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景柳瞽谈
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1 中華大學碩士論文題目 : 二維離散動力系統及隨機疊代之探討系所別 : 應用數學學系碩士班學號姓名 : M9593 廖曼雲指導教授 : 田方正博士中華民國九十七年八月

2 目錄第一章離散動力系統基本定義.... 函數疊代.... 不動點... 第二章線性代數相關知識...3. 常見的線性映射...3. 對角化的應用 Jorda 型的應用...5 第三章 ( ) A+ 疊代次後的情況當, ( ) J的次疊代 ( ) J+ 的次疊代 ( ) A+ 與 ( ) J+ 的關係實際範例...9 參考文獻...

3 摘要本論文主要討論平面上的離散動力系統 : k A + + k 的疊代行為及觀察其不動點首先我們假設矩陣 A 本身為 Jorda 型式時, 即 β α α β β α 三種情況, 將其疊代次後觀察出點的軌道, 再來比較當矩陣 A 非 Jorda 型式的特例時, 它與原本我們所推論出的公式有何區別如此一來不管矩陣 A 為何種形式, 我們都可以利用整理好的公式找出最後收斂點關鍵詞 : 離散動力系統,Jorda 型式, 不動點 I

4 Astract The purpose o ths dssertato s to dscuss the teratos o the dscrete dyamcal system k+ Ak + ad to oserve ts ed pots. We rst assume the matr A s the oe o the ollowg three Jorda orms: β, α, β β α The we terate the aove dyamcal system tmes, oserve the orts o the pots. Ad the we compare the dereces etwee the matrces A s ad the results o some specal cases o o-jorda orm matrces. We ca d the al covergg pot wth our ormula or all matrces. Keywords: dscrete dyamcal system, Jorda orm, ed pots II

5 第一章離散動力系統基本定義. 函數疊代在本論文中探討數學問題都包含疊代 (teratos) 的情形, 而所謂疊代的動作是指 : 反覆求取函數值, 並將每次疊代出的函數值視為新的輸入值再輸入函數中定義.. 設 : D D是連續函數, Z +, 記為 [ ] ( ) o [ ] ( ), [] ( ) 為 ( ) 的次疊代 [ ] 稱 ( ). 不動點 (Fed Pots) 對於不同函數及不同的初始值, 則會形成不同的軌跡路徑, 而所謂的不動點是假設有一點, 經過函數 ( ) 後, 回到自己本身點, 也就是 ( ), 我們稱點為不動點

6 定義.. 設 : D D, 若 ( ) 則稱為函數 () 的不動點 (ed pots) 定義.. 設 : D D, 令為函數 () 的不動點, 有一 ε > ( p ε, p + ε ) 時, 滿足 [ ] ( ), 當便對每一則稱是函數 () 的收斂型不動點 (attractg ed pots)

7 第二章線性代數相關知識. 常見的線性映射下面為三個 R 上常見的線性算子 : () 旋轉 θ 角 T : R R 定義為 T (, y) ( cosθ ysθ, sθ + y cosθ ), 則 T 為 R 上繞著原點逆時針旋轉 θ 角 (rotato y θ ) 的線性算子若將 R 視 cosθ 為行矩陣觀點, 則寫成 T y sθ 相當於該線性算子 sθ cosθ sθ cosθ, 此時 A y sθ cosθ () 鏡射 : T : R R 定義為 T (, y) (, y), 則 T 為 R 上對軸鏡射 (relecto aout the as ) 的線性算子若將 R 視為行矩陣觀點, 則寫成 T y 子, 此時 A y 相當於該線性算 T : R R 定義為 T (, y) (, y), 則 T 為 R 上對 y 軸鏡射 3

8 4 (relecto aout the as y ) 的線性算子若將 R 視為行矩陣觀點, 則寫成 y y T, 此時 A 相當於該線性算子. 對角化的應用定理.. 假設 F A 可對角化, ] [ ) ( F, 則 ) (A 可對角化證明 : 令 k a ) ( 是 k 次多項式因為 A 可對角化, 則存在 P 為可逆矩陣使得 P AP D λ λ λ O PDP A ) ( ) ( ) ( P D P P D a P P PD a PDP a A a A k k k k ) ( ) ( D P A P ( ) ( ) ( ) λ λ λ O 所以 ) (A 可對角化

9 利用定理.. 可以求 (A), 首先我們對 A 作對角化得 A PDP, 則 ( A) P ( D) P.3 Jorda 型的應用 Jorda 型的應用與對角化的應用很類似, 當 A 無法做對角化時, 我們對 A 作 Jorda 型, 由此可以求得 A 首先我們先令 P 使得 A PJP, 其中 J 為 A 的 Jorda 型, 即 A PJ P, 所以此時的問題為如何求 J : 將 J 分成三種情形 : Jorda 區塊來討論 : β β α, 並針對 J 為一 β α 情形一 : 若 J β J,, J β β 情形二 : 若 J α α J,, J α α α α 5

10 情形三 : 若 J r cosθ r sθ r sθ r cosθ J r r cos θ s θ r s θ r cos θ,, J r r cos θ s θ r s θ r cos θ.4 矩陣的長度定義.4. 矩陣的長度假設為向量的長度 m A F, 定義 A 的長度 (orm) 為 A A ma, 其中 A 及定理.4. 假設 m A F, B F p, 則 () Ay A y, y F () AB A B 6

11 第三章 ( ) A+ 疊代次後的情況在這章節我們即將討論 ( ) A+ 疊代次後的情形, 首先我們假設矩陣 A 本身為 Jorda 型式時, 將其疊代次後觀察出點的軌道, 討論完矩陣 A 本身為 Jorda 型的特例後我們再來討論當矩陣 A 非特例時, 它與原本我們所推論出的公式有何不同第一節我們先討論簡單的疊代例子 : ( ) J, 第二節裡來探討 ( ) J+ 的疊代情形, 而第三節則觀察 ( ) A+ 與 ( ) J+ 的區別, 第四節為實際範例 3. 當, ( ) J的次疊代對於 ( ) 次, 並觀察其不動點 J一例, 我們分別將 Jorda 型的三種情況去疊代情形一 : 假設 J 為 β, ( ) J: ( ) β 7

12 β 經過移項後 : ( α ) ( β ) 由上式可得 :, 發現當 α 且 β, J 為 β 時, ( ) J的不動點只有情形二 : 假設 J 為 α, ( ) J: ( ) α α + α 經過移項後 : ( α ) () + ( α ) () 由上式可得 : 帶入 () 得 : 8

13 ( α ) 發現當 α, J 為 α 時, ( ) J的不動點只有情形三 : β 假設 J 為, ( ) J: β α β ( ) β α 經過移項後 : β β + α α β β + α 將放在同一項 : ( α ) β LLL() β+ ( α ) LLL() 由 () 得 : β (3) ( α ) 將 (3) 代入 () 得 : β + ( α ) ( α ) (4) 9

14 由 (3) (4) 得 : 發現當 α 且 β β, J 為 β α 時, ( ) J的不動點只有我們由此三種情形可以知道 ( ) J的不動點只有接著我們來討論不動點是屬於收斂型不動點 (attractg ed pots) 還是發散型不動點 (repellg ed pots) 因為 [ ] ( ) J J, 因此我們只需針對 J 做討論就好 ; 假設 J <, 則 J 因此是收斂型不動點 (attractg ed pots), 假設 J >, 則 J 因此是發散型不動點 (repellg ed pots)

15 3. ( ) J+ 的次疊代對於 ( ) J+ 一例, 首先先將 ( ) J+ 看成是 ( ) J+, 並將整個矩陣疊代次, 再利用 Jorda 型去分開討論, 並觀察其不動點首先我們先將 ( ) J+ 疊代次 : ( ) J+ 將 ( ) J+ 當作做二次疊代 [] ( ) J( J+ ) + J + J+ 疊代次後 : M [ ] ( ) J J + + J + L J ( J J L J I) + + J J ( J I) ( I J) + + J [ ( J I) ] ( I J) 現在我們利用疊代次後的結果, 即 [ ] ( ) J [ ( J I) ] ( I J) + + (3..) 將 Jorda 型三種類型放進 J 矩陣裏去做討論 :

16 情形一 : 假設 J 為 β, J 為我們先計算其不動點 : ; β ( ) : J+ ( ) β + α + β + 經過移項之後 α β 由此得知, 當 J 為 α β 時, ( ) J+ 的不動點為 β 接著我們討論 ( ) J + 疊代次時, 將會收斂到哪一點利用公式 (3..), [ ] ( ) [ ( ) J + J I ] + ( I J) : [ ] α α ( ) β + + β β

17 α α β + + β β + α α + β + β β α ( + ) α α + β ( + ) β β α β α + α β + β 當 α > 或 β > 時, [ ] ( ) 會發散 ; 當 α < 且 β < 時, [ ] α ( ), 因此我們可以說, 當 J 為 β α β 時, 為 β ( ) J+ 的收斂型不動點情形二 : 假設 J 為 α, α J 為 α 我們先計算其不動點 :, α ( ) : J+ 3

18 ( ) α + 經過移項之後 α + + α + α + α ( α) 由此得知, 當 J 為 α + α ( α) α 時, ( ) J+ 的不動點為接著我們討論 ( ) J+ 疊代次時, 將會收斂到哪一點利用公式 (3..), [ ] ( ) [ ( ) J + J I ] + ( I J) : [ ] ( ) ( α ) α ( α) α α α α α α α α + α α + α ( α ) α ( α) α 4

19 當 α > 時, [ ] ( ) 會發散 ; 當 α < 時, [ ] α ( ) + α ( α) 因此我們可以說, 當 J 為 α α 時, + α ( α) 為 ( ) J+ 的收斂型不動點情形三 : ( ) rcosθ rsθ 假設 J 為 rsθ rcosθ, r cosθ r s θ J 為, r s θ r cosθ : J+ 我們先計算其不動點 : 經過移項之後 ( ) J+ ( I J) rcosθ 由此得知, 當 J 為 rsθ rsθ rcosθ 時, ( ) J+ 的不動點為 ( I J) 接著我們討論 ( ) J+ 疊代次時, 將會收斂到哪一點 5

20 利用公式 (3..), [ ] ( ) [ ( ) J + J I ] + ( I J) : 令 [ + ( J I) ] V,( I J) W, 則 [ ] ( ) J V + W 先嘗試了解當 r,j 為 cosθ sθ sθ cosθ, [ ] ( ) J V 的情形, 將會在以 V 為半徑的圓形軌道上行徑, 而當 [ ] ( ) J V + W 時, 則會將原本以 V 為半徑的圓形軌道上行徑的點皆移動 W 向量當趨近無窮大且 r 小於時,J 疊代次後會趨近於零, 故最後將會收斂到 ( I J) 即 [ ] ( ) ( I J) (3..) 6

21 3.3 ( ) A+ 與 ( ) J+ 的關係在這節裡我們將討論 ( ) A+ 與 ( ) J+ 的關係, 也就是說當矩陣 A 不是 Jorda 型的三種形式時, 它與原本我們在第二節裡討論的 ( ) J+ 有何不同對於 ( ) A + 一例, 首先先將 ( ) A + 看成是 ( ) A+, 將矩陣 A 看成是 PJP, 看成是 PP, 再將整個矩陣疊代次, 觀察它與原本 ( ) J+ 疊代次後的不同首先我們先將 ( ) A+ 疊代次 : ( ) A+, A PJP, PP : ( ) A+ PJP + PP P JP + P 將 ( ) A+ 當作做二次疊代 : [] ( ) A( A ) PJP P JP P PP PJ JP P PP + + 將 P 提出來後得 : P J P JP P + + 第三次疊代為 : [3] ( ) A( A( A+ ) + ) PJP P J P JP P PP 7

22 + + + PJ J P JP P PP 將 P 提出來後得 : M 疊代次後 : P J P J P JP P [ ] ( ) P J P + J P + J P + L + JP + P P J P P J J L J I P [ ] [ ] P J P PJ J I P P I J P + + [ ] [ ] + + PJ P J I P P I J P 由此可知 : 當矩陣 A 為 Jorda 型三種類型時, ( ) J+ 疊代次後的結果為 : [ ] ( ) [ ( ) J + J I ] + ( I J) ; 當矩陣 A 非 Jorda 型而 A PJP 時, 疊代次後的結果則為 : [ ] [ ] [ ] ( ) PJ P + J I P + P I J P 當趨近無窮大, 特徵值的絕對值皆小於時,J 疊代次後會趨近於零, 故觀察其不動點及其軌道時, 只需考慮 ( I J) 或 [ ] PI J P即可 8

23 3.4 實際範例本節將舉蕨類葉片 (Ferlea) 隨機疊代的其中兩個矩陣, 當成範例並討論其收斂點範例一 : ( ).7 由第一節, ( ) J的結論可知 : 此範例最後會收斂到範例二 : ( ) 範例二是利用第二節情形三的例子, 由公式 3.. 可知 ( ) J+ 的函數疊代次後會趨近到 ( I J), 令 α., β.3, 則 : ( I J) 依上述公式我們將取其反矩陣 : ( I J) 接著乘上,.4 9

24 ( I J) 由此我們知道, ( )..3 疊代次後將會趨近到.66398

25 參考文獻 :. Bejam Cummgs, Melo Park, CA.Dyamca Systems..Devaey. R(99).A Frst Course Chaotc Dyamcal Systems: Theory ad Epermet Addso Wesley, Readg, MA. 3.Devaey, R, Kee, L., eds(989).chaos ad Fractals:The mathematcs ehd the computer graphcs. Amerca Mathematcal Socety, Provdece, RI. 4.Hrsch, M. ad Smale, S(974).Deretal Equatos, Dyamcal Systems, ad Lear Algera. Academc Press, New York.

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Microsoft PowerPoint - SMC #3.ppt 滑動模式控制 Sliig moe cotrol T. C. Kuo 線性非時變單輸入系統 Liear time-ivariat sigle iput system 動態方程式 (yamics equatio) x & = Ax + Bu 其中 x R, u R, A R, B R 定義誤差 (error) e = x x 其中為追蹤訊號 (esire sigal), x R x 選擇滑動函數 (sliig