4 基礎物理 ( 二 ) CHPTER 9 9- 碰撞與動量守恆律 物理學中所稱的碰撞 (collision) 指的是一個系統的運動狀態, 在一很短的時間內會發生顯著的變化 例如撞球時以白球撞擊另外一顆色球 打棒球時揮棒擊球 籃球碰到籃板反彈 ( 圖 9-) 扣下鎗械扳機射出子彈 兩輛車子相撞 等,

第九章碰撞 4 9- 碰撞 與動 量守 恆律 9- 彈性 碰撞 9-3 非彈 性碰 撞 拉開一顆球再放手, 看到球兒滴答地敲打著, 這些球之間的碰撞以及運動都可以用力學的分 析來討論, 而這些分析中, 總少不了 動量 的概念 本章將介紹各種碰撞以及動量與能量在碰 撞問題的應用

4 基礎物理 ( 二 ) CHPTER 9 9- 碰撞與動量守恆律 物理學中所稱的碰撞 (collision) 指的是一個系統的運動狀態, 在一很短的時間內會發生顯著的變化 例如撞球時以白球撞擊另外一顆色球 打棒球時揮棒擊球 籃球碰到籃板反彈 ( 圖 9-) 扣下鎗械扳機射出子彈 兩輛車子相撞 等, 都是碰撞, 煙火的爆炸也可以碰撞相關定理來描述 碰撞過程常常歷經很短暫的時間, 系統的力學狀態突然改變, 在這極短的時間間隔內, 通常很難確定每一瞬間的作用力, 因此要運用上冊第四章中所描述的牛頓第二運動定律, 實際上有其困難的地方 如果只想了解碰撞前後物體運動狀態的變化, 探討碰撞前後系統的動量與能量是否變化, 就是一個很有用的方法 在第六章中我們介紹了動量的概念, 考慮有交互作用的多質點系統, 當作用在系統上的外力和為零時, 多質點系統遵守動量守恆律, 即 (6-9) 式 : p m 為定值 i i i i i 也就是系統不受外力作用, 則其總動量維持不變, 系統總 動量 p 是一個定值, 此系統在碰撞後的總動量 p 等於碰 圖 9- 打棒球時揮 棒擊球, 籃球碰到籃 板反彈都是碰撞 撞前的總動量 p, 即 : p p (9-) 在一些碰撞問題中, 作用在系統上的外力 ( 如重力或 是摩擦力 ) 不一定為零, 但是由於碰撞過程常常是在

第九章碰撞 43 極短暫時間中發生, 因此系統所受到的衝量極微小, 通常可以忽略, 因此碰撞前後系 統的總動量一般亦可視為守恆的 例題 9- 請判斷以下的兩個例子, 若將子彈與木塊視為一系統, 碰撞過程水平方向上是否遵守系統的動量守恆? () 水平射擊一子彈, 射穿固定於水平面的木塊 () 水平射擊一子彈, 射穿原靜止在光滑水平面的木塊 解 在第 () 小題中, 對木塊 子彈兩個物體所組合的系統而言, 地面對木塊施力, 使木塊固定在地面上, 此外力作用下, 系統的水平動量不會守恆 但在第 () 小題例子中, 地面無摩擦且木塊可自由移動, 系統的水平方向動量在任一瞬間都是守恆的 自我練習光滑平面上物體 接近連接一彈簧的 物體, 則 : () 若 物體被固定在地面上, 則 所組成的系統在碰撞過程中是否遵守總動量守恆與力學能守恆? () 若 物體可自由移動, 則 所組成的系統在碰撞過程中是否遵守總動量守恆與力學能守恆?

44 基礎物理 ( 二 ) 例題 9- 以下的兩個例子中, 請說明選取哪幾個物體為系統時, 系統會在哪一個方向的動量守恆? () 一小球被擲向光滑水平地面後反彈跳起 在碰撞發生前後, 其入射速度及反彈速度分別與鉛垂法線夾角 及 () 光滑平面上運動的三質點在 O 點發生碰撞而且結合成一體 解 () 光滑地面與小球的作用力稱為正向力, 小球所受的正向力的方向與地面垂 直向上, 所以小球在水平方向並未受力的作用, 故以小球為系統而言, 小球水平方向動量守恆 ; 鉛直方向動量發生改變 () 將三質點視為一系統, 鉛直方向的合力為零, 水平方向上三質點相互的作用力為內力, 必互相抵消, 內力合為零, 不會影響系統的質心運動, 所以水平面上的系統動量守恆 如果在例題 9- 第 () 小題中, 將地球與小球視為一個系統, 則鉛直方向上 是否遵守系統動量守恆? 考慮在光滑水平面上一維空間的碰撞, 如圖 9- 所示, 有質量分別為 與 兩物體, 起始時 和 兩物體一前一後, 分別以 m 與 m 的 與 的初速度向右方移動, 由於, 因此 物體向 物體靠近 ( 且 C, C 為系統質心速度 ) 當兩 物體開始接觸時, 因物體變形而產生互相推擠的交互作用力, 此交互作用力是一對作 用力和反作用力, 當碰撞結束後兩物體分離, 此時兩

第九章碰撞 45 圖 9- 以理想彈簧來模擬兩物體間因形變所造成之作用力, 碰撞前後彈性位能為零 物體的速度分別為 和 ( 是守恆的 ), 碰撞過程中, 由於所受外力為零, 故總動量 如果碰撞過程中, 只有保守力作功, 由第八章的討論可知系統的總力學能守恆 ( E K U K U) 由於碰撞過程的時間很短, 系統中各物體的高度幾乎不變, 重 力位能在碰撞前後不變 碰撞後兩物體恰不接觸時, 物體恢復原狀, 若以理想彈簧來 模擬兩物體間因形變所造成之作用力 ( 圖 9-), 因彈力為保守力, 又碰撞前後彈性位 能相等 ( U U 0), 故力學能守恆可以寫為 : K K (9-) 也就是碰撞結束後系統總動能與碰撞前相等者, 稱為彈性碰撞 (elastic collision) 如果有一部分的內力不為保守力, 則不像保守力作功下系統的位能可以儲存後再 釋放, 非保守力作功一定造成力學能之損耗, 此時碰撞結束後系統總動能減少, 稱為 非彈性碰撞 (inelastic collision) 如果兩物體在碰撞後連結在一起, 以相等的速度運 動, 稱為完全非彈性碰撞 (completely inelastic collision)

46 基礎物理 ( 二 ) 碰撞類型 碰撞過程 碰撞前後 彈性碰撞 動量守恆 力學能守恆 總動能不變 非彈性碰撞 動量守恆 力學能不守恆 總動能減少 完全非彈性碰撞 動量守恆 力學能不守恆 總動能減少最多 例題 9-3 質量為 m 的質點 與等質量的靜止質點 在光滑水平地面發生碰撞 已知質點 0 的初速為 0, 末速為, 且方向與初速相同, 則 : 3 () 兩質點系統的質心速度為何? () 碰撞後質點 的末速度為何? (3) 此碰撞為非彈性碰撞或為彈性碰撞? 解 m m m0 0 () 的質心速度 m m m m () 兩物體在任一瞬間的動量和皆相等, m m m m, 0 m0 0 m m, 0 3 3 (3) 利用碰撞前後動能的變化可以判斷碰撞的種類, 碰撞前的動能 K m0 0, 0 0 5 碰撞後的動能 ( K m ) m( ) m0, 3 3 8 4 可看出碰撞後動能損失 8 m, 故為非彈性碰撞 0

第九章碰撞 47 自我練習 \ 質量為 3m 的質點 與質量為 m 且靜止的質點, 在光滑水平面上發生碰撞, 質 點 的大小相同, 已知質點 碰撞前的速率為, 碰撞後的速率為 一方向, 則此碰撞為彈性碰撞或為非彈性碰撞?, 且為同 例題 9-4 一力常數為 k 的輕彈簧, 固定在一質量為 m 且靜止於光滑水平地面的木塊 上, 另一質量為 m 的木塊 以速度 碰撞彈簧, 兩者在同一直線上運動, 如圖所示, 則彈簧的最大位能為何? 思路 : 從接觸彈簧開始, 物的速度因彈力而減小, 物的速度亦因彈力 而增加, 彈簧的壓縮量也增大 對能量而言, 彈性位能的增大, 也指 出兩物的總動能逐漸減少 當 速度相等時, 彈簧壓縮量最大, 解 彈性位能也最大 從接觸彈簧開始, 物的速度受到彈力而減小, 物的速度會增加, 彈簧的壓 縮量也增大 對能量而言, 彈性位能的增大, 也指出兩物的動能和逐漸減少 當 速度相等時, 設其速度為, 此刻的彈簧壓縮量最大, 彈性位能也最大, 因為下一時刻, 物的速度將小於 物的速度, 兩物逐漸分開 利用動量守恆, m 0 m m,, 3 再利用力學能守恆, m 0 m m U,, U m 3 3 m m U 例題 9-4 中, 以 兩物體及彈簧為一系統, 彈簧的恢復力對 兩物 體而言, 是屬於內力或外力?

48 基礎物理 ( 二 ) CHPTER 9 9- 彈性碰撞 一 直線上的彈性碰撞 現在討論一維的彈性碰撞, 考慮在 x 軸上運動之兩物體, 其質量各為 m 和 m, 速 度分別為 與 ( ), 兩物體發生正面碰撞 (head on collision), 即兩物體碰撞 前後的速度維持在同一直線上, 質量為 m 的物體入射速度在兩物體質心連線上, 碰撞 後的速度分別為 和, 如圖 9-3 所示 圖 9-3 在一直線上運動, 質量各為 m 和 m 的兩物體發生彈性碰撞示意圖 由於碰撞前後的總動量是守恆的, 由 (9-) 式可得 : 移項後得 : m m m m (9-3) m ( ) m ( ) (9-4) 由於兩物體作彈性碰撞, 因此兩物體的總動能在碰撞前後相等, 即 : m m m m (9-5) 由 (9-5) 式得 : m ( ) m ( ) (9-6) 將 (9-6) 式和 (9-4) 式兩式互相比較, 可得 或 式中 (9-7) 為碰撞前的相對接近速度, 而 則為碰撞後的相對分離速度, 在一維的 彈性碰撞的情況下, 兩物體碰撞前的相對接近速度與碰撞後的相對分離

第九章碰撞 49 速度相等 由 (9-4) 式和 (9-7) 式兩式, 經過聯立運算可解得 : m m m m m m m (9-8) m m m m m m m (9-9) 由於我們假設碰撞過程中系統所受的外力和為零, 因此系統的質心作等速運動, 即碰撞前後系統的質心速度 C 保持不變 由第六章質心的速度 C 為 : C m m m m (6-0) 配合 (9-3) 式可得 : C m m m m m m m m (9-0) 碰撞過程中兩物體最靠近時, 系統動能最小, 定義此時系統的動能 m m K ( m m ) ( m m )( ) C C m m K C為 : K C ( m m ) m m (9-) 跳得更高. 材料 : 彈力球二個, 一大一小 ( 也可以是籃球與網球 ). 實驗過程 : 將小彈力球放在大彈力球上, 讓兩個球緊靠在一起, 使其同時自由落下, 可見到落地之後, 小彈力球會跳得比原先放開的位置還高

50 基礎物理 ( 二 ) 例題 9-5 兩球 於一直線上做正面碰撞, 其速度 和時間 t 的關係近似右圖 () 依據圖形如何斷定為彈性碰撞 () 若 球 公斤, 則 球的質量為何? 解 () 碰撞前相對接近速度 4 ( ) 5 (m/s), 碰撞後相對分離速度 3 ( ) 5(m/s) 兩者相等, 屬於彈性碰撞 () 碰撞前後兩球的動量守恆, 力學能亦守恆, m m m m, 4 m ( ) ( ) m 3, m 3 (kg) 自我練習 例題 9-5 中, 在 0.3~0.5 秒的碰撞期間內, 系統質心速度是否改變? 若物體 m 原先為靜止 ( 0 ), 即在一直線上運動的物體 m 和靜止的物體 m 發 生一維彈性碰撞,(9-8) 式和 (9-9) 式兩式可以改寫為以下兩式 : m m m m (9-) m m m (9-3) 以下討論三種特殊的情況下的末速 : (a) 若 m m, 即 物體撞到一個質量比其小很多的 物體, 則由 (9-) 式和 (9-3) 式兩式可得到 與 例如鐵球正面擊中皮球, 碰撞後, 鐵球的速度幾乎 不變, 而皮球以接近鐵球兩倍的球速向前飛出 ( 圖 9-4(a))

第九章碰撞 5 (b) 若 m m, 即 物體的質量較 物體小甚多, 則 與 0 典型的例子就是將乒乓球正面投向靜止的鉛球, 兩球碰撞後, 鉛球紋風不動而乒乓球則以接近原速率反向彈回 ( 圖 9-4(b)) (c) 若 m m, 即兩物體的質量相等, 由 (9-) 式和 (9-3) 式兩式可得 0 與, 表示碰撞後 物體將靜止, 而 物體將以 物體的原速度運動, 亦即碰撞後兩物體的速度交換 例如在圖 9-4(c) 中, 兩質量相等的撞球正面碰撞, 若左方的撞球撞擊靜止中的撞球, 則碰撞後撞球 將靜止, 而撞球 將以撞球 原速度向右運動 圖 9-4 在直線上運動的兩物體發生彈性碰撞的三種特殊情況 : (a) m m,(b) m m 與 (c) m m 例題 9-6 有一小球 由圖所示位置靜止釋放後, 在最低點處與小球 發生 正面彈性碰撞 已知碰撞後小球 上升的最大高度為 的質量為 的幾倍? h, 則小球 4

5 基礎物理 ( 二 ) 思路 : 正面彈性碰撞前後, 遵守水平動量守恆 力學能守恆 解 球擺至最低點處的速度恰在水平方向上, 此瞬間與 球在同一水平發生正 面彈性碰撞, 碰撞後 球向右擺動, 球自高度 h 擺至最低點時的速度 gh, h 球在碰撞後的速度, 向右擺動最大高度為, 4 h gh 所以 m g, 利用正面彈性碰撞公式 4 m m, 所以 gh m m m gh m m m,, 可得 3m m m, 3 m 自我練習 例題 9-6 中, 球反彈的高度為何? 例題 9-7 在鈾分裂反應器中產生的高速中子, 應用在某些核反應中必須使中子減速, 而利用 正面彈性碰撞的減速效果最好 設中子與 () 鉛 06 Pb () 碳 C (3) 氫 H 作正 面彈性碰撞, 求各種情形下中子損失之動能的百分率, 並判斷應選擇何種物質作為 減速劑最好? 思路 : 兩質點發生正面彈性碰撞, 利用動量守恆與力學能守恆, 可以得到碰 撞後的速度與動能 解 中子 ( 質量 m 中子速度 n m m n 速率 n ) 與其他粒子 ( 質量 m) 作正面彈性碰撞後, n n m n, m mn m 中子損失的動能 E E E mn n m n n m n n[ ( ) ], m m E mn m 4mnm 動能損失的百分率 ( ) E m m ( m m) E 406 () 鉛, 00%.9% E (06 ) n n, n E 4 () 碳, 00% 8.4% E ( )

第九章碰撞 53 E 4 (3) 氫, 00% 00% E ( ) 中子撞擊氫原子後, 中子停下來, 而氫原子擁有中子原有動能, 故應選擇質量與中子最接近的氫 自我練習 m \ 質量為 m 的物體分別與質量為 00m 以及質量為的物體發生正面彈性碰撞, 求 00 出這兩種情形下物體 m 損失之動能百分率 二 平面上的彈性碰撞 考慮在光滑的水平面上兩物體, 如圖 9-5 所示, 質量為 m 的物體以速度 沿著 x 方向非正面碰撞質量為 m 的靜止物體, 兩物體發生二維彈性碰撞後分開, 分別以 和 的速度在 xy 平面上運動, 它們各與 x 方向夾角度 和, 因此可知 : x cos y sin x cos 與 y sin, 由於碰撞前後的總動量是守恆的, 由 (9-) 式可得 : m m m (9-4) (9-4) 式中各向量關係圖如圖 9-6 所示 分別考慮 x 與 y 方向的動量分量方程式, 可得 : x 方向 m m x m x (9-5) y 方向 0 m y m y (9-6) 圖 9-5 平面上的彈性碰撞 圖 9-6 (9-4) 式中各向 量關係圖

54 基礎物理 ( 二 ) 由於兩物體作彈性碰撞, 因此碰撞前後兩物體的總動能相等, 即 : m m m (9-7) 兩物體發生二維彈性碰撞後分開的例子中, 由以上推導得到 (9-5) 式 (9-6) 式和 (9-7) 式三個方程式, 若式中質量 m 和 m 以及 m 的速度 為已知量, 尚有 x y x 與 y 四個未知數待解, 在一般情況下, 三個方程式不足以解出四個未知數, 也就 是碰撞後兩物體的速度量值與方向無法完全解得 因此還必須至少測知 x y x 與 y 四個未知量之一, 例如知道質量為 m 的物體碰撞後運動方向為, 其他物理量 才能由給定的三個方程式 (9-5) 式 (9-6) 式和 (9-7) 式完全解出 一般而言, 二維空 間的碰撞較一維空間的碰撞複雜很多, 在此我們試舉一較簡易的例子求解 : 兩質量相 等的物體在水平面上發生彈性碰撞 例如撞球運動中, 球的運動被侷限在球檯的二維平面上, 當母球 撞到原先靜止 的子球 時, 根據動量守恆律, 可得 : m m m m 由於球的質量相同, m m, 且子球原先靜止, 因此 : 若兩撞球碰撞可視為彈性碰撞, 所以力學能守恆 : m m m 由於球的質量相等, m m, 因此 : (9-8) 圖 9-7 與 由 (9-8) 式可知 與 恰成以 為斜邊之直角三角 恰成以 為斜邊之直角三角形 形, 如圖 9-7, 也就是碰撞後母球與子球的運動方

第九章碰撞 55 向垂直 ( 如圖 9-8), 這在撞球運動中是很重要的一課 圖 9-8 質量相等的兩球在平面上的二維彈性碰撞, 碰撞後兩球 的運動方向互相垂直 例題 9-8 物體的質量為 m 和質量亦為 m 的靜止 物體在一水平面上作彈性碰撞, 碰撞後, 物體和原運動方向夾 60 離開, 則碰撞後 速率之比為何? 解 兩物的動量守恆 m m m,, 碰撞前後的動能守恆 m m m,, 可得到 三個向量恰圍成一個直角三角形, 與 的夾角為 90, 如圖所示 cos60 3,, cos30 = : 3 ( ): ( ) : 3 例題 9-8 中, 若 球質量大於 球, 球碰撞後 兩球速度的夾角還會 維持 90 嗎?

56 基礎物理 ( 二 ) CHPTER 9 9-3 非彈性碰撞 一 非彈性碰撞 第二小節中討論彈性碰撞, 在碰撞結束後系統總動能可以回復為原值 然而日常生活中物體的碰撞大多屬於非彈性碰撞, 在碰撞結束後系統總動能不能回復為原值, 這常常是由於碰撞造成物體變形, 無法恢復原狀或產生熱能所致, 然而在碰撞前後的總動量仍是守恆的 之前我們討論到非彈性碰撞在碰撞結束後, 系統總動能不能回復為原值, 碰撞伴隨動能的損失有多大呢? 若在碰撞前後系統的總動能 K 與 K 分別為 : K m m (9-9) K m m (9-0) 和 分別為兩物體的初始速度, 發生非彈性碰撞後的速度分別為 和, 由於 碰撞過程中系統所受的外力和假設為零, 因此碰撞前後系統的質心速度 C 保持不變, 系統質心動能 K C為 : K C ( m m ) m m 整理可得碰撞前後系統的總動能分別為 : mm K K ( )( ) C m m mm K K ( )( ) C m m 由於碰撞過程中能量不能被創生, 非彈性碰撞結束後系統總動能不能回復為原值, 因此碰撞後系統總動能較碰撞前系統總動能小, 這一碰撞伴隨動能的損失量值為 :

第九章碰撞 57 mm K K ( )[( ) ( ) ] m m (9-) 由本章第二節的彈性碰撞分析可知, 二維的碰撞較一維碰撞複雜很多 當然二維的非彈性碰撞比起一維的非彈性碰撞也一定更加繁複, 在分析上我們要把握住一個原則, 也就是雖然非彈性碰撞中有動能的損失, 即碰撞後總動能小於碰撞前總動能, 但碰撞前後的總動量是守恆的 彈性碰撞與非彈性碰撞的比較 : 例題 9-9 自高度 0 公尺靜止自由落下 0. 公斤的球, 若忽略空氣阻力的影響, 已知碰撞地面 後速度量值為碰撞前的一半, 則.. ( 設重力加速度 g 0 公尺 / 秒 ) () 第一次反彈的最大高度為何? () 碰撞過程中損失多少力學能? 解 () e 是碰撞後速率 與碰撞前速率 的比值, e 0.5, 球接近地面瞬間的速率 gh 0 0 0(m/s),

58 基礎物理 ( 二 ) 所以球反彈瞬間遠離地面的速率 e 0 (m/s), 反彈最大高度 h,, 0 h 5 (m) g 0 m mgh () 碰撞前的力學能 mgh m 0.0 0 0(J), 碰撞後的力學能 mgh m 0. 0 5 5(J), 此為非彈性碰撞, 碰撞後力學能僅剩原力學能的 4, 損失力學能為 3 0 5 4 (J) 自我練習 如果相對接近速率與碰撞後的相對分離速率的比值固定, 則第二次反彈的高度為 何? 二 完全非彈性碰撞 若兩物體碰撞後其速度相同, 即兩物體碰撞後合為一體, 就是完全非彈性碰撞, 則碰撞後合體的速度恰為系統的質心速度 C : m m m m C 由非彈性碰撞在碰撞結束後, 系統總動能不能回復為原值, 碰撞伴隨動能的損失如 (9-) 式, 而完全非彈性碰撞後兩物體的速度相同, 即, 因此可得完全非彈性碰撞損失動能值為 : mm K K K K ( )( ) ( ) max m m (9-) 相對於非彈性碰撞而言, 完全非彈性碰撞的動能損失是最大的

第九章碰撞 59 碰撞類型碰撞過程碰撞後說明 彈性碰撞 動量守恆 保守力 作用 恢復原狀動能不變 碰撞前的相對接近速 度等於碰撞後的相對 分離速度的量值 碰撞前的相對接近速 非彈性碰撞動量守恆 非保守力 作用 不恢復 原狀 動能變小 度的量值 ( ) 大於碰撞後的相對分離速度的量值 ( ) 完全 非彈性碰撞 動量守恆 非保守力 作用 不恢復 原狀 動能變小 碰撞後兩者的速度相 等 例題 9-0 圖中輕繩懸吊一木塊的裝置為衝擊擺 (ballistic pendulum), 它是用來測定高速運動子彈的速度 若 子彈和木塊的質量分別為 m 和 m, 木塊被擊中後, 子彈陷入木塊中, 不再穿出, 而木塊盪高的高度為 h 求 : () 子彈未射入木塊前的速度 () 損失之力學能 思路 : 子彈射入木塊為完全非彈性碰撞, 碰撞前後水平方向總動量守恆 解 () 子彈與木塊在水平方向作完全非彈性碰撞, 則利用動量守恆 m 0 ( m m ), 而後木塊以 速度擺至最大高度 h 處, ( ) ( ), gh 代回上式, m m m m gh m m m m, m m gh

60 基礎物理 ( 二 ) 可看出子彈初速 愈大, 木塊盪高的高度愈大, 測量高度 h 可計算出子彈的初速 m m () 碰撞前系統的力學能 E m m( gh), m ( m m ) m m E gh ( m m) gh, m m 碰撞後系統的力學能 E ( m m ) ( m m ) gh, m m m 損失的力學能 E E ( )( m m) gh ( m m ) gh m m 裡去了? 若木塊愈重, 則子彈碰撞前後所損失的動能是愈多還是愈少? 損失的動能哪

第九章碰撞 6 延伸閱讀 : 碰撞過程的分析 碰撞過程歷時很短, 一般說來我們在討論碰撞問題的時候, 只需考慮碰撞前後的 速度, 再依動量守恆與能量關係即可求解 但是若仔細分解碰撞過程的各個階段, 我 們更可以知道兩物體碰撞過程中作用力作功, 以及彈性位能與動能間關係 分別以 若在一直線上有質量分別為 m 與 m 的兩物體, 假設在時刻 t 0 時, 和 兩物體 與 的初速向右方移動且彼此相隔一段距離, 如圖 9-9 所示 在時刻 t 時兩 物體開始接觸, 因物體變形而產生 兩物體間交互作用力, 分析可知 物體受到來 自 物體的作用力 F ( 與速度 的方向相反 ) 而減速, 而 物體則受到來自 物體 的力 F 作用而加速, 其中 F F 且 F 與 F 二力的量值與物體變形的程度有關, 不 為恆定量值的力 自時刻 t 起, 碰撞初期兩物體間距離逐漸縮短, 但 物體因 F 作用 而速度漸減, 而 物體的速度則漸增 兩物體在時刻 t 時速度相等, 為兩物體系統的 質心速度 C, 此時兩物體間的距離達到最小值, 而物體間交互作用力達到最大 圖 9-9 兩物體的一維碰撞過程的各個階段分析

6 基礎物理 ( 二 ) 時間間隔 t t內為碰撞開始到兩物體間距離最短時, 物體受到向左的作用力 F, 但是其位移的方向向右, 故 的量值較 負功的絕對值大於 F 對 物體作負功 ; 同理 F 則對 物體作正功 大, 因此在同一時間內 物體的位移量值較 物體大, 也就是說 F 所作 F 所作正功的絕對值, 因此就兩物體組成的系統而言, 內力對系統 所作的總功為負值, 由功能定理可知在 t t時間間隔內, 系統的總動能減少, 而減 少的動能轉變為因物體變形而儲存的位能 ( 類似於彈性位能 ) 時刻 t 之後, 物體仍持續減速, 而 物體則繼續加速, 相對運動下兩物體間的 距離開始增長 在時刻 t 3 時, 兩物體之間的交互作用力降至零, 碰撞過程結束, 此時 兩物體的速度分別為 和 時間間隔 t t3內為兩物體間距離最短時至碰撞結束, 由於 量值較 大, 因此在同一時間內, 物體的位移量值較 物體小, 就此兩物 體組成的系統而言, 內力所作的總功為正值, 由功能原理可知這將使系統的總動能增 加, 而增加的動能正來自於時間間隔 t t內累積位能的釋放 統合說來, 碰撞過程起先系統的總動能漸減, 直到兩物體最接近時, 其總動能最 小, 系統所減少的動能以位能的形式儲存在系統內 ; 之後所儲存的位能釋放出來轉變 為動能, 系統總動能漸增 若所儲存的位能釋放能夠無損耗地完全轉換為動能, 系統 總動能在碰撞前後維持不變者, 稱為彈性碰撞 ; 若這過程中有能量的損耗, 則稱為非 彈性碰撞 ; 若兩物體碰撞後合為一體一起運動, 碰撞過程所減少的動能, 完全無法轉 換回動能者, 稱為完全非彈性碰撞

第九章碰撞 63 9- 碰撞與動量守恆律. 碰撞指的是一個系統的運動狀態, 在一很短的時間內發生顯著的變化, 碰撞前後的總動量是守恆的. 如果碰撞過程中, 只有保守力作功, 系統的總力學能守恆, 稱為彈性碰撞 3. 碰撞結束後系統總動能回復為碰撞前的原值者, 稱為彈性碰撞 ; 碰撞結束後系統總動能不能回復為原值, 稱為非彈性碰撞 ; 如果兩物體在碰撞後具有相等速度, 也就是兩個物體在碰撞後連結在一起運動, 稱為完全非彈性碰撞 9- 彈性碰撞 4. 兩物體作一維彈性碰撞時, 兩物體碰撞前的相對接近速度與碰撞後的相對分離速 度相等 5. 在 x 軸上運動質量各為 m 和 m 的兩物體發生彈性碰撞, 其初速度分別為 和, 碰撞後的速度分別為 和, 各物理量之間關係為 : m m m m m m, m m m m m m m m 6. 考慮在光滑的水平面上兩物體, 發生二維彈性碰撞後分開, 碰撞前後的總動量是 守恆的, 若兩物體作彈性碰撞, 則碰撞前後兩物體的總動能相等 9-3 非彈性碰撞 7. 非彈性碰撞伴隨有動能的損失, 然而在碰撞前後的總動量仍是守恆的 8. 兩物體作一維非彈性碰撞時, 碰撞前的相對接近速度量值 ( ) 大於碰撞後的 相對分離速度量值 ( ) 9. 假設碰撞過程中系統所受的外力和為零, 因此系統的質心作等速運動, 即碰撞前 後系統的質心速度 C 保持不變 系統的動能 K C為 : K C ( m m ) m m

64 基礎物理 ( 二 ) 觀念題. 物體與 物體發生碰撞, 則 兩物體的動量就會守恆嗎?. 兩物體 與 物體發生碰撞, 則 兩物體的力學能只可能守恆或減少嗎? 3. 一球落至地面而反彈, 可能與地面發生彈性碰撞或非彈性碰撞, 則哪一種碰撞與地面間的作用力最大? 哪一種碰撞球失去的能量最大? 4. 質量大的物體與質量小的物體發生正面碰撞時, 質量大的物體的運動方向必不會改變? 5. 衝擊擺可以用來測子彈的速度, 那麼你覺得可以修改這個裝置來驗證動量守恆嗎? 基礎題 9- 碰撞與動量守恆律. 質量.0 公斤和.0 公斤之滑車, 用彈簧聯繫一起向東作 0 公尺 / 秒之等速運動, 中途彈簧彈開以致.0 公斤滑車改向西以 40 公尺 / 秒之速度運動, 則.0 公斤滑車之速度為何? 9- 彈性碰撞. 如右圖示, 若 的質心速度為 6.0 公尺 / 秒, 則作正面彈性碰撞後 的速度分別為何?

第九章碰撞 65 3. 一力常數為 k 的輕彈簧, 固定在一質量為 m 且靜止 於光滑水平地面的木塊 上, 另一質量為 m 的木 塊 以速度 正面碰撞彈簧, 如圖所示, 則彈簧的 最大壓縮量為何? 4. 一斜面的質量為 M m, 一物體的質量為 m, 同置於一光滑水平面上 物體以 的初 速朝靜止的斜面運動, 如右圖所示 若地面 斜面與物體間無摩擦, 則物體沿斜面上升的 最大高度為何? 5. 質量 m 公斤之物體以 E 焦耳之動能和靜止之 m 公斤之物體作正面彈性碰撞, 求 在相距最近時的總動能 6. 在一光滑的水平直線軌道上, 有一滑車以等速度朝正 x 方向移動 在某一時刻 t 0, 此滑車分裂成兩截, 仍繼續在直線軌道上運動 若在全部過程中, 無質量損失且 物體不受外力的作用, 則下列哪一個位置 - 時間 ( x t) 圖, 可能表示原來的滑 車及其所分裂成的兩截滑車的運動? () () (C) (D) (E)

66 基礎物理 ( 二 ) 9-3 非彈性碰撞 7. 質量為 M, 速度為 5 向北運動的甲球和質量為 3M, 速度為 4 向東的乙球作完 全非彈性碰撞, 則碰撞後損失多少動能? 8. 一子彈質量為 m, 速率, 水平射擊, 恰可射穿一厚度為 d, 質量為 M, 且固定於 水平面的均質木塊 現將同樣的木塊靜置於一光滑水平面上, 未加以固定 用同 樣子彈, 相等的射速, 水平射擊木塊 設阻力為定值, 則可射入木塊的深度為何? 9. 一質量為 4m 的甚大光滑平板水平放置, 其上有一質量為 m 的銅幣, 銅幣與平板間的動摩擦係數為, 重力加速度為 g, 若用手一推, 突然使平板以速度 運動, 則銅幣對平板呈靜止, 是在平板運動後若干時間? 0. 若一質量為 m, 速率為 之物體, 與另一質量為 3m 之靜止物體作完全非彈性正 面碰撞, 則碰撞前後系統之總動能的損失率為若干?. 一單擺擺長 0.0 公分, 擺錘為質量 90.0 公克的木 塊, 今有一質量 0.0 公克的子彈以 0.0 公尺 / 秒 的水平速度向靜止的擺錘射入, 且停留其內, 如右 圖所示 不計空氣阻力的影響, 此單擺可上升之最 大鉛直高度為多少公分?( 設重力加速度 g 0.0公 尺 / 秒 )

第九章碰撞 67. 如圖所示, 在光滑水平面上有一系統, 由質量同為 m 的三個質點 和 C 組成 此三質點均在 x 軸上, 且 和 C 之間以一條力常數為 k 的輕彈簧相連接, 當 與 C 為靜止, 且彈簧處於無伸縮狀態時, 以速度 沿 x 軸前進與 發生完全非彈性碰撞 假設在 和 碰撞期間,C 保持靜止不動, 且此時彈簧長度的縮短量可忽略不計 則彈簧長度的最大縮短量為何? 3. 甲 乙兩球在一直線上相向運動, 作正面碰撞後, 甲球速度的方向與原運動方向相反, 乙球靜止 由此可知 : () 碰撞前後的甲球動量的量值必較乙球小 () 碰撞前, 甲球的速率必較乙球小 (C) 碰撞時, 甲球所受的衝量較乙球大 (D) 碰撞前, 甲球的動能必較乙球小 (E) 甲球的質量必較乙球小 綜合題. 質量 m 之球自距地面 h 高度自由落下, 若碰撞地面後的瞬間速率與碰撞前的瞬間 速率的比值為 e, 則當其達地反彈後, 損失的力學能為若干? *. 如圖所示, 在光滑水平面上有相互重疊之甲 乙兩木 塊, 其質量比為 : 起初, 甲木塊靜止在水平面上, 而乙木塊在甲木塊上之左緣以初速 向右運動 () 假設甲木塊夠長, 使得乙木塊不會掉落到水平面上 一段時間後, 甲 乙兩木 塊以同一速度 f 運動, 求 f () 請舉出甲 乙兩木塊系統間的內力為何?

68 基礎物理 ( 二 ) 3. 兩支長度皆為 L 的單擺, 其擺錘的質量分別為 m 與 m 今將擺錘 m 拉起到水平位置後釋放, 如右圖所 示, 已知兩擺錘在最低點處發生直線彈性碰撞, 且 L m 碰撞後 m 上升的高度為, 則 m 之值為何? 4. 甲 乙為質量相等的兩質點, 在光滑水平面上以同一速率, 沿著不同方向分別作 等速運動 隨後它們彼此碰撞而結合成一體, 並以速率 沿 x 軸方向前進 已知 在過程中外力的合力為零, 則甲質點在碰撞前的運動方向與 x 軸夾角是多少? ()0 () 30 (C) 45 (D) 60 (E) 90 0 指考 5. 如圖所示, 兩小球的質量均為 m, 以長度相等的兩細繩分別懸吊 其中一球仍靜止於懸吊位置, 另一球則左移, 使它升高 h, 釋放後兩球相撞而結合為一, 則結合體所能達到的最大高度若干? 6. 一質量為 0.50 公斤之球體以 0.0公尺 / 秒的速度水平射至垂直的磚牆, 入射 點距地面的高 h 4.90公尺, 球體以速度 水平反彈而落至距牆基 5.0 公尺的地 面上, 求此球體碰撞磚牆時所損失的能量為若干?

第九章碰撞 69 7. 質量為 m 的甲物體, 以初速度 0 朝 x 方向運動 ( 0 0), 與質量為 m, 原為靜 止之乙物體產生一維碰撞 碰撞後甲物體之速度為 ; 乙物體之速度為 ( 朝 x 方向為正值 ), 則下列敘述, 何者為正確? () 如 0, 則 m 一定大於 m () 如 0, 0, 則 m 一定等於 m (C) 如 0, 則此碰撞一定是彈性碰撞 (D) 如 m m m 0, 則此碰撞一定是彈 性碰撞 (E) 如, 則此碰撞一定是非彈性碰撞 89 日大 題組 如圖所示, 水平光滑桌面上的甲球向右等速滑行, 過程中無滾動, 接著與靜置於桌邊的乙球作正面彈性碰撞 已知甲 乙兩球半徑相同, 質量分別為 m 及 m, 則 :. 甲 乙兩球碰撞後瞬間速率的比值. 碰撞後兩球各自落於水平地面上, 落地過程中兩球僅受重力, 落地點與鉛直桌邊底部的水平距離分別為 P 和 Q, 則甲 乙兩球落地點與鉛直桌邊底部的水平距離 P 和 Q 的比值為何? 改寫自 00 指考