選修數學 - 矩陣 - 矩陣的應用 思考. 生活中的事務 經量化後 有些問題可以藉著矩陣加以處理 ; 首先將數據資料整理並以矩陣表示 再配合其實值意義與矩陣運算的關係可處理之尤其是與機率有關的問題 矩陣之應用更是有利的工具 定義. 機率矩陣 機率向量 : 若 X 且滿足 其中 i i i i 則稱 X 是一個機率矩陣 即若行矩陣 X 中的每一個行矩陣的元都是非負的實數 且各元的和為 這種矩陣稱之為機率矩陣 或稱機率向量. 轉移矩陣 特例 : t t t 設矩陣 T t t t 其中各元 tij 都是非負實數 t t t 且每一行各元之和皆為 即 t t t j j j j 稱矩陣 T 為轉移矩陣註 : 轉移矩陣必須滿足下列兩個條件 : 每一元都是一個非負的實數 每一行的各元相加之總和都等於. 轉移矩陣 推移矩陣 隨機矩陣 馬可夫矩陣 一般 : 若 且滿足 i ; j ij 其中 j i ij j j 則稱 是一個轉移矩陣 j 6
註 : 即用 表示從現在狀態 S S S 至下一觀察期狀態 S S 的機率變換情形 狀態 S S S S 形如 S O S 性質. 令 X 其中 c 都是非負實數 且 c c 又令 X 即 X T 若 X 則 c 皆非負 且 c c 在大部分情況下 可以證明會趨於穩定 S TX X X 假設 X 是其穩定狀態 c 非負 且 c 即 TX X c. 穩定狀態 : 通常情況下 X 會趨於穩定 設 X 是其穩定狀態 則 TX X c 給定 T 時 可以 c 為未知數 由 TX X 建立方程組 加上 c 才能求得唯一解 c 解之即得 X. 若 是一個轉移矩陣 且 X 是一個機率矩陣 則 i ; j ij 其中 j 且 i ij j j 則 X 的每一個元 ik k 都大於或等於零 k j i i 7
且 X 中各元相加的和也必等於 所以 X 也是一個機率矩陣. 設 B 皆為 階馬可夫矩陣 則 B 也是馬可夫矩陣證明 : 設 B 且 i j ij i ij ij ij j 及 ij j 令 B c ij 則 c ij i i i i i j i j ij i j i j i i ij i j j j j 故 B 也是馬可夫矩陣. 馬可夫性質 : 若 是一個 階轉移矩陣 且 或 的某一次方的所有元都是正數 則對於 任意的 X 當 趨近無限大時 若 X X 會趨近一個行矩陣 X 這個 X 滿足性質 X O 且 X 的各元之和為 證明 : 若 li X li X X 則 li X li X li X X X X X X O X O 又 X 之各元和為 機率矩陣 故用上述性質可以求出 X 之各元的值註 : 一般的馬可夫鏈不一定會趨近穩定的狀態 例如 循環 u 點 P u 行矩陣 行坐標 6. 若矩陣 為一馬可夫鏈的推移矩陣 其中 P 為 的穩定狀態矩陣 為任一 狀態矩陣 則 li k P 證明 : li k li k k k h k P li P k h P k 8
應用 假設某地只有甲乙兩家工廠生產並販賣某一種產品 每一年甲工廠的顧客中有 轉向乙工廠購買此產品 只有 甲工廠購買 其餘 仍然向甲工廠購買 ; 而乙工廠的顧客中有轉向 的顧客仍然向乙工廠購買 則 一年 二年 三年後 甲乙兩家工廠的市場佔有率為何? 經過一段很長的時間後 最後甲乙兩工廠的市場佔有率為何? 解答 : 設甲乙兩工廠目前市場佔有率為 其中 年後甲乙兩工廠市場佔有率分別為 第一年甲工廠的市場佔有率 乙工廠的市場佔有率 令 第 期的狀態為 P 稱 形成一個 P P P P 馬可夫鏈 矩陣 稱為此馬可夫鏈的轉移矩陣或推移矩陣 則可用 P P 表示上述的關係 第二年甲工廠的市場佔有率 乙工廠的市場佔有率 則 P P 依據上述類推可得 : P P 所以 8 6 P 8 6 8 6 8 6 9
77 77 P 99 99 α 經過多年之後的市場佔有率為 P 即 P li P 且 α β β 因為 P P α 所以 P li P li P li P X X 9 β 觀察可知 :. 的每一行都是非負的實數. 的每一行的元之和都等於. P
定義. 三元一次方程組 : 三元一次方程組 將其係數連同常數項作成矩陣 稱為的增廣矩陣 d z c d z c d z c d c d c d c. 元一次式聯立方程式聯立方程組 : 一次方程組可以寫成 B X 其中 註 : 係數所排成的矩陣稱為這個方程組的係數矩陣 稱為這個方程組的增廣矩陣 X B O O
方法. 列運算 : 將增廣矩陣適當運用三種列運算 不會改變原方程組的解 : 某兩列互換 以符號表示 將某一列乘以一數加至另一列 以符號 r ij i j 表示 將某一列乘以一個不為 的數 以符號 r i 表示註 : 這三種列運算都稱為矩陣的基本列運算. 高斯消去法 Gussi liitio: 用基本列運算使 i i 使 i i??? 依此類推使成為梯陣?? O?. 高斯 - 喬登消去 Guss-Jord 法 :? 若化成形如上三角矩陣? 稱高斯 - 喬登消去 O?. 簡化矩陣 : 一個矩陣 只要列運算後所得的矩陣達到在每個不為 的列中 第一個不為 的元所屬的行中 只有這個元不等於 我們就稱它為一個簡化矩陣. 解的情形 : α 將增廣矩陣適當運用三種列運算 若能逐步化簡為 β 則原 γ 方程組有唯一解 z α β γ 若列運算簡化的過程中 出現某一列除最後一元不為 外 其餘各元皆為 則原方程組無解 方程組也可能有無限多解
6. 反方陣求法 特例 : 求 的反方陣 時 可將 利用列運算簡化 若能簡化成 則 B 7. 反方陣求法 一般 : 將 B 即可求出 將 O O O O 化成 O O O O 此即為同時求出數組聯立方程組的解之意 即將高斯消去法合併 kk kk B 如此則左側變為 右側變為 B 即 的乘法反矩陣 且 B B 此時 B 且 k k k
例題 求反矩陣例子 :. 求的反矩陣的高斯消去法過程與其對應的矩陣運算 : 設 則最後一式可改成 也就是 可得 故為 之乘法反元素 由 det det det det det det 也可知當時 乘法反矩陣存在 det. 對聯立方程組 : 可以寫成 6 B X 其中 先如下求出 則可得到解 X 6 B B X
則可得 B X 6 6.
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性質. 有乘法反矩陣的充要條件為 det. 若 B C 為方陣且 存在 則 B C. B 乘法反矩陣為 B B 即 B B BB 且 B B B B B B BB. 若 det 反矩陣才存在 c d d 則 d c d c d c d c c d c d c. 方陣 有乘法反矩陣的充要條件為 det 註 : 因聯立方程組有唯一解的充要條件為 det T T T 6. B B T T 7. det d c 8. B B 9. 反矩陣唯一性 : 若 為方陣且 B C 皆為 的反矩陣 則 B C 證明 : 設 B C 皆為 的反矩陣則 B B 且 C C 得 B B B C B C C C 矛盾 意義. 在一般紙筆計算解 - 次聯立方程組時 通常是用高斯 - 約旦消去法 這樣比較容易看出它的解 然而若以電腦計算 通常只要將增廣矩陣化成列梯狀矩陣 row echelo tri 即可 然後再反代回去 這樣通常比較快所謂列梯狀矩陣即為滿足下列條件的矩陣 : 全部為 的列在最下方 每列中第一個不為 的數一定在上一列不為 的數的右方. 一次方程組的求解問題 乃是數學與其他學科中時常見到的問題 ; 顯然地 當方程組的未知數不多時 尤其是二元及三元 使用代入消去法或加減消去法來求解 就已經是一種很方便的解法了然而 在本章中 我們又引進了與加減消去法大同小異的高斯 - 約旦消去法 其原因有下列三點 : 就課程的結構而言 我們可由一次方程組的高斯消去法來引進矩陣的概念 這是數學及其他科學中很有用的一個概念 ; 就這一層作用而言 代入消去法與加減消去法比較不容易顯出這種特色 因為在加減消去法的進行過程中 並沒有要求每個階段必須抄出變形後的整個方程組 所以 無法看出整個消去法的過程只是在作增廣矩陣的列運算 未知數較多的一次方程組之求解 很多時候都是借助於計算快速的電腦 而利用電腦解一次方程組 必須要有一種系統化的方法 如此 才容易寫成程式 高斯 - 約旦消去法乃是合乎這種用途的一種系統化方 7
法 一般來說 在解 元一次方程組時 如果方程式的數目超過未知數的數目 習慣上都是先利用前 個方程式來求解 再檢驗所得的解是否也滿足其他的方程式 這樣的做法反而比高斯 - 約旦消去法將所有方程式同時處理還來得費事. 如何將一次方程組分離係數而以其增廣矩陣代替 此一做法不僅使一次方程組的求解方法明顯的看出系統化 而且可免除抄寫未知數記號與等號的麻煩. 寫一次方程組的增廣矩陣時 含未知數的項與常數項需先移動 使含未知數的項依次在等號的左邊 而常數項在等號的右邊 這種作法的優點是在得出簡化矩陣時更容易看出解 不必變號. 所提出來的三種列運算 其正確名稱是基本列運算 eleetr row opertio 而由基本列運算所成的各種合成運算都稱之為矩陣的列運算在本章中 介紹列運算的目的 只是為配合高斯 - 約旦消去法的概念 所以在名稱的使用上 也力求簡化 6. 將一次方程組的增廣矩陣經過列運算達到簡化矩陣的形式時 方程組的解就很容易寫出來 7. 將一個矩陣實施基本列運算 自然要知道終極目標是什麼 ; 如果僅為一次方程組的求解 求矩陣的秩及行列武的降階等目的 那麼 只使用 將矩陣的某一列乘以某一數值加入另一列 這個基本列運算就已足夠 而只利用這種基本列運算 所能得到的終極形式就是教科書中所稱的簡化矩陣可是 如果我們也使用 將矩陣的某一列乘以一個不為 的數 以及 將矩陣中的某兩列互換位置 這兩種基本列運算 那麼 所能得到的終極形式就更有規則了它的形式是 : 每一個不為零的列 即該列的元不全為 中第一個不為 的元都是 在每一行中 若此行有一個不為 的元是它所屬那一列的第一個不為 的元 則此行中的其他各元都是 每個不為零的列都在每個零列的上方 若不為零的列是第一列至第 k 列 而第 i 列 i k 中第一個不為 的元在第 j 行 則 j < j < < j i k 當一個矩陣具有 四個性質時 我們稱它是一個列簡化梯狀矩陣 row-reduced echelo tri 如果我們不使用 將矩陣中的某兩列互換位置 這種基本列運算 而只使用其它兩種 那麼 所能得到的終極形式只能具有前面 兩個性質 具有這兩性質的矩陣稱為列簡化矩陣 row-reduced tri 如果我們只使用 將矩陣的某一列乘以某一數值加入另一列 這個基本列運算 那麼 所能得到的終極形式只能具有前面 一個性質 這就是我們所使用的簡化矩陣 這名稱不是數學上通用的 所以我們使用化簡形如這個名稱 只是為敘述上方便而已 8
定義. 對稱方陣 : 若 ij ji 者稱之. 反對稱方陣 : 若 者稱之 ij ji. 上三角矩陣 : 若 ij i > j 者稱之. 下三角矩陣 : 若 ij i < j 者稱之. 列矩陣 : 只有一列的矩陣 6. 行矩陣 : 只有一行的矩陣 7. 對稱矩陣 : 如果一個矩陣滿足 ij ji 稱此矩陣為對稱矩陣 8. 對角線矩陣 : 如果一個方陣中除了對角線上的元不為零外 其餘都是零者稱之 對角線其 當 i j 餘的元可以為零或非零實數 即 ij 實數 當 i j 9. 行矩陣的轉置矩陣為列矩陣 列矩陣的轉置矩陣為行矩陣 問題. 對角線矩陣有何優點? 應用. 對角化 digoliztio: 設 則 det det 為特徵方程式 chrcteristic poloil of 特徵根 eigelue 為 對 時 若 則解為 t t t 對 時 9
若 則解為 取 則為對角化矩陣 t t t. 設 並希望 即 D D D D D 6 O O 當 det 時 才能取到之解 故取滿足 det 之 即可 再代回去解 det 之解即為 此時 求 並可以求之極限矩陣 D D D D D D D k k k k li. 設 則 det det 為特徵方程式 特徵根為 對 時
若 則解為 t t t 對 時 若 則解為 t t t 對 時 若 則解為 t t t 取 則為對角化矩陣 即 此時若要求 可以簡化計算 並可以求之極限矩陣 D D D D D D D k k k k li