Microsoft Word - 97_2_la_handout_06線性轉換與特徵值問題.doc

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丽伊
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1 第六章線性轉換與特徵值問題最後更新日期 :9 年月 8 日本章介紹線性轉換 (liear trasformatio), 將線性系統看成一個函數, 探討在不同向量空間裡之向量的對應情形定義函數時, 定義域與值域是重要的元素, 在線性轉換中, 對應前者的是轉換矩陣的核 (kerel), 而對應後者的是轉換矩陣的值域 (rage) 特徵值問題(eigevalue ad eigevector) 是線性轉換的一個重要的應用, 而對稱矩陣的對角化 (diagoalizatio) 則是該問題的直接應用對稱矩陣對角化讓矩陣的運算擴展到指數三角函數等超越函數本章的內容安排如下 : 6. 線性轉換 6. 核心與值域 6. 轉換矩陣 6.4 特徵值與特徵向量 6.5 矩陣對角化 6. 線性轉換對一個線性系統而言, 線性轉換 (liear trasformatio) 是以函數的觀點來看線性系統考慮以下線性系統 x 7 Ax b 其中 A, y, 4 x b 9 z x, yz, 線性轉換如同下圖的黑盒子, 我們需決定輸進去的 ( ) 後, 產出 R 的 ( ) 7,9 : R, 使得經過黑盒子轉換 x x y R z 7 b R 9 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

2 我們也可以將線性系統看成下圖的函數對應關係, 定義域是 R, 而值域是 R : L R ( x, yz, ) ( 7,9) R 以數學符號來表示則為 L: R 7 R 或 L( x ) 9 當然, 轉換或函數 L 必須滿足某些條件才可以稱為線性轉換或線性函數定義 ( 線性轉換 ) 令 V W 為兩向量空間, L 為以 V 為定義域 W 為值域的函數, 若任意 uv, V, c R滿足以下兩性質 ( a) L( + ) L( ) + L( ) ( b) L( c ) cl( ) u v u v (6-) u u (6-) 則 L 稱為 V 對應至 W 的線性轉換 (liear trasformatio), 記為 LV : W 題外話 ( 線性運算子 ) 若線性轉換 L 的定義域與值域是相同的向量空間, 如 LV : V, 則我們稱 L 為向量空間 V 的一個線性運算子 (liear operator) 例題 6- ( 驗證線性轉換 ) 令 L : Mm M m, 定義如下 ( A) A L 試驗證 L 是否為線性轉換解答令 AB, M m, c R, 則 ( a) L( A+ B) ( A+ B) A + B L( A) + L( B ) ( b) ( ) ( ) L ca ca ca cl( A ) 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

3 故 L 是一個線性轉換例題 6- ( 驗證線性轉換 ) 解答令 L: M L ( A) A R, 定義如下試驗證 L 是否為線性轉換令 AB, M, c R, 則 a L A+ B A+ B A + B L A + L B ( ) ( ) ( ) ( ) 故 L 不是一個線性轉換例題 6- ( 驗證線性轉換 ) 令 L: R 解答 m R, 定義如下 L ( x) Ax 其中 A M 試驗證 L 是否為線性轉換 m m 令 xy, R, c R, 則 ( a) L( x+ y) A( x+ y) Ax+ Ay L( x) + L( y ) ( b) L( cx) A( cx) cax cl( x ) 故 L 是一個線性轉換定理 6- ( 線性轉換之性質 ) 若 LV : W 為一線性轉換, 則 ( a) L( c v + c v + + c v ) c L( v ) + c L( v ) + + c L( v ) (6-) k k k k ( b) L( ) L( ) V ( c) L( u v) L( u) L( v ) W 其中, v, v,, vk, u, v V, c, c,, ck R, V W 分別為 V W 的加法單位元證明素, 而 v 為 v 之加法反元素自行練習吧 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

4 記得使用 (6-) 與 (6-),( b ) 需加上加法單位元素的定義 : v+ v, 而 ( c ) 則需考慮加法反元素的定義 : v+ ( v) 定理 6- ( 以基底轉換表示 ) 若 LV : 證明 W為線性轉換, { v, v,, v} 為 V 的基底, 且 V { L( v), L( v),, L( v )} 將 u 表示成 u cv+ cv + + cv ( 以線性組合 ) 來表示, 則經由 (6-) 自然可將 ( ) ( u) ( v ) + ( v ) + + ( v ) u, 則 ( ) L u 表示為 L u 可由 L c L c L c L 題外話 ( 應用定理 6-) 定理 6- 告訴我們, 只要知道基底向量的轉換結果, 即使不知道整個轉換機制, 也可以作任何向量的轉換若 LV : W 換, { v v v } L( u ) : u A [ u ] L ( u) A [ u ] 為線性轉,,, 為 V 的基底令 u V, 我們使用以下兩個公式來計算 L 其中 A v v v [ ] L( ) L( ) L( ) A v v v L 我們稱 A 為基底的轉換矩陣 (matrix of a liear trasformatio) L 例題 6-4 ( 利用基底的線性轉換 ) 令 L: R 解答 R 為線性轉換, { v, v } 是 R 的基底, 其中 v ( ) v ( ) 而且 L( v ) (,, 4 ), L( v ) (,,5), u u 試求 L ( ), ( 5,4) 先求 [ u ],, 其為以下線性系統的解 [ A u] [ u ] 5 基本列運算 4 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 4 / 7

5 則 L L ( u) A [ u ] 例題 6-5 ( 利用基底的線性轉換 ) 令 L: R ( a) L (, 4) ; ( b) L( s, t ) R 為線性轉換, 且已知 (,) (, ) L (, ) (, ) 解答令 {(, ), (, ) }, A, A L ( a ) ( ), 4 為以下線性系統的解 L, 試求基本列運算 4 (, 4) L (, 4) A (, 4) ( b ) 一樣的作法, ( s, t) 7 L 6 為以下線性系統的解 7 7 s+ t st s 基本列運算 t s+ t ( st, ) st s+ t s t L st s (, ) A ( s, t) L s t 題外話 ( 與座標變換比較 ) 若 LV : W為線性轉換, { v, v,, v} 為 V 的基底, 依據定理 6- 的結果, L( v), L( v),, L( v ) 也是一個基底, 但不要搞錯了, { } 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 5 / 7

6 它不見得是 W 的基底! 我們會在下一節處理這個問題現在與上一章的座標變換比較一下, 若將 L 看成座標變換, 則 L 是在相同空間作轉換 L: R R ; 這時, 就是 R 的基底了這也就是我們可以將座標變換視為一個運算的道理 6. 核心與值域對從向量空間 V 映射至向量空間 W 的轉換 LV : W, 在本節, 我們關心 V W 的大小 ( 對向量空間應該是維度才恰當 ) 這牽涉到函數的映射是否一對一 (oe-to-oe) 與映成 (oto) 的觀念定義 ( 一對一 ) 令 LV : W為線性轉換, 對任意元素 uv, V, 若 u v L( u) L( v ) 或 L( ) L( ) u v u v 則稱 L 為一對一 (oe-to-e) 定義 ( 核心 ) 令 LV : W 為線性轉換, 則 V 所有映射到 W 之元素所成的集合稱為 L 的核心 (kerel), 標記為 ker L, ker L v L v, v V { ( ) W } 定義 ( 值域映成 ) 令 LV : W為線性轉換, 則所有映射的元素 L( v), v V 所成的集合稱為 L 的值域 (rage), 標記為 rage L, { ( v) v } rage L L V 若值域與對應域相等, rage L W, 則稱 L 為映成 (oto) 定理 6- ( 核心值域與一對一之性質 ) 令 LV : W ( a) 為線性轉換, 則 ker L 為 V 之次空間 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 6 / 7

7 ( b) rage L 為 W 之次空間 ( c ) 若 ( ) dim ker L, 則 L 為一對一 ( d ) 若 dim( rage L) ( e ) ( ) ( ) dimv, 則 L 為一對一 dim ker L + dim rage L dimv 請參考圖 6-, 說明兩種不能成為函數的映射狀況另外, 圖 6- 呈現一對一映成與一對一且映成等三種情況圖 6- 圖 6- 題外話 ( 一對一且映成的重要性 ) 檢視圖 6- 之各對應圖, 若我們把對應的箭頭倒過來, 則只有一對一且映成還是一個合法的函數! 這個對應箭頭倒過來就是反函數 (iverse fuctio) 的意思, 因此, 正式的說法為, 一對一且映成的函數才存在其反函數 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 7 / 7

8 題外話 ( 值域核心 v.s. 列空間零空間 ) 我們一直用線性系統 Ax b 來串連本書的抽象題材, 介紹完值域核心的定義後, 當然還是要透過將它們與已經學過的東西結合若 L: R m R, ( x) ( a) rage L A 之行空間 ( b) ker L A 之零空間 L Ax, 則既然我們將 rage L ker L 比擬為矩陣的行空間零空間, 則線性轉換 L 有零度秩的概念也是理所當然的了 ( c ) dim( rage L ) 稱為 L 之秩 (rak of L ), 即 dim( rage L) ( d ) dim( ker L ) 稱為 L 之零度 (ullity of L ), 即 dim( ker L) rak A ; ullity A 將以上 ( a ) 至 ( d ) 放在心裡, 並結合定理 6- 的各性質, 我們可以用簡單求解本章的題目例題 6-6 ( 值域核心 ) 令 L: R 解答 4 R 為線性轉換, 其中 x x y z y + + L y + z + w z x z w 試求 ( a) rage L; ( b) ker L; ( c) L 是否一對一 ; ( d) L 是否映成首先, 改寫函數 x x x y z y + + y L y+ z+ w z z x z w w 基本列運算 A ( a) rage L( A 的行空間 ) {( ) ( )} rage L spa,,,,, ( 基底為 A 中帶頭一相對行之行向量 ) 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 8 / 7

9 ( b) ker L( A 的零空間 ) x y s + t, s, t R z w {( ) ( )} ker L spa,,,,,,, ( c ) ( ) dim ker L, 故 L 並非一對一 ( d ) dim( rage L) dim R, 故 L 並非映成例題 6-7 ( 值域核心 ) 令 L: R 解答 4 R 為線性轉換, 其中 (,,, ) ( +, +, + ) L xyzw x yz wx z 試求 :( a) rage L 之基底 ;( b) ker L 之基底 ;( c) L 是否一對一 ;( d) L 是否映成首先, 改寫函數 x y L( xyzw,,, ) ( x+ yz, + wx, + z) z w 基本列運算 A ( a) rage L( A 的行空間 ) rage L spa{ (,, ),(,, ),(,, )} 基底為 (,, ),(,, ),(,, ) { } ( b) ker L( A 的零空間 ) 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 9 / 7

10 x y s, s R z w ker L spa{ (,,, ) } 基底為 (,,, ) ( c ) ( ) { } dim ker L, 故 L 並非一對一 ( d ) dim( rage L) dim R, 故 L 為映成 6. 轉換矩陣本節整合線性轉換與上一章介紹的座標變換首先, 請牢記以下基本觀念 : 座標變換, 兩個基底 ( 座標系統 ) 間的座標變換, 只涉及一個向量空間 ; 線性轉換, 兩個向量空間之間的座標變換, 可能涉及不同基底另外, 我們會與一堆數學符號周旋, 這是沒有辦法的事 ; 請先參考圖 6- 圖 6- V v, v,, vm LV : W W w, w,, w { } { } u w L( u) L [ ] ( u) AL [ u] w A [ w] L( u) [ A ] [ u] u A u L 首先, 我們將符號歸成五類, 向量空間向量基底座標轉換矩陣 : 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

11 向量空間 :V W ; 向量 : u w L( u ); 基底 : { v v v } { w w w },,, m 座標 :[ u ] [ ] L 轉換矩陣 : A A u ;,,, ; w ( ) A [ ] L A A A L 其中, 轉換矩陣要特別注意, 依據不同內容間的轉換, 又分成好幾類 : 向量座標 : u A [ u ] L( u) A L( u ) L ( ) [ ] 座標向量 :[ u] A u L( ) L( ) 座標座標 : L( ) [ ] [ ] u AL u u A u ; u A u ; 請注意, 轉換矩陣並不見得都存在反矩陣! A A 可以有反矩陣, 但 L A [ A ] 不一定有, 為什麼? 動點腦筋想想吧最後, 要熟記這些轉換矩陣如何以及由哪些向量 ( 座標 ) 所組成 : L L 就 [ ] A v v v ; m [ ] A w w w ; ( ) ( ) ( ) A L v L v L v ; L m 好了, 我們已經介紹完座標變換與線性轉換的符號與基本關係式剩下來的就是眼睛放亮一點, 發揮創意由這些基本關係式組成我們要的東西題外話 ( 轉換矩陣之符號意義 ) 我們來解讀一下 [ A ] L 符號的意義 A 表示這是一個轉換矩陣, 下標的 L 表示這是一個線性轉換 ( 若沒有 L 則為座標變換 ), 下標的表示輸入端是基底的座標,[ i ] A L 則表示轉換的結果是一個向量表示轉換成基底的座標若沒有座標符號, 如好了, 我們練習一下沒有出現的符號 :[ A ] 換成座標的座標變換矩陣, 關係式寫出來應如 [ ] [ ] [ ] 看出來了嗎? 這是一個將座標轉 u A u 定義 ( 表示 L 之轉換矩陣 ) 令 LV : W為線性轉換, { v, v,, vm} { w w w },,, 分別為 V W 之 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

12 基底, 任意 u V, 若 ( u) [ A ] [ u ] L 則稱 [ A ] L L 為表示線性轉換 L 之轉換矩陣 (matrix represetig L with respect to the bases ad ) 題外話 ( 推導 [ A ] ) 在上面的關係式, 沒有提供 [ A ] ( L A A A ) 組合而來以下是推導過程 : L ( ) L( ) [ ] [ ] L u A u A A u A A A L L L L, 它可以由基本轉換矩陣可以這樣想, A L 轉換後的結果是向量 ( 把 A L 看成向量 ), 而 A A ) 轉換成之座標 : A A ( L 的基底, 則 [ A ] 的推導如下 L 則進一步將向量相同道理, 若為在同一個向量空間上 [ ] [ ] [ ] u A u A A u A A A 上一章, 我們將這個座標變換矩陣 [ ] A 標記為 P 題外話 ( 計算課題 : 不要直接找 A ) 在座標變換或線性轉換的計算, 我們常常有面臨反矩陣的場合, 不要真的直接去找反矩陣, 那會煩死人以下是建議作法 : () 已知 [ ] u A u u A, 求 [ ] u A u 作法為處理以下增廣矩陣基本列運算 [ ] A u A A A u I A u 以基本列運算將左方轉換為單位矩陣, 則右方即為所求之 [ u ] () 已知 A A, 求 [ ] L L L A A A 處理以下增廣矩陣 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

13 基本列運算 [ ] A A L A A A AL I A AL 有沒有捉到重點? 將需要求反矩陣的矩陣 ( 如 A A ) 擺在增廣矩陣的左方, 其它部分擺在右方, 然後以基本列運算將左方轉換成單位矩陣即可例題 6-8 ( 避開直接找反矩陣 ) 令 LV : W 解答而且已知為線性轉換, { v, v, v } { w, w } (,, ), (,, ), (,, ), (, ), (,) v v v w w L( v) (, ), L( v) (, ), L( v ) (,) 試求座標與座標間的轉換矩陣 [ A ] 我們知道 [ ] A A A L L 由題目資訊, 我們有 L 分別為 V W 基底, 其中 A [ w w], L L( ) L( ) L( ) A v v v 處理以下增廣矩陣基本列運算 4 4 [ A L ] 還記得反矩陣的數值解過程嗎? 是不是與這裡處理的增廣矩陣有所雷同所以呢, 事實上, 我們是有求反矩陣, 間接的啦向量空間內的線性轉換本小節討論線性轉換 LV : V( 定義域與對應域的空間相同 ) 的轉換矩陣這時, 基底 { v, v,, vm} { w, w,, wm} 能性我們將討論相同基底座標間的線性轉換矩陣,[ A ] 與 [ A ] 在相同的向量空間, 因此有座標變換的可 L L, 並建立這兩個 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

14 轉換矩陣的關係式定理 6-4 ( 線性轉換矩陣之座標變換 ) 令 LV : 轉換矩陣 A V為線性轉換, { v, v,, vm} 已知如下 L L L( ) L( ) L( m ) A v v v 則對任意 u V, 其中, 證明 ( a ) ( a ) [ AL ] A A L ( b ) [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] L L { w w w },,, m [ ], [ ], [ ] A v v v A w w w A A A m 由定義 L ( u) A [ u ] L( ) L( ) L u A u, 故 ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] L L 為 V 之基底, 若 L u A u A L u L u A A u (6-4) 可得到 ( b ) [ ] A A A (6-5) L L 由定義 u A [ u] A [ u ] L( ) L( ) L( ) [ u] A A[ u ] L( u) A A L( u ) u A u A u, 故將這兩式代入 (6-4), 可得 ( ) ( ) [ ] A A u A A A A u L L ( ) ( ) ( )( L u A A A AL A A )[ u] [ A] [ AL] [ A] [ u ] 也就是 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 4 / 7

15 [ ] [ ] [ ] [ ] A A A A (6-6) L L 題外話 (6-6) 的意義為, 我們在向量空間 V 的基底上已經 ( 辛苦地 ) 建立一個表示 L 的線性轉換矩陣 [ A ] L 現在, 假如我們在 V 上定義一個新的基底, 那麼可不可以利用已知的 [ A ] 資訊, 來建立新基底上來表示 L 的線性轉換矩陣 [ A ] L 然答案是肯定的, 我們只要先 ( 簡單 ) 建立座標到座標的座標變換矩陣 [ ] L? 當 A, 再利用 (6-6) 就可以了例題 6-9 ( 驗證轉換矩陣 ) 令 L: R R 為線性轉換, x x+ y L y x y ; 又令,,, 為 R 的基底則 () 基本轉換矩陣如下 A,, L L A A 4 A 其中 L, L, L, L 4 () 求 [ ] A A A, 處理以下增廣矩陣 L L 基本列運算 4 [ A L ] () 求 [ ] A A A, 處理以下增廣矩陣 L L 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 5 / 7

16 基本列運算 [ A L ] (4) 求 [ ] A A A, 處理以下增廣矩陣 5 基本列運算 5 [ A ] (5) 求 [ A ] [ A ] [ A ] [ A ] L L [ A ] [ A ] L 5 處理以下增廣矩陣 5 基本列運算 [ A L ] () 與 (5) 求到的 [ ] A 相同 L 6.4 特徵值與特徵向量本節介紹同向量空間的一個非常特殊的線性轉換 : LV : V, L ( ) u λu (6-7) 其中, u V, λ R 線性轉換的結果沒有改變向量的方向, 只是將它的大小作比例 λ 之改變若持續作相同的線性轉換, 如 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 6 / 7

17 L L ( ) ( ) L L( ) u u λ u ( u) λ u 則向量的大小會趨近於或 : 若 λ < lim L ( u) u 若 λ 若 λ > 上面 ( 會使向量大小並為無限大的 ) 性質應用在許多領域, 例如, 工程建物的共振並不是所有向量空間 V 中的向量都有 (6-7) 的性質, 事實上, 最多只有 dimv 個向量滿足 (6-7) 沒有錯, 就是與 V 的維度有關還有更有趣的, 這些向量都伴隨著特定的 λ 值我們稱這些特殊向量為特徵向量 (eigevector,characteristic vector), 而這些伴隨著的 λ 值為特徵值 (eigevalue,characteristic value) 根據上一節的結果, 若 V R, 則存在一表示 L 之轉換矩陣 A M, 使得 (6-7) 變成如下的線性系統 : L ( ) x Ax λx (6-8) 我們的興趣是, 找出方陣 A 的特徵值與特徵向量一共最多有對, 還記得? 例題 6- ( 驗證特徵向量特徵值 ) 令 A 試驗證 ( a ) v [ ], ( b ) v [ ] 解答驗證如下為 A 之特徵向量 Av, v Av v 故 v v 為 A 之特徵向量, 且其特徵值分別為 λ λ 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 7 / 7

18 定理 6-5 ( 特徵向量的非零倍數仍為特徵向量 ) 證明令 A M, u R, λ R, 使得 Au λu 若 w cu, c, 則 Aw λw ( ) ( ) ( ) ( ) Au λu c Au c λu A cu λ cu Aw λw 題外話 ( 特徵向量不可以為零向量 ) 決定特徵向量的是以下齊次系統 : ( λ ) A I x 這個系統一定有 x 這個瑣碎解, 在這個情況下, 特徵值 λ 可以為任何實數值, 並沒有為我們帶來任何有意義的訊息因此, 特徵值不能為考慮以下矩陣與向量 : A, x Ax 這個情況, 我們認定特徵值 λ 也就是說, 特徵值可以為零, 但特徵向量不可以為零向量例題 6- ( 驗證特徵向量特徵值 ) 令解答 7 A 7 試驗證 ( a) λ, ( ) b λ 6 為 A 之特徵值我們需將 λ 代入, 並檢測下列線性系統 ( 齊次系統 ) 的解 : ( ) Ax λx Ax λx A λi x 若只有瑣碎解 x, 則該 λ 不是特徵值 ; 反之若有非瑣碎解, 則 λ 為特徵值, 而且該非瑣碎解為特徵向量 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 8 / 7

19 ( ) a λ, 處理以下線性系統 ( ) 7 基本列運算 7 x s, s R λ 為特徵值, 而其特徵向量為 [ ] 故 b λ 6, 處理以下線性系統 x λ 76 6 基本列運算 76 x s + t, s, t R 故 λ 6 為特徵值, 而其特徵向量有許多, 上式的 x 都是題外話 ( 特徵值空間 ) 在例題 6- 的 ( ) λ 6 的特徵向量 b λ 6, 以下向量空間的向量都是 W s x x + t, s, t R 一般我們會以該空間的基底的向量來代表, 如 x, x 我們已經知道, 一個向量空間會有許許多多的基底現在問題來了, 哪一個基底比較好呢? 答案很明顯, 就是單模正交基底以下是將一般基底轉換為單模正交基底的 Gram-chmidt 程序, 正交步驟 : 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 9 / 7

20 v x 5 xiv v x v 5 v iv 5 正規化步驟 : w w v 5 v v 5 v 若與 ( a) λ 得到的特徵向量 [ ] x 比較, 我們可以發現, x 也正交於 w w 它的門道在於 A 為對稱矩陣 (symmetric matrix), 我們在下一節會討論這個課題找特徵值與特徵向量方陣 A M 的特徵向量, 為下列線性系統的解 Ax λx 亦即, 特徵向量為下列齊次系統的非瑣碎解 ( λ ) A I x (6-9) 而 (6-9) 有非瑣碎解的條件為 ( λ ) det A I A λi (6-) 其中, 多項式 f ( λ ) det ( Aλ ) 程式 f ( λ) ( λ ) I 稱為 A 的特徵多項式 (characteristic polyomial), 而方 det A I 稱為 A 的特徵方程式 (characteristic equatio) 也就是說,A 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

21 之特徵方程式的根即為其特徵值 f ( λ) ( λ ) 最多有個實數根, 所以呢, A 最多有個特徵值 det A I 為 dim A 階的多項方程式, 找方陣 A 之特徵值特徵向量的步驟如下 : 步驟一 : 找出特徵值解特徵方程式 ( ) ( A λi ) f λ det 其實數根, λ, λ,, λk, k, 即為特徵值步驟二 : 找特徵向量將步驟一得到的特徵值 λ i, i,, k 分別代入 (6-9): A λi x ( ) 以上齊次系統的非瑣碎解 ( 基底向量 ) 即為 λ i 的特徵向量若有基底向量數目多於一, 則以 Gram-chmidt 程序找正交基底例題 6- ( 找特徵值特徵向量 ) 令 A 解答試求其特徵值特徵向量求解特徵方程式 : λ λ ( λ)( λ) 4 λ λ, λ () 令 λ, 處理以下線性系統 : 基本列運算, x t t R x () 令 λ, 處理以下線性系統 : 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

22 ( ) 基本列運算, ( ) x t t R x 故其特徵值為 λ λ, 特徵向量為 x [ ] [ ] x 例題 6- ( 找特徵值特徵向量 ) 令 7 A 7 解答試求其特徵值特徵向量求解特徵方程式 : 7λ 6λ 6λ λ 基本列運算 6λ + λ 7λ 7λ 6λ 6λ 6λ 6 λ + λ 基本行運算 6 λ 7λ λ λ,6,6 () 令 λ, 處理以下線性系統 : 7 基本列運算 7 x s, s R 故其特徵向量為 [ ] x () 令 λ 6, 處理以下線性系統 : 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

23 76 6 基本列運算 76 x s + t, s, t R 因 λ 6 為重根, 有兩個特徵向量是正常的以 Gram-chmidt 程序將上式的基底轉換為正交基底 : v x xiv v x v v iv 故其特徵向量為 v [ ] [ ] 本題特徵值為 λ λ 6 6 x [ ] [ ] v λ, 其特徵向量分別為 [ ] x x 題外話 ( 有關特徵方程式 A λi 的求解 ) 找特徵值特徵向量的過程, 求解特徵方程式是必要的非常令人討厭的步驟一句箴言 : 不要草率的直接將行列式值乘開! 乘開後, 除了加加減減整理多項式的程序很煩, 容易出錯, 最要命的是配方, 有些時候就是配不出來筆者建議先用基本列運算基本行運算, 將行列式中弄一些零元素出來, 這樣作列展開 ( 或行展開 ) 時會清爽許多例如 λ 列 :() + ( ) λ λ 行 :( ) ( ) λ λ λ λ 若所有根都是有理數, 以上作法可以一路到底, 直接從對角元素看出答案當然, 如果有無理根或虛根來攪局, 只好打起精神來, 拼配方技巧了以下是幾個有關特徵值與特徵向量的重要性質 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

24 定理 6-6 證明若 A M 為奇異矩陣, 則 λ 為 A 的特徵值 ; 反之亦然考慮特徵方程式 det ( A λi ), 將 λ 代入, 則為 det ( A ) ; 反之, 由 ( A) 可得 λ 為 ( λ ) det det A I 之一個解定理 6-7 λ, λ,, λ 為若證明 A M 的個特徵值, 則 det ( ) λ λ λ λ λ λ λ 考慮特徵方程式 ( ) ( )( ) ( ) det ( ) A λ λ λ det A I, 將 λ 代入, 則得到 A λ λ λ 定理 6-8 證明若 λ 為 A M 之特徵值, 且 det ( A ), 則 λ 為 A 的特徵值由已知條件 : Ax λx, 兩邊乘上 A : A Ax x λa x A x λ x ( A ) det 告訴我們 A 存在, 且 λ 定理 6-9 λ, λ,, λk 為 A M 之相異特徵值, 則其特徵向量 x, x,, xk 互相獨立若證明令 xk cx+ cx+ + ck xk (6-) c, c,, ck R, 則其中 Ax c Ax + c Ax + + c Ax k k k λ x cλx + c λ x + + c λ x k k k k k 將該式與 (6-) 的 λ k 倍, 則 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 4 / 7

25 ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) c k x+ c k x + + ck k k xk λ, λ,, λk 互不相等, 故因 c c c k x 獨立於 { x x x } 即 k,,, k, 我們沒有特意排序, 故 x, x,, xk 互相獨立題外話 ( 與 ( ) det A 相關的敘述 ) 以下有關 A M 的敘述散在各課題的討論, 雖然涉及不同名詞, 但數學意涵完全一樣 : () A 不是奇異矩陣 (osigular) () Ax 只有瑣碎解 (trivial solutio) () A 與 I 列等價 (row equivalet) (4) Ax b 有唯一解 det A (5) ( ) (6) rak A (7) ullity A (8) A 的列向量線性獨立 (9) A 的行向量線性獨立 () A 的特徵值不為零, λ 6.5 矩陣對角化本節對一個特殊矩陣有興趣 : 對角矩陣就特徵值與特徵向量的觀點, 對角矩陣非常優秀 : 其對角元素就是特徵值 : λ i aii, i,,, 而特徵向量就是自然基底向量 : e i, e i 為單位矩陣 I 的第 i 行向量, i,, 例題 6-4 ( 對角矩陣的特徵值特徵向量 ) 令 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 5 / 7

26 A 4 試求其特徵值特徵向量解答求解特徵方程式 : λ ( )( )( ) 4 λ λ 4λ λ λ λ, 4, () 令 λ, 處理以下線性系統 : 4 基本列運算 x s, s R 故其特徵向量為 [ ] x e 其它特徵向量分別為 : x e [ ] [ ] x e 以下討論的定義性質只有一個目的 : 將一般矩陣與對角矩陣搭上線, 好利用對角矩陣一眼就可以看出特徵值與特徵向量的好特性定義 ( 相似矩陣 ) 矩陣 AB, M, 若存在非奇異矩陣 P, 使得 B P AP 則稱 A B 為相似矩陣 (similar matrix) 定義 ( 可對角化矩陣 ) 若矩陣 A M 與對角矩陣相似, 則稱 A 為可對角化 (diagoalizable) 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 6 / 7

27 例題 6-5 ( 驗證相似矩陣 ) 令 A,, B P 解答試驗證 A B 為相似矩陣驗算這些矩陣 P AP A PB 我們有 PB AP B P AP 故 A B 相似且 A 為可對角化矩陣定理 6- 若 AB, M, 且存在非奇異矩陣 P M 使得 B P AP, 則 A B 有相同的特徵值, 而且證明 xb P x A, 其中 A x x B 分別為 A B 之特徵向量若已知 λ x A 為 A 之特徵值特徵向量, 即 Ax A λx A 等號兩邊同乘 P, 並令 P x y, 即 x A Py, 則 A A A Ax λx P APy λp Py By λy 故知 λ 也是 B 之特徵值, 且其特徵向量 x y P x 倒過來, 若已知 λ x B 為 B 之特徵值特徵向量, 則 B A B λ B B λ B B B λ B Bx x P APx x PP APx APx Px 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 7 / 7

28 故知 λ 也是 A 之特徵值, 且其特徵向量 xa Px B 例題 6-6 ( 驗證相似矩陣的特徵值特徵向量 ) 令 A,, B P 因 B P AP, 故知 A B 為相似矩陣試驗證 A B 特徵值特徵向量之關係解答我們已於例題 6- 找出 A 的特徵值與特徵向量 :,, x, λ A A B 是對角矩陣, 其的特徵值與特徵向量可目視而得 :,, x, λ B B 驗證 xa Px B, B x P x : A P PXB A X P XA X B 這驗證了定理 6- 介紹相似矩陣特徵向量的關係定理 6- ( 將矩陣對角化的方法 ) 若 A M 為可對角化矩陣, 則 A 有個相互獨立的特徵向量, 反之亦然也就是說, 若 A 為可對角化, 則以下等式成立 P AP D 其中,P 之行向量為由 A 之特徵向量,D 為由 A 之特徵值為對角元素的對角矩陣證明 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 8 / 7

29 ( 若的部分 ) 若 ( P ) det, 使得 A M 為可對角化矩陣, 則存在 P [ p p p ],,,, P AP D AP PD DP (6-) 其中, i, i,, p 為 P 之第 i 行向量, ( a a a ) 可以 P 之各行拆開為個等式 D 為對角矩陣 (6-) diag,,, Ap a p Ap Ap a a p p 此證明 a, a,, a 為 A 之特徵值, p, p,, p 故 { p p p },,, 獨立為 A 之特徵向量, 又 ( ) ( 唯若的部分 ) 令 P [ x x x ], ( λ λ λ ) x, x,, x,,, D diag,,,, 其中, 分別為 A 之特徵值特徵向量因 { x x x } 獨立故 ( P ),,, det P, λ, λ,, λ, det, 則 AP PD DP P AP D 故 A 為可對角化矩陣例題 6-7 ( 驗證可對角化矩陣 ) 令 A 5 4 解答試驗證 A 為可對角化矩陣求解特徵方程式 : λ λ 6, 5 4 λ () 令 λ 6, 處理以下線性系統 : 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 9 / 7

30 6 5 基本列運算 5, x s s R () 令 λ, 處理以下線性系統 : ( ) 基本列運算, 5 4 ( ) x s s R 得到 5 5 P, P 5 因 A 有個獨立特徵向量, 故 A 為可對角化矩陣其實, dim A, 且找到個相異實數特徵值, 就可以下 A 為可對角化矩陣的結論題外話 ( 相似矩陣中 P 的前後位置 ) 在相似矩陣的定義定理 6- 以及定理 6- 中, 同學會頭痛 : 到底應該是 P 擺前面, 還是 P 擺前面? 以下是筆者學生時代發展的記憶法, 滿管用的記住 P x 特徵向量以及 D λ 特徵值, 然後回憶以下兩個式子 : Ax λx AP DP 並隨時提醒自己特徵向量 x 擺在 A 的後面, 這就夠了以下是真正要記的公式 AP PD DP P AP D A PDP 題外話 ( 可對角化矩陣之超越函數 ) 矩陣的可對角化性質可以豐富矩陣運算 : 從四則運算擴展到指數對數與三角函數等超越函數的運算所有的這些故事根源於兩個地方 :() 對角矩陣的次方很容易求得,() 泰勒展開式 diag a, a,, a M 為對角矩陣, 很容易可以驗證, 其 k R次方為令 D ( ) 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

31 ( a a a ) k k k D diag,,, 另外, 以下是我們會用到的泰勒展開式 (aylor expasio): x e + x+ x + x +!! 5 7 si x x x + x x +! 5! 7! 若 A M 為可對角化矩陣, 即存在對角矩陣 D diag ( λ, λ,, λ ) 與非奇異矩陣 P 與, 使得 A PDP 則 ( λ λ λ ) ( λ λ ) k k k k k A PD P Pdiag,,, P A D e Pe P Pdiag e, e,, e λ P ( ) ( ) λ λ λ λi l A P l D P Pdiag l,l,,l P, >,,, ( ) ( λ λ λ ) si A P si D P Pdiag si,si,,si P 同學可以自行練習以上各式的詳細推導基本原則是, 所有對 A 的運算都會直接反應到 D 上 ( 與 P P 無關 ), 而對 D 的運算就直接寫在對角元素上即可例題 6-8 ( 可對角化矩陣之超越函數 ) 令 A 5 4 k 試求 () A ;() e A 解答求得 A 之特徵值與特徵向量 : λ 6,, x, 5 即 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

32 6 D,, P 5 P 7 5 () A k k 6 k k k 5 A PD P 6 k ( ) ( ) k () e A A D e Pe P e + e 7 5 e e 6 5 題外話 ( 有關 PDP 的計算 ) 在矩陣對角化的課題裡, 我們常常需要作 PDP 型式的計算, 過程有點煩以下提供一個徒手計算時比較不會犯錯的方法假設我們要算出 PDQ 的結果, 其中, P p ij Q q ij D diag ( λ, λ,, λ ), 我們可以將整個結果寫成項 ( 每個 λ i 一項 ) 之和 : pi p pi i 第 i 項 : λ [ q q q ] i i i i 例如 6 e 6 5 e e e e [ ] e [ 5 ] e + 5e e e 6 6 5e 5e 5e + e 多算幾次就可以掌握這是怎麼一回事了 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

33 對稱矩陣的對角化有關矩陣對角化課題上, 對稱矩陣 (symmetric matrix) 有一些非常管用的特性 :() 對稱矩陣的特徵方程式全部是實數跟,() 對稱矩陣一定為可對角矩陣,() 對稱矩陣可以找到正交特徵向量,(4) 對稱矩陣的 P P 就計算的觀點, 第 (4) 點最帥題外話 ( 對稱矩陣 ) 還是囉唆一點, 複習一下對稱矩陣, 免得有人快到終點站前, 才搔頭不好意思地問 : 什麼是對稱矩陣? 矩陣 A M, 若 A A, 則稱 A 為對稱矩陣 (symmetric matrix) 以下都是對稱矩陣 : 4 7 A,, 5, 4 I D B 7 5 對任何矩陣 M, 與都是對稱矩陣證明如下 : m ( ) ( ), ( ) ( ) 例如, 4 4 6,, [ ] [ ] [ ] 記得這個箴言 : 對稱矩陣與轉置有關! 定理 6- 若 A 為對稱矩陣, 則其特徵方程式, f ( λ) ( λ ) det A I, 只有實數根定理 6- 若 A 為對稱矩陣, 則 A 為可對角化矩陣 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 / 7

34 定理 6-4 ( 特徵向量正交 ) 若 A 為對稱矩陣, 則其相異特徵值之特徵向量互相正交證明首先, 需瞭解以下算式成立 Axiy y Ax x A y xi A y 令 ( λ, x ) (, ) λ x 為 A 之兩個特徵值特徵向量, 且 λ λ, 即以下兩式成立 Ax λ x, Ax λ x 則 ( x ix ) ( x ) ix ( Ax ) ix x i( A x ) x i( Ax ) x i( x ) ( x i x ) λ λ λ λ ( λ λ )( x i x ) λ λ, 故 xi x, 即該兩特徵向量正交因題外話 ( 正交向量的好處 ) 若 { x, x,, x } [ ] P x x x R 正交, 令則 ( ) P P x i x diag x i x, x i x,, x i x i j x, x,, x 也都是正規化後的向量, 即 xi xii xi, i,,, 則若 ( ) P P x i x diag x i x, x i x,, x i x I i j 也就是說, 若 { x, x,, x } R 為單模正交基底, 則 P P 定義 ( 正交矩陣 ) 矩陣 A M, 若 A A, 則稱 A 為正交矩陣 (orthogoal matrix) 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 4 / 7

35 定義 ( 可正交對角化矩陣 ) 矩陣 A M, 若存在正交矩陣 P 與對角矩陣 D, 使得 P AP D, 則稱 A 為可正交對角化矩陣 (orthogoally diagoalizable) 定理 6-5 ( 對稱矩陣為可正交對角化矩陣 ) 若 A 為對稱矩陣, 則其為可正交對角化矩陣, 反之亦然證明 ( 唯若的部分 ) 若 A 為可正交對角化矩陣, 則存在正交矩陣 P 與對角矩陣 D, 使 ( ) ( ) P AP D A PDP PDP PDP PDP A 得證 A 為對稱矩陣例題 6-9 ( 驗證對稱矩陣為可正交對角化 ) 令 7 A 7 試驗證 A 可正交對角化矩陣解答 () 找 A 之特徵值求解特徵方程式 : 7λ 6λ 6λ λ 基本列運算 6λ + λ 7λ 7λ 6λ 6λ 6λ 6 λ + λ 基本行運算 6 λ 7λ λ λ,6,6 () 找正交特徵向量令 λ, 處理以下線性系統 : 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 5 / 7

36 7 基本列運算 7 x s, s R 故其特徵向量為 [ ] x 令 λ 6, 處理以下線性系統 : 76 6 基本列運算 76 x s + t, s, t R 因 λ 6 為重根, 有兩個特徵向量是正常的以 Gram-chmidt 程序將上式的基底轉換為正交基底 : v x xiv v x v v iv 故其特徵向量為 v [ ] [ ] () 將特徵向量正規劃 v ( ) ( ) x,, i,, 6 ( ) ( ) v,, i,, ( ) ( ) v,, i,, 得到 9 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 6 / 7

37 P, D 6, 6 P 6 6 驗證 P P P AP 陳欣得 ( 線性代數 ) 6 線性轉換與特徵值問題 7 / 7

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<4D F736F F D C54BB8F4AF53A6D22DA475B57BBCC6BEC728B0AAADFBAFC529> 年特種考試交通事業鐵路人員考試試題等別 : 高員三級鐵路人員考試類科別 : 電力工程電子工程科目 : 工程數學甲申論題部分 :(5 分 ) 一設矩陣, 5 求 A 的特徵值 (eigevalues) (5 分 ) 求 A 的特徵向量 (eigevectors) (5 分 ) 求 A (5 分 ) λ det( A λi) 5λ ( λ)( λ5) λ, 5 λ K λ 5 K, 5 A