54高雄市科展-矩陣遞迴式及圖型討論.doc

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岭骏康
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1 摘要在本研究中我們討論以矩陣為係數的矩陣遞迴數列, 其中嘗試使用不同方式求解, 並成功將其推廣至階遞迴, 並討論矩陣遞迴數列的許多性質, 最後藉由其歛散性討論矩陣遞迴式繪製在 X Y 平面的結果與性質過程中我們必須了解矩陣與實數之間的差異性, 包括矩陣沒有交換性等, 那就得尋找不同於實數的思路, 或者是利用方法加強其條件或輔助推演, 以尋求我們所想要求的一般解, 並藉由我們在矩陣遞迴式求得的結論進行圖形繪製, 了解其歛散與跳動條件與性質研究過程中, 我們運用特徵方程式以及方塊矩陣做為工具來討論階遞迴的一般式, 再藉由 Geogebra 將其繪製成圖型並研究及解釋之 0

2 目錄壹研究動機貳研究目的參研究設備與器材肆名詞與定義 3 伍研究方法與過程 4 陸研究結果與結論 9 柒應用及未來展望捌參考文獻

3 壹研究動機在一次的數學段考中, 老師出了一題計算題 : 若二階矩陣序列 } È 5 3 =, = P + Q,( =,,3...) 其中 Î 3 { 滿足 0 0 È È P =, Q = 3 試求矩陣序列的一般式為何? Î Î 因為這題只是矩陣的一階遞迴式, 因此我們馬上利用把中間項消去的方法解出的一般式而非常直觀的想法, 我馬上想到如果這個問題變成是二階遞迴式而不是簡單的一階遞迴式時, 是否可以找出它的一般式此外, 因為好奇遞迴式在圖形上的遞迴關係, 我將試著將其繪製圖形並且討論及解釋其性質貳研究目的我們想要尋找出矩陣二階遞迴式的一般式, 在高中一年級所學的一般遞迴數列中, 因為每個式子中的係數, 彼此之間存在著交換律, 因此我們只需要寫出二階遞迴的特徵方程式, 便能夠求出特徵方程式的解並帶回原式, 求出一般遞迴數列的一般式不過矩陣的運算, 因為少了交換律, 所以不能使用特徵方程式的技巧, 因此我們本研究的目的, 將在矩陣的限制下, 設法求出它的一般式寫法並希望能夠推廣至階並討論其特殊的性質另外我們在高中課程中鮮少直接討論遞迴關係的圖形, 此研究我們希望更進一步討論矩陣遞迴式繪製在圖形上的各種性質參研究設備及器材紙筆電腦 athtype6 icrosoft Office Word GeoGebra4.

4 ( ㄧ ) 矩陣基本性質 : 肆名詞與定義令, B,C 皆為矩陣, 則有以下基本性質 : () + B= B+ () ( + B) + C = + ( B+ C) (3) B B (4) ( B) C = BC ( ) (5) = I, 其中稱的反矩陣 I 為單位矩陣其中我們必須特別注意的是矩陣的乘法並沒有交換律, 這將使特徵方程式出現致命的問題, 而我們必須先熟悉矩陣基本的運算方法, 並了解其和實數的不同, 才能順利推演我們的研究 ( 二 ) 特徵方程式 : 我們在進行一階二階遞迴式的推導時, 會需要構造數值在等式兩邊同作加減, 而此數值為某方程式之根, 稱此方程式為特徵方程式, 所求值為特徵值 ( 三 ) 對角化 : 0 0 Êl L ˆ Êl L ˆ Á Á 在做矩陣的次方時考慮主對角矩陣 Á O = Á O Á Á Ë0 L l Ë 0 L l, 所以構造 = PDP 其中 D 為一主對角矩陣, 可得 PD P = 特別地, 若有兩矩陣 B, 有可逆矩陣 P 使得 = PCP, B = PDP, 其中 CD, 皆為主對角矩陣, 稱此兩矩陣同時可對角化 ( 四 ) 同時可對角化: 若兩矩陣 B, 可對角化且存在 SS, 使得 = SC S, B = SC S, 其中 C, C 為主對角矩陣, 則稱 B, 同時可對角化 B B ( 六 ) 分塊矩陣 : 一個分塊矩陣就是將矩陣分割出較小的矩形矩陣換個方式來說, 就是以較 3

5 小的矩陣組合成一個矩陣分塊矩陣的分割原則是以水平線和垂直線進行劃分分塊矩陣中, 位在同一行 ( 列 ) 的每一個子矩陣, 都擁有相同的列數 ( 行數 ) 通過將大的矩陣通過分塊的方式劃分, 並將每個分塊看做另一個矩陣的元素, 這樣之後再參與運算, 通常可以讓計算變得清晰甚至得以大幅簡化伍研究方法與過程定理一 : 若一階 m矩陣遞迴數列 = P + Q, 其中 P 為已知矩陣 Q, 皆為已知 m矩陣, 則 = P È ( I P) Q+ ( I P) Q Î 證明 : 令 a 為 m矩陣使得 a = Pa + Q, 且稱此式為一階矩陣遞迴數列特徵方程式, 此時原式兩邊同減 a : a = P + Q a Q a = Pa a = P ( a) a P ( a) = ( ) = P a + a ( ) a = I P Q ( ) ( ) = P È I P Q+ I P Q Î 我們可以知道在一階矩陣遞迴式中, 利用特徵方程式的解法並不會因為矩陣的性質而有問題出現, 可直接利用已學會的一階遞迴特徵方程式解之我們以實數遞迴式特徵方程式解法進行矩陣二階遞迴數列的討論, 但發現因矩陣沒有交換率而無法用相同方式求得特徵方程式所以我們給定條件使 PQ, 能使用特徵方程式解之 : 4

6 引理 : 兩矩陣可對角化且有交換律兩矩陣同時可對角化證明 : fi : 先設想可對角化為 S S = C, 其中 C 是主對角特徵值矩陣設 C 有相異特徵值 l LL lm, 在不失一般性的原則下, 令相重特徵值緊鄰排列, 則 C 可表示成分塊矩陣直和 : ÈlIb C = = I I lmi Î bm O l b LL lm bm, 其中 j I b 是 b j 階單位矩陣, b 是特徵值 l 的相重數 j j 因為 B = B, 將 = SCS 代入上式, 得 SCS B = BSCS 令 D = È Îd ij = S BS, 則得 CD = DC, 比較等號兩邊矩陣的 (, i j ) 元, 即得 CD = DC ii ij ij jj 因為 ( C C ) D 0 =, 當 Cii Cjj, 必有 D ij = 0, 故知 D 具有下列主對角 ii jj ij ÊD ˆ Á 分塊形式 : D = O = D LL Dm, 其中 b j b j階分塊 D j 對 Á D Ë m 應特徵值 l j : 若兩矩陣同時可對角化, 則有 SS = C, SBS = D其中 CD, 皆為主對角矩陣, 主對角矩陣符合交換律 B = S CSS DS = S CDS = S DCS = S DSS CS = B 5

7 定理二 : 若二階 m矩陣遞迴數列 = P + Q其中 PQ, 為已知矩陣,, 為已知 m矩陣, 且 PQ, 有交換律且可對角化, 且 P 陣, 則 = ( a b) È Îa ( b)b ( a) P± P + 4Q 其中 a =, b = 特別地 : 若 P 證明 : Pm P + 4Q + 4Q = 0則 a ( g) g = +, 其中 g = ag + a ( a ) + 4Q為正定矩根據引理知, PQ, 有交換律且可對角化 PQ, 同時可對角化, 存在 S 使得 SPS 角矩陣 = C, SQS 尋找 ab, 使得 a = P± P + 4Q Pm P + 4Q b = 將 PQ, 值代入 : = D其中 CD, 皆為主對 a = a = S CS ± S CS + 4S DS ( 4 ) S CS ± S C + DS a = S S ( 4 ) C ± C + D S ( 4 ) C C D ± + as = ( ) C ± C + 4D 其中為主對角矩陣則我們得到 PQ,a,, b 同時可對角化具有交換律且此時的 a, b 滿足 P = a + b, Q = ab = ba 接著將 a, b 代回原式 6

8 = ( a + b) ab b = a( b ) b = a ( b ) () * = ( a + b) ba a = b( a ) a = b ( a ) (**) () * a (**) b ( a b) = a ( b )b ( a ) = ( a b) È Îa ( b)b ( a) 特別地 ; 若 P + 4Q = 0 此時 a = b = P a = a ( a) = a ( a) + a 我們將其視為矩陣一階遞迴數列解之尋找 g 使得 g ag a ( a ) = +, 將原式兩邊同減 g : g = a + a ( a) g ( ) g = a g ( ) = g a g ( ) = + a g g 7

9 二階矩陣遞迴數列若以特徵方程式的想法去討論, 除了定理條件中 PQ, 必須有交換率且可對角化的條件外, P + 4Q必須為可以進行開根號的矩陣, 也就是 P + 4Q必須是正定矩陣那對於二階矩陣遞迴是否有方式能夠找到一般解? 我們從另一種解題方式去討論 : 定理三 : 若二階 m矩陣遞迴數列 = P + Q其中 PQ, 為已知矩 È ÈP Q È ÈP 陣,, 為已知 m矩陣, 則 = I 0, 其中 Î Î Î ÎI Q 0 為以 È 矩陣表示的分塊矩陣, Î 證明 : 令 X È = Î 為以 m矩陣表示的分塊矩陣此時的 X 可視為 + 與組合成的分塊矩陣, 同時在運算上等價於一個 m的矩陣 X + È+ ÈP + Q = = + 0 Î Î X + ÈP QÈ ÈP Q = X I 0 = I 0 Î Î Î ÈP Q 其中 I 0 為 P,Q, I, 0 所組成的分塊矩陣, 可視為一矩陣 Î X ÈP Q = I 0 Î X È ÈP Q È = I 0 Î Î Î 本問題中以分塊矩陣的方式列式, 而利用普通矩陣的方式運算, 關於矩陣的次方我們可以藉由對角化解之, 若遇到矩陣不可對角化時, 也可使用 Jorda Form 解矩陣的次方使用這方法其 P,Q 將不再受到限制, 且可以將其推廣至階 8

10 定理四 : 給定階 m矩陣遞迴數列 i = Â P j i j其中 P 為已知矩陣, ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L i 為已知 m矩陣, 則 = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L 討論 : 令 j= i X i Èi = i + Î i m X i+ È P j i j P P P Â + È L L L È i+ j= i I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L = = = 0 i + O i + i + O Î i + i + i 0 0 I 0 Î Î L L Î i ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L 9

11 定理五 : 一階 m矩陣遞迴數列 = P + Q收斂, 其中 P 為已知矩陣 Q, 為已知 m矩陣, 且令 P 之對角化形式 SPS = D則 D 之特徵值 { } l, Œ,... 滿足 < < l 證明 : 若此矩陣遞迴數列收斂由定理一得 = È ( ) + ( ) 若, {,... } P I P Q I P Q Î l Œ 滿足 < < 則 SPS = D, 且 ( ) l SP S = D = 0 as Æ limp È I P Q = 0 Æ Î ( ) lim = I P Q Æ ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 定理六 : i = Â P j i j收斂, 且之對角化形式 j= 0 O O Î0 0 L L I 0 ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 S S = D中 D 為主對角矩陣, 則 D 的特徵值 0 O O Î0 0 L L I 0 { } x lt, tœ,... 滿足 < l < ' l Æ0 as x Æ t 證明 : 在此先以矩陣二階遞迴為例 : 給定一 m矩陣數列 = P + Q, 若此矩陣遞迴數列收斂, t 令 lim Æ =, 則 = lim = lim( P + Q) = P+ Q, Æ Æ 所以 ( P+ Q I) = 0 假若 P+ Q I可逆, 則 = 0 0

12 接著了解收斂矩陣的性質 : È ÈP Q È 由定理三得 = I 0 Î Î Î ÈP 令 ÎI Q 0 的對角化形式為 S DS, 其中 D 為特徵值構成的主對角矩陣 ÈP 冪矩陣 ÎI Q 0 ÈP Q 可表示成 = S I 0 Î DS 其中 D Èl = O l Î 若每一特徵值都滿足 < l i <, li Æ 0,, 則可知將這性質推廣到階矩陣遞迴數列 D 收歛給定一階 m矩陣數列 i = Â P j i j, 其中 P 為已知矩陣, i j= 為已知 m矩陣, 若此矩陣數列收斂, 先由定理四得 : i ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 令 = S 0 O O Î0 0 L L I 0 則, {,... } Èl DS, D = O Î l x lt tœ 滿足 < l < ' l Æ0 as x Æ t t

13 若此矩陣遞迴數列 Â j= P j ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 I 可逆, 則 0 O O Î0 0 L L I 0 i 收斂至 0 圖形討論 : 給定一階矩陣遞迴數列 = P + Q, 其中 P,Q 為已知矩陣, 為矩陣, 試求在 X 討論 : Y 平面上圖形? 根據定理五, = È ( ) + ( ) 將 P 對角化得 P = SDS P I P Q I P Q Î 由對角矩陣 D 之特徵值可知其歛散性 ( 一 ) 假若矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l < 則此遞迴數列收斂因特徵值若為負值, 其次方將正負跳動我們可歸類出三種圖形如下 : 情形一 : l, l <0 因為兩特徵值皆正負跳動使得呈螺旋狀收斂, 並向 ( ) I P Q收斂 ( 圖.) 情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得摺疊跳動, 並向 ( ) I P Q收斂

14 情形三 : l, l >0 直接收斂不會有跳動現象 ( 圖.) ( 圖.3) ( 二 ) 假若矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l 或 l < 則此遞迴數列發散因特徵值若為負值, 其次方將正負跳動我們可歸類出三種圖形如下 : 情形一 : l, l <0 因為特徵值的正負跳動使得呈螺旋向外發散 ( 圖.) 3

15 情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得摺疊跳動發散情形三 : l, l >0 直接發散不會有跳動現象 ( 圖.) ( 圖.3) È6 30 È57 90 例子一 : 給定一矩陣二階遞迴數列 = , Î Î È8 5 È 3 =, 3 = 7 4 求 =? Î Î 討論 :( 特徵方程式 ) È6 30 È5 3È 0È 3 = Î Î Î Î È57 90 È5 3È3 0 È 3 = Î Î Î Î 兩矩陣同時可對角化, 利用特徵方程式求 ab, È6 30 È6 30 È ± Î Î Î a = ( 取正 ) 4

16 b = È6 30 È6 30 È m Î Î Î ( 取負 ) a = È6 30 È Î Î b = È6 30 È Î Î a = È6 30 È5 3 È6 0È Î Î Î Î b = È6 30 È5 3 È6 0È Î Î Î Î 6 0 a = È Î È38 60 b = 4 38 Î È6 0 È38 60 È6 0È38 60 = ( ) Î Î Î Î È38 60 È6 0 È38 60 = ( ) Î Î Î È38 60 È6 0 È 3 È38 60È8 5 = ( ) Î Î Î Î Î () * È6 0 È38 60 È38 60È6 0 = ( ) Î Î Î Î È6 0 È38 60 È6 0 ( ) = 4 38 Î Î Î 5

17 È6 0 È38 60 È 3 È6 0È8 5 ( ) = Î Î Î Î Î (**) () * a (**) b È6 0 È38 60 ( ) = 4 38 Î Î È6 0 È 3 È38 60È8 5 È38 60 È 3 È6 0È8 5 ( ) ( ) Î Î Î Î Î Î Î Î È 5 8 Ê È6 0 È È5 3È( ) 0 È 3È46 33 ˆ = 3 Á ËÎ Î Î Î Î Î Î 4 8 È 5 8 È ( ) ( ) + 67 = Î ( ) ( ) Î È ( ) 6 ( ) = ( ) 5 6 ( ) Î È 3 9 È 例子二 : 給定一矩陣二階遞迴數列 = 3 +, Î 9 3 Î È È, = 4 = 8 求 =? Î Î 討論 : 利用分塊矩陣令 X È + = Î 6

18 È È 3 9 È 3 9 È 3 9 È È Î 9 3 È+ 9 3 \ X = = X = + = Î Î Î È È ÎÎ Î Î0 0 0 Î0 0 0 X È = Î0 0 0 X È 3 9 È+ 9 3 fi 3 È = Î Î Î0 0 0 È È È È 對角化得 3 = Î3 3 Î Î Î È È5 3 3 È È È + = Î Î Î Î Î È ( 3) ( 3) = Î ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 ( 3) ( 3) 7

19 È ( 3) + 3 ( 3) = ( 3) ( 3) Î 例子三 : 從矩陣等比級數和討論矩陣遞迴數列級數和討論矩陣的等比數列合 :( 此處的公比同為矩陣 ) S = B + B + LLL + B 其中 B = KB S = B + KB + LLL + K B KS = KB + K B + LLL + K B 兩式相減得 : S KS = B K B ( I K) S ( = I K ) B ( ) ( ) S = I K I K B 考慮一階矩陣遞迴 = P + Q, 利用特徵方程式解之 : 尋找一矩陣 a 使得 a = Pa + Q a = P + Q a Q a = Pa ( a) a = P a P ( a) = ( ) = P a + a S = Â = Â È ÎP ( a) + a = = S = Â P ( a) + a = 此時可將問題視為矩陣 ( a ) 的等比數列合, 其中公比為 P 8

20 ( ) ( )( a) S = I P I P + a ( ) ( ) S = I P I P È Î ( I P) Q + ( I P) Q 我們另外可討論當矩陣等比數列收斂到 0 時, 其數列合也會收斂 : ( ) ( ) S = I Q I Q B ( ) lim S = I Q B Æ 接著我好奇矩陣二階遞迴數列合, 由定理三知 : = P + Q 若令 X + ÈP Q È È = = I 0 Î Î Î S X + ÈP Q ÈS È = S = Â = I 0 Î Î Î S X + ÈP Q ÈS 0 È 0 = S 0 = Â = I 0 0 Î Î Î 套用矩陣等比級數和公式 ÈS+ 0 Ê ÈP Qˆ Ê ÈP Q ˆÈ 0 SX = I I S 0 = Á I 0 Á I 0 0 Î Ë Î Ë Î Î 即可得 S = Â = 陸研究結果與結論 ( ㄧ ) 一階矩陣遞迴式 = P + Q, 可求得之一般式 : ( ) ( ) = P È I P Q+ I P Q Î ( 二 ) 二階矩陣遞迴式 = P + Q若 PQ, 有交換律, 可求得之一般式 : = ( a b) È Îa ( b)b ( a) 9

21 P± P + 4Q 其中 a =, b = 特別地 : 若 P Pm P + 4Q + 4Q = 0則 a ( g) g ( 三 ) 階 m矩陣遞迴數列 = +, 其中 g = ag + a ( a ) i j i j j= = Â P 其中 P 為已知矩陣, ÈP P L L L P Èi I 0 0 È L L L 0 I 0 L L L i 為已知 m矩陣, 則 = 0 O i + O Î i 0 0 I 0 Î Î L L 並由此得 i i ( 四 ) 一階 m矩陣遞迴數列 = P + Q收斂, 其中 P 為已知矩陣 Q, 為已知 m矩陣, 且令 P 之對角化形式 SPS = D則 D 之特徵值 { } l, Œ,... 滿足 < < l ÈP P L L L P I 0 0 L L L 0 I L L L 0 ( 五 ) i = Â P j i j收斂, 且之對角化形式 j= 0 O O Î0 0 L L I 0 P P L L L P È I 0 0 L L L 0 I L L L 0 0 O O Î0 0 L L I 0 S S = D 中 D 為主對角矩陣, 若且唯若 D 的特徵值, {,... } x lt tœ 滿足 < l < ' l Æ0 as x Æ t t 0

22 ( 六 ) 一階矩陣遞迴數列 = P + Q, 其中 P,Q 為已知矩陣, 為矩陣, 在 X Y 平面上圖形可分類為以下 : 收斂 : 假若矩陣 P 之對角化形式 SDS, 其中主對角矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l <, 則此遞迴數列收斂, 依 l 值正負又分以下三類情形 : 情形一 : l, l <0 因為兩特徵值皆正負跳動使得情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得情形三 : l, l >0 直接收斂不會有跳動現象呈螺旋狀收斂, 並向 ( ) I P Q收斂摺疊跳動, 並向 ( ) I P Q收斂發散 : 假若矩陣 P 之對角化形式 SDS, 其中主對角矩陣 D 之特徵值 l, l 滿足 < l 或 l <, 則此遞迴數列發散, 依 l 值正負又分以下三類情形 : 情形一 : l, l <0 因為特徵值的正負跳動使得情形二 : ll <0 因為其中一個特徵值正負跳動使得情形三 : l, l >0 直接發散不會有跳動現象呈螺旋向外發散摺疊跳動發散柒應用及未來展望本研究討論矩陣的遞迴數列其運算與性質, 渴望在其他情境例子上可使用, 研究解果也能減少對於矩陣遞迴數列的運算, 未來希望能夠討論更多這方面的性質圖形上我們討論一階矩陣遞迴式得疊代圖形, 未來希望能夠更進一步討論二階或是高階遞迴式之圖形. 南一版高中數學第 4 冊捌參考文獻.. G. Kostyucheo,K.. irzoev Threeterm recurrece relatios with matrix coefficiets. The completely idefiite case 3.Stephe H. Friedberg Liear lgebra 4. 線代啟示錄 ) 5.