第七章 二次函數 壹 重點整理 1. 函數的意義 : 函數是一種對應關係, 可以一對一或多對一, 但不可一對多或一對無. 函數圖形的檢驗法 : 對 x 軸作垂線, 若與 x 軸僅交於一點, 即是函數圖形 3. 函數值的求法 : 函數 x f, 當 0 xa 時其函數值為 a 1 f 4. 二次函數 : 設 a, b, c 為常數且 a 0, 則 y f ( x) ax bx c 所表示的函數叫做二次函數, 其圖形為拋物線 5. 畫二次函數圖形的步驟 : (1) 利用配方法或公式法找出圖形的頂點坐標 () 描點 ( 至少五點 ), 再以平滑曲線連接 6. 由係數判別圖形 : a x h k ax bx c( a 0) y, (1) 二次函數其圖形為軸對稱的拋物線圖形 () 開口方向 : 若 a 0, 則開口向上 ; 若 a 0, 則開口向下 (3) 開口大小 : 若 a 較大, 則開口較小 ; 若 a 較小, 則開口較大 (4) 圖形平移 : y a x h k (5) 頂點坐標為 k 的圖形是將 y x 向右平移 h 單位長, 再向上平移 k 單位長 b b 4ac b D h, 或為(, ) 或為(, ) a 4a a 4 a b x a (6) 對稱軸方程式為 x h 或為 (7) 若 b 0, 則頂點在 y 軸上 (8) 若 c 0, 則圖形通過原點 (9) 若 b c 0, 則頂點在原點 7. 二次函數 y ax bx c (1) 與 x 軸交點坐標求法 : 令 y 0 () 與 y 軸交點坐標求法 : 令 x 0 ( a 0 ) 與 x 軸 y 軸交點坐標求法 : (3) 拋物線與 x 軸不一定有交點, 但與 y 軸一定有交點 8. 由圖形判別係數 : 設二次函數 y ax bx c (1) a : 由開口方向決定 開口向上 a 0 ; ( a 0 ),
開口向下 a 0 () b : 由頂點的 x 坐標決定 (3) c : 由圖形與 y 軸交點決定 (4) b 4ac : 由圖形與 x 軸的交點決定 交兩點 交一點 無交點 b 4ac >0 b 4ac =0 ( 交一點又稱為相切 ) b 4ac <0 例 : 如右圖試判斷 a, b, c 的正負值解 :(1) 開口向上 a 0 b () >0, 又 a 0 b 0 a (3) 與 y 軸交於正向 c 0 (4) 與 x 軸無交點 b 4ac <0 O 9. 二次函數最大值與最小值的求法 : (1) 配方法 : 將原式化為 y a x h k 圖形頂點為 h, k 則 : 若 a 0 時, 當 x h 時, y 有最小值 k 若 a 0時, 當 x h 時, y 有最大值 k () 公式法 : 二次函數 y ax bx c 若 a 0 若 a 0 b a 時, 則當 x b a 時, 則當 x ( a 0 ) b 4ac 時, y 有最小值 4a b 4ac 時, y 有最大值 4a y x 10. 二次函數的假設法 : (1) 若二次函數通過 A x 1, y 1 B x, y x, y 3 3 C 三點, 則設此二次函數為 y ax bx c () 若二次函數的頂點為 h, k, 又經過 C, 則設此二次函數為 y a x h k x 1, y 1 (3) 若二次函數與 x 軸的交點為 (α,0),(β,0), 則設此二次函數為 a x x 11. 兩正數和一定時, 則當兩數相等時, 其乘積為最大, 其平方和為最小 1. 設 A ( a), B( b) 為數線上相異兩點, 若 P (x) 是數線上任一點, 則 : a b 當 x 時, PA PB 有最小值 y
貳 例題老師講解 1 描繪下列函數圖形在同一座標上 : ( 1) y x () y x 學生演練 1 描繪下列函數圖形在同一座標上 : (1) y x () y x 1 1 ( 3) y x (4) y x (3) y 3x (4) y 3x 3 老師講解 描繪下列函數圖形 : y 5x 1 學生演練 描繪下列函數圖形 : y 3 x 3
老師講解 3 寫出下列各二次函數圖形的頂點座標及開口 方向 ( 向上或向下 ) 學生演練 3 寫出下列各二次函數圖形的頂點座標及開口 方向 ( 向上或向下 ) 函數 y 1 x 4 3 頂點座標 1 y x 4 1 函數 y x 4 y x 頂點座標 開口方向函數 y 5x 1 y x 3 頂點座標開口方向 開口方向函數 y 1 x 3 5 頂點座標開口方向 y x 1 3 老師講解 4 在同一個座標平面上, 比較下列各二次函數圖形的開口大小 1 (1) 甲 : y x, 乙 : y 3x, 丙 : x 學生演練 4 說出下列各二次函數開口的方向, 並比較開口 的大小 (1) y x () 1 y x (3) y 3x 1 (4) y x 3 () A : y x, B : y x, C : y x 3 4
老師講解 5 (1) 二次函數 5 y x 1的圖形, 可由 y 5x 的 圖形向 移動 單位長得到 學生演練 5 (1) 將 y 3x 的圖形向下移動 單位長, 可 得到二次函數 y 的圖形 () 1 1 y x 的圖形, 可由 y x 的圖形 3 3 向 移動 單位長得到 1 () 將 y x 的圖形向上移動 3 單位長, 可 得到二次函數 y 的圖形 老師講解 6 二次函數 y 5x 5, 其圖形 (1) 開口方向為何? () 對稱軸之方程式為何? (3) 頂點座標為何? (4) 圖形與 x 軸之交點為何? (5) 與 y 3x 5圖形比較, 何者開口較大? 學生演練 6 二次函數 y 4x 8, 其圖形 (1) 開口方向為何? () 對稱軸之方程式為何? (3) 頂點座標為何? (4) 圖形與 x 軸之交點為何? (5) 與 y x 3圖形比較, 何者開口較大? 5
老師講解 7 6 f(x)= x x 3 x 1 試求 f()+f(5)=?, x 1, 1 x,, x 學生演練 7 x 1 f(x)= 3x 1x 36 則 f(-.5)=?, x 1, x 1,, x 老師講解 8 (1) 二次函數圖形之頂點為原點, 對稱軸為 y 軸, 且通過點 (1,3), 求此二次函數 學生演練 8 (1) 二次函數圖形之最高點為 (0,) 且通過 (3,0), 求此二次函數 () 二次函數之圖形通過 (0,3) (1,4), 且 對稱於 y 軸, 求此二次函數 () 二次函數圖形與 x 軸交於 (3,0) (-3,0) 兩點, 與 y 軸交於 (0,9), 求此二次函數 6
老師講解 9 下列為二次函數 y ax bx c 之圖形 設 D b 4ac, 試判別 a, b, c, D 的正 負或零 (1) () 學生演練 9 下列為二次函數 y ax bx c 之圖形 設 D b 4ac, 試判別 a, b, c, D 的正 負或零 (1) () (3) (4) 老師講解 10 1 二次函數 y ( x ) 的圖形與 x 軸的交點 座標為? 與 y 軸的交點座標為? 學生演練 10 二次函數 y x x 3 的圖形, 與 x 軸交於 A B 兩點 ; 與 y 軸交於 C 點, 試求 ABC 之面積? 7
老師講解 11 描繪下列函數圖形, 並寫出頂點座標, 標出對稱軸 (1) y x () y x 1 1 學生演練 11 描繪下列函數圖形, 並寫出頂點座標, 標出對稱軸 x 3 () y x 1 ( 1) y 1 (3) y x 3 (3) y x 3 (4) y x 1 3 (4) y x 1 4 8
老師講解 1 直線 y 9與拋物線 y x 相交於 A B 兩點, 則 AB =? 學生演練 1 二次函數 y 4x 1 k, 若其圖形與 x 軸交於一點, 則 k =? 交點座標為? 老師講解 13 將函數 y 3x 的圖形向左平移 1 個單位, 再 向上平移 3 個單位, 求新圖形之函數 學生演練 13 原將函數 y ( x 1) 的圖形向左平移 個單位後, 求新圖形之函數 老師講解 14 二次函數 y ( a 1) x x 1, 若其圖形與 x 軸交於兩點, 則 a 之範圍為? 學生演練 14 二次函數 y x x c, 若此二次函數與 x 軸交於兩點, 則 c 之範圍? 9
老師講解 15 二次函數 y x x k, 若其圖形全部在 x 軸之上方, 則 k 之範圍為? 學生演練 15 二次函數 y ax x a, 若其圖形全部在 x 軸之下方, 則 a 之範圍為? 老師講解 16 拋物線 f x ax bx c (4,0) 三點, 則 f 3 =? 通過 (-1,0) (0,) 學生演練 16 y ax bx c 之圖形和 x 軸交於 (-1,0) (4,0), 且過 (0,3), 試求 a b c =? 10
老師講解 17 描繪下列函數圖形, 並寫出頂點座標, 標出對稱軸及 y 的最大值或最小值 (1) y x 4x 1 學生演練 17 描繪下列函數圖形, 並寫出頂點座標, 標出對稱軸及 y 的最大值或最小值 (1) y x 4x 3 ( ) y 3 x x () y 3x 6x 1 11
老師講解 18 設二次函數圖形如右圖, 求此二次函數為 y (-,3) 學生演練 18 設二次函數圖形如右圖, 求此二次函數為 y (-5,0) O (-,0) O (0,6) x 老師講解 19 二次函數圖形的最高點座標為 (1,16), 且與 x 軸相交之兩點距離為 8, 求此二次函數為? 學生演練 19 設二次函數圖形通過點 (0,10) 與 (-1,16), 且圖形對稱於 x, 求此二次函數為? 1
老師講解 0 二次函數 y ax bx 1的最高點座標為 (-1,), 則 a b =? 學生演練 0 二次函數 y ax bx c 的圖形通過 (0, 5 ), 且 (3,-) 為其最低點, 則 a b c =? 老師講解 1 若 x y 4, 則 :(1) xy 之最大值為? () x y 之最小值為? 學生演練 1 若 x y, 則 xy x 1之最小值為? 13
老師講解 3 二次函數 y ax 1x b 在 x 時, 有最大 值 10, 則 : a =? b =? 學生演練 二次函數 y 3 x ax b, 當 x 3時, 有最大值 4, 求 a b 之值 老師講解 3 二次函數 y x ax 3, 當 x 1時, 有最小值 m, 求 : a m 之值 學生演練 3 二次函數 y ax bx 在 x 1時, 有最小值 -1, 則 : a =?b =? 14
老師講解 4 數線上 A B 兩點的坐標為 -5 9, 設 P 為數線上的點, 求 : (1) PA PB 的最小值 () P 點坐標 學生演練 4 數線上 A B C 三點的坐標為 -5 9-7, 設 P 為數線上的點, 求 : (1) PA PB PC () P 點坐標 的最小值 老師講解 5 二次函數 y x 6x 10, 當 1 x 4 時, 試求 y 之最大值與最小值? 學生演練 5 二次函數 y x 4x 5, 當 0 x 4, 試求 y 之最大值與最小值? 15
老師講解 6 某人想用 100 公尺的籬笆圍成一個長方形的菜圃, 應如何圍法可使所圍的面積最大? 又最大面積為多少? 學生演練 6 某人以 00 公尺長的鐵絲網在河邊圍一長方形的菜園, 河邊當作一直線而不圍, 問所能為成的最大面積是多少? 老師講解 7 一果園中種了 5 棵橘樹, 每棵平均可生產橘子 450 個, 若在此園中, 每加種 1 棵, 則每棵平均生產量減少 10 個, 問應加種幾棵, 才能使此園的產量達到最大? 最大產量是多少? 學生演練 7 農夫在柑園種了 30 棵柑數, 每棵平均年產 450 個柑子, 若在此園中, 每加種 1 棵, 則每棵平均年產量減少 5 個, 問應種幾棵, 才能使此園的年產量達到最大? 最大產量是多少? 16
老師講解 8 某電影院, 每張票價 80 元時, 觀眾有 1000 人, 若票價每減 元, 則觀眾就增加 50 人, 問每張票應訂價多少元, 才能使電影院的收入最多? 最多共可收到多少元? 學生演練 8 某展覽會, 每張票價 30 元時, 觀眾有 800 人, 若票價每減 1 元, 則觀眾就增加 50 人, 問每張票應訂價多少元, 才能使該展覽會的收入最多? 最多共可收到多少元? 老師講解 9 在高山海面 18 公尺的岩石上, 向海面上空拋 出一石子 ( 如圖 ), 同時看錶針時, 已知高度 y( 公尺 ) 為時間 t( 秒 ) 之二次函數, 關係如下 : t t 16t 18 y f, 求 : (1) 此石子擲出經幾秒後, 可達到最高? () 此時最高的高度為多少公尺? (3) 石子從拋出到落入海面前, 一共在空中停 留幾秒? 高 y 度 學生演練 9 一人站在 100 公尺高的塔頂, 向上擲一球, 經 t 秒後, 其高度為 s 公尺, 但是 s 與 t 之關係式如 下 : s f t 100 1t t, 今若視此關係是為 一二次函數, 求 : (1) 此球擲出經幾秒後, 可達到最高的高度? () 此時最高的高度為多少公尺? (3) 此球擲出經幾秒後才落到地面? O t( 時間 ) 17
參 習題 1. 下列二次函數中, 寫出頂點座標, 對稱軸及 y 的最大值或最小值 函數 開口方向 頂點座標 對稱軸 與 x 軸交點的個數 與 y 軸的交點座標 最大 ( 小 ) 值 y 3x 1 最 值為 y x 4x 最 值為 y ( x 1) 最 值為 y ( x 4) 5 最 值為 y x x 8 最 值為 y 3x 6x 7 最 值為. 二次函數之圖形和 x 軸交於 (-3,0) (3,0), 且過 (0,9), 試求此二次函數為? 3. 二次函數 y x x 3的圖形, 與 x 軸交於 A B 兩點 ; 與 y 軸交於 C 點, 試求 ABC 之面積為? 1 4. 二次函數 y x 的圖形, 向右平移 4 單位長, 再向上平移 1 單位長後, 新圖形之二次函 數為? 18
5. 二次函數 y x 4x 3的圖形, 向左平移 3 單位長, 再向下平移 單位長後, 新圖形之二次函數為? 6. 二次函數的最高點為 (0,), 且通過點 (3,0), 求此二次函數為? 7. 二次函數的圖形通過 (0,3) 及 (1,4), 且對稱於 y 軸, 求此二次函數為? 8. 二次函數的圖形通過 (,3) 及 (-1,6), 其對稱軸為 x 1, 求此二次函數為? 19
9. 一拋物線圖形通過 (1,1) 及 (,8), 又圖形平移後與 示的二次函數為? y 3x 的圖形重疊, 求此拋物線所表 10. 二次函數 y ( a 1) x x 3, 若其圖形與 x 軸交於一點, 則 a =? 交點坐標為? 11. 二次函數 y x ax 1在 x 1時, 有最大值 b, 則 : a =? b =? 1. 二次函數 y ax bx c 在 3 x 時, 有最小值 -, 其圖形通過 (0,7), 則數對 ( a, b, c )=? 0
13. 二次函數 y x x, 當 x 0, 試求 y 之最大值與最小值為? 14. 二次函數 y ax, 當 x 4, y 有最大值 0, 最小值 -8, 求此二次函數為? 15. 數線上 A B 兩點的坐標為 7, 設 P 為數線上的點, 求 : (1) PA PB 的最小值為? () P 點坐標為? 16. 某人想用 100 公尺的籬笆圍成一個長方形的菜圃, 應如何圍法可使所圍的面積最大? 又最 大面積為多少? 1