行列式, 柯拉瑪法則 n 階的行列式是 n n ( 所以是方陣!) 矩陣 A = [a jk ] 相關的純量, 可寫為 (1) 且對 n = 1 而言, 行列式定義為 (2) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271

Size: px

Start display at page:

Download "行列式, 柯拉瑪法則 n 階的行列式是 n n ( 所以是方陣!) 矩陣 A = [a jk ] 相關的純量, 可寫為 (1) 且對 n = 1 而言, 行列式定義為 (2) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271"

拜檀左
5 years ago
Views:

1 第 7 章線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 7.1 矩陣, 向量 : 加法與純量乘積 7.2 矩陣乘法 7.3 線性方程組, 高斯消去法 7.4 線性獨立, 矩陣的秩, 向量空間 7.5 線性系統的解 : 存在性, 唯一性 7.6 參考用 : 二階與三階行列式 7.7 行列式, 柯拉瑪法則 7.8 反矩陣, 高斯喬丹消去法 7.9 向量空間, 內積空間, 線性轉換 ( 選讀 ) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.235

2 行列式, 柯拉瑪法則 n 階的行列式是 n n ( 所以是方陣!) 矩陣 A = [a jk ] 相關的純量, 可寫為 (1) 且對 n = 1 而言, 行列式定義為 (2) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271

3 與對 n = 2 而言, 則為 (3a) 或 (3b) 此處, 其中,M jk 為 n = 1 階的行列式, 亦即由 A 省去 a jk 項所在列與行, 即第 j 列與第 k 行所成子矩陣的行列式第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271

4 因此,D 是以 n 個 n = 1 階的行列式來定義, 每一個 n = 1 階行列式又可以 n = 1 個 n = 2 階行列式來定義, 依序類推, 最後是二階行列式, 其子矩陣含單一項, 而行列式即為該項本身由此定義可推知, 我們可對任意列或行來展開 (expand)d, 亦即從 (3) 式中選取任意列或行的項, 以同樣方式來展開 (3) 式中 C jk, 並依此類推這個定義並不含糊, 也就是說, 我們不管選取那一行或那一列來展開 D, 都得相同值行列式所用的相關術語均源自矩陣在 D 中, 有 n 2 個 a jk 項 (entry), 也有 n 列 (row) 與 n 行 (column), 主對角線 (main diagonal) 上有 a 11, a 22,,a nn 等項兩個新的名詞 : 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.271

5 M jk 稱為 D 中 a jk 的子式, 以及 D 中 a jk 的餘因子 (cofactor) C jk 為了稍後的應用, 我們注意到 (3) 式也可寫成子式的形式 (4a) (4b) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.272

6 範例 1 三階行列式的子式與餘因子在前一節 (4) 式中, 我們可直接看出第 1 行各項的子式與餘因子至於第 2 列的各項, 其子式為以及餘因子為 C 21 = M 21, C 22 = M 22 與 C 23 = M 23 同理, 讀者可對第 3 列各項寫出子式與餘因子, 並證明 C jk 的符號構成西洋棋盤狀 (checkerboard pattern) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.272

7 範例 2 三階行列式的展開上式係以第 1 列來展開以第 3 行展開得證明其他四種展開也可得到 -12 的值第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.272

8 範例 3 三角矩陣的行列式由此點你是否想到如何建立三角矩陣的行列式相關的定理? 以及對角矩陣? 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.272

9 行列式的一般性質為求得行列式 (1) 式的值, 我們首先可採類似 6.3 節的矩陣運算方式, 即基本列運算來有系統地簡化行列式如下 : 定理 1 n 階行列式的基本列運算的特性第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.273

10 定理 1 證明 (a) 歸納法當 n = 2 時, 上述成立, 因為那麼根據歸納法假設 (a) 對 n = 1 階 ( 2) 的行列式為真, 再證明 n 階的行列式亦為真令 D 為 n 階, 且令 E 為 D 互換二列而得然後再對不是互換過的列, 稱為第 j 列來展開 D 和 E 那麼由 (4a) 得到 (5) 其中, N jk 為 D 中 a jk 的子式 M jk 對調兩列 ( 即 D 中對調的兩第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.273

11 定理 1 證明列 ) 而得 ( 因為係對另一列展開, 所以 N jk 必含這兩列 ) 於是子式為 n-1 階, 故應用歸納法假設得到 N jk =-M jk 由 (5) 式得到 E =-D 將第 i 列乘以 c 加到第 j 列, 且令 D 為新的行列式其中 ~ 第 j 列的項為 a jk +ca ik 若對第 3 列展開 D, 則我們可看出 ~ 並寫為 D = D 1 +cd 2, 其中 D 1 = D 在第 j 列為 a jk, 至於 D 2 從加法得出, 在第 j 列為 a jk 因此, D 2 中第 i 列與第 j 列為 a jk 將此二列互換得回 D 2, 但另一方面由 (a) 對調卻得到 ~ -D 2 合併得 D 2 =-D 2 = 0, 所以 D = D 1 = D (c) 對乘以常數的列, 展開其行列式注意!det(cA) = c n deta( 不是 c det A), 試說明其原因 ~ 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.273

12 範例 4 以簡化成三角形式, 計算行列式由於定理 1, 我們可經由簡化成三角形式來計算行列式, 如同矩陣的高斯消去法例如 ( 藍色字說明, 參考上一行列式 ) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.273

13 範例 4 ( 續 ) 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.274

14 定理 2 n 階行列式進一步性質第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.273

15 定理 2 證明 (a) (e) 因行列式可對任意列行展開而推知至於 (d), 轉置如同矩陣的定義, 亦即第 j 列變成轉置後第 j 行 (f) 若第 j 列 =c 乘以第 j 列, 則 D = cd 1, 其中 D 1 的第 j 列 = 第 i 列因此, 互換此二列產生 D 1, 但是根據定理 1 (a) 又得到 D, 故 D 1 = 0 與 D = cd 1 = 0 同理, 對行亦成立第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.274

16 定理 3 以行列式來表示秩第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.274

17 定理 3 證明這裡關鍵觀念是基本列運算 (6.3 節 ) 並不改變矩陣的秩 (6.4 節定理 1), 也不改變行列式非零的性質 ( 本節定理 1) 矩陣 A 的梯陣形式 Â(6.3 節 ), 若且唯若 rank A = r, 則 A 具有 r 個非零列向量 ( 它們為前 r 個列向量 ) 令 Ȓ 為 Â 的左上角的 r r 子矩陣 ( 使得 Ȓ 的諸項在 Â 的前 r 列與前 r 行中 ) 那麼 Ȓ 為所有對角線項 r ij 為非零的三角形因此 det Ȓ = r 11 r rr 0 同時因 Ȓ 係自 R 以基本列運算得, 故 A 所對應的 r r 子矩陣其 det R 0 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.274

18 定理 3 證明同理, 因為 Â 的對應子矩陣 Ŝ 必含零值的列 ( 否則 rank A r+1), 則對於任意 r+1 或更多包含在 A 的列, 其子方陣 S 成立 det S = 0, 又根據定理 2, 使得 det Ŝ= 0 此即證明對 m n 矩陣的定理特別是 A 為 n n 方陣時, 若且唯若 A 包含非零行列式的 n n 子矩陣, 則 rank A = n 但是唯一滿足此子矩陣為 A 本身, 因此 det A 0 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.274

19 柯拉瑪法則定理 3 開啟通往線性方程系統求解的古典公式, 即以行列式當商表示解的柯拉瑪法則 (Cramer s rule) 柯拉瑪法則在計算上並不實用 ( 在 6.3 節中所列的方法較適用 ), 不過它對於微分方程 (2.10 與 3.3 節 ) 和一些工程應用上的理論具有理論價值第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.275

20 定理 4 柯拉瑪法則 ( 行列式求解線性系統 ) (a) 若一線性系統包含相同個數未知數 x 1,, x n 的 n 個方程式有非零係數行列式 D=det A, 此系統恰有一解第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.275

21 定理 4 柯拉瑪法則 ( 行列式求解線性系統 ) 此解可由下式求得其中 D k 是將 D 中第 k 行以 b 1,, b n 等項取代所得之行列式 (b) 因此若系統方程式 (6) 為齊次且 D 0, 則此系統具有唯一的平凡解 x 1 =0, x 2 =0,, x n =0 而若 D=0, 則此齊次系統將有非平凡解第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.275

22 定理 4 證明系統方程式 (6) 的擴大矩陣 Ã 具有 n (n+1) 的大小因此, 其秩最多為 n 那麼若 (8) 則根據定理 3 知 rank A = n 因此 rank Ã = rank A 所以, 根據 6.5 節基本定理得知系統方程式 (6) 存在唯一解第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.276

23 定理 4 證明接下來證明 (7) 式若將 D 對第 k 行展開可得 (9) 其中 C ik 為 D 中 a ik 項的餘因子若以任意其他數代入 D 的第 k 行中各項, 則獲得新的行列式明確的說, 對第 k 行的展開將屬於 (9) 式的形式, 其中 a 1k,,a nk 為新的數目所取代, 而餘因子 C ik 如前不變尤其若是對 D 中第 l 行 ( 其中 l k) 的項 a l l,, a nl 指定新的數目, 則得到兩倍於行 [a l l a n l ] Τ 的新行列式 D, 由於取代, 故此新行列式與第 l 行和第 k 行具相同倍數根據定理 2(f ) 知 D = 0 第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.276

24 定理 4 證明如果依被取代的行 ( 第 k 行 ) 展開 D, 則可得 (10) 再來, 將 (6) 式第 1 式兩邊乘以 C 1k ; 第 2 式兩邊乘 C 2k,, 最後式子兩邊乘以 C nk, 再把這些結果方程式相加得到 (11) ^ 收集具相同 x j 的項, 可將上式左邊寫成第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.276

25 定理 4 證明由上式看出為 x k 與下式相乘所得由 (9) 式可知上式等於 D 同理,x l 係與下式相乘當 l k 時,(10) 式證實上式為零所以,(11) 式左邊簡化為 x k D, 以致於 (11) 式變為如同本定理的定義, 現在上式的右邊為 D k, 係由第 k 行展開的, 如此再除以 D 即得 (7) 式此即證明柯拉瑪法則第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.276

26 定理 4 證明若 (6) 式為齊次且 D 0, 則每一 D k 存有零值的行, 再根據定理 2(e) 導致 D k = 0, 以及由 (7) 式得到零解最後若 (6) 式為齊次, 且 D = 0, 則依照定理 3 知 rank A< n, 所以根據 6.5 節定理 2, 可知存在非平凡解第 6 章拉式轉換線性代數 : 矩陣, 向量, 行列式, 線性方程組 P.277

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0