臺灣大學開放式課程 微積分甲 - 朱樺教授 第 2 章 微分 (Differentiation) 目錄 2.1 切線................................... 23 2.2 導函數.................................. 25 2.3 微分公式................................. 26 2.4 連鎖律.................................. 27 2.5 高階導函數............................... 28 2.6 隱函數微分................................ 28 2.7 三角函數的導函數............................ 29 2.8 昇降性.................................. 30 2.9 平均值定理................................ 31 2.10 反導函數................................. 32 2.11 線性估計................................. 33 2.12 變化率.................................. 33 (i) 由切線的概念導入微分 (ii) 定義導函數及導數 (iii) 導出微分的四則運算和合成運算的公式 (iv) 隱函數微分 (v) 微分應用, 包括變化率及線性估計 2.1 切線 (Tangents) 註 2.1.1. 圓 C 在 P 點的切線 L, 滿足以下三特性 : (a) L 與過 P 之半徑垂直 (b) L 與 C 只交於一點 (c) C 位於 L 的一側 23 本著作除另有註明外, 採取創用 CC 姓名標示 - 非商業性 - 相同方式分享 台灣 3.0 版授權釋出
2.1 切線 但一般曲線上的切線不見得滿足以上條件, 現以直觀的方式來定義切線, 見下例 例 2.1.2. 求 y = x 2 在點 (2, 4) 的斜率 (slope), 並求其切線方程式 定義 2.1.3. (1) f(a+h) f(a) h 稱為 f(x) 在 x = a 的 Newton 商 (Newton quotient) (2) 曲線 y = f(x) 在點 P (a, b), b = f(a), 之斜率 (slope) 為 ( 假設其極限存在 ) m = lim h 0 f(a + h) f(a) h (3) 其 ( 非垂直 ) 切線 (tangent line) 為通過 P, 且其斜率為 m 的直線, 即 y = f(a) + m(x a) (4) 其法線 (normal line) 為通過 P 且與切線垂直的直線, 即 y = f(a) 1 (x a) m (5) 若 f(a + h) f(a) lim h 0 h 則 x = a 為 ( 垂直 ) 切線, y = b 為法線 = 或 lim h 0 f(a + h) f(a) h 例 2.1.4. 證明直線 y = mx + b 在其上任一點的切線為本身 例 2.1.5. 討論以下函數在 x = 0 的切線 : (1) f(x) = x, (2) f(x) = x 1 3, (3) f(x) = x 2 3 定義 2.1.6. =, (1) 設兩曲線相交於 P 點, 則此兩曲線在 P 點的交角定義為它們過 P 點之切線的交角 (angle between two curves) (2) 若兩曲線在 P 點的交角為直角, 則稱它們在 P 點正交 (orthogonal) (3) 若兩曲線在 P 點的切線相同, 則稱它們在 P 點相切 微積分講義, 24
2.2 導函數 2.2 導函數 (Derivatives) 導數與導函數 定義 2.2.1. f(a+h) f(a) (1) 令 f(x) 為一函數, 且 a Dom f 假設極限 lim 存在, 則定義此極限為 h 0 h 函數 f(x) 在 x = a 的導數 (erivative), 記為 f (a), 且稱函數 f(x) 在 x = a 可微 (ifferentiable) (2) 對任一個可微點 a, 其對應一值 f (a); 此對應可定義一個函數 f (x), 稱為 f(x) 對於 x 的導函數 (erivative)即 ( ) f f(x + h) f(x) f(y) f(x) (x) = lim = lim h 0 h y x y x 導函數的定義域即為所有可微之點 註 2.2.2. (1) 求導函數的過程稱為微分 (ifferentiation) (2) 給定 y = f(x), 其導函數可記為以下形式 : f (x) = y = y x = f x = x f(x) = Df(x) = D xf(x) = f(x) (3) 給定 y = f(x), 其在 x = a 的導數可記為以下形式 : f (a) = y x=a = y x x=a = f x x=a = x f(a) = Df(a) = D xf(x) x=a = f(a) x=a 稱為取值符號 (evaluation symbol) (4) 曲線 y = f(x) 在點 (a, f(a)) 之切線斜率即為導數 f (a) 例 2.2.3. ( 圖形微分, Graphical ifferentiation) 試描繪圖中之函數的導函數圖形 例 2.2.4. 求 x xn, n N 例 2.2.5. 求 x 例 2.2.6. 求 x ( 1 x n ), n N n x, n N 例 2.2.7. 求 x x, 及 y = x 在 x = 4 的切線, 法線方程式 例 2.2.8. (a) 求過 (1, 1), 且與 y = x 2 相切的直線 (b) 求過 ( 1, 1), 且與 y = x 2 相切的直線 例 2.2.9. 求 y = 1 + x 2 及 y = 1 x 2 的公切線 微積分講義, 25
2.3 微分公式 例 2.2.10. 若 f(x) 在 x = a 可微, 求 lim h 0 f(a+h) f(a h) 2h 定義 2.2.11. (1) 若 f(x) 在一開區間 (a, b) 上每一點均有導數, 則稱它在 (a, b) 上可微 f(a+h) f(a) (2) 若 lim 存在, 則稱 f(x) 在 x = a 有右導數 f h 0 + h +(a); f(a+h) f(a) 若 lim 存在, 則稱 f(x) 在 x = a 有左導數 f h 0 h (a) (3) 若 f(x) 在 (a, b) 上可微, 且在 x = a 有右導數, 在 x = b 有左導數, 則稱 f(x) 在 [a, b] 上可微 例 2.2.12. f(x) = x 在 x = 0 不可微 (corner), 求其導函數 例 2.2.13. f(x) = x 在 x = 0 不可微 (cusp) 可微性與連續性 定理 2.2.14. 若 f(x) 在 x = a 可微, 則 f(x) 在 x = a 連續 註 2.2.15. (1) f(x) 在 x = a 不可微的三種可能狀況 : (a) f(x) 在 x = a 不連續 (b) f(x) 在 x = a 連續, 但 f +(a) f (a), 稱為拐點 (corner 或 kink) (c) f(x) 在 x = a 連續, 但 lim f (x) = lim f (x) =, 或 lim f (x) = lim f (x) = x a+ x a x a+ x a, 則稱為臍點 (cusp) (2) (a) 一函數連續, 不見得可微 ( 例如 f(x) = x 在 x = 0 處 ) (b) 一函數在 a 可微, 則必有切線 (c) 一函數在 a 有切線, 則不必可微 ( 可能為垂直切線 ) 定理 2.2.16. (Darboux, 導函數的中間值定理 ) 若 f(x) 在 I 上可微, 且 a, b I, 則 f (x) 對 f (a) 及 f (b) 之間每一數均可取值即 : 對介於 f (a) 與 f (b) 之間的任意數 k, 皆存在 c I 使得 f (c) = k 例 2.2.17. 求 f(x) = x 之導函數 例 2.2.18. 是否存在 R 上的可微函數, 使其導函數是 x? 2.3 微分公式 定理 2.3.1. 假設 f(x), g(x) 均可微 (1) x (c) = 0 (2) x (c(f(x))) = c x f(x) (3) (f ± g) = f ± g x x x 微積分講義, 26
2.4 連鎖律 g (4) (fg) = f + g f x x x f g h (5) (fgh) = gh + f h + fg x x x x (6) ( f ) = f x x g g f g x g 2 例 2.3.2. 若 y = uv, 且 u(2) = 3, u (2) = 4, v(2) = 1, v (2) 2, 求 y (2) 例 2.3.3. 若 f(x) = xg(x), 且 g(4) = 2, g (4) = 3, 求 f (4) 例 2.3.4. 求 y = x 4 6x 2 + 4 的水平切線方程式 例 2.3.5. 求函數 y = (x2 + 1 x )(x3 +3) 的導函數 x+1 例 2.3.6. 令 f ij (x) 為可微函數求行列式 g(x) = 2.4 連鎖律 (Chain Rule) f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) 的導函數 定理 2.4.1. ( 連鎖律 ) 若 f(u) 在 u = g(x) 處可微, g(x) 在 x 處可微, 則合成函數 f g 在 x 處可微, (f g) (x) = f (g(x)) g y (x) 或 = y u x u x 註 2.4.2. 以放大率解釋連鎖律 例 2.4.3. 微分以下函數 : (1) f(x) = (3x 2 + 1) 2, (2) f(x) = (x 3 1) 100, (3) f(x) = ( x 2 2x+1 )9, (4) f(x) = 1 3 x 2 +x+1, (5) f(x) = (2x + 1) 5 (x 3 2x + 1) 4, (6) f(x) = 3 x 2 + x 3 + 1, (7) f(x) = x 2 1 例 2.4.4. 證明 y = 1 (1 2x) 3 的每一條切線都是正斜率 例 2.4.5. 假設 f(x) 在實數上可微, 試以 f (x) 表出以下各函數的導函數 : (1) f(3x), (2) f(x 2 ), (3) f(πf(x)), (4) [f(3 2f(x))] 4 微積分講義, 27
2.5 高階導函數 2.5 高階導函數 (Higer-Orer Derivatves) 定義 2.5.1. 給定 y = f(x), 假設 f (x) 也可微定義 f (x) = (f (x)), 稱為 f(x) 的二階導函數同樣, 可定義 f (x) = (f (x)),..., f (n) (x) = (f (n 1) (x)) f (n) 稱為 f 的 n 階導函數 註 2.5.2. 符號 : y = f(x) = f (0) (x), y = f (x) = f (1) (x), ; 一般 y (n) = n y x n = D n y 定理 2.5.3. (Leibniz) (fg) (n) = n ( n ) i=0 i f (i) g (n i), 其中 f (0) = f, ( ) n i = n! 例 2.5.4. 求以下各例的 f (n) : (1) f(x) = x 3 3x 2 + 2, (2) f(x) = x n, (3) f(x) = 1 2x+3, (4) f(x) = 1 x 2 1 1 例 2.5.5. y =, 求 y (n) x 2 4x+3 ( 例 2.5.6. 證明 n ax+b ) x n cx+ = ( 1) n 1 n!c n 1 (a bc) (cx+) n+1 例 2.5.7. 求 ( x3 x 2 1 )(96) 註 2.5.8. i!(n i)! 為二項係數 ( ) (f g) (n) n! (x) = Σ m 1!m 2!m 3! m n! f (m 1+m 2 +m 3 + +m n g ) (g(x))π n (j) (mj) (x) j=1, j! 其中求和符號 Σ 是對所有滿足 1m 1 +2m 2 +3m 3 + +nm n = n 之非負整數 (m 1, m 2, m 3, m n ) 求和這公式稱為 faà i Bruno(1825-1888) 公式 例 2.5.9. 令 Legenre 多項式為 χ n (x) = 1 2 n n! [(x2 1) n ] (n) (a) 證明 (x 2 1)χ n + 2xχ n n(n + 1)χ n = 0 (b) 求 χ n (1) 及 χ n ( 1) 2.6 隱函數微分 (Implicit Differentiation) 例 2.6.1. (a) 若 x 2 + y 2 y = 25, 求 x (b) 過圓 x 2 + y 2 = 25 上一點 (3, 4) 的切線方程式為何? 例 2.6.2. 若 q p Q, 求 x (x q p ) 例 2.6.3. 求 x (1 x2 ) 1/4 微積分講義, 28
2.7 三角函數的導函數 例 2.6.4. 曲線 x 3 + y 3 2xy = 0 上有一點斜率為 1, 求該點 例 2.6.5. 星芒線為 x 2 3 + y 2 3 為一常數 = a 2 3, a > 0 證明過其上任一點的切線, 被座標軸截出線段長度 例 2.6.6. 若 x 4 + y 4 = 16, 求 y 例 2.6.7. 證明 : 對任意的 a, b, 曲線 x 2 y 2 = a 與曲線 xy = b 均為正交 例 2.6.8. (a) 若 x 3 + y 3 = 9xy, 求 y (b) 過 the folium of Descartes x 3 + y 3 = 9xy 上一點 (2, 4) 的切線及法線方程式為何? (c) 曲線上哪一點的切線為水平? () 討論過原點的切線方程式 2.7 三角函數的導函數 定理 2.7.1. (1) (2) cos x = sin x x (3) x tan x = sec2 x (4) x cot x = csc2 x sin x = cos x x (5) sec x = tan x sec x x (6) csc x = cot x csc x x 例 2.7.2. 求以下函數的導函數 : (1) f(x) = tan(5 sin 2x), (2) f(x) = sin(cos(tan x)), (3) f(x) = sin(x ), (4) f(x) = sin x cos x 例 2.7.3. (a) 證明 1 2 + cos x + cos 2x + + cos nx = sin(n+ 1 2 x) 2 sin x 2 (b) 導出和 sin x + 2 sin 2x + + n sin nx 之公式 例 2.7.4. 求 y = sin 5 x 在 x = π/3 的切線方程式 例 2.7.5. 求 f(x) = sec x 的水平切線方程式 1+tan x 例 2.7.6. 若 sin(x + y) = y 2 cos x, 求 例 2.7.7. 令 y = sec x, 求 y y x 微積分講義, 29
2.8 昇降性 例 2.7.8. 令 y = sin x, 求 y (n) 例 2.7.9. 令 y = sin(ax + b), 求 y (n) 例 2.7.10. 令 y = x 3 sin 2x, 求 y (95) 例 2.7.11. 令 f n (x) = { x n sin 1 x if x 0 0 if x = 0, 求滿足下列各條件之 n 值並嘗試推廣 : (a) 使其連續, (b) 使其可微, (c) 使其導函數連續, () 使其二階可微 2.8 昇降性 定義 2.8.1. 令 f(x) 定義在區間 I 上 (a) 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) < f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為遞增 ( 或上昇, increasing) (b) 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) > f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為遞減 ( 或下降, ecreasing) (c) 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為非遞減 ( 或上昇, nonecreasing) () 若對 I 上任兩點 x 1 < x 2, 均有 f(x 1 ) f(x 2 ), 則稱 f(x) 在 I 上為非遞增 ( 或下降, nonincreasing) (e) 一個函數為遞增或遞減, 統稱為在 I 上單調 (monotonic) 定理 2.8.2. 假設 f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微 (1) 若 f (x) > 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞增 (2) 若 f (x) < 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上遞減 (3) 若 f (x) 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上非遞減 (4) 若 f (x) 0, x (a, b), 則 f(x) 在 (a, b) 上非遞增 例 2.8.3. 證明 : sin x < x, x > 0 例 2.8.4. 證明 : 1 + x < 1 + x 2, 其中 x > 0 或 1 x < 0 微積分講義, 30
2.9 平均值定理 2.9 平均值定理 (Mean Value Theorem) 極值 定義 2.9.1. (1) 若存在 c Dom f 滿足 : 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 x (a, b), f(x) f(c), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值 ( 或局部極大值, relative maximum or local maximum) (2) 若存在 c Dom f 滿足 : 存在一個包含 c 的開區間 (a, b), 使得 x (a, b), f(x) f(c), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極小值 ( 或局部極小值, relative minimum or local minimum) (3) 令 c 為定義域區間的左端點, 若存在一個區間 [c, b), 使得 f(x) f(c), x [c, b), 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值反之, 若使得 f(x) f(c), 則稱為相對極小值 (4) 令 c 為定義域區間的右端點, 若存在一個區間 (a, c], 使得 f(x) f(c), x (a, c], 則稱 f(x) 在 x = c 有相對極大值反之, 若使得 f(x) f(c), 則稱為相對極小值 (5) 相對極大與相對極小值統稱相對極值 定義 2.9.2. (1) 令 f(x) 定義在 D 上若存在 c D 使得 f(x) f(c), x D, 則稱 f 在 D 上有絕對極大值 f(c) ( 或全域極大值, absolute maximum or global maximum) (2) 若存在 c D 使得 f(x) f(c), x D, 則稱 f 在 D 上有絕對極小值 f(c) ( 或全域極小值, absolute minimum or global minimum) (3) 絕對極大值與絕對極小值統稱絕對極值 (extreme values) 定理 2.9.3. ( 極值定理 Extreme Value Theorem, Weierstrass 定理 ) 若 f(x) 在 [a, b] 上連續, 則 (a) f(x) 必有界 (b) f(x) 必存在極大及極小值 定理 2.9.4. (Fermat) 若 f(x) 在 D 之內點 c 有相對極值, 且 f(x) 在 x = c 可微, 則 f (c) = 0 定義 2.9.5. 在 f(x) 之定義域 D 的內點 c, 若 f (c) = 0 或 f (c) 不存在, 則 c 稱為 f(x) 的臨界點 (critical point) 故 f(x) 的相對極值必發生在臨界點或邊界點 例 2.9.6. 討論 f(x) = x 3 及 f(x) = x 在 x = 0 的行為 例 2.9.7. 求 f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 + 5 的所有臨界點和升降區間, 並求其極值 例 2.9.8. 令 f(x) = x 3 12x + 5 求所有臨界點, 並指出其遞增及遞減區間 例 2.9.9. 求 f(x) = x 3 5 (4 x) 2 的臨界點 平均值定理 微積分講義, 31
2.10 反導函數 定理 2.9.10. (Rolle) 假設 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微若 f(a) = f(b), 則存在 c (a, b), 使得 f (c) = 0 [ 註 ] 若 f 在 (a, b) 上不完全可微, 則此定理不一定成立例 :f(x) = x 在 [ 1, 1] 上 定理 2.9.11. ( 平均值定理 ) 假設 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微, 則存在 c (a, b), 使得 f (c) = f(b) f(a) b a 定理 2.9.12 (Cauchy 平均值定理, 廣義平均值定理 ). 設 f 及 g 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微, 且 g f (x) 0, x (a, b) 則存在 c (a, b), 使得 (c) = f(b) f(a) g (c) g(b) g(a) 例 2.9.13. 令 0 a < b, 對 f(x) = x 在區間 [a, b] 上驗證平均值定理 例 2.9.14. 假設高速公路限速 90 公里 / 時, 高雄 台北距離 300 公里一輛車上午 8:00 從台北出發, 11:00 到達高雄, 則該車輛必有超速的時刻 例 2.9.15. 若 f (0) = 3, f (x) 5 x 則 f (2) 最大可能多少? 例 2.9.16. 證明 : tan x tan y x y, x, y ( π 2, π 2 ) 例 2.9.17. 證明 : y = x3 3 3x 至少有一水平切線 例 2.9.18. 證明 : x 3 + 3x 1 = 0 恰有一實根 例 2.9.19. 設 F 在 [a, b] 上連續, 在 (a, b) 上可微若 F 在 [a, b] 上有 r 個相異根, 則 F 在 (a, b) 上至少有 r 1 個相異根 例 2.9.20. 多項式 f(x) 在 x = c 有 r 重根, 則 f (x) 在 x = c 恰為 r 1 重根 例 2.9.21. 設 n 次多項式 p(x) 有 n 個實根 ( 包括重根在內 ), 則 p (x) 恰有 n 1 個實根 2.10 反導函數 (Antierivatives) 定理 2.10.1. (1) 若 f(x) 在區間 I 上連續, 且在 I 的每一內點 x, f (x) = 0, 則 f(x) 為一常數函數 (2) f(x), g(x) 在區間 I 上連續, 且在 I 的每一內點 x, f (x) = g (x), 則存在一常數 C, 使得 f(x) = g(x) + C, x (a, b) [ 註 ] f(x) = x 不是常數函數, 但 f (x) = 0 在所有非整數上 例 2.10.2. 試找一些函數 f(x), 使 f (x) = tan x sec 2 x 定義 2.10.3. (1) 一個函數 F (x) 若滿足 F (x) = f(x), x I, 則稱 F (x) 為 f(x) 的反導函數 (antierivative) (2) 若 F (x) 為 f(x) 的反導函數, 則所有 f(x) 的反導函數為 F (x) + C 定義 f(x) 的不定積分 (inefinite integral) 為 f(x)x = F (x) + C 例 2.10.4. 求 f(x) = sin x 之反導函數 F, 且滿足 F (0) = 3 微積分講義, 32
2.11 線性估計 t+5 例 2.10.5. 求一函數 g(t), 使其導函數為, 且圖形通過 (4, 1) 例 2.10.6. 求一曲線, 使其在任一點 (x, y) 處的斜率為 3x 2, 且通過 (1, 1) 例 2.10.7. 求下列各不定積分 : (1) x 5 x, (2) 1 x x, (3) (cos x 2 + 3 x)x 定義 2.10.8. t 3 2 y (1) 求一函數 y, 使其滿足 = f(x), 則此式稱為微分方程 (ifferential equation), y = x F (x) + C 稱為通解 (general solution) (2) 若取定 y(x 0 ) = y 0, 則稱其為起始值問題 (initial value problem); 滿足該條件的解稱為特解 (particular solution) 例 2.10.9. 求 y = g(x), 使得 例 2.10.10. 求 y = f(x), 使得 y = 4 sin x + 2x5 x x x 2.11 線性估計 (Linearizations) 2 y = 12x 2 6x 4, 且 y(0) = 4, y(1) = 1 x 2 定義 2.11.1. 令 y = f(x) 為可微函數, x, x 為兩獨立變數微分 (ifferential) y 定義為 y = f (x)x 定理 2.11.2. [ 線性逼近定理 (linear approximation theorem)] 若 y = f(x) 在 x = a 可微, 且 x 從 a 變化到 a + x, 令 y = f(a + x) f(a), 則當 x 很小時, y y 例 2.11.3. 若 y = f(x) = x 3 + x 2 2x + 1, 比較 y 和 y, 其中 : (a) x 從 2 到 2.05; (b) x 從 2 到 2.01 例 2.11.4. 求 3.98, 4.05 的估計值 例 2.11.5. 球半徑測量值為 21 cm, 可能產生 0.05 cm 的誤差則其計算球體積時會產生多少誤差? 2.12 變化率 (Rate of Changes) 定義 2.12.1. (1) 給定函數 y = f(x), 在 x 1 處, x 的變化為 x = x 2 x 1, 所對應 y 的變化為 y = f (x 2 ) f (x 1 ) y = f(x 2) f(x 1 ) x x 2 x 1 稱為 y 在 [x 1, x 2 ] 上對 x 的平均變化率 (2) y = lim y 稱為 y 對 x 的瞬時變化率 ( 若此極限存在 ) x x 0 x 微積分講義, 33
2.12 變化率 (3) x x 稱為 f(x) 對 x 的相對變化 (relative change) (4) 100 x x 稱為 f(x) 對 x 的百分變化 (percentage change) 例 2.12.2. 求在半徑為 5 時, 圓的面積 A 對半徑的變化率 例 2.12.3. 若圓半徑增加 2% 時, 求圓的面積 A 的百分增加率 例 2.12.4. 午後溫度為 T = 1 3 t3 3t 2 + 8t + 10, 0 t 12 則在午後 1 時, 溫度升降速度如何? 何時溫度變化穩定? 例 2.12.5. ( 敏感度, sensitivity of change) 投以藥物劑量 x mg, 則血壓平均降低量為 R = x 13 24, 2(1 + ) x 現分別以藥物 5 mg, 15 mg, 35 mg, 則在那一個劑量下, 增加藥量效 2 26x+529 果反應最大? 物理 定義 2.12.6. 若一物體直線運動, 在時間 t 的位置為 s = f(t), 則在時間 t, 物體的運動速度 (velocity) 為 v(t) = s = lim t t 0 f(t+ t) f(t) t 速率 (spee) 為 v(t) = s t 加速度 (acceleration) 為 a(t) = v = 2 s t t 2 急跳度 (Jerk) 為 j(t) = a = 3 s t t 3 例 2.12.7. 一物體的位置函數為 s = f (t) = t 3 6t 2 + 9t (t 單位為秒,s 單位為公尺 ) (a) 求時間 t 的速度 (b) 求 t = 2 及 t = 4 的速度 (c) 何時粒子靜止? () 何時粒子向前 ( 即正向 )? (e) 作圖表現粒子的運動 (f) 求時間 t 的加速度 (g) 何時粒子加速? 何時減速? (h) 作 0 t 5 時, 位置 速度和加速度的函數圖形 例 2.12.8. 一車速度為 72 km/h 現突然煞車, 減加速度 (celeration) 為 0.8 m/s 2, 則在煞車到停車時共走了多遠? 經濟 例 2.12.9. 一工廠生產布料, 生產 x 公尺的成本是 C = f(x) (a) f (x) 的意義為何? 單位為何? (b) f (1000) = 9 的意義為何? (c) f (500) 及 f (50), 你認為哪一個比較大? f (5000) 呢? 微積分講義, 34
2.12 變化率 定義 2.12.10. 若 C(x) 為生產量 x 時的成本函數 (cost function), 則生產的邊際成本 (marginal c cost) 為 x (C (n) C (n + 1) C (n). 其意義為每多生產一件產品時所增加的成本 ) 例 2.12.11. 若 C (x) = 10000 + 5x + 0.001x 2, 則 C (500) = 15,C (501) C (500) = 15.01 C (500) C (501) C (500) 例 2.12.12. 需求量 y 是價格 p 的函數, 則需求彈性 (Elasticity of eman) 為 p y y p 微積分講義, 35