > 0 知 a = 不合 f(x) a = ( a)x+ a x +x+a, 見以下補充知, 需檢驗 a = 和 0, 分子分母是否互質 a = 時,f(x) = x +x+ x +x 因此所求範圍為 < a < 0 補充 設 f(x) = = (x )( x ) (x )(x+) ;a = 0 時,f(x) = x+ x +x = x+ (x+)x αx+β ax +bx+c, D y = (by α) 4ay(cy β), 其中 a 0, α 0, 則有 () 若 y 0 且 y f(r), 則 D y 0 證 若 y 0 且 y f(r), 則存在 x R, 使得 (ax + bx + c)y = αx + β 有實數 解, 因此 D y 0 () 若 y 0 且 D y > 0, 則 y f(r) 證 若 D y > 0, y 0, 則 (ax + bx + c)y = αx + β 有兩相異實根 若 ax + bx + c = 0, 則 αx + β = 0 而 ax + bx + c = 0 和 αx + β 至多一共根, 因此當 D y > 0 時, 必存在 x 使得 (ax + bx + c)y = αx + β 且 ax + bx + c 0 f(x) = y (3) deg (gcd(ax + bx + c, αx + β)) = 0 f(r) = {y R D y 0} 由 () () 知, 我們只須檢驗 D y = 0 或 y = 0, 在兩集合的差異 假設左式成立, 則 ax + bx + c = 0 和 αx + β = 0 無共根同 () 論述可得 y = 0 或 D y 0 則 y f(r) f(r) = {y R D y 0} 假設左式不成立, 則 ax + bx + c = 0 和 αx + β = 0 有共根 β α 若 D y = 0, 且 f(x) = y, 注意方程式 (ax + bx + c)y = αx + β 必為 x = β α, 又 D y = 0 因此其 為重根, 因此 x = β α, 但 f 在 x = β α 無定義, 故不存在 x, 使得 f(x) = y 及 y = 0 時亦不存在 x, 使得 f(x) = y, 因此 f(r) {y R D y 0}, 實際上 {y R D y 0}/f(R) = {0} {y R D y = 0} 7 三角疊合 835 設 x 為實數, 則 f(x) = 答 + 3 解 cos x+sin x+ cos x sin x+ 之最大值為 (00 北港高中 ) cos x+sin x+ cos x sin x+ = k (k ) cos x (k + ) sin x + k = 0, k + sin(φ x) = k ( k) k + 3 k + 3 35
836 求 y = +sin x 3+cos x 的極值 (00 新竹高工 ) 答 max = 3 4, min = 0 837 設 θ R, 則函數 f(θ) = 5 sin θ 4 cos θ+5 之最大值為 (99 桃園高中 ) 答 5 3 838 函數 y = +sin x +cos x 之最大值為 α, 最小值為 β, 則數對 (α, β) = (99 文華高中 ) 答 ( 4 3, 0) 839 求函數 f(x) = x 5 x ( < x < ) 的最大值 (99 文華高中 ) 答 6 提示 令 x = cos θ 840 求函數 f(x) = x 3 + 3x 的值域 (98 南港高工 ) 答 [, ] 提示令 x = 3 + sin θ, 0 θ π 另解 柯西不等式, 見 00 全國聯招 8 73 圖解 三角不等式 73 配方 圖形化 84 設 x R, 求 (x 4) + 5 + (x + 4) + 之最小值為 (98 中興高中 ) 答 0 解 該式即 (x, 0) 與 (4, 5), ( 4, ) 的距離和用三角不等式, 得最小值為 8 + 6 = 0 84 求函數 y = x + 4 + x 8x + 7 的最小值此時 x 之值為 答 x = 8 3 時, 有最小值 5 (00 育成高中代理 ) 評 看到根號相加減求極值, 聯想到配方距離公式 843 求 f(x) = x 4 3x + 4 + x 4 3x 8x + 0 的最小值, 及當時的 x 值 答 x =, min = 4 (99 鳳新高中 99 萬芳高中 97 文華高中 ) 36
評 保證等號成立, 畫個圖看有交點就好了下為其它類題 : 844 函數 f(x) = x 4 3x 6x + 3 x 4 x + 的最大值為? 答 0 (99 松山高中 99 中壢高中 招 ) 評 不只距離和, 距離差也是可以玩的 845 若 y = x + 4x + 5 + x 6x + 3, x R, 則 y 之最小值為 (98 嘉義高工 ) 答 34 846 求函數 x + x + x x +, x R 的值域 (00 文華高中代理 ) 答 (, ) 評 畫個圖發現沒有交點, 所以這題沒等號 847 考慮所有的正實數 x, ( x) + ( + log x) ( x) + ( log x) 的最大值為 (99 華江高中 ) 答 09 848 f(x) = 4 x 5 x+ + x 4x + 9 4 x x+3 + x x + 7 之最大值為 答 (98 師大附中 ) 849 設空間中 A(6, 0, 0), B(8, 6, 8), 試求 Z 軸上一點 P, 使 P A + P B 為最小, 則 P 點 坐標為 (98 嘉義高中 ) 答 (0, 0, 3) 850 平面上有一四邊形 ABCD, 其頂點分別為 A(0, 0), B(, ), C(3, 4), D(, 7), 此平 面上另 P, Q 兩點, 使得 P A + P B + P C + P D 與 QA + QB + QC + QD 均有最 小值, 試求 P, Q 座標 (98 高雄市聯招 ) 答 P (, 3), Q( 3, ) 解 由配方法可得 P 為四點之重心 : (0,0)+(,)+(3,4)+(,7) 4 = (, 3) 而由三角不等式可得 Q 則在六線段 ( 兩兩連一線段 ) 其二的交點上 AC 4x 3y = 0 解聯立方程, 得 x = 3, y = 檢驗的確是在兩線段上 BD x + y = 5 因此 P (, 3), Q( 3, ) 37
85 設 α, β, γ, θ R, 試求 : (cos θ α) + (sin θ β) + (cos γ α + 5) + (sin γ β + 5) + α + β 4α + 8β + 5 + α + β 60α 0β + 0000 的最小值 答 3 + 0 0 (00 中壢高中 招 ) 85 考慮所有的實數 x, y, (x 4) + (y ) + (x + y 3) + (x 4) + (y ) + (x + y 9) 的最小值為 答 6 (00 華江高中 ) 853 設 x y 為實數, 則函數 f(x, y) = x + y 6x y log 9 + (log 3) + 9 + x + y + 4x y log 44 + log 8 + (log 3) + 8 之最小值為 (99 安樂高中 ) 答 9 854 若 x > 0, 則 x 4x + 4 + x 6x + (log x) x log x + log x + 50 的最小 值為 (99 台中一中 ) 答 7 解 如右圖,AB + CD 即兩根式之 和當 B, C 重疊於 F 時, 有 最小值 AE = 7 855 設 a, b 為正實數,A = a + b ab, B = 49 + a 7 a, C = 64 + b 8 3b, 則 A + B + C 之最小值 = (0 中科實中 ) 答 3 解 如右圖,OF = a, OE = b, OG = 7, OD = 8, 則由餘弦 定理得 A + B + C = EF + GF + DE DG 再由餘弦定理計算得 DG = 3 38
856 證明 : x > 0, y > 0, x 3x + 3 + y 3y + 3 + x 3xy + y 6 (99 中壢高 中 ) 73 對稱 旋轉 857 A( 3, ), B(, 4), C(0, t) 若 ABC 之周長最小, 則 t 值 = 答 4 5 (99 安樂高中 招 ) 提示 考慮 A (3, ) 858 已知兩點 A(,, ), B(3, 0, ), 試在平面 E x y + z + = 0 上找一點 C, 使 ABC 的周長最小, 則 C 點座標為 (99 關西高中 ) 答 (, 5 6, 6 ) 859 正方形 ABCD 的邊長為 5,E 為 BC 上的點使得 BE = 3,EC = 若 P 是對角線 BD 上的點, 當 P E + P C 有最小值時, 此時 P B = (00 全國聯招 ) 答 5 8 860 P 為曲線 y = x + 上之動點,A 為直線 y = x 上之動點, 且 F (, 3), 則 F A + AP 的最小值為 (98 玉井工商 ) 答 5 86 L x = y+ = z+3, A L, P (6,, ), Q(,, 3), 求 P A + QA 的最小值 答 3 0 (99 彰化藝術 ) 解 令 A( + t, + t, 3 + t), 則 P A + QA = (t 4) + (t ) + (t 5) + (t + 3) + (t) + (t 6) 展開再配方得 P A + QA = (3t 6) + 9 + (3t 3) + 36, 可視為 (3t, 0) 到 (6, 3) 和 (3, 6) 的距離和 由三角不等式得此距離和有最小值 3 + 9 = 3 0 Q 另解 考慮 P 對 L 旋轉, 使得 P, Q, L 共平面, 且 P, Q 在 L 異側, 如右圖所示計算兩點到直線之距離分別為 3, 6, 而其投影點之距離為 3, 所求即為 (3 + 6) + 3 = 3 0 H H P C 39
86 一個直角三柱 ABC A B C, ACB = 90,BC = CC =, AC = 8, 點 P 在 BC 上, 則 P C + P A 的最小值為? (00 板橋高中 ) 答 34 863 有兩射線 OX, OY 夾角 60,P 為 XOY 內部一點,OP = 0, 今欲在 OX 上取一點 A, OY 上取一點 B, 使 P AB 之周長最小, 若 P AB 之最小周長為 t, 則 t = (98 全國聯招 ) 答 0 3 解 做 P 對 OX, OY 的對稱點, 利用三角不等式, 可證最小周長等於兩對稱點之距離以 O 為原點, OX 方向為正 x- 軸, OY 落在第一象限 令 P = (0 cos θ, 0 sin θ), 則 P 的兩對稱點為 (0 cos( θ), 0 sin( θ)), (0 cos( π 3 θ), 0 sin( π 3 θ)) 因此周長 = 0 + 0 0 0 cos π 3 = 0 3 864 圓 C (x 4) + (y 3) =, 直線 L y = 3x 今在圓 C 上取一點 P, 直線 L 上 取一點 Q,x 軸上取一點 R, 求 P QR 的周長最小值 (99 中壢高中 ) 答 4 3 865 設 x, y 為實數, 且 z = (x ) + (y ) + (x + ) + (y ) + (x ) + (y + ), 求 z 的最小值 (00 師大附中 ) 答 6 + 866 假設直角三角形的三個頂點分別分 A = (0, 0), B(, 0) 和 C(0, 4), 令 Q = (x, y) 為此三角形內部的一個點, 試求點 Q 和點 Q 到三個頂點距離之和的最小值 ( 即 Q A + Q B + Q C 的最小值 ) (99 屏北高中 ) 答 7 + 4 3, Q(, ) 解 如圖 AQF, ACB 為正三角形 QAC + CAF = CAF + F AB QAC = F AB QAC F AB (SAS), 所以 QC = F B 因此 QA + QB + QC = QF + BQ + F B BB 因此當 Q, F 都在 BB 上時, 有最小值 BB = 評 Q 點稱之為費馬點 7 + 4 3 40
733 圓與球 867 設 z C 且 z =, 則 z 4 4i 的最大值為 (98 清水高中 ) 答 7 解 方程式 z = 之圖形為一圓,4 + 4i 為複數平面上一點, z 4 4i 即點到圓 上一點的距離作過圓心與該點之直線, 與圓相交於兩點, 分別為最近點與最遠 點因此 max = (4 ) + 4 + = 7 868 設 z C, z z = 4, 求 z + 3i 的最大值 (00 育成高中代理 ) 答 4 869 已知 Z 為複數, 且 Z =, 則 Z (3 + 7i) 的最大值為 M, 最小值為 m, 則 (m, n) = (97 楊梅高中 ) 答 (5, 3) 870 已知兩複數 z 與 z 滿足 z (3 + 3i) =, iz =, 則 z z 的最大值為 答 8 (99 桃園高中 ) 87 考慮滿足 a + b = 49,c + d 6c d = 96 的所有實數 a, b, c, d, 求 3 6c+d ac bd 47 的最小值 (0 文華高中 ) 答 x + y + z x y 0z + 7 = 0 87 設 A( 6, 6, ), B 為圓 C 上任一點, 使 AB x y + z = 0 有最大值的 B 點座標為 (00 北港高中 ) 答 ( 3, 4 3, 7 3 ) 解 配方 (x ) + (y ) + (z 5) = 0 圓心 O(,, 5) d = 6+ + + = 6, A 對平面投影得 A (, 4, 5) d = +0 3 = 3, O 對平面投影得 O (,, 3), r = 0 3 = A O = (,, ) O B = 3 (,, ) B( 3, 4 3, 7 3 ) 評 如果只是要算最大值的話, 那些坐標都不用算, 見下下題 x + (y ) + (z 5) = 3 873 設 P (4, 3, ),Q 為圓 x + y + z = 3 上之動點, 求 P Q 的最小值 4
答 5 (99 基隆女中 00 香山高中 99 中興高中 ) 874 已知空間中一點 P (9,, 5) 與一球面 S x + y + (z 4) = 5, 若球面 S 與 xy 平面 之交圓為 C, 則點 P 與圓 C 上的點距離之最小值為 (97 台中女中 ) 答 5 + ( (9 + ) 5 4 ) = 3 875 空間中, 點 A(4, 3, ), 在平面 E x + y + z 3 = 0 上有一圓心 B(,, 3), 半徑 為 4 的圓, 圓上的動點 P, 則線段 AP 的最大值為 (97 台南女中 ) 答 09 x + y + z = 4 876 空間中有一圓 C, 及一點 P (6, 3, ), 若 Q 點在圓 C 上, 且 x + y + z = 9 P Q 長有最小值, 求 () m () Q 點坐標 (97 竹北高中 ) 答 () 0 () ( 5 3, 3, 0 3 ) 877 空間中 P (a, b, c) 為圖形 x +y +z 4x y 3 = 0 上一點, 求 a +b +c +4a c+ 的最大值, 此時數對 (a, b, c) = (98 家齊女中 ) 答 56, ( 4 3, 5 3, 3 ) 878 已知 α, β (0, π ), 則 y = ( 6 sin α 3 tan β) + ( 6 cos α 3 cot β) 的最小值為 答 4 3 879 空間中 O(0, 0, 0), A(0,, 4), B(4, 4, 8), P 為一動點若 大值 答 0 (99 中興高中 ) AP BP = 0, 求 OP 的最 (97 台中一中 ) 74 運用不等式 880 設 P (x, y) 滿足 x + (y ) 的所有點, 求 x+y+ x y+3 的最大值與最小值? 答 最大值 + 3, 最小值 3 (99 松山高中 98 玉井工商 ) x+y+ 解 令 x y+3 = k, x + y + = kx ky + 3k ( k)x + (k + )(y ) = k 由柯西不等式 k = ( k, + k) (x, y ) k + k 4k + 0 3 k + 3 4
x+y+ 解 令 x y+3 = k ( k)x + (k + )y = 3k, k 斜率為 k+ 且過 (, ) 之直線該直線於圓相交, 畫圖可得其斜率介於 (, ) 至圓的兩切線之斜率之間 所以 3 k k+ 3 3 k + 3 解 3 ( k)x + (k + )(y ) = k, 為圓盤相交之直線方程式, 因此圓心到此直 線的小於, 即 k k +, 其與柯西不等式相同 88 設 a, b, c 均為正實數, 則 a 3 +b 3 +4 (a+)(b+) 的最小值為 (00 松山家商 ) 答 3 解 廣義柯西 (a 3 + 3 )( + )( + ) (a + ) 3 所以 a 3 + b 3 + 4 4 ((a + )3 + (b + ) 3 ) + 再以算幾不等式 : 4 ((a + )3 + (b + ) 3 + 8) 3 4 (a + )(b + ) a 3 +b 3 +4 (a+)(b+) 3, 檢查等號成立條件 a = b =, a + = b + =, 3 恰可成立, 所以極小值為 88 a n 為 到 n 之一個排列, 試證 提示 排序不等式 a a + a a 3 + + a n a n + 3 + + n n (99 屏東女中 ) 75 微分 883 拋物線 y = x 到點 P (, ) 最近的點 Q 座標 (99 嘉義高工 ) 答 ( + 3, + 3 ) 解 令 f(x) = (x ) +(x ) f (x) = x +(x ) x = (x+)(x x ) f (x) = (x + )(x 3 )(x + 3 ) 有兩極小 f( ) 和 f( + 3 )檢驗知 x = + 3 為最小值,Q( + 3, + 3 ) 884 函數 f(x) = (sin x + cos x) 3 + (sin x + cos x) (sin x + cos x) + 的最大值為 M, 最小 值為 m, 則數對 (M, m) = (00 麗山高中 招 ) 答 (4 +, 49 7 ) 885 曲線 y = f(x) = x 3 6x + x 6 上一點 P (a, f(a)),a [0, ] 滿足以 P 為切點的 切線有最小的 y 截距, 則 a = (00 鳳新高中代理 ) 答 0 886 y = sin x 5+4 cos x, 0 x π, 則 y 的範圍為 (00 陽明高中 ) 答 y 43
解 注意 y 為奇函數, 令 t = cos x, 則 y = t 5+4t 且 t t(5+4t) (4 4t 微分得 ) (5+4t) = t +5t+ (5+4t) = (t+)(t+) (5+4t) 以 t =, ± 代入得 4, 0, 0 所以 0 y 4 y 評 本來二次有理式可以用判別式, 但現在 t 有限制範圍, 就有點小麻煩, 乾脆直接微 下去 887 設 a > 0,O(0, 0) 為原點在拋物線 ay = a x 上取一點 P (s, t), s > 0 過 P 點作 拋物線之切線, 交 x 軸,y 軸於 Q, R 兩點當 P 點變動時, OQR 面積的最小值為 何? (99 中正預校 98 曉明女中 ) 答 4 3 9 a 888 正三角形 ABC 的邊長為, 在 AB BC CA 上各取 P Q R 滿足 AP = BQ = CR () 令 AP = x, 求 P QR 的面積 ( 以 x 表示 ) (00 麗山高中 ) () 若 P 在 AB 上移動, P QR 的最小面積為 M, 使得 P QR 的面積為最小時 的 x 值為 a; 則 (M, a) = 答 () 3 4 (x3 x + ) () ( 3 3 4, 3 ) 889 已知函數 f(x) = x (x 3a) + (a > 0, x R) (97 竹北高中 ) () 求函數 y = f(x) 的極值 () 若方程式 f(x) = 0 有三個不同的實根, 求實數 a 的取值範圍 答 () 極大, 極小 4a3 () a > 890 設 f(x) = x (α + β)x + αβ (α, β 為實數,0 α β), 且 f(x)dx =, 令 S = α 0 f(x)dx, 求 S 的最大值 (97 陽明高中 ) 答 6 08 76 線性規劃 89 設一次函數 f(x) = ax + b, 若 0 f(), f() 3, 則 f(3) 的範圍為 (00 基隆女中代理 ) 答 [, 6] 解 對 a, b 作線性規劃, 易得 f(3) = 3a + b 6 44
89 已知 x 0, y 0, z 0 且 x + y + z = 4, 若 x + 3y 5, 則 x + y 的最大值為 (99 桃園高中 ) 答 3 5 893 設 a b c 且 3a + b c = 4, 則 a + b + c 之最大值 = (00 麗山高中 ) 答 4 894 a n 為等差數列, 若 4 a + a 8, 4 a 3 + a 4 a 7 4, 則 a 6 的最大值等於? 答 8 (97 台中二中 ) x + 3 y + 5 z = 7 895 已知 x, y, z 均為實數, 且, 若 t = x+ + 3 y + 5 z, 試求 t 的 x + 3 y + 5 z+ = 範圍 (98 高雄市聯招 ) 答 3 5 < t < 提示 令 x = a, 3 y = b, 5 z = c 896 設 f(x) = ax + bx + c,(a, b, c R, a 0, x R), 已知 f(), f() 4, 3 f(3) 4, 令 f(4) 的最大值為 M, 最小值為 m, 則 M + m = 答 6 (00 文華高中代理 ) 897 設 x, x, x 3,, x n 均為整數且滿足 :(a) x i, i =,, 3,, n (b) x + x + x 3 + + x n = 9 (c) x + x + x 3 + + x n = 99 令 S = x 3 + x3 + x3 3 + + x3 n,s 的最大值和最小值分別為 M, m ( 原為多選題 ) (99 桃園高中 ) 答 (M, m) = (33, 9) 類題 見 99 苗栗高中 898 設 R 代表坐標平面上由不等式 4 y x 0 所定義的區域, 求函數 3x y 在區域 R 上的最小值為 (00 桃園高中 ) 答 3 0 x + y 4 899 設 R 表平面上 圖形圍成的區域且目標函數 f(x, y) = x + y 在區域 R 上的 y 最大值為 M, 最小值為 m, 則數對 (M, m) = (00 嘉義高中 ) 答 (, 3) 45
900 log 4 (x + y) + log 4 (x y) =, 求 x y 的最小值 (00 陽明高中 00 慈濟聯招 ) 答 5 90 圖形 C y = 3 4 x y, 若 P (x, y) 在 C 上, 則 x+3 的最大值為 M, 最小值為 m, 則序對 (M, m) 為 (99 中正預校 ) 答 (3, 9 4 4 ) 解 令 Q( 3, 0), 則 m P Q = R(0, 3), 半徑 y x+3, 畫圖 : 對 C 之方程移項平項, 可知其為一弧, 圓心 得 (, 3) 最大斜率 M = 3, 相切時有最小斜率 m QR =, tan θ = QR = 4 m = tan( π 4 θ) = 9 4 5 90 若 30 θ 60, 求 +sin θ cos θ 之最大值與最小值 (99 高雄市聯招 ) 答 min = 3, max = + 3 解 考慮 (cos θ, sin θ), 30 θ 60 為單位圓上的弧 +sin θ cos θ, 即 (cos θ, sin θ) 與 (0, ) 連線之斜率, 由圖可知極值之位置 另解 注意 tan θ = sin θ +cos θ tan(45 θ ) = cos θ +sin θ tan(45 + θ ) = +sin θ cos θ 由此得 θ = 30 時, 有最小值 tan 60 = 3;θ = 60, 有最大值 tan 75 = + 3 903 在平面上, 當 (x, y) 滿足 x + y,x + y x + y 的最小值為 (98 玉井工商 ) 答 9 8 77 其它 904 設 x, y 為實數, 若 x + y = x + y, 求 x 3 + y 3 + 9 x + 9 y 的最大值 (99 松山高中 ) 答 類題 見 00 慈濟聯招 905 x, y R, x +y =, 若 x +4xy+5y 的最大值為 M, 最小值為 m, 則 M +m = 答 6 (98 嘉義高工 ) 解 旋轉 x + 4xy + 5y A x + C y 極大為 max{a, C }, 極小為 min{a, C }, 而 A + C = 6 為旋轉不變量另解 令 t = x + 4xy + 5y, k R, 則 t k = ( k)x + 4xy + (5 k)y 取判別式為 0,k 6k + = 0 k = 3 ±, 令 k = 3 +, k = 3 則有 t = (t k ) + k = ( ) + k k t = (t k ) + k = ( ) + k k, 因此 3 x + 4xy + 5y 3 + 46
906 直角 ABC 中, 以斜邊 BC 為軸旋轉一周而成的兩個圓錐的側面積和為 S, 直角 ABC 的內切圓面積為 S, 求 答 6 + 4 S S 的最小值 (00 中正高中 ) 907 設複數 z =, 則 z + z + 之最大值為 (00 永春高中代理 ) 答 4 908 若函數 y = sin x+sin x+ cos x sin x 3 的最大值為 M, 最小值為 m, 則 M + m = 答 45 8 (00 台中二中 ) 909 箱子裡有若干個大小相同的號碼球, 其中 i 號球有 i 個 (i = k, k =,, 3, 50) 從箱子裡取出一球, 每球被取的機會均等今計算該球之球號與某數 a 之差的絕對值 為使這些差的絕對值之期望值為最小, 求 a 值為 (00 文華高中 ) 答 7 90 箱子裡有大小相同的號碼球 0 個, 其中 i 號球有 i 個,i =,, 3,, 5, 從箱子裡 一直取球 ( 取後放回 ), 每取一球就計算該球之球號與某整數 n 的差的絕對值, 使得這 些差的期望值為最小, 則 n 值 (0 中科實中 ) 答 評 n(n+) n, n(n+) ( n ) 47