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1 教 育 科 学 十 五 国 家 规 划 课 题 研 究 成 果 应 用 数 学 基 础 微 上 册 宣 立 新 主 编 高 等 教 育 出 版 社

2 内 容 提 要 本 书 是 教 育 科 学 十 五 国 家 规 划 课 题 研 究 成 果 之 一, 以 本 科 非 数 学 专 业 高 等 数 学 课 程 教 学 基 本 要 求 为 依 据 编 写 的 全 国 通 用 教 材 本 书 突 出 重 要 概 念 的 实 际 背 景 和 理 论 知 识 的 应 用 全 书 上 下 册 出 版 上 册 内 容 为 : 函 数 的 极 限 与 连 续 导 数 与 微 微 中 值 理 和 导 数 的 应 用 和 不 的 应 用 关 于 极 限 义 的 精 确 化 常 微 方 程 等 七 章 每 节 配 有 思 考 题 和 习 题, 每 章 最 后 一 节 为 综 合 例 题 ( 选 学 内 容 ), 便 于 教 师 因 材 施 教 书 后 有 附 录 :Mthemtic 软 件 包 在 高 等 数 学 中 的 应 用 一 些 常 用 的 中 学 数 学 公 式 几 种 常 用 的 曲 线 表 思 考 题 和 习 题 参 考 答 案 本 书 从 极 限 的 描 述 义 开 始 展 开 一 元 微 的 主 要 内 容, 在 此 基 础 上 引 进 极 限 的 精 确 化 义 全 书 说 理 浅 显, 便 于 教 也 便 于 学 本 书 可 供 培 养 应 用 型 人 才 的 高 等 学 校 理 工 农 各 类 专 业 学 生 使 用, 也 可 作 为 技 术 人 员 的 参 考 书 图 书 在 版 编 目 (CIP) 数 据 应 用 数 学 基 础 微. 上 册 / 宣 立 新 主 编. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,4.4 ISBN X Ⅰ. 应... Ⅱ. 宣... Ⅲ. 应 用 数 学 - 高 等 学 校 - 教 材 微 - 高 等 学 校 - 教 材 Ⅳ.9 中 国 版 本 图 书 馆 CIP 数 据 核 字 (4) 496 号 出 版 发 行 高 等 教 育 出 版 社 购 书 热 线 社 址 北 京 市 西 城 区 德 外 大 街 4 号 免 费 咨 询 邮 政 编 码 网 址 htp:// 总 机 htp:// 经 销 新 华 书 店 北 京 发 行 所 印 刷 开 本 /6 版 次 年 月 版 印 张 3.5 印 次 年 月 次 印 刷 字 数 44 价 4.6 元 本 书 如 有 缺 页 倒 页 脱 页 等 质 量 问 题, 请 到 所 购 图 书 销 售 部 门 联 系 调 换. 版 权 所 有 侵 权 必 究

3 总 序 为 了 更 好 地 适 应 当 前 我 国 高 等 教 育 跨 越 式 发 展 需 要, 满 足 我 国 高 校 从 精 英 教 育 向 大 众 化 教 育 的 重 大 转 移 阶 段 中 社 会 对 高 校 应 用 型 人 才 培 养 的 各 类 要 求, 探 索 和 建 立 我 国 高 等 学 校 应 用 型 人 才 培 养 体 系, 全 国 高 等 学 校 教 学 研 究 中 心 ( 以 下 简 称 教 研 中 心 ) 在 承 担 全 国 教 育 科 学 十 五 国 家 规 划 课 题 世 纪 中 国 高 等 教 育 人 才 培 养 体 系 的 创 新 与 实 践 研 究 工 作 的 基 础 上, 组 织 全 国 余 所 以 培 养 应 用 型 人 才 为 主 的 高 等 院 校, 进 行 其 子 项 目 课 题 世 纪 中 国 高 等 学 校 应 用 型 人 才 培 养 体 系 的 创 新 与 实 践 的 研 究 与 探 索, 在 高 等 院 校 应 用 型 人 才 培 养 的 教 学 内 容 课 程 体 系 研 究 等 方 面 取 得 了 标 志 性 成 果, 并 在 高 等 教 育 出 版 社 的 支 持 和 配 合 下, 推 出 了 一 批 适 应 应 用 型 人 才 培 养 需 要 的 立 体 化 教 材, 冠 以 教 育 科 学 十 五 国 家 规 划 课 题 研 究 成 果 年 月, 教 研 中 心 在 南 京 工 程 学 院 组 织 召 开 了 世 纪 中 国 高 等 学 校 应 用 型 人 才 培 养 体 系 的 创 新 与 实 践 课 题 立 项 研 讨 会 会 议 确 由 教 研 中 心 组 织 国 家 级 课 题 立 项, 为 参 加 立 项 研 究 的 高 等 院 校 搭 建 高 起 点 的 研 究 平 台, 整 体 设 计 立 项 研 究 计 划, 明 确 目 标 课 题 立 项 采 用 整 体 规 划 步 实 施 滚 动 立 项 的 方 式, 期 批 启 动 立 项 研 究 计 划 为 了 确 保 课 题 立 项 目 标 的 实 现, 组 建 了 世 纪 中 国 高 等 学 校 应 用 型 人 才 培 养 体 系 的 创 新 与 实 践 课 题 领 导 小 组 ( 亦 为 高 校 应 用 型 人 才 立 体 化 教 材 建 设 领 导 小 组 ) 会 后, 教 研 中 心 组 织 了 首 批 课 题 立 项 申 报, 有 63 所 高 校 申 报 了 近 45 项 课 题 3 年 月, 在 黑 龙 江 工 程 学 院 进 行 了 项 目 评 审, 经 过 课 题 领 导 小 组 严 格 的 把 关, 确 了 首 批 9 项 子 课 题 的 牵 头 学 校 支 持 学 校 和 参 加 学 校 3 年 3 月 至 4 月, 各 子 课 题 相 继 召 开 了 工 作 会 议, 交 流 了 各 校 教 学 改 革 的 情 况 和 面 临 的 具 体 问 题, 确 了 项 目 工, 并 全 面 开 始 研 究 工 作 计 划 先 集 中 力 量, 用 两 年 时 间 形 成 一 批 有 关 人 才 培 养 模 式 培 养 目 标 教 学 内 容 和 课 程 体 系 等 理 论 研 究 成 果 报 告 和 在 研 究 报 告 基 础 上 同 步 组 织 建 设 的 反 映 应 用 型 人 才 培 养 特 色 的 立 体 化 系 列 教 材 与 过 去 立 项 研 究 不 同 的 是, 世 纪 中 国 高 等 学 校 应 用 型 人 才 培 养 体 系 的 创 新 与 实 践 课 题 研 究 在 审 视 选 择 消 化 与 吸 收 多 年 来 已 有 应 用 型 人 才 培 养 探 索 与 实 践 成 果 基 础 上, 紧 密 结 合 经 济 全 球 化 时 代 高 校 应 用 型 人 才 培 养 工 作 的 实 际 需 要, 努 力 实 践, 大 胆 创 新, 采 取 边 研 究 边 探 索 边 实 践 的 方 式, 推 进 高 校 应 用 型 人 才 培 养 工 作, 突 出 重 点 目 标, 并 不 断 取 得 标 志 性 的 阶 段 成 果 Ⅰ 总 序

4 教 材 建 设 作 为 保 证 和 提 高 教 学 质 量 的 重 要 支 柱 和 基 础, 作 为 体 现 教 学 内 容 和 教 学 方 法 的 知 识 载 体, 在 当 前 培 养 应 用 型 人 才 中 的 作 用 是 显 而 易 见 的 探 索 建 设 适 应 新 世 纪 我 国 高 校 应 用 型 人 才 培 养 体 系 需 要 的 教 材 体 系 已 成 为 当 前 我 国 高 校 教 学 改 革 和 教 材 建 设 工 作 面 临 的 十 重 要 的 任 务 因 此, 在 课 题 研 究 过 程 中, 各 课 题 组 充 吸 收 已 有 的 优 秀 教 学 改 革 成 果, 并 和 教 学 实 际 结 合 起 来, 认 真 讨 论 和 研 究 教 学 内 容 和 课 程 体 系 的 改 革, 组 织 一 批 学 术 水 平 较 高 教 学 经 验 较 丰 富 实 践 能 力 较 强 的 教 师, 编 写 出 一 批 以 公 共 基 础 课 和 专 业 技 术 基 础 课 为 主 的 有 特 色 适 用 性 强 的 教 材 及 相 应 的 教 学 辅 导 书 电 子 教 案, 以 满 足 高 等 学 校 应 用 型 人 才 培 养 的 需 要 我 们 相 信, 随 着 我 国 高 等 教 育 的 发 展 和 高 校 教 学 改 革 的 不 断 深 入, 特 别 是 随 着 教 育 部 高 等 学 校 教 学 质 量 和 教 学 改 革 工 程 的 启 动 和 实 施, 具 有 示 范 性 和 适 应 应 用 型 人 才 培 养 的 精 品 课 程 教 材 必 将 进 一 步 促 进 我 国 高 校 教 学 质 量 的 提 高 全 国 高 等 学 校 教 学 研 究 中 心 3 年 4 月 总 序 Ⅱ

5 前 言 本 书 是 教 育 科 学 十 五 国 家 规 划 课 题 研 究 成 果 之 一, 它 是 面 向 培 养 应 用 型 人 才 的 高 等 学 校 理 工 农 各 类 专 业 的 高 等 数 学 教 材, 本 书 以 教 育 部 颁 发 的 本 科 非 数 学 专 业 高 等 数 学 课 程 教 学 基 本 要 求 为 依 据, 汲 取 理 工 农 类 培 养 应 用 型 人 才 的 高 等 学 校 数 学 教 学 改 革 的 经 验, 又 注 意 借 鉴 国 外 同 类 学 校 数 学 教 学 改 革 的 成 功 经 验. 本 书 力 求 具 有 以 下 特 点 :. 突 出 培 养 应 用 型 人 才 的 宗 旨, 注 重 重 要 概 念 的 实 际 背 景 和 强 化 高 等 数 学 理 论 知 识 的 应 用. 强 调 数 学 的 思 想 和 方 法 3. 注 意 高 等 教 育 大 众 化 的 新 形 势, 极 限 部 先 介 绍 描 述 义, 让 读 者 尽 快 学 习 导 数 与 微 的 知 识, 在 此 基 础 上 再 介 绍 极 限 的 精 确 义, 全 书 通 俗 易 懂 4. 为 了 便 于 教 师 因 材 施 教, 本 书 每 节 除 习 题 外, 配 有 帮 助 读 者 理 解 相 关 的 概 念 掌 握 重 要 方 法 的 思 考 题 每 章 最 后 都 有 一 节 综 合 例 题 ( 打 * 号 的 ) 不 作 教 学 要 求 这 是 供 数 学 基 础 较 好 的 读 者 选 读 的 这 些 例 题 综 合 性 较 强, 稍 有 难 度 它 也 可 以 作 为 教 师 习 题 课 时 选 用 的 题 目 5. 将 现 代 化 的 计 算 工 具 高 等 数 学 软 件 包 按 书 中 上 下 册 的 内 容 别 编 在 上 下 册 的 附 录 里, 便 于 有 条 件 的 学 校 使 用, 并 以 此 引 导 学 生 重 视 基 本 概 念 基 础 知 识 的 学 习, 注 意 提 高 解 决 实 际 问 题 的 能 力, 而 不 盲 目 追 求 运 算 技 巧 本 书 ( 上 下 册 ) 的 基 本 教 学 时 数 不 少 于 6 学 时, 讲 解 标 有 * 号 的 内 容 要 另 外 安 排 学 时 本 书 七 章 微 方 程 九 章 多 元 函 数 微 学 十 二 章 无 穷 级 数 中 的 常 数 项 级 数, 由 南 京 工 程 学 院 胡 可 乐 副 教 授 编 写 ; 八 章 向 量 代 数 与 空 间 解 析 几 何 Mthemtic 软 件 包 在 高 等 数 学 中 的 应 用 ( 一 二 ) 由 南 京 师 范 大 学 孙 越 泓 博 士 编 写 ; 其 余 各 章 节 由 南 京 师 范 大 学 宣 立 新 教 授 编 写 全 书 的 框 架 统 稿 稿 由 宣 立 新 承 担 由 于 我 们 的 水 平 所 限, 加 上 时 间 较 紧, 因 此 书 中 必 有 不 少 缺 点 和 错 误, 敬 请 各 位 专 家 同 行 和 读 者 批 评 指 正 编 者 二 三 年 十 月

6 目 录 绪 论 一 章 函 数 的 极 限 与 连 续 3 一 节 函 数 3 一 集 合 常 量 与 变 量 (3) 二 函 数 的 概 念 (4) 三 函 数 的 表 示 法 (6) 反 函 数 (8) 五 单 值 函 数 与 多 值 函 数 (8) 六 函 数 的 几 种 特 性 (9) () 八 建 立 函 数 关 系 的 实 例 (3) 思 考 题 -(5) 习 题 -(5) 四 函 数 的 七 初 等 函 数 二 节 微 的 两 个 基 本 问 题 和 我 国 古 代 学 者 的 极 限 思 想 6 一 微 的 两 个 基 本 问 题 (7) 二 我 国 古 代 学 者 的 极 限 思 想 (9) 三 节 函 数 的 极 限 9 一 数 列 的 极 限 (9) 二 x 时 函 数 的 极 限 () 三 x x 时 函 数 的 极 限 () 四 极 限 的 性 质 (4) 思 考 题 -3(4) 习 题 -3(5) 四 节 无 穷 小 与 无 穷 大 6 一 无 穷 小 (6) 二 无 穷 大 (7) 思 考 题 -4(8) 习 题 -4(8) 五 节 极 限 的 运 算 法 则 9 思 考 题 -5(3) 习 题 -5(3) 六 节 函 数 的 连 续 性 及 其 应 用 33 一 函 数 的 连 续 性 (33) 二 连 续 函 数 的 运 算 (35) 三 初 等 函 数 的 连 续 性 (38) 四 函 数 的 间 断 点 (39) 五 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 (4) 思 考 题 -6(43) 习 题 -6(44) 七 节 两 个 重 要 极 限 44 sinx 一 极 限 lim x x =(45) 二 极 限 lim x -7(49) + x x =e(47) 思 考 题 -7(49) 习 题 八 节 无 穷 小 的 比 较 5 * 思 考 题 -8(5) 习 题 -8(5) 九 节 综 合 例 题 53 习 题 -9(57) 目 录 Ⅰ

7 二 章 导 数 与 微 58 一 节 导 数 的 概 念 58 一 几 个 实 例 (58) 二 导 数 的 义 (59) 三 导 数 的 几 何 意 义 (6) 四 可 导 与 连 续 的 关 系 (63) 思 考 题 -(64) 习 题 -(65) 二 节 导 数 公 式 与 函 数 的 和 差 商 的 导 数 66 一 常 数 和 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 (66) 二 函 数 的 和 差 商 的 导 数 (66) -(69) 习 题 -(7) 思 考 题 三 节 反 函 数 和 复 合 函 数 的 导 数 7 一 反 函 数 的 导 数 (7) 二 复 合 函 数 的 导 数 (7) 思 考 题 -3(75) 习 题 -3 (75) 四 节 隐 函 数 和 参 数 式 函 数 的 导 数 76 一 隐 函 数 的 导 数 (76) 二 参 数 式 函 数 的 导 数 (78) 三 相 关 变 化 率 (79) -4(8) 习 题 -4(8) 思 考 题 五 节 高 阶 导 数 8 思 考 题 -5(85) 习 题 -5(86) 六 节 微 及 其 应 用 86 * 一 微 的 概 念 (86) 二 常 数 和 基 本 初 等 函 数 的 微 公 式 与 微 运 算 法 则 (89) 三 微 的 应 用 (9) 思 考 题 -6(95) 习 题 -6(95) 七 节 综 合 例 题 96 习 题 -7(99) 三 章 微 中 值 理 和 导 数 的 应 用 目 录 Ⅱ 一 节 拉 格 朗 日 理 和 函 数 的 单 调 性 一 罗 尔 理 () 二 拉 格 朗 日 理 (4) 三 函 数 的 单 调 性 (6) 思 考 题 3- (9) 习 题 3-(9) 二 节 函 数 的 极 值 与 最 值 一 函 数 的 极 值 () 二 函 数 的 最 值 (3) 思 考 题 3-(6) 习 题 3-(6) 三 节 曲 线 的 凹 凸 拐 点 与 函 数 的 析 作 图 法 8 一 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 (9) 二 曲 线 的 渐 近 线 () 三 函 数 的 析 作 图 法 () 思 考 题 3-3(4) 习 题 3-3(5) 四 节 曲 线 弧 函 数 的 微 曲 率 6 一 曲 线 弧 函 数 的 微 (6) 二 曲 率 (7) 思 考 题 3-4(3) 习 题 3-4(3) 五 节 柯 西 理 与 洛 必 达 法 则 3 一 柯 西 理 (3) 二 洛 必 达 法 则 (33) 思 考 题 3-5(37) 习 题 3-5(37) 六 节 函 数 的 多 项 式 逼 近 泰 勒 公 式 37

8 * * 思 考 题 3-6(43) 习 题 3-6(43) 七 节 导 数 在 经 济 上 的 应 用 举 例 44 一 经 济 学 中 几 个 常 见 的 函 数 (44) 二 边 际 与 边 际 析 (44) 三 弹 性 与 弹 性 析 (46) 思 考 题 3-7(48) 习 题 3-7(49) 八 节 综 合 例 题 5 习 题 3-8(54) 四 章 与 不 56 一 节 的 概 念 与 性 质 56 一 几 个 实 例 (56) 二 义 (58) 三 的 几 何 意 义 (59) 四 的 性 质 (6) 思 考 题 4-(6) 习 题 4-(6) 二 节 原 函 数 与 不 63 一 函 数 的 原 函 数 与 不 (63) 二 基 本 公 式 (64) 三 不 的 性 质 (65) 思 考 题 4-(66) 习 题 4-(67) 三 节 微 基 本 公 式 67 一 上 限 函 数 及 其 性 质 (68) 二 微 基 本 公 式 (69) 习 题 4-3(7) 思 考 题 4-3(7) 四 节 的 换 元 法 73 一 不 的 换 元 法 (73) 二 的 换 元 法 (8) 思 考 题 4-4(86) 习 题 4-4(86) 五 节 的 部 法 88 一 不 的 部 法 (88) 二 的 部 法 (9) 思 考 题 4-5 (94) 习 题 4-5(94) 六 节 举 例 和 表 的 使 用 95 一 举 例 (96) 二 表 的 使 用 () 思 考 题 4-6() 习 题 4-6(3) 七 节 反 常 4 * 一 无 穷 区 间 上 的 反 常 (4) 二 无 界 函 数 的 反 常 (6) 思 考 题 4-7 (8) 习 题 4-7(9) 八 节 综 合 例 题 9 习 题 4-8(3) 五 章 的 应 用 5 一 节 模 型 和 的 微 元 法 5 二 节 在 几 何 上 的 应 用 6 Ⅲ 目 录

9 一 平 面 图 形 的 面 (6) 二 两 种 立 体 的 体 () 三 平 面 曲 线 的 弧 长 (4) 思 考 题 5-(6) 习 题 5-(6) 三 节 在 物 理 上 的 应 用 7 一 功 (7) 二 液 体 侧 压 力 (9) 三 引 力 (3) 思 考 题 5-3(3) 习 题 5-3(3) 四 节 函 数 的 平 均 值 及 其 应 用 3 * 思 考 题 5-4(34) 习 题 5-4(35) 五 节 综 合 例 题 35 习 题 5-5(4) 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化 43 一 节 极 限 概 念 的 精 确 化 43 一 数 列 的 极 限 (43) 二 函 数 的 极 限 (45) 思 考 题 6-(47) 习 题 6-(47) 二 节 与 极 限 概 念 有 关 的 命 题 证 明 举 例 48 * 思 考 题 6-(5) 习 题 6-(5) 三 节 综 合 例 题 5 习 题 6-3(54) 附 : 极 限 概 念 产 生 和 发 展 的 历 史 简 介 55 目 录 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 58 Ⅳ 一 节 微 方 程 的 基 本 概 念 58 一 实 例 (58) 二 有 关 概 念 (59) 思 考 题 7-(6) 习 题 7-(6) 二 节 可 离 变 量 的 微 方 程 6 一 可 离 变 量 的 微 方 程 (6) 二 齐 次 方 程 (64) 思 考 题 7-(66) 习 题 7-(67) 三 节 一 阶 线 性 微 方 程 67 一 一 阶 线 性 微 方 程 (67) 二 伯 努 利 方 程 (7) 思 考 题 7-3(73) 习 题 7-3 (73) 四 节 一 阶 微 方 程 的 应 用 举 例 74 思 考 题 7-4(79) 习 题 7-4(8) 五 节 可 降 阶 的 高 阶 微 方 程 8 一 y (n) =f(x) 型 的 微 方 程 (8) 二 y =f(x,y ) 型 的 微 方 程 (8) 三 y =f (y,y ) 型 的 微 方 程 (8) 思 考 题 7-5(83) 习 题 7-5(84) 六 节 二 阶 线 性 微 方 程 解 的 结 构 84 一 线 性 齐 次 微 方 程 解 的 结 构 (84) 二 线 性 非 齐 次 微 方 程 解 的 结 构 (86) 思 考 题 7-6(87) 习 题 7-6(88)

10 七 节 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程 88 一 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 方 程 的 解 法 (88) 程 的 解 法 (9) 思 考 题 7-7(96) 习 题 7-7(96) 二 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 方 八 节 二 阶 微 方 程 的 应 用 举 例 97 * 思 考 题 7-8(3) 习 题 7-8(3) 九 节 综 合 例 题 33 习 题 7-9(38) 附 录 39 一 Mthemtic 软 件 包 在 高 等 数 学 中 的 应 用 ( 一 ) 39 二 一 些 常 用 的 中 学 数 学 公 式 34 三 几 种 常 用 的 曲 线 (>) 36 四 表 37 思 考 题 和 习 题 参 考 答 案 334 参 考 书 目 36 目 录 Ⅴ

11 四 章 与 不 在 几 何 力 学 工 程 中 有 许 多 问 题 的 求 解 方 法, 与 一 章 介 绍 的 微 二 个 基 本 问 题 曲 边 梯 形 的 面 的 解 法 类 似. 下 面 以 一 些 典 型 问 题 为 背 景 引 进 的 概 念, 讨 论 的 性 质. 为 了 计 算 的 值, 给 出 不 的 概 念 和 基 本 公 式, 最 后 讨 论 不 与 的 计 算. 一 节 的 概 念 与 性 质 一 几 个 实 例 四 章 与 不. 曲 边 梯 形 的 面 一 章 中 讨 论 了 一 个 具 体 的 曲 边 梯 形 面 的 计 算. 一 般 地, 由 连 续 曲 线 y=f (x)( ),x 轴, 直 线 x=,x=b(<b) 围 成 的 曲 边 梯 形 ( 图 4-), 由 于 它 在 底 边 [,b] 上 的 点 x 处 的 高 f(x) 是 变 动 的, 因 此 曲 边 梯 形 的 面 A 不 能 直 接 用 矩 形 面 公 式 计 算. 但 曲 边 梯 形 的 高 f(x) 在 区 间 [,b] 上 是 连 续 变 化 的, 如 果 曲 边 梯 形 的 底 边 很 窄, 则 f(x) 变 化 很 小, 可 以 近 似 地 看 作 不 变. 从 而 可 以 用 一 章 中 计 算 那 个 曲 边 梯 形 面 的 类 似 方 法 来 计 算 一 般 的 曲 边 梯 形 的 面 A. 图 4- () 割 在 区 间 [,b] 内 任 意 插 入 n- 个 点 =x <x <x < <x n- <x n =b, 得 到 n 个 小 区 间 [x,x ],[x,x ],,[x n-,x n ], 记 Δx i =x i -x i-, 则 Δx i 为 i (i=,,n) 个 小 区 间 的 长 度, 过 各 点 作 x 轴 的 垂 线, 把 曲 边 梯 形 成 n 个 窄 曲 边 梯 形 ; 56

12 () 取 近 似 在 每 个 小 区 间 [x i-,x i ] 上 任 取 一 点 ξ i, 则 i 个 窄 曲 边 梯 形 的 面 ΔA i 可 以 用 与 它 同 底 高 为 f(ξ i ) 的 窄 矩 形 面 近 似 代 替, 即 ΔA i f(ξ i )Δx i ( 在 Δx i 时,f(ξ i )Δx i 是 ΔA i 的 线 性 主 部 ); A n (3) 求 和 n 个 窄 矩 形 面 的 和 是 所 求 曲 边 梯 形 的 面 A 的 近 似 值, 即 i= f(ξ i )Δx i ; (4) 取 极 限 为 了 得 到 A 的 精 确 值, 必 须 让 每 个 小 区 间 的 长 度 都 无 限 缩 短. 我 们 用 λ 表 示 n 个 小 区 间 长 度 的 最 大 值, 即 λ=mx{δx i i=,,,n}, 则 和 式 n i= f(ξ i )Δx i 在 λ 时 的 极 限 是 面 A, 即. 变 速 直 线 运 动 的 路 程 A=lim λ n i= f(ξ i )Δx i. 设 一 个 物 体 作 直 线 运 动, 已 知 速 度 v(t) 是 时 间 间 隔 [T,T ] 上 的 一 个 连 续 函 数, 求 T 到 T 这 段 时 间 内 物 体 通 过 的 路 程 s. 由 于 物 体 是 作 的 变 速 运 动, 因 此 不 能 以 物 体 在 某 一 时 刻 的 速 度 代 替 [T,T ] 这 段 时 间 内 各 时 刻 的 速 度, 但 已 知 速 度 函 数 是 连 续 的, 可 以 采 用 处 理 曲 边 梯 形 面 的 类 似 方 法. () 割 在 时 间 区 间 [T,T ] 内 插 入 n- 个 点 T =t <t <t < <t n- <t n =T, 得 到 n 个 小 区 间 [t i-,t i ](i=,,,n), 记 i 个 小 区 间 的 长 为 Δt i (=t i - t i- ), 这 时 路 程 s 相 应 地 被 为 n 个 小 路 程 Δs i ; () 取 近 似 在 时 间 间 隔 [t i-,t i ] 上 任 取 一 个 时 刻 τ i, 用 时 刻 τ i 的 速 度 v(τ i ) 近 似 代 替 在 [t i-,t i ] 上 各 时 刻 的 速 度, 则 Δs i v(τ i )Δt i ; (3) 求 和 s= n i= Δs i n i= v(τ i )Δt i ; (4) 取 极 限 记 n 个 小 区 间 的 长 度 的 最 大 值 为 λ, 当 λ 时 以 上 和 式 的 极 限, 就 是 变 速 直 线 运 动 的 路 程, 即 3. 直 线 运 动 时 的 变 力 作 功 n λ i= s=lim v(τ i )Δt i. 物 体 沿 x 轴 从 点 运 动 到 点 b, 在 运 动 过 程 中 受 到 沿 x 轴 方 向 的 变 力 F(x) 的 作 用, 设 F(x) 是 x 的 连 续 函 数, 求 力 F(x) 对 物 体 作 的 功 W. 由 于 物 体 在 运 动 过 程 中 受 到 的 是 变 力, 不 能 简 单 地 用 常 力 作 功 的 公 式. 但 变 力 是 连 续 的, 如 果 通 过 的 路 程 很 短, 变 力 可 以 近 似 地 看 作 常 力, 因 此 仍 然 可 用 处 57 一 节 的 概 念 与 性 质

13 理 曲 边 梯 形 面 的 类 似 方 法 来 计 算 变 力 作 功. () 割 将 区 间 [,b] 成 n 个 小 区 间 [x i-,x i ]( 其 中 x =,x n =b), 记 Δx i =x i -x i-, 功 W 相 应 地 被 成 n 个 部 功 ΔW i (i=,,,n); () 取 近 似 在 小 区 间 [x i-,x i ] 上 任 取 一 点 ξ i, 用 ξ i 处 物 体 受 到 的 力 F(ξ i ) 近 似 代 替 在 [x i-,x i ] 上 各 点 物 体 受 到 的 力, 则 ΔW i F(ξ i )Δx i ; (3) 求 和 W = n ΔW i n F(ξ i )Δx i ; i= i= (4) 取 极 限 记 λ=mx{δx i i=,,,n}, 则 W=lim λ n i= F(ξ i )Δx i. 3 以 上 三 个 实 例 的 解 决 办 法, 可 以 概 括 为 : 对 所 要 求 的 量, 化 整 为 零 取 近 似 ( 局 部 以 直 代 曲 或 以 常 量 代 变 量 得 到 近 似 值 ), 再 聚 零 为 整 取 极 限, 得 到 所 求 量 的 精 确 值. 二 义 以 上 的 三 个 实 例 有 不 同 的 实 际 意 义, 但 计 算 这 些 量 使 用 的 方 法 是 相 同 的. 比 较 ~3 式, 抛 开 这 些 问 题 的 具 体 意 义, 从 表 达 式 在 数 量 关 系 上 的 共 同 特 性, 抽 象 出 的 概 念. 义 设 函 数 f(x) 在 闭 区 间 [,b] 上 有 界, 在 (,b) 内 任 意 插 入 n- 个 点 =x <x <x < <x n =b, 四 章 与 不 把 [,b] 成 了 n 个 小 区 间 [x i-,x i ], 其 长 度 Δx i =x i -x i- (i=,,,n); 在 每 个 小 区 间 [x i-,x i ] 上 任 取 一 点 ξ i, 作 f(ξ i )Δx i (i=,,,n); 作 和 式 n i= f(ξ i )Δx i ( 称 为 和 ); 记 λ=mx{δx i i=,,,n}, 若 极 限 lim λ n i= f(ξ i )Δx i 存 在, 则 称 函 数 f(x) 在 [,b] 上 可, 记 作 f(x) R[,b], 并 称 以 上 的 极 限 值 为 函 数 f(x) 在 [,b] 上 的, 记 作 b f(x)dx, 即 b f(x)dx=lim λ n i= f(ξ i )Δx i, 称 f(x) 为 被 函 数,f(x)dx 为 被 表 达 式,x 为 变 量,[,b] 为 区 间, 为 下 限,b 为 上 限, 为 号. 58

14 由 的 义, 前 面 三 个 实 例 可 别 表 述 为 : 由 连 续 曲 线 y=f(x)( ), 直 线 x=,x=b 和 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 面 A= b f(x)dx; 以 连 续 的 速 度 v(t)( ) 作 变 速 直 线 运 动 的 物 体, 从 时 刻 T 到 T 通 过 的 路 程 s= T T v(t)dt; 在 连 续 的 力 F(x) 作 用 下, 物 体 沿 x 轴 从 x= 到 x=b 运 动, 力 F(x) 作 的 功 W = b F(x)dx. 关 于 的 义 作 以 下 四 点 说 明 : () 函 数 f(x) 在 [,b] 上 可 有 两 个 充 条 件 :f(x) C[,b] 或 者 在 [, b] 上 除 有 限 个 一 类 间 断 点 外 处 处 连 续 ; () 极 限 lim λ n i= 中 的 任 意 取 法, 只 要 λ, 和 n f(ξ i )Δx i 存 在 是 指 对 区 间 [,b] 的 任 意 法,ξ i 在 [x i-,x i ] i= f(ξ i )Δx i 都 趋 于 同 一 个 值. 因 此, 如 果 已 知 f(x) 在 [,b] 上 可, 用 的 义 求 b f(x)dx 时, 为 了 简 化 计 算, 对 [, b] 可 采 用 特 殊 的 法 以 及 ξ i 的 特 殊 取 法 ; (3) b f(x)dx 是 和 的 极 限, 它 是 一 个 数, 与 函 数 f(x), 区 间 [, b] 有 关, 而 与 变 量 的 选 择 无 关, 即 b f(x)dx= b f(t)dt= b f(u)du; (4) 为 了 讨 论 方 便, 补 充 规 f(x)dx=, b f(x)dx=- f(x)dx. b 三 的 几 何 意 义 由 的 义 可 得 : 在 闭 区 间 [,b] 上, 若 函 数 f(x), 则 b 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 f(x)dx y=f(x), 直 线 x=,x=b 和 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 ; 在 [,b] 上, 若 函 数 f(x), 则 b 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 y=f(x), 直 f(x)dx 一 节 的 概 念 与 性 质 59

15 线 x=,x=b 和 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 ( 在 x 轴 下 方 ) 的 面 的 相 反 数 ; 在 [,b] 上,f(x) 有 正 有 负 时, 如 果 我 们 约 位 于 x 轴 上 方 的 面 为 正, 下 方 的 面 为 负, 这 时, b 在 几 何 上 表 示 介 于 x 轴 及 直 线 x=,x=b f(x)dx 和 曲 线 y=f(x) 之 间 的 各 部 面 的 代 数 和, 如 图 4- 所 示, 即 b f(x)dx=a -A +A 3. 图 4- 四 的 性 质 下 列 各 性 质 中 的 函 数 都 假 设 在 区 间 上 可, 下 限 未 必 小 于 上 限. 由 的 义 极 限 的 性 质 和 运 算 法 则, 可 得 的 性 质 至 性 质 5. 性 质 b 为 常 数 ); kdx=k(b-)(k 性 质 b [f(x)±g(x)]dx= b f(x)dx± b g(x)dx; 四 章 与 不 性 质 3 k R, b kf(x)dx=k b f(x)dx; 性 质 4,b,c 为 常 数, 则 b f(x)dx= c f(x)dx+ b f(x)dx; c 性 质 4 称 为 对 区 间 的 可 加 性. 性 质 5 如 果 在 区 间 [,b] 上, 有 f(x) g(x), 则 b f(x)dx b g(x)dx; 6

16 由 性 质 5 和 性 质 可 得 性 质 6 设 函 数 f(x) 在 区 间 [,b] 上 的 最 大 值 为 M, 最 小 值 为 m, 则 性 质 6 称 为 估 值 理. m(b-) b f(x)dx M(b-); 性 质 7( 中 值 理 ) 设 函 数 f(x) C[,b], 则 存 在 ξ [,b], 使 证 b f(x)dx=f(ξ)(b-). 因 为 f(x) 在 闭 区 间 [,b] 上 连 续, 所 以 f(x) 在 [,b] 上 有 最 大 值 M 和 最 小 值 m, 由 性 质 6 m(b-) b f(x)dx M(b-), 记 c= f(x)dx, 则 b- b 由 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 介 值 理, 存 在 ξ [,b], 使 m c M, f(ξ)=c, 即 b f(x)dx=f(ξ)(b-), 当 b 时, 显 然 上 式 也 是 成 立 的. 中 值 理 有 以 下 几 何 解 释 : 设 在 [,b] 上 的 连 续 函 数 f(x), 则 在 [, b] 上 至 少 存 在 一 点 ξ, 使 得 以 区 间 [,b] 为 底 边 曲 线 y=f(x) 为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 等 于 相 同 底 边 高 为 f(ξ) 的 矩 形 的 面, 如 图 4-3 所 示. 例 比 较 下 列 各 对 值 的 大 小 : () xdx 与 x dx; () π sinxdx 与 π sinxdx. π 解 () x [,] 时,x x, 由 性 质 5 xdx x dx; 图 4-3 () x, π 时,sinx ;x π,π 时,sinx, 由 性 质 5 一 节 的 概 念 与 性 质 6

17 π sinxdx, π sinx, π 因 此 π sinxdx π sinxdx. π 例 设 函 数 f(x) C[,b], 证 明 b f(x)dx b f(x) dx. 证 f(x) C[,b], f(x) C[,b],f(x), f(x) R[,b]. 由 绝 对 值 的 性 质 - f(x) f(x) f(x) ( x b), 因 此 由 性 质 5 - b f(x) dx b f(x)dx b f(x) dx, b f(x)dx b f(x) dx. 思 考 题 4-. 设 函 数 f(x) 在 区 间 [,b] 上 有 界, 将 区 间 [,b]n 等, 取 ξ i =+ (b-)i n (i=,,,n), 若 极 限 lim f(ξ n n i )Δx i 存 在, 能 否 说 明 b f(x)dx 存 在. i= d. 求 dx b f(x)dx. 3. 初 等 函 数 f(x) 在 其 义 区 间 [,b] 上, b f(x)dx 存 在, 对 吗? 为 什 么? 4. 利 用 的 几 何 意 义, 求 下 列 的 值 : () x dx; () - - -x dx; (3) xsin xdx; (4) (tn 3 x+ -x )dx. - - 四 章 与 不 5. 已 知.5 cos(x )dx=.98, cos(x )dx=.9, 求 - cos(x )dx..5 习 题 4-. 一 根 带 有 质 量 的 细 棒 位 于 x 轴 上 的 区 间 [,b] 处, 设 棒 上 任 一 点 处 的 线 密 度 ρ(x)= +x, 试 用 表 示 该 细 棒 的 质 量 m.. 已 知 某 时 刻 t 导 线 的 电 流 强 度 i(t)=5sinωt, 试 用 表 示 在 时 间 间 隔 [T,T ] 内 流 过 导 线 横 截 面 的 电 量 Q(t) 试 用 表 示 由 曲 线 y=x 与 y=-x 围 成 的 图 形 面.

18 4. 比 较 下 列 各 对 值 的 大 小 : () xdx 与 xdx; () xdx 与 sinxdx; (3) lnxdx 与 (lnx) dx; (4) e xdx 与 e ln(+x)dx. 5. 设 f(x) 为 区 间 [,b] 上 单 调 增 加 的 连 续 函 数. 证 明 f()(b-) b f(x)dx f(b)(b-). 二 节 原 函 数 与 不 上 一 节 从 实 际 问 题 引 进 了 的 概 念, 讨 论 了 的 性 质. 但 要 应 用 解 决 实 际 问 题, 必 须 解 决 的 计 算. 从 的 义 和 性 质 求 的 值 常 常 是 困 难 的. 因 此 核 心 问 题 是 寻 求 的 计 算 方 法. 现 在 从 变 速 直 线 运 动 中 物 体 的 位 置 函 数 与 速 度 函 数 的 关 系 进 行 析. 设 物 体 在 s 轴 上 运 动, 时 刻 t 物 体 的 位 置 为 s(t), 速 度 为 v(t). 由 上 一 节 知 道, 物 体 在 时 间 间 隔 [T,T ] 内 通 过 的 路 程 s= T v(t)dt; 另 T 一 方 面, 这 一 段 路 程 又 可 通 过 位 置 函 数 s(t) 在 区 间 [T,T ] 上 的 增 量 表 示 : s=s(t )-s(t ). 因 此 T v(t)dt=s(t )-s(t ). T v(t) 与 s(t) 间 有 关 系 :s (t)=v(t). 可 见, 在 变 速 直 线 运 动 中, 已 知 速 度 v(t), 求 物 体 在 时 间 间 隔 内 通 过 的 路 程, 即 求 T v(t)dt 的 值, 可 用 满 足 s (t)=v(t) 的 s(t) 在 [T,T ] 上 的 增 T 量 来 计 算. 下 一 节 将 证 明 这 一 结 论 具 有 普 遍 性, 因 此 求 b 的 值, f(x)dx 只 要 能 求 得 在 [,b] 上 满 足 F (x)=f(x) 的 函 数 F(x), 的 计 算 就 变 得 非 常 简 单 了. 为 了 寻 找 以 上 的 F(x), 先 介 绍 函 数 的 原 函 数 与 不 的 有 关 知 识. 一 函 数 的 原 函 数 与 不 义 设 f(x) 为 义 在 区 间 I 内 的 已 知 函 数, 若 函 数 F(x) 满 足 F (x)=f(x)(x I), 则 称 F(x) 为 f(x) 在 I 内 的 一 个 原 函 数. 任 意 x R,(sinx) =cosx, 因 此 sinx 是 cosx 在 R 内 的 一 个 原 函 数, 不 仅 如 此,sinx+C(C 为 任 意 常 数 ) 也 是 cosx 在 R 内 的 原 函 数. 关 于 函 数 的 原 函 数, 要 强 调 说 明 两 点 : () 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 I 内 连 续, 则 f(x) 在 I 内 存 在 原 函 数 ( 下 一 节 证 63 二 节 原 函 数 与 不

19 明 ); () 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 I 内 有 原 函 数 F(x), 则 f(x) 的 所 有 原 函 数 可 表 示 为 F(x)+C( 其 中 C 为 任 意 常 数 ). 现 在 证 明 如 下 : 设 G(x) 为 f(x) 在 I 内 的 任 意 一 个 原 函 数, 则 x I,G (x)=f(x). 又 F (x)=f(x), 从 而 [G(x)-F(x)] =. 由 拉 格 朗 日 理 的 推 论, 在 I 内, G(x)-F(x)=C, 即 G(x)=F(x)+C. 义 若 F(x) 是 f(x) 在 区 间 I 内 的 一 个 原 函 数, 则 F(x)+C(C 为 任 意 常 数 ) 称 为 f(x) 在 I 内 的 不, 记 为 f(x)dx. 即 f(x)dx=f(x)+c. 除 C 称 为 常 数 外, 其 它 符 号 的 名 称 与 中 的 名 称 一 样. 由 不 的 义, 有 () d f(x)dx =f(x) 或 d f(x)dx =f(x)dx; dx () F (x)dx=f(x)+c 或 df(x)=f(x)+c. 由 此 可 见, 微 运 算 与 不 的 运 算 是 互 逆 的. 二 基 本 公 式 由 不 的 义, 从 导 数 公 式 可 得 相 应 的 公 式 ( 下 面 的 公 式 ()~ (3)). 另 外 还 有 一 些 常 用 的 公 式, 现 在 可 通 过 求 导 来 验 证, 在 四 节 中 将 推 导 这 些 公 式. 下 面 列 出 基 本 的 公 式 : () kdx=kx+c(k 是 常 数 ); () x μ dx= xμ + +C(μ -); μ+ 四 章 (3) dx x =ln x +C; (5) e x dx=e x +C; (7) sinxdx=-cosx+c; (4) x dx= x ln +C; (6) cosxdx=sinx+c; (8) sec xdx=tnx+c; 与 不 64 (9) csc xdx=-cotx+c; () cscxcotxdx=-cscx+c; () dx -x =rcsinx+c=-rccosx+c ; () secxtnxdx=secx+c;

20 (3) dx +x =rctnx+c=-rccotx+c ; (4) tnxdx=-ln cosx +C; (5) cotxdx=ln sinx +C; (6) secxdx=ln secx+tnx +C; (7) cscxdx=ln cscx-cotx +C; (8) dx =rcsin x -x +C(>); (9) dx +x = rctn x +C; () dx = x- ln x - x+ +C; () dx =ln x+ x ± +C. x ± 三 不 的 性 质 由 不 的 义, 可 得 它 的 性 质 : 性 质 函 数 f(x),g(x) 都 有 原 函 数, 则 [f(x)±g(x)]dx= f(x)dx± g(x)dx; 性 质 可 以 推 广 到 有 限 多 个 函 数 的 情 形. 性 质 函 数 f(x) 有 原 函 数,k R, 则 kf(x)dx=k f(x)dx. 现 在 用 不 的 性 质 和 基 本 公 式, 求 一 些 函 数 的 不. 例 求 (-x)3 dx. x 解 该 不 不 能 直 接 用 基 本 公 式, 需 要 对 被 函 数 恒 等 变 形, 化 为 幂 函 数 的 代 数 和 的 形 式 再 逐 项, (-x)3 x dx= x - 3 x +3-xdx = x - dx-3 dx x +3 dx- xdx=- x -3ln x +3x-x +C. 注 : 几 个 任 意 常 数 相 加, 只 要 写 一 个 任 意 常 数. 例 求 x x xdx. 二 节 原 函 数 与 不 65

21 解 对 被 函 数 恒 等 变 形, 化 为 基 本 公 式 中 的 情 形. 例 3 求 tn xdx. x x xdx= x dx= 5 x5 8 +C. 解 用 三 角 公 式 把 被 函 数 化 为 基 本 公 式 中 的 情 形. 例 4 求 dx sin xcos x. 解 tn xdx= (sec x-)dx= sec xdx-x =tnx-x+c. dx sin xcos x = sin x+cos x sin xcos x dx= dx cos x + dx sin x 例 5 求 dx x (x +). 解 的 式 之 和. =tnx-cotx+c. 对 于 被 函 数 是 式 有 理 函 数 时, 常 常 将 它 拆 成 母 较 简 单 易 于 dx x (x +) = +)-x (x x (x +) dx= dx - dx x x + = x - dx-rctnx=- x -rctnx+c. 从 以 上 的 几 个 例 子 可 以 看 到, 求 不 时, 常 常 要 对 被 函 数 作 恒 等 变 形, 转 化 为 基 本 公 式 表 中 的 被 函 数 的 代 数 和 的 形 式, 与 求 导 数 相 比, 有 较 大 的 灵 活 性. 这 就 需 要 熟 记 基 本 公 式, 通 过 做 一 数 量 的 练 习, 总 结 经 验, 才 能 逐 渐 掌 握 求 原 函 数 的 基 本 技 能. 四 章 与 不 66. 计 算 : () sinx x + dx; 思 考 题 4- () (e -x +)dx.. lnx 是 函 数 f(x) 的 一 个 原 函 数. 求 :()f(x); () f(x)dx. x 3. 求 下 列 不 : () x4 -x + x (x +) dx; () cosx sin x dx;

22 (3) (3+ x ) dx; (4) cosxdx. 4. 设 函 数 f(x)= x, x, sinx, x<. 求 f(x)dx( 提 示 :f(x) 的 原 函 数 在 x= 处 可 导 ).. 验 证 下 列 等 式 是 否 成 立 : () x +x dx= +x +C; 习 题 4- () cosxdx= sinx+c.. 求 下 列 不 : () x + x 3 dx; () dx x x ; (3) x4 +x dx; (4) cos x dx; (5) cot xdx; (7) 3 x e x dx; (6) +cos x +cosx dx; (8) secx(secx-tnx)dx; (9) -sinxdx <x< π 4 ; () ex - e x + dx. 三 节 微 基 本 公 式 过 的 路 程 由 上 一 节 知 道, 物 体 以 速 度 v(t) 作 变 速 直 线 运 动, 在 时 间 间 隔 [T,T ] 内 通 s= T v(t)dt=s(t )-s(t ), T 其 中 s(t) 为 物 体 在 时 刻 t 的 位 置 函 数,s (t)=v(t). 本 节 把 这 一 结 果 推 广 到 一 般 情 形, 得 到 微 基 本 公 式, 即 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式. 一 上 限 函 数 及 其 性 质 义 设 函 数 f(t) 在 [,b] 上 可,x [,b], 则 变 动 上 限 的 x f(t)dt 三 节 微 基 本 公 式 67

23 是 x 的 函 数, 称 为 上 限 函 数, 记 为 Φ(x). 必 须 指 出, 上 限 函 数 x 是 x 的 函 数, 对 取 的 x, 它 有 确 的 值 f(t)dt ( 的 值 ), 与 变 量 t 无 关. 上 限 函 数 的 几 何 意 义 如 图 4-4 所 示, 它 具 有 如 下 的 重 要 性 质. 图 4-4 图 4-5 理 设 函 数 f(x) C[,b], 则 上 限 函 数 Φ(x)= x f(t)dt D[,b], 且 Φ (x)= x f(t)dt =f(x). 证 ΔΦ( 图 4-5), 则 设 x [,b] 且 有 增 量 Δx(x+Δx [,b]), 函 数 Φ(x) 的 相 应 增 量 为 ΔΦ =Φ(x+Δx)-Φ(x)= f(t)dt- x f(t)dt= x+δx f(t)dt. x 由 中 值 理, 有 ΔΦ =f(ξ)δx(ξ 在 x 与 x+δx 之 间 ). 于 是 四 章 与 不 ΔΦ Δx =f(ξ), 令 Δx, 则 ξ x, 由 函 数 f(t) 在 x 处 连 续, 有 68 ΔΦ lim Δx Δx =lim f(ξ)=f(x), 即 ξ x 由 理, 有 如 下 的 推 论. Φ (x)=f(x). 推 论 区 间 I 内 的 连 续 函 数 一 有 原 函 数.

24 理 解 决 了 上 一 节 留 下 来 的 连 续 函 数 存 在 原 函 数 的 问 题, 而 且 它 还 可 以 写 成 以 下 形 式 : 设 f(x) C[,b], 则 f(x)dx=φ(x)+c= x f(t)dt+c. 它 沟 通 了 不 与 之 间 的 联 系. 例 Φ(x)= x e t dt, 求 Φ (). 解 由 理,Φ (x)=e x, 所 以 Φ ()=. d 例 求 x dx sin(t )dt. 于 是 解 Φ(x )= x sin(t )dt 是 Φ(u)= u sin(t )dt 与 u=x 的 复 合 函 数. d x sin(t )dt = d sin(t )dt du )] x dx du u dx =[sin(u 例 3 求 lim x x x3 sin(t )dt. ln(-t)dt =xsin(x 4 ). 解 此 极 限 是 型, 由 例 可 知 lim x x3 x sin(t )dt ln(-t)dt 二 微 基 本 公 式 xsin(x 4 ) lim x 3x ln(-x 3 ) =lim x x 4 x 3x (-x 3 ) =- 3. 理 设 f(x) C[,b],F(x) 是 f(x) 在 [,b] 上 的 一 个 原 函 数, 则 b f(x)dx=f(b)-f(). 证 由 理,Φ(x)= x 是 f(x) 在 [,b] 上 的 一 个 原 函 数, 又 题 设 f(t)dt F(x) 也 是 f(x) 在 [,b] 上 的 原 函 数. 由 原 函 数 的 性 质, Φ(x)=F(x)+C( x b,c 为 某 个 常 数 ). 在 上 式 中 别 令 x=b,x=, 可 求 得 69 三 节 微 基 本 公 式

25 Φ(b)-Φ()=F(b)-F(). 又 Φ(b)= b f(x)dx,φ()=, 所 以 b f(x)dx=f(b)-f(). 为 了 书 写 的 方 便, 以 后 把 F(b)-F() 写 成 [F(x)] b. 于 是 式 可 记 为 b f(x)dx=[f(x)] b. 公 式 揭 示 了 与 被 函 数 的 原 函 数 之 间 的 内 在 联 系, 因 此 它 被 称 为 微 基 本 公 式, 又 叫 牛 顿 - 莱 布 尼 茨 公 式, 它 为 的 运 算 提 供 了 一 种 有 效 而 简 便 的 方 法. 例 4 求 x 3 dx 的 值. 解 由 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式, 得 x 3 dx= x4 4 = 4. 例 5 求 π 4 解 π 4 例 6 计 算 - 解 - tnxdx 的 值. tnxdx=- ln cosx - - dx x. π 4 - dx x = ln x =-ln. - 例 7 求 -x dx 的 值. 解 =- ln -ln =ln. 被 函 数 是 -x, 不 能 直 接 用 基 本 公 式, 由 于 x,-x 可 正 可 负, 因 此 由 对 区 间 的 可 加 性, 有 四 章 与 不 -x dx= (-x)dx+ (x-)dx= x- x + x -x =. 必 须 指 出 : 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [,b] 上 除 一 类 间 断 点 c(<c<b) 外, 在 其 余 点 都 连 续, 由 的 义, 则 b f(x)dx 可 按 以 下 方 法 计 算 : b f(x)dx= c f(x)dx+ b f(x)dx, 在 计 算 c 时, 视 作 f(c)=f(c c f(x)dx - ), 在 计 算 b cf(x)dx 时, 视 作 f(c)=f(c + ), 这 样 f(x) 是 [,c],[c,b] 上 的 连 续 函 7

26 数, 别 按 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 计 算. 如 果 函 数 f(x) 在 [,b] 上 有 几 个 一 类 间 断 点, 在 其 余 点 连 续, 则 可 用 类 似 以 上 的 方 法 计 算. 例 8 函 数 f(x)= x-, x, x+, x>, 求 - f(x)dx 的 值. 解 f(x) 在 [-,] 上 除 x= 是 它 的 一 类 间 断 点 外 处 处 连 续, 有 - f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx - = - (x-)dx+ (x+)dx= x -x - + x +x = 5. 例 9 火 车 以 7km/h 的 速 度 行 驶, 在 到 达 某 车 站 前 以 等 加 速 度 =-.5m/s 刹 车, 问 火 车 在 到 站 前 多 少 距 离 时 开 始 刹 车, 可 使 火 车 到 站 时 停 稳. 解 首 先 计 算 开 始 刹 车 到 停 车 所 需 的 时 间, 即 匀 减 速 运 动 从 v =7km/h 到 v(t)= 所 需 的 时 间. 由 于 v = 7 36 =(m/s). 由 匀 减 速 运 动 的 速 度 v(t)=v +t=-.5t=, 得 t=8(s). 火 车 开 始 刹 车 的 地 方 到 车 站 的 距 离 应 为 8 v(t)dt= 8 (-.5t)dt= t- 5 4 t 8 =8(m). 思 考 题 4-3.x 时, 确 无 穷 小 x (e t -)dt 关 于 x 的 阶 数.. 设 函 数 f(x)= x3, x<, x, x. 求 Φ(x)= x - dt 在 [-,] 的 表 达 式, 并 讨 论 Φ(x) 在 [-,] 上 的 可 导 性. 3. 设 函 数 g(x)= 3 4 (x-x ), x,, x< 或 x>. 7 三 节 微 基 本 公 式

27 求 Φ(x)= x - g(t)dt 在 (-.TIF;E+ ) 内 的 表 达 式. 4. 已 知 函 数 f(x)=3x-x 3 f(x)dx, 求 f(x) 和 5 f(x)dx. 5. 设 函 数 f(x) C[,b] 且 f(x) 单 调 下 降. 证 明 函 数 在 (,b) 内 单 调 下 降. g(x)= f(t)dt x- x. 求 下 列 函 数 对 x 的 导 数 : ()y= x +t dt, 求 dy dx x= ; ()y= sin(t dy )dt, 求 -x dx ; (3)x= t 习 题 4-3 cosudu,y= t dy sinudu, 求 dx ; (4) 求 由 方 程 y edt+ x t costdt= 确 的 隐 函 数 y 对 x 的 导 数.. 求 下 列 极 限 : ()lim x x sin(πt)dt +cos(πx) ; 3. 计 算 下 列 : cosx e -t dt ()lim ; (3) lim x x x + x e t dt. xe x () x+ x dx; () π 4 (3) 3 dx +x ; (4) (5) - sinx cos x dx; dx -x ; 3x 4 +3x + x + dx; (6) π cosx dx; 四 章 与 不 7 (7) 4 x- dx; (8) π 4 (9) π () 3 (3) (5) π cos x dx; () 4 tn θdθ; x(- x)dx; x + x (+x ) dx; () e dx x(+x) ; dx x +4 ; (4) sinx-cosx dx; (6) π dx 4-x ; +cosxdx;

28 (7) mx{,x }dx; (8)f(x)= x-,x, 求 3 f(x)dx. x -3,x>, 4. 一 质 点 自 静 止 时 自 由 落 下, 速 度 v(t)=gt, 求 从 t= 到 t=4 秒 这 段 时 间 内 的 平 均 速 度. 四 节 的 换 元 法 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 提 供 了 求 的 简 便 而 有 效 的 方 法, 但 是, 有 的 如 π xcos(x )dx, e lnxdx 等 的 原 函 数 无 法 像 上 一 节 那 样 直 接 用 基 本 公 式 计 算, 因 此 需 要 讨 论 计 算 的 一 些 常 用 方 法. 其 中 主 要 的 有 换 元 法 和 部 法. 本 节 讨 论 的 换 元 法. 一 不 的 换 元 法 在 二 节 已 经 看 到 不 的 运 算 与 微 运 算 是 互 逆 的, 下 面 回 顾 复 合 函 数 的 求 导 法 则 : d dx [F(φ(x))]=F [φ(x)] φ (x). 因 此 复 合 函 数 F[φ(x)] 的 导 数 是 两 个 因 子 的 乘 : 外 部 函 数 F(u) 的 导 数 和 内 部 函 数 φ(x) 的 导 数 的 乘. 反 之 看 到 式 右 边 形 式 的 乘, 可 以 判 断 它 的 原 函 数 就 是 F[φ(x)]. 例 如 x cos(x ) 是 两 个 因 子 的 乘, 其 中 一 个 因 子 有 内 部 函 数 x, 而 另 一 个 因 子 是 内 部 函 数 x 的 导 数 x, 因 此 猜 想 sin(x ) 是 函 数 xcos(x ) 的 一 个 原 函 数. 并 能 通 过 [sin(x )] =xcos(x ) 来 验 证, 这 也 可 用 不 来 表 示. xcos(x )dx= cos(x )(x ) dx=sin(x )+C. 一 般 情 况 下, 从 式 可 以 看 到 F [φ(x)]φ (x)dx=f[φ(x)]+c. 如 果 设 F (u)=f(u), 即 F(u) 是 f(u) 的 一 个 原 函 数, 由 此 得 到 不 的 一 换 元 法. 理 设 f(u)du=f(u)+c,u=φ(x) 可 导, 则 f[φ(x)]φ (x)dx=f[φ(x)]+c = f(u)du u= φ(x) 对 以 上 不 的 一 换 元 法, 必 须 指 出 以 下 三 点 :. () 从 一 换 元 公 式 可 见, 作 变 换 φ(x) =u 时, 被 表 达 式 从 73 四 节 的 换 元 法

29 f[φ(x)]φ (x)dx 换 成 了 f(u)du, 相 当 于 φ (x)dx 换 成 du, 因 此 不 的 被 表 达 式 f(u)du 可 理 解 为 函 数 f(u) 与 内 部 函 数 u=φ(x) 的 微 du 的 乘. 从 而 使 用 式 作 不 时 可 按 以 下 步 骤 进 行. g(x)dx 恒 等 变 形 f[φ(x)]φ (x)dx 凑 微 f[φ(x)]dφ(x) 换 元 回 代 f(u)du F(u) u =φ(x) +C F[φ(x)]+C. u= φ(x) 在 上 面 的 恒 等 变 形 中, 要 将 被 表 达 式 解 出 φ (x)dx 凑 成 微 dφ(x), 因 此 不 的 一 换 元 法 又 称 为 凑 微 法. () 在 凑 微 时, 要 考 虑 不 f(u)du 可 求. (3) 设 f(u)du =F(u) +C 是 某 一 个 基 本 公 式, 由 式 f[φ(x)]φ (x)dx= f[φ(x)]dφ(x)=f[φ(x)]+c, 表 明 了 基 本 公 式 中 的 变 量 换 成 任 一 可 微 函 数, 公 式 仍 成 立, 这 就 大 大 扩 充 了 基 本 公 式 的 使 用 范 围. 例 求 x 4-x dx. 解 因 为 x 4-x dx=- 4-x d(4-x ), 所 以 令 u=4-x, 则 x 4-x dx=- u du=- 3 u3 +C=- 3 (4-x ) 3 +C. 一 换 元 法 使 用 熟 练 后, 常 常 不 写 出 新 的 变 量, 如 例 的 解 可 写 为 x 4-x dx=- (4-x ) d(4-x )=- 3 (4-x ) 3 +C. 例 求 sin3xdx. 四 章 与 不 74 解 sin3xdx= 3 sin3xd(3x)=- 3 cos3x+c. 例 3 求 dx cos x(+tnx). 解 dx cos x(+tnx) = dtnx +tnx = d(+tnx) +tnx =ln +tnx +C. 例 4 求 dx x(+3lnx).

30 解 dx x(+3lnx) = 3 d(+3lnx) +3lnx = 3 ln +3lnx +C. 以 上 几 例 都 是 直 接 用 凑 微 法 求 的, 这 里 熟 悉 一 些 凑 微 是 非 常 有 用 的. 下 面 介 绍 几 个 凑 微 的 等 式 供 参 考, 以 下,b 为 常 数,. dx= d(x+b);xdx= d(x )= d(x +b); dx x = d(ln x +b);dx x =d( x)= d( x+b); dx =-d x x ;ex dx=d(e x );cosxdx=d(sinx); sinxdx=-d(cosx);sec xdx=d(tnx);secxtnxdx=dsecx; dx =d(rcsinx); dx -x +x =d(rctnx); 等 等. 例 5 求 sec 4 xdx. 解 sec 4 xdx= sec xd(tnx)= (tn x+)d(tnx) = 3 tn3 x+tnx+c. 例 6 求 sin3xcosxdx. 解 此 题 不 能 像 前 面 的 例 题 那 样 可 直 接 凑 微, 由 化 和 差 公 式, sin3xcosx= (sin5x+sinx), 有 sin3xcosxdx= sin5xdx+ sinxdx =- cos5x- cosx+c. 由 例 6, 读 者 想 一 想 形 如 sinmxcosnxdx, sinmxsinnxdx 的 如 何 求 解? 例 7 求 sin 3xdx. 解 此 题 可 看 作 sinmxsinnxdx 的 特 例, 由 降 幂 公 式 sin 3xdx= (-cos6x)dx= x - sin6x+c. 四 节 的 换 元 法 75

31 例 8 求 sin 3 xdx. 解 由 于 被 函 数 sin 3 x 是 奇 次 幂,sin 3 xdx = sin x sin xdx = (cos x-)dcosx. 于 是 sin 3 xdx= (cos x-)dcosx= 3 cos3 x-cosx+c. 比 较 例 7, 例 8, 读 者 想 一 想 cos xdx, cos 3 xdx, cos 4 xdx 应 如 何 求 解? 基 本 公 式 中 的 (4)~() 除 了 可 用 求 导 运 算 验 证 外, 还 可 用 一 换 元 法 证 明, 下 面 以 (8) 为 例, 其 余 的 留 给 读 者 练 习. 例 9 证 明 dx 证 dx -x = d -x =rcsin x +C(>). x - x =rcsin x +C. 例 求 dx x(x+). 解 一 由 于 x(x+) =, 所 以 由 公 式 () (x+) - dx x(x+) = d(x+) = (x+)- ln (x+) - (x+)+ +C= ln x x+ +C. 四 章 与 不 解 二 被 函 数 是 一 个 真 式 的 有 理 函 数, 可 用 简 化 母 的 方 法 求 解, 即 把 拆 成 x(x+) x + b 的 形 式, 确,b 的 值, 然 后 逐 项. x+ 76 因 为 x(x+) = x - x+, 所 以 dx x(x+) = dx x - dx x+ = ln x - d(x+) x+ = ln x - ln x+ +C= ln 例 求 4x- (x-) dx. 解 因 为 4x-=(x-)+, 所 以 x x+ +C.

32 4x- (x-) = dx (x-) 99 + dx (x-) = d(x-) (x-) + 99 d(x-) (x-) =- 98 (x-) C (x-) 以 上 用 不 的 一 换 元 法 求 解 了 一 些 例 题, 但 有 些 不, 如 dx ( ), dx 等, 就 难 以 用 凑 微 的 方 法 来, 下 面 通 过 代 换 x x x=φ(t), 即 二 换 元 法 来 求 解. 关 于 不 的 二 换 元 法 有 理 函 数 x=ψ(t) 有 连 续 的 导 数 且 ψ (t), 又 函 数 f[ψ(t)]ψ (t) 有 原 函 数, 则 f(x)dx= f[ψ(t)]ψ (t)dt t= ψ -(x) 3 设 F(t) 是 f[ψ(t)]ψ (t) 的 一 个 原 函 数, 由 不 的 义, 只 要 验 证 d (x)]=f(x) 就 可 证 得 3 式, 这 里 就 不 证 明 了. dx F[ψ- 对 二 换 元 法 在 使 用 3 式 时, 通 过 变 换 x=ψ(t) 化 成 t 为 变 量 的, 最 后 一 要 把 t 代 回 为 x. 下 面 主 要 介 绍 使 根 式 有 理 化 的 方 法. 首 先 介 绍 三 角 代 换. 当 被 函 数 含 有 二 次 根 式 -x, x +, x - (>) 时, 除 可 以 直 接 用 基 本 公 式 或 凑 微 的 题 目 ( 如 例 ) 外, 可 别 令 等 代 换 化 去 根 式, 下 面 举 例 说 明. 例 求 -x dx(>). x=sint,x=tnt,x=sect 解 由 三 角 公 式 sin t+cos t=, 令 x=sint - π <t<π, 则 -x = - sin t= cost =cost,dx=costdt. 于 是 -x dx= cos tdt= (+cost)dt = t+ sint +C= (t+sintcost)+c. 为 了 把 最 后 一 式 还 原 为 x 的 表 达 式, 可 以 根 据 - π <t<π,sint=x,t 的 其 它 三 角 函 数 值 保 持 相 同 的 形 式, 因 此 只 要 将 t 看 成 锐 角 作 一 个 辅 助 直 角 三 角 形 77 四 节 的 换 元 法

33 ( 图 4-6), 有 t=rcsin x,cost= -x, 从 而 -x dx= rcsin x +x -x +C. 例 3 求 dx x + (>). 图 4-6 解 由 三 角 公 式 tn t+=sec t, 令 x=tnt - π <t<π, 则 x + = sect,dx=sec tdt. 于 是 根 据 dx = sec t x + sect dt= sectdt=ln sect+tnt +C, x =tnt, 作 辅 助 直 角 三 角 形 ( 图 4-7), 有 + sect= x, 因 此 dx x + =ln x+ x + +C =ln(x+ x + )+C, 其 中 C=C -ln. 例 4 求 dx x - (>). 图 4-7 解 由 三 角 公 式 sec t-=tn t, 令 x=sect<t< π 或 π<t< 3π, 则 四 章 与 不 x - =tnt,dx=sec tntdt. 于 是 dx x - = sectdt=ln sect+tnt +C, 根 据 sect= x 作 辅 助 直 角 三 角 形 ( 图 4-8), 有 tnt= x -, 因 此 78 dx x - =ln x+ x - +C

34 = ln (x + x - )+C, 其 中 C=C -ln. (). 以 上 的 例 3, 例 4 证 明 了 基 本 公 式 下 面 介 绍 二 换 元 法 中 的 简 单 根 式 代 换 法. 当 被 函 数 仅 含 有 根 式 的 方 法 有 理 化, 可 以 令 n cx+d 时, 难 以 用 凑 微 x+b 图 4-8 n cx+d x+b =t, 解 出 x, 求 得 dx, 代 入 被 表 达 式, 化 为 关 于 t 的, 下 面 通 过 例 题 加 以 说 明. 例 5 求 x- x dx. 解 由 于 被 函 数 含 有 x-, 令 x-=t, 则 x=t +,dx=tdt. 于 是 x- x dx= t t + dt= +)- (t t + dt= - t + dt =(t-rctnt)+c=( x--rctn 例 6 求 dx x+ 3 x. 解 3 6 为 了 同 时 化 去 根 式 x 和 x, 令 x=t, 则 x=t 6,dx=6t 5 dt. 于 是 x-)+c. dx x+ 3 x = 6t 5 dt=6 t3 t 3 +t t+ dt=6 (t3 +)- t+ dt 例 7 求 x 解 =6 t -t+- t+ dt=t3-3t +6t-6ln t+ +C = x-3 3 x+6 6 x-6ln( 6 x+)+c. +x x dx(x>). 为 了 使 根 式 有 理 化, 令 x+ x =t, 则 x= t -,dx=- t dt. 于 是 (t -) 79 四 节 的 换 元 法

35 x +x x dx=- t t - dt=- + t - dt =-t-ln t- t+ +C=-t-ln(t-) t - +C =- +x x -ln +x - -lnx+c. x 二 的 换 元 法 讨 论 了 不 的 换 元 法 以 后, 大 大 提 高 了 求 被 函 数 的 原 函 数 的 能 力, 使 得 利 用 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 计 算 的 范 围 也 扩 大 了, 但 由 于 理 论 上 的 需 要 以 及 为 了 简 化 计 算, 下 面 介 绍 的 换 元 法. 理 3 b f(x)dx, β f[φ(t)]φ (t)dt 满 足 : α [A,B]; ()φ (t) C[α,β]( 或 C[β,α]),φ(α)=,φ(β)=b;φ(t) 的 值 域 为 区 间 ()f(x) C[A,B], 则 b f(x)dx= β 4 αf[φ(t)]φ (t)dt. 证 性, 有 由 φ(α)=,φ(β)=b,f(t) 的 值 域 为 [A,B], 以 及 φ(t) 和 f(x) 的 连 续 f(x) C[,b]( 或 C[b,]), f[φ(t)] C[α,β]( 或 C[β,α]). 即 4 式 两 边 的 被 函 数 都 在 相 应 的 区 间 上 连 续, 因 此 都 有 原 函 数. 设 F(x) 是 f(x) 的 一 个 原 函 数, 由 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 b f(x)dx=f(b)-f(). 设 Φ(t)=F[φ(t)], 则 Φ (t)=f [φ(t)]φ (t)=f[φ(t)]φ (t), 因 此 Φ(t) 是 f[φ(t)]φ (t) 的 一 个 原 函 数, 四 章 与 不 从 而 β f[φ(t)]φ (t)dt=φ(β)-φ(α)=f[φ(β)]-f[φ(α)] α =F(b)-F(). b f(x)dx= β α f[φ(t)]φ (t)dt. 4 式 称 为 的 换 元 公 式. b 本 来 是 一 个 完 整 的 记 号, 由 4 f(x)dx 式 可 见, 与 不 一 样, 被 表 达 式 也 可 理 解 为 函 数 f(x) 与 微 dx 的 乘. 公 式 4 由 左 往 右 用 时, 与 不 的 二 换 元 法 类 似 ; 公 式 4 由 右 往 左 用 8

36 时, 与 不 的 一 换 元 法 类 似. 无 论 是 相 应 于 一 换 元 法 还 是 二 换 元 法, 都 要 注 意 : () 换 元 同 时 换 限, 通 过 关 系 式 x=φ(t), 上 ( 下 ) 限 对 应 上 ( 下 ) 限, 下 限 不 一 小 于 上 限. 为 了 书 写 简 便, 换 限 可 如 下 表 示 : 原 变 量 下 限 上 限 新 变 量 下 限 上 限 () 换 元 后, 无 需 像 不 那 样, 回 代 到 原 变 量, 只 要 对 新 变 量 直 接 用 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式. 如 下 : 例 8 求 π cos 3 tsintdt 的 值. 解 由 于 (cost) =-sint, 因 此 可 用 sintdt 凑 微. 令 cost=x, 则 dx=-sintdt, t π/ x. 于 是 π cos 3 tsintdt=- x 3 dx= x 3 dx= x4 4 = 4. 在 例 8 的 解 中, 可 以 不 明 显 地 写 出 新 变 量 x, 这 时 上 下 限 不 变, 计 算 过 程 π cos 3 tsintdt=- π t cos 3 tdcost=- cos4 4 π = 4. 例 9 计 算 7 - t 3 +t dt. 解 7 t 3 +t dt= 7 (+t ) 3 d(+t )= 3 ) (+t = 3 4 (6-3 )= 3 (8-3 ). 例 计 算 π - π cosx-cos 3 xdx. 于 是 解 由 于 cosx-cos 3 x= cosx sinx,sinx 在 - π,π 上 可 正 可 负, π - π cosx-cos 3 xdx= π - π = - π cosx sinx dx cosx(-sinx)dx+ π cosxsinxdx 8 四 节 的 换 元 法

37 = (cosx) dcosx- π (cosx) dcosx - π = 3 cos3 x - π - 3 cos3 x π = 4 3. 由 以 上 几 例 可 见, 除 了 限 的 差 别 以 外, 的 换 元 法 与 不 的 换 元 法 在 方 法 上 基 本 相 仿. 例 函 数 f(x) C[-,]. 证 明 : ()f(x) 为 奇 函 数 时, - f(x)dx=; ()f(x) 为 偶 函 数 时, - f(x)dx= f(x)dx. 证 - f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx. - 对 f(x)dx, 令 x=-t, 则 dx=-dt, x - t -. 于 是 - f(x)dx= f(-t)(-dt)= f(-t)dt= f(-x)dx. 从 而 - f(x)dx= f(-x)dx+ f(x)dx= [f(-x)+f(x)]dx. () 若 f(x) 为 奇 函 数, 有 f(-x)+f(x)=, 所 以 - f(x)dx=; () 若 f(x) 为 偶 函 数, 有 f(-x)+f(x)=f(x), 所 以 - f(x)dx = f(x)dx. 该 题 的 几 何 意 义 是 明 显 的, 如 图 4-9,4- 所 示. 四 章 与 不 8 图 4-9 图 4- 利 用 例 可 简 化 奇 偶 函 数 在 [-,] 上 的 计 算.

38 如 例 中 的 被 函 数 cosx-cos 3 x 是 偶 函 数, 于 是 π - π cosx-cos 3 xdx= π cosx-cos 3 xdx= π (cosx) sinxdx 例 计 算 :() π 4 解 例 有 - π 4 =- π (cosx) dcosx=- 3 cos3 x +x 3 cos x dx;() x x dx. - π = 4 3. () 由 于 cos x, x3 别 是 - π cos x 4,π 上 的 偶 函 数, 奇 函 数, 于 是 由 4 π 4 - π 4 +x 3 cos x dx= π 4 = π 4 - π 4 dx cos x + π 4 - π 4 dx = tnx cos x x 3 cos x dx π 4 =; () 由 于 x x 是 [-,] 上 的 偶 函 数, 由 例 有 - x x dx= 例 3 设 函 数 f(x) 在 [,] 上 连 续, 证 明 x 3 dx= 4 [x4 ] =. π f(sinx)dx= π f(cosx)dx. 证 由 于 sinx 与 cosx 互 为 余 函 数, 令 x= π -t, 则 dx=-dt, x π/ t π/. 于 是 +T π 例 4 f(sinx)dx= fsin π π -t (-dt)= π f(cost)dt = π f(cosx)dx. 设 函 数 f(x) 是 以 T 为 周 期 的 连 续 函 数, 对 任 意 的 常 数, 则 f(x)dx= T f(x)dx. 证 由 于 +T f(x)dx= f(x)dx+ T f(x)dx+ +T f(x)dx, T 83 四 节 的 换 元 法

39 对 最 后 一 个, 令 x-t=u, 则 dx=du, x T +T u. 于 是 因 此 +T +T Tf(x)dx= f(u+t)du= f(u)du=- f(x)dx. f(x)dx= T f(x)dx. 该 题 表 明 了 周 期 函 数 在 一 个 周 期 长 的 区 间 上 的 都 是 相 等 的, 与 区 间 的 位 置 无 关, 特 别 有 +T f(x)dx= T - T f(x)dx. 上 式 对 于 具 有 奇 偶 性 的 周 期 函 数, 计 算 时 更 为 简 便. 例 5 用 换 元 法 证 明 x> 时, x u du +u +u = x 证 注 意 等 式 两 端 的 限, 对 右 式 x 右 式 = x du. +u +u du, 令 u= +u +u t, 则 du=- dt, u x. 从 而 t t x dt= dt t x t t++t= du = 左 式. x u +u +u t t 例 6 设 函 数 x, x, f(x)= xe- -x, x<, 求 3 f(x-)dx. 四 章 与 不 解 令 x-=t, 则 dx=dt, x 3 t -. 于 是 3 f(x-)dx= f(t)dt= (-t)dt+ te - t dt - - = t- t =- e. - - e- t = (e- -) 84

40 例 7 求 - 4-x dx. 解 一 因 被 函 数 是 偶 函 数, 所 以 - 4-x dx= 4-x dx. 由 例, - 4-x dx= 4 rcsinx +x 4-x =π; 解 二 y= 4-x (- x ) 是 以 原 点 为 圆 心 为 半 径 的 上 半 圆 周. 由 的 几 何 意 义, 有 - 4-x dx= π =π. 例 8 计 算 - dx. - x - 解 由 基 本 公 式 (), 有 - - dx =[ln x+ x - ] - x - =ln(-)-ln(- 3) - =ln 例 9 求 解 -x x dx 的 值. 令 x=sint, 则 dx=costdt. 限 时, 由 于 t 的 取 值 是 不 惟 一 的, 通 常 在 函 数 的 主 值 区 间 内 取 值, 因 此 有 x. 于 是 t π 4 π -x x dx= π cos t π sint dt= π (csct-sint)dt π 4 4 = ln csct-cott +cost π π 4 =ln(+)-. 无 论 是 还 是 不, 根 据 被 函 数 选 取 适 当 的 换 元 公 式 是 换 元 法 的 关 键, 而 选 取 换 元 公 式 的 思 想 方 法 是 类 似 的. 不 过 特 有 的 一 些 性 质, 使 在 求 某 些 函 数 的 时 有 一 些 特 殊 的 方 法 ( 如 例 ~ 例 7). 85 四 节 的 换 元 法

41 思 考 题 4-4. 求 下 列 不 : () x x+dx; () x3 x +9 dx; (3) rctn x dx; x(+x) (4) lntnx cosxsinx dx; (5) +lnx (xlnx) dx( 提 示 :(xlnx) =+lnx).. 计 算 下 列 : () π sinx dx; () (-x) - -x dx; (3) -x dx; (4) x(-x 4 ) 3/ dx; x (5) ln e x -dx. 3. 设 f(x) 连 续, 证 明 x 3 f(x )dx= xf(x)dx. 4.x>, 利 用 倒 代 换 x= t, 求 -x dx(>).. 求 下 列 不 : x 4 习 题 4-4 () x +x 3 dx; () (x-)cos(x -x+)dx; (3) ln (+x) +x dx; (4) rctnx +x dx; (5) dx ; (6) cos3xcosxdx; e x - 四 章 与 不 86 (7) tn xdx; (8) tn 3 xdx; (9) x- -x dx; () dx (x-)(x+) ; () xe -x dx; (3) x -x dx; () ercsinx -x dx; (4) dx + x ; (5) x -9 x dx(x>3); (6) dx x +x+3 ;

42 (7) dx ; (8) x+ 4x +9 (x-) 8dx; (9) dx x+ 4 x ; () dx x(x 6 +) ; () x-3 x -x+ dx; () x - x(x-4) dx; (3) dx (x>); x x -. 求 下 列 : (4) dx +e x( 提 示 : 令 +e x =t). () π π y sin y dy; () - -(e+) dx x+ ; (3) π - π (5) - cos 3 x-cos 5 xdx; (4) π x 5-4x dx; (6) π 4 +sinxdx; tn 4 θdθ; (7) π cot 3 θdθ; π (8) xdx; x e- 4 (9) π (-sin 3 θ)dθ; () dx e x +e -x; () 3 x + x+ dx; () 9 4 (3) ln8 ln3 +e x dx; (4) 4 x x- dx; x+ x+ dx. 3. 计 算 下 列 : () π xsin 6 xdx; () (+x 4 tnx)dx; -π - (3) π 3 - π 3 cosx +cosx dx; (4) π - π (x+cosx)sin xdx. 4. 证 明 以 下 结 论, 其 中 m,n 为 正 整 数. () π sinmxcosnxdx=; () π sinmxsinnxdx=(m n); -π -π (3) π cosmxcosnxdx=(m n); (4) π sin mxdx=π; -π -π (5) π cos mxdx=π. -π 5. 函 数 f(x)= +x, x, x -, <x 4, 求 5 f(x-)dx. 3 四 节 的 换 元 法 87

43 6. 求 4 3 x (x-) dx. 7. 求 π sinx dx. 8. 求 下 列 : () 4-x dx; () - - (3) dx (4) 3 x -; x 9.f(x) 在 [,b] 上 连 续, 证 明 dx ; x +x+ dx. x +.x>, 证 明 dt x+t = x b f(+b-x)dx= b f(x)dx. dt +t.. 设 f(x) 是 连 续 的 偶 函 数, 证 明 函 数 x f(t)dt 是 奇 函 数.. 用 换 元 法 证 明 dx rccosx = π π 3 sinxdx x. 五 节 的 部 法 π 在 电 子 通 讯 技 术 等 工 程 领 域, 对 锯 齿 形 脉 冲 函 数 进 行 析, 常 常 要 计 算 xcosnxdx, π xsinnxdx 等, 这 些 用 直 接 或 换 元 法 都 难 以 计 算, 另 外 从 学 本 身, 都 需 要 的 另 一 种 重 要 方 法 部 法. 一 不 的 部 法 部 法 是 建 立 在 导 数 ( 或 微 ) 的 乘 法 则 的 基 础 之 上 的, 我 们 先 回 顾 一 下 乘 的 求 导 法 则. 设 u=u(x),v=v(x) 都 在 某 一 区 间 I 内 可 导, 则 四 章 与 不 (uv) =u v+uv,uv =(uv) -u v. 若 u,v 都 在 I 内 连 续, 则 可 对 上 式 两 端, 有 uv dx=uv- u vdx, 写 成 更 便 于 使 用 的 微 形 式, 式 即 udv=uv- vdu. 88

44 公 式, 都 是 不 的 部 公 式. 由 公 式 可 见, 当 vdu 容 易, 而 udv 较 难, 使 用 部 公 式 就 可 以 化 难 为 易 了. 具 体 说, 用 式 求 不 时, 必 须 把 所 给 的 不 化 为 式 的 左 端, 这 就 需 要 把 被 表 达 式 解 成 两 个 因 式, 别 选 择 它 们 为 u,dv. 选 择 时, 要 使 vdu 比 udv 简 单 可. 下 面 通 过 例 题 加 以 说 明. 例 求 xcosxdx. 解 取 u=x,dv=cosxdx=dsinx, 则 du=dx,v=sinx. 于 是 xcosxdx=xsinx- sinxdx=xsinx+cosx+c. 熟 悉 了 部 公 式 后, 可 以 不 明 确 写 出 u,dv, 而 直 接 按 公 式 做. 如 例 可 写 成 xcosxdx= xdsinx=xsinx- inxdx udv uv v du =xsinx+cosx+c. 例 求 x sinxdx. 解 x sinxdx=- x dcosx=- cosx- cosxd(x )] [x =- x cosx+ xcosxdx, 使 用 了 一 次 部 公 式 以 后, x sinxdx 转 化 为 xcosxdx, 幂 函 数 的 次 数 降 低 了 一 次, 只 要 对 后 一 个 再 用 一 次 公 式 即 可. xcosxdx= xdsinx= (xsinx- sinxdx) = x sinx+ 4 cosx+c. 因 此 x sinxdx=- x cosx+x sinx+ 4 cosx+c. 例 3 求 xe - x dx. 解 xe - x dx=- xde - x =-(xe - x - e - x dx) =-xe -x -e -x +C=-(x+)e - x +C. 由 以 上 三 个 例 子 可 见, 如 果 被 函 数 是 正 整 指 数 的 幂 函 数 和 正 ( 余 ) 弦 函 数 89 五 节 的 部 法

45 ( 或 指 数 函 数 ) 的 乘, 可 用 部 法, 选 择 幂 函 数 为 u, 这 样 用 一 次 部 公 式 可 以 使 幂 函 数 的 幂 次 降 低 一 次. 例 4 求 xrctnxdx. 析 xrctn xdx= rctn xd(x ), 而 x drctn x = x +x dx 比 xrctnxdx 容 易, 可 取 u=rctnx,dv=xdx. 解 xrctnxdx= rctnxd(x )=x rctnx- x drctnx 例 5 求 x lnxdx. =x rctnx- x +x dx=x rctnx-x+rctnx+c. 解 x lnxdx= 3 lnxd(x 3 )= 3 (x3 lnx- x 3 dlnx) = x3 3 lnx- 3 x dx= x3 3 lnx-x3 9 +C. 例 6 求 rcsinxdx. 解 rcsinxdx=xrcsinx- xdrcsinx =xrcsinx- x dx=xrcsinx+ (-x ) - d(-x ) -x =xrcsinx+ -x +C. 四 章 与 不 由 例 4~ 例 6 可 见, 如 果 被 函 数 是 幂 函 数 和 对 数 函 数 ( 或 反 三 角 函 数 ) 的 乘, 可 考 虑 用 部 法, 并 设 对 数 函 数 或 反 三 角 函 数 为 u, 这 样 用 一 次 部 公 式, 可 以 化 去 对 数 函 数 ( 或 反 三 角 函 数 ). 某 些 在 使 用 部 公 式 以 后, 会 重 新 出 现 原 的 形 式 ( 不 是 恒 等 式 ), 这 时 把 等 式 看 成 以 原 为 未 知 量 的 方 程, 解 此 方 程 即 得 所 求 的. 例 7 求 e - x cosxdx. 解 设 e - x cosxdx=i, 则 I=- cosxde - x =-(e -x cosx- e - x dcosx) 9

46 =-e -x cosx- e -x sinxdx. 经 过 一 次 部 后, 不 e -x cosxdx 转 化 成 了 同 一 类 型 的 e -x sinxdx, 对 后 一 个 再 作 一 次 部, 选 择 u,dv 务 必 与 一 次 用 部 时 的 选 择 基 本 一 致, 即 取 u=sinx,dv=de - x ( 为 什 么 不 能 选 择 u=e -x, dv=dcosx? 读 者 不 妨 试 一 试, 取 u=e - x,dv=dcosx 将 得 到 怎 样 的 结 论 ). 于 是 I=-e -x cosx+ sinxde -x =-e -x cosx+(e - x sinx- e - x dsinx) =-e -x cosx+e -x sinx-4 e -x cosxdx =e -x (sinx-cosx)-4i, 即 I=e -x (sinx-cosx)-4i, 3 它 是 关 于 I 的 一 个 方 程, 由 于 I 包 含 了 任 意 常 数, 当 把 3 式 右 端 的 -4I 移 到 左 端 时, 右 端 不 再 有 不 的 符 号, 因 此 务 必 同 时 加 上 任 意 常 数. 由 3 式 得 5I=e - x (sinx-cosx)+5c, I= 5 e- x (sinx-cosx)+c. 例 8 求 I= sec 3 xdx. 解 因 为 I= secxdtnx=secxtnx- tnxdsecx =secxtnx- tn xsecxdx=secxtnx- sec 3 xdx+ secxdx =secxtnx-i+ln secx+tnx, 所 以 I= secxtnx+ ln secx+tnx +C. 例 9 设 J n = dx (x + ) n(n N + ), 证 明 递 推 公 式 : 五 节 证 J n+ = n 由 部 公 式 x (x + ) n +(n-)j n (n N + ). 4 J n = x (x + ) n - xd (x + ) n = x (x + ) n - -nx (x + ) n + dx 9 的 部 法

47 解 得 J n + = n = x +n (x + )- dx= x +nj (x + ) n (x + ) n+ (x + ) n n -n J n+, x (x + ) n +(n-)j n (n N + ). 对 一 般 的 n N +, 不 J n 的 计 算 是 很 麻 烦 的, 由 于 J = dx = x + rctn x +C, 利 用 例 9 的 公 式 4 就 可 以 比 较 方 便 地 求 得 J n. 如 J = x + J x + = x x + + rctn x +C. 二 的 部 法 设 函 数 u=u(x),v=v(x) 在 区 间 [,b] 上 有 连 续 的 导 数, 则 uv =(uv) -u v, 等 式 两 端 别 在 [,b] 上 作, 由 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 有 b uv dx= b (uv) dx- b u vdx= uv b - b u vdx, 即 b uv dx= uv 或 b udv= uv b b - b - b u vdx, vdu 式,6 式 都 是 的 部 公 式. 的 部 公 式 适 用 的 范 围, 就 被 函 数 而 言, 与 不 的 部 相 似,u,dv 的 选 择 也 类 似, 只 不 过 做 时 不 要 忘 记 限. 例 求 xe -x dx 的 值. 四 章 与 不 解 可 用 例 3 的 结 果 和 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 计 算, 现 在 直 接 用 的 部 公 式 6 计 算. 9 例 求 π 4 xe dx=- -x xde -x =- =-e - - e - x x cos x dx 的 值. xe - x =- e. - e - x dx

48 解 π 4 x cos x dx= π 4 xdtnx= xtnx = π 4 + ln cosx π 4 π 4 - π 4 tnxdx = π 4 +ln =π 4 - ln. 下 面 介 绍 一 个 在 以 后 的 解 题 中 可 以 作 为 公 式 使 用 的 例 题. 例 证 明 : π si n xdx= (k-)!! (k-)!!,n=k-, (k-)!! (k)!! π,n=k, 其 中 (k-)!! 表 示 从 到 k- 连 续 的 k 个 奇 数 的 乘, 即 (k-)!! = 3 5 (k-), (k)!! 表 示 从 到 k 连 续 的 k 个 偶 数 的 乘, 即 (k N + ). 7 (k)!! = 4 6 (k). 证 记 I n = π I n =- π =(n-) π si n xdx, 则 si n- xdcosx=- - xcosx sin =(n-)i n - -(n-)i n, si n- xcos xdx=(n-) π π - π si xdx- π n - cosxdsi n- x si n xdx 解 得 I n 的 递 推 公 式 I n = n- n I n-(n,n N + ). 连 续 使 用 递 推 公 式 8 直 到 I 或 I, 得 8 又 I = π 因 此 π I k- = k- k- k-4 k I, I k = k- k k-3 k- 3 4 I, sinxdx=- cosx si n xdx= π =,I = π dx= π, (k-)!! (k-)!!,n=k-, (k-)!! (k)!! π (k N + ).,n=k, 93 五 节 的 部 法

49 由 四 节 的 例 3, π cos xdx= π n si n xdx, 从 而 式 7 提 供 了 计 算 这 类 的 简 单 公 式. 例 3 求 π - π cos 6 xdx. 解 由 于 cos 6 x 为 - π,π 上 的 偶 函 数, 再 由 7 式, 有 π - π cos 6 xdx= π cos 6 xdx= π =5π 6. 例 4 求 π sin 8 xdx. 解 由 于 sin 8 x 是 周 期 为 π 的 函 数, 由 周 期 函 数 的 性 质 π sin 8 xdx= π - π sin 8 xdx= π sin 8 xdx = π =35π 8.. 求 下 列 不 : 思 考 题 4-5 () xsinxcosxdx; () x -x dx; (3) e x sin xdx; (4) ln(x+ +x )dx.. 求 下 列 : () π (xsinx) dx; () e sin(lnx)dx; 四 章 与 不 94 (3) - 3. 求 x-sinx +cosx dx. cosxln +x -x dx; (4) 3 ( x +x)e x dx 设 f (e x )=+x, 求 f(x).. 求 下 列 不 : () xcos3xdx; (3) x cos x dx; 习 题 4-5 () xe -x dx; (4) xsin xdx;

50 (5) rctnxdx; (7) xtn xdx; (9) sin(lnx)dx; () (rcsinx) dx;. 求 下 列 的 值 : (6) (x -x+)lnxdx; (8) e 3x cosxdx; () xf (x)dx; () dx (+x ). () π xsinxdx; () xe x dx; (3) e e (5) π lnx dx; (4) 3 xrctnxdx; e x cosxdx. 3. 求 下 列 的 值 : () π - π cos 5 xdx; () π - π (x+cos x)sin 4 xdx; (3) π cos 6 xdx. 4. 已 知 f(x) 的 一 个 原 函 数 是 (sinx)lnx, 求 π xf (x)dx. 5. 设 函 数 f(x) 在 [,] 上 有 连 续 的 二 阶 导 数,f()=f(),f ()=, 求 xf (x)dx. 六 节 举 例 和 表 的 使 用 前 面 已 经 介 绍 了 计 算 的 两 种 主 要 的 方 法 换 元 法 和 部 法, 并 通 过 一 系 列 例 题 说 明 了 这 些 方 法 的 应 用 和 必 须 注 意 的 问 题. 可 以 看 到, 与 求 导 数 ( 微 ) 相 比, 比 较 灵 活, 有 时 还 要 一 的 技 巧. 因 此 要 熟 练 掌 握 的 换 元 法 和 部 法, 必 须 通 过 一 数 量 的 练 习, 注 意 总 结 规 律. 在 这 一 节 再 举 一 些 比 较 综 合 的 题 目, 包 括 综 合 运 用 换 元 法 与 部 法 的 例 题, 以 使 读 者 更 好 地 掌 握 的 方 法. 为 了 便 于 应 用, 人 们 把 一 些 函 数 的 不 列 成 表 格, 在 这 一 节 将 介 绍 表 的 使 用. 一 举 例 例 求 e x dx. 解 由 于 被 函 数 中 含 有 x, 可 先 用 换 元 法 化 去 根 号. 令 x=t, 则 x=t,dx 95 六 节 举 例 和 表 的 使 用

51 =tdt. 于 是 e x dx= te t dt= tde t =(te t - e t dt) =(t-)e t +C=(x-)e x +C. 例 已 知 f(u) 有 二 阶 连 续 的 导 数, 求 e x f (e x )dx. 解 e x f (e x )dx= e x f (e x )de x = e x df (e x ) =e x f (e x )- f (e x )de x =e x f (e x )-f(e x )+C. 例 3 求 xrcsin(x )dx 的 值. 解 令 x =t, 则 xdx=dt, x t. 于 是 xrcsin(x )dx= rcsintdt= trcsint - tdrcsint = π - t dt = -t π + -t = π -. 例 4 求 (-x ) -x dx 的 值. 解 x 令 x=sinθ, 则 dx=cosθdθ, θ π, -x =cosθ. 于 是 (-x ) -x dx= π cos 4 θdθ= 3 4 π =3π 6. 四 章 与 不 例 5 计 算 I= π xsin 5 xdx 的 值. 解 通 过 变 换 x= π -t, 可 化 成 - π,π 上 的, 便 于 运 用 奇 偶 函 数 的 性 质. x π 这 时 dx=-dt, t π -π. 于 是 96

52 I= - π = π π π - π π π -tsin5 -t(-dt)= π cos 5 tdt- π - π tcos 5 tdt=π π - π π -tcos5 tdt cos 5 tdt=π =8π 5. 最 后 介 绍 式 有 理 函 数 的. 必 须 指 出, 初 等 函 数 在 其 可 导 区 间 内, 其 导 函 数 仍 为 初 等 函 数 ; 在 三 节 已 经 证 明 了 连 续 函 数 都 有 原 函 数, 但 对 于 一 般 的 初 等 函 数, 其 原 函 数 未 必 是 初 等 函 数. 如 e -x dx, dx +x 4, sinx x dx 等 等 都 不 是 初 等 函 数. 这 些 就 无 法 用 本 章 的 方 法 求 解, 而 式 有 理 函 数 的 原 函 数 一 是 初 等 函 数. 从 理 论 上 说, 式 有 理 函 数 的 总 可 以 用 换 元 法 和 部 法 求 解. P m (x) 形 如 Q n (x) (P m(x),q n (x) 别 是 x 的 m 次,n 次 的 多 项 式,m N,n N + ) 的 函 数, 称 为 式 有 理 函 数. 当 m<n 称 为 真 式 有 理 函 数 ;m n 称 为 假 式 有 理 函 数. 利 用 多 项 式 的 除 法, 假 式 有 理 函 数 都 可 以 化 成 多 项 式 函 数 与 真 式 有 理 函 数 的 和, 多 项 式 函 数 的 可 通 过 逐 项 计 算, 因 此 式 有 理 函 数 的 关 键 是 真 式 有 理 函 数 的. A 在 真 式 中, 形 如, Ax+B (,A,B,p,q 都 为 常 数 : (x-) n (x +px+q) n p -4q<;n N + ) 的 式 称 为 部 式. 部 式 的 都 可 以 用 凑 微 和 P m (x) 五 节 例 9 的 递 推 公 式 4 求 解. 对 于 任 意 一 个 真 式 Q n (x) (m<n), 只 要 把 Q n (x) 在 实 数 范 围 内 解 成 一 次 因 式 二 次 质 因 式 的 乘, 都 可 以 用 待 系 数 法 把 真 式 拆 成 部 式 的 和. 因 此, 真 式 有 理 函 数 的 可 求. 下 面 举 例 说 明. 例 6 计 算 x4 -x 3 +x + dx. x(x-) 解 被 函 数 是 假 式, 按 以 下 步 骤 求 解 : 一 步 二 步 化 假 式 为 整 式 与 真 式 的 和, 恒 等 变 形 后, 得 x 4 -x 3 +x + x(x-) =x+ x(x-). 用 待 系 数 法, 化 真 式 为 部 式 的 和. 对 母 中 的 因 式 (x-), 化 成 的 部 式 有 两 项, 其 母 别 为 x-,(x-) ; 对 因 式 x, 化 成 的 部 式 仅 一 项, 其 母 为 x, 它 们 的 子 都 是 待 的 常 数. 设 x(x-) = A x + B x- + B (x-), 97 六 节 举 例 和 表 的 使 用

53 两 端 去 母, 得 A(x-) +B x(x-)+b x. 在 式 中, 令 x=, 得 A=; 令 x=, 得 B =; 把 A,B 的 值 代 入 式 并 令 x=, 得 B =-. 于 是 x(x-) = x - x- + (x-). 三 步 x4 -x 3 +x + dx= xdx+ dx x(x-) x - dx x- + dx (x-) 例 7 计 算 = x +ln x -ln x- - x- +C. x x 3 +x +x+ dx 的 值. 解 被 函 数 是 真 式 有 理 函 数, 按 以 下 步 骤 求 解 : 一 步 在 实 数 范 围 内 将 母 因 式 解, 并 化 真 式 为 部 式. 由 于 x 3 +x +x+=(x+)(x +), 对 二 次 质 因 式 x +, 化 成 的 部 式 的 母 只 有 x + 一 种 情 形, 而 子 是 一 次 二 项 式. 即 x x 3 +x +x+ = x (+x)(+x ) = A +x +Bx+C +x, 式 两 端 去 母, 得 x A(+x )+(Bx+C)(+x). 3 可 以 用 例 6 的 方 法, 令 x 为 一 些 特 殊 的 值, 解 得 A,B,C. 这 里 介 绍 另 一 种 常 用 的 方 法. 将 3 的 两 端 都 表 示 成 x 的 多 项 式 的 形 式, 有 x (A+B)x +(B+C)x+(A+C). 4 比 较 4 式 两 端 x 的 同 次 幂 的 系 数 和 常 数 项, 由 多 项 式 恒 等 理, 有 四 章 与 不 解 得 A=,B=,C=-. 98 代 入 式 A+B=, B+C=, A+C=. x x 3 +x +x+ = (+x) + x- (+x ).

54 二 步 x x 3 +x +x+ dx= 例 8 求 dx 4+5cosx. dx +x + x- dx +x = ln(+x) + 4 = ln+ 4 ln(+x ) d(+x ) - dx +x +x - rctnx = 3ln 4 -π 8. 解 被 函 数 是 x 的 三 角 函 数 的 有 理 式, 通 过 万 能 代 换 tn x =t, 可 化 为 关 于 t 的 有 理 函 数 的. 令 tn x =t, 则 cosx= -t +t,x=rctnt,dx= dt +t. 于 是 dx 4+5cosx = 4+5 -t +t dt +t =- dt t -3 x =- tn t-3 ln 6 t+3 +C=- 3 ln -3 tn x +C. +3 关 于 x 的 三 角 函 数 sinx,cosx 的 有 理 式 的 都 可 用 万 能 代 换 tn x =t 化 为 t 的 有 理 函 数 的. 这 时 例 9 求 π 析 π sinx= t +t,cosx= -t +t,dx= dt +t. sinx +sinx dx 的 值. sinx +sinx dx= π 下 面 用 三 种 方 法 求 π 解 一 π dx +sinx = π dx +sinx. (+sinx)- +sinx dx=π - π dx +sinx. dx = π +cos π -x dx π cos 4 -x 99 六 节 举 例 和 表 的 使 用

55 =- π sec π 4 -x d π 4 -x =- tn π 4 - x π =; 解 二 令 tn x =t, 则 sinx= t dt +t,dx= +t,x t π. 于 是 π dx +sinx = dt +t+t = d(+t) =- (+t) +t =; 解 三 π dx +sinx = π dx sin x +cosx = π sec x dx +tn x = π sec x d x +tn x = π +tn x d +tn x =- +tn x π =- - =. 由 以 上 三 种 解 法, 都 可 得 π 读 者 考 虑, 用 π 求 解, 对 吗? dx +sinx = π -sinx cos x dx sinx +sinx dx=π -. 真 式 有 理 函 数 的, 一 般 都 可 以 化 为 部 式 的, 最 后 可 求 得 要 求 的. 三 角 函 数 的 有 理 式 的 R(sinx,cosx)dx 都 可 用 万 能 代 换 tn x =t 四 章 与 不 化 为 t 的 有 理 函 数 的. 不 过 要 指 出, 以 上 的 方 法 有 时 比 较 烦, 对 这 些 应 注 意 能 否 用 基 本 公 式 或 凑 微 等 其 它 方 法 更 方 便 地 求 解. 例 求 dx x 3 (+x 4 ). 解 dx x 3 (+x 4 ) = (+x4 )-x 4 x 3 (+x 4 ) dx= dx x 3 =- - dx x +(x ) - x +x 4 dx

56 =- 例 求 cosx+ cos x dx. 解 x +rctnx +C. cosx+ cos x dx= secxdx+ sec xdx=ln secx+tnx +tnx+c. 读 者 不 妨 将 例 化 成 部 式, 例 用 万 能 代 换 来 解, 会 发 现 比 以 上 的 解 法 要 麻 烦 得 多. 二 表 的 使 用 为 了 实 际 应 用 的 方 便, 人 们 把 常 用 的 一 些 函 数 的 的 结 果 汇 集 成 表, 这 种 表 称 为 表. 在 本 书 的 附 录 里 也 汇 集 了 一 些 简 单 的 常 用 的 函 数 的, 按 被 函 数 的 类 型 类 编 排. 查 表 时, 要 根 据 被 函 数 的 类 型 直 接 或 经 过 简 单 变 形 后 进 行 查 找, 下 面 举 例 说 明.. 在 表 中 能 直 接 查 到 的 例 查 表 求 dx x (-x). 解 被 函 数 的 母 含 有 -x, 查 表 ( 一 ) 含 有 x+b 的, 有 公 式 4 现 在 =-,b=. 于 是 dx x (x+b) =- bx + ln x+b b x +C. dx x (-x) =- -x -ln x x +C. 例 3 查 表 求 dx 5-3sinx. 解 被 函 数 含 有 三 角 函 数, 查 表 ( 九 ), 有 公 式 6 和 63 同 为 dx +bsinx. 这 里 =5,b=-3, >b, 因 此 用 6 式 于 是 dx +bsinx = tn x +b rctn +C. -b -b x dx 5tn 5-3sinx = rctn C. 六 节 举 例 和 表 的 使 用

57 . 先 进 行 恒 等 变 形 或 变 量 代 换, 再 查 表 例 4 查 表 求 x dx. +x-x 解 被 函 数 中 含 有 根 式 +x-x, 但 表 中 没 有 含 有 这 种 根 式 的 栏 目, 仅 有 含 根 式 x ±, -x 的 栏 目, 因 此 首 先 要 将 被 开 方 式 配 方, 有 +x-x = -(x-), 并 对 式 进 行 变 形 由 公 式 3 dt 这 里 =,t=x-, 因 此 x dx= (x-)d(x-) + d(x-), +x-x -(x-) -(x-) -t =rcsin t +C 及 公 式 33 tdt -t =- -t +C, x dx=(- +x-x =- -(x-) )+rcsin x- +C +x-x +rcsin x- +C. 3. 用 递 推 公 式 例 5 查 表 求 sin 4 xdx. 解 被 函 数 中 含 三 角 函 数, 查 表 ( 九 ) 有 公 式 54 si n xdx=- n sin- xcosx+ n- n si n- xdx. 四 章 与 不 现 在 n=4, 于 是 把 公 式 5 代 入 5 式, 得 sin 4 xdx=- 4 sin3 xcosx+ 3 4 sin xdx, sin xdx= x - 4 sinx+c 5

58 sin 4 xdx=- 4 sin3 xcosx+ 3 8 x- sinx +C.. 求 x3 +x+ x (x +) dx.. 求 π 4 dx -sinx. 3. 求 cosx +cosx dx. 4. 求 x 5 -x+4 x(x +4) dx.. 求 下 列 不 : () t- t(t+) dt; (3) dx +sinx ; (5) x3 x- dx;. 求 下 列 的 值 : 思 考 题 4-6 习 题 4-6 () x+ x +4x+5 dx; (4) ln(+ x)dx; (6) x4 -x+ x(x +) dx. () 5 x-5 4 (x-)(x-3) dx; () dx x +5x+6 ; (3) x 3 - x+3 dx; (4) x - x +x+ dx; (5) 6x (x +)(x +4) dx; (6) π dx +sinx+cosx ; (7) π 3 π +sinx sinx(+cosx) dx; (8) π 4 cos xdx; (9) ln(+ x)dx; () π sin 5 xdx. 3. 查 表 求 下 列 的 值 : () dx ; () dx 4x -9 x +x+5 ; (3) dx 5-4x+x ; (5) xrcsin x dx; (4) 3x -dx; (6) xdx +x-x ; 3 六 节 举 例 和 表 的 使 用

59 (7) cos 6 xdx; (9) e x cosxdx; () x4 x +5 dx; (8) dx 5+3cosx ; () x+5 x -x- dx; () x 3 (lnx) dx. 四 章 与 不 4

60 七 节 反 常 前 面 讨 论 的 是 以 区 间 为 有 限 区 间 被 函 数 有 界 为 前 提 的, 但 有 些 实 际 问 题 需 要 突 破 这 两 条 限 制, 需 要 在 这 两 个 方 面 推 广 的 概 念, 这 就 是 本 节 要 讨 论 的 反 常. 相 应 地, 一 般 的 称 为 常 义. 式 子 一 无 穷 区 间 上 的 反 常 义 设 为 常 数, 对 任 意 的 实 数 b>, 函 数 f(x) 在 [,b] 上 连 续, 则 称 lim f(x)dx b + b 为 函 数 f(x) 在 无 穷 区 间 [,+ ) 上 的 反 常, 记 作 + f(x)dx, 即 + f(x)dx= lim b f(x)dx. b + + 若 中 的 极 限 存 在, 则 称 反 常 + f(x)dx 收 敛, 极 限 值 称 为 反 常 f(x)dx 的 值 ; 若 中 的 极 限 不 存 在, 则 称 反 常 + 类 似 地 义 函 数 f(x) 在 无 穷 区 间 (-,b] 上 的 反 常 f(x)dx 发 散. b - f(x)dx= lim f(x)dx - b 以 及 b - f(x)dx 收 敛 与 发 散 的 概 念. 用 加 号 连 接 反 常 - f(x)dx, + f(x)dx( 为 常 数 ) 的 式 子, 称 为 函 数 f(x) 在 (-,+ ) 上 的 反 常, 记 作 + f(x)dx, 即 f(x)dx= - f(x)dx+ + f(x)dx( 为 任 一 实 数 ). 3 当 3 式 右 端 的 两 个 反 常 同 时 收 敛, 则 称 反 常 + f(x)dx 收 敛. 这 时 + f(x)dx 有 值 且 为 f(x)dx 与 + f(x)dx 的 和. 当 3 式 右 端 的 两 个 反 常 七 节 反 常

61 至 少 有 一 个 发 散, 则 称 反 常 + - f(x)dx 发 散. 以 上 三 种 反 常 统 称 为 无 穷 区 间 上 的 反 常. 讨 论 它 们 的 敛 散 性 关 键 是 讨 论 + f(x)dx 与 b - (x)dx 的 敛 散 性. 由, 两 式, 只 要 别 先 求, 再 看 相 应 的 极 限 是 否 存 在, 就 可 以 判 断 它 们 的 敛 散 性 了. 例 讨 论 反 常 + 解 因 此 + + e -x dx= lim e - x dx b + b = lim b + e - x dx 的 敛 散 性. - e -x = lim (-e - b )=. b + e -x dx 收 敛. 例 的 几 何 意 义 如 图 4- 所 示, 即 由 曲 线 y=e -x,x 轴,y 轴 围 成 的 标 有 阴 影 线 的 图 形 面 为. b 图 4- 计 算 无 穷 区 间 上 的 反 常 时, 为 了 书 写 方 便, 实 际 运 算 中 常 常 略 去 极 限 符 号, 形 式 上 直 接 利 用 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 的 计 算 格 式 ( 注 意 是 形 式 上 ). 设 F(x) 为 连 续 函 数 f(x) 的 一 个 原 函 数, 记 F(+ )= lim F(x),F(- ) x + = lim F(x), 则 x - f + b f(x)dx= F(x) + =F(+ )-F(), f(x)dx= F(x) f(x)dx= F(x) b =F(b)-F(- ), =F(+ )-F(- ). 四 章 与 不 这 时, 以 上 三 个 反 常 的 收 敛 与 发 散 就 取 决 于 极 限 F(+ ),F(- ) 是 否 存 在 和 是 否 同 时 存 在. 6 例 计 算 反 常 :() + 解 () + () + e - - dx +x = rctnx dx xlnx = + e 所 以, 反 常 + e dx ;() + +x e dlnx lnx = lnlnx e dx 发 散. xlnx dx xlnx. = π - -π =π; =+.

62 例 3 证 明 : 反 常 + 证 p= 时, + p 时, + dx x = lnx dx x p (p>) 当 p> 时 收 敛, 当 <p 时 发 散. =+ ; + dx = x -p x p -p + = +,<p<, p-,p>. 因 此, 这 个 反 常 当 p> 时 收 敛, 其 值 为 p-, 当 <p 时 发 散. 二 无 界 函 数 的 反 常 义 设 函 数 f(x) 在 (,b] 上 连 续,lim x + f(x)=, 取 ε>, 则 称 式 子 lim b f(x)dx 为 函 数 f(x) 在 (,b] 上 的 反 常, 记 作 b ε + +ε + f(x)dx 或 b f(x)dx, 即 b f(x)dx=lim f(x)dx + ε + b +ε 4 若 4 中 极 限 存 在, 则 称 反 常 b f(x)dx 收 敛, 极 限 值 为 反 常 b f(x)dx + + 的 值, 否 则 称 反 常 b + f(x)dx 发 散. 类 似 地, 对 函 数 f(x) 在 [,b) 上 连 续,lim f(x)=, 可 以 义 函 数 f(x) 在 x b- [,b) 上 的 反 常 b- b-ε f(x)dx=lim f(x)dx, ε + 5 以 及 它 的 收 敛 与 发 散 的 概 念. 若 函 数 f(x) 在 闭 区 间 [,b] 除 点 c(<c<b) 外 处 处 连 续,c 为 f(x) 的 无 穷 间 断 点. 用 加 号 连 接 反 常 c- f(x)dx, b f(x)dx 的 式 子 称 为 函 数 f(x) 在 [, c+ b] 上 的 反 常, 记 作 b f(x)dx, 即 b f(x)dx= c- f(x)dx+ b f(x)dx, 6 c + 7 七 节 反 常

63 若 6 式 右 端 的 两 个 反 常 同 时 收 敛, 则 称 反 常 b f(x)dx 收 敛. 这 时 b f(x)dx 有 值 且 为 c- f(x)dx 与 b f(x)dx 的 和. 若 6 式 右 端 的 两 个 反 常 c+ 至 少 有 一 个 发 散, 则 称 反 常 b f(x)dx 发 散.4 ~6 表 示 的 三 种 反 常 统 称 为 无 界 函 数 的 反 常, 这 类 反 常 又 称 为 瑕.(4),(5),(6) 三 式 中 的 无 穷 间 断 点,b,c 称 为 f(x) 的 瑕 点. 讨 论 无 界 函 数 的 反 常 的 敛 散 性 与 无 穷 区 间 上 的 反 常 一 样, 首 先 在 挖 去 瑕 点 的 区 间 上 求, 然 后 看 相 应 的 极 限 是 否 存 在, 以 判 断 它 们 的 敛 散 性. 计 算 无 界 函 数 的 反 常 时, 为 了 书 写 的 方 便, 也 常 常 略 去 极 限 符 号, 形 式 上 直 接 利 用 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 的 计 算 格 式. 设 F(x) 为 f(x) 在 挖 去 瑕 点 的 区 间 上 的 一 个 原 函 数. () 仅 为 瑕 点 时, b + f(x)dx= F(x) () 仅 b 为 瑕 点 时, b- f(x)dx= F(x) b + b - =F(b)-F( + ); =F(b - )-F(). 以 上 F( + )=lim F(x),F(b - )=lim F(x); 这 些 极 限 是 否 存 在, 就 决 了 x + x b- 相 应 的 反 常 是 收 敛 还 是 发 散. 例 4 计 算 - 解 函 数 dx -x. 在 [,) 上 连 续, 是 它 的 一 个 瑕 点. -x - - dx = rcsinx = π -x. 四 章 与 不 - 例 4 的 几 何 意 义 如 图 4- 所 示, 反 常 dx 的 值 即 曲 线 y= -x -x,x 轴, 直 线 x= 与 及 y 轴 所 围 成 的 标 有 阴 影 线 的 图 形 面 为 π. 例 5 证 明 : + 敛, 当 q 时 发 散. 8 dx x q (q>) 当 <q< 时 收 图 4-

64 证 由 q> 知 x= 是 函 数 当 q= 时, + 当 q 时, + dx x = lnx x q 的 无 穷 间 断 点. + + dx = -q x q -q x = =+ ; + -q,<q<, +,q>, dx x q 是 瑕. 因 此 dx 当 <q< 时 收 敛 且 有 值 + x q -q, 当 q 时 发 散. 例 6 有 一 个 热 电 子 e 从 原 点 处 的 阴 极 A 上 发 出 ( 图 4-3), 射 向 x=b 处 的 极 板 B. 已 知 飞 行 速 度 v 与 飞 过 的 距 离 的 平 方 根 成 正 比, 即 v(t)= dx =k x, dt 其 中 k 为 常 数, 求 电 子 e 从 A 到 B 的 飞 行 时 间. 解 图 4-3 由 于 电 子 飞 行 的 速 度 是 变 动 的, 不 能 直 接 用 匀 速 运 动 的 时 间 公 式, 但 速 度 函 数 k x 是 连 续 的, 在 飞 行 的 一 个 很 短 的 路 程 里, 如 图 4-3 中 的 [x,x+dx] 上, 速 度 可 近 似 看 成 与 在 点 x 处 的 速 度 是 相 同 的. 因 此 在 这 一 段 上 用 去 的 时 间 所 以 电 子 e 从 x= 到 x=b 的 飞 行 时 间 T= b + dt= dx k x, dx k x = b k x = k b. + 思 考 题 4-7 而 +. 在 讨 论 反 常 的 敛 散 性 时, 以 下 的 解 法 对 吗? 为 什 么? () + dx x+ =ln(x+) 反 常 + dx x +3x+ = + + =+, + dx x+ - + dx 发 散. x +3x+ dx x+, dx x+ =ln(x+) + =+, 9 七 节 反 常

65 () - - dx 是 奇 函 数 x dx x =.. 讨 论 反 常 讨 论 反 常 + 在 关 于 原 点 O 的 对 称 区 间 [-,] 上 的, x x +x dx 的 敛 散 性. xe -x dx 的 敛 散 性. 4. 讨 论 反 常 lnxdx 的 敛 散 性.. 计 算 下 列 反 常 : () + dx x ; (3) + e - x dx; (5) + x x- dx; (7) dx (-x) ;. 证 明 反 常 + () - (4) + 习 题 (6) + (8) + dx -x ; dx x +x+ ; dx x ; dx x(x+). dx x(lnx) k(k>) 当 k> 时 收 敛, 当 <k 时 发 散. * 八 节 综 合 例 题 四 章 与 不 例 求 lim n 析 n (n+) + n (n+4) + + n. (n+n) 本 题 是 无 穷 多 项 和 的 极 限, 这 n 项 不 构 成 等 差 或 等 比, 也 难 以 用 裂 项 或 其 它 代 数 的 三 角 的 方 法 化 成 有 限 形 式 的 极 限 ; 又 不 适 合 用 夹 挤 准 则. 注 意 是 和 式 的 极 限, 即 b f(x)dx=lim λ n i= f(ξ i )Δx i, 当 f(x) R[,b] 时, 可 以 对 区 间 [,b] 采 取 特 殊 的 法 ( 如 等 法 ),ξ i 在 小 区 间 Δx i 中 用 特 殊 取 法 ( 如 ξ i = x i 或 x i- ). 当 [,b] 采 用 等 法,ξ i = x i 时, 这 样 Δx i = b- n, ξ i =+ (b-)i n (i=,,,n),=lim ξ,b=lim ξ n. n n b f(x)dx=lim n n i= f+ (b-)i b- n n. 下 面 就 根 据 以 上 的 析, 将 极 限 式 化 成 式 的 右 边, 利 用 式 的 左 边 求 此 极

66 限. 解 lim n n + n + + n (n+) (n+4) (n+n) =lim n n i= + i n n. 取 ξ i =+ i n, 则 =lim ξ =lim n n 且 f(ξ i )= ξ i. + n =,b=lim ξ n =3, b- n n = n. 从 而 lim n n + n + + n = 3 dx =- 3 = (n+) (n+4) (n+n) x x 3. 例 证 明 不 等 式 - +x 4 dx 8 3. 析 由 于 难 以 求 得 - +x 4 dx 的 值, 因 此 考 虑 用 的 比 较 理 估 值 理 等 性 质 证 明. 证 记 f(x)= +x 4, 则 f(x) C[-,], 可 见 f(x) 在 [-,] 上 有 最 小 值, 最 大 值, 由 估 值 理, - +x 4 dx. 但 8 3 <, 得 不 出 - 边 部. +x 4 dx 8 3, 因 此 考 虑 用 比 较 理 证 明 原 不 等 式 的 右 x [-,] 时, +x 4 +x, 而 - (+x )dx= x+ x3 3 - = 8 3. 因 此 - +x 4 dx 8 3. 例 3 求 不 dx sinx+sinx. 解 一 先 把 不 同 角 的 三 角 函 数 化 为 同 角 的. dx sinx+sinx = dx sinx(+cosx) = dx 8sin x x cos3 * 八 节 = 4 dtn x x = + dtn x 4 tn = 8 tn tn x x tn x cos x + 4 ln tn x +C. 综 合 例 题

67 解 二 在 解 一 中 母 出 现 sin x x cos3, 子 可 用 sin x x +cos = 来 代 换, 项 化 简 母, 故 x dx sinx+sinx = sin x +cos 8sin x x dx cos3 x = 8 sin dx+ dx 8 cos 3 x sin x cosx = 4 tn x dtn x + 4 cscxdx = 8 tn x + 4 ln cscx-cotx +C. 例 4 求 不 x ln(x+ +x )dx. 解 用 部 法. x ln(x+ +x )dx= 3 ln(x+ +x )dx 3 = x3 3 ln(x+ +x )- 3 x 3 dln(x+ +x ) = x3 3 ln(x+ = x3 3 ln(x+ +x )- 3 x3 +x dx )- +)- d(x +x +) 6 (x x + = x3 3 ln(x+ +x )- 9 (x +) (x +) +C. 四 章 与 不 例 5 求 π 解 π π 4 π 4 cos x - dx= sin 3 x cos x sin 3 x dx. π π 4 = + ln(-). cosxd sin x = - 例 6 设 f(x)= -x e t(- t) dt, 求 f(x)dx. 析 cosx sin x π π 4 + π π 4 sin x dcosx 被 函 数 f(x)= -x e t( -t) dt 无 法 直 接, 但 注 意 到 上 限 函

68 数 的 重 要 性 质, 有 f (x)=-e (- x)( + x) =-e - x. 因 此, 对 f(x)dx 用 部, 将 f(x) 取 为 u, 可 化 去 被 函 数 中 的 运 算. 解 f(x)dx= xf(x) 例 7 设 函 数 求 f(x)dx. - xdf(x)=- x(-e - x )dx = - e - x d(-x )=- -x e = (e-). f(x)= x x-, x, lnx, <x<, 解 f(x) C(,+ ), f(x)dx 存 在. x 时, f(x)dx= x x-dx = (x-) 3/ d(x-)+ (x-) d(x-) = 5 (x-)5/ + 3 (x-)3/ +C, <x< 时, f(x)dx= lnxdx=xlnx- xdlnx=xlnx-x+c. 由 于 f(x) 的 原 函 数 在 x= 处 可 导, 当 然 连 续, 因 此 C =-+C. 从 而 f(x)dx= 5 (x-)5/ + 3 (x-)3/ -+C, x, xlnx-x+c, x<. 例 8 n N, 证 明 π cos n xsi n xdx= π n cos n xdx. 证 要 证 明 的 等 式 等 价 于 π si n xdx= π cos n xdx. 左 右 两 式 不 同 角. 对 π 对 右 式 si n xdx, 令 x=u, 则 π π si n udu, 令 π -u=t, 得 sin n xdx= si n udu. π si n udu= cos tdt= π n cos n tdt. π π - π * 八 节 综 合 例 题 3

69 从 而 π si n xdx= π cos n xdx, π 例 9 讨 论 反 常 + 析 dx x x - 解 一 cos n xsi n xdx= π n dx 的 敛 散 性. x x - cos n xdx. 该 反 常 有 瑕 点 x=, 又 是 无 穷 区 间 的 反 常, 可 别 考 察, + + dx 的 敛 散 性, 也 可 以 整 体 考 虑, 上 下 限 别 取 极 限. x x - dx x x - = + x dx - x =- + d x - x 解 二 = rccos x + = π. 令 x=sect, 则 dx=sec tntdt, x + +. t + π- + dx x x - = π- + sect tnt sect tnt dt= π- dt= π +. 习 题 4-8. 求 x (x+) dx.. 已 知 函 数 f(x) 有 原 函 数 e -x, 求 xf (x)dx. 四 章 与 不 3. 设 函 数 f(x) C[,], f(x)dx=,φ(x)= x f(t)dt, 求 f(x)φ(x)dx. 4. 已 知 f(x)= x e (t-)3 dt, 求 (-x)f(x)dx. 5. 证 明 π sin xdx= π n sin n xdx. 6. 求 sinxcosx sinx+cosx dx. 7. 求 x+x dx. 4

70 π 8. 设 函 数 f(x) C[,], 证 明 π xf(sinx)dx= π π f(sinx)dx, 并 利 用 这 一 结 果 计 算 xsinx +cos x dx. * 八 节 综 合 例 题 5

71 五 章 的 应 用 本 章 以 的 理 论 知 识 为 基 础, 先 析 哪 些 实 际 问 题 可 用 表 示, 然 后 介 绍 的 微 元 法 和 用 微 元 法 解 决 实 际 问 题 的 步 骤, 最 后 介 绍 的 实 际 应 用. 一 节 模 型 和 的 微 元 法 上 一 章 讨 论 了 的 概 念 性 质 和 计 算 法. 哪 些 实 际 问 题 可 通 过 ( 即 建 立 模 型 ) 来 解 决 呢? 我 们 回 顾 一 下 引 进 概 念 的 实 例 曲 边 梯 形 的 面 A. 面 A 决 于 两 个 因 素, 一 个 是 底 边 所 在 的 区 间 [,b], 另 一 个 是 义 在 [,b] 上 的 连 续 函 数 f(x). 解 决 的 方 法 是 : () 割 把 区 间 [,b] 成 n 个 小 区 间 Δx i (i=,,,n), 相 应 地 曲 边 梯 形 成 了 以 这 n 个 小 区 间 为 底 曲 线 y=f(x) 为 曲 边 的 n 个 窄 曲 边 梯 形, 得 到 面 A 的 n 个 部 量 ΔA i. () 取 近 似 由 于 曲 边 y=f(x) 连 续,Δx i 很 小, 因 此 部 量 Δx i 可 以 近 似 地 用 Δx i 为 底 f(ξ i )(ξ i Δx i ) 为 高 的 窄 矩 形 来 代 替, 即 ΔA i f(ξ i )Δx i (ΔA i -f(ξ i )Δx i =o(δx i ),(Δx i )); 五 章 的 应 用 6 (3) 求 和 n 个 窄 矩 形 的 面 的 和 为 面 A 的 近 似 值, 即 A n i= f(ξ i )Δx i ; (4) 取 极 限 当 n 个 小 区 间 的 长 都 趋 于 零 时, 有 A=lim λ n i= 经 过 以 上 四 步, 得 到 A= b f(x)dx. f(ξ i )Δx i. 由 以 上 的 析 可 见, 能 解 决 的 实 际 问 题 有 以 下 特 征 : 所 求 的 是 一 个 数 量

72 U,U 与 一 个 区 间 ( 如 [,b]) 和 义 在 该 区 间 上 的 一 个 函 数 ( 如 f(x)) 有 关. 满 足 : () 对 区 间 具 有 可 加 性, 即 区 间 被 成 了 n 个 小 区 间, 总 量 U 相 应 地 被 成 n 个 部 量 ΔU i, 有 U= n i= ΔU i ; () 对 部 量 ΔU i, 有 一 个 关 于 小 区 间 Δx i 的 线 性 表 达 式 为 其 近 似 值, 当 Δx i 时, 相 差 的 是 Δx i 的 高 阶 无 穷 小. 下 面 介 绍 微 元 法 和 用 微 元 法 建 立 模 型 计 算 U 的 步 骤. 设 x [,b] 时, 数 量 U 在 区 间 [,x] 上 的 相 应 量 为 U(x), 取 小 区 间 [x,x+dx] 作 为 割 区 间 [,b] 时 的 代 表 小 区 间,U(x) 在 [x,x+δx] 上 的 增 量 ΔU 的 线 性 主 部 du( 即 函 数 U(x) 在 x 处 的 微 ) 称 为 量 U 的 微 元, 且 U = b du. 由 此 可 见, 用 表 示 U, 关 键 是 确 U 的 微 元 du. 由 于 实 际 问 题 中 的 函 数, 一 般 都 满 足 可 的 条 件, 因 此 求 du 时 通 常 用 以 直 线 段 代 曲 线 段 以 常 量 代 变 量 的 方 法. 如 图 5- 所 示 的 曲 边 梯 形 面 A(x) 在 代 表 区 间 [x,x+dx] 上 的 面 微 元 da 为 图 中 画 有 阴 影 线 的 窄 矩 形 面 f(x)dx, 即 da=f(x)dx. 用 微 元 法 计 算 U 的 步 骤 是 : () 根 据 实 际 问 题, 选 取 某 个 变 量 为 变 量, 如 x y t 等 等, 并 确 变 量 的 变 化 范 围, 即 区 间 ( 如 [,b]); () 确 微 元 du; 图 5- (3) 将 微 元 du 在 区 间 上 无 限 累 加, 即 以 微 元 为 被 表 达 式, 在 [,b] 上, 得 U= b du. 二 节 在 几 何 上 的 应 用 一 平 面 图 形 的 面. 直 角 坐 标 的 情 形 设 平 面 图 形 是 由 连 续 曲 线 y=f(x),y=g(x) 和 直 线 x=,x=b(<b) 围 成. 在 [,b] 上 g(x) f(x), 如 图 5- 所 示, 并 称 这 样 的 图 形 是 x- 型 的. 7 二 节 在 几 何 上 的 应 用

73 取 x 为 变 量, 其 变 化 区 间 为 [,b], 在 [,b] 上 任 取 代 表 小 区 间 [x,x+dx], 相 应 区 间 [x,x+dx] 上 的 窄 条 面 近 似 于 高 为 [f(x)-g(x)] 底 为 dx 的 矩 形 面, 从 而 得 到 面 微 元 da=[f(x)-g(x)]dx. 以 面 微 元 为 被 表 达 式, 在 [,b] 上 作 得 所 求 面 A= b [f(x)-g(x)]dx. 图 5- 图 5-3 同 理, 如 果 平 面 图 形 是 由 连 续 曲 线 x=φ(y),x=ψ(y) 和 直 线 y=c,y=d(c <d) 围 成 且 在 [c,d] 上 ψ(y) φ(y)( 如 图 5-3), 称 这 样 的 图 形 是 y- 型 的, 那 么 这 平 面 图 形 的 面 为 A= d [φ(y)-ψ(y)]dy. c 五 章 的 应 用 例 求 由 抛 物 线 y=4+x-x 和 y=x 围 成 的 图 形 的 面. 解 两 条 抛 物 线 围 成 的 图 形 如 图 5-4 所 示. 该 图 形 是 x- 型 的, 取 x 为 变 量, 为 了 确 x 变 化 的 范 围, 先 求 两 条 抛 物 线 的 交 点, 解 方 程 组 y=4+x-x, y=x 得 交 点 A(-,),B(,4). 从 而 x [-,], 由 式 A = - [(4 +x - x ) - x ]dx = 图 5-4 8

74 4x+x - x3 3 - =9( 面 单 位 ). 例 求 抛 物 线 y =x 与 直 线 y=-x 围 成 的 图 形 的 面. 解 所 围 图 形 如 图 5-5 所 示, 该 图 形 是 y- 型 的, 取 y 为 变 量, 为 了 确 y 变 化 的 范 围, 先 求 抛 物 线 与 直 线 的 交 点, 解 方 程 组 y =x, y=-x 得 交 点 A(,),B(4,-). 从 而 y [-,], 由 式 A= - [(-y)-y ]dy = y- y -y3 3 - = 9 ( 面 单 位 ). 图 5-5 计 算 平 面 图 形 面,x- 型 图 形 取 x 为 变 量,y- 型 图 形 取 y 为 变 量, 一 般 计 算 时 比 较 简 便. 若 例 取 y 为 变 量, 或 例 取 x 为 变 量, 计 算 将 要 麻 烦 得 多, 读 者 认 真 考 虑 这 是 为 什 么? 下 面 介 绍 曲 边 由 参 数 方 程 给 出 的 曲 边 梯 形 面 的 计 算 方 法. 由 直 线 x=,x=b(<b),x 轴 和 以 参 数 方 程 x=φ(t),y=ψ(t)( ) 给 出 的 曲 边 围 成 的 曲 边 梯 形, 满 足 : φ(α)=,φ(β)=b,φ(t),ψ (t) 都 连 续,φ(t) 有 连 续 的 反 函 数, 则 由 的 换 元 法, 该 曲 边 梯 形 的 面 A= β ψ(t)φ (t)dt. 3 α 面. 必 须 指 出, 右 端 的 限 α,β 未 必 有 α<β. 例 3 求 椭 圆 x + y b = 围 成 的 椭 圆 解 如 图 5-6, 椭 圆 关 于 x 轴,y 轴 对 称. 设 椭 圆 在 一 象 限 部 的 面 为 A, 且 该 部 是 以 椭 圆 弧 x=cost,y=bsint 为 曲 边 的 曲 边 梯 形.x= 时 t= π,x= 时 t=, 由 3 式 图 5-6 二 节 在 几 何 上 的 应 用 9

75 A =4A =4 bsint(-sint)dt π =4b π 当 =b=r 时, 得 到 圆 面 公 式 A=πR.. 极 坐 标 的 情 形 sin tdt=4b π =πb( 面 单 位 ). 某 些 平 面 图 形 用 极 坐 标 计 算 它 们 的 面 比 较 方 便. 设 由 曲 线 r=r(θ) 及 射 线 θ=α,θ=β 围 成 的 图 形 ( 简 称 曲 边 扇 形 ) 如 图 5-7 所 示, 这 里 r(θ) C[α,β], 且 r(θ), 现 用 微 元 法 计 算 它 的 面. 取 θ 为 变 量, 它 的 变 化 范 围 为 [α,β], 相 应 于 代 表 区 间 [θ,θ+dθ] 的 窄 曲 边 扇 形 的 面, 可 以 用 半 径 为 r(θ) 中 心 角 为 dθ 的 圆 扇 形 面 来 近 似 代 替, 得 到 面 微 元 da= [r(θ)] dθ, 所 求 面 A= β α [r(θ)] dθ. 4 图 5-7 图 5-8 五 章 的 应 用 例 4 求 双 纽 线 r = cosθ(>) 所 围 图 形 的 面. 解 双 纽 线 r = cosθ 的 图 形 如 图 5-8 所 示. 在 r = cosθ 中,θ 换 成 -θ,r 换 成 -r 等 式 仍 成 立, 从 而 双 纽 线 关 于 极 轴 极 点 都 对 称. 设 图 中 阴 影 线 部 的 面 为 A, 则 所 求 图 形 的 面 A=4A. 由 于 r = cosθ, 因 此 cosθ, 图 中 A 部 对 应 的 θ, π 4, 由 4 式, 所 求 面

76 A =4A =4 4 π r dθ= π 4 cosθdθ = sinθ π 4 = ( 面 单 位 ). 例 5 求 由 心 形 线 r=+cosθ 与 圆 r=3cosθ 所 围 成 的 公 共 部 的 图 形 ( 图 5-9) 面. 解 在 方 程 r=+cosθ 和 r=3cosθ 中,θ 换 成 -θ 等 式 仍 成 立, 因 此 两 曲 线 所 围 成 的 公 共 部 的 图 形 ( 图 中 标 有 阴 影 线 的 部 ) 关 于 极 轴 对 称, 其 在 极 轴 上 方 的 部 是 别 由 曲 线 AC 为 曲 边 和 以 OA 弧 为 曲 边 的 两 个 曲 边 扇 形 构 成, 为 确 每 个 曲 边 扇 形 θ 的 范 围, 解 方 程 组 r=+cosθ, r=3cosθ, ( θ π). 得 图 中 交 点 A 3,π 3, 射 线 OA 对 应 θ= π 3. 从 而 所 求 面 π 3 A = dθ+ π (+cosθ) π 3 = π 3 (3cosθ) dθ 图 cosθ+ cosθdθ+9 (+cosθ)dθ π π = 3 θ+sinθ+ 4 sinθ π 3 = 5π 4 ( 面 单 位 ). + 9 θ+ sinθ π 3 π 3 二 两 种 立 体 的 体 中 学 数 学 里 介 绍 了 柱 体 的 体 等 于 底 面 乘 以 高. 现 在 以 柱 体 的 体 公 式 为 基 础, 讨 论 体 微 元 为 柱 体 的 立 体 体 的 计 算.. 平 行 截 面 面 为 已 知 的 立 体 的 体 设 一 个 立 体 如 图 5- 所 示, 位 于 别 过 x 轴 上 的 点 x=,x=b(<b) 垂 直 于 x 轴 的 两 平 行 平 面 之 间, 该 立 体 被 垂 直 于 x 轴 的 平 面 ( 过 点 x) 截 得 的 截 面 面 为 已 知 的 连 续 函 数 A(x)( x b). 取 x 为 变 量, 区 间 为 [,b], 在 [,b] 上 取 代 表 区 间 [x,x+dx]. 由 二 节 在 几 何 上 的 应 用

77 图 5- 于 A(x) 的 连 续 性, 相 应 薄 片 的 体 近 似 于 底 面 为 A(x), 高 为 dx 的 柱 体 体, 即 体 微 元 从 而, 所 求 立 体 的 体 dv=a(x)dx, 例 6 证 明 底 面 为 S, 高 为 h 的 三 棱 锥 的 体 为 证 如 图 5-, 设 三 棱 锥 O-ABC 的 底 面 三 角 形 ABC 的 面 为 S, 底 面 上 的 高 OD=h. 以 锥 顶 O 为 原 点, 高 OD 所 在 的 直 线 为 x 轴, 过 x 轴 上 的 点 E 作 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 棱 锥 得 截 面 ΔA B C, 设 OE=x, S ΔA B C =A(x). 由 中 学 立 体 几 何 的 知 识, 有 V= b A(x)dx. 5 3 S h( 体 单 位 ). 五 章 的 应 用 S ΔA B C S ΔABC = OE OD, 即 A(x)= S x h. 由 公 式 5 V O - ABC = h ( 体 单 位 ). A(x) S = x h, A(x)dx= h S x h dx=s h 3 图 5- 例 7 一 平 面 经 过 半 径 为 R 的 圆 柱 体 的 底 圆 中 心, 并 与 底 面 夹 角 为 α, 截 得 一 楔 形 立 体 ( 如 图 5-), 求 这 楔 形 立 体 的 体. 解 取 这 个 平 面 与 圆 柱 体 的 底 面 交 线 为 x 轴, 底 面 上 过 圆 心 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 为 y 轴. 那 么 底 圆 的 方 程 为 x +y =R. 过 x 轴 上 的 点 x 且 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 立 体 所 得 的 截 面 是 直 角 三 角 形, 它 的 两 条 直 角 边 的 长 度 别 为 y 及 ytnα, 因 此 截 面 面 为

78 A(x)= y(ytnα)= (R -x )tnα. 由 公 式 5 得 V= R -R (R -x )tnαdx R = tnα R x- x3 3 -R = 3 R3 tnα( 面 单 位 ). 图 5- 此 题 也 可 以 用 过 y 轴 上 的 点 y 作 垂 直 于 y 轴 的 平 面 截 立 体 所 得 的 截 面 来 计 算, 读 者 不 妨 一 试.. 旋 转 体 的 体 旋 转 体 是 由 某 平 面 内 的 一 个 图 形 绕 该 平 面 内 的 一 条 直 线 旋 转 一 周 而 成 的 立 体, 这 条 直 线 称 为 旋 转 体 的 轴. 工 厂 中 车 床 加 工 出 来 的 工 件 很 多 都 是 旋 转 体. 如 圆 柱 体 圆 锥 体 等. 设 一 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 y=f(x), 直 线 x=,x=b 及 x 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 而 成, 如 图 5-3 所 示. 现 计 算 它 的 体. 图 5-3 取 横 坐 标 x 为 变 量, 区 间 为 [,b], 用 过 点 x( [,b]) 且 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 旋 转 体, 所 得 的 截 面 是 半 径 为 f(x) 的 圆 盘, 则 截 面 面 为 A(x)=π f(x) =π[f(x)]. 于 是 旋 转 体 的 体 V x =π b [f(x)] dx. 6 二 节 在 几 何 上 的 应 用 3

79 同 理, 由 连 续 曲 线 x=φ(y) 与 直 线 y=c,y=d 及 y 轴 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 ( 图 5-4) V y =π d c [φ(y)] dy. 7 图 5-4 图 5-5. x 例 8 求 由 椭 圆 + y = 围 成 的 图 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 椭 球 体 的 体 b 解 旋 转 椭 球 体 如 图 5-5 所 示, 可 看 作 由 上 半 椭 圆 y= b -x 及 x 轴 围 成 的 图 形 绕 x 轴 旋 转 而 成. 由 公 式 6 可 得 V x = - π b -x dx=π b ( -x )dx= 4. 3 πb 当 =b 便 得 到 半 径 为 的 球 体 的 体 V= 4 3 π3 ( 体 单 位 ). 五 章 的 应 用 例 9 计 算 抛 物 线 y=x(-x),x 轴 围 成 的 图 形 绕 y 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 体. 解 抛 物 线 y=x(-x),x 轴 围 成 的 图 形 ( 图 5-6) 不 是 底 边 在 y 轴 上 的 曲 边 梯 形, 按 旋 转 体 的 体 公 式 7, 所 求 旋 转 体 的 体 可 看 成 曲 边 梯 形 OABC 与 OBC 别 绕 y 轴 旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 之 差. 由 y=x(-x) 可 解 得 x=± -y. 图 5-6 AB 的 方 程 为 x=+ -y,ob 的 方 程 为 x 4

80 =- -y. 因 此 所 求 的 体 V y =π (+ -y) dy-π (- -y) dy =4π -ydy=-4π 3 (-y)3 = 8π 3 ( 体 单 位 ). 三 平 面 曲 线 的 弧 长 在 三 章 四 节 我 们 曾 经 指 出, 光 滑 曲 线 是 可 以 求 长 的. 设 函 数 y=f(x) 在 [,b] 上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数, 在 [,b] 上 取 代 表 区 间 [x, x+dx], 其 上 一 弧 段 MN 的 长 度 Δs 可 以 用 函 数 f(x) 在 [x,x+dx] 上 的 弧 微 MT 近 似 表 示 ( 图 5-7), 即 弧 微 元 ds= (dx) +(dy) = +(y ) dx, 所 以 s= b +(y ) dx. 8 若 曲 线 由 参 数 方 程 x=φ(t) y=ψ(t) (α t β) 给 出,φ(t),ψ(t) 在 [α,β] 上 有 连 续 的 导 数, 则 弧 微 元 图 5-7 x) +(dy) = [φ (t)] +[ψ (t)] dt= (x ) +(y ) dt (dt>). 因 此 s= β α [φ (t)] +[ψ (t)] dt(α β). 9 若 曲 线 由 极 坐 标 方 程 r=r(θ)(θ θ θ ) 给 出,r(θ) 在 [θ,θ ] 上 有 连 续 的 导 数. 由 x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ 不 难 验 证 弧 微 元 ds= [r(θ)] +[r (θ)] dθ, 所 以 s= θ [r(θ)] +[r (θ)] dθ (θ θ ). θ 例 求 圆 x +y =R 的 周 长. 解 由 圆 的 对 称 性, 设 圆 在 一 象 限 内 的 长 为 l, 则 圆 周 长 l=4l 且 在 一 二 节 在 几 何 上 的 应 用 5

81 象 限 内 由 8 式 y= R -x ( x R),y = -x R -x. l=4 R x + dx=4r R R -x dx =4R rcsin x R -x R R =πr( 长 度 单 位 ). x=cos 3 t 例 计 算 星 形 线 y=sin 3 t (>, t π) 的 全 长. 解 星 形 线 如 图 5-8 所 示, 由 曲 线 的 对 称 性, 只 要 求 出, π 内 的 弧 长 s, 则 星 形 线 的 全 长 为 4s. s=4s =4 π =4 π (x ) +(y ) dt 9 sin tcos 4 t+9 sin 4 tcos tdt = π t = sin sintcost dt= π sintcostdt π =6( 长 度 单 位 ). 五 章 的 应 用 图 5-8 图 5-9 例 求 心 形 线 r=(+cosθ)(>) 的 全 长. 解 心 形 线 r=(+cosθ) 的 图 形 如 图 5-9 所 示, 心 形 线 关 于 极 轴 对 称. 据 公 式, 心 形 线 的 全 长 l= π (+cosθ) +(-sinθ) dθ= π +cosθdθ 6

82 =4 π cos θ dθ=8( 长 度 单 位 ). 思 考 题 5-. 曲 线 y=sinx 与 y=sinx 在 x π 部 围 成 的 图 形 的 面.. 设 曲 线 L :y=9-x ( x 3),x 轴 和 y 轴 所 围 图 形 ( 图 5-) 被 曲 线 L :y=x 为 面 相 等 的 两 部, 确 正 常 数. 3. 求 心 形 线 r=4(+cosθ) 和 射 线 θ=,θ= π 围 成 的 图 形 绕 极 轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体. 4. 在 星 形 线 x=cos 3 t,y=sin 3 t(>) 上 已 知 两 点 A(,) 及 B(,), 求 M 点 使 AM= 4 AB. 5. 圆 x +y = 绕 直 线 x+y= 旋 转 一 周 形 成 一 个 环 面, 求 环 面 包 围 的 立 体 体 ( 提 示 : 由 圆 的 特 性, 该 旋 转 体 的 体 与 围 绕 直 线 y=- 旋 转 所 成 的 体 相 等 ). 图 5- 习 题 5-. 求 由 曲 线 y=x 及 直 线 y=3-x 所 围 成 的 图 形 的 面.. 求 下 列 各 曲 线 所 围 成 的 图 形 的 面 : ()xy=,y=x 及 y=4x; ()y=lnx,x= 与 直 线 y=ln,y=lnb (b>>); (3)y=x 与 直 线 y=x 及 y=x; (4)y=3-x-x 与 x 轴 ; (5)y =4(x-) 与 y =4(-x). 3. 求 抛 物 线 y=-x +4x-3 及 其 在 点 (,-3) 和 (3,) 处 切 线 所 围 成 的 图 形 的 面. x=cos 3 t 4. 求 星 形 线 所 围 成 的 图 形 的 面 (>). y=sin 3 t 5. 求 下 列 曲 线 所 围 成 的 图 形 的 面 : () 阿 基 米 德 (Archimedes) 螺 线 r=θ(>) 上 相 应 于 θ 从 到 π 的 一 段 与 极 轴 ; () 心 形 线 r=(-cosθ). 6. 求 圆 r= cosθ 与 双 纽 线 r = 3sinθ 所 围 图 形 的 公 共 部 的 面. 7. 有 一 立 体, 以 长 半 轴 =, 短 半 轴 b=5 的 椭 圆 为 底, 而 垂 直 于 长 轴 的 截 面 都 是 等 边 三 角 形, 试 求 其 体. 8. 求 下 列 曲 线 所 围 图 形 绕 指 轴 旋 转 所 得 的 旋 转 体 的 体 : ()y=x,y =8x 别 绕 x 轴,y 轴 ; ()x +(y-5) =6, 绕 x 轴 ; 7 二 节 在 几 何 上 的 应 用

83 (3) x=(t-sint), y=(-cost), t π 及 y=, 绕 x 轴. 9. 求 下 列 曲 线 的 弧 长 : ()y= x (3-x), x 3; 3 ()y= x sinxdx, x π; (3) x=rctnt, y= ln(+t ), t.. 阿 基 米 德 螺 线 r=θ(>) 上 θ 从 到 π 一 段 的 弧 长.. 求 半 立 方 抛 物 线 y = 3 (x-)3 被 抛 物 线 y = 3 x 截 得 的 一 段 弧 的 长 度. 三 节 在 物 理 上 的 应 用 一 功. 变 力 沿 直 线 段 作 功 从 中 学 物 理 知 道, 常 力 F 作 用 在 物 体 上, 使 物 体 沿 力 的 方 向 移 动 距 离 S, 则 力 F 对 物 体 所 作 的 功 为 W=FS. 如 果 物 体 在 运 动 中 所 受 到 的 力 是 变 化 的, 则 上 述 公 式 已 不 适 用. 下 面 用 的 微 元 法 来 解 决 此 类 问 题. 设 物 体 在 连 续 的 变 力 F(x) 作 用 下 沿 x 轴 由 x= 移 动 到 x=b, 如 图 5- 所 示, 计 算 变 力 F(x) 所 作 的 功. 五 章 的 应 用 图 5- 取 x 为 变 量, 其 变 化 区 间 为 [,b], 在 [,b] 上 取 代 表 区 间 [x,x+dx], 因 为 变 力 F(x) 是 连 续 的, 所 以 可 用 点 x 处 的 力 F(x) 代 表 这 小 区 间 上 各 点 处 的 力 ( 常 数 ), 则 在 代 表 区 间 上 变 力 F(x) 的 功 微 元 dw =F(x)dx, 则 变 力 F(x) 在 [,b] 上 所 作 的 功 8

84 W = b F(x)dx. 例 设 在 x 轴 的 原 点 处 放 置 了 一 个 电 量 为 +q 的 点 电 荷, 形 成 一 个 电 场, 求 单 位 正 电 荷 沿 x 轴 从 x= 移 动 到 x=b 时 电 场 力 F(x) 所 作 的 功 ( 图 5-). 图 5- 解 取 x 为 变 量, 变 化 范 围 为 [,b], 在 [,b] 上 取 代 表 区 间 [x,x+dx], 当 单 位 正 电 荷 从 x 移 动 到 x+dx 时, 电 场 力 F(x) 所 作 的 功 微 元 dw=f(x)dx=k q dx, x 所 求 电 场 力 对 单 位 正 电 荷 作 的 功 W = b k q x dx=-kq x b =kq - b. 若 在 电 场 力 的 作 用 下, 将 单 位 正 电 荷 从 移 动 到 无 穷 远, 电 场 所 作 的 功 称 为 电 场 中 处 的 电 位 V. 于 是 V= + k q x dx= - kq x + = kq.. 变 位 移 作 功 例 一 个 半 径 为 3m 的 半 球 形 水 池 的 水 深 m, 若 把 其 中 的 水 全 部 抽 尽, 问 要 作 多 少 功 ( 水 的 密 度 ρ= 3 kg/m 3,g=9.8m/s )? 解 我 们 设 想 水 是 被 一 层 一 层 抽 出 的, 各 层 水 处 于 水 池 口 下 不 同 深 度, 因 此 被 提 升 的 位 移 不 同, 是 变 位 移 作 功, 可 用 的 微 元 法 来 解 决. 如 图 5-3 建 立 坐 标 系, 圆 弧 AB 的 方 程 为 y= 9-x. 变 量 x 的 变 化 范 围 是 [,3], 取 代 表 区 间 [x,x+dx], 则 抽 出 厚 为 dx 的 一 薄 层 水 的 功 微 元 图 5-3 dw =x ρgdv=ρgx πy dx =9.8 3 πx(9-x )dx, 于 是 所 求 的 功 9 三 节 在 物 理 上 的 应 用

85 思 考. W = 3 dw=9.8 3 π 3 x(9-x )dx 3 =9.8 3 π 9x -x4 4 = (J)=493(kJ). 如 果 将 水 抽 到 高 于 水 池 口 5m 的 水 箱 中 去, 这 时 要 作 多 少 功 呢? 留 读 者 二 液 体 侧 压 力 由 物 理 学 知 道, 有 一 个 面 为 A 的 薄 板 水 平 地 放 置 在 液 体 中 深 为 h 的 地 方, 那 么 薄 板 一 侧 所 受 的 压 力 为 P=pA, 其 中 p=ρgh 是 液 体 中 深 为 h 处 的 压 强 (ρ 是 液 体 的 密 度 ). 如 果 此 薄 板 是 垂 直 地 放 置 在 液 体 中, 由 于 不 同 深 度 的 点 处 压 强 不 同, 求 薄 板 一 侧 所 受 液 体 的 压 力 则 要 用 来 解 决. 下 面 结 合 例 题 说 明 计 算 方 法. 例 3 一 闸 门 呈 倒 置 的 等 腰 梯 形 垂 直 地 位 于 水 中, 两 底 的 长 度 别 为 4m 和 6m, 高 为 6m, 当 闸 门 上 底 高 于 水 面 m 时, 求 闸 门 一 侧 受 到 的 水 压 力 ( 水 的 密 度 为 3 kg/m 3,g=9.8m/s ). 解 选 取 坐 标 系 如 图 5-4 所 示, 则 AB 的 方 程 为 y= 7-x 6. 取 x 为 变 量, 在 它 的 变 化 范 围 [,5] 上 取 代 表 区 间 [x,x+dx], 在 水 下 深 为 xm 处 的 压 强 为 9.8xkN/m, 因 此 与 代 表 区 间 相 应 的 一 小 窄 条 上 所 受 的 压 力 微 元 dp =9.8x 7-x 6 dx 五 章 的 应 用 所 求 的 压 力 为 3 三 引 力 =9.8 3 (7x-x )dx, P = (7x-x )dx= 9.8 7x 5 3 -x (kn)= (N). 图 5-4 由 万 有 引 力 律 知 道, 质 量 别 为 m,m 的 两 个 质 点, 相 距 r 时 的 引 力 为

86 F=k m m r (k 为 引 力 常 数 ). 如 果 要 计 算 位 于 一 条 直 线 上 的 一 根 细 杆 对 一 个 质 点 的 引 力, 由 于 细 杆 上 各 点 与 质 点 的 距 离 是 变 化 的, 因 此 不 能 用 上 述 公 式 计 算, 下 面 用 的 微 元 法 计 算. 例 4 设 有 一 长 为 l, 质 量 为 M 的 均 匀 细 杆, 另 有 一 质 量 为 m 的 质 点 与 杆 在 一 条 直 线 上, 它 到 杆 的 近 端 距 离 为, 计 算 细 杆 对 质 点 的 引 力. 解 取 坐 标 系 如 图 5-5 所 示, 以 x 为 变 量, 它 的 变 化 区 间 为 [,l], 在 杆 上 取 代 表 区 间 [x,x+dx], 此 段 杆 长 dx, 质 量 为 M l dx, 由 于 dx 很 小, 该 质 量 可 以 看 作 在 x 处. 它 与 质 点 间 的 距 离 为 x+, 根 据 万 有 引 力 律, 这 一 小 段 细 杆 对 质 点 的 引 力 微 元 图 5-5 km M l df= dx, (x+) 故 细 杆 对 质 点 的 引 力 F = l k m M l (x+) dx=kmm l l = kmm l - x+ l = kmm (l+). (x+) dx 应 当 指 出, 当 质 点 与 细 杆 不 在 一 条 直 线 上, 由 于 细 杆 每 一 小 段 对 质 点 的 引 力 微 元 的 方 向 不 同, 此 时 引 力 微 元 不 可 以 直 接 相 加, 必 须 把 它 们 解 为 沿 细 杆 方 向 和 垂 直 于 细 杆 方 向 的 力 后, 别, 按 力 的 加 法 求 得 细 杆 对 质 点 的 引 力. 思 考 题 5-3. 弹 簧 在 弹 性 限 度 内, 伸 长 量 scm 与 需 要 的 力 F(N) 成 正 比, 即 F=ks(k 是 比 例 常 数 ), 如 果 把 弹 簧 由 原 长 拉 伸 6cm, 需 作 多 少 功?. 长 l=8cm, 直 径 D=cm 的 有 活 塞 的 圆 柱 体 内 充 满 了 压 强 为 p=n/cm 的 蒸 汽, 温 度 不 变, 为 使 蒸 汽 体 减 少 二 之 一, 要 作 多 少 功?( 提 示 : 由 物 理 学 知 道 一 量 的 气 体 在 等 温 条 件 下, 压 强 p 与 体 V 的 乘 是 常 数.) 3. 在 本 节 例 3 中, 如 果 闸 门 上 底 正 好 位 于 水 面 时, 求 闸 门 一 侧 受 到 的 水 压 力. 4. 一 个 边 长 为 m 的 正 方 形 闸 门, 垂 直 沉 入 水 中, 一 条 对 角 线 与 水 面 平 行, 最 上 面 的 一 个 顶 点 在 水 面 下 m 处, 求 此 闸 门 一 侧 受 到 的 水 压 力 ( 水 的 密 度 ρ= 3 kg/m 3, 3 三 节 在 物 理 上 的 应 用

87 g=9.8m/s ). 习 题 5-3. 一 条 8m 长, 质 量 为 kg 的 均 匀 链 条 被 悬 挂 于 一 建 筑 物 的 顶 部, 现 将 这 根 链 条 全 部 拉 上 建 筑 物 顶 部 要 作 多 少 功?(g=9.8m/s ). 一 物 体 按 规 律 x=ct 3 作 直 线 运 动, 介 质 的 阻 力 与 速 度 的 平 方 成 正 比, 计 算 物 体 由 x= 移 至 x= 时 克 服 介 质 阻 力 所 作 的 功. 3.() 证 明 : 把 质 量 为 m 的 物 体 从 地 球 表 面 升 高 到 h 所 作 的 功 是 W =k mmh R(R+h), 其 中 k 是 引 力 常 数,M 是 地 球 的 质 量,R 是 地 球 的 半 径 ; () 一 颗 人 造 地 球 卫 星 的 质 量 为 73kg, 问 把 这 颗 卫 星 从 地 面 送 到 63km 高 空 处, 克 服 地 球 引 力 要 作 多 少 功? 已 知 引 力 常 量 k= N (km) /(kg), 地 球 的 质 量 M = kg, 地 球 的 半 径 R=637km. 4. 有 一 个 圆 台 形 水 桶 盛 满 了 水, 桶 高 3m, 上, 下 底 的 半 径 别 为 m,m, 将 桶 中 水 吸 尽 至 少 要 作 多 少 功 ( 水 密 度 3 kg/m 3,g=9.8m/s )? 5. 一 直 径 为 6m 的 半 圆 形 闸 门, 铅 直 地 浸 入 水 内, 其 直 径 恰 位 于 水 表 面 ( 水 的 密 度 为 3 kg/m 3 ), 求 闸 门 一 侧 受 到 水 的 压 力. 6. 等 腰 三 角 形 薄 板 铅 直 地 位 于 水 中, 它 的 底 与 水 面 相 齐, 薄 板 的 底 为 m, 高 为 hm, 水 的 密 度 为 3 kg/m 3. () 计 算 薄 板 一 侧 所 受 水 的 压 力 ; () 如 果 倒 转 薄 板 使 顶 点 与 水 面 相 齐, 而 底 平 行 于 水 面, 则 水 对 薄 板 的 压 力 增 大 几 倍? (3) 若 等 腰 三 角 形 薄 板 沉 入 水 中, 顶 点 朝 下, 底 平 行 于 水 面, 且 在 水 面 之 下 受 水 的 压 力. h m, 求 其 所 7. 洒 水 车 上 的 水 箱 是 一 个 横 放 的 椭 圆 柱 体, 已 知 端 面 椭 圆 的 长 轴 处 于 水 平 位 置, 长 为 m, 短 轴 为.5m, 当 水 箱 装 满 水 时, 求 水 箱 一 个 端 面 所 受 水 的 压 力. 8. 设 半 径 为 R, 总 质 量 为 M 的 均 匀 半 圆 细 棒, 其 圆 心 处 有 一 质 量 为 m 的 质 点, 求 半 圆 细 棒 对 质 点 的 引 力. 五 章 的 应 用 四 节 n 个 数 y,y,,y n 的 算 术 平 均 值 为 函 数 的 平 均 值 及 其 应 用 珋 y=(y +y + +y n )/n= n n i= y i. 在 生 产 实 践 和 科 学 研 究 中, 还 要 计 算 连 续 变 量 的 平 均 值, 如 非 稳 态 电 流 的 平 均 电 流 平 均 电 压 平 均 功 率 等 等. 下 面 讨 论 连 续 函 数 f(x) 在 区 间 [,b] 上 的 平 3

88 均 值. 首 先, 把 区 间 [,b] 成 n 等 份, 设 点 为 =x <x <x < <x n =b, 每 个 小 区 间 的 长 度 Δx i = b- n (i=,,,n), 各 点 x i 所 对 应 的 函 数 值 依 次 为 f(x ),f(x ),,f(x n ), 它 们 的 平 均 值 (f(x )+f(x )+ +f(x n ))/n= n n i= f(x i ) 可 近 似 地 表 达 函 数 f(x) 在 [,b] 上 取 得 一 切 值 的 平 均 值. 显 然 n 越 大, 点 越 多, 这 个 平 均 值 就 越 接 近 函 数 f(x) 在 [,b] 上 取 得 一 切 值 的 平 均 值. 因 此 称 极 限 n lim n n i= f(x i ) 为 函 数 f(x) 在 [,b] 上 的 平 均 值, 记 为 珋 y [,b]. 因 此 下 面 用 表 示 函 数 f(x) 在 [,b] 上 的 平 均 值 珋 y [,b]. 在 义 中, 若 取 ξ i =x i,δx i = b- n, 则 b f(x)dx=lim λ n i= f(ξ i )Δx i =lim f(x n n i ) b- n= n. lim n n n i= f(x i )= b- lim n n i= f(x i ) b- n = f(x)dx, b- b 即 y 珋 [,b] = f(x)dx. b- b 由 中 值 理 可 见, 有 ξ [,b], 使 f(ξ) 为 f(x) 在 [,b] 上 的 平 均 值. 例 求 从 到 T 秒 这 段 时 间 内 自 由 落 体 运 动 的 平 均 速 度. 解 因 为 自 由 落 体 运 动 的 速 度 v=gt, 所 以 珋 v= T- T gtdt= T gt T = gt. 例 求 纯 电 阻 电 路 中 正 弦 电 流 i(t)=i m sinωt 在 一 个 周 期 上 的 平 均 功 率. 解 而 功 率 设 电 阻 为 R, 则 电 路 中 的 电 压 u=ir=i m Rsinωt, 33 四 节 函 数 的 平 均 值 及 其 应 用

89 p=iu=i mrsin ωt, 因 此 p 在, π ω 上 的 平 均 功 率 ( 功 率 的 平 均 值 ) 一 半. p= 珋 π ω π ω - π ω 4π I mrsin ωtdt= I m R = I m R 4π ωt- sinωt π ω (-cosωt)d(ωt) = I mr= I mu m (u m =I m R). 这 说 明 纯 电 阻 电 路 中 正 弦 电 流 的 平 均 功 率 等 于 电 流 电 压 的 峰 值 乘 的 对 一 般 的 周 期 为 T 的 交 变 电 流 i(t), 它 在 R 上 消 耗 的 功 率 为 u(t)i(t)=i (t)r, 在 [,T] 上 的 平 均 功 率 珋 p= R T T i (t)dt. 3 通 常 交 流 电 器 上 标 明 的 功 率 就 是 平 均 功 率. 一 般 交 变 电 流 是 随 时 间 的 变 化 而 变 化, 但 在 使 用 交 流 电 的 电 器 上 却 标 有 确 的 电 流 值, 一 般 讲 这 是 一 种 特 的 平 均 值, 习 惯 上 称 为 电 流 的 有 效 值. 交 变 电 流 的 有 效 值 是 如 下 义 的 : 当 交 变 电 流 i(t) 在 其 一 个 周 期 内 在 负 载 电 阻 R 上 消 耗 的 平 均 功 率, 等 于 取 固 值 I 的 直 流 电 在 R 上 消 耗 的 功 率 时, 称 I 为 i(t) 的 有 效 值. 下 面 讨 论 i(t) 有 效 值 的 计 算. 取 固 值 I 的 电 流 在 电 阻 R 上 消 耗 的 功 率 为 I R. 对 为 正 弦 电 流 i(t)=i m sin ωt, 由 例,I R= I mr, 所 以 I= I m. I m 即 正 弦 电 流 I m sinωt 的 有 效 值 为. 对 周 期 为 T 的 交 变 电 流 i(t), 由 3 式 I R= R i (t)dt, T T 五 章 有 I = T T i (t)dt. 因 此 交 变 电 流 i(t) 的 有 效 值 为 的 应 用 一 般 地, 把 b- b I= T T i (t)dt. f (t)dt 称 为 函 数 f(t) 在 [,b] 上 的 均 方 根. 因 此 周 期 性 34

90 电 流 i(t) 的 有 效 值 就 是 它 在 一 个 周 期 上 的 均 方 根. 最 后 通 过 实 例 介 绍 在 经 济 上 的 某 些 应 用. 例 3 设 某 产 品 的 总 产 量 变 化 率 为 f(t)=+t-.45t (t/h). 求 :() 总 产 量 函 数 Q(t);() 从 t =4 到 t =8 这 段 时 间 内 的 产 量. 解 () 总 产 量 函 数 Q(t)= t f(x)dx= t (+x-.45x )dx=t+5t -.5t 3 (t); () 从 t =4 到 t =8 这 段 时 间 内 的 产 量 Q(8)-Q(4)=( )-( ) =57.8(t). 例 4 某 石 油 公 司 经 营 的 一 块 油 田 的 边 际 收 入 和 边 际 成 本 别 为 R (t)=9-t 3 ( 百 万 元 / 年 ),C (t)=+3t 3 ( 百 万 元 / 年 ), 求 该 油 田 的 最 佳 经 营 时 间, 以 及 在 经 营 终 止 时 获 得 的 总 利 润 ( 已 知 固 成 本 为 4 百 万 元 ). 因 此 解 边 际 利 润 L (t)=r (t)-c (t)=8-4t 3. 令 L (t)=, 得 t=8( 年 ). 由 于 L (t)=- 4 3 t- 3,L (8)=- 3 <, t=8( 年 ) 为 最 佳 经 营 时 间, 且 总 利 润 达 到 最 大 值 L(8)= 8 (8-4t 3 )dt-4= 8t-3t =( 百 万 元 ). 思 考 题 5-4. 计 算 函 数 f(x)=e x sinx+x +cosx 在 区 间 [-π,π] 上 的 平 均 值.. 求 原 点 与 区 间 [-4,3] 上 的 所 有 点 之 间 的 平 均 距 离. 3. 设 函 数 求 f(x) 在 [-,] 上 的 平 均 值. 4. 计 算 周 期 为 T 的 矩 形 脉 冲 电 流 f(x)= +x, x, -x, x<. i=, t c,,c<t T, (>) 3 5 四 节 函 数 的 平 均 值 及 其 应 用

91 的 有 效 值. 习 题 5-4. 一 物 体 以 速 度 v=3t +t(m/s) 作 直 线 运 动, 求 它 在 [,3] 内 的 平 均 速 度.. 求 函 数 y=xe -x 在 [,] 上 的 平 均 值. 3. 设 某 日 个 小 时 ( t ) 内 气 温 的 数 学 模 型 是 T(t)=+3t-.t, t, 其 中 t 的 单 位 为 h, 气 温 的 单 位 为, 别 求 前 6h 和 整 个 h 的 平 均 气 温. 4. 计 算 正 弦 交 变 电 流 i=i m sinωt 经 半 波 整 流 后 得 到 的 电 流 i = I m sinωt, t π ω,, π ω <t π ω 的 有 效 值. * 五 节 综 合 例 题 例 在 曲 线 y=x (x ) 上 某 一 点 处 作 切 线, 使 它 与 曲 线 及 x 轴 所 围 图 形 的 面 为. 试 求 : () 切 点 A 的 坐 标 ; () 由 上 述 平 面 图 形 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 成 旋 转 体 的 体. 解 () 如 图 5-6, 设 切 点 A 的 坐 标 为 (, ), 由 于 y =x, 因 此 曲 线 在 点 A 的 切 线 方 程 为 y- =(x-), 即 y=x-. 令 y=, 得 x=. 曲 线 及 其 切 线 x 轴 所 围 图 形 面 为 五 章 的 应 用 S= x dx-s ΔABC = =3. 由 题 设 S=, 从 而 =, 切 点 A(,). () 由 图 5-6, 所 求 旋 转 体 的 体 为 V=π (x ) dx- π 3 - = π 3 ( 体 单 位 ). 36 例 计 算 由 曲 线 y=sinx( x π) x 轴 图 5-6

92 围 成 的 图 形 绕 y 轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 体. 解 一 可 用 类 似 二 节 例 9 的 解 法 求 旋 转 体 的 体, 不 过 这 里 要 指 出, 首 先 需 要 写 出 图 5-7() 中 曲 边 OB,BA 关 于 y 的 方 程, 然 后 求 V y. 这 留 给 读 者 练 习. 图 5-7 解 二 下 面 取 x 为 变 量, 用 薄 璧 圆 筒 法 求 该 旋 转 体 的 体. 如 图 5-7(b), 设 想 该 旋 转 体 是 由 一 系 列 窄 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 生 成 的 薄 璧 圆 筒 组 成 的. 变 量 x 的 变 化 范 围 是 区 间 [,π], 取 代 表 区 间 [x,x+dx], 由 于 曲 边 y= sinx 是 连 续 的, 以 dx 为 底 的 窄 曲 边 梯 形 绕 y 轴 旋 转 所 成 的 旋 转 体 的 体 可 以 用 图 中 标 有 阴 影 线 的 窄 矩 形 绕 着 y 轴 旋 转 生 成 的 薄 璧 圆 筒 来 表 示, 得 体 微 元 dv y =πxydx=πxsinxdx, 从 而 所 求 的 旋 转 体 体 为 V y = π πxsinxdx=-π π xdcosx=-π xcosx =π ( 体 单 位 ). π - π cosxdx 例 3 用 铁 锤 将 一 铁 钉 钉 入 木 板, 设 木 板 对 铁 钉 的 阻 力 与 铁 钉 击 入 木 板 的 深 度 成 正 比. 已 知 在 击 一 锤 时 铁 钉 被 击 入 木 板 cm, 如 果 铁 锤 每 次 打 击 铁 钉 所 作 的 功 相 等, 问 击 二 锤 时 铁 钉 又 击 入 木 板 多 少? 解 设 铁 钉 在 被 击 的 过 程 中, 击 入 木 板 的 深 度 为 xcm, 由 于 木 板 的 阻 力 F 与 钉 进 入 木 板 的 深 度 x 成 正 比, 因 此 功 F=kx. 功 微 元 dw=kxdx. 一 锤 所 作 的 设 两 锤 后, 铁 钉 共 进 入 木 板 Lcm, 则 W = kxdx= k. 二 锤 作 的 功 W = L kxdx= k (L -). 每 锤 作 的 功 相 等 k =k (L -). * 五 节 综 合 例 题 37

93 图 5-8 五 章 的 应 用 L=, 二 锤 将 铁 钉 又 击 入 木 板 ( -)cm. 例 4 某 城 市 居 民 人 口 布 的 数 学 模 型 是 p(r)= r +r+5, 其 中,rkm 是 离 开 市 中 心 的 距 离,p(r) 的 单 位 是 万 人 /km. 求 在 离 市 中 心 km 范 围 内 的 人 口 数. 析 人 口 的 布 是 以 市 中 心 为 中 心 呈 放 射 状 减 少, 如 图 5-8, 人 口 布 可 看 成 以 市 中 心 O 为 中 心 层 布 的, 变 量 r 的 变 化 范 围 是 [,], 在 代 表 区 间 [r,r+dr] 相 应 的 圆 环 范 围 内 的 人 口 数 微 元 dp=p(r)da=πrp(r)dr. 因 此 所 求 的 人 口 数 p= πrp(r)dr=π r r +r+5 dr =π d(r +r+5) r +r+5 - d(r+) (r+) + =π ln(r +r+5)-rctn r+ =π ln5-rctn +rctn 7( 万 人 ) 例 5 将 血 管 的 一 段 看 成 是 一 根 圆 柱 形 的 管 子, 它 的 截 面 半 径 为 Rcm, 血 管 中 的 血 流 平 行 于 血 管 的 轴 线, 距 离 轴 线 r 处 血 的 流 速 为 v(r)= P -P 4ηL (R -r ), 其 中 L 为 这 段 血 管 的 长 度,P,P 为 这 段 血 管 两 端 的 血 压,P >P,η 为 血 液 的 粘 滞 系 数. 求 这 段 血 管 单 位 时 间 内 通 过 任 一 截 面 的 血 流 量 Qcm 3 /s. 38 解 点 O 处 的 血 管 截 面 如 图 5-9() 所 示, 由 血 的 流 速 的 表 达 式 可 见, 流

94 速 的 大 小 是 以 O 为 中 心 呈 放 射 状 减 小, 因 此 将 血 管 的 截 面 以 O 为 中 心 成 一 层 层 的 圆 环, 变 量 r 的 变 化 范 围 是 [,R], 对 应 代 表 区 间 [r,r+dr] 的 圆 环 流 过 的 血 流 量 微 元 图 5-9 dq=v(r) πrdr, 从 而 单 位 时 间 内 通 过 点 O 处 的 截 面 的 血 流 量 Q = R πr P -P -r )dr= π(p -P ) (R r-r 3 )dr 4ηL (R ηl R = π(p -P ) (cm 3 /s). 8ηL R4 设 半 径 OA 处 的 血 液 单 位 时 间 后 流 到 O A 处 ( 图 5-9(b)), 则 以 上 算 得 的 血 流 量 即 以 AO 为 曲 边 的 曲 边 梯 形 绕 血 管 中 心 线 OO 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体, 图 5-9(b) 是 该 旋 转 体 过 轴 线 的 剖 面 图. 例 6 一 块 kg 的 冰 块 要 被 吊 起 m 高, 这 块 冰 以 4kg/min 的 速 度 溶 化, 假 设 冰 块 以 m/min 的 速 度 被 吊 起, 吊 索 的 质 量 为 8kg/m, 求 把 这 块 冰 吊 到 指 的 高 度 需 作 的 功. 解 如 图 5-3 建 立 坐 标 系, 冰 块 从 原 点 O 吊 起 到 m 高 需 作 的 功 W=W +W, 其 中 W 是 提 升 冰 块 作 的 功, 由 于 冰 块 以 4kg/min 的 速 度 溶 化, 因 此 克 服 冰 块 的 重 力 作 的 功 是 变 力 作 功.W 是 克 服 吊 索 的 重 力 作 的 功, 由 于 吊 索 的 不 同 部 位 被 吊 起 的 高 度 不 同, 因 此 克 服 吊 索 的 重 力 作 的 功 是 变 位 移 作 功. 变 量 x 的 变 化 范 围 是 区 间 [,], 对 应 代 表 区 间 [x,x+dx] 的 功 微 元 dw = - x 4gdx=(-4x)gdx, dw =(-x) 8gdx, 39 * 五 节 综 合 例 题

95 =8 4 g(j), 4 g(j), W = W = (-4x)gdx 8g(-x)dx=4 所 求 的 功 W=W +W =g 4 (J)=76(kJ). 例 7 长 边 为 m 短 边 为 bm 的 矩 形 薄 板 与 液 面 成 6 斜 沿 于 液 体 内, 长 边 平 行 于 液 面, 且 上 部 的 长 边 位 于 液 面 下 hm 处, 液 体 的 密 度 为 ρkg/m 3, 求 薄 板 的 一 侧 受 图 5-3 到 的 液 体 压 力. 解 如 图 5-3 建 立 坐 标 系, 变 量 x 的 变 化 区 间 为 [,b], 取 代 表 区 间 [x,x+dx], 薄 板 上 相 应 的 窄 长 条 矩 形 一 侧 受 到 的 压 力 微 元 图 5-3 故 薄 板 一 侧 受 到 的 液 体 压 力 dp=p(x)da=(h+xsin6 )ρgdx, P = b (h+xsin6 )ρgdx 五 章 的 应 用 =4.9 3 bh+ 3 b(n). 例 8 某 产 品 的 边 际 成 本 C (x)=4+ x 4 ( 万 元 / 百 台 ), 边 际 收 入 R (x)=8 -x( 万 元 / 百 台 ), 试 求 : () 产 量 由 百 台 增 加 到 5 百 台 时 的 总 成 本 与 总 收 益 的 增 加 值 ; () 若 固 成 本 C()= 万 元, 求 总 成 本 函 数 与 总 利 润 函 数 ; (3) 当 产 量 x 为 多 少 时, 利 润 最 大? 4

96 (4) 求 最 大 利 润 时 的 总 成 本 和 总 收 益. 解 () 总 成 本 的 增 加 值 ΔC= 5 4+ x 4 dx=9( 万 元 ), 总 收 益 的 增 加 值 ΔR= 5 (8-x)dx=( 万 元 ); () 总 成 本 函 数 C(x)=C()+ x 4+ t 4 dt=+4x+ 8 x ( 万 元 ), 总 收 益 函 数 (3) 总 利 润 函 数 R(x)= x (8-t)dt=8x- x ( 万 元 ); L(x)=R(x)-C(x)=4x- 5 8 x -, L (x)=4-5 4 x, L (x)=-5 4, 令 L (x)=, 解 得 最 大 值 点 x= 6 5. 故 当 x=3 台 时 利 润 最 大. (4) 取 得 最 大 利 润 时 总 成 本 C(3.)=5.8 万 元 总 收 益 R(3.)=.48 万 元. 习 题 5-5. 抛 物 线 y= x 割 圆 x +y 8 成 两 部, 求 这 两 部 的 面.. 求 抛 物 线 r(+cosθ)=(>) 与 直 线 θ= 及 θ= π 3 围 成 的 图 形 的 面. 3. 求 由 双 纽 线 (x +y ) = (x -y )(>) 围 成 且 在 圆 x +y = 内 部 的 图 形 的 面 ( 提 示 : 化 成 极 坐 标 ). 4. 求 摆 线 x=(t-sint),y=(-cost)(>) 的 一 拱 与 x 轴 围 成 的 图 形 别 绕 x 轴 y 轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的 体. 5. 求 抛 物 线 y= x 被 圆 x +y =3 截 下 的 有 限 部 的 弧 长. 6. 一 圆 柱 形 离 心 机, 其 底 半 径 为 m, 高 为 m, 其 中 装 有 m 深 的 水, 当 离 心 机 转 动 时, 4 * 五 节 综 合 例 题

97 图 5-3 水 面 在 机 璧 处 上 升, 中 间 部 下 降, 纵 截 面 为 一 抛 物 线, 如 图 5-3 所 示. 求 () 图 中 所 示 的 抛 物 线 方 程 ; () 水 将 要 从 离 心 机 边 上 溢 出 时,h 为 多 少? 7. 为 清 除 井 底 的 污 泥, 用 缆 绳 将 抓 斗 放 入 井 底, 抓 起 污 泥 后 提 出 井 口 ( 图 5-33), 已 知 井 深 3m, 抓 斗 自 重 4N, 缆 绳 每 米 重 5N, 抓 斗 抓 起 的 污 泥 重 N, 提 升 速 度 为 3m/s, 在 提 升 过 程 中 污 泥 以 N/s 的 速 率 从 抓 斗 缝 隙 中 漏 掉, 现 将 抓 起 污 泥 的 抓 斗 提 升 至 井 口 克 服 重 力 要 作 多 少 功? 8. 半 径 为 Rm 的 球 沉 入 水 中, 它 与 水 面 相 切, 球 的 密 度 为 3 kg/m 3, 现 将 球 从 水 中 取 出 水 面 要 作 多 少 功? 9. 用 微 元 法 证 明 : 由 光 滑 曲 线 弧 段 y=f(x) ( x b) 绕 x 轴 旋 转 生 成 的 旋 转 曲 面 的 面 A=π b f(x) +f (x)dx.. 某 商 品 的 需 求 函 数 Q=-5p, 其 中 Q 为 需 求 量 ( 单 位 : 吨 ),p 为 商 品 单 价 ( 万 元 / 吨 ). 又 知 工 厂 生 产 此 种 商 品 的 边 际 成 本 C (Q)=5-.5Q, 固 成 本 C()=.5 万 元, 试 确 单 价 p, 使 工 厂 总 利 润 最 大, 并 求 最 大 利 润. 五 章 的 应 用 图

98 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化 在 前 五 章 已 经 讨 论 了 一 个 自 变 量 的 函 数 的 微 学 的 基 本 内 容, 包 括 函 数 在 一 点 的 连 续 可 导 可 微 在 一 个 区 间 上 可 等 基 本 概 念 重 要 性 质 微 的 计 算 方 法 和 它 们 的 应 用, 可 以 看 到 微 学 的 基 础 是 极 限 理 论. 在 一 章 中 我 们 已 经 学 习 过 极 限 的 概 念, 现 在 为 什 么 又 要 讨 论 极 限 呢? 事 实 上, 极 限 概 念 不 是 在 微 学 建 立 时 成 为 微 的 基 础 的, 而 是 在 微 已 被 广 泛 应 用 了 一 百 多 年 后, 极 限 概 念 及 其 理 论 才 成 为 微 学 的 坚 实 基 础. 本 书 为 了 使 极 限 概 念 易 于 理 解, 也 为 了 使 读 者 能 更 快 地 学 习 微 学 的 基 本 内 容, 前 面 对 极 限 概 念 用 直 观 和 形 象 的 语 言 给 出 粗 略 的 描 述, 义 中 所 用 的 关 键 词 语 无 限 趋 近 无 限 逼 近 都 是 未 加 义 的, 这 种 描 述 性 的 义 不 便 于 作 数 量 上 的 析. 现 在 要 从 数 量 关 系 上, 给 出 极 限 概 念 的 精 确 义, 并 对 极 限 的 性 质 等 一 系 列 重 要 命 题 进 行 证 明. 一 节 极 限 概 念 的 精 确 化 一 数 列 的 极 限 义 对 数 列 {x n }, 有 常 数, 对 预 先 给 的 ε>, N N +, 当 n>n 时 恒 有 x n - <ε 成 立, 则 称 常 数 为 数 列 {x n } 的 极 限, 或 称 数 列 {x n } 收 敛 于, 记 作 lim x n = 或 x n (n ). n 若 数 列 {x n } 没 有 极 限, 则 称 数 列 {x n } 是 发 散 的. 对 义, 除 了 一 章 已 经 指 出 的 : 数 列 {x n } 的 极 限 是 其 变 化 的 最 终 趋 势 外, 还 要 说 明 以 下 几 点 : () x n - <ε, 表 明 了 ε 是 反 映 数 列 的 通 项 x n 与 点 的 接 近 程 度, 据 ε 一 节 极 限 概 念 的 精 确 化 43

99 的 任 意 性, 刻 画 了 x n 与 可 无 限 接 近. 因 此 义 中 ε 的 任 意 ( 小 ) 性 是 十 必 要 的. () 正 整 数 N 与 ε 有 关.n>N 是 使 x n - <ε 成 立 的 充 而 不 必 要 的 条 件, 并 不 要 求 N 是 使 x n - <ε 成 立 的 最 小 正 整 数. 一 般 说 来,ε 越 小 N 将 越 大. (3) 义 常 称 为 数 列 极 限 的 ε-n 义, 用 它 证 明 极 限 lim x n = 时, 是 n ε>, 找 满 足 义 要 求 的 N. 找 N 常 用 析 法 : ε>, 从 要 使 x n - <ε 成 立, 找 出 n 必 须 大 于 ε 的 某 个 表 达 式 ( 设 为 g(ε)), 取 N=[g(ε)] 即 可. 从 几 何 直 观 上 看, 若 lim x n =, 则 对 于 任 一 个 取 的 N(,ε), 数 列 {x n } 的 项 n 在 数 轴 上 的 对 应 点 x n 随 n 的 增 大 在 数 轴 上 跳 动 时, 总 有 一 个 项 数 N, 从 N+ 项 起, 点 x n 跳 进 该 邻 域 而 永 远 不 再 出 来. 换 句 话 说 落 在 任 一 个 (-ε,+ε) 以 外 的 x n 只 有 有 限 个. 因 此 点 x n 几 乎 都 密 集 在 点 的 近 旁. n+(-) n 例 证 明 lim =. n n 证 只 要 ε >, 要 使 n <ε, n+(-) n n 取 N= ε, 则 当 n>n 时, 恒 有 - < ε, n+(-)n n - = n, 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化 44 故 n 3 + 例 证 明 lim n n 3 +n =. 证 n+(-) n - <ε, n n+(-) n lim =. n n n 3 + n- - = n 3 +n n 3 +n, ε>, n- 要 使 n 3 +n <ε, n- n 3 +n < n = n 3 n n, 取 N= ε, 则 当 n>n 时, 恒 有 故 只 要 n <ε, 即 n> ε, n <ε, n 3 +n n 3 + lim n n 3 +n =.

100 二 函 数 的 极 限.x 时 函 数 f(x) 的 极 限 义 X 为 某 个 正 常 数, 函 数 f(x) 在 x >X 时 有 义, 有 常 数 A, 对 预 先 给 的 ε>, X>, 当 自 变 量 x 满 足 x >X 时, 对 应 的 函 数 值 f(x) 恒 有 f(x)-a <ε 成 立, 则 称 常 数 A 为 函 数 f(x) 当 x 时 的 极 限. 记 作 lim f(x)=a 或 f(x) A(x ). x 与 义 一 样, 除 了 一 章 已 经 指 出 的 : 极 限 lim f(x)=a 是 x 时 函 数 值 x f(x) 变 化 的 最 终 趋 势 外, 也 要 说 明 几 点 : ()ε 是 反 映 函 数 值 f(x) 与 A 的 接 近 程 度,ε 的 任 意 ( 小 ) 性 保 证 了 f(x) 与 A 可 无 限 接 近, 因 此 ε 的 任 意 性 十 必 要. ()X 与 ε 有 关. x >X 是 使 f(x)-a <ε 成 立 的 充 而 不 必 要 的 条 件, 并 不 要 求 X 是 使 f(x)-a <ε 成 立 的 最 小 正 数. 一 般 说 来,ε 越 小,X 将 越 大. (3) 义 常 称 为 极 限 的 ε-x 义, 用 它 证 明 lim f(x)=a 时, 是 ε>, x 找 满 足 义 要 求 的 X. 找 X 也 常 用 析 法 : ε>, 从 要 使 f(x)-a <ε 成 立, 找 出 x 必 须 大 于 ε 的 某 个 表 达 式 ( 设 为 g(ε)), 取 X=g(ε) 即 可. lim f(x)=a 或 lim f(x)=a 的 义 只 要 将 义 中 的 x >X 改 为 x> x + x - X 或 x<-x. 以 上 两 种 极 限 的 义 和 这 两 种 义 的 注 意 点, 留 给 读 者 考 虑. x+ 例 3 证 明 lim x x =. 证 x+ x - = x, ε>, 要 使 x <ε, 即 x > ε, 取 X= ε, 当 x >X 时, 恒 有 故 例 4 证 明 :lim x + 证 cosx =. x x+ - <ε, x x+ lim x x =. cosx x - = cosx x x, ε>, 要 使 即 x> ε, 取 X= ε, 当 x>x 时, 恒 有 cosx x <ε, 只 要 x <ε, 一 节 极 限 概 念 的 精 确 化 45

101 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化 故.x x 时 函 数 f(x) 的 极 限 cosx x - <ε, cosx lim x + x =. 义 3 设 函 数 f(x) 在 某 个 x 的 去 心 邻 域 内 有 义, 有 常 数 A, 对 预 先 给 的 ε>, δ>, 使 得 自 变 量 x 满 足 < x-x <δ 时, 对 应 的 函 数 值 f(x) 恒 有 f(x)-a <ε. 成 立, 则 称 常 数 A 为 函 数 f(x) 在 x x 时 的 极 限, 记 作 lim f(x)=a 或 f(x) A(x x ). x x 对 义 3, 除 了 极 限 lim x x f(x)=a 是 x x 时 函 数 值 f(x) 变 化 的 最 终 趋 势 外, 要 说 明 以 下 几 点 : ()ε 的 任 意 ( 小 ) 性 十 必 要. () 正 数 δ 是 与 ε 有 关 的.< x-x <δ 是 使 f(x)-a <ε 成 立 的 充 而 不 必 要 的 条 件, 并 不 要 求 δ 是 使 f(x)-a <ε 成 立 的 最 大 正 数. 一 般 说 来,ε 越 小,δ 将 越 小. (3) 函 数 f(x) 在 x 是 否 有 极 限 与 f(x) 在 x 是 否 有 义 无 关. (4) 义 3 常 称 为 极 限 的 ε-δ 义, 用 它 证 明 lim x x f(x)=a 时, 是 ε>, 找 满 足 义 3 要 求 的 δ. 找 δ 常 用 析 法 : ε>, 从 要 使 f(x)-a <ε 成 立, 找 出 x-x 必 须 小 于 ε 的 某 个 表 达 式 ( 设 为 g(ε)), 取 δ=g(ε) 即 可. 函 数 f(x) 在 x 的 左 右 极 限 的 义, 只 要 将 义 3 中 的 < x-x <δ 改 为 -δ<x-x < 或 <x-x <δ, 以 上 两 种 极 限 的 义 和 这 两 种 义 的 注 意 点, 留 给 读 者 考 虑. 46 x -8 例 5 证 明 lim x x- =8. 证 x -8 x- -8 = x-, ε>, 要 使 x- <ε, 只 要 x- < ε, 取 δ= ε, 当 < x- <δ 时, 恒 有 故 由 例 5 可 见, 函 数 x -8-8 <ε, x- x -8 lim x x- =8. x -8 在 x= 处 无 义, 但 它 在 x= 处 有 极 限. x-

102 证 明 例 6 设 函 数 证 lim f(x)=-. x - f(x)= -x, <x, --x, - x<. - x< 时,f(x)=--x, --x-(-) = x =-x, ε>, 要 使 -x<ε, 只 要 -x< ε. 取 δ=min, ε, 当 -δ<x< 时, 有 f(x)-(-) <ε, 故 lim f(x)=-. x - ( 以 上 证 明 中 为 什 么 取 δ=min, ε, 留 给 读 者 考 虑 ) 以 上 通 过 ε-n, ε-x, ε-δ 等 方 式 别 给 出 了 各 种 形 式 的 极 限 义 和 利 用 它 们 证 明 极 限, 完 全 是 量 化 的 严 格 的. 因 此 人 们 把 一 章 中 义 极 限 的 方 式 称 为 描 述 义, 而 把 现 在 的 义 称 为 精 确 义 或 析 义. 极 限 的 精 确 义 使 得 极 限 的 性 质, 无 穷 小 的 运 算 法 则 等 一 系 列 命 题 的 严 格 证 明 成 为 可 能. 思 考 题 6-. 用 ε-x 语 言 叙 述 函 数 f(x) 是 x - 时 的 无 穷 小.. 用 ε-δ 义 证 明 函 数 y=x- 在 x= 处 连 续. 3. 在 极 限 的 ε-δ 义 中. () 将 < x-x <δ 换 为 < x-x δ 是 否 等 价? () 将 < x-x <δ 换 为 x-x <δ 是 否 等 价? 4. 在 函 数 极 限 的 义 中, 将 f(x)-a <ε 换 为 f(x)-a <ε 是 否 等 价? 5.lim x x f(x)=a 与 命 题 f(x) 在 x 的 某 去 心 邻 域 内 有 义, δ>, ε>, 当 < x-x <δ 时 有 f(x)-a <ε 是 否 等 价? 为 什 么? 6. 给 出 lim x x f(x)= 的 精 确 义. 习 题 6-. 给 出 lim f(x)=a,lim f(x)=a 的 ε-x 义, 并 说 明 如 何 用 这 些 义 证 明 其 极 限. x + x -. 给 出 lim x x+ f(x)=a,lim x x- f(x)=a 的 ε-δ 义, 并 说 明 如 何 用 这 些 义 证 明 其 极 限. 3. 用 ε-δ 语 言, 叙 述 函 数 f(x) 在 x 处 连 续. 4. 用 ε -N 义 证 明 下 列 极 限 : 一 节 极 限 概 念 的 精 确 化 47

103 4n-3 ()lim n n =; 5. 用 ε-x 义 证 明 下 列 极 限 : sinx () lim x + x =; 6. 用 ε-δ 义 证 明 下 列 极 限 : x - ()lim x (x-) =; ()lim ( n+- n)=. n ()lim -x x - x =-. ()lim xsin x x =. 二 节 与 极 限 概 念 有 关 的 命 题 证 明 举 例 极 限 概 念 精 确 化 以 后, 可 以 对 极 限 的 性 质 夹 逼 准 则 等 命 题 进 行 证 明, 下 面 举 例 说 明. 例 设 lim x x f(x)=a,a>, 证 明 有 某 个 x 的 去 心 邻 域 N(^x,δ), 在 N(^x,δ) 内 f(x)>. 证 N(^x,δ) 时 恒 有 取 ε= A, 则 ε>, 由 lim x x f(x)=a, δ>, 当 < x-x <δ 时, 即 x f(x)-a <ε= A, 故 f(x)>a- A =A >. 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化. 例 证 明 x x + 时, 有 限 个 无 穷 小 的 和 是 无 穷 小. 证 () 先 证 两 个 无 穷 小 的 情 形. 设 α,α 是 x x + 时 的 无 穷 小, 即 lim x x+ α =lim x x+ α =, 要 证 lim x x + (α +α )= ε>, 要 使 α +α <ε, α +α α + α, 只 要 α < ε, α < ε. ε 由 lim α =, 对 x x + >, δ >, 当 <x-x <δ 时, 有 由 lim α =, 对 x x + α < ε ; ε >, δ >, 当 <x-x <δ 时, 有 α < ε. 48

104 故 为 了 要 使 两 式 同 时 成 立, 取 δ=min{δ,δ }, 当 <x-x <δ 时, 有 lim x x + (α +α )=. () 设 k 个 无 穷 小 的 和 是 无 穷 小. α +α < ε +ε =ε. 当 n=k+ 时, 设 α i (i=,,,k+) 是 无 穷 小, 则 y=α + +α k +α k+ =(α + +α k )+α k+ =y +α k+. 由 归 纳 假 设,y 是 无 穷 小, 又 由 的 证 明, 有 y +α k+ 也 是 无 穷 小, 即 k+ 个 无 穷 小 的 和 是 无 穷 小. 由, 两 部 的 证 明 可 得, 任 意 有 限 个 无 穷 小 的 和 是 无 穷 小. 例 3 x 时, 无 穷 小 与 有 界 量 的 乘 是 无 穷 小, 试 证 明 之. 证 设 有 常 数 M >,M >, x >M 时, f(x) M. ε 由 lim α(x)=, ε>, 则 x M >, X>M, 当 x >X 时, 有 α(x) < ε M, 从 而 f(x)α(x) = f(x) α(x) <M ε M =ε, 故 因 此 lim f(x) α(x)=, 结 论 成 立. x 例 4 设 () n N +,x n y n z n ;()lim x n =lim z n =, n n 则 证 lim y n =. n ε>, 由 lim x n =, N, 当 n>n 时, 有 x n - <ε, 从 而 n x n >-ε; 由 lim z n =, N, 当 n>n 时, 有 z n - <ε, 从 而 n z n <+ε. 取 N=mx{N,N }, 则 当 n>n 时, 有 n>n 且 n>n, 由 3,4 两 式, 有 y n - <ε,lim y n =. n -ε<x n y n z n <+ε, 例 5 设 函 数 f(x) C[,b],f(x), 则 b f(x)dx= 的 充 要 条 件 是 x [,b], 有 f(x). 证 充 性 是 显 然 的, 下 面 证 明 必 要 性. 用 反 证 法. 若 f(x) 在 [,b] 上 不 恒 为 零, 则 x [,b] 使 f(x )>, 不 妨 设 x (,b), 记 f(x )=ε, 有 ε> 二 节 与 极 限 概 念 有 关 的 命 题 证 明 举 例

105 由 f(x) 在 点 x 处 连 续, δ>, 使 [x -δ,x +δ] [,b] 且 x [x -δ,x +δ] 时, 有 f(x)-f(x ) <ε, 从 而 f(x)>f(x )-ε=ε. 图 6- 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化 由 图 6-, b f(x)dx= x -δ f(x)dx+ x 与 题 设 矛 盾. +δ x +δ f(x)dx δε>, x -δ x [,b],f(x). x -δ f(x)dx+ b x +δ f(x)dx 例 6 若 f(x) C[,b], 则 ξ (,b), 使 b f(x)dx=f(ξ)(b-). 5 证 在 中 值 理 中 是 有 ξ [,b] 使 5 式 成 立. 现 在 这 里 ξ (,b), 因 此 本 例 改 进 了 中 值 理 的 结 果. f(x) C[,b], f(x) 在 [,b] 上 有 最 大 值 M 和 最 小 值 m. ()M =m. 则 函 数 f(x) 在 区 间 [,b] 上 是 常 数, 任 取 (,b) 中 的 点 为 ξ 都 使 结 论 成 立. ()M >m. 由 例 5 可 知 b [f(x)-m]dx>, b [M -f(x)]dx>, 从 而 m(b-)< b f(x)dx<m(b-), 5 m< f(x)dx<m. b- b

106 由 连 续 函 数 的 介 值 理, 有 ξ (,b), 使 f(ξ)= f(x)dx, 从 而 结 论 成 立. b- b 例 7 ( 柯 西 不 等 式 ) 设 函 数 f(x),g(x) C[,b], 则 b f(x)g(x)dx b f(x)dx b g (x)dx. 证 () 若 f(x), 则 不 等 式 两 端 都 为 零, 结 论 成 立. () 若 f(x), 由 例 5, b f (x)dx>. 注 意 到 λ R b f (x)dxλ - b f(x)g(x)dxλ+ b g (x)dx = b [λf(x)-g(x)] dx, 即 λ 的 二 次 三 项 式 在 R 上 非 负, 则 由 其 判 别 式 的 性 质 有 b f(x)g(x)dx b f(x)dx b g (x)dx. 思 考 题 6-. 设 lim u n =,lim v n =b,<b, 证 明 N N +, 当 n>n 时, 有 u n <v n. n n. 用 ε-δ 语 言 叙 述 函 数 f(x) 在 点 x 处 无 极 限, 并 证 明 狄 利 克 雷 函 数 D(x) 在 R 上 处 处 没 有 极 限. <. 3. 若 函 数 f(x) 在 x 处 连 续,f(x )<, 证 明 必 有 δ>, 使 得 当 x -δ x x +δ 时 f(x) 4. 设 函 数 f(x) 在 闭 区 间 [,b] 上 有 义, x,x [,b] 均 有 f(x )-f(x ) x -x, 证 明 f(x) C[,b]. 习 题 6-. 若 lim x n =,b<, 证 明 存 在 正 整 数 N, 当 n>n 时,x n >b. n. 若 lim x x f(x)=,lim x x f(x)=b, 用 ε-δ 义 证 明 =b( 提 示 : 用 反 证 法, 设 <b, b-=ε, 则 N(,ε) N(b,ε)= ). lim x + 3. 如 果 lim f(x)=a, 证 明 有 X>, 使 函 数 f(x) 在 (X.TIF;E+ ) 上 有 界 ( 提 示 : 由 x + f(x)=a, 取 一 个 ε, 如 ε=, 用 ε-x 义 即 可 证 明 ). 4.f(x) C(-.TIF;E+ ),lim f(x)=a, 证 明 函 数 f(x) 在 (-,+ ) 上 有 界. x * 三 节 例 用 ε-δ 义 证 明 lim x =4. x 综 合 例 题 5 * 三 节 综 合 例 题

107 ε 5, 证 f(x)-a = x+ x-, ε>, 要 使 x+ x- <ε 成 立, 设 x- <, 则 <x<3,3< x+ <5, 只 要 5 x- <ε, 即 x- < 取 δ=min, ε 5, 当 < x- <δ 时, 有 故 x -4 <ε, lim x =4. x n 例 用 极 限 义 证 明 lim n=. n 证 n 设 n=λ, 则 λ>,λ->. 且 n 时, n=( n n) n =[+( n n-)] n >C n( n n-) > n 4 (n n-), λ- < n, ε>, 要 使 λ- <ε, 只 要 有 n> 且 n <ε,n>4 ε. 取 N=mx, 4 ε, 当 n>n 时, 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化 故 n n- <ε, n lim n=. n 例 3 叙 述 lim f(x)=+ 的 精 确 义, 并 用 义 证 明 lim 3-x =+. 解 x x - x 3 - c 为 正 常 数, 函 数 f(x) 在 开 区 间 (x -c,x ) 内 有 义, M >, δ>, 当 -δ<x-x < 时, 恒 有 f(x)>m 成 立, 则 称 f(x) 为 x x - 时 的 正 无 穷 大. 函 数 f(x)= 在 (-,3) 内 有 义, 3-x M >, 要 使 3-x >M, 只 要 x-3>- M, 取 δ= M, 则 当 -δ<x-3< 时, 有 3-x >M 故 lim x 3-3-x =+. 例 4 对 数 列 {x n }, 如 果 n <n < <n k < 是 一 列 正 整 数, 称 数 列 {x nk } 是 数 列 {x n } 的 子 数 列. 若 数 列 {x n } 收 敛 到, 显 然 它 的 任 一 子 数 列 也 收 敛 到 ; 但 {x n } 的 某 些 子 数 列 收 敛, 不 能 保 证 {x n } 收 敛. 5 若 {x n } 的 奇 子 数 列 {x n- } 和 偶 子 数 列 {x n } 都 收 敛 到, 证 明 {x n } 也 收 敛 到

108 . 故 证 ε>, 由 lim x n- =, N N +, 当 n->n 时, n 有 x n- - <ε; 由 lim x n =, N N +, 当 n>n 时, 有 x n - <ε. n 取 N=mx{N,N }, 当 n>n 时, 无 论 n 是 奇 数 还 是 偶 数, 由 有 x n - <ε. lim x n =. n 例 5 若 函 数 f(x) 在 区 间 I 内 的 点 x 处 可 导 且 取 得 最 大 值 或 最 小 值, 证 明 f (x )=. 证 不 妨 设 f(x) 在 x 取 得 最 大 值, 有 f + (x )=lim x x+ f(x)-f(x ) x-x. f(x)-f(x 由 于 x x + ) 时,x>x,f(x) f(x ), 因 此. 由 极 限 的 保 号 性, x-x f + (x ). 同 理 可 得 f - (x )=lim x x- f(x)-f(x ) x-x. f + (x )=f - (x )=f (x ), f (x )=. 例 6 函 数 f(x)=xd(x), 证 明 f(x) 在 x= 处 连 续, 但 在 x 的 点 处 都 是 不 连 续 的. 证 ε>, f(x)-f() = x D(x) x, 要 使 x D(x)<ε, 只 要 x <ε, 取 δ=ε, 当 x <δ 时, 有 f(x)-f() <ε, 故 函 数 xd(x) 在 x= 处 连 续. x, 取 ε= x 3. () 若 x Q, 则 f(x )=x, 任 意 δ>, 取 x * R Q (x -δ,x +δ), 有 f (x * )=, 故 f(x * )-f(x ) = x <ε. 因 此 f(x) 在 x Q(x ) 时 不 连 续 ; () 若 x R Q, 则 f(x )=. δ>, 取 x ** Q (x -δ,x +δ) 且 满 足 x * * > x, 则 * 三 节 f(x * * )-f(x ) = x * * <ε. 因 此 f(x) 在 x R Q 时 都 不 连 续. 由 () () 可 知, 函 数 f(x) 在 x 的 点 处 都 不 连 续. 53 综 合 例 题

109 例 7 函 数 f(x) D[,b], 若 f + () f - (b)<, 证 明 ξ (,b), 使 f (ξ)=. 证 下 面 利 用 例 5 来 证 明, 只 要 证 明 f(x) 至 少 有 一 个 最 值 点 x (,b). f(x) C[,b], f(x) 在 [,b] 上 有 最 大 值 M 最 小 值 m, 并 设 m<m( 为 什 么 可 以 这 样 假 设, 留 给 读 者 考 虑 ). δ ) 时 f + () f - (b)<, f + (),f - (b) 异 号. ()f + ()<,f - (b)>. f(x)-f() 由 lim x + x- =f + ()<, 据 极 限 的 保 号 性, 有 δ >, 当 x (,+ f(x)-f() x- <. 取 x (,+δ ) (,b), 有 f(x )<f(); f(x)-f(b) 由 lim x b - x-b =f - (b)>, 类 似 可 得, δ >,x (b-δ,b) (, b), 有 f(x )<f(b). 故 f() f(b) 都 不 是 f(x) 的 最 小 值, 从 而 f(x) 的 最 小 值 点 x (,b). ()f - (b)<,f + ()>. 可 类 似 () 证 明 f(x) 的 最 大 值 点 x (,b). 命 题 得 证. 习 题 6-3 六 章 关 于 极 限 义 的 精 确 化. 用 无 穷 大 的 精 确 义 证 明 lim x x =. -3x. 用 ε-δ 义 证 明 lim x -x =. 3. 设 函 数 x, x Q, f(x)= x, x R Q. 用 ε-δ 义 证 明 函 数 f(x) 在 x= 处 连 续. 4. 设 函 数 f(x) 在 [,b] 上 可, 证 明 Φ(x)= x 在 [,b] 上 连 续. f(t)dt 附 : 极 限 概 念 产 生 和 发 展 的 历 史 简 介 前 五 章 讨 论 了 函 数 的 连 续 导 数 和 微 等 概 念 的 义 性 质 及 其 应 用, 它 们 都 是 以 极 限 理 论 为 其 基 础 的, 知 识 之 间 的 这 种 安 排 是 按 照 现 代 对 于 数 学 的 严 格 性 要 求 来 展 开 的, 它 和 微 在 历 史 上 的 发 展 所 经 历 的 道 路 有 所 不 同. 微 学 与 学 都 起 源 于 7 世 纪, 到 了 8 世 纪, 微 学 在 许 多 领 域 里 有 广 泛 54

110 的 重 要 的 应 用, 使 微 理 论 得 到 飞 速 的 发 展. 而 到 9 世 纪, 极 限 理 论 才 成 为 微 学 的 理 论 基 础. 为 什 么 微 学 需 要 极 限 理 论 呢? 下 面 简 要 介 绍 极 限 概 念 产 生 和 发 展 的 历 史, 可 以 回 答 这 一 疑 问. 人 类 具 有 极 限 思 想 要 追 溯 到 公 元 前 4 世 纪, 即 4 多 年 前. 在 一 章 中 简 要 介 绍 了 我 国 的 庄 子 一 尺 之 棰, 日 取 其 半, 万 世 不 竭 的 论 述, 体 现 了 极 限 思 想 的 萌 芽. 刘 徽 创 立 的 割 圆 术 用 圆 内 接 正 多 边 形, 当 边 数 逐 次 加 倍 而 逼 近 圆 的 原 理, 求 圆 周 率 的 近 似 值. 他 以 一 尺 为 半 径 的 圆, 计 算 了 圆 内 接 正 6,,4, 48,96,9 边 形, 得 到 圆 周 率 徽 率 π 3.4, 反 映 出 初 步 的 极 限 思 想. 在 国 外 极 限 思 想 的 出 现 也 很 早,4 多 年 前 的 古 希 腊 人 安 提 丰 (Antiphon) 提 出 了 基 本 思 想 与 割 圆 术 类 似 的 穷 竭 法, 到 多 年 前 古 希 腊 的 大 科 学 家 阿 基 米 德 (Archimedes) 运 用 穷 竭 法 计 算 了 弓 形 球 面 球 冠 的 面 和 某 些 旋 转 体 的 体, 阿 基 米 德 在 这 方 面 的 辉 煌 成 果, 表 明 了 他 已 具 备 了 极 限 思 想, 甚 至 已 有 无 穷 小 和 的 思 想 萌 芽. 到 牛 顿 莱 布 尼 茨 时 代, 人 们 已 掌 握 了 微 法 和 法, 并 在 实 践 中 广 泛 应 用, 但 仍 然 没 有 明 确 的 函 数 的 极 限 概 念, 这 时 的 微 理 论 是 建 立 在 没 有 极 限 为 基 础 的 无 穷 小 概 念 上, 这 样 的 无 穷 小 是 含 混 不 清 的, 没 有 一 个 牢 固 的 基 础, 遭 到 了 来 自 许 多 方 面 的 疑 问 和 别 有 用 心 人 的 攻 击, 出 现 了 数 学 界 的 二 次 混 乱 局 面, 人 们 称 之 为 二 次 数 学 危 机 ( 一 次 数 学 危 机 是 公 元 前 5 世 纪, 人 们 只 在 有 理 数 范 围 内 有 数 的 概 念, 希 腊 数 学 家 希 帕 索 斯 (Hippsus) 发 现 等 腰 直 角 三 角 形 的 直 角 边 和 斜 边 不 可 公 约, 引 发 了 数 学 界 的 一 次 混 乱 ; 三 次 数 学 危 机 是 世 纪 初 集 合 论 中 涉 及 元 素 属 于 集 合 等 基 本 概 念 以 及 逻 辑 学 的 罗 素 (Rusel) 悖 议 引 发 的 ). [] 下 面 的 实 例 介 绍 了 当 时 的 微 理 论 中 的 困 难. 质 点 自 由 落 体 时 的 下 落 距 离 s= gt, 求 在 t=t 时 质 点 的 瞬 时 速 度 v(t ). s(t )= gt, s(t )+L= g(t +h), 故 质 点 在 h 秒 内 下 落 的 距 离 L= g[(t +h) -t ], 质 点 在 t 到 t +h 这 h 秒 内 的 平 均 速 度 v= L h =g[(t +h) -t ] =gt h + gh. 以 下 给 出 牛 顿 莱 布 尼 茨 曾 用 过 的 解 释 : ()h 是 无 穷 小,h, 因 而 平 均 速 度 v=gt + gh 有 意 义. 但 无 穷 小 gh 与 有 55 * 三 节 综 合 例 题

111 限 量 gt 相 比, 可 以 忽 略 不 计, 于 是 gt + gh 就 变 为 gt, 这 就 是 t 时 质 点 的 瞬 时 速 度. ()L 与 h 的 始 比 是 gt + gh, 这 时 h ; 随 着 h 越 来 越 小 达 到 零 时,L 与 h 六 章 的 末 比 是 gt, 这 时 h=, 得 到 质 点 在 t 时 的 瞬 时 速 度. 以 上 的 解 释 出 现 明 显 的 矛 盾 : 一 方 面 要 使 g(t h+h ) 有 意 义, 必 须 h ; h 另 一 方 面 要 使 t 时 的 速 度 为 gt, 又 必 须 h=.h 怎 么 能 既 不 为 零 而 需 要 时 又 可 以 为 零 了 呢? 这 就 是 历 史 上 的 贝 克 莱 (Berkele) 悖 论, 贝 克 莱 大 主 教 极 端 恐 惧 当 时 微 等 自 然 科 学 的 发 展 造 成 的 对 宗 教 信 仰 日 益 增 长 的 威 胁, 他 激 烈 攻 击 微, 说 变 化 率 只 不 过 是 消 失 了 的 量 的 鬼 魂. 也 正 是 当 时 的 微 理 论 没 有 一 个 牢 固 的 基 础, 致 使 反 对 者 的 非 难 与 攻 击 似 乎 言 之 有 物. 这 样 造 成 了 在 整 个 8 世 纪, 一 方 面 微 在 理 论 研 究 和 应 用 领 域 不 断 取 得 辉 煌 的 成 果 ; 另 一 方 面 由 于 其 基 础 的 含 糊 不 清 导 致 的 矛 盾 越 来 越 尖 锐. 促 使 人 们 认 真 研 究 对 待 贝 克 莱 悖 论, 以 解 除 数 学 的 二 次 危 机, 这 极 大 地 推 动 了 极 限 理 论 的 发 展, 最 具 代 表 性 的 是 9 世 纪 前 期 的 柯 西 和 9 世 纪 后 期 的 德 国 数 学 家 魏 尔 斯 特 拉 斯 (Weier- strss) 的 工 作. 柯 西 详 细 而 系 统 地 发 展 了 极 限 知 识, 他 明 确 给 出 极 限 的 概 念 ( 即 极 限 的 描 述 义 ), 并 以 极 限 概 念 为 基 础 构 筑 了 整 个 微 的 系 统. 魏 尔 斯 特 拉 斯 明 确 而 又 全 面 地 给 出 了 现 今 广 泛 采 用 的 ε-δ 等 极 限 的 精 确 义, 用 静 态 的 量 的 方 法 刻 画 了 动 态 的 极 限 概 念 和 连 续 概 念. 由 于 严 格 的 极 限 理 论 和 实 数 理 论 的 建 立, 再 加 上 以 Cntor 为 代 表 创 立 的 集 合 理 论, 为 世 纪 现 代 析 的 飞 速 发 展 奠 了 极 为 重 要 的 基 础. 由 4 多 年 前 极 限 思 想 的 萌 芽, 到 9 世 纪 后 期 的 精 确 化 义 和 世 纪 现 代 析 理 论 的 诞 生 及 应 用, 可 以 看 到 极 限 概 念 是 一 个 基 础 的 应 用 极 为 广 泛 的 重 要 概 念, 我 们 了 解 一 点 极 限 知 识 的 历 史, 对 于 微 的 学 习 是 十 有 益 的. 关 于 极 限 义 的 精 确 化 56

112 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 在 科 学 研 究 和 生 产 实 际 中, 经 常 需 要 寻 求 反 映 客 观 事 物 的 内 部 联 系 的 变 量 之 间 的 函 数 关 系, 在 许 多 情 况 下, 往 往 不 能 直 接 得 到 所 求 的 函 数 关 系, 但 可 以 比 较 容 易 地 建 立 含 有 未 知 函 数 的 导 数 或 微 的 关 系 式, 即 通 常 所 说 的 微 方 程. 因 此 微 方 程 是 描 述 客 观 事 物 的 数 量 关 系 的 一 种 重 要 的 数 学 模 型. 本 章 主 要 介 绍 微 方 程 的 一 些 基 本 概 念 和 几 种 常 用 的 微 方 程 的 解 法. 一 节 微 方 程 的 基 本 概 念 下 面, 我 们 通 过 实 例 引 出 微 方 程 的 概 念. 一 实 例 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 例 一 曲 线 过 点 (,), 且 曲 线 上 各 点 处 的 切 线 斜 率 等 于 该 点 横 坐 标 的 平 方 的 3 倍, 求 此 曲 线 方 程. 解 设 所 求 曲 线 的 方 程 为 y=f(x),m (x,y) 为 曲 线 上 的 任 意 点, 在 该 点 曲 线 的 切 线 的 斜 率 为 y, 依 题 意 有 y =3x. 两 边, 得 y=x 3 +C. 上 式 表 示 的 是 曲 线 上 任 意 一 点 的 切 线 的 斜 率 为 3x 的 所 有 曲 线. 但 要 求 的 是 过 点 (,) 的 曲 线, 即 x= 时,y=. 3 将 3 式 代 入 式, 得 C=, 所 以 y=x 为 所 求 的 曲 线 方 程. 例 把 一 质 量 为 m 的 物 体 从 地 面 上 以 初 速 度 v 竖 直 上 抛, 设 该 物 体 运 动 只 受 重 力 影 响, 试 求 物 体 的 运 动 方 程. 58

113 解 如 图 7-, 设 物 体 与 地 面 距 离 为 s,t 为 时 间, 由 于 只 受 重 力 作 用, 故 物 体 所 受 之 力 为 F=-mg, 其 中 负 号 是 重 力 方 向 与 所 选 坐 标 正 向 相 反. 即 又 根 据 牛 顿 二 律,F=m=m d s dt, 所 以 对 5 式 两 端, 得 再 两 端, 得 m d s =-mg, dt d s dt =-g. 这 里 C,C 都 是 任 意 的 常 数. 由 题 意 知 ds dt =-gt+c, s=- gt +C t+c, t= 时,s=,v= ds dt =v, 把 8 式 别 代 入 6,7 式, 得 C =v,c =. 故 有 s=v t- gt. 5 图 这 正 是 熟 知 的 初 速 度 为 v 的 物 体 竖 直 上 抛 时 距 离 s 与 时 间 t 之 间 的 函 数 关 系, 即 物 体 的 运 动 方 程. 二 有 关 概 念 义 凡 表 示 未 知 函 数, 未 知 函 数 的 导 数 或 微 之 间 的 关 系 的 方 程 ( 其 中 未 知 函 数 的 导 数 或 微 一 要 出 现 ) 称 为 微 方 程. 由 义, 式 5 式 都 是 微 方 程. 此 外,y -x y =,xdy+y dx=,y + y +y=x - 等 等 也 都 是 微 方 程. 未 知 函 数 为 一 元 函 数 的 微 方 程 称 为 常 微 方 程. 本 书 只 讨 论 一 些 常 微 方 程 及 其 解 法. 微 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 各 阶 导 数 的 最 高 阶 数 称 为 微 方 程 的 阶. 如 y =3x,y -x y =,xdy+y dx= 都 是 一 阶 微 方 程 ; d s dt =-g,y +y +y=x - 都 是 二 阶 微 方 程 ;y (4) +4y +4y=xe x 是 四 阶 微 方 程. 二 阶 及 二 阶 以 上 的 59 一 节 微 方 程 的 基 本 概 念

114 微 方 程 称 为 高 阶 微 方 程. n 阶 微 方 程 的 一 般 形 式 是 F(x,y,y,,y (n) )=. 瑏 瑠 我 们 只 讨 论 能 从 方 程 瑏 瑠 中 解 出 最 高 阶 导 数 的 常 见 形 式 y (n) =fx,y,y,,y (n-), 瑏 瑡 fx,y,y,,y (n-) 表 示 x,y,y,,y (n-) 的 关 系 式. 例 如, 一 阶 二 阶 微 方 程 的 常 见 形 式 别 是 y =f(x,y) 和 y =f(x,y,y ). 义 如 果 某 个 函 数 代 入 微 方 程, 能 使 该 方 程 成 为 恒 等 式, 则 称 这 个 函 数 为 该 微 方 程 的 解. 例 如, 和 4 表 示 的 函 数 都 是 方 程 的 解,7 和 9 表 示 的 函 数 都 是 方 程 5 的 解. 在 介 绍 微 方 程 的 通 解 前, 先 给 出 独 立 的 任 意 常 数 的 概 念. 含 有 几 个 任 意 常 数 的 表 达 式, 如 果 它 们 不 能 合 并 而 使 得 任 意 常 数 的 个 数 减 少, 则 称 这 表 达 式 中 的 几 个 任 意 常 数 相 互 独 立. 如 y=c x+c x+ 与 y=cx+(c,c,c 都 是 任 意 常 数 ) 所 表 示 的 函 数 族 是 相 同 的, 因 此 y=c x+c x+ 中 的 C,C 是 不 独 立 的 ; 而 7 式 s=- +C gt t+c 中 的 任 意 常 数 C,C 是 不 能 合 并 的, 即 C,C 是 相 互 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 独 立 的. 微 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 数, 且 独 立 的 任 意 常 数 的 个 数 与 微 方 程 的 阶 数 相 同, 这 样 的 解 称 为 微 方 程 的 通 解 或 一 般 解. 由 于 方 程 5 是 二 阶 的,7 是 5 的 解 且 7 中 有 两 个 独 立 的 任 意 常 数, 因 此 7 是 方 程 5 的 通 解. 同 理 是 方 程 的 通 解. 由 于 通 解 中 含 有 任 意 常 数, 它 还 不 完 全 确, 要 完 全 确 地 反 映 客 观 事 物 的 规 律, 必 须 根 据 具 体 问 题 给 的 条 件, 从 通 解 中 确 任 意 常 数 的 值, 得 到 微 方 程 不 含 任 意 常 数 的 解. 这 种 不 含 任 意 常 数 的 解 称 为 微 方 程 的 特 解. 如 4 是 方 程 的 特 解,9 是 方 程 5 的 特 解. 用 来 确 特 解 的 条 件 称 为 解 条 件, 其 中 给 出 未 知 函 数 或 其 导 数 关 于 自 变 量 在 同 一 点 取 值 的 条 件 又 称 为 初 始 条 件, 在 初 始 条 件 下 求 解 微 方 程 的 问 题 称 为 初 值 问 题. 如 3,8 别 为 方 程,5 的 初 始 条 件. 本 章 讨 论 的 一 阶 微 方 程 y =f(x,y), 它 的 初 始 条 件 通 常 是 x=x 时,y=y 或 写 成 y =y ; 二 阶 微 方 x= x 程 y =f(x,y,y ) 的 解 条 件 通 常 是 x=x 时,y=y,y =y 或 写 成 y =y, x=x y =y. x= x 微 方 程 的 特 解 的 图 形 是 一 条 曲 线, 称 为 微 方 程 的 曲 线. 通 解 的 图 形 6

115 是 一 族 曲 线. 如 例 中 是 以 常 数 C 为 参 数 的 立 方 抛 物 线 族, 如 图 7- 所 示. 而 特 解 4 是 表 示 过 点 (,) 的 一 条 立 方 抛 物 线. 例 3 验 证 y=c sinx+c cosx 是 微 方 程 y +y= 的 通 解. 解 因 为 y =C cosx-c sinx, y =-C sinx-c cosx, 把 y 和 y 代 入 微 方 程 左 端 得 y +y=-c sinx-c cosx+c sinx+c cosx, 又 y=c sinx+c cosx 中 有 两 个 独 立 的 任 意 常 数, 方 程 y +y= 是 二 阶 的, 所 以 y=c sinx+ C cosx 是 该 微 方 程 的 通 解. 图 7- 思 考 题 7-. 若 有 两 个 微 方 程 的 通 解 别 为 x +y =C 和 y -x =C, 比 较 其 中 常 数 C 的 意 义.. 下 列 哪 些 函 数 是 微 方 程 y -3y= 的 解? (A)y=3; (B)y=3x; (C)y=e 3x ; (D)y=e 3x ; (E)y=3e x. 3. 若 y y 及 C y +C y (y y ) 都 是 微 方 程 y +P(x)y=Q(x)(Q(x) ) 的 解, 证 明 : ()y +C(y -y ) 是 方 程 的 通 解 ; ()C +C =. 4. 已 知 曲 线 族 y =Cx(C 是 任 意 常 数 ), 试 写 出 曲 线 族 所 满 足 的 微 方 程. 习 题 7-. 指 出 下 列 各 微 方 程 的 阶 数 : ()x dx+ydy=; (3)xy -y +x=; (5)y y +x y +y=. ()(y ) +y=; (4)t d x dt +tdx dt -x=t lnt;. 验 证 下 列 各 题 中 所 给 的 函 数 或 隐 函 数 是 否 为 所 给 微 方 程 的 解? 若 是, 指 出 是 通 解 还 是 特 解? 其 中 C,C 均 为 任 意 常 数 : ()y=e -3x + 3, ()y=e x +e -x, dy dx +3y=; y -y +y=; (3)y=C e -x +C e -x - x +xe -x, y +3y +y=xe -x. 一 节 微 方 程 的 基 本 概 念 6

116 y 3. 求 C 和 C, 使 得 y=c e x +C e x +sinx 满 足 初 始 条 件 y = 和 y =. x= x= 4. 验 证 e y +C =(x+c ) 是 微 方 程 y +(y ) =e -y 的 通 解, 并 求 满 足 初 始 条 件 =,y = 的 特 解. x= x= 5. 设 有 一 质 量 为 m 的 质 点 作 直 线 运 动, 假 有 一 个 和 时 间 成 正 比 例 的 拉 力 作 用 在 它 的 上 面, 同 时 质 点 又 受 到 与 速 度 成 正 比 例 的 阻 力, 试 求 速 度 随 时 间 变 化 的 微 方 程. 二 节 可 离 变 量 的 微 方 程 本 节 和 三 节, 将 讨 论 一 阶 微 方 程 的 几 种 常 用 的 基 本 类 型 及 其 解 法. y =f(x,y) 一 可 离 变 量 的 微 方 程 上 节 例 的 一 阶 微 方 程 是 通 过 直 接 的 方 法 求 解 的, 但 更 多 的 一 阶 微 方 程 无 法 这 样 求 解. 例 如, 对 于 一 阶 微 方 程 y = x y, 若 两 端 直 接, x y dx 中 既 含 有 自 变 量 x, 又 含 有 未 知 函 数 y, 求 不 出 来. 但 是, 如 果 在 方 程 两 端 同 时 乘 以 ydx, 使 方 程 化 为 ydy=xdx, 变 量 x 与 y 离 在 等 式 的 两 端, 两 端 再 别 对 x y, 得 y =x +C, 或 y =x +C(C=C, 是 任 意 常 数 ), 可 以 验 证 这 是 微 方 程 的 通 解. 一 般 地, 如 果 一 阶 微 方 程 式 可 以 化 为 形 如 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 g(y)dy=f(x)dx 3 的 形 式, 称 式 为 可 离 变 量 的 微 方 程. 这 类 方 程 的 特 点 是 : 方 程 经 过 适 当 变 形, 可 以 将 含 有 同 一 变 量 的 函 数 与 微 离 到 等 式 的 同 一 端. 这 类 方 程 的 具 体 解 法 为 : () 离 变 量, 将 方 程 变 形 成 3 式 的 形 式, () 可 以 证 明 3 式 两 边 别 对 各 自 的 自 变 量 g(y)dy= f(x)dx, 6

117 能 够 得 到 方 程 的 通 解 G(y)=F(x)+C, 其 中 G(y),F(x) 别 是 g(y),f(x) 的 一 个 原 函 数. 例 求 微 方 程 y -e y sinx= 的 通 解. 解 将 方 程 离 变 量, 得 e - y dy=sinxdx, 两 边 e - y dy= sinxdx, 得 方 程 的 通 解 cosx-e -y =C. 这 个 通 解 是 以 隐 函 数 形 式 给 出 的, 称 为 隐 式 通 解, 它 可 以 显 化 为 y= -ln(cosx -C), 也 可 以 不 显 化. 例 求 微 方 程 y =3x y 的 通 解. 解 两 边, 得 将 方 程 离 变 量, 有 dy y =3x dx, ln y =x 3 +C, y =e x3 +C, y=±e C e x3, 因 为 ±e C 是 不 为 零 的 任 意 常 数, 把 它 记 作 C, 便 得 到 方 程 的 通 解 y=ce x3. 4 二 节 可 以 验 证 C= 时 y= 也 是 原 方 程 的 解, 因 此 4 式 中 的 C 可 设 为 任 意 常 数. 解 方 程 中, 如 果 后 出 现 对 数, 理 应 作 类 似 上 述 的 讨 论. 为 方 便 起 见, 常 常 作 如 下 简 化 处 理. 以 例 为 例 叙 述 如 下 : 离 变 量 后 得 dy y =3x dx, 63 可 离 变 量 的 微 方 程

118 两 边 得 lny=x 3 +lnc=lnce x3, 故 通 解 为 y=ce x3, 其 中 C 为 任 意 常 数. 例 3 求 微 方 程 e x cosydx+(+e x )sinydy= 满 足 y x= = π 的 特 解. 4 解 方 程 变 形 后 离 变 量 得 - siny ex dy= dx, cosy +e x 两 边, 得 lncosy=ln(+e x )+lnc, 于 是 得 通 解 为 由 初 始 条 件 y 故 所 求 特 解 为 x= = π 4, 得 C= 4, cosy=c(+e x ). (+e x )secy=. 二 齐 次 方 程 下 面 介 绍 一 种 可 化 为 可 离 变 量 的 一 阶 微 方 程. 形 如 dy dx =f y x 5 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 的 微 方 程 称 为 齐 次 方 程. 例 如,(x+y)dx+(y-x)dy= 是 齐 次 方 程, 因 为 + y dy dx =x+y x-y = x - y. x 在 齐 次 方 程 5 中, 引 进 新 的 未 知 函 数 u, 令 u= y x, 则 代 入 方 程 5, 得 64 y=ux, dy dx =u+xdu dx.

119 u+x du dx =f(u), 离 变 量, 得 两 端 别 后 再 用 du f(u)-u = x dx, y 代 回 u, 便 得 到 方 程 5 的 通 解. x 例 4 求 微 方 程 xy =y+xcos y x 的 通 解. 解 将 方 程 变 形 为 齐 次 方 程 的 形 式 : 令 u= y x, 则 方 程 化 为 dy dx = y x +cos y x, 离 变 量 后, 得 两 边, 得 u+x du dx =u+cos u, du cos u =dx x, tnu=ln x +C, 以 u= y x 代 回, 得 通 解 令 tn y x =ln x +C. 例 5 求 微 方 程 (x +y )dx=xydy 满 足 初 始 条 件 y 解 方 程 可 变 形 为 齐 次 方 程 的 形 式 : u= y x, 则 方 程 化 为 dy dx =y +x xy = y x y x +, x= = 的 特 解. 二 节 可 离 变 量 的 微 方 程 65

120 化 简 后 离 变 量, 得 两 边, 得 u+x du dx =u + u, u u - du=-dx x, ln(u -)=-lnx+lnc=ln C x, 即 u -= C x, 以 u= y x 代 回, 得 通 解 y -x =Cx. 将 初 始 条 件 y = 代 入 通 解, 得 C=3. x= 于 是, 得 到 方 程 的 特 解 y -x =3x. 思 考 题 7- 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用. dy dx =f(x)+g(x) 是 可 离 变 量 的 微 方 程 吗?. 用 离 变 量 法 求 出 方 程 y sinx=ylny 的 通 解. 验 证 y= 是 方 程 的 解, 并 析 在 求 解 过 程 中 它 与 通 解 中 任 意 常 数 C 的 关 系. 3. 求 解 方 程 y =y 时, 下 列 哪 种 解 法 正 确? 析 错 误 解 法 的 原 因 所 在. 解 法 一 解 法 二 离 变 量, 得 两 端, 得 于 是, 得 通 解 解 法 三 两 端, 得 于 是, 得 通 解 66 方 程 两 端, 得 通 解 方 程 为 dy dx =y, dy 由 y =dx, y=y +C; dy y =dx, lny=x+c, y=e x +C; lny=x+c, y=ce x ;

121 解 法 四 dy 由 y =dx, 两 端, 得 lny=x+lnc=lnce x, 于 是, 得 通 解 4. 给 方 程 y = y x +φ x y, 求 φ x y y=ce x 使 方 程 有 通 解 y= x lncx (C 为 任 意 常 数 ). 习 题 7-. 求 下 列 微 方 程 的 通 解 : ()y =x(+y ); (3)yy -e y +3x =; ()(xy+x 3 y)dy=(+y )dx; (4)sinxdy=ycosxdx; (5)(x+)y +=e -y ; (6)y = y x +tn y x ; (7)y dx+(x -xy)dy=; (8)xy =y(+lny-lnx).. 求 满 足 下 列 初 始 条 件 的 微 方 程 的 特 解 : ()y-xy =b(-x y ), y x= =; ()ydx=(x-)dy, y x= =; (3)sec xtnydx+sec ytnxdy=, y = π 4. x= π 4 三 节 一 阶 线 性 微 方 程 一 一 阶 线 性 微 方 程 形 如 dy dx +P(x)y=Q(x) 的 方 程 ( 其 中 P(x),Q(x) 是 x 的 已 知 函 数 ) 称 为 一 阶 线 性 微 方 程,Q(x) 称 为 自 由 项. 如 果 Q(x), 方 程 变 为 dy dx +P(x)y=. 方 程 称 为 一 阶 线 性 齐 次 微 方 程 ; 如 果 Q(x) 不 恒 为 零 时, 方 程 称 为 一 阶 线 性 非 齐 次 微 方 程, 并 称 方 程 为 对 应 于 线 性 非 齐 次 方 程 的 线 性 齐 次 微 方 程. 67 三 节 一 阶 线 性 微 方 程

122 一 阶 线 性 齐 次 微 方 程 是 可 离 变 量 的 方 程, 离 变 量 得 两 边, 得 dy y =-P(x)dx, lny=- P(x)dx+lnC, 故 y=ce - P(x)dx. 3 式 是 线 性 齐 次 方 程 的 通 解. 为 了 书 写 方 便, 约 以 后 不 符 号 只 表 示 被 函 数 的 一 个 原 函 数, 如 符 号 P(x)dx 是 P(x) 的 一 个 原 函 数. 现 在 来 析 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 解. 设 y=y(x) 是 的 解, 那 么 dy y =-P(x)dx+Q(x) y dx, 由 于 y 是 x 的 函 数, Q(x) 也 是 x 的 函 数, 两 边 得 y 因 此 lny=- P(x)dx+ Q(x) y dx, 3 y=e Q(x) y dx e - P(x)dx, 因 为 e Q(x) y dx 也 是 x 的 函 数, 用 C(x) 表 示, 所 以 y=c(x)e - P(x)dx. 4 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 由 此 可 以 设 想 方 程 的 解 具 有 4 的 形 式, 其 中 C(x) 是 待 的 函 数. 由 于 4 是 方 程 的 解, 代 入 方 程, 得 C (x)e - P(x)dx -P(x)C(x)e - P(x)dx +P(x)C(x)e - P(x)dx =Q(x), 即 C (x)=q(x)e P(x)dx, 两 边, 得 C(x)= Q(x)e P(x)dx dx+c, 68

123 因 此, 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 为 y=e - P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx+c. 5 这 种 把 对 应 的 齐 次 方 程 通 解 中 的 常 数 C 变 换 为 待 函 数 C(x), 然 后 求 得 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 5 的 方 法, 称 为 常 数 变 易 法. 将 5 式 改 写 成 两 项 之 和 y=ce - P(x)dx +e - P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx. 不 难 看 出, 上 式 右 端 一 项 是 对 应 的 线 性 齐 次 方 程 的 通 解, 二 项 是 线 性 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解 ( 在 方 程 的 通 解 5 中 取 C=, 便 得 到 这 个 特 解 ). 由 此 可 见, 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 等 于 对 应 的 线 性 齐 次 方 程 的 通 解 与 线 性 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解 之 和. 在 六 节 中, 我 们 将 会 看 到 这 是 线 性 非 齐 次 方 程 通 解 的 结 构. 例 求 微 方 程 (cosx)y +(sinx)y= 的 通 解. 解 原 方 程 即 y +(tnx)y=secx. 解 一 用 常 数 变 易 法. 先 求 y +(tnx)y= 的 通 解. 离 变 量 得 两 边, 得 故 变 换 常 数 C, 令 y=c(x)cosx, 则 dy y =-tnxdx, lny=lncosx+lnc, y=c cosx. y =C (x)cosx-c(x)sinx, 把 y,y 代 入 原 方 程, 得 [C (x)cosx-c(x)sinx]+c(x)cosxtnx=secx, 整 理 得 C (x)=sec x, 于 是 C(x)=tnx+C. 把 C(x)=tnx+C 代 入 所 令 的 y=c(x)cosx 中, 得 到 该 非 齐 次 方 程 的 通 解 69 三 节 一 阶 线 性 微 方 程

124 y=(tnx+c)cosx. 解 二 利 用 通 解 公 式 5 求 解, 这 时 必 须 把 方 程 化 成 的 形 式. 有 P(x)= tnx,q(x)=secx. 故 y=e - P(x)dx =e - tn xdx secxe Q(x)e P(x)dx dx+c tn xdx dx+c =e lncos x secxe - lncosx dx+c =cosx sec xdx+c =(tnx+c)cosx. 解. 例 解 求 微 方 程 x dy+(xy-x+)dx= 满 足 初 始 条 件 y 将 原 方 程 变 形 为 dy dx + x y=x- x. 这 是 一 个 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程, 先 求 相 应 的 齐 次 方 程 x= = 的 特 dy dx + x y= 的 通 解. 用 离 变 量 法 得 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 用 常 数 变 易 法, 令 y= C(x) x, 有 把 y 和 y 代 入 原 方 程, 并 化 简 得 两 端 得 所 以 原 方 程 的 通 解 为 7 y= C x, y = C (x) - C(x), x x 3 C (x)=x-, C(x)= x -x+c,

125 y= x x -x+c = - x +C x. 把 初 始 条 件 y 故 所 求 方 程 的 特 解 为 x= =, 代 入 上 式, 得 C=, y= - x + x. 例 3 求 微 方 程 ydx+(y -3x)dy= 的 通 解. 解 方 程 变 形 为 dy dx = y 3x-y, 既 不 是 可 离 变 量 方 程, 又 不 是 齐 次 方 程, 也 不 是 一 阶 线 性 方 程. 但 如 果 把 x=x (y) 看 成 未 知 函 数, 则 方 程 就 是 关 于 未 知 函 数 x(y) 的 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 把 公 式 5 中 的 x 与 y 对 调, 得 方 程 通 解 dx dy -3 y x=-y, x e y dy -ye - 3 y dy dy+c =y 3 - y dy+c =y 3 y +C =y +Cy 3. 二 伯 努 利 方 程 形 如 dy dx +P(x)y=Q(x)yn (n,) 6 的 方 程 称 为 伯 努 利 (Bernouli) 方 程. 当 n= 或 n= 时, 伯 努 利 方 程 退 化 为 线 性 方 程, 当 n, 时, 伯 努 利 方 程 不 是 线 性 方 程, 求 解 方 法 是 通 过 变 量 代 换, 把 方 程 化 为 线 性 方 程. 事 实 上, 以 y n 除 伯 努 利 方 程 的 两 端, 得 由 于 y - ndy dx = d -n 伯 努 利 方 程 化 为 dx y - n y - ndy dx +P(x)y -n =Q(x),, 因 此 令 z=y - n, 则 dz -ndy dx =(-n)y dx, y-ndy dx = dz -n dx, 7 三 节 一 阶 线 性 微 方 程

126 dz dx +(-n)p(x)z=(-n)q(x), 这 是 关 于 未 知 函 数 z 的 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程. 求 出 通 解 后, 再 以 y - n 代 z, 便 得 到 了 伯 努 利 方 程 的 通 解. 例 4 解 方 程 y +xy=y e x. 解 这 是 n= 的 伯 努 利 方 程. dz 令 z=y -, 则 dx =-y-dy dx, 代 入 方 程, 得 dz dx -xz=-ex, 这 是 未 知 函 数 为 z 的 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程. 利 用 公 式 5 解 得 z=e - -xdx =e x (C-x). 将 z=y - 代 回, 得 原 方 程 的 通 解 为 或 -e x e -xdx dx+c y= e x (C-x) e x (C-x)y=. 上 节 的 齐 次 方 程 是 采 用 变 量 代 换 化 为 可 离 变 量 的 方 程 求 解 的, 伯 努 利 方 程 也 是 通 过 变 量 代 换 化 为 一 阶 线 性 方 程 求 解 的. 可 见, 变 量 代 换 是 求 解 微 方 程 的 一 种 重 要 方 法. 例 5 求 方 程 y =(x-y) 的 通 解. 解 方 程, 得 该 方 程 不 是 前 面 讲 过 的 类 型, 但 如 果 令 u=x-y, 则 y =-u. 代 入 原 u =-u. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 这 是 一 个 可 离 变 量 的 方 程, 离 变 量 得 两 边, 得 即 7 du -u =dx, ln+u -u =x+ lnc, +u -u =Cex. +x-y 用 u=x-y 代 回, 得 原 方 程 的 通 解 为. -x+y =Cex

127 例 6 解 方 程 y cosy+siny=x+. 解 令 siny=u, 则 y cosy=u, 原 方 程 化 为 u +u=x+. 这 是 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程. 利 用 公 式 5 解 得 u e - dx (x+)e dx dx+c =x+ce - x. 将 u=siny 代 回, 得 原 方 程 的 通 解 为 siny=x+ce - x. 思 考 题 7-3. 教 材 中 是 利 用 离 变 量 法 求 解 一 阶 线 性 齐 次 方 程 y +P(x)y= 的, 请 你 用 观 察 猜 解, 然 后 代 入 验 证 的 方 法 研 究 方 程, 并 思 考 其 一 般 意 义.. 写 出 以 x(y) 为 未 知 函 数 的 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 公 式, 并 求 解 下 列 方 程 : ()y = xcosy+siny ; ()(x 3 +e y )y =3x. 3. 别 用 常 数 变 易 法 和 求 解 伯 努 利 方 程 的 方 法 求 解 方 程 y + y x =x y 4. 解. 4. 设 y=e x 是 方 程 xy +P(x)y=x 的 一 个 特 解, 求 此 方 程 满 足 初 始 条 件 y x=ln = 的 特. 求 下 列 一 阶 线 性 微 方 程 的 通 解 : ()y -xy=e x cosx; (3)(x-)y =y+(x-) 3 ; (5)(x-y e y )y -y=; 习 题 7-3. 求 下 列 微 方 程 满 足 初 始 条 件 的 特 解 : ()y +y=3, y x= =; ()y -ytnx= cosx, y =; x= (3)(t+) dx dt +x=e-t, x t= (4) di dt +R L i=e L, i =. t= 3. 求 下 列 微 方 程 的 通 解 : ()xy =y+ x lnx ; (4)(x -)y +xy-cosx=; (6)y dx-(xy+)dy=. =; 73 三 节 一 阶 线 性 微 方 程

128 ()y +xy=x 3 y 3 ; ()y =4 y +x y. x 4. 求 下 列 微 方 程 的 通 解 : ()(x+y) dy dx = ; () dy dx = y x + y tny x. 四 节 一 阶 微 方 程 的 应 用 举 例 前 三 节 讨 论 了 几 种 常 用 的 一 阶 微 方 程 的 解 法, 本 节 举 例 说 明 一 阶 微 方 程 在 几 何 物 理 等 方 面 的 一 些 应 用. 建 立 微 方 程 解 决 实 际 问 题, 通 常 称 为 建 立 该 问 题 的 微 方 程 模 型, 首 先 要 把 语 言 叙 述 的 事 物 间 的 关 系, 通 过 建 立 坐 标 系 选 择 自 变 量 和 因 变 量 明 确 该 问 题 中 未 知 函 数 导 数 的 实 际 意 义 运 用 有 关 学 科 的 基 本 知 识 ( 常 借 助 于 已 知 的 几 何 物 理 律 ), 或 利 用 微 元 法 转 化 为 含 有 未 知 函 数 的 导 数 的 等 量 关 系, 即 微 方 程. 如 果 实 际 问 题 中, 还 有 一 些 特 的 条 件 或 具 有 初 始 状 态, 这 是 确 特 解 的 解 条 件, 在 建 立 微 方 程 时 是 不 可 缺 少 的 一 步. 下 面 通 过 例 题 加 以 说 明. 例 过 曲 线 L 上 任 意 一 点 P(x,y)(x>,y>) 作 PQ 垂 直 于 x 轴,PR 垂 直 于 y 轴, 作 曲 线 L 的 切 线 PT 交 x 轴 于 T 点, 要 使 矩 形 面 OQPR 与 三 角 形 PTQ 有 相 同 的 面, 求 曲 线 L 的 方 程. 解 设 曲 线 L 的 方 程 为 y=y(x), 由 于 曲 线 L 上 任 一 点 P(x,y) 的 切 线 都 与 x 轴 相 交, 因 此 函 数 y(x) 的 导 数 保 持 同 一 个 符 号,y=y(x) 的 图 像 如 图 7-3 所 示. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 74 矩 形 的 面 S OQPR =xy. 图 7-3 当 y > 时,S ΔPTQ = y ycotα= y y,

129 所 以 y y =xy, 即 y = y x, 解 得 曲 线 L 的 方 程 y=c x. 当 y < 时,S ΔPTQ = y ycot(π-α)=- y y, 所 以 - y y =xy, 即 y =- y x, 解 得 曲 线 L 的 方 程 y= C x. 例 已 知 一 种 放 射 性 材 料 的 衰 减 速 度 与 质 量 成 正 比. 若 最 初 有 5mg 的 材 料,5 小 时 后 减 少 了 %. 试 求 : () 任 何 时 刻 t, 该 放 射 性 材 料 质 量 的 表 达 式 ; () 该 放 射 性 材 料 的 半 衰 期. 解 设 材 料 的 质 量 为 m, 则 m=m(t). () 依 题 意 dm dt =-km (k 为 比 例 系 数 ), 这 是 线 性 的, 也 是 可 离 变 量 的 微 方 程. 由 题 设 知 离 变 量 后, 得 m=ce -kt. t= 时,m=5, 代 入 式, 得 C=5, 于 是 m=5e - kt, 又 知 t=5 时,m=5-5 % =4, 代 入, 得 k= 5 ln5 4.45, 所 以, 该 放 射 性 材 料 在 任 何 时 刻 t 的 质 量 为 其 中 t 以 小 时 计. m=5e -.45t, () 衰 减 材 料 的 质 量 减 到 最 初 的 一 半 所 需 的 时 间 称 为 半 衰 期. 将 m=5 代 入 3, 解 得 即 为 该 放 射 性 材 料 的 半 衰 期. 例 3 t=5.4 ( 小 时 ) 有 高 为 m 的 半 球 形 容 器, 水 从 它 底 部 小 孔 流 出, 小 孔 横 截 面 为 cm ( 图 7-4), 开 始 时 容 器 盛 满 水, 求 水 从 小 孔 流 出 过 程 中 容 器 里 水 面 的 高 度 h( 水 面 与 孔 口 中 心 间 的 距 离 ) 与 时 间 t 的 函 数 关 系 ( 已 知 水 从 孔 口 流 出 t 秒 时 的 3 75 四 节 一 阶 微 方 程 的 应 用 举 例

130 dv 流 速 dt =.6S ). 析 gh, 其 中 V 为 水 从 孔 口 流 出 t 秒 的 体,S 为 孔 口 横 截 面 面 dv 据 已 知 dt =.6S gh, 因 此 只 dv 要 再 求 得 V 与 h 的 关 系 式, 两 边 求 导, 消 去 dt 便 可 得 到 h 与 t 间 的 微 方 程. 解 一 设 时 刻 t 水 面 的 高 度 h=h(t). 由 于 开 始 时 容 器 盛 满 了 水, 所 以 t 秒 后 流 出 的 水 的 体 V=V 半 球 -V 球 缺 = π 3 ()3 - πh 3 (3 -h), 则 又 由 dv dt =.6S dv dt =-πh(-h)dh dt, gh, 得 图 7-4.6S ghdt=-π(h-h )dh, 4 且 对 方 程 4 离 变 量, 得 h t= =, 两 边, 得 方 程 4 的 通 解 dt=- π.6 g h -h 3 dh, 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 将 h t= 解 二 t=- π 4.6 g 3 h3-5 h5 +C. 5 = 代 入 5 式 求 得 C, 并 有 t= π 4.65 g h h. 6 在 解 一 中, 为 了 得 到 V 的 表 达 式, 必 须 计 算 球 台 的 体, 这 在 一 般 的 情 况 下 计 算 量 比 较 大. 而 微 元 法 是 建 立 微 方 程 的 一 种 常 用 而 又 简 便 的 方 法, 下 面 用 微 元 法 解 这 个 题 目. 76

131 设 时 间 从 t 到 t+dt 这 一 小 段 时 间 间 隔, 水 面 高 度 由 h 降 至 h+dh(dh<), 则 可 得 到 流 出 的 水 的 体 微 元 dv=-πr dh, 7 其 中 r 是 时 刻 t 的 水 面 半 径 ( 图 7-4), 右 端 置 负 号 是 由 于 dh< 而 dv> 的 缘 故. 又 由 于 r =() -(-h) =h-h, 所 以 7 式 即 dv=-π(h-h )dh, 8 将 8 式 代 入 已 知 条 件 dv dt =.6S gh, 得.6S ghdt=-π(h-h )dh, 即 解 一 得 到 的 方 程 4. 以 下 解 方 程 参 照 解 一, 不 再 重 复. 求 得. 如 果 要 求 容 器 内 的 水 全 部 流 出 的 时 间, 只 需 令 h=, 代 入 6 式 和 5 式 即 可 下 面 再 举 一 个 用 微 元 法 建 立 微 方 程 的 例 子. 例 4 某 车 间 容 为 m 3, 在 生 产 过 程 中 部 CO 扩 散 在 车 间 内, 车 间 内 空 气 中 的 CO 的 百 比 含 量 稳 在.%, 现 用 一 台 风 量 为 m 3 /min 的 鼓 风 机 通 入 含 有.4% 的 CO 的 新 鲜 空 气. 在 通 入 空 气 与 原 有 空 气 混 合 均 匀 后, 设 有 相 同 风 量 的 空 气 从 车 间 排 去, 问 鼓 风 机 开 动 min 后, 车 间 内 空 气 的 CO 的 百 比 含 量 将 降 到 多 少? 解 设 鼓 风 机 开 动 t 钟 后, 车 间 内 空 气 的 CO 的 百 比 含 量 为 x%, 经 过 dt 时 间 间 隔 后,CO 的 百 比 含 量 微 元 为 dx%. 据 题 意, 整 个 车 间 在 dt 这 段 时 间 内 CO 的 含 量 微 元 =CO 的 通 入 量 微 元 -CO 的 排 出 量 微 元, 9 由 假 设, CO 的 含 量 微 元 =dx% 又 CO 的 通 入 量 微 元 =.4%dt, 瑏 瑡 计 算 CO 的 排 出 量 微 元 时, 虽 然 CO 的 百 比 含 量 是 连 续 变 化 的, 由 于 dt 是 很 小 的 正 数, 因 此 在 [t,t+dt] 这 段 时 间 内,CO 的 百 比 含 量 可 以 看 成 x%, 从 而 CO 的 排 出 量 微 元 = x%dt, 瑏 瑢 将, 瑏 瑡, 瑏 瑢 三 式 代 入 9 式, 得 微 方 程 四 节 一 阶 微 方 程 的 应 用 举 例 77

132 dx=(.4-x)dt, 即 dx=(.4-x)dt, 瑏 瑣 又 据 题 意, 有 初 始 条 件 x t= =., 方 程 瑏 瑣 的 通 解 为 x=.4-ce - t, 代 入 x t= =., 得 C=-.8, 于 是 x=.4+.8e - t, 瑏 瑤 当 t= 时, x=.4+.8e -.694, 即 min 后, 车 间 内 空 气 中 的 CO 的 百 比 含 量 降 到.694%, 由 瑏 瑤 式 可 以 看 到, 随 t 的 增 大 车 间 内 空 气 中 的 CO 的 含 量 趋 向 于.4%. 例 5 设 R-C 电 路 如 图 7-5 所 示, 其 中 电 阻 R 和 电 容 C 均 为 正 常 数, 电 源 电 动 势 为 E, 如 果 开 关 K 合 上 (t=) 时, 电 容 两 端 的 电 压 u C =, 试 求 开 关 合 上 后 电 压 u C 与 时 间 t 的 函 数 关 系. 解 由 电 学 知 道, 闭 合 回 路 中 电 源 电 压 等 于 外 电 路 上 各 段 电 压 之 和, 即 E=u R +u C, 电 阻 两 端 的 电 压 u R =Ri, 其 中 R 为 电 阻 ( 常 数 ),i 图 7-5 =i(t) 为 电 路 中 的 电 流, 电 容 两 端 的 电 压 u C =u C (t) 满 足 Q=Cu C, 其 中 C 为 电 容 ( 常 数 ). 注 意 到 电 流 i 是 电 量 Q 对 时 间 t 的 变 化 率, 即 i= dq dt, 所 以,i=C du C dt,u R =Ri=RC du C dt. 于 是 可 得 u C 满 足 的 微 方 程 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 且 u C 满 足 初 始 条 件 :u C t= =. 下 面 对 两 种 不 同 的 电 源 进 行 讨 论. RC du C dt +u C =E, () 直 流 电 源 这 时 电 源 电 压 E 为 常 数, 方 程 瑏 瑥 是 可 离 变 量 的 方 程, 也 是 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程, 其 通 解 为 u C (t)=e - dt RC E RC e dt RC dt+c =E+Ce - t RC. 瑏 瑥 78

133 代 入 初 始 条 件 得 C=-E, 于 是 u C (t)=e -e - t RC. 由 于 lim e - t RC =, 所 以 当 t 增 大 时, 电 容 电 压 u C 逐 渐 增 大, 经 过 一 段 时 间 逐 步 接 t? + 近 电 源 电 压 E. () 交 流 电 源 设 电 源 电 压 E=E m sinωt, 其 中 E m 与 ω 都 是 常 数, 方 程 瑏 瑥 是 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程, 它 的 通 解 - RC dt u C (t)=e =e - 查 表 t RC E m RC sinωte dt RC dt+c E m RC e t RC sinωtdt+c E m +(RCω) (sinωt-rcωcosωt)+ce - t RC. 代 入 初 始 条 件 u C t= =, 得 C= E m RCω +(RCω), 于 是 u C (t)= E m (sinωt-rcωcosωt)+ E mrcω e - +(RCω) +(RCω) t RC. 瑏 瑦 为 了 便 于 说 明 瑏 瑦 式 所 反 映 的 物 理 现 象, 把 瑏 瑦 式 的 一 项 的 形 式 变 形 如 下 : 令 cosφ= 则 瑏 瑦 式 可 写 成, sinφ= RCω, +(RCω) +(RCω) u C (t)= E m sin(ωt-φ)+ E mrcω e - +(RCω) +(RCω) t RC. 当 t 增 大 时, 上 式 二 项 就 会 逐 渐 变 小 而 趋 于 零 ( 称 作 暂 态 电 压 ), 从 而 电 容 电 压 主 要 由 一 项 正 弦 函 数 ( 称 作 稳 态 电 压 ) 决, 它 的 周 期 和 电 源 电 动 势 的 周 期 相 同 而 相 位 落 后 φ.u C 的 这 段 变 化 过 程 称 作 过 渡 过 程, 它 是 电 子 技 术 中 常 见 的 现 象. 思 考 题 7-4. 总 结 微 元 法 建 立 微 方 程 的 思 想 方 法, 利 用 微 元 法 求 解 下 列 问 题 : () 容 器 内 盛 有 浓 度 为.5g/L 的 盐 水 L, 若 以 3L/min 的 流 速 向 容 器 内 注 入 浓 度 为 g/l 的 新 盐 水, 同 时 在 充 混 合 后 以 L/min 的 速 度 将 混 合 液 排 出 容 器 外, 问 3min 后 容 器 内 含 盐 多 少 g? 79 四 节 一 阶 微 方 程 的 应 用 举 例

134 的 水 量 为 () 某 湖 泊 的 水 量 为 V, 每 年 排 入 湖 泊 内 含 污 染 物 A 的 污 水 量 为 V 6, 流 入 湖 泊 内 不 含 A V 6, V 流 出 湖 泊 的 水 量 为 3. 已 知 999 年 底 湖 水 中 A 的 含 量 为 5m, 超 过 国 家 规 指 标. 为 治 理 污 染, 从 年 初 起, 限 排 入 湖 泊 中 含 A 污 水 的 浓 度 不 超 过 m V. 问 至 多 需 要 经 过 多 少 年, 湖 泊 中 污 染 物 A 的 含 量 降 至 m 以 内 ( 设 湖 水 中 A 的 浓 度 是 均 匀 的 ). 方 程. 习 题 7-4. 一 曲 线 通 过 点 (,3), 它 在 两 坐 标 轴 间 的 任 意 切 线 段 均 被 切 点 所 平, 求 这 条 曲 线 的. 降 落 伞 张 开 后 下 降, 设 所 受 空 气 阻 力 与 降 落 伞 的 下 降 速 度 成 正 比 例, 且 伞 张 开 时 (t=) 的 速 度 为, 求 降 落 伞 下 降 速 度 v 与 时 间 t 的 函 数 关 系. 3. 由 曲 线 y=y(x) 上 任 意 一 点 引 法 线, 它 在 y 轴 上 的 截 距 等 于 该 点 到 坐 标 原 点 的 距 离, 求 曲 线 方 程. 4. 假 某 物 体 在 空 气 中 冷 却 速 度 与 物 体 和 空 气 温 度 的 差 成 正 比 例. 试 解 以 下 问 题 : 如 果 空 气 的 温 度 为, 一 个 物 体 在 min 之 内 由 冷 却 至 6, 求 物 体 的 冷 却 规 律 及 由 冷 却 至 3 所 需 的 时 间. 5. 有 一 条 R-L 电 路, 由 一 个 R=Ω 的 电 阻, 一 个 H 的 电 感 和 一 个 EV 的 电 源 连 同 开 关 K 串 联 起 来, 如 图 7-6. 在 t= 时 开 关 闭 合, 此 时 电 流 i=, 若 E=5sin5t, 求 t> 时 的 电 流 i(t). 6. 质 量 为 g 的 质 点 受 外 力 作 用 作 直 线 运 动, 这 外 力 的 大 小 和 时 间 成 正 比 例, 和 质 点 运 动 的 速 度 成 反 比 例, 在 t=s 时, 速 度 为 5cm/s, 外 力 为 4-5 N, 问 质 点 运 动 min 后 的 速 度 是 多 少? 图 一 潜 艇 质 量 为 m, 由 静 止 开 始 沉 入 水 中, 下 沉 时 的 阻 力 与 下 沉 的 速 度 成 正 比, 求 潜 艇 下 沉 的 深 度 与 时 间 的 函 数 关 系. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 五 节 可 降 阶 的 高 阶 微 方 程 高 阶 微 方 程 是 指 二 阶 及 二 阶 以 上 的 微 方 程. 一 般 而 言, 高 阶 微 方 程 求 解 更 为 困 难, 而 且 没 有 普 遍 适 用 的 解 法. 本 节 介 绍 几 种 在 应 用 中 较 常 见 的 可 用 降 阶 法 求 解 的 高 阶 微 方 程. 一 y (n) =f(x) 型 的 微 方 程 微 方 程 y (n) =f(x) 8

135 的 右 端 是 仅 含 x 的 函 数, 方 程 只 要 通 过 连 续 n 次 就 可 以 得 到 通 解. 例 求 微 方 程 y =sinx+e x 的 通 解. 解 逐 项, 得 y =-cosx+ ex +C, y =-sinx+ 4 ex +C x+c, y=cosx+ 8 ex + C x +C x+c 3. 二 y =f(x,y ) 型 的 微 方 程 微 方 程 y =f(x,y ) 的 特 点 是 不 明 显 含 有 未 知 函 数 y 的 二 阶 方 程, 方 程 的 解 法 是 : 令 y =p(x)(p(x) 为 新 的 未 知 函 数 ), 则 y = dp dx, 代 入 原 方 程 得 到 一 个 关 于 变 量 x 与 p 的 一 阶 微 方 程 dp dx =f(x,p). 3 设 3 的 通 解 为 p=φ(x,c ), 即 4 的 两 边 再, 得 方 程 的 通 解 dy dx =φ(x,c ), 4 y= φ(x,c )dx+c. 例 求 微 方 程 (+x )y +xy = 的 通 解. 解 令 y =p, 则 y =p, 代 入 原 方 程 有 (+x )p +xp=. 这 是 可 离 变 量 的 微 方 程, 离 变 量, 得 两 边, 得 dp x =- p +x dx, 8 五 节 可 降 阶 的 高 阶 微 方 程

136 p= C +x, 即 y = C +x, 再 次 得 到 方 程 的 通 解 y=c rctnx+c. 三 y =f(y,y ) 型 的 微 方 程 微 方 程 y =f(y,y ) 5 的 特 点 是 不 明 显 含 有 自 变 量 x 的 二 阶 方 程, 其 解 法 是 : 令 y =p, 并 将 y 看 作 自 变 量, 则 y = dp dx =dp dy dy dx =pdp dy, 代 入 原 方 程 后 降 阶 为 关 于 p 与 y 的 一 阶 微 方 程 p dp dy =f(y,p). 6 设 6 的 通 解 为 dy p=φ(y,c ), 即 dx =φ(y,c ), 离 变 量, 得 dy φ(y,c ) =dx, 再, 得 方 程 5 的 通 解 为 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 dy φ(y,c ) =x+c. 例 3 求 微 方 程 y + y e y y -y(y ) = 满 足 初 始 条 件 x= - e 时, y=,y =e 的 特 解. 8 解 令 y =p, 则 y =p dp dy, 代 入 原 方 程, 可 将 方 程 化 为 p dp dy + y e y -yp =,

137 于 是 有 p= 或 dp dy + y e y -yp=, dy 因 为 p= 即 dx = 不 满 足 初 始 条 件, 舍 去. 而 是 一 个 一 阶 线 性 非 齐 次 微 方 程, 解 得 dp dy -yp=- y e y p=e y - y ey e -y dy+c =e y y +C, 即 将 初 始 条 件 y 所 以 即 两 边 后 得 x= - e =,y dy dx =ey y +C. x= - e =e 代 入 得 C =, dy dx = y ey, ye - y dy=dx, - e- y =x+c, 将 初 始 条 件 y x= - e = 代 入 得 C =, 于 是 所 求 方 程 的 特 解 为 x=- e- y. 思 考 题 7-5. 比 较 y =f(x,y ) 型 与 y =f(y,y ) 型 微 方 程 求 解 方 法 的 异 同.. 对 于 求 解 f(y,y )= 型 既 不 显 含 x 也 不 显 含 y 的 方 程, 作 代 换 y =p 时, 是 选 择 y = p, 还 是 y =p dp dy? 请 别 用 两 种 代 换 方 法 求 解 方 程 y =+(y ), 并 做 出 比 较 析. 3. 设 y=y(x) 是 一 条 凸 曲 线, 其 上 任 一 点 (x,y) 处 的 曲 率 为 (,) 处 的 切 线 方 程 为 y=x+, 求 该 曲 线 方 程, 并 求 函 数 y=y(x) 的 极 值. +(y ), 且 此 曲 线 上 点 83 五 节 可 降 阶 的 高 阶 微 方 程

138 4. 利 用 降 阶 的 思 想 方 法, 试 求 解 三 阶 微 方 程 y - x y =. 习 题 7-5. 求 下 列 微 方 程 的 通 解 : ()y =lnx; ()y +y tnx=sinx; (3)(-x )y -xy =; (4)xy +y =+x; (5)yy +(y ) =; (6)y =+(y ).. 求 下 列 微 方 程 满 足 初 始 条 件 的 特 解 : ()y -e y y =, ()y +(y ) =, y y =, y = ; x= x= =, y =; x= x= (3)(+x )y +xy =, y =, y =. x= x= 六 节 二 阶 线 性 微 方 程 解 的 结 构 在 本 章 八 节 将 看 到, 力 学 电 工 学 及 工 程 中 有 不 少 实 际 问 题 的 数 学 模 型 都 是 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程. 对 于 一 般 的 二 阶 线 性 微 方 程 的 求 解, 无 法 用 前 面 的 降 阶 方 法. 下 面 析 它 的 解 的 性 质 和 通 解 结 构, 结 论 可 推 广 到 n 阶 线 性 方 程, 并 在 七 节 给 出 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程 的 解 法. 一 线 性 齐 次 微 方 程 解 的 结 构 二 阶 线 性 微 方 程 的 一 般 形 式 为 y +p(x)y +q(x)y=f(x), 其 中 p(x),q(x),f(x) 是 x 的 已 知 函 数. 如 果 f(x), 方 程 变 为 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 y +p(x)y +q(x)y=, 称 方 程 为 二 阶 线 性 齐 次 方 程 ; 如 果 f(x), 称 方 程 为 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程, 并 称 方 程 为 对 应 于 线 性 非 齐 次 方 程 的 线 性 齐 次 方 程 ; 如 果 系 数 p(x), q(x) 都 是 常 数, 称 方 程, 为 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程. 理 若 y,y 是 二 阶 线 性 齐 次 微 方 程 的 两 个 解, 则 y=c y +C y 也 是 方 程 的 解, 其 中 C,C 为 任 意 常 数. 理 可 以 通 过 y=c y +C y 代 入 进 行 验 证, 这 留 给 读 者 自 己 练 习. 但 84

139 必 须 指 出, 理 仅 指 出 y=c y +C y 是 线 性 齐 次 方 程 的 解, 由 于 两 个 任 意 常 数 C,C 未 必 是 独 立 的, 所 以 y=c y +C y, 有 可 能 不 是 的 通 解. 为 了 检 验 常 数 C,C 是 否 独 立, 以 确 y=c y +C y 是 不 是 的 通 解, 下 面 介 绍 函 数 的 线 性 相 关 概 念. 义 设 函 数 y,y,,y n 是 义 在 区 间 I 内 的 n 个 函 数, 若 存 在 n 个 不 全 为 零 的 常 数 K,K,,K n 使 在 I 内 K y +K y + +K n y n, 则 称 这 n 个 函 数 在 I 内 线 性 相 关, 否 则 称 这 n 个 函 数 在 I 内 线 性 无 关. 对 函 数 y =cosx,y = 3 cosx, 我 们 可 取 K =,K =-3, 则 在 R 内 cosx +(-3) 3 cosx. y 因 此 y 与 y 线 性 相 关 且 可 以 看 到 =3 是 一 个 常 数. 一 般 y 地, 当 两 个 函 数 y 与 y 在 I 内 线 性 相 关 时,x I, 设 有 其 中 K,K 不 全 为, 不 妨 设 K, 则 K y +K y, y y =- K K =K, 即 y,y 之 比 为 一 个 常 数 ; 反 之 若 它 们 的 比 在 I 内 恒 为 常 数, 则 它 们 在 I 内 线 性 相 关. 这 就 为 我 们 提 供 了 判 断 两 个 函 数 在 区 间 内 是 否 线 性 相 关 的 一 种 简 便 方 法. y 例 如 函 数 y =3e 3x,y =3e x, 因 为 = 3e3x =ex 不 恒 为 常 数, 所 以 y x y 与 y 在 3e R 内 线 性 无 关. 性 相 关. 理. y 又 如 函 数 y =9x+3,y =3x+, 因 为 = 9x+3 y 3x+ =3, 因 此 y 与 y 在 R 内 线 至 此, 我 们 在 理 的 基 础 上, 可 以 得 到 二 阶 线 性 齐 次 方 程 的 通 解 结 构 理 若 y,y 是 二 阶 线 性 齐 次 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解, 则 y= C y +C y 是 该 方 程 的 通 解, 其 中 C,C 为 任 意 常 数. 由 理 可 见, 对 于 二 阶 线 性 齐 次 方 程, 只 要 求 得 它 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解, 就 可 以 求 得 它 的 通 解. 例 如 方 程 y -y= 是 一 个 二 阶 线 性 齐 次 方 程, 容 易 看 出 y =e x,y =e - x 都 是 它 的 解, 且 y y =e x 常 数, 即 y,y 是 线 性 无 关 的, 因 此 六 节 二 阶 线 性 微 方 程 解 的 结 构 85

140 y=c e x +C e -x 是 方 程 y -y= 的 通 解. 理 给 出 的 二 阶 线 性 齐 次 方 程 的 通 解 结 构 可 以 推 广 到 n 阶 线 性 齐 次 方 程. 推 论 若 y,y,,y n 是 n 阶 线 性 齐 次 方 程 y (n) +p (x)y (n-) + +p n - (x)y +p n (x)y= 的 n 个 线 性 无 关 的 特 解, 则 y=c y +C y + +C n y n 是 该 方 程 的 通 解, 其 中 C,C,,C n 为 任 意 常 数. 二 线 性 非 齐 次 微 方 程 解 的 结 构 三 节 中 讨 论 了 一 阶 线 性 非 齐 次 微 方 程 的 通 解, 它 是 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 和 它 本 身 的 一 个 特 解 的 和. 关 于 二 阶 及 二 阶 以 上 的 高 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解, 也 有 同 样 的 结 构. 理 3 若 y * 是 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程 y +p(x)y +q(x)y=f(x) 的 一 个 特 解,Y=C y +C y 是 方 程 对 应 的 线 性 齐 次 方 程 y +p(x)y +q(x)y= 的 通 解, 则 y=y+y * 3 是 方 程 的 通 解. 证 因 为 y * 与 Y 别 是 方 程 和 的 解, 所 以 有 y * +p(x)y * +q(x)y * =f(x), Y +p(x)y +q(x)y=. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 又 因 为 y =Y +y *,y =Y +y *, 所 以 y +p(x)y +q(x)y =(Y +y * )+p(x)(y +y * )+q(x)(y+y * ) =[Y +p(x)y +q(x)y]+[y * +p(x)y * +q(x)y * ] =f(x). 这 说 明 y=y+y * 是 方 程 的 解, 又 因 为 Y 是 的 通 解,Y 中 含 有 两 个 独 立 的 任 意 常 数, 所 以 y=y+y * 中 也 含 有 两 个 独 立 的 任 意 常 数, 从 而 它 是 方 程 的 通 解. 理 3 给 出 了 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 结 构, 因 此 找 二 阶 线 性 非 齐 次 方 86

141 程 的 一 个 特 解 成 了 求 其 通 解 的 关 键 之 一. 理 4 若 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程 为 y +p(x)y +q(x)y=f (x)+f (x) 4 且 y * 与 y * 别 是 y +p(x)y +q(x)y=f (x) 和 y +p(x)y +q(x)y=f (x) 的 特 解, 则 y * +y * 是 方 程 4 的 特 解. 理 3 和 理 4 也 可 以 推 广 到 n 阶 线 性 非 齐 次 方 程. 下 面 给 出 的 理 对 于 求 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 某 些 特 解 很 有 帮 助. 理 5 若 函 数 y=y +iy 是 方 程 y +p(x)y +q(x)y=f (x)+if (x) 的 解, 其 中 i 是 虚 数 单 位,p(x),q(x),y,y,f (x),f (x) 都 是 实 值 函 数, 则 y 与 y 别 是 方 程 y +p(x)y +q(x)y=f (x) 和 y +p(x)y +q(x)y=f (x) 的 解. 理 4 和 理 5 都 可 用 理 3 的 证 明 方 法 进 行 类 似 的 证 明, 这 里 不 一 一 证 明 了. 思 考 题 7-6. 证 明 : 若 y,y 是 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程 y +p(x)y +q(x)y=f(x) 的 解, 则 y -y 是 对 应 齐 次 方 程 y +p(x)y +q(x)y= 的 解.. 已 知 y =3,y =3+x,y 3 =3+e x 都 是 同 一 个 二 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 解. 试 求 : () 方 程 的 通 解 ; () 方 程. 习 题 7-6. 下 列 函 数 组 哪 些 是 线 性 相 关 的? ()e x,e 3x ; ()sinx,sinxcosx; (3)lnx,xln x; (4)rcsinx, π -rccosx; (5)e x sinx,e x sinx; (6)rctnx,3rctnx.. 验 证 函 数 y =sin3x,y =sin3x 是 方 程 y +9y= 的 两 个 特 解, 能 否 说 y=c y +C y 是 该 方 程 的 通 解? 又 y 3 =cos3x 满 足 方 程, 则 y=c y +C 3 y 3 是 该 方 程 的 通 解 吗? 为 什 么? 3. 已 知 函 数 y =e x,y =e -x 是 方 程 y +py +qy=(p,q 为 常 数 ) 的 两 个 特 解. 六 节 二 阶 线 性 微 方 程 解 的 结 构 87

142 () 求 常 数 p,q; () 写 出 该 方 程 的 通 解, 并 求 满 足 初 始 条 件 y =,y = 的 特 解. x= x= 4. 验 证 函 数 y =x,y =x,y 3 = 都 是 方 程 y = 的 解, 并 写 出 该 方 程 的 通 解. 5. 已 知 y (x)=e -x 是 齐 次 方 程 y +y +y= 的 一 个 解, 利 用 变 换 y=u(x)y (x) 求 方 程 y +y +y= 的 另 一 个 特 解 y, 并 求 该 方 程 的 通 解. 七 节 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程 在 线 性 微 方 程 的 通 解 结 构 的 基 础 上, 本 节 重 点 讨 论 工 程 实 际 中 常 用 的 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程 的 解 法. 一 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 方 程 的 解 法 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 方 程 的 一 般 形 式 为 y +py +qy=, 其 中 p,q 均 为 实 常 数. 由 上 节 理 可 知, 只 要 找 出 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 y 与 y, 即 可 得 的 通 解 y=c y +C y. 下 面 用 代 数 的 方 法 来 找 方 程 的 两 个 特 解. 我 们 知 道, 当 r 为 常 数 时, 指 数 函 数 y=e rx 和 它 的 各 阶 导 数 都 只 相 差 一 个 常 数 因 子. 由 于 指 数 函 数 具 有 这 样 的 特 点, 因 此 可 用 y=e rx 来 试 解 (r 是 待 常 数 ). 将 y=e rx,y =re rx,y =r e rx 代 入 方 程 得 e rx (r +pr+q)=. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 由 于 e rx, 有 r +pr+q=. 这 就 是 说, 只 要 r 是 代 数 方 程 的 根, 那 么,y=e rx 就 是 微 方 程 的 解. 于 是 微 方 程 的 求 解 问 题, 就 转 化 为 求 代 数 方 程 的 根 的 问 题. 代 数 方 程 称 为 微 方 程 的 特 征 方 程, 它 的 根 称 为 特 征 根. 种 情 况 : 特 征 方 程 是 一 个 二 次 方 程, 它 的 根 有 三 种 情 况, 因 此 方 程 的 通 解 也 有 三 当 p -4q> 时, 特 征 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 根 r 及 r, 此 时 方 程 有 两 个 特 解 y =e r x 与 y =e r x. 因 为 88 y y = er x e r x =e (r -r )x 常 数,

143 即 y,y 线 性 无 关, 因 此 方 程 的 通 解 为 y=c e r x +C e r x. 当 p -4q= 时, 特 征 方 程 有 两 个 相 等 的 实 根 r =r = - p =r, 这 时 y 只 得 到 方 程 的 一 个 特 解 y =e rx, 还 需 要 找 一 个 与 y 线 性 无 关 的 解 y. 设 =u y (x)( 不 是 常 数 ), 其 中 u(x) 为 待 函 数, 则 y =u(x)y =u(x)e rx, 因 为 将 y,y,y 代 入 方 程 得 y =e rx (u +ru), y =e rx (u +ru +r u), 即 e rx [(u +ru +r u)+p(u +ru)+qu]=, e rx [u +(r+p)u +(r +pr+q)u]=. 因 为 r 是 特 征 方 程 的 重 根, 故 r +pr+q=,r+p=. 于 是 得 u =, 取 满 足 该 方 程 最 简 单 的 不 为 常 数 的 函 数 u=x, 从 而 y =xe rx 是 方 程 的 一 个 与 y =e rx 线 性 无 关 的 解. 所 以 方 程 的 通 解 为 y=(c +C x)e rx. 3 当 p -4q< 时, 特 征 方 程 有 一 对 共 轭 复 根 r =α+iβ,r =α-iβ, 其 中 α=- p,β= 4q-p. 这 时 方 程 有 两 个 复 数 形 式 的 解 y =e (α+ iβ)x,y =e (α -iβ)x. 在 实 际 问 题 中, 常 用 的 是 实 数 形 式 的 解, 下 面 利 用 欧 拉 (Euler) 公 式 ( 在 十 二 章 中 介 绍 ) 可 得 于 是 有 e ix =cosx+isinx y =e αx (cosβx+isinβx),y =e αx (cosβx-isinβx). (y +y )=e αx cosβx, i (y -y )=e αx sinβx. 由 上 节 理 知, 函 数 e αx cosβx 与 e αx sinβx 均 为 方 程 的 解, 且 它 们 线 性 无 关, 89 七 节 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程

144 因 此 方 程 的 通 解 为 y=e αx (C cosβx+c sinβx). 综 上 所 述, 求 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 方 程 y +py +qy= 的 通 解 步 骤 如 下 : () 写 出 微 方 程 的 特 征 方 程 r +pr+q=; () 求 出 特 征 方 程 的 两 个 根 r,r ; (3) 根 据 两 个 根 的 不 同 情 况, 按 下 表 写 出 微 方 程 的 通 解 : 特 征 方 程 r +pr+q= 的 两 个 根 r,r 两 个 不 相 等 的 实 根 r,r 两 个 相 等 的 实 根 r =r =r 一 对 共 轭 复 根 r,r =α±iβ 微 方 程 y +py +qy= 的 通 解 y=c e r x +C e r x y=(c +C x)e rx y=e αx (C cosβx+c sinβx) 例 求 微 方 程 y +y -6y= 的 通 解. 解 特 征 方 程 为 r +r-6=, 有 两 个 不 相 等 的 实 根 r =,r =-3, 故 得 原 方 程 的 通 解 为 y=c e x +C e -3x. 例 求 微 方 程 y +y +y= 满 足 初 始 条 件 y =,y = 的 特 x= x= 解. 解 先 求 通 解, 特 征 方 程 为 r +r+=, 有 两 个 相 等 的 实 根 r =r =-, 故 方 程 的 通 解 为 y=(c +C x)e - x. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 代 入 初 始 条 件 y =, 得 C =. 于 是 x= y=c xe - x, 求 导, 得 y =C (-x)e -x. 再 把 初 始 条 件 y = 代 入 得 C =. x= 所 以 原 方 程 满 足 初 始 条 件 的 特 解 为 y=xe -x. 9

145 例 3 求 微 方 程 y +y +5y= 的 通 解. 解 特 征 方 程 为 r +r+5=, 有 一 对 共 轭 复 根 r, =-±i, 因 此 所 求 方 程 的 通 解 为 y=e - x (C cosx+c sinx). 二 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 方 程 的 解 法 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 方 程 的 一 般 形 式 为 y +py +qy=f(x), 3 其 中 p,q 为 常 数. 由 六 节 理 3 知 道, 求 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 方 程 的 通 解, 归 结 为 求 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 Y 和 非 齐 次 方 程 3 的 一 个 特 解 y *. 前 者 我 们 已 经 会 求, 下 面 讨 论 求 方 程 3 的 一 个 特 解 y * 的 方 法..f(x)=P m (x)e λx 的 情 形 在 实 际 应 用 中, 方 程 3 右 端 自 由 项 f(x) 的 一 种 常 见 形 式 为 f(x)=p m (x)e λx, 其 中 P m (x) 是 x 的 m 次 多 项 式, 常 数 λ 可 为 实 数 也 可 为 复 数. 下 面 用 待 系 数 法 求 微 方 程 y +py +qy=p m (x)e λx 4 的 一 个 特 解 y *. 由 于 多 项 式 函 数 与 指 数 函 数 之 的 导 数 仍 为 多 项 式 函 数 与 指 数 函 数 之, 联 系 到 非 齐 次 方 程 4 左 端 的 系 数 均 为 常 数 的 特 点, 它 应 该 有 多 项 式 函 数 与 指 数 函 数 的 乘 形 式 的 特 解. 因 此 设 特 解 y * =Q(x)e λx, 其 中 Q(x) 是 待 的 多 项 式 函 数. 对 y * 求 导, 有 y * =e λx [Q (x)+λq(x)], y * =e λx [Q (x)+λq (x)+λ Q(x)], 把 y *,y *,y * 代 入 方 程 4, 约 去 e λx, 得 Q (x)+(λ+p)q (x)+(λ +pλ+q)q(x)=p m (x). 5 () 当 λ 不 是 特 征 方 程 r +pr+q= 的 根 时, 即 λ +pλ+q, 由 于 5 的 右 端 是 m 次 多 项 式, 因 此 Q(x) 也 是 m 次 多 项 式. 所 以 可 设 特 解 9 七 节 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程

146 y * =Q m (x)e λx, 其 中 Q m (x)=b x m +b x m - + +b m - x+b m,b i (i=,,,,m) 是 待 系 数. 然 后 将 所 设 特 解 代 入 方 程 4, 并 通 过 比 较 两 端 x 的 同 次 幂 系 数 来 确 b i (i=,,,,m). () 当 λ 是 特 征 方 程 的 单 根 时, 必 有 λ +pλ+q= 且 λ+p, 由 5 式 可 知,Q (x) 必 须 是 m 次 多 项 式, 从 而 Q(x) 是 m+ 次 多 项 式, 因 此 可 设 特 解 y * =xq m (x)e λx, 并 用 与 () 同 样 的 方 法 确 Q m (x) 的 系 数 b i (i=,,,m). (3) 当 λ 是 特 征 方 程 的 二 重 根 时, 必 有 λ +pλ+q= 且 λ+p=, 由 5 式 可 见,Q (x) 必 须 是 m 次 多 项 式, 从 而 Q(x) 是 m+ 次 多 项 式, 因 此 可 设 特 解 为 y * =x Q m (x)e λx, 并 用 与 () 同 样 的 方 法 确 Q m (x) 的 系 数. 综 上 所 述, 如 果 f(x)=p m (x)e λx, 则 可 假 设 方 程 3 有 如 下 形 式 的 特 解 y * =x k Q m (x)e λx, 其 中 Q m (x) 是 与 P m (x) 同 次 (m 次 ) 的 待 多 项 式, 按 λ 不 是 特 征 方 程 的 根, 是 特 征 方 程 的 单 根, 或 是 二 重 根 三 种 情 况 对 k 别 取, 或. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 例 4 求 微 方 程 y +y=x -3 的 通 解 及 满 足 初 始 条 件 y =,y x= x= = 的 特 解. 解 () 先 求 对 应 齐 次 方 程 的 通 解. 因 特 征 方 程 r += 的 根 r, =±i, 所 以 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 Y=C cosx+c sinx. () 求 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解. 因 为 右 端 f(x)=x -3 属 于 P (x)e λx 型, 其 中 P (x)=x -3,λ= 且 λ = 不 是 特 征 方 程 的 根, 故 设 y * =Q (x)=b x +b x+b. 9

147 因 y * =b x+b,y * =b. 将 y *,y * 代 入 原 方 程, 得 b +b x +b x+b x -3. 比 较 两 端 x 同 次 幂 的 系 数, 得 b =, b =, b +b =-3, 故 b =, b =, b =-7. 于 是 y * =x -7. (3) 写 出 非 齐 次 方 程 的 通 解. y=y+y * =C cosx+c sinx+x (4) 求 满 足 初 始 条 件 y =,y = 的 特 解. x= x= 对 y=c cosx+c sinx+x -7 两 端 求 导 得 y =-C sinx+c cosx+4x, 7 把 初 始 条 件 代 入 6,7 两 式, 得 C =8,C =. 所 求 特 解 为 y=8cosx+sinx+x -7. 例 5 求 微 方 程 y +6y +9y=5xe -3x 的 通 解. 解 () 求 对 应 齐 次 方 程 的 通 解. 特 征 方 程 为 r +6r+9=, 特 征 根 r =r =-3. 所 以 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 为 () 求 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解. Y=(C +C x)e -3x. 因 为 方 程 右 端 f(x)=5xe - 3x 属 P (x)e λx 型, 其 中 P (x)=5x,λ=-3 且 λ= -3 是 特 征 方 程 的 重 根, 故 设 特 解 为 因 y * =x (b x+b )e -3x. y * =e -3x [-3b x 3 +(3b -3b )x +b x], y * =e - 3x [9b x 3 +(-8b +9b )x +(6b -b )x+b ], 将 y *,y *,y * 代 入 原 方 程 并 整 理, 得 6b x+b 5x. 七 节 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程 93

148 比 较 两 端 x 同 次 幂 的 系 数, 得 b = 5 6,b =. 于 是 y * = 5 6 x3 e -3x. 所 以 方 程 的 通 解 为 y= C +C x+ 5 6 x3 e -3x..f(x)=P m (x)e αx cosβx( 或 P m (x)e αx sinβx) 的 情 形 实 际 应 用 中 方 程 3 右 端 自 由 项 f(x) 的 另 一 种 常 见 形 式 为 f(x)=p m (x)e αx cosβx( 或 P m (x)e αx sinβx), 其 中 P m (x) 是 x 的 m 次 多 项 式, 常 数 α,β 都 为 实 数. 由 于 P m (x)e αx cosβx 与 P m (x)e αx sinβx 别 是 P m (x)e (α +iβ)x 的 实 部 与 虚 部, 根 据 上 节 理 5, 方 程 (α +iβ)x y +py +qy=p m (x)e 8 的 解 的 实 部 与 虚 部 别 是 方 程 y +py +qy=p m (x)e αx cosβx, 9 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 与 y +py +qy=p m (x)e αx sinβx 的 解. 因 此 求 方 程 9( 或 ) 的 通 解 的 步 骤 如 下 : () 求 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 Y=C y +C y ; () 按 自 由 项 f(x)=p m (x)e λx 的 解 法, 求 方 程 y +py +qy=p m (x)e (α+ iβ)x 的 一 个 特 解 y * ; (3)y * 的 实 部 y * ( 或 虚 部 y * ) 是 方 程 9( 或 ) 的 解 ; (4) 方 程 9( 或 ) 的 通 解 为 y=y+y * ( 或 y=y+y * ). 例 6 求 微 方 程 y +3y +y=e -x cosx 的 一 个 特 解. 解 自 由 项 e - x cosx 是 P (x)=,α=-,β= 的 情 形. 先 求 方 程 ( - + i)x y +3y +y=e 的 特 解 珋 y *, 其 实 部 就 是 原 方 程 的 一 个 特 解. ( - + i)x 方 程 瑏 瑡 的 自 由 项 e 属 P (x)e λx 型,λ=-+i, 设 Q (x)=b. 因 为 方 程 瑏 瑡 对 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 r +3r+= 的 根 为 r =-,r =-, 所 以 λ=- +i 不 是 特 征 方 程 的 根, 设 珋 y * 94 =be ( - + i)x, 则 瑏 瑡

149 代 入 方 程 瑏 瑡 整 理 得 珋 y * =b(-+i)e ( - +i)x, 珋 y * =-bie ( - +i)x. (-+i)b=, b=- - i. 从 而 珋 y * = - - i e( - + i)x = - - i (cosx+isinx)e-x =e -x - cosx+ sinx +i - cosx- sinx, 取 其 实 部 得 原 方 程 的 一 个 特 解 y * = e- x (sinx-cosx). 例 7 求 微 方 程 y +3y +y=e -x cosx+x 的 通 解. 解 () 先 求 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 Y. 由 于 特 征 方 程 r +3r+= 的 根 r =-,r =-, 所 以 Y=C e -x +C e -x. 设 λ 是 实 常 数, 则 (e iλx ) =iλe iλx. 七 节 二 阶 常 系 数 线 性 微 方 程 95

150 () 求 y +3y +y=e -x cosx 的 一 个 特 解 y *. 由 例 6 知, 它 有 一 个 特 解 y * = e-x (sinx-cosx). (3) 求 y +3y +y=x 的 一 个 特 解 y *. 其 自 由 项 x 属 P (x)e λx (λ=) 的 情 形, 又 λ= 不 是 特 征 方 程 的 根, 所 以 可 设 y * =b x+b. 代 入 y +3y +y=x, 求 b,b. 这 里 介 绍 用 观 察 法 求 y +3y +y=x 的 一 个 特 解. 由 于 右 端 是 一 次 式 x, 因 此 可 设 y * = x +C, 则 y * =,y* =, 代 入 y +3y +y=x, 解 得 y * = x (4) 由 线 性 非 齐 次 方 程 的 解 的 结 构, 得 原 方 程 的 通 解 y=c e -x +C e -x + e- x (sinx-cosx)+ x 思 考 题 7-7. 设 y =e x cosx 为 二 阶 实 的 常 系 数 线 性 齐 次 方 程 的 一 个 特 解, 写 出 微 方 程.. 对 于 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 方 程, 通 过 设 出 特 解 形 式, 再 用 待 系 数 法 求 出 的 特 解, 与 由 初 始 条 件 出 的 特 解 是 相 同 的 吗? 以 方 程 y -4y +5y=x e x 和 给 出 的 初 始 条 件 y x= =,y =3 为 例, 求 出 两 种 特 解, 给 出 析. x= 3. 二 阶 常 系 数 非 齐 次 方 程 y +py +qy=f(x) 的 特 解 y * 的 设 法, 是 否 仅 取 决 于 自 由 项 f (x)? 对 于 方 程 y +3y=sinx, 可 利 用 观 察 法, 设 出 一 个 特 解 形 式 y * 数 ), 对 于 方 程 y +4y=sinx, 是 否 也 能 设 特 解 形 式 为 y * =Bsinx? 思 考 原 因. 4. 求 解 下 列 微 方 程 : ()y -y +y=+e x sinx; ()y +4y=xsin x. 习 题 7-7 =Asinx(A 是 待 系 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 96. 求 下 列 微 方 程 的 通 解 : ()y -9y=; (3)y +y=; (5)y -y +y=; ()y -4y =; (4)y +6y +3y=; (6)4 d x dt -dx dt +5x=.. 求 下 列 微 方 程 满 足 初 始 条 件 的 特 解 : ()y -4y +3y=, y ()4y +4y +y=, y x= x= =6,y =,y x= x= =; =;

151 (3)y +4y=,y =,y =6. x= x= 3. 写 出 下 列 微 方 程 的 特 解 形 式 : ()y +5y +4y=3x +; ()y +y =(x 3-3)e -x ; (3)y +y +5y=xe 5x ; (4)4y +y +9y=e - 3 x ; (5)y -3y +y=cosx; (6)y -4y +5y=e x sinx. 4. 求 下 列 微 方 程 的 通 解 : ()y +3y =; ()y +3y +y=3xe -x ; (3)y -6y +9y=(x+)e x ; (4)y -y +5y=e x sinx; (5)y -y +5y=e x sinx; (6)y +y=e x +xcosx. 5. 求 下 列 微 方 程 满 足 初 始 条 件 的 特 解 : ()y -4y +4y=e x, y =,y =; x= x= ()y +4y=sinx, y =,y =. x= x= 八 节 二 阶 微 方 程 的 应 用 举 例 用 二 阶 微 方 程 解 决 实 际 问 题, 正 如 用 一 阶 微 方 程 解 决 实 际 问 题 时 一 样, 首 先 是 建 立 微 方 程, 并 注 意 相 应 的 初 始 条 件. 本 节 通 过 几 个 具 体 实 例 简 单 介 绍 如 何 把 实 际 问 题 抽 象 为 二 阶 微 方 程 的 数 学 模 型, 然 后 求 出 微 方 程 的 解. 例 在 地 面 以 初 速 度 v 垂 直 向 上 射 出 一 物 体, 设 地 球 的 引 力 与 物 体 到 地 心 的 距 离 的 平 方 成 反 比, 求 物 体 可 能 达 到 的 最 大 高 度 ( 空 气 阻 力 不 计, 地 球 的 半 径 R=637km). 解 取 坐 标 系 如 图 7-7, 原 点 取 在 地 球 表 面, 因 物 体 射 出 后, 在 运 动 过 程 中 仅 受 地 球 引 力 F 的 作 用, 而 F= k, (R+s) 八 节 其 中 s 是 物 体 与 地 面 的 距 离,k 为 比 例 常 数. 现 在 先 求 常 数 k. 显 然, 当 物 体 在 地 面 时,s=,F =mg,m 为 物 体 的 质 量. 因 此 由 式 得 k=mgr. 于 是 F=mg R (R+s). 根 据 牛 顿 二 律, 物 体 的 运 动 方 程 为 图 7-7 二 阶 微 方 程 的 应 用 举 例 97

152 即 m d s =-mg R, dt (R+s) d s dt = -gr (R+s), 这 是 可 降 阶 的 不 显 含 自 变 量 的 二 阶 微 方 程. 由 题 设 有 初 始 条 件 s 令 代 入 原 方 程 得 t= =,s t= =v. ds dt =v, d s 则 有 = dv dt dt =dv ds ds dt =vdv ds, 离 变 量 并 得 v dv ds =- gr (R+s), v = gr R+s +C. 3 由 初 始 条 件 s =,v =v, 得 t= t= C= v -gr, 代 入 3 式, 化 简 得 当 物 体 达 到 最 高 点 时,v=, 于 是 有 v -v = grs R+s. v = grs R+s, 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 故 得 最 大 高 度 v R s mx =. 4 gr-v 如 果 要 使 发 射 体 脱 离 地 球 引 力 的 影 响, 发 射 体 的 速 度 v 至 少 应 有 多 大 呢? 显 然 从 式 知 道, 这 时 必 须 s? +. 而 由 4 式 可 见, 若 s? +, 则 gr-v? 所 以 应 取 v = gr, 将 g=9.8m/s = 9.8 km/s,r=637km 代 入 上 式 可 以 算 出 98

153 v.km/s, 这 个 速 度 就 是 通 常 所 说 的 二 宇 宙 速 度. 例 位 于 原 点 O 处 的 我 军 炮 位 向 位 于 Ox 轴 上 A 点 处 ( 设 OA= ) 的 敌 舰 发 射 制 导 鱼 雷, 方 向 永 远 对 准 敌 舰. 设 敌 舰 以 速 度 v 沿 平 行 于 Oy 轴 的 直 线 行 驶, 鱼 雷 速 率 是 6v, 求 鱼 雷 的 轨 迹 曲 线, 敌 舰 行 至 何 处 被 鱼 雷 击 中? 解 这 是 微 方 程 模 型 中 的 追 迹 问 题. 如 图 7-8, 设 鱼 雷 的 轨 迹 曲 线 是 y=y(x),t 时 刻 鱼 雷 位 于 曲 线 上 的 点 P(x,y), 敌 舰 在 航 线 上 的 点 Q(,Y), 则 OP 6v = Y v, 图 7-8 即 OP =6Y. 5 因 为 鱼 雷 的 方 向 始 终 对 着 敌 舰, 所 以 直 线 PQ 是 曲 线 y=y(x) 的 切 线, 其 方 程 为 Y-y=y (-x). 6 又 OP = x +(y ) dx, 7 将 6,7 代 入 5 式, 得 x +(y ) dx=6[y (-x)+y], 两 端 对 x 求 导, 得 +(y ) =6(-x)y. 这 是 一 个 不 显 含 y 的 可 降 阶 的 二 阶 方 程, 且 有 y x= =,y x= =. 令 y =p, 则 y = dp dx =p, 代 入 8 并 离 变 量, 得 两 端, 得 dp = dx +p 6(-x), p+ +p = C (-x) /6. 将 p =y = 代 入 上 式, 得 C =. 由 此 得 x= x= 8 99 八 节 二 阶 微 方 程 的 应 用 举 例

154 p+ +p =(-x) 又 知 -p+ +p = =(-x) p+ +p 9, 两 式 相 减, 得 即 p= [(-x)- 6 -(-x) 6 ], dy dx = 6 [(-x)- -(-x) 6 ]. 再, 得 y= [6 7 (-x) (-x)5 6 ]+C, 将 y = 代 入 上 式, 得 C = 6 x= 35. 于 是, 所 求 鱼 雷 的 轨 迹 曲 线 y= [6 7 (-x) (-x)5 6 ] 当 x= 时,y= 6 35, 6 即 敌 舰 驶 离 A 点 距 离 为 时, 被 我 炮 位 发 射 的 鱼 雷 击 中. 35 例 3 有 一 个 底 半 径 为 cm, 质 量 布 均 匀 的 圆 柱 形 物 体 浮 在 水 面 上, 它 的 轴 与 水 面 垂 直, 今 沿 轴 的 方 向 把 浮 体 轻 轻 地 按 一 下 再 放 开, 浮 体 便 开 始 作 以 s 为 周 期 的 上 下 振 动 ( 浮 体 始 终 有 一 部 露 在 水 面 上 ), 设 水 的 密 度 ρ= 3 kg/m 3, 试 求 浮 体 的 质 量. 解 在 浮 体 被 按 之 前, 浮 体 处 于 静 止 状 态, 它 受 到 的 重 力 与 浮 力 平 衡. 如 图 7-9 所 示, 原 点 取 在 水 面 建 立 坐 标 系. 设 浮 体 的 质 量 为 m kg, 时 刻 t 浮 体 的 位 移 为 y= y(t), 这 时 浮 体 受 到 的 合 力 是 一 个 指 向 平 衡 位 置 ( 原 点 ) 的 力 (.) πyρg, 由 牛 顿 二 律, 有 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 m d y dt =-(.) πy =-98πy. 上 式 中 的 负 号 是 由 于 浮 体 受 到 的 合 力 总 是 指 向 平 衡 位 置, 而 与 浮 体 的 位 移 方 向 相 反. 以 上 方 程 即 d y + 98π dt m y=. 这 是 一 个 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 方 程, 解 得 通 解 为 图 7-9 3

155 y=c sin 98π m t+c cos 98π m t, 由 于 周 期 T= π ω =, 因 此 ω=π, 98π m =π, 解 得 m= 98 π =3.(kg). 例 4 长 度 为 6m 质 量 布 均 匀 的 链 条 自 桌 面 无 摩 擦 地 向 下 滑 动, 设 在 运 动 开 始 时, 链 条 有 m 垂 在 桌 边, 试 问 需 多 长 时 间 链 条 滑 离 桌 子. 解 如 图 7- 建 立 坐 标 系. 设 t 时 刻 链 条 下 滑 的 长 度 为 x(t), 于 是 链 条 受 到 的 力 为 重 力 ρ(x+)g( 其 中 ρ 为 链 条 线 密 度 ). 由 牛 顿 二 律 有 x 6ρ d dt =ρ(x+)g, 即 d x dt - g 6 x=g 6. 瑏 瑡 图 7- 这 是 一 个 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 微 方 程, 其 初 始 条 件 为 x t= =, dx dt t= =. 瑏 瑡 相 应 的 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 为 r - g 6 =, 特 征 根 为 r, =± g 6, 所 以 齐 次 方 程 的 通 解 为 X=C e g 6 t +C e - g 6 t. 对 方 程 瑏 瑡, 由 观 察 法 容 易 看 出, 它 有 特 解 x * =-, 因 此 方 程 瑏 瑡 的 通 解 为 x=x+x * =C e g 6 t +C e - g 6 t -. 将 初 始 条 件 x =, dx = 代 入 得 dt t= t= 3 八 节 二 阶 微 方 程 的 应 用 举 例

156 C +C -=, g/6(c -C )=. 解 得 C =C =. 所 以 链 条 的 运 动 方 程 为 x= e g 6 t +e - g 6 t -. 当 x=5 时, 有 5= e g 6 t +e - g 6 t -. 于 是 e g 6 t -e g 6 t +=, 故 e g 6 t =6± 35. 又 e g 6 t >, 所 以 舍 去 负 号, 即 e g 6 t = 解 得 t= 6 ln(6+ 35)(s).94(s). g 思 考 题 7-8 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用. 设 弹 簧 上 端 固, 质 量 为 4kg 的 物 体 挂 在 弹 簧 下 端, 在 下 面 两 种 情 况 下, 求 物 体 的 运 动 方 程 ( 设 弹 簧 劲 度 系 数 为 4N/m). () 不 计 空 气 阻 力, 且 无 外 力 作 用 ; () 物 体 运 动 过 程 中 受 到 外 力 F=8sint, 且 已 知 空 气 阻 力 的 大 小 是 速 度 的 倍.. 设 函 数 y(x)(x ) 二 阶 可 导 且 y (x)>,y()=, 过 曲 线 y=y(x) 上 任 意 一 点 P(x,y) 作 该 曲 线 的 切 线 及 x 轴 的 垂 线, 上 述 两 直 线 与 x 轴 所 成 的 三 角 形 的 面 为 S, 区 间 [,x] 上 以 y=y(x) 为 曲 边 的 曲 边 梯 形 面 为 S, 并 设 S -S, 求 曲 线 y=y(x) 的 方 程. 习 题 7-8. 一 质 点 在 一 直 线 上, 由 静 止 状 态 开 始 运 动, 时 刻 t 时 质 点 的 位 置 为 s(t), 其 加 速 度 =-4s(t)+3sint, 求 运 动 方 程, 并 求 离 起 始 点 的 最 大 距 离.. 设 有 一 链 条 悬 挂 在 钉 子 上, 起 动 时 一 端 离 钉 子 8m, 另 一 端 离 钉 子 m, 若 不 计 钉 子 与 链 条 间 的 摩 擦 力, 试 求 链 条 滑 离 钉 子 所 需 的 时 间. 3. 在 R,L,C 含 源 串 联 电 路 中, 电 动 势 为 E 的 电 源 对 电 容 器 C 充 电. 已 知 E=V, C=.μF,L=.H,R=Ω, 试 求 合 上 开 关 后 的 电 流 i(t) 及 电 压 u c (t). 4. 一 质 量 为 m 的 质 点 从 水 平 面 由 静 止 开 始 下 降, 所 受 的 阻 力 与 下 降 速 度 成 正 比 ( 比 例 3

157 系 数 为 k), 求 下 降 的 深 度 x 与 时 间 t 的 函 数 关 系. * 九 节 综 合 例 题 例 求 解 微 方 程 (+y )dx+(x-)ydy=. 析 求 解 微 方 程 时, 首 先 要 确 是 哪 一 种 类 型 的 方 程, 同 一 个 方 程 可 能 兼 属 不 同 类 型, 选 择 较 简 单 的 方 法 解 之. 解 一 两 端, 得 故 得 方 程 通 解 解 二 ydy 方 程 可 变 形 为 = dx +y -x, 这 是 可 离 变 量 方 程. ln(+y )=- ln(-x)+ lnc, (-x)(+y )=C. dx 方 程 也 可 变 形 为 dy + y x= y, 这 是 以 x(y) 为 未 知 函 数 的 一 阶 +y +y 线 性 非 齐 次 方 程. 由 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 公 式, 得 x=e - y +y y dy e y +y +y dy dy+c 即 为 方 程 通 解. 解 三 程, 读 者 给 出 它 的 解. = +y y +C, dy 方 程 还 可 变 形 为 dx + x- y=, 这 是 n= - 的 伯 努 利 方 -x y- 例 求 解 微 方 程 析 y =y +(sinx-)y+sin x-sinx-cosx+. 对 于 非 标 准 类 型 的 一 阶 微 方 程, 一 般 要 选 用 适 当 的 变 量 代 换, 使 方 程 化 为 标 准 方 程 后 解 之. 解 方 程 可 化 为 y =(y+sinx) -(y+sinx)+-cosx =(y+sinx-) -cosx, (y+sinx-) =(y+sinx-). 令 y+sinx-=u, 则 u =u. 离 变 量 后, 得 u= - x+c, 3 3 * 九 节 综 合 例 题

158 于 是 得 方 程 通 解 y=-sinx- x+c. 例 3 已 知 函 数 y=y(x) 在 任 意 点 x 处 的 增 量 Δy= yδx +x +α, 其 中 α 是 Δx 的 高 阶 无 穷 小 ( 当 Δx 时 ),y()=π, 求 y(). 析 本 题 要 用 函 数 微 的 义. 解 由 题 设 dy= y +x dx, 这 是 一 个 可 离 变 量 的 方 程. 两 端 离 变 量, 得 y=ce rctn x, 将 y()=π 代 入, 得 C=π, 所 以 y=πe rctn x. 再 将 x= 代 入, 得 y()=πe π 4. 例 4 设 有 微 方 程 y -y=φ(x), 其 中 φ(x)=,x<, 试 求,x>. (-.TIF;E+ ) 内 的 连 续 函 数 y=y(x), 使 其 在 (-,) 和 (.TIF;E+ ) 内 都 满 足 所 给 方 程, 且 有 y()=. 解 x< 时,y -y=, 其 通 解 为 y=e dx e - dx dx+c 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 =C e x -. 将 y()= 代 入 得 C =, 所 以 y=e x -. x> 时,y -y=, 其 通 解 为 y=c e x. 因 为 y=y(x) 在 (-,) 和 (. TIF;E+ ) 内 都 是 连 续 的, 要 使 y=y(x) 在 (-.TIF;E+ ) 内 连 续, 只 需 在 x = 连 续, 即 只 需 满 足 lim y(x)=y(). x 而 lim x + lim x - y(x)=lim C e x =C e, x + 由 lim x + y(x)=lim x - y(x) 得 C =-e -. 再 补 充 于 是 得 所 求 函 数 34 y()=e -. y(x)= y(x)=lim (e x -)=e -, x - ex -, x, (-e - )e x, x>. 例 5 设 方 程 y +p(x)y =f(x) 的 一 个 特 解 是 x, 对 应 的 齐 次 方 程 有 一 个

159 特 解 x. 求 : ()p(x) 和 f(x) 的 表 达 式 ; () 方 程 的 通 解. 解 () 由 题 设 条 件, 得 +xp(x)=, - p(x)=f(x). x 3 x 解 得 p(x)=- x,f(x)=3 x 3. () 由 () 知, 原 方 程 为 y - x y =3 x 3, 这 是 二 阶 线 性 非 齐 次 微 方 程. 观 察 知 y =,y =x 是 对 应 齐 次 方 程 y - x y = 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解. 又 知 y * = x 是 原 方 程 的 一 个 特 解. 所 以 原 方 程 的 通 解 为 y=c +C x + x. 例 6 求 解 方 程 yy -(y ) =y lny. 析 从 形 式 上 看, 方 程 是 不 显 含 x 的 可 降 阶 的 方 程. 若 令 y =p, 需 要 做 比 较 麻 烦 的. 为 此 采 用 下 面 更 为 灵 活 的 解 法. 解 所 以 原 方 程 可 化 为 yy -(y ) 因 为 = y y y =(lny), 令 u=lny, 原 方 程 化 为 (lny) =lny. u =u, 这 是 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 方 程, 其 通 解 为 u=c e x +C e - x. 于 是, 得 方 程 通 解 解. lny=c e x +C e - x. 例 7 求 方 程 y -3y +y=4+e -x cosx 满 足 条 件 当 x + 时 y 的 特 析 本 题 未 给 一 般 的 初 始 条 件, 而 给 了 一 种 特 殊 的 解 条 件. 解 可 先 求 出 题 中 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 方 程 的 通 解 y=c e x +C e x ++e - x (sinx-cosx). 对 于 任 意 不 同 时 为 的 常 数 C 和 C, 通 解 当 x + 时 无 界. 而 当 C =C = 时, 方 程 的 解 35 * 九 节 综 合 例 题

160 显 然 满 足 条 件 lim y=. x + y=+e -x (sinx-cosx), 所 以,y=+e - x (sinx-cosx) 即 为 所 求 特 解. 例 8 设 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 方 程 y +αy +βy=γe x 的 一 个 特 解 为 y= e x +(+x)e x, 试 确 常 数 α,β,γ, 并 求 该 方 程 的 通 解. 析 已 知 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解 反 求 方 程 的 系 数, 关 键 是 找 出 特 征 方 程 的 根, 再 由 特 征 根 导 出 特 征 方 程, 从 而 导 出 对 应 的 齐 次 方 程. 题 中 给 出 的 特 解 是 通 解 中 的 任 意 常 数 确 后 得 到 的. 解 由 题 中 给 出 的 特 解 形 式 知 对 应 齐 次 方 程 的 特 征 方 程 的 根 为 r =,r =, 从 而 得 出 特 征 方 程 为 (r-)(r-)=, 即 r -3r+=, 对 应 的 齐 次 方 程 为 y -3y +y=, 因 此 得 α=-3,β=. 由 于 r = 为 特 征 单 根, 故 y * =xe x 是 原 方 程 的 一 个 特 解, 将 其 代 入 方 程 y -3y +y=γe x, 可 求 得 γ=-. 于 是 得 到 原 方 程 为 y -3y +y=-e x, 方 程 通 解 为 y=c e x +C e x +xe x. 例 9 设 f(x) 二 阶 可 导, 且 满 足 f(x)=e - x x (x-t)f(t)dt, 试 求 f(x). 析 题 中 含 有 变 上 限 的 的 方 程 称 为 方 程. 求 解 方 程, 一 般 是 通 过 对 方 程 两 端 求 导 将 其 化 为 微 方 程, 并 注 意 找 出 可 能 隐 含 的 初 始 条 件, 注 意 区 中 的 参 数 和 变 量. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 解 f(x)=e -x x f(t)dt+ x x tf(t)dt, 且 有 f()=. 方 程 两 端 对 x 求 导, 得 f (x)=e - x x f(t)dt, 且 有 f ()=. 方 程 两 端 再 对 x 求 导, 得 f (x)=e x -f(x). 36

161 记 y=f(x), 则 y +y=e x. 这 是 二 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 方 程, 求 出 通 解 为 y=f(x)=c cosx+c sinx+ ex, 将 f()=,f ()= 代 入 得 C =C =. 故 f(x)= (cosx+sinx+ex ). 例 () 欧 拉 方 程 及 其 解 法 介 绍 ; () 求 解 二 阶 非 齐 次 欧 拉 方 程 x y -4xy +6y=x. 解 () 变 系 数 线 性 微 方 程 x n y (n) +p x n- y (n-) + +p n - xy +p n y=f(x) 称 为 欧 拉 方 程, 其 中 p,p,,p n 为 常 数. 欧 拉 方 程 可 通 过 变 量 代 换 化 为 常 系 数 线 性 方 程. 令 x=e t 或 t=lnx(x>), 则 有 y = dy dx =dy dt dt dx = dy xdt, y = d y dx = d dx y y = d3 dx =d 3 dx x dy xdt = x d y - dy dt dt, d y - dy dt dt = x 3 d 若 引 用 符 号 D 表 示 对 t 求 导 数 的 运 算 dt, 则 得 一 般 地, 有 xy = dy dt =Dy, x y = d y dt -dy dt =D y-dy=d(d-)y, x 3 y = d3 y -3 d y + dy dt 3 dt dt =D3 y-3d y+dy =D(D-)(D-)y d 3 y y -3 d + dy dt 3 dt dt, x n y (n) =D(D-)(D-) (D-n+)y. 代 入 欧 拉 方 程, 便 得 到 以 t 为 自 变 量 的 常 系 数 线 性 方 程, 求 出 解 后, 再 把 t 换 成 ln x, 即 得 到 原 方 程 的 解. () 令 x=e t, 记 D= d dt, 则 原 方 程 化 为 D(D-)y-4Dy+6y=e t, 37 * 九 节 综 合 例 题

162 即 易 求 出 该 方 程 的 通 解 d y dt -5 dy dt +6y=et. 再 将 t=lnx 代 回, 得 到 原 方 程 通 解 y=c e t +C e 3t + et. y=c x +C x 3 + x. 习 题 7-9. 设 有 一 个 一 阶 微 方 程 的 通 解 为 (x +y ) =C(x -y ), 求 该 微 方 程.. 求 解 下 列 微 方 程, 若 给 出 初 始 条 件, 求 特 解. ()x y -xy+y =; ()(xsiny+siny)y =,y()= π ; (3)xy =y (lny -lnx);(4)xydx+(y 4 -x )dy=. 3. 证 明 : 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 方 程 y +py +qy= 任 一 解 的 导 数 还 是 已 知 方 程 的 解. 4. 已 知 y =e x 是 线 性 齐 次 方 程 (x-)y -(x+)y +y= 的 一 个 解, 求 方 程 的 通 解. 5. 利 用 适 当 的 变 量 代 换, 求 解 下 列 微 方 程 : ()y(xy+)dx+x(+xy+x y )dy=; ()xdx+ydy=(+ x +y )tnxdx. 6. 设 f(x) 在 [,+ ) 上 具 有 连 续 导 数, 且 满 足 方 程 x x f(t)dt=(x+) x tf(t)dt (x>), 求 f(x). 7. 设 f(x) 为 二 阶 可 导 函 数, 且 满 足 f(x)=sinx- x (x-t)f(t)dt, 求 f(x). 8. 试 求 欧 拉 方 程 x y +3xy +y= 的 通 解. 七 章 常 微 方 程 及 其 应 用 38