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琛怪虞
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1 复旦大学高等代数课程建设的经验与体会谢启鸿福建莆田 2018 年 11 月 10 日

2 整体目录高代教材学习指导书高代博客在线课程高代教学考试命题教学研究教学效果

3 一高代教材 1 从 1993 年开始使用,25 年间数次修订 2 以线性空间为主线, 注重代数与几何之间的相互转换和有机统一 3 以三大问题为切入点, 注重启发式教学和学生能力的培养 4 在夯实代数基础的同时, 服务后续的专业课程

4 1.1 高代教材历时 25 年数次修订 1993 年 09 月 1999 年 04 月 : 试用版 1999 年 05 月 2003 年 05 月 : 第一版 2003 年 06 月 2008 年 05 月 : 博学数学系列第一版 2008 年 06 月 2014 年 09 月 : 博学数学系列第二版 2014 年 10 月至今 : 博学数学系列第三版

5 1.2 高代教材以线性空间为主线代数行列式矩阵矩阵多项式特征值相似标准型二次型正交相似标准型和矩阵分解几何线性空间线性变换内积空间二次超曲面的分类双线性型

6 1.3 高代教材以三大问题为切入点行列式矩阵多项式特征值相似标准型二次型线性空间线性变换内积空间双线性型线性方程的求解问题二次超曲如何使线性变换的表面的精细示矩阵相对简单问题分类问题

7 1.4 高代教材服务后续专业课程行列式矩阵抽象代数线性空间线性变换多项式特征值相似标准型常微分方程数学模型二次型正交相似标准型和矩阵分解内积空间泛函分析数值分析双线性型微分几何

8 二高代学习指导书 1 从 2002 年开始使用,16 年间三次修订 2 与教材无缝对接, 每章分基本概念例题分析和基础训练三部分, 例题分析部分按照方法和技巧进行分类 3 注重归纳总结和一题多解 4 例题选材丰富, 经典性与新颖性并重, 融入了最新的教学成果

9 2.1 学习指导书历时 16 年三次修订大学数学学习方法指导丛书 2002 年 08 月 2007 年 09 月 : 第一版 2007 年 10 月 2015 年 08 月 : 第二版 2015 年 09 月至今 : 第三版

10 2.2 学习指导书与教材无缝对接 1 章标题与教材相同, 每章分基本概念例题分析和基础训练三部分 2 基本概念部分回顾本章重要定义和定理 3 例题分析部分按照方法和技巧进行主题分类, 每个主题精讲典型例题 4 基础训练部分提供练习题, 包括选择题填空题和解答题

11 2.3 学习指导书注重归纳总结和一题多解归纳总结行列式求值的方法, 矩阵的迹, 摄动法, 伴随矩阵的性质, 矩阵秩的证明方法, 代数与几何的转换, 幂等变换, 互素多项式的应用, 矩阵可对角化的判定, 交换性与多项式表示, 正定半正定矩阵的性质, 矩阵相抵相似合同正交相似标准型的应用, 同时上三角对角化标准化的应用, 复正规阵和实正规阵的性质, 矩阵分解的应用等一题多解学习指导书中 100 余道例题, 随着章节的深入, 不断给出多种证法或解法, 揭示了各类知识点之间的深层次联系例第 2 章解答题 15:(1) 基础矩阵,(2) 伴随算子,(3) 奇异值分解

12 2.4 学习指导书例题选材丰富 1 精讲典型例题 700 余道, 训练题 450 余道 2 收录部分兄弟院校考研试题和全国大学生数学竞赛试题 3 收录部分复旦大学期中期末考试压轴大题和高代每周一题 4 融入多年积累的教学体会和最新发表的教学成果

13 三高代博客 1 从 2014 年 2 月开始创建, 现有博文 147 篇, 包含大量原创性高代学习资料 2 博客中最具特色栏目高代每周一题

14 3.1 高代博客包含大量原创性学习资料期末考试大题解答期末考试情况分析期中考试大题精选数学竞赛辅导资料高代博客教材习题解答教学研究论文数学学习博文高代每周一题

15 3.2 特色栏目高代每周一题 1 从 2014 年 2 月开始推出, 历经复旦数院 13 级 -17 级共 5 个年级 2 每周一题中包含大量原创性高代习题 3 每周通过博客和微信发布, 学生提交纸质或图片解答

16 四高代在线课程 1 从 2016 年 3 月开始在易班优课平台推出高代在线课程, 一学年, 共 114 学时 2 在线课程解决了转专业学生面临的高代教学难题

17 4.1 转专业学生面临的高代教学难题数学学院其他院系虽然转入了数院, 但大一没学过高代, 大二的专业课跟不上! 另外, 高代课初选免听, 基础很不扎实! 好想转入数院学习, 如果大一能学高代就好了!

18 4.2 高代在线课程服务转专业学生高代通常课程平行设置高代在线课程高代通常课程以板书教学为主体, 以在线课程教学为辅助, 供数院学生自主学习和回看学习高代在线课程面向非数学专业学生, 以线上教学为主体, 以线下习题课教学为辅助强制转专业学生加入在线学习

19 五高代教学 1 因材施教, 注重教育的公平性和普遍性 2 着重培养学生的动手运用和自学能力 3 利用慕课博客和微信等新媒介增进师生之间的交流和互动

20 5.1 课堂教学因材施教 1 教学目标是课堂教学要让后 90% 的学生完全听懂注重教育的公平性和普遍性始终以学生是否满意作为衡量自己教学是否合格的唯一标准 2 为前 10% 的拔尖学生推出高代每周一题 3 着重强化高代与后续专业课之间的有机联系, 帮助学生建立高代完整的知识体系及其应用框架

21 5.2 习题课教学着重培养学生的能力 1 以学习指导书为抓手, 有效提升习题课教学质量, 培养学生的解题运用和自学能力 2 以每周一题为推动力, 利用难题征解和一题多解激发学生的学习动力和创新潜力

22 5.3 利用三种新媒介全面增进师生互动高代博客高代微信群高代慕课 4 充分利用上述三种新媒介激发 95 后大学生的学习兴趣, 全面增进师生之间的交流与互动

23 六考试命题 1 合理设计考卷, 使得题型丰富, 难易度适中, 考察点全面, 利于不同层次的学生发挥, 能较好地反馈学习成果 2 坚持自主创新命题, 利用巧设参数自然延伸适当推广逆向思维直接应用, 一题多解六种方法进行命题 3 坚持发布期末压轴大题解答和考试情况分析, 促进学生自评与自省

24 6.1 合理设计考卷利于学生发挥考卷设计一选择题 8x2=16 分二填空题 8x3=24 分三 & 四 & 五计算大题 3x10=30 分六简单证明题 1x10=10 分七 & 八压轴证明题 2x10=20 分基础部分 80 分提高部分

25 6.1 合理设计考卷利于学生发挥考察效果总评成绩期末成绩 70% 平时成绩 15% 期中成绩 15% 1 根据近五年成绩统计, 班级总评成绩和等地成绩均呈正态分布 2 A 类占 30%, 总评成绩基本上以 80 分划线 3 B 类占 45%, 总评成绩基本上以 70 分划线 4 C 类占 15%, 总评成绩基本上以 60 分划线

26 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法一 : 巧设参数在通常计算题中巧设参数, 使得计算量不增加, 但知识点考察更全面

27 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法一 : 巧设参数在通常计算题中巧设参数, 使得计算量不增加, 但知识点考察更全面

28 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法二 : 自然延伸在教材习题相同的条件下, 自然延伸某些性质和结论作为考题

29 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法二 : 自然延伸在教材习题相同的条件下, 自然延伸某些性质和结论作为考题

30 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法三 : 适当推广将教材习题的条件适当地弱化或一般化, 从而得到原结论的推广

31 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法三 : 适当推广将教材习题的条件适当地弱化或一般化, 从而得到原结论的推广

32 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法四 : 逆向思维将教材习题的条件和结论对换位置, 按照逆向思维进行命题

33 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法四 : 逆向思维将教材习题的条件和结论对换位置, 按照逆向思维进行命题

34 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法五 : 直接应用将考题设计为重要理论定理方法技巧和某些习题的直接应用

35 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法五 : 直接应用将考题设计为重要理论定理方法技巧和某些习题的直接应用

36 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法六 : 一题多解命题时注重考题的一题多解性, 激发学生的思维活力和创新潜力 13 级学生在期末考试时共给出了四种证法, 分别是 (1) 实对称阵的正交相似标准型,(2) 不变子空间,(3) 实反对称阵的正交相似标准型,(4) 半正定阵的算术平方根

37 6.2 坚持自主创新命题及六种命题方法方法六 : 一题多解命题时注重考题的一题多解性, 激发学生的思维活力和创新潜力 17 级学生在期末考试时共给出了五种证法 ( 其中有 44 人完全做对 ), 前面两种是几何证法, 后面三种是代数证法

38 6.3 坚持发布期末压轴大题解答和情况分析

39 七教学研究 1 从 2012 年至今, 在大学数学和高等数学研究杂志上正式发表教学研究论文 14 篇 ( 第一作者 ), 内容涉及课堂教学和考试命题等方面 2 在数学教育方面, 撰写了文章如何学好高等代数和数学之美与新生寄语等, 被网络媒体多次转载

40 7.1 教学论文教育文章课堂教学 [1] 秩在矩阵相似中的应用, 高等数学研究, [2] 从一个初等问题看高等代数中的若干技巧, 高等数学研究, [3] 文字行列式求值中的两个技巧, 大学数学, [4] 从两道习题看矩阵可对角化的判定, 高等数学研究, [5] 利用多项式的技巧替代摄动法, 大学数学, [6] 线性变换的特征多项式诱导的直和分解, 高等数学研究, [7] 从 AB 与 BA 谈高等代数的教学串联, 高等数学研究, [8] 高等代数中若干概念在基域扩张下的不变性, 大学数学, [9] 从一道习题的推广看矩阵的标准形理论, 高等数学研究, [10] 循环子空间的若干应用, 大学数学, [11] Galois 理论在高等代数中的若干应用, 大学数学, [12] 循环子空间的进一步应用, 大学数学, 2017.

41 7.1 教学论文教育文章考试命题 [1] 浅谈高等代数命题中的若干技巧, 大学数学, [2] 一道高等代数考题的命题思路及分析, 大学数学, 数学教育 [1] 如何学好高等代数. [2] 数学之美与新生寄语, 看看新闻网,

42 7.2 教学论文 : 从 AB 与 BA 谈高等代数的教学串联已知结论基本关系

43 7.2 教学论文 : 从 AB 与 BA 谈高等代数的教学串联第二章矩阵第三章线性空间第四章线性变换第九章内积空间第七章相似标准型第六章特征值

44 八教学效果 1 教材高等代数学被评为十五十一五和十二五国家级规划教材, 现被清华大学数学学院和物理系, 复旦大学技术科学实验班, 赣南师范大学数学与计算机科学学院等高校作为教材使用 2 复旦大学高等代数课程荣获 2011 年度上海市精品课程 3 教学成果项目高等代数课程教学改革的创新与实践荣获 2017 年上海市教学成果二等奖 4 复旦大学高等代数在线课程目前有来自全国各地 500 多所高校的超过人参与在线学习 5 高等代数课程的改革创新和教学实践帮助复旦大学数学学院在历届全国大学生数学竞赛中取得优异的成绩

45 8.1 复旦大学历届全国大学生数学竞赛成绩前九届上海赛区预赛共评出数学类一等奖 156 人, 其中复旦学生 130 人, 占 83.3%; 复旦在前九届全国决赛中也表现优异, 共有 22 人次获得数学类一等奖, 其中 7 人获得全国个人前三名

46 九将来目标 : 不断探索不断实践不断提高实事求是理论联系实际毛泽东以知促行, 以行促知, 知行合一习近平