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1 中華民國第 47 屆中小學科學展覽會作品說明書科 ( 類 ) 別 : 數學科組別 : 國中組作品名稱 : 美妙的拉丁舞曲俄拉方陣俄拉方陣的研究關鍵詞 : 俄拉方陣俄羅斯方塊數獨編號 : 1

2 目錄摘要 1 壹研究動機 2 貳研究目的 2 參研究設備及器材 2 肆研究過程或方法 2 名詞解釋 2 一名詞解釋研究過程 4 二研究過程二階拉丁方陣 4 ( 一 ) 二階拉丁方陣三階拉丁方陣 4 ( 二 ) 三階拉丁方陣四階拉丁方陣 6 ( 三 ) 四階拉丁方陣伍研究結果 8 陸討論 9 柒結論 12 捌參考資料 12 2

3 摘要看報紙時, 我們發現一個好玩的數獨遊戲, 引起我們熱烈的討論我們好奇的想上網查出更多的遊戲, 卻發現了數獨的由來原來數獨是由拉丁方陣變化出來的遊戲 ; 因此, 我們幾個同學決定, 把拉丁方陣拿出來, 好好的研究一番, 沒想到卻有好多意外的新發現! 例如 : 怎麼用有規律的方法, 找出二階三階四階的拉丁方陣的個數怎麼用以前所學的對稱觀念去翻轉方陣, 或做方陣的旋轉, 找出拉丁方陣的規律性更進一步研究拉丁方陣中的區塊配置, 找出隱藏在其中的俄羅斯方塊, 進一步發現俄拉方陣俄拉方陣也將俄拉方陣俄拉方陣的種類分類一下, 並做了更進一步的探討 A D C B B C D A 3

4 壹研究動機看報紙時, 報紙上常常刊有數獨遊戲供讀者腦力激盪一下, 同時數獨遊戲在日本美國甚至台灣也引起很多人們的注意我們好奇的想上網查出更多關於數獨的遊戲, 卻在尋找資料的過程中發現了數獨的由來原來數獨是由拉丁方陣變化出來的遊戲 ; 因此, 我們幾個同學決定, 把拉丁方陣拿出來, 好好的研究一番, 貳研究目的一用有規律的方法找出二階三階四階的拉丁方陣的個數二探討二階三階四階拉丁方陣的規律性三利用找出的四階拉丁方陣模版, 找出其中的俄羅斯方塊参研究設備及器材一鉛筆彩色筆白紙尺剪刀 4 階方陣方格紙四階拉丁方陣模版紙肆研究過程或方法一名詞解釋 : ( 一 ) 拉丁方陣 : 在一個 n n 的小正方格裡, 填入 1~n 的數字, 使得同一直排同一橫排中, 每一個數字都不能重複, 這樣的方陣稱為 n 階拉丁方陣例如 : 在 4 4 正方形中的每一個小正方格內, 填入數字 1~4, 而且同一直排同一橫排中, 數字都不能重複, 我們可以得到一個 4 階拉丁方陣 ; 如下圖 : ( 二 ) 數獨遊戲 : 在一個 4 4 的小正方格裡, 填入 1~4 的數字, 使得同一直排同一橫排及 2 2 的正方格, 每一個數字都不能重複, 這樣的遊戲稱為數獨 ; 如下圖 :

5 ( 三 ) 俄羅斯方塊 : 是由下列這幾種方塊構成 : 圖 1 圖 2 圖 3 圖 4 圖 5 1. 長方型俄羅斯方塊 : 如上圖 1, 小正方格排成一長方形, 我們稱為長方型的俄羅斯方塊 2. 正方型俄羅斯方塊 : 如上圖 2, 小正方格排成一正方形, 我們稱為正方型的俄羅斯方塊 3. Z 型俄羅斯方塊 : 如上圖 3, 小正方格排成一個接近於 Z 字的圖形, 我們稱為 Z 型的俄羅斯方塊 4. L 型俄羅斯方塊 : 如上圖 4, 小正方格排成一 L 字的圖形, 我們稱為 L 型的俄羅斯方塊 5. T 型俄羅斯方塊 : 如上圖 5, 小正方格排成一 T 字的圖形, 我們稱為 T 型的俄羅斯方塊 ( 四 ) 俄拉方陣 : 在拉丁方陣中, 若找出有四個俄羅斯方塊均含有 ABCD 四個英文字母, 此拉丁方陣便稱為俄羅斯 - 拉丁方陣, 簡稱俄拉方陣 5

6 二研究過程 : ( 一 ) 二階拉丁方陣 1. 因為二階拉丁方陣有 2 2=4 個小正方格, 可以填入的數字有 1 和 2, 而且同一直排和同一橫排中數字不能重複, 我們找到以下兩個 : 我們發現到這兩個二階拉丁方陣左右翻轉上下翻轉旋轉 90 度, 是相同格式的方陣所以歸納出 2 階拉丁方陣的格式只有 1 個 ; 若 (A,B)=(1,2) (2,1) 如左圖 : ( A,B ) = ( 1,2 ) 2 1 A B 1 2 B A ( A,B ) = ( 2,1 ) ( 二 ) 三階拉丁方陣三階方陣有 3 3=9 個小正方格, 可以填入的數字有 1 2 3, 而且同一直排和同一橫排中數字不能重複 1. 首先, 我們先找出三階拉丁方陣格式, 有 2 種 : (1) (2) A C B B A C C B A A B C B C A C A B 2. 若 (A,B,C)=(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1), 則可以填出 12 個 (2 6=12) 不同的三階拉丁方陣, 如下圖 (1)

7 (2) 將上面這兩種格式左右翻轉上下翻轉或旋轉 90 度, 發現這兩種格式其實是一樣的兩種格式其實是一樣的 (1) 左右翻轉格式變換原來的方陣後來的方陣對應的彩色拼板格式 C A (2) (1) A B C B C A C B A A C B A B B C A C B B A C C A B B A C C B A (2) 上下翻轉格式變換原來的方陣後來的方陣對應的彩色拼板格式 C A (2) (1) A B C B C A C A B B C A B B A C A C B B A C C A B A B C C B A 7

8 (3) 旋轉 90 度格式變換原來的方陣後來的方陣對應的彩色拼板格式 C A (2) (1) A B C B C A C B A A C B A B B C A C B B A C C A B B A C C B A ( 三 ) 四階拉丁方陣四階方陣有 4 4=16 個小正方格, 可以填入的數字有 1~4, 而且同一直排和同一橫排中數字不能重複 1. 首先, 我們先找出四階拉丁方陣格式, 有 24 種 : A B D C A D C B B A C D A B D C A C D B B A C D B A C D B A C D C D B A C D B A C D B A D C A B D C A B D C A B A C D B B C A D A D C B B C A D B C A D B C A D C D B A D A C B D A C B D A C B 8

9 A C D B B C D A D C A B A C D B B C D A B C D A B C D A D A C B 2. 令 (A,B,C,D)=(1,2,3,4) (1,2,4,3) (1,3,2,4) (1,3,4,2) (1,4,2,3) (1,4,3,2) (2,1,3,4) (2,1,4,3) (2,3,1,4) (2,3,4,1) (2,4,1,3) (2,4,3,1) (3,1,2,4) (3,1,4,2) (3,2,1,4) (3,2,4,1) (3,4,1,2) (3,4,2,1) (4,1,2,3) (4,1,3,2) (4,2,1,3) (4,2,3,1) (4,3,1,2) (4,3,2,1) 則可以填出 576 個 (24 24=576) 不同的拉丁方陣 3. 四階拉丁方陣的規律 : 將上面這 24 種格式左右翻轉上下翻轉旋轉 90 度旋轉 180 度或以對角線為對稱軸翻轉, 發現這 24 種格式的拉丁方陣, 可分為三大類 : 幾何變換的種類格式之間的互相變換 1 1, 2 5, 3 3, 4 21, 6 6, (1) 左右翻轉後, 就為一樣的格式 7 7, 8 17, 9 9, 10 10, 11 14, 12 18, 13 13, 15 15, 16 22, 19 19, 20 20, 23 23, , 2 5, 3 3, 4 21, 6 6, (2) 上下翻轉後, 就為一樣的格式 7 13, 8 8, 9 9, 10 10, 11 14, 12 18, 15 15, 16 16, 17 17, 19 19, 20 23, 22 22, , 2 5, 3 3, 4 21, 6 6, (3) 順時針旋轉 90 度後, 就為一樣的格式 , 9 9, 10 10, 11 18, 12 14, 15 19, ,

10 1 1, 2 5, 3 3, 4 21, 6 6, (4) 逆時針旋轉 90 度後, 就為一樣的格式 , 9 9, 10 10, 11 18, 12 14, 15 19, , , 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, (5) 旋轉 180 度後, 就為一樣的格式 6 6, 7 13, 8 17, 9 9, 10 10, 11 11, 12 12, 14 14, 15 15, 16 22, 18 18, 19 19, 20 23, 21 21, (6) 發現以對角線為對稱軸翻轉, 就為一樣的方陣 1 1, 2 5, 3 3, 4 21, 6 6, (I) 以左上至右下對角線為對稱軸翻轉 (II) 以右上至左下對角線為對稱軸翻轉 , 9 9, 10 10, 11 18, 12 14, 15 19, , , 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6 6, 7 13, 8 17, 9 9, 10 10, 11 11, 12 12, 14 14, 15 15, 16 22, 18 18, 19 19, 20 23, 21 21, 由上表我們可以分成三大類 : 第一大類 : 1, 3, 6, 9, 10, 24 翻轉或旋轉後, 因為它們皆具有對稱性, 所以仍是原來格式第二大類 : 2 5, 4 21, 兩個格式間可以經由翻轉或旋轉後互換第三大類 : 四個格式間, 可以經由左右翻轉上下翻轉旋轉或以對角線為對稱軸翻轉後變換如 : , , 伍研究結果一拉丁方陣中所呈現的圖形區塊分類 : ( 一 ) 如果在一個區塊中, 含 ABCD 四個英文字母, 我們就塗上一種顏色形成一個正方形的區塊, 在拉丁方陣的 24 種格式中 : 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24 這 12 個像數獨形式的拉丁方陣, 最多可以直接畫上 4 個正方形區塊, 例如 : 此類型的拉丁方陣我們就稱做數獨型的拉丁方陣 10

11 ( 二 ) 在拉丁方陣的 24 種格式中 : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 17 一次最多只能直接畫上 2 個正方形區塊, 例如 : 此類型的拉丁方陣即為非數獨型的拉丁方陣 ( 三 ) 但我們發現 : 在拉丁方陣的 24 種格式中, 格式 4, 21 的拉丁方陣不像數獨型的拉丁方陣有 4 個正方形區塊, 甚至連 2 個正方形區塊也找不到此類型的拉丁方陣即非數獨型的拉丁方陣可是, 格式 4, 21 的方陣卻可以找出不同於正方形的其他區塊 ( 如下圖 ), 因為這些新的區塊類似於俄羅斯方塊的排列方式, 給 4, 21 格式的方陣, 另一種新的變化, 所以, 我們便再一次把 4 階拉丁方陣延伸出來討論其中的俄羅斯方塊 4 21 A D C B B C D A 一拉丁方陣拉丁方陣中俄羅斯方塊俄羅斯方塊的探討陸討論俄羅斯方塊的出現, 讓我們好奇的想知道, 除了 4, 21 之外, 其他 24 種格式的拉丁方陣又是怎麼變化的? 因此我們對 24 種格式的拉丁方陣做了更進一步的探討 ( 一 ) 第一類 : 基本型在拉丁方陣中, 我們知道可以找出 4 個俄羅斯方塊, 也知道拉丁方陣必須滿足同一直排同一橫排裡, 每一個字母都不可重複, 所以如果要求 4 個俄羅斯方塊皆為長方型俄羅斯方塊, 那就表示 24 個拉丁方陣都可達成此種要求, 因此 4 個長方型俄羅斯方塊所組成的拉丁方陣是基本的圖形之一 ( 如下圖 ) 11

12 ( 二 ) 第二類 : 變化型在拉丁方陣中, 我們除了可以找出 4 個長方型俄羅斯方塊, 可滿足拉丁方陣的組合情況外, 也有另外多種利用俄羅斯方塊所組成的俄拉方陣圖形 (1) 長方型 + 正方型三種 (2) 長方型 +L 型六種 A D C B A D C B A D C B B C A D (3) 長方型 + 正方型 +L 型六種 A B D C B C A D C D B A D A C B D A C B A D C B B C A D 12

13 (4) 長方型 +L 型 +T 型四種 A C D B B A C D C D B A D A C B A B D C D C A B (5)L 型 +Z 型二種 A D C B B C D A ( 三 ) 第三類 : 數獨型因為數獨型的拉丁方陣即為 4 個正方型俄羅斯方塊所組成, 所以 4 個正方型俄羅斯方塊所組成的拉丁方陣也是基本的圖形之一 ; 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22, 23, 24 這 12 個像數獨形式的拉丁方陣可以滿足此種圖形 ( 如下圖 ) 例如 : A C D B A C D B A C D B A C D B 13

14 陸結論我們由對數獨遊戲的好奇心, 找到了原來拉丁方陣是數獨的前身, 也在尋找拉丁方陣的變化推演之中發現 : 一原來拉丁方陣可以和俄羅斯方塊結合得到俄拉方陣的組合, 在推展的過程之中, 從裡頭我們不但了解到拉丁方陣圖形對稱性對稱性的美妙, 也在學習的過程之中了解到原來拉丁方陣經由左右翻轉上下翻轉旋轉 90 度旋轉 180 度或以對角線為對稱軸翻轉之後是如此的富變化性二我們更進一步發現到能符合數獨型的拉丁方陣其實是有限制的, 唯有在俄拉方陣中由正方型方塊正方型方塊去組成的拉丁方陣圖形才能滿足數獨型的拉丁方陣柒參考參考資料一數獨樂園 : 數獨簡介巫光楨尤怪之家取自 : 二權威數獨..從入門到精通 ( 法 ) 布魯諾馬勒西斯陝西師範大學出版社三人氣數獨 100 Nikoli 格林文化出版社四全民腦力大挑戰 - 數獨王我識編輯部我識出版集團五 Super 動腦高手 : 金蘋果系列數學篇呂宗昕新手父母出版社 14