篇名 --- 海峽兩岸大學入學考試數 學科試題的探討與研究 作者 駱勁言 台北市立內湖高中 二年八班 謝佼彣 台北市立內湖高中 二年八班
壹 前言 一. 研究動機 我們在上課時經常有機會接觸到大陸數學科的試題, 在解題的過程中, 覺得兩岸數學試題重點及難度似乎都不相同, 因此引起我們的興趣想要了解兩岸高中數學教育內容的差異, 於是我們選定兩岸大學入學考試數學科試題當研究對象, 試圖藉由試題的比較與分析, 對兩岸高中在數學科上的教學內容及重點有所探討與了解 二. 研究目的. 探討數學科在兩岸大學入學考試中的重要性. 分析兩岸大學入學考試中數學科試題的內容及重點. 比較兩岸大學入學考試中數學科試題的難易度 三. 研究範圍 本論文所探討的數學科試題係以西元 997 至 006 年, 海峽兩岸正規大學入學考試文理組試題為研究對象 ( 亦即不包含夜間部及推廣教育學程的入學試題以及學科能力測驗之試題 ), 其中中國大陸的數學科試題因其每年全國卷有 4 到 5 份, 其教育部考試中心宣稱, 每份試題的內容及難度均無太大差異, 故我們便隨機選取一份試題作為分析比較的依據 四. 研究方法與流程. 研究方法透過網際網路資料 書籍及與大陸大學生的訪談, 整理出兩岸大學入學考試中數學科所扮演的角色, 並針對近十年間兩岸的數學科試題進行內容與重點的分析, 並利用簡單隨機抽樣方法編製兩岸試題的混合試卷, 經由本校 ( 台北市立內湖高中 ) 二 三年級學生的試測, 探討兩岸數學科試題的難易度, 在研究過程中, 我們亦請教了數學科教師們, 請其提出專業性的分析意見, 最後建構出本論文的研究內容
. 研究流程研究方法 研究動機 目的 界定研究範圍及方法 文獻探討 收集資料 資料彙整 資料數量建置統計圖比較試題 分析與討論 結論
貳 正文 一 數學科在台灣及中國大陸大學入學考試中所扮演的角色 : 首先, 我們以下列的表格來說明兩岸大學入學考試中學生必須應考的科目 : 中國 台灣 科目理科 : 測驗範圍 考試時間 報名時間 文科 : 語文 ( 國文 ) * 外語 ( 英語 ) 數學 社會綜合科 : 政治 ( 公民 ) 歷史 地理 ( 三合一 ) ( 語文 外語 數學必考 ) 語文 ( 國文 ) * 外語 ( 英語 ) 數學 自然綜合科 : 物理 化學 生物 ( 三合一 ) ( 語文 外語 數學必考 ) 報名 : 考試 : 高一 高二 高三,. 學科能力測驗 : 國文 英文 數學 自然和社會 ( 五科都必應考 ). 指定科目考試 : 國文 英文 數甲 數乙 歷史 地理 物理 化學和生物 ( 考生 可以根據自己的興趣能力以及志 願校系所採計的考科選擇應考科 目 ). 學測 : 高一 高二, 兩學年的課程 三學年的課程. 指考 : 高一 高二 高三, 每年 月 每年 7 月 三學年的課程 報名 :. 學測 : 高三上學期. 指考 : 每年 5 月 : 考試 :. 學測 : 高三寒假期間 ( 約. 月 ). 指考 : 七月 日
成績計算. 原始分制度 : 某科高考 * 課程的原始分, 在該課程試卷上按評分標準所評得的卷面分數, 其本質是答對率 高考成績通知單是報告各科原始分和由各科原始分累加而得的原始分總分. 標準分制度 : 標準分制度是根據教育測量學理論建立的一套有關分數報告 分數解釋和分數使用的制度 它向考生報告各科標準分及百分等級, 報告總分 ( 改. 學測 : 選擇題答錯不倒扣, 各科分數以級分呈現, 分 5 級分 * ( 取所有考生的前 % 的考生的成績來算平均算出來的平均除以 5 就是組距 考生的分數除以 5 後, 得到的數, 小數點無條件進入, 就是你該科的級分, 若是超過 5, 則以 5 級分計 ). 指考 : 各科分數滿分 00 分, 選擇題答錯會倒扣 根據各校系的需要, 在各科分數上加權計分 稱綜合分 ) 的標準分百分等級 表一兩岸大學入學考試中學生必須應考的科目 ( 註一 ) * 表格說明 :. 大陸所謂的高考即是台灣的大學入學考試. 大陸高考資料提供 : 中國蘭州大學 經濟研究所學生 王志玲 蘭州大學 語文研究所學生 夏云嬌 蘭州西北師範大學 大學部語文系一年級 汪小珊 由上表得知, 兩岸在大學入學考試科目中相同的部分是文理組各考科都一樣, 不同的是大陸採取的是三加一 ( 三加一則是國英數加上文組綜合科的政治 歷史 地理或理組綜合科的物理 化學 生物 ) 台灣則可由學生依個人興趣及能力考量而自由選考, 以數學科而言, 大陸無論是文組或理組, 數學均是必考科目 ; 而台灣則不是每個科系均採計數學, 若以 006 年為例, 文組 ( 第一類組 ), 共 8 個學系中, 採計數學的有 68 個學系 ; 理組 ( 第二類組 ), 共 444 個學系中, 採計數學的有 44 個學系 ; 理組 ( 第三類組 ), 共 44 個學系中, 採計數學的有 6 個學系 ( 註二 ), 故從數學科在兩岸大學入學考試中的角色來看, 大陸仍將數學能力視為修讀大學必要的能力, 而台灣部分大學科系則認為並非如此 ( 尤其是大多數的文學院, 大眾傳播學院及部分法學院的科系 ) 4
二. 試題內容分析 台灣和中國近 0 年來的出題內容, 我們以單元為分類標準整理出下列表格 : (0) 第一部分 : 台灣和大陸理組數學出題單元的出題率 基礎概念 0% 圓與球面.9% 平面座標幾何.4% 圓錐曲線.9% 整數.9% 排列組合 機率 7.% 多項式.9% 統計 4.% 指對數 8.6% 導數與極限 7.% 三角函數 0% 一次方程組 矩陣 8.6% 空間向量 4.% 平面向量.4% 不等式 4.% 複數.4% 表二台灣近十年大學入學考試理科數學出題單元比例統計 ( 註三 ) 集合與簡易邏輯 4.% 圓方程式 5.% 函數 9.5% 圓錐曲線.6% 數列 7.9% 直線方程式.% 三角函數 4.% 指對數運算 0.% 平面向量.6% 極限 導數 0.% 不等式.6% 複數 4.% 空間幾何.% 機率.6% 表三大陸近十年大學入學考試理科數學出題單元比例統計 ( 註四 ) * 說明 :. 隸美弗定理在中國大陸試題分類中是包含在複數這單元, 在台灣則是 包含在三角函數裡. 中國大陸將指對數分成指對數性質和指對數運算, 而指對數的函數性 質是包含在函數單元裡, 指對數的運算則是另列一個單元 ; 台灣則是 將指對數相關的內容全部列在指對數的單元裡 5
由以上的表格可以看出海峽兩岸在 理科數學 的出題單元確實有些相同及相異 之處, 分述如下 : A. 出題內容 : a 台灣和大陸出題都偏重於 三角函數 圓錐曲線 排列組合與機率 和 導數與極限 這些單元 b 台灣理組試題獨有 統計 及 矩陣 兩個單元 c 空間幾何這單元在大陸考題中佔有極重比例, 台灣則不然 B. 考試題數和時間 : 中國大陸出題數在 0~5 題之間, 台灣出題數則為 ~ 題, 在考試時間的分配上中國大陸是 50 分鐘, 台灣則是 60 分鐘 C. 考試題型 : 中國大陸考題較偏重函數性質與圖形的探討與建構, 台灣則是較重生活應用問題, 以 004 年的兩岸數學科試題 ( 註五 ) 為例, 中國大陸在函數性質與圖形出題比例佔該年試題的 6%; 台灣生活應用題的出題比例則佔該年試題的 0% (0) 第二部分 : 台灣和大陸文組數學出題單元的出題率 數 4% 一次方成組.% 與行列式 數列與級數 5.5% 圓與球面 5% 直線方程式 % 圓錐曲線 6.% 不等式 ( 線性規劃 ) 7.6% 排列組合 5.5% 多項函數及方程式 8.% 機率 9.7% 指對數 % 平面向量.8% 三角函數 9.7% 統計 9% 空間幾何 ( 空間向量 ) % 矩陣.% 表四台灣近十年大學入學考試文科數學出題單元比例統計 ( 註六 ) 6
集合與簡易邏輯.7% 圓方程式 4.% 函數.0% 圓錐曲線 9.8% 數列.% 直線方程式.0% 三角函數.4% 排列組合 6.% 平面向量.% 極限 導數 8.5% 不等式.0% 複數.% 空間幾何.6% 機率 6.7% 指對數.8% 表五大陸近十年大學入學考試文科數學出題單元比例統計 ( 註七 ) * 說明 :. 不同的地方是隸美弗定理在中國大陸裡是包涵在複數這單元, 在台灣則是包含在三角函數裡. 中國大陸將指對數分成指對數性質和指對數運算, 而指對數的函數性質是包含在函數單元裡, 指對數的運算則是另列一個單元 ; 台灣則是將指對數相關的內容全部列在指對數的單元裡 由以上的表格可以看出海峽兩岸在 文科數學 的出題單元確實有些相同及相異 之處, 分述如下 : A. 出題內容 : a. 台灣和大陸出題皆比較偏重在 空間幾何 圓錐曲線 三角函數 機率 等單元 b. 而台灣文組試題獨有的單元有 敘述統計 及 矩陣 ; 大陸文組獨有的單元則是 極限與導數 B. 考試題數和時間 : 中國大陸出題數在 0~5 題之間, 台灣出題數 ~ 題, 在考試時間的分配上 中國大陸是 50 分鐘, 台灣則是 60 分鐘 C. 考試題型 : 中國大陸考題較偏重函數性質與圖形的探討與建構, 台灣是較重於生活應用問題, 以 005 年的兩岸數學科試題 ( 註八 ) 為例, 中國大陸的函數性質與圖形出題比例佔該年試題的 6%; 而台灣在生活應用問題出題比例佔該年試題的 50% 7
三. 難度分析 在一開始, 指導老師給我們 本近十年來的試題分類解析以及台北市立內湖高中數學複習講義的書, 要我們取西元 997~006 年的所有數學科指定考科試題以及大陸高考數學科試題, 由於 005 年及 006 年並沒列入書裡, 我們就上網查詢 ( 註九 ), 將這些試題一一按照單元分類後, 利用簡單隨機抽樣的方法將每個單元每題試題編號, 再從每個單元抽出 ~ 題來製作試卷, 分別混合編製成三份不同年級的試卷, 有高一 高二文組以及高二理組等三份試卷, 後再抽出受測班級, 並請求該班導師協助我們進行測驗, 至於高三的部分因課程尚未學習完成, 故無法施行試測 其試測結果如下表 : () 第一部分 : 高一卷, 共 0 題 ( 台灣試題和大陸試題各 0 題 ),8 人測驗 台灣試題每題答對人數和答對率大陸試題每題答對人數和答對率 題號 答對人數答對率 題號 答對人數答對率 第一題 5% 第二題 0 6% 第三題 0 6% 第四題 0 0% 第五題 9% 第六題 0 0% 第七題 5% 第八題 0 6% 第九題 5% 第十題 6 6% 第十一題 % 第十二題 7 8% 第十三題 5% 第十四題 8% 第十五題 9% 第十六題 5 9% 第十七題 9% 第十八題 4 6% 第十九題 % 第二十題 7 8% 平均答對率.% 平均答對率.6% 8
() 第二部分 : 高二理組 (0 題 ) 和大陸理組 (9 題 ) 共 9 題,0 人受測 台灣試題每題答對人數和答對率大陸試題每題答對人數和答對率 題號 答對人數答對率 題號 答對人數答對率 第一題 5% 第三題 8 40% 第四題 9 45% 第五題 55% 第六題 65% 第七題 0 0% 第八題 0 50% 第九題 9 45% 第十題 65% 第十一題 0 0% 第十二題 5 5% 第十三題 4 0% 第十四題 55% 第十五題 5% 第十六題 5% 第十七題 0 0% 第十八題 4 0% 第十九題 0% 第二十題 5% 平均答對率 6.4% 平均答對率 4.9% () 第三部分 : 高二文組 ( 題 ) 和大陸理組 (6 題 ) 共 9 題,5 人受測 台灣試題每題答對人數和答對率 大陸試題每題答對人數和答對率 題號 答對人數 答對率 題號 答對人數 答對率 第一題 5 4% 第三題 8% 第二題 5 4% 第四題 0 0% 第六題 7 0% 第五題 9 6% 第七題 % 第九題 % 第八題 0 0% 第十題 0 0% 第十二題 4 % 第十一題 0 0% 第十三題 % 第十五題 0 0% 第十四題 5 4% 第十六題 9% 第十八題 0 0% 第十七題 9% 第十九題 % 平均答對率.6% 平均答對率 7.% 9
由上述試測結果顯示 : A. 高ㄧ的部分, 台灣平均答對率.%; 中國大陸平均答對率.6% B. 高二文組的部分, 台灣平均答對率.6%; 中國大陸平均答對率 7.% C. 高二理組部份, 台灣平均答對率 6.4%; 中國大陸平均答對率 4.9% 由此可見, 高一的部分, 中國大陸的試題對於台灣的學生似乎較容易 ; 而高二理組中國大陸數學科試題也比台灣的試題容易, 文科試題在難度上則沒有顯著差異, 這樣的試測結果似乎違反了平時的印象, 或許加上高三的部分及增加不同程度的試測對象, 推論可以更精確 参 結論與建議. 數學科在兩岸大學入學考試中的角色來看, 大陸仍將數學能力視為修讀大學必要的能力, 而台灣在大多數的文學科系, 部分傳播學院和法學院, 甚至少數農學院科系則認為非必要之科目. 就兩岸大學入學考試數學科試題的內容而言, 台灣和大陸在理組數學共同著重的單元有三角函數 圓錐曲線 導數與極限及排列組合 ; 而文組共同偏重於空間幾何 圓錐曲線 三角函數及機率等單元. 兩岸大學入學考試數學科試題的難易度經由混合試卷抽測的結果顯示 : 高一的部分, 中國大陸比較簡單 ; 高二理組的部分, 中國大陸也較簡單 ; 高二文組的部分, 難度上則並沒有明顯差異 建議 : 由於我們是用數學科指考試題來做探討, 建議未來可藉由課本習題及例題做 更深入的研究及分析 0
肆 引註資料 註一註二註三註四註五註六註七註八註九 大學入學考試中心及中國教育新浪網 http://www.ceec.edu.tw 及 http://www.neea.edu.cn 同註一數學自然組指定考科試題解析薪橋出版社台灣台北分類解析與應試策略南方出版社任志鴻 004 年 6 月中國海南省同註一數學社會組聯考試題解析薪橋出版社台灣台北同註四同註一同註一
附錄 : 一. 004 年中國大陸高考數學試題. ( 理 )( i ) g i 等於? A. i B. + i C. D. ( 文 ) 設集合 U = {,,,4,5},A={,, },B {,5} A. { } B. {, } C. { } D. {, } =, 則 A ( C B) 等於? U x. ( 理 ) 已知函數 f( x) = lg + x, 若 f( a) = b, 則 f( a) 等於? A. b B. b C. A. b D. b x ( 文 ) 已知函數 f( x) = lg + x, 若 f( a ) =, 則 f( a) 等於? B. C. D. 已知 a b 均為單位向量, 它們的夾角為 60, 那麼 a+ b 等於? A. 7 B. 0 C. D 4 4. 函數的 y = x + ( x ) 反函數是? A. y = x x+ ( x< ) B. y = x x+ ( x ) C. y = x xx ( < ) D. y = x xx ( ) 7 5. ( x ) 的展開式中常數項是? x A. 4 B. 4 C. 4 D 4 6. ( 理 ) 設 ABI,, 均為非空集合, 且滿足 A B I, 則下列各式中錯誤的是? A. ( CA I ) U B= I B. ( CA I ) U ( CB I ) = I C. AI ( CB I ) = D. ( CA) I ( CB) = CB I I I
A. π π ( 文 ) 設 a (0, ), 若 sinα =, 則 cos( α + ) 等於? 5 4 7 5 B. 5 C. 7 D 5 5 x 7. 橢圓 4 + y = 的兩個焦點為 F,F, 過 F 作垂直與 x 軸的直線與橢圓相交, 一 uuuur 點交點為 P, 則 PF 等於? A. B. C. 7 D 4 8. 設拋物線 y = 8x的準線與 x 軸交於點 Q, 若過點 Q 的直線 l 與拋物線有公共 A. 點, 則直線 l 的斜率的取值範圍是?, B. [,] C. [,] D [ 4,4] π 9. 為了得到函數 y = sin( x ) 的圖像, 可以將函數 y = cosx的圖像? 6 π π A. 向右平移個單位長度 B. 向右平移個單位長度 6 π π C. 向左平移個單位長度 D. 向左平移個單位長度 6 0. 已知正四面體 ABCD 的表面值為 S, 其四個面的中心分別為 E,F,G,H. 設四面體 A. T EFGH 的表面值為 T, 則等於? S 9 B. 4 9 C. 4. ( 理 ) 以數字,,,4,5 中, 隨機抽取 個數字 ( 允許重複 ) 組成一個三位數, 其各 A. 位數字之和等於 9 的機率為? 5 B. 6 5 C. 8 5 D D 9 5 ( 文 ) 以,,,9 這 9 個數中, 隨機抽取 個不同的數, 則這 個數的和為為偶 數的機率是? A. 5 9 B. 4 9 C. D 0
. 已知 a + b =, b + c =, c + a =, 則 ab+ bc+ ca 的最小值為? A. B. C. D +. ( 理 ) 不等式 x+ x 的解集是? ( 文 ) 不等式 x+ x 0的解集是? 4. ( 理 ) 由動點 P 向圓 x 動點 P 的軌跡方程為? + y = 引兩條切線 PA,PB, 切點分別 A,B, APB= 60, 則 ( 文 ) 已知等比數列 { a n } 中, a =, a 0 = 84, 則該數列的通項 a n =? 5. ( 理 ) 已知數列 { a n } 滿足 的通項 a n, n =, n ( 文 ) 由動點 P 向圓 x a =, an a a a... ( n ) an ( n ) 則動點 P 的軌跡方程為? = + + + +, 則 { } + y = 引兩條切線 PA,PB, 切點分別 A,B, APB= 60, a n 6. 已知 a,b 為不垂直的面直線,a 是一個平面, 則 a,b 在 a 上的射影有可能是 () 兩條平行直線 () 兩條互相垂直的直線 () 同一條直線 (4) 一條直線及其外 一點在上面結論中, 正確結論的編號是?( 寫出所有正確結論的編號 ) 4 4 sin x+ cos x+ sin xcos x 7. ( 理 ) 求函數 f( x) = 的最小正週期 最大值和最小值 sinx ( 文 ) 等差數列 { a n } 的前 n 項和記為 n () 求通項 a n ; () 若 S n = 4, 求 n. S, 已知 a0 = 0, a0 = 50 8. 一接待中心有 A,B,C,D 四部熱線電話, 已知某一時刻電話 A,B 佔線的概率均為 0.5, 電話 C,D 佔線的概率均為 0.4, 各部電話是否佔線相互之間沒有影響, 假 設該時刻有 x 部電話佔線, 試求隨機變量 x 的概率分布和它的期望 4
9. ( 理 ) 已知 a R, 求函數 ax f( x) = xe 的單調區間 ( 文 ) 已知函數 f( x) = ax + x x+ 在 R 上是減函數, 求 a 的取值範圍 0. ( 理 ) 如圖, 已知四稜錐 P-ABCD,PB AD, 側面 PAD 為邊長等於 的正三角形, 底面 ABCD 為菱形, 側面 PAD 與底面 ABCD 所成的兩面角為 0 () 求點 P 到平面 ABCD 的距離 ; () 求面 APB 與面 CPB 所成二面角的大小 ( 文 ) 以 0 位同學 ( 其中 6 女,4 男 ) 中隨機選出 位參加測驗, 每位女同學能通 4 過測驗的概率均為 5, 每位男同學能同過測驗的概率均為 5, 是求 : () 選出的 位同學中, 至少有一位男同學的概率 ; ()0 位同學中的女同學甲和男同學乙同時被選中且通過測驗的概率 x. 設雙曲線 C: y ( a 0) l: x y a = > 與直線 + = 相交於兩個不同的點 A,B. () 設雙曲線 C 的離心率 e 的取值範圍 ; uuur 5 uuur () 設直線 l 與 y 軸的交點為 P, 且 PA= PB, 求 a 的值. 已知數列 { a n } 中 () 求 a, a 5; () 求 { a n } 通項公式 a =, 且 a ( ) k k = a k +, a k k+ = a k +, 其中 k =,,,... 5
二.004 年台灣大學指定考科文組數學科試題 第壹部分 :(77%) 一 單一選擇題 (8%) 說明 : 第 至 4 題為單一選擇題, 每題選出最適當的選項, 劃記在答案卡之 解答欄 每題答對得 7 分, 答錯倒扣.75 分, 倒扣到本大題之實得分數至零分為止 ; 未答者, 不給分亦不扣分. 如下圖 BAC = θ, ABD = ACD = 90, AB = a, BD = b 下列選項何者可以 表示 CD? () asinθ + bcosθ () asinθ bcosθ () acosθ bsinθ (4) acosθ + bsinθ (5) asinθ + btanθ B A D C. 如下圖所示, 線段 AB 的長度為定值, 且 AC: CB=: 保持點 A 在 y 軸上, 上下移動, 且點 B 在 x 軸上左右移動時, 點 C 所經過 的路徑會形成一圖形 試問此圖形為何? () 一橢圓 () 一圓 () 一雙曲線 (4) 一菱形 (5) 一線段 C B y A x O 6
統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究後發現 : 我們的眼睛看到 圖形面積的大小與此圖形實際面積的 0.7 次方成正比 例如 : 大圖 0.7 形是小圖形的 倍, 眼睛感覺到的只有 ( 約.6) 倍 觀察某個國家 地圖, 感覺全國面積約為某縣面積的 0 倍, 試問這國家的實際面積 大約是該縣面積的幾倍? [ 已知 logb0.00, logb0.477, log7 B 0.845] () 8 倍 () 倍 () 4 倍 (4) 7 倍 (5) 6 倍 4. 由電腦隨機選出 7 個正整數, 取其最高位數字 ( 如 5 為,0 為 ) 所得之次數分佈如下圖 40 0 次 0 數 0 0 4 5 6 7 8 9 最高位數字 若從這 7 個正整數中任取一個, 則其最高位數字為 d (d=,,,9) 的機率 P 最接近下列哪一選項? () P = 9 () P = d 90 ( d 5) () P = 60 (4) (5) P = ( ) 5 5 d P = log( + ) d 7
二 多重選擇題 (4%) 說明 :() 以下第 5~6 題為多重選擇題 () 每題各有 5 個備選答案, 請將正確答案, 劃記在答案卡上之 解答欄 () 每題 7 分,5 個備選答案, 各自獨立, 唯至少有一個是對的 ; 每個備選答案, 若選擇正確, 則得.4 分, 否則倒扣.4 分 ; 整題不作答者, 得零分 若在備答選項以外區域劃記一律倒扣.4 分 倒扣到本大題之實得分數至零分為止 5. 在空間中, 一平面與一正立方體相截, 若在平面的兩側各有正立方體的 4 個頂點, 則其截面的形狀可能是下列哪種圖形? () 三角形 () 四邊形 () 五邊形 (4) 六邊形 (5) 八邊形 6. 某校要從高一的 忠 孝 仁 愛 四個班級中隨機選取一個班級進行數學抽測 考慮甲 乙兩種抽樣方法 : 甲方法是從四個班級的導師中隨機選取一人, 被選中導師的班級為抽測班級 ; 乙方法是從所有高一學生中隨機選取一名學生, 被選中學生的班級為抽測班級 若各班人數都不相同, 其中 愛 班人數最多 則下列敘述有哪些是正確的? () 甲方法中, 每位高一學生被抽測的機率相等 () 乙方法中, 每位高一學生被抽測的機率相等 () 甲方法中, 四個班級被抽測的機率相等 (4) 乙方法中, 四個班級被抽測的機率相等 (5) 愛 班被抽測的機率, 使用甲方法較使用乙方法高 8
三 選填題 (5%) 說明 :A,B,C,D,E 各題為選填題, 劃記在答案卡之 解答欄 所標示的列號 7~0 內 每題完全答對得 7 分, 未完全答對, 不給分 A. 設 a 為實數, 令 α β 為二次方程式 x ax a + + ( ) = 0 的兩個根 試問當 a 為何值時, α β 有最小值? 答 :a = 7 B. 啦啦隊競賽規定每隊 8 人, 且每隊男 女生均至少要有 人 某 班共有 4 名男生及 7 名女生想參加啦啦隊競賽 若由此 人中依 規定選出 8 人組隊, 則共有 8 9 0 種不同的組隊方法 C. 阿貴和阿美及其他 8 名同學共 0 名學生輪到本周擔任值日生 本周 5 個上課日每天從尚未當過的同學中抽籤選出 位輪值 則阿 貴和阿美同一天擔任值日生的機率為 ( 以最簡分數表示 ) 9
三. 大學入學考試中心九十三學年度指定科目考試試題 數學甲 第壹部分 ( 佔 76 分 ) 一 單選題 (6%) 說明 : 第 題, 選出一個最適當的選項, 劃記在答案卡之 解答欄 答對得 6 分, 答錯或劃記多於一個選項者倒扣 分, 倒扣到本大題之實得分數為零為止 未作答者, 不給分亦不扣分. 設方程式 x 5 = 的五個根為, ω, ω, ω, ω4, 則 ( ω )( ω )( ω)( ω4 ) = ()8 ()6 () (4)4 二 多選題 ( %) 說明 : 第 至 5 題, 每題各有 4 個選項, 其中至少有一個是正確的 選出正確選項, 劃記在答案卡之 解答欄 每題 8 分, 各選項獨立計分, 每答對一個選項, 可得 分 ; 每答錯一個選項, 倒扣 分, 完全答對得 8 分 整題未作答者, 不給分亦不扣分 若在備答選項以外之區域劃記, 一律倒扣 分 倒扣到本大題之實得分數為零為止. 根據對數表, log 的近似值是 0.00, log 的近似值是 0.477 下列 選項有哪些是正確的? 9 0 () 0 > 9 0 ( ) 0 < 0 ( ) 0 > ( 4) 方程式 0 0 x = x 有一負根 0
. 正四面體的四個頂點落在以原點 O (0,0,0) 為球心 半徑為 的球面上, 已知一頂點 P 的坐標為 (0,0,), 另一頂點 Q 的坐標為 ( a, b, c) 下列選 項有哪些必定是正確的? uuur () OP 與 OQ uuur 的夾角為 0 ( ) a + b > c ( ) ab > 0 ( 4) c < 0 4. 設 a > 0, 令 A (a) 表示 x 軸 y 軸 直線 x = a 與函數 y= + sin x的圖形 所圍成的面積 下列選項有哪些是正確的? () A ( a+ π ) = A( a) 恆成立 ( ) A ( π ) = A( π ) ( ) A ( 4π ) = A(π ) ( 4) A( π ) A(π ) > A(π ) A( π ) 5. 已知整係數多項式 f (x) 滿足 f ( ) = f (4) = f (6) = 0, 而且除了 x =, 4, 6 之外, f (x) 的函數值恆正 下列選項有哪些必定是正確的? () f (x) 的次數至少為 6 () f (x) 的次數為奇數 () f () 為奇數 (4) f ( 4) = 0 三 題組 ( %) 說明 : 第 6 至 8 題為一完整之題組, 請詳細閱讀後回答問題 第 6 題為單選題, 第 7 8 兩題為多選題 其選項 作答 計分方式, 與前面單選題和多選題之規定相同 使用圓球和球袋作機率實驗 球只有黑白兩色, 袋中裝有兩顆球, 因此只有三種可能情況 : 把雙白球稱為狀態, 一白球一黑球稱為狀態, 雙黑球稱為狀態 對這袋球做如下操作: 自袋中隨機移走一球後, 再隨機移入一顆白球或黑球 ( 移入白球或黑球的機率相等 ) 每次操作可能會改變袋中球的狀態
6. ( 單選題,6 分 ) 如果現在袋子內的球是一白一黑 ( 即狀態 ), 請問經過一次操作後, 袋中會變成兩顆黑球 ( 狀態 ) 的機率是多少? () 4 () () (4) 把從狀態 j 經過一次操作後會變成狀態 i 的機率記為 就是 p ), 由此構成一 矩陣 P p ij ( 例如上題的機率 7. ( 多選題,8 分 ) 針對矩陣 P, 下列選項有哪些是正確的? () 矩陣 P 滿足 p ij = p ji ( ) P 是轉移矩陣 ( 即每行之和皆為 ) () P 的行列式值為正 (4) p = p 把矩陣 P 連續自乘 k 次後的矩陣記為 k P 已知矩陣 於從狀態 j 經過 k 次操作後, 變成狀態 i 的機率 k P 中 ( i, j) 位置的值, 等 8. ( 多選題,8 分 ) 針對多次操作, 下列選項有哪些是正確的? () 從一白一黑 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 變成雙白 ( 狀態 ) 的機率與變成雙黑 ( 狀態 ) 的機率相等 () 從雙白 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 ( 狀態 ) 的機率, 比變成雙黑 ( 狀態 ) 的機率大 () 從雙白 ( 狀態 ) 開始, 經過 k 次操作後, 回到雙白 ( 狀態 ) 的機率, 會隨著次數 k 的增加而遞減 (4) 不論從哪種狀態開始, 經過 k 次操作後, 變成任何一種狀態的 機率, 會隨著 k 趨近於無窮大而趨近於
四 選填題 ( 6 %) 說明 :A B 兩題為選填題, 請在答案卡的 解答欄 之列號 (9 -) 中標示答案 每一題完全答對得 8 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 若坐標平面上滿足 x + axy + y = 的點 ( x, y), 都滿足 x + y, 則 a 的最小可能值為 9 0 B. 將 tan x = x 的所有正實根由小到大排列, 得一無窮數列 x, x, L, x n, L, 則 lim( xn+ xn ) =. ( 四捨五入到小數第二位 ) n -------------- 以下部分作答於答案卷 -------------- 第貳部分 : 非選擇題 ( 佔 4 分 ) 說明 : 本大題共有二題計算證明題, 答案務必寫在答案卷上, 並於題號欄標明題號 ( 一 二 ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將酌予扣分 每題配分標於題末 一 若有 θ 使下述方程組不只有一組解, 求 sinθ + cosθ 的值 ( 分 ) (+ cos θ ) x y = 0 x + (+ sin θ ) y = 0 二 設 k 為一常數 已知一拋物線通過點 (,0), 且焦點為 (,), 準線為 kx + y + = 0, 求此拋物線頂點的坐標 ( 分 )
四. 大陸與台灣的混合試測試卷 ( 高一卷 ). 設 T,T,T... 為一群多邊形, 其做法如下 :T 為邊長等於一之正三角形 ; 以 T 每一邊中間三分之一的線段為一邊向外作正三角形, 然後將該三分之一 n 線段抹去所得的多邊形為 T, n =,,...( 如圖所示 ) 令 a n表 Tn的周長請計算 T之面積及 之和 a n+ n= n. 在 (0, π ) 內, 使 sin x>cos x成立的取值範圍為 x? π π 5π π π 5π π 5π π A. (, ) ( π, ) B. (, π) C. (, ) D. (, π) (, ) 4 4 4 4 4 4 4. 若對所有實數 x, x + ax a 0均成立, 則的範圍為 a? S 4. 等比數列 { a n } 的首項 a =, 前 n 項和為 S n, 0 S = 5, 則 lim S n 等於? x A. B. C. D. 5. 某甲觀測一飛行的熱氣球, 發現其方向一直維持在正前方, 而仰角則以等速遞減 已知此氣球之高度維持不變, 則氣球正以 : A. 等速飛行 B. 加速向某甲飛來 C. 減速向某甲飛來 D. 加速離某甲飛去 E. 減速離某甲飛去 6. 設 { a n } n+ n n+ n 是首項為 的正項數列, 且 ( n+ ) a na + a a = 0( n=,,,...), 則其他的通項公式是 a n =? 7. 下圖中 ABCDEF 為正六邊形, 將各邊延長形成一個六角星形 令正六邊形所圍成之區域為 R, 斜線區域為 R, 設 f( xy, ) = 5x 4y, 則 f( xy, ) 在 R 上之最大值為? ; f( xy, ) 在 R 上之最小值為? 8. 已知 I 為全集, 集合 M N 但 I, 若 M N = N 則? A. CM CN B. M CN, 但 C. CM CN D. M CN I I I I I I 4
9. 設年利率為, 若依複利計算, 則至少要 年 ( 取整數年數 ), 本利和才會超過本金的兩倍 (log 0 = 0.0, log 0 = 0.477) x 0. 函數 y = a 在 [0,] 上的最大值瑀最小值的和為, 則 a =? A. B. C. 4 D. 4. 試利用數學歸納法證明棣美弗定理 : n n [(cos r θ + isin θ)] = r (cosnθ + isin nθ), 其中 r 為正數, n 為正整數 π π. 函數 f( x) = sin x, x [, ] 的反函數 f ( x) 等於? A. sin xx, [,] B. π sin x, x [,] C. π + sin x, x [,] D. π sin x, x [,]. 設 H 為三角形 ABC 的垂心 ( 三高之交點 ), 若以 c 表線段 AB 之長, 則線段 AH 之長等於 A. ccosa sin C B. ccosa cos C C. ccosa tan C D. ccosa g g secc E. c cosa cscc 4. 等比數列的公比為, 前面 n 項和 S 4 滿足 lim S x 6 A. ± B. ± C. ± D. ± n =, 那麼的 a 值為? a 5. 若 a 與 a + 為異號的兩實數, 且均為方程式 x + x + k = 0的解, 則 k = 6. 如圖 - 是全集, M P S 是 I 的 個子集, 則黑影部分所表示的集合是? A. ( M P) S B. ( M P) S C. ( M P) CS D. ( M P) CS 7. 天干地支記日是分別以甲子 乙丑 丙寅 丁卯 戊辰 己巳 庚午 辛未 壬申 癸酉 甲戌 乙亥 丙子 丁丑 L L 癸亥, 六十天為一週期循環記日 5
已知民國 90 年 月 日以天干地支際是 日 8. 設集合 A 和 B 都是自然數集合 N, 映射 f : A B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素 n + N, 則在映射 f 下, 像 0 的原像是?? 9. 一個邊長都為 n 的大正形中, 共有 n 個單位正方形 如果每一個單位正方形的 邊都恰有一跟火柴棒因此大正方形共用了 a n 跟火柴棒, 那麼 an+ an = k k 0. 設集合 M = { x x= +, k z}, N = { x x= +, k z}, 則 4 4 A. M = N B. M N但 C. M N但 D. M N = 6
五. 大陸與台灣的混合試測試卷 ( 高二理組卷 ). 某班有 48 名學生, 某次數學考試之成績, 經計算得算術平均數為 70 分, 標準差為 S 分 後來發現成績登錄有誤, 某甲得 80 分卻誤記為 50 分, 某乙得 70 分卻誤記為 00 分, 更正後重算得標準差為 S分 試問 S與 S 之間有下列哪一種大小關係?(n 個數值 x, x,, x n 的標準差公式為 n n n i i 而 x n i= n i= n i= S = (x -x) = x x, = x ) i A. S< S 5 B. S 5 S< S C. S= S D. S < S S + 5 E. S + 5 < S. 7 ( x + )( x ) 的展開式中, 第四項是常數項, 則 n=?. 設 VABC 之 A= 60,AC = b,ab= c 今在 BC 上取一點 D, 使得 令 s = AD, 則 s 等於? BD= BC A. ( 4 4 ) 9 b + c + bc B. ( 4 ) 9 b + c + bc C. ( 4 ) 9 b + c bc D. (4 b c bc ) 9 + + E. (4 b + c bc ) 9 4 4 0 4 0 4 4. 若 (x+ ) = a + ax+ ax + ax + ax, 則 ( a + a + a ) ( a + a ) 的值 為? A. B. C. 0 D. 5. 爸爸 媽媽 哥哥與妹妹四人參加喜宴, 與其他客人坐滿一張 個座位的圓 桌 若四人座位相鄰, 且哥哥 妹妹夾坐於爸爸 媽媽中間, 則共有幾種不同 做法? 6. 如果直線 l 沿 x 軸負方向平移 個單位, 在沿 y 軸正方向平移 個單位後, 又 回到原來的位置, 那麼直線 l 的斜率為? 7
7. 擲三粒均勻骰子一次, 則在至少出現一粒 4 點的條件下, 其點數和為偶數的機 率為? 8. 兩條直線 Ax + By + C = 0, Ax + By + C = 0 垂直的充要條件是? AA A. AA + BB = 0 B. AA BB = 0 C. BB = D. BB AA = 9. 設 VABC 的三邊長為 AB = 8, BC =, CA = 4, 且 H 為 VABC 的垂心 uuuur uuur uuur 若 AH = xab+ yac, 則數對 ( x, y )=? 0. 已知圓錐的底面半徑為 R, 高為 R, 它的內接圓柱的底面半徑為 A. 柱的全面積為? π R B. 9 4 R π C. 8 π R D. 5 π R 4 R, 該圓. 已知從點 (,,) 到球面 x + y + z = 所作所有切線的切點都會在同一平面 上, 則此平面之方程式為?. 一個圓錐和一個半球有公共底面, 如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等, 那 A. 麼這個圓錐軸截面頂角的餘弦值是? 4 B. 4 5 C. 5 D. 5. 設一球之球心與一正立方體隻中心重和, 考慮球面與正立方體所有邊的交點, 則交點的個數不可能是? A. 0 B. 8 C. D. 6 E. 4 x = t 4. 點 P (,0) 到曲線 y = t A. 0 B. C. D. ( 其中參數 t R) 上的點的最短距離為? 5. 試就實數 k 之值的變化, 討論二元二次方程式 x + y + x+ y+ kx ( y 8
+ x+ y) = 0的圖形 6. 已知圓 C:( x a) + ( y ) = 4( a > 0) 及直線 l: x y+ = 0, 當直線 l 被 C 截的 弦長為 時, 則 a =? A. B. C. D. + 7. 已知平面上一橢圓的兩焦點為 (6,0) 及 (0,8), 長軸長為 0, 則下列敘述哪些 是正確的? A. (,4) 為橢圓中心 B. 短軸的斜率為 4 D. 橢圓與正 x 軸只有一個交點 E. 短軸之長為 0 C. (9,-4) 為長軸上的一個頂點 8. 過拋物線 y = ax ( a > 0) 的焦點 F 用一直線交拋物線於 P Q 兩點, 若 PF 與 FQ 的長分別是 p q, 則 + =? p q A. a B. a C. 4a D. 4 a 9. 設 (,,0),(,,0),(,,0),(,,0) 為一正立方體 的四個頂點, 則下列哪些點也為此正立方體的頂點? A. (,0,) B. (0,, ) C. (,,4) D. (,, ) E. (,0, ) x+ y 6 z+ 0. 給定一平面 π : x y+ z+ 4= 0及一直線 l : = = 是求在空間中 5 包含而與垂直的平面方程式 9
六. 大陸與台灣的混合試測試卷 ( 高二文組卷 ). 設一袋中裝有 個 號球, 個 號球,., n 個 n 號球,5 個 5 號球, n 5 現自袋中任取一球, 設每一個球被取到的機會都相等, 而取得 n 號球 可得 (00 n ) 元 則取到 9 號的機率為? 而任取一球的期望值為幾元?. 元心在點 (9,7) 同時又與圓 x + y + x 4y = 5 相切的兩圓中較小者的半徑 是? A. 7 5 B. 5 C. 5 D. 5 E. 5. 若直線 ( + ax ) + y+ = 0與 x + y x= 0相切, 則 a 的值為? A.,- B.,- C. D. ( α) x+ 7y = 4. 若 α 及 β 為兩實數, 且聯立方程式 x + y + αz = β 有兩組以上之解, 則 α 之值 α y+ z = 0 為? β 之值為? 5. 在座標平面上滿足 log( x + y xy+ ) + log6= log(5x + y 6xy + 0) 的所有 點 (x, y ) 形成什麼圖形? A. 二相交直線 B. 二平行直線 C. 拋物線 D. 雙曲線 E. 橢圓 6. 已知圓錐的底面半徑為 R, 高為 R, 它的內接圓柱的底面半徑為 A. 的全面積為? π R B. 9 4 R π C. 8 π R D. 5 π R 4 R, 該圓柱 7. 設 VABC 為一直角三角形,WBCDE 是以 BC 為一邊向外作出的正方形 若 BC = 5 CA = 4 AB =, 試求 cos( ACD)? uuuv 8. 空間中有三向量 OA = ( uuuv,-,), OB = ( 三向量所張的平行六面體的體積是? 0 uuuv -,,), OC = (,,), 則由此
9. 橢圓 5x + ky = 5的一個焦點是 (0,), 那麼 k 等於? 0. 方程式 x+ y+ z+ u 9之正整數解之個數為? A. 9 Hk B. k= 9 Hk k= + C. 9! 5! D. 56 E. 6. 如圖,ABCD 為梯形, AD AB, AD 交 y 軸於 S,CD 交 x 軸於 T 已知三頂 點 A(-,0) B(0,-6) 及 C(5,-) 試求頂點 D 的座標, 並求 VDST 的面積. 已知點 ( a,)( a > 0 ) 到直線 l: x y+ = 0的距離為, 則 a 等於? A. B. C. D. +. 如下圖所示,D 在 VABC 之 BC 邊上, 且 CD= BD,G 為 AC 之中點, 若將 CG uuuv uuuv uuuv uuuv 向量寫為 GD= rab+ sac, 其中 r 及 s 為實數, 則 r+ s之值等於? A. B. C. D. E. 4 4. 有 4 個男生及 個女生排成一列 若要求男生須排在一起, 女生亦須排在一起, 則排列法有幾種? 若只要求男生排在一起, 則排列法有幾種?( 本題答案限用 整數表示 ) 5. 設 θ (0 π, ), 則二次曲線 x 4 cotθ y tanθ = 的離心率的取值範圍為? A. (0, ) B. (, ) C. (, ) D. (, + ) 6. 中山國小六年級學生 00 人, 某次數學考試成績之累積次數分配曲線圖如下 : ( 包括內數字表示累積次數 ) 假設各組內之次數都平均分布在組距內, 則算術平均數 =? 中位數 =?( 中位數答案要四捨五入成整數 ) 7. 某一工廠生產燈泡, 個裝成一盒 工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取 4 個來檢查, 如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的, 則整盒淘汰 若某一盒有 5 個 壞燈泡, 則這一盒會被淘汰的機率是?
8. 一個圓錐和一個半球有公共底面, 如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等, 那 A. 麼這個錐軸截面頂角的餘弦值是? 4 B. 4 5 C. 5 D. 5 9. 某搬移次數學測驗, 其成績的次數分配如下表 :( 註 : 本表格限不函各組之上限 ) 根據下表, 下列哪些敘述是正確的? A. 組距是 0 分 B. 全距是 00 分 C. 50~60 這一組的以下累積次數是 8 人 D. 中位數落在 70~80 這一組 E. 算術平均數在 60~70 分的範圍內