尚德机构商学院内部教材

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1 学习是一种信仰! 尚德机构商学院内部教材 数学基础课讲义 尚德机构教研中心组编 尚德机构出品

2 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 前言 在 MBA 联考中, 数学的重要地位使广大考生不敢忽视, 在考试中能否取得比较理想的成绩, 数学起着及其关键的作用 但是由于考试时间紧, 内容多, 致使每年都有很多考生由于数学考得不理想而败下战场 MBA 考试中涉及的初等数学范围广, 如果没有一本好的复习参考书对广大的考生来说, 复习是相当困难的 为了减轻广大考生复习的难度, 更有效地提高复习效率, 尚德机构 MBA 团队特组织编写了这本系统班教材 这本教材根据 017 年 MBA 联考大纲编写而成, 结构严谨, 内容详实, 能够适应不同基础考生的需求 这本教材在研究历年真题的基础上, 对考试知识点一一解剖, 在详细介绍相关知识点的基础上, 总结归纳了针对每个知识点的常见的考试题型和解题思路, 配备了大量典型的例题, 力争使考生在较短时间内尽快掌握考试内容, 有的放矢地复习, 提高应试得分能力! 本册教材是尚德数学教学团队智慧的结晶 共分七个专题, 其中专题一 专题二 专题三为初等代数模块, 此部分分值较大, 题目灵活, 也是学好后面几个专题的基础, 希望同学们能将根基打牢, 学好这部分知识点 专题四为应用题专题, 也是历届 MBA 考试的重点内容, 分值较大 专题五为数列模块 专题六为几何模块 专题七为概率模块 由于编者的水平有限, 疏漏和不足之处在所难免, 敬请广大学员提出批评意见和宝贵建议, 以便 我们改进 批评和建议可向尚德机构 MBA 中心教学教务部反映

3 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 目录 预备知识 第一章实数的运算和性质 ( 算术 )... 1 第二章整式与分式的运算... 4 第三章函数 方程与不等式... 3 第一节集合与函数 第二节方程 第三节不等式 第四章应用题 第五章数列 第六章几何 第一节平面几何 第二节立体几何 第三节平面解析几何 第七章数据分析 第一节计数原理 第二节概率初步与数据描述 章内习题答案

4 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 017 年管理类联考数学部分概述 017 年管理类联考考试大纲规定综合能力考试由问题求解 条件充分性判断 逻辑推理和语文写 作四部分构成 综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力 逻辑推理能力 空间想象 能力和数据处理能力, 通过问题求解和条件充分性判断两种形式来测试 ( 一 ) 问题求解题 (15 题, 每题 3 分, 共 45 分 ) 问题求解题的测试形式为单项选择题, 要求考生从给定的 5 个选择项中, 选择一个作为答案 ( 二 ) 条件充分性判断 (10 题, 每题 3 分, 共 30 分 ) 答案 条件充分性判断题的测试形式为单项选择题, 要求考生从所给定的 5 个选择项中, 选择一个作为 一 017 年联考综合能力数学部分考试大纲 ( 一 ) 算术 1. 整数 (1) 整数及其运算 () 整除 公倍数 公约数 (3) 奇数 偶数 (4) 质数 合数. 分数 小数 百分数 3. 比与比例 4. 数轴与绝对值 ( 二 ) 代数 1. 整式 4

5 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 整式及其运算 () 整式的因式与因式分解. 分式及其运算 3. 函数 (1) 集合 () 一元二次函数及其图像 (3) 指数函数 对数函数 (01 新增 ) 4. 代数方程 (1) 一元一次方程 () 一元二次方程 (3) 二元一次方程组 5. 不等式 (1) 不等式的性质 () 均值不等式 (3) 不等式求解 一元一次不等式 ( 组 ), 一元二次不等式, 简单绝对值不等式, 简单分式不等式 6. 数列 等差数列 等比数列 ( 三 ) 几何 1. 平面图形 (1) 三角形 5

6 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 () 四边形 ( 矩形 平行四边形 梯形 ) (3) 圆与扇形. 空间几何体 (01 新增 ) (1) 长方体 () 圆柱体 (3) 球体 3. 平面解析几何 (1) 平面直角坐标系 () 直线方程与圆的方程 (3) 两点间距离公式与点到直线的距离公式 ( 四 ) 数据分析 l. 排列组合 (1) 加法原理 乘法原理 () 排列与排列数 (3) 组合与组合数. 数据描述 (1) 平均值 () 方差与标准差 (01 新增 ) (3) 数据的图表表示 : 直方图, 饼图, 数表 3. 概率 6

7 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 事件及其简单运算 () 加法公式 (3) 乘法公式 (4) 古典概型 (5) 贝努里概型 二 历年考题分布情况 纵观五年考试, 数学部分考题考点情况如下表 : 综合 ( 知识点频率 ) 010 年 011 年 01 年 013 年 014 年 015 年 应用题 排列组合概率 函数方程不等式 数与运算 数列 平面 ( 立体 ) 几何 解析几何 3 3 表 年综合考试数学部分考点分布表 三 MBA 数学考试趋势 007 年 MBA 考试改革至今进行了 6 次入学考试, 009 年 010 年又进行了微调, 改革意图和 考试趋势已经呈现在我们面前, 数学部分考试难度适中, 趋于稳定, 主要体现以下三个特点 : 7

8 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学基础性 : 任何一种考试, 知识点都是基础 是核心 是不可或缺的部分 目前, 数学只考实数 整式和分式 方程和不等式 排列组合与概率初步 数据描述 平面几何 解析几何和立体几何初步, 考点已经大量压缩, 保留的知识点大部分考生都在初中时代学习过, 在这种情况下, 每年纯粹知识点的考题一般 5 至 8 个, 并且对这些知识点的考察都有相对的质量和深度, 知识点的交叉 联合比较多, 甚至会考考生不注意的地方或者特别容易出错的地方, 这就要求考生对基本知识点有精深的把握 灵活性 : 经历数次改革以后, 虽然考察的知识点变少了 简单了, 但考题向着灵活和多样化方向发展, 考点不固定, 形式多样, 最不容易把握, 复习的难度并不容易 这就要求考生要有一定的数学思维, 或者说要培养这样的数学思维, 要有很强的学习和做题的灵活性, 然而这样灵活性不是靠题海战术, 更不是靠死记硬背, 而是要通过培养和提高思维方式, 以不变应万变 技巧性 : 一方面, 目前的数学考试, 基本要在 55 分钟之内解决 5 道题, 这对考生做题速度提出了很高的要求 ; 另一方面, 在现在的 MBA 数学考试中, 初等数学奥赛题目等竞赛类考题时有出现 这些都要求在复习中既要注重基本的知识点, 又要掌握一些方便 快捷的方式 方法解决问题 但这方面的学习又不能进入误区, 每年基本上有 6 至 8 个题目有技巧可循, 对于这些题目, 技巧来的直接 便捷 但是我建议不管什么样基础的学生, 首先还是要先夯实基础 同时也要注意, 能用技巧的题目, 一般基础方法都会费时 费力, 影响考试发挥, 适当的学习技巧是必要和必需的 因此, 考生要精深掌握基本知识点, 要熟练运用技巧, 最重要的是要有灵活的思维方式, 三者是数学考高分的关键, 也是缺一不可的 四 数学考试建议针对数学考试的特点 考试内容和考试结构, 特提出以下复习建议 : 1. 学习方法 其一, 数学学习要系统学, 要形成一个有效体系, 所以建议数学学习可以每周集中 1- 次学习, 每次学习的时间 个小时左右, 最好每次学一个专题 其次, 不要搞题海战术, 要做一定量的题 ( 基础阶段不低于 350 个题目, 系统阶段不低于 450 个题目 ), 但一定要清楚做题的目的, 是为了进一步理解 熟练和掌握考察的知识点, 做题的思路和方法 再次, 最好做完一部分题目后, 8

9 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 多思考, 多总结, 培养和建立数学思维, 归纳和总结考试题型 考法, 对知识点 题型 方法和技巧 进行系统完整的归纳, 能把知识点理成一条条线, 再有线织成一张合理 清晰 有效的知识网. 学习思路 数学学习最好跟着老师的步骤学, 不要偏离学习的轨道, 老师做了长时间研究, 对于考试形式 内容基本都能把握得很准, 这个时候教学内容的安排相当于给每一位学生领上一条学习的正确道路, 考试题型 做题思路和方法的讲解相当于开了一扇门 有这条路和这扇门, 每个学生都可以快速 高效地提高成绩 这里尤其要点出的是数学学习程度好和程度差的这两类学生, 学习程度好的不要考虑找什么奥赛书 偏题怪题来做, 至少基础阶段没必要 学习程度差的同学也不要考虑拿初中的课本补, 只需要跟着进度走, 或者老师讲的内容提前作一下简单的预习即可, 越是基础差的, 拥有的辅导书越少越好, 只有掌握资料越少, 才能在有效时间内学好 学透 学专 我们讲课的时候即会放一些难题照顾成度好的, 也会尽可能的保证每个学生都听懂, 照顾程度差的 3. 学习内容 首先是老师讲过的部分, 这是第一位的, 也是最重要的, 最好是在听完课一周之内不看老师的讲解, 自己从新做一遍, 做完和老师的讲解相对照, 查找存在哪些问题 哪些和老师的讲解不一致 题目考察的是什么目的 考试中可能有些题目直接考了我们讲过的原题, 有些考试题目和讲解题目除了语言环境变了一下, 其他都没变, 结果还是有个别同学听完课没好好复习, 考试的时候不会做 所以, 要尤为注重讲过的内容 其次要做完相关的配套练习, 高质量完成习题课和作业 最后是每个老师给学生开的小灶, 比如每日一 恋 题目 或者给的其他练习题目 4. 学习策略 即便是数学这一门课, 学习的策略也不一样, 每一部分由每一部分的特点和考试方式, 要分别对待 在这里简要介绍一下每一模块的学习策略, 应用题是考试中灵活性最大的一块, 在这里要尤其注重思维, 要学会翻译题目, 理出题目的主线, 变文字描述为一条条主线, 就意味着方程出来了 ; 实数 整式分式部分知识点杂, 要归好累, 注重小的概念和知识点的运用 ; 函数 方程 不等式 数列部分知识点和考试题目设置相对固定, 把每种题型弄透即可 ; 排列组合和概率大家相对比较陌生, 好的办法是准确理解概念, 理解 掌握典型的题目, 在自己脑海里建立起相应的模型 ( 比如什么情况下用加法原理 什么情况下用乘法原理, 什么时间该打包 什么时间该插空, 古典概型的三 9

10 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 种形式等 ); 平面几何主要考察面积的转化, 要有一定的几何构思能力 ; 解析几何全是模版化的解题 方法, 对应掌握即可 ; 立体几何不会考太复杂, 主要是把相应图形的特点弄透 人生需要磨砺, 青春不畏挑战! 我们已经扬帆起航, 用我们的坚毅 勇敢 智慧和努力, 达到理 想的彼岸, 书写人生华美乐章! 尚德 MBA 中心 10

11 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 预备知识 一 充分性判断两个数学命题 A B, 若由条件 A 成立, 就可以推出结论 B 成立 ( 即 A B是真命题 ), 则 A 是 B 的充分条件, 即 A 具备了使 B 成立的充分性 若由 A 不能推出 B, 则称 A 不是 B 的充分条件, 即 A 不具备使 B 成立的充分性 例如 : A 为 :x>0,y>0 B 为 :xy>0 当 x>0,y>0, 即 A 成立时, 必有 xy>0, 即 B 成立, 故 A 是 B 的充分条件 反之,B 成立, 则 A 不一定成立, 故 B 不是 A 成立的充分条件 二 条件充分性的判断此类题的求解, 要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论, 阅读条件 (1),() 后作出选择 (A) 条件 (1) 充分, 但条件 () 不充分 (B) 条件 () 充分, 但条件 (1) 不充分 (C) 条件 (1) 和 () 单独都不充分, 但条件 (1) 和 () 联合起来充分 (D) 条件 (1) 充分, 条件 () 也充分 (E) 条件 (1) 和 () 单独都不充分, 条件 (1) 和 () 联合起来也不充分 条件 (1) 条件 () 选项 A B (1)+() C D 11

12 尚德机构 018 考研管理类综合-数学 E (1)+() 三 解题方法 方法一 自下而上 将条件中的参数分别代入题干中验证 特点是至少运算两次 方法二 自上而下 先不看条件 假设题干中命题正确 求出参数 然后将条件中参数范围与 题干成立的参数范围进行比较 若条件范围落入题干成立范围之内 则充分 特点是一次运算 例 1 x 3x 4 0 (1) x 1 () x 第一章 实数的运算和性质 算术 考试大纲要求 1 整数 1 整数及其运算 3 奇数 偶数 整除 公倍数 公约数 4 质数 合数 分数 小数 百分数 3 比与比例 4 数轴与绝对值 备考要点 这部分主要考查数的概念 性质 计算及应用 题型主要有数的计算 对概念的考查及 算术应用题 实数考点概要:?正整数 Z 奇数 +1 或 整数 Z 0 整数 Z 偶数 有理数 Q 负整数 Z 实数 R 分数 m 有限小数或无限循环小数 无理数 无限不循环小数. 常见的有, 3 5,, log 3 4 等等 1

13 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 1 偶数 整数 (Z) ( Z) 正整数 质数 ( 也称素数, 只有 1和自身两个约数 ) 奇数 1 合数 ( 有除 1和自身以外的约数 ) 注意 : 自然数集 N 是非负整数集, 是由正整数和零组成的 一. 实数的概念 性质 1 数的概念与性质 整数 : 指 0, 1,, 为整数可记为 Z. 正整数 : 指 1,,3, 为正整数可记为 Z +. 负整数 : 指 -1,-,-3, 为负整数可记为 Z -. 自然数 : 包括 0 及正整数. 整数分为偶数 (, Z ) 和奇数 ( 1, Z ) 两类 有理数 : 指 ( Z, m Z ), 当 能被 m 除尽时, 是整数, 否则便是分数 m m 4 1 有理数可分为整数 有限小数 无限循环小数 ( 如 :, = 0.8, =0.3 ) 5 3 无理数 : 指无限不循环小数, 如 = , = 实数 : 有理数和无理数统称为实数 有理数与无理数的组合运算性质 A 有理数 (+- ) 有理数, 仍为有理数 ( 注意, 此处要保证除法的分母有意义 ) B 无理数 (+- ) 无理数, 有可能为无理数, 也有可能为有理数 C 有理数 (+-) 无理数 = 无理数, 非零有理数 ( ) 无理数 = 无理数 注意 :(1) 有理数一定可写成分数形式, 无理数则不能, 这是二者的本质区别 () 分母有理化 : 有理化因式 有理化 13

14 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 3 整数的分类 奇偶数的的概念和运算性质 偶数 整数 ( Z) ( Z) 奇数 1 奇数 ± 奇数 = 偶数 偶数 ± 偶数 = 偶数 偶数 ± 奇数 = 奇数 奇数 奇数 = 奇数 偶数 偶数 = 偶数 偶数 奇数 = 偶数 4 正整数的分类 质数和合数 1 正整数 质数 ( 也称素数, 只有 1和自身两个约数 ) 合数 ( 有除 1和自身以外的约数 ) (1) 质数 : 只有 1 和它本身两个约数 ( 因数 ) 的正整数叫质数 ( 或素数 ). 最小的质数为 ( 唯一的偶质数 ); 30 以内的质数共 10 个 : () 合数 : 除了 1 和本身外还有其他约数 ( 因数 ) 的正整数, 最小的合数是 4. 注意 :1 既不是质数也不是合数. 5 整除与带余除法 ( 商数和余数的表示 ) 设整数 被整数 m 整除, 即存在整数 s, 使得 ms, 称 能被 m 整除或 m. (1) 数字整除特征 : 能被 整除的数 : 个位为 0,,4,6,8 能被 3 整除的数 : 各位数字之和必能被 3 整除 能被 4 整除的数 : 末两位 ( 个位和十位 ) 数字必能被 4 整除 能被 5 整除的数 : 个位为 0 或 5. 14

15 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 能被 6 整除的数 : 同时满足能被 和 3 整除的条件 能被 8 整除的数 : 末三位 ( 个位 十位和百位 ) 数字必能被 8 整除 能被 9 整除的数 : 各位数字之和必能被 9 整除 能被 10 整除的数 : 个位必为 0. 6 公约数 公倍数 互质 约数 : 设 a 为一个正整数 ( a Z 则 a=3 5, 所以 a 有约数 1,3,5,15 共 4 个 ),m 为 a 的一个约数是指 :a 能被正整数 m 除尽, 如 a=15, a a 公约数 : 若正整数 m 同时是几个正整数 a1, a a r 的约数, 就称 m 是 a1 a 1, r a 的公约数中的最大的称为最大公约数, r a 的公约数, 并把 a a 公倍数 : 若正整数 同时是几个正整数 a1, a a r 的倍数, 就称 是 a1 a 1, r a 的公倍数中最小的称为最小公倍数, r a 的公倍数, 并把 注意 : 如何求两个数的最大公约数和最小公倍数 : 短除法 定理 : 两个整数的乘积等于他们的最大公约数和最小公倍数的乘积 例 : 两个正整数的最大公约数是 6, 最小公倍数是 90, 满足条件的两个正整数组成的大数在前 的数对共有 ( ) 对 A.0 对 B.1 对 C. 对 D.3 对 E. 无数对 互质 : 若正整数 m 与正整数 的公约数只有 1, 就称这两个正整数 m 与 互质, 并称 为既约分数 ( 最简分数 ) m 二 实数的性质和运算 1. 实数的基本性质 (1) 实数与数轴上的点一一对应 () 若 a,b 是任意两个实数, 则在 a<b,a=b,a>b 中有且只有一个关系成立 15

16 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (3) 若 a 是任意实数, 则 a 0. 实数的运算 实数的四则运算满足加法和乘法运算的交换律 结合律和分配律 还可以定 义实数的乘方和开方运算 (1) 乘方运算 个 a a a a a m m m m m m a a a a a a, a,( ab) a b,( ),( a ) a a b b 当 a 0时, a 1, a. 负实数的奇次幂为负数, 负实数的偶次幂为正数 a () 开方运算 0 1, 在实数范围内, 负实数无偶次方根 ;0 的偶次方根是 0; 正实数的偶次方根有两个, 且互为相反 数, 其中正的偶次方根称为算术根 如 : 当 a>0 时,a 的平方根是 a, 其中 a 是正实数 a 的 算术平方根 1 个 b b a a a bb b 在运算有意义的前提下 : m m a a p a, ab a b, a a, a a b m a ( ) b m m p m (3) 分母有理化 有理化因式 : 两个含有二次根式的代数式相乘, 如果它们的积不含二次根式, 那么这两个代数式 互为有理化因式 ( 一个二次根式的有理化因式不唯一 ) 如 的有理化因式为, 3的有 理化因式为 3 分母有理化 : 去掉分母中的根号, 将分子分母同时乘以分母的有理化因式 裂项相消法 : 常用于当题干中出现多个分数求和的情况 16

17 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 原理 : ( 1) ( ) ( k) k k 例 3 ( ) 14 是一个整数 (1) 是一个整数, 且 3 也是个整数 14 () 是一个整数, 且 7 也是一个整数 4x 7xy y 是 9 的倍数 例 4 (1)x,y 是整数 ()4x-3y 是 3 的倍数 例 5 设 a 为正奇数, 则 a 1必是 ( ). A.5 的倍数 B.6 的倍数 C.8 的倍数 D.9 的倍数 E.7 的倍数 例 6 ( ) p mq 1为质数 (1) m 为正整数, q 为质数 () mq, 均为质数 设 a,b,c 是小于 1 的三个不同的质数 ( 素数 ). 且例 7 a-b b-c c-a 8, 则 a+b+c= (A)10 (B)1 (C)14 (D)15 (E)19 例 8 有四个不相等的整数 a, b, c, d, 且 abcd 9, 则 a b c d= ( ) A 0 B 1 C 4 D 6 E 8 例 9 (09-10) 若 xy, 是有理数, 且满足 (1 3) x (1 3) y 5 3 0, 则 xy, 的值分别为 ( ) A.1,3 B.-1, C.-1,3 D.1, E. 以上结论都不正确例 10 把无理数 5 记作 a, 它的小数部分记作 b, 则 a 1 等于 ( ) b (A)1 (B)-1 (C) (D)- (E) 以上答案均不正确 17

18 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 三 比 比例 1 比 比例的定义 (1) 比两个数相除, 称为这两个数的比, 即 a a: b 相除所得商叫做比值 记作 a:b=a/b=k, b 在实际应用中, 常将比值用百分数表示, 称为百分比 如 : 原值增长率 p% a 现值 a(1 p%) 原值 a 下降率 p% 现值 a(1 p%) 甲 乙甲比乙大 p% p% 乙甲是乙的 p% 甲 乙 p% a c () 比例相等的比称为比例, 记作 a:b=c:d 或 其中 a 和 d 称为比例外项,b 和 c 称 b d 为比例内项 值 当 a:b=b:c 时, 称 b 为 a 和 c 的比例中项, 显然当 a,b,c 均为正数时,b 是 a 和 c 的几何平均 (3) 正比若 y=kx(k 不为零 ), 则称 y 与 x 成正比,k 称为比例系数 (4) 反比若 y=k/x(k 不为零 ), 则称 y 与 x 成反比,k 称为比例系数. 比与比例的性质 (1) 比的基本性质 1 a : b k a kb a : b ma : mb ( m 0) () 比例的基本性质 1 a : b c : d ad bc a : b c : d b: a d : c b: d a : c d : b c : a 18

19 3. 比例的基本定理 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 更比定理 : () 反比定理 : a b a b c d c d a c b a b d d c (3) 合比定理 : (4) 分比定理 : a b a b c d c d a b b a b b c d d c d d a c e a c e a (5) 等比定理 :.( b d f 0) b d f b d f b 易错点 : 忘记了等比定理使用条件 a b c a b c a b c 例 11: 若 k, 则 k 的值为 ( ) c b a A.1 B. 1或 - C.-1 或 D.- E. 以上选项均不正确 例 1 若实数 abc,, 满足 a: b: c 1: :5且 ab c 4, 则 a b c () A.30 B.90 C.10 D.40 E. 70 x y x y 例 13 已知, 则的值是 () 3 5 x y A.5 B.-5 C.4 D.-4 E. 以上答案均不正确 例 14 已知 y与 x1成正比, 比例系数为 k 1, y 又与 x 1 成反比, 比例系数为 k, 且 k1: k :3, 则 x 的值为 ( ) A. 15 B C. 15 D E. 10 四 平均值及运算 1. 定义 19

20 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 算术平均值 : 个实数 x 1, x,, x 的算术平均值为 x x 1 x x x i i 简记为 x 1 () 几何平均值 : 个正实数 x1, x,, x的几何平均值为 x g x1x x x 简记为 g i1 x i 注意 : 几何平均值只对正实数有定义, 而算术平均值对任何实数都有定义 定理及性质 (1) 基本定理 : 当 x 1, x,, x 为 个正实数时, 它们的算术平均值不小于它们的几何平均值, 即 x1+ x+ +x x1 x x ( xi>0, i= 1,, ) 当且仅当 x x = x 时, 等号成立 1 () 常用的基本不等式 a+b + 1 a +b ab( a, br) ab(a b R, ) a+b+c 3 + a b 3 abc(a, b, cr ) 4 ( ) 3 b + a ab a + a R 6 a ( ) 1 - a + a R a - ( ) 注意 : 公式 1~6 当且仅当各字母均相等时等号成立 例 15 x,y 的算术平均值是, 几何平均值也是, 则 1 1 与的几何平均值是 ( ) x y A. B. C. D. E. 以上都不对 3 0

21 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 五 绝对值及其性质 1 实数的绝对值的定义实数 a 的绝对值定义为 : a a a ( a 0) ( a<0) 绝对值的几何意义 实数 a 在数轴上对应一点, 这个点到原点的距离就是 a 的绝对值 a a 0 x 3 绝对值的性质 (1) 非负性 : 任何实数 a 的绝对值非负, 即 a 0 归纳 : 所有非负性的变量 正的偶数次方 ( 根式 ): a, a,, a, a 负的偶数次方 ( 根式 ): 4 a, a,, a, a 0 规则 : 若干个具有非负性质的数之和等于零时, 则每个非负数必然为零 () 对称性 : 互为相反数的两个数的绝对值相等, 即 -a = a (3) 自比性 : x x x 1 x 0 x 1 x 0 例 16: 代数式 a b c 的可能取值为 ( ) a b c A.1 种 B. 种 C.3 种 D.4 种 E.5 种 自比性问题的关键是判断符号, 因此需要掌握以下几个表达式 : 1

22 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 abc 0, 说明 a,b,c 有三正或两负一正 abc 0, 说明 a,b,c 有三负或两正一负 abc 0, 说明 a,b,c, 中至少有一个为 0. (4) 等价性 : 1 a a a a (5) 用法 : 去掉 如 : 3x < 4x 10, 平方得 :( 3x ) < (4x 10) 4 绝对值不等式性质与运算法则 (1) a b ( b 0) b a b () a b ( b 0) a b或 a b (3) ab a b (4) a b a b ( b 0) (5) 三角不等式 1 a+ b a b ( ab 0 时等号成立 ) a b a+ b ( ab 0 且 a b 时等号成立 ) 3 a b a b ( ab 0 时等号成立 ) 4 a b a b ( ab 0 且 a b 时等号成立 ) 注意 : 考试要求掌握等号成立条件的判断 5 求绝对值最值

23 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 常规方法 : 分段讨论法去绝对值符号, 根据图像判断最值 例 17:(007-10) 设 y x x, 则下列结论正确的是 ( ) A. y 没有最小值 B. 只有一个 x 使 y 取到最小值 C. 有无穷多个 x 使 y 取到最大值 D. 有无穷多个 x 使 y 取到最小值 E. 以上选项均不正确 () 终极方法 : 描点看边取拐点法 例 18 已知非零实数 a,b 满足 a 4 b ( a 3) b 4 a, 则 a b等于 () (A)-1 (B)0 (C)1 (D) (E). 以上答案均不正确 a b c ab bc ca 例 19 已知 abc 0, a b c 0, 则 () a b c ab bc ca A.0 B.1 C.-1 D. E. 以上选项均不正确 3

24 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第二章 整式与分式 考试大纲要求 : 1. 整式 (1) 整式及其运算 () 整式的因式与因式分解. 分式及其运算 考试要点梳理 : 1 单项式 : 代数式仅仅是数和字母的非负整数幂的乘积, 如 : xy 整式 1 有理式 多项式 : 有限个单项式的代数和, 如 : xy +3 xz 代数式的分类 A 分式 : 设 A,B 为两个整式,B 中含有字母, 且 B 0, 则代数式称为分式 B 无理式 : 根号内含有字母的代数式, 如 : x, x 1 一 整式及其运算 1 定义在有理式中没有除法运算或有除法运算但除式中不含字母的式子叫整式 整式包括单项式和多项式, 其和 差 积仍为整式 运算 (1) 加减运算 几个整式相加减, 有括号的先去括号, 然后合并同类项 整式加法满足交换律 结合律和对乘法 的分配律 例如 : (a +ab)-(4ab+a b )=a +ab 4ab-a b b 3ab 整式加减法的运算步骤 :(1) 去括弧 () 合并同类项 () 乘法运算 ( 重点 ) 整式乘法的运算步骤 :(1) 一个因式的每一项乘以另一个因式的每一项 () 合并同类项 4

25 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例如 :(a +b)(a b )=a -abab-b =a -ab-b 4 4 注意 : 乘积中的任一项, 都是每个因式多项式中各取一项相乘, 再合并同类项后的结果 (3) 基本公式 (1) ( a b)( a b) a b ()( a b) a ab b (3)( a b c) a b c ab bc ac ( ) a b c a b c ab bc ac (4)( a b) a b 3a b 3ab ( a b) a b 3a b 3ab (5) a b ( a b)( a ab b ) 3 3 a b ( a b)( a ab b ) 注 : 上面所列公式从左推向右, 是乘法公式 ; 而从右推向左则是因式分解公式, 因为它们都是恒 等式, 对所含字母的任意实数值, 原式均成立 (4) 除法运算 1) 竖式除法 : 例 1 计算 : 3 (4x 5x -3x 8) ( x +x 1) 4x 3 商式 3 x x 1 4x 5x 3x 8 被除式 除式 3 4x 8x 4x 3x 3x 7x 8 6x 3 x 5 余式 5

26 4x 总结 : 3 5x 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 3x 8 4x 3x x 1 x 5 上式的一般形式是 F(x)=f(x)g(x)+r(x), 其中 F(x)=4x 4 +5x 3 -x-8 是多项式除法中的被除式, f(x)= x +x 1是除式, 4x 3是商式, r( x) x 5 为一次因式时, 余式 r(x)=r( 为常数 ) F ) 带余除法 : 被除式 F x 除以 f x, 商为 g x, 余式为 r x, 则有 x f xgx rx 至少比 f x 低一次 是余式, 余式次数至少比除式低一次, 当除式 当 F x 能被 x 整除时, x f x g x, r x 为零多项式, 否则 r 1 3) 余数定理 : F( x) a0x a1x a 除以一次因式 (x-a) 所得的余数一定是 F(a) 分析 : 因为 F( x) ( x a) g( x) r 令 x a, 必有 F( a) r 1 b 推论 : 多项式 F( x) a0x a1x a 除以一次因式 ax b 所得的余数一定是 F( ) a 4) 因式定理 : x 含有因式 a ( 即整除 ), 则 F b 推论 : Fx含有一次因式 ax b, 则 F =0 a 运用 : 此为余数定理的特例 ( 余数为 0 的情形 ) f F F x a 0 x 5) 多项式的因式分解 如下 : 把一个多项式表示成几个整式之积的形式, 叫做多项式的因式分解 多项式因式分解的常用方法 方法一 : 提取公因式法 公因式 : 多项式中各项都含有的相同的因式, 即各项中系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积 ax bx cx x( a b c) 方法二 : 公式法 ( 乘法公式从右到左, 即为因式分解公式 ) 方法三 : 分组分解法 6

27 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学分组的三项原则 :(1) 分组后, 能产生公因式 ;() 分组后, 能运用公式法 ;(3) 分组后, 能应用十字相乘法 常用有 一三 分组或 二二 分组法 例 : a a a 1 a ( a 1) ( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a a 1) 注 : 此题同时用到了方法一 二 三 方法四 : 十字相乘法 二次三项式的十字相乘法 x ax px q ( x a)( x b), 其中 p a b, q ab bx c a x c )( a x c ), 其中 a a a c c, 并且 b a c a ( 1 1 例 : 将 3x x 8 因式分解 1, 1c 1 c1 解 : 二次项的系数分解为 3=1*3, 常数项 -8=(-)*4, 所以 3x x 8 =(x-)(3x+4) 方法五 : 求根法 1 若方程 a0x a1x ax a 0 有 个根 x1, x, x, 则多项式 1 a x a x a x a a ( x x )( x x )( x x ) ( x x ) 例 : x 3x 10 ( x 5)( x ) 方法六 : 待定系数法 解题思路 : 两个多项式恒等 同类项系数相等, 然后比较等号两边多项式的系数 例 : 将多项式 x x x 因式分解 3 7

28 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 3 解 : 可先通过观察法检验到 x 为方程 x x x =0的根, 所以 设 x x x =( x )( x ax b) 3 然后根据多项式乘法规则, 根据常数项相等, b=1, 再根据 x 前面的系数相等, 得 a=1, 所以 x x x =( x )( x x 1) 3 注意 : (1) 因式分解的实质是一种恒等变形, 是一种化和为积的变形 () 因式分解与整式乘法是互逆的 (3) 因式分解要分解到在所求的数域内不能再分解为止 (4) 涉及到因式分解的问题, 首先考虑首尾项检验法! 即 : 原式最高次项系数, 一定等于各因式的最高次项系数之积 ; 原式的常数项, 一定等于各因式常数项之积 二 分式及其运算 A 1. 定义若 A,B 表示两个整式, 且 B 0,B 中含有字母, 则称是分式 分子和分母没有正次 B 数的公因式的分式, 称为最简分式 ( 或既约分式 ). 基本性质分式的分子和分母同乘以 ( 或除以 ) 同一个不为零的式子, 分式的值不变, 即有 A ma ( m 0) B mb 分式的基本性质主要应用在分式的通分和约分上 分式运算的最终结果如果仍为分式, 此分式必须通过约分化为最简分式 3. 运算 (1) 加减运算 同分母的几个分式相加减, 分母不变, 分子相加减 ; 不同分母的几个分式相加减, 取这几个分式 分母的公分母作分母, 通分后化为同分母分式的加减运算 例如 : 8

29 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 ( )( ) a b a ab b a ab a ab b a b a b a b a b a( a b) a( a b) a( a b) a 分式加法满足交换律 结合律和对乘法的分配律 () 乘除运算 几个分式相乘, 分子乘分子, 分母乘分母 分式的乘法运算满足交换律 结合律和对加减法的分 配律 两个分式相除, 将除式的分子分母颠倒变为乘法运算 例如 : a ab b a b 4a b a b (a-b) a b a b = (a+b)(a-b) a b a b 重点题型 : 关于 0 的问题 a b c 若 0, 则 (a+b+c) a b c a b c 已知 a b c 3, 且 + + =0, 则 (a+1) +(b+) +(c+3) 的值为 () 例 1 a 1 b c 3 A 9 B 16 C 4 D 5 E 36 1 形如已知 x a或 x + ax 1 0, 求高次代数式的问题 x 整理成 x =-ax-1 形式, 带入整式, 迭代降次即可 3 已知 x 3x 1 0, 则多项式 3x 11x 3x 3的值为 () 例 A -1 B 0 C 1 D E 已知 x a, 求 x, x, x 等代数式的值 3 4 x x x x 9

30 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 3 例 4 例 5 例 6 例 7 例 8 30

31 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 9 例

32 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第三章函数 方程与不等式 考试大纲要求 : 1. 函数 (1) 集合 () 一元二次函数及其图像 (3) 指数函数 对数函数. 代数方程 (1) 一元一次方程 () 一元二次方程 (3) 二元一次方程组 3. 不等式 (1) 不等式的性质 () 均值不等式 (3) 不等式求解 一元一次不等式 ( 组 ), 一元二次不等式, 简单绝对值不等式, 简单分式不等式 考试要点梳理 : 求根公式 解法 可化为一元二次方程超越方程求解 十字相乘 Δ > 0, 两不等实数根 判别式 Δ = 0, 两相等实数根 Δ < 0, 无实数根 一元二次方程 韦达定理 x 1 x b a x x 1 c a 规则使用公式 ( 三种情 根的分布 数形结合做题 ( 三种情 3

33 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第一节集合与函数 一 集合 1. 集合的区间表示 x a x b 可表示为 x ( a, b) x a x b 可表示为 x [ a, b) x a x b 可表示为 x ( a, b] x a x b 可表示为 x [ a, b]. 包含关系 :( 子集, 真子集, 相等, 子集的个数 ) A B x A x B 若 AB 且 BA 则 A=B 结论 : 含有 个元素的有限集共有 3. 集合的运算 ( 交集, 并集, 补集 ) 交集 :A B x A且 x B 并集 : A B x A或 x B 个子集,, 或记 I 补集 : 设 I 为全集, 则 A x I x A C A A A=,A A I 二 常用函数及其性质 (1) 常见的一次函数与一元二次函数 A 一元一次函数 概念 : 形如 y=kx+b (k b 是常数, k 0 ) 的函数叫做一次函数 当 b=0 时,y=kx 叫做正比例函数 b 图像 : 一次函数 y=kx+b ( k 0 ) 的图像是一条直线, 经过点 (0,b) 和 (-, 0 ) k 正比例函数 y=kx ( k 0 ) 的图像是经过原点 (0,0) 的一条直线, 只需取一点 (1,k) 和原 点就能将图像画出 对一次函数 y=kx+b 中的系数 k,b 的理解 : 直线 y=kx+b 中 k 的符号表示直线的方向,b 是直线与 y 轴交点的纵坐标 : 33

34 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 b 0时, 直线与 y 轴交于正半轴上 ; b =0 时, 直线过原点, 直线解析式是正比例函数 ; b 0 时, 直线与 y 轴交于负半轴上 例 : 直线 y=ax+b 过第二象限 (1) a= -1, b=1 () a= 1, b=-1 B 一元二次函数 (A) 表达式 a) 一般式 : y ax bx c b 4ac b b) 顶点式 : y ax a 4a c) 交点式 : y a x x x x (B) 系数 abc,, 和 y ax bx c的关系 a) a 决定开口方向, 当 a 0, 抛物线开口向上 ; 当 a 0, 抛物线开口向下 ; b b) 对称轴为 x, a 和 b 决定对称轴在 y 轴的左侧或右侧, 当 a, b 同号, 对称轴在 y a 轴左侧 ; 当 a, b 异号, 对称轴在 y 轴右侧 ; 当 b 0 时, 对称轴即 y 轴 c) c 表示抛物线在 y 轴的截距 c 0, 抛物线交于 y 轴正半轴 ; c 0, 抛物线交 y 轴负半轴 ; c 0, 抛物线过原点 1 d) b 4ac 决定抛物线 x 轴交点的个数 0两个交点 ; 0一个交点, 即顶点在 x 轴 ; 0无交点 e) b 4, ac b 表示抛物线的顶点, 决定函数的最值 a 4a 4ac b 4ac b 若 a 0, 函数有最小值 ; 若 a 0, 函数有最大值 4a 4a 34

35 () 指数函数 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 x x 指数函数 y=a(a>0,a 1), 定义域是 R, 过 (0,1) 点, 当 a>1 时 y=a 单调增, 当 0<a<1 时, 单调减, 其图象为 : (3) 对数函数 x y=log (a>0,a 1) 定义域为 (0,+ ) 过 (1,0) 点, a x 当 a> 1时,y=log 是增函数, 当 0<a<1 时, 是减函数 a a 1 0a 1 图 象 (1) 定义域 : (0, ) 性 质 () 值域 : R (3) 过点 (1, 0), 即当 x 1时, y 0 (4) 在 (0,+ ) 上是增函数 (4) 在 (0, ) 上是减函数 常用的对数运算律 ( 假设下列各式运算有意义 ): (1) log M log N log MN a a a log M log N log a a a M N 35

36 () log 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 a M log M a log m a M loga M, 若 m m, 即 log log a M M a (3) 对数恒等式 : (4) 换底公式 : log a M a log a M M logc M log a c (5) log a 1,log 1 0 注 : a lg x log 10 x 例 1 函数 y ax bx c( a 0) 在 [0, ) 上单调递增的充分必要条件是 ( ) A a 0且 b 0 B a 0且 b 0 C a> 0且 b 0 D a> 0且 b 0 E 以上都不对 例 ( ) 一元二次函数 x(1 x) 的最大值为 ( ) (A)0.05 (B)0.10 (C)0.15 (D)0.0 (E)0.5 例 3 (013-14) 已知抛物线 y x bx c 的对称轴为 x=1, 且过点 (-1,1), 则 ( ) A b, c B b, c C b, c D b 1, c 1 E b 1, c 1 例 4 (013-16) 已知二次函数 f(x)=ax a bx c, 则方程 f(x)=0 有两个不同实根 (1) a+c=0 () a+b+c=0 例 5 (014-3) 已知二次函数 f(x)=ax (1) 曲线 f(x) 过点 (0,0) 和 (1,1) () 曲线 f(x) 与 y=a+b 相切 例 6 (008-1)a>b bx c, 则能确定 a,b,c 的值 (1) a,b 为实数, 且 a b 1 a 1 b () a,b 为实数, 且 ( ) ( ) x 例 7 函数 y a 在 [0,1] 上的最大值与最小值的差为 3, 则 a 的值为 () 36

37 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 1 1 A? B? C 4 D E 以上答案均不正确 4 例 8 设 a log 3, b log 3, c log3, 则 ( ) A a b c B a c b C b a c? D b c a E 以上均不正确 第二节方程 一 一元一次方程 1. 定义 含有一个未知数且未知数的最高次数为一次的方程称为一元一次方程, 其标准形式为 : ax+b=0 (a 0). 形如 ax=b 的方程的解法 (1) 当 a 0 时, 原方程的解为 x=-b/a; () 当 a=0,b 0 时, 不存在 x 值使等式成立, 原方程无解 ; (3) 当 a=0,b=0 时, 即 0x=0, 则原方程的解为全体实数 二 二元一次方程组 1. 定义 a1 x b1 y c1 形如 ax b y c ( 其中 a 与 b, a 与 b 分别不同时为零 ) 的方程组, 称为二元一次方程组, 是由 1 1 两个二元一次方程组成的 这两个二元一次方程的公共解就是该二元一次方程组的解. 二元一次方程组的解法 (1) 加减消元法 a1x b1 y c1 ax b y c (1) () 37

38 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 将 (1) b () b, 消去 y( 也可以消去 x), 得 : 1 ( a b a b ) x b c b c 从中解出 x, 再将 x 的值代入 (1) 或 (), 求出 y 的值, 从而得出方程组的解 () 代入消元法 c 由 (1) 得 y a x b ( b 0), 将其代入 (), 消去 y, 得到关于 x 的一元一次方程, 解之 1 (3) 注意 : 对二元一次方程组的解的分析 例 9: 下列命题中正确的是 ( ) x y A 方程组 有一组解 4xy 6 x3y 7 B x 1, y 是方程组 唯一的一组解 x y0 x+ 3y C x1, y0是方程组 唯一的一组解 4x6y4 3x-y1 D x1, y1是方程组 的一组解 x 3y 6 三 一元二次方程 1. 定义 含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的方程称为一元二次方程, 其 标准形式为 :. 解法 ax + bx + c = 0 (a 0) (1) 因式分解法 把方程化为形如 a(x-x 1 )(x-x )=0 的形式, 则解为 x=x 1 或 x=x 例如 : 6x +x-=0 38

39 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (x-1)(3x+)=0 解得 x 1 =1/ 或 x =-/3 () 公式法 将配方后的结果直接用做公式使用 由 ax b b 4ac +bx+c=0 (a 0) 得 x ( 求根公式, 1, =b 4ac 0) a 例如 :3x 5x = 0, 由于 Δ= = 49, 所以 x 1, 5 7 3, 即 x, x 根的判别式 (a, b, c R) b = b 4ac 0 4ac 0 0 两个不相等的实根 两个相等的实根 无实根 >0 = 0 < 0 f(x) = ax + bx + c (a > 0) x 1 x x 1, f(x) = 0 的根 x b a 1, 1, x b a 无实根 4 根与系数的关系 ( 韦达定理 ) (1) 韦达定理形式 39

40 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学设 x 1, x 是方程 ax + bx + c = 0 (a 0, 0) 的两个根, 则 xx是方程 1 ax bx c 0的 两根 a 0, 0 x x b a 1 x x c a 1 韦达定理的应用 : 不解出方程, 就可以求有关方程根的一些代数式的值 5 方程公共根的问题 解题思路 对于两个一元二次方程组的公共根问题, 可将两方程相减, 解出公共根, 代入任何一个 方程求解 例 10 例 11 ( 005-1) 已知 x1, x 是 x ax-1=0 的两个实根, 则 x + x =() 1 A a a a a a B 1 C -1 D - E 1 1 例 1 设 a 1 3 a, b 1 3b, 且 a b, 则代数式 值为 ( ) a b A 5 B 7 C 9 D 11 E 1 例 13 已知 a,b 是方程 x 4x m 0的两个根,b,c 是方程 x 8x 5m 0 的两个根, 则 m=( ) A 0 B 3 C 或 0 3 D -3 E 或 0-3 第三节不等式 一 不等式的基本性质 1. a>b,c>0, 则 ac>bc, a>b,d<0, 则 ad<bd;. 传递性 : a b, b c a c ; 40

41 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 ab0 3. 同向皆正相乘性 : ac bd ; cd 皆正倒数性 : a b 0 0; b a 5. 皆正乘方性 : a b 0 a b 0 ( 为正整数 ) ; 6. 皆正开方性 : a b 0 a b 0 ( 为正整数 ) 二 一元一次不等式及其解法 1. 一元一次不等式的解法 a 0时 ax b( a 0) a 0时 b x a b x a. 一元一次不等式组的解法 分别求出组成不等式组的每一个一元一次不等式的解集后, 求这些解集的交集 ( 可以运用数轴, 直观地求出交集 ) 三 一元二次不等式及其解法 1. 一元二次不等式的标准形式为 : ax bx c> a 0 ( 0) ax bx c< a 0 ( 0) 注意 : 一元二次不等式的标准形中, 二次项的系数为正. 一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系 1 1 (1) 设方程 ax bx c ( 0 a> 0) 有两个不等实根则 ax bx c> 0的解集为 x <x 或 x> ; ax bx c<0 的解集为 x <x< 1 x 注意 : 若不等式二项式系数 a<0, x, x, 且 x x, 1 x ( 即 或 ), 则只需在解集中增加两个根即可 可化为正值再求解集 若不等式带等号 41

42 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 四 一元二次不等式的恒成立问题 注意 : 一定要数形结合, 理解记忆 例 14 已知对于任意实数 x, 不等式 (a ) x 4 x ( a 1) 0都成立, 则 a 的取值范围是 ( ) A (,) (, ) B (,-) [, ) C (-,) D (, + ) E 以上均不对 4

43 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第四章 应用题 考试大纲要求 : 应用数学知识解决实际问题的能力 ( 应用题 ) 考试要点梳理 : 纯算术问题 弄清单位 1 平均值类型题目用 十字交叉法 解决 直线型 行程问题 相遇问题 t s v1 v 环型 追击问题 t s v1 v 浓度问题 溶质浓度 = 溶液 应用题 工程问题 管道灌油 - 工程问题 平均分 ( 混合 ) 问题 交叉法 不定方程问题 函数最值 最值问题 数形结合 集合 韦恩图 43

44 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 题型 1 算数类应用题 注意 : 分清分数表示的是 量 还是 率 1 例 1 (007-10) 一满杯酒的容积为升 8 3 (1) 瓶中有 4 () 瓶中有 7 升酒, 再倒入 1 满杯酒可使瓶中的酒增至升 8 3 升酒, 再从瓶中倒出 满杯酒可使瓶中的酒减至 4 1 例 (014-1) 某公司投资一个项目, 已知上半年完成了预算的 3, 下半年完成了剩余部分的 3, 此时还有 8 千万元投资未完成, 则该项目的预算为 ( ) 1 升 A.3 亿 B.3.6 亿 C.3.9 亿 D.4.5 亿 E.5.1 亿 例 3 (01-1) 在一次捐赠活动中, 某市将捐赠的物品打包成件, 其中帐篷和食品共 30 件, 帐篷比食品多 80 件, 则帐篷的件数是 ( ) A.180 B.00 C.0 D.40 E.60 题型 不定方程型注意 : 整理成分式形式, 推算整数解 例 4 (011-10) 一次考试有 0 道题, 做对一题得 8 分, 做错一题扣 5 分, 不做不计分, 某同学共得 13 分, 则该同学没做的题数是 ( ) A.4 B.6 C.7 D.8 E.9 例 5 (011-1) 在年底的献爱心活动中, 某单位共有 100 人参加捐款. 据统计, 捐款总额是 元, 个人捐款数额有 100 元 500 元和 000 元三种, 该单位捐款 500 元的人数为 (A)13 (B)18 (C)5 (D)30 (E)8 题型 3 利润问题以及百分比应用题 注意 : 这类问题的关键是找准基准量, 明确所求的是哪些量的比 1. 变化率 变化量现值 -原值变化率 100%= 100% 变前量原值 设原值为 a, 变化率为 p %, 若上升 p%, 则现值 ( a1 p% ), 若下降 p%, 则现 44

45 值 ( a1 p% ).. 利润问题 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 利润 售价 进价 ; 利润售价 成本售价 () 利润率 100% 100 % ( 1 ) 100 %; 成本 ( 进价 ) 成本成本 (3) 售价 = 成本 + 利润 = 成本 ( 1+ 利润率 ) 连续增长 : 一月份产值为 a. 以后每月比上月增长 p%, 则十二月份产值 a(1 p%), 全年产值为 a a(1 p%)+ + a(1 p%). 例 6 (010 1). 某商品的成本为 40 元 若按该商品标价的八折出售, 利润率是 15%, 则该商品 的标价为 ( ) (A)76 元 (B)331 元 (C)345 元 (D)360 元 (E)400 元 例 7 某商品单价上调 10% 后, 再降回原价, 问下降的百分比是 ( ) A.6% B.7% C.11% D.9% E.1% 例 8 (009-1)A 企业的职工人数今年比前年增加了 30% (1) A 企业的职工人数去年比前年减少了 0% () A 企业的职工人数今年比去年增加了 50% 11 题型 4 比例问题 例 9 (010-1) 电影开演时观众中女士与男士人数之比为 5:4, 开演后无观众入场, 放映一个小时 后, 女士的 0%, 男士的 15% 离场, 则此时在场的女士与男士人数之比为 ( ) A.4:5 B.1:1 C.5:4 D.0:17 E.85:64 例 10 某公司得到一笔贷款共 68 万元用于下属三个工厂的设备改造, 结果甲 乙 丙三个工厂按比 例分别得到 36 万元 4 万元和 8 万元 (1) 甲 乙 丙三个工厂按 : : 的比例分配贷款 3 9 () 甲 乙 丙三个工厂按 9:6: 的比例分配贷款 题型 5 行程问题 1. 基本公式 : 路程 = 速度 时间 ; 路程 时间 = 速度 ; 路程 速度 = 时间.. 相遇及追击问题 45

46 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 直线运动 : 1 两人相向而行, 在中途相遇 ( 如图 1): 设甲乙两人在一段路程上行走, 他们的速度分别为 S1 S v1, v, 相遇时两人走过的路程为 S1, S, 相遇时所用时间为 t, 则 t : v v 甲乙两人从同一起点行走, 甲先走了一段路程 S 后, 乙沿同样的路程去追甲 ( 如图 ), 乙追 S 上甲所用时间为 t, 他们的速度分别为 v1, v v1 v, 则 t. v v 1 1 图 1 图 () 圆周运动 ( 设圆周长为 ) 1 甲乙从同一点开始同向运动 ( 如图 1): 则 S S S, 甲乙每相遇一次, 甲比乙多跑一圈, 若相遇 次, 则有 S S S ; 甲乙从同一点开始相背运动 ( 如图 ): 则 S S S, 甲乙每相遇一次, 甲与乙路程之和 为一圈, 若相遇 次有 S S S. 甲 乙 甲 乙 S 甲 甲 乙 乙 图 1 图 注意 在解决圆圈型追及相遇题时, 在求第 次相遇情况时, 可以将 1次相遇看成起点进行分析考虑. 例 11 (007-10) 甲 乙 丙三人进行百米赛跑 ( 假设他们速度不变 ), 当甲到达终点时, 乙距离终点还有 10 米, 丙距离终点还有 16 米, 当乙到达终点时, 丙距离终点还有 ( ) 米 (A) 3 (B) 0 3 (C) 15 3 (D) 10 3 (E) 以上选项均不正确 46

47 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学例 1 (00-10)A B 两地相距 15 公里, 甲中午 1 时从 A 地出发, 步行前往 B 地,0 分钟后乙从 B 地出发骑车前往 A 地, 到达 A 地后乙停留 40 分钟后骑车从原路返回, 结果甲 乙同时到达 B 地, 若乙骑车比甲每小时快 10 公里, 则两人同时到达 B 地的时间是 ( ) A 下午 时 B 下午 时半 C 下午 3 时 D 下午 3 时半 E 以上选项均不正确 例 13 (011-10) 甲 乙两人赛跑, 甲的速度是 6 米 / 秒 (1) 乙比甲先跑 1 米, 甲起跑后 6 秒钟追上乙 () 乙比甲先跑.5 秒, 甲起跑后 5 秒钟追上乙 题型 6 相对速度问题 (1) 顺水 逆水问题 V v v V v v 顺船水 逆船水 例 14 V V v 顺逆水 例 15 例 16 例 17 例 18 47

48 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 题型 7 工程 ( 进水放水 ) 问题 解决这类问题时, 通常将整个工程量看成单位 1, 然后根据题目条件按比例求解. 计算公式 : 工作效率 = 完成的工作量 工作时间, 总量 = 部分量 部分量所占的比例 一件工程甲队单独做 a天完成, 则甲队单独做一天完成工程的. a 1 1 a b. 一件工程甲队单独做 a天完成, 乙队单独做 b天完成, 则甲乙两队合作一天完成工程的, a b ab 1 1 ab 甲乙两队合作需 1 天完成. a b a b 例 19 (010-10) 一项工程要在规定时间内完成, 若甲单独做要比规定的时间推迟 4 天, 乙单独做要比规定的时间提前 天完成, 若甲 乙合作了 3 天, 剩下的部分由甲单独做, 恰好在规定时间内完成, 则规定时间为 ( ) 天 (A)19 (B)0 (C)1 (D) (E)4 例 0 (011-1) 某施工队承担了开凿一条长为 400 米隧道的工程, 在掘进了 400 米后, 由于改进 了施工工艺, 每天比原计划多掘进 米, 最后提前 50 天完成了施工任务, 原计划施工工期是 ( ) 天 (A) 00 (B)40 (C)50 (D)300 (E)350 例 1 (011-1) 现有一批文字材料需要打印, 两台新型打印机单独完成此任务分别需要 4 小时与 5 小时, 两台旧型打印机单独完成此任务分别需要 9 小时与 11 小时, 则能在.5 小时内完成任务 (1) 安排两台新型打印机同时打印 () 安排一台新型打印机与两台旧型打印机同时打印 题型 8 平均值问题 ( 以及溶液配比问题 ) 解题提示 交叉法原理 : 设一个整体可分成 A B 两部分,A 部分的数值有 x 个 a, B 部分的数值有 y 个 b, A+B 的平均值为 c, 则我们可用十字交叉法来求 A B 数量之比 : A: a c b C 48

49 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 x c b 则根据 ax by c( x y), 得. y a c 例 (014-1) 某部门在一次联欢活动中共设了 6 个奖, 奖品均价为 80 元, 其中一等奖单价为 400 元, 其他奖品均价为 70 元, 一等奖的个数为 ( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 (E) 例 3 (08-1) 若用浓度 30% 和 0% 的甲 乙两种食盐溶液配成浓度为 4% 的食盐溶液 500 克, 则甲 乙两种溶液应各取 ( ) A. 180 克和 30 克 B. 185 克和 315 克 C. 190 克和 310 克 D. 195 克和 305 克 E. 00 克和 300 克 例 4 (009-10) 已知某车间的男工人数比女工人数多 80%, 若在该车间一次技术考核中全体工 人的平均成绩为 75 分, 而女工的平均成绩比男工平均成绩高 0%, 则女工的平均成绩为 ( ) 分 (A)88 (B)86 (C)84 (D)8 (E)80 题型 9 溶液问题 1 知识点归纳 溶质 (1) 溶液 = 溶质 + 溶剂 () 浓度 = 溶液 解题技巧 : (1) 交叉法 () 经验公式法 解题提示 根据溶质守恒, 来分析浓度的变化 例 5 (011-10) 含盐 1.5% 的盐水 40 千克蒸发掉部分水分后变成了含盐 0% 的盐水, 蒸发掉的水 分的重量为 ( ) 千克 (A)19 (B)18 (C)17 (D)16 (E)15 题型 10 集合问题( 容斥问题 ) 设 ma ( ) 表示集合 A 所含元素的个数, 则 ( 其他集合元素个数表示法类似 ): 49

50 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 图 1 图 m( A B) m( A) m( B) m( AB) ( 如图 1), m( A B C) m( A) m( B) m( C) m( AB) m( AC) m( BC) m( ABC) ( 如图 ). 例 6 (008-1) 某单位有 90 人, 其中 65 人参加外语培训,7 人参加计算机培训, 已知参加外语培训 而未参加计算机培训的有 8 人, 则参加计算机培训而未参加外语培训的人数是 ( ) A 5 B 8 C 10 D 1 E 15 例 7 (008-10) 某班同学参加智力竞赛, 共有 A B C 三题, 每题或得 0 分或得满分, 竞赛结果 无人得 0 分, 三题全部答对的有 1 人, 答对两题的有 15 人, 答对 A 题的人数和答对 B 题的人数之和 为 9 人, 答对 A 题的人数和答对 C 题的人数之和为 5 人, 答对 B 题的人数和答对 C 题的人数之和为 0 人, 那么该班的人数为 ( ) 人 A.0 B.5 C.30 D.35 E.40 例 8 (010-1) 某公司的员工中, 拥有本科毕业证, 计算机等级证, 汽车驾驶证的人数分别为 130,110,90, 又知只有一种证的人数为 140, 三证齐全的人数为 30, 则恰有双证的人数为 ( ) A.45 B.50 C.5 D.65 E

51 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第五章数列 考试大纲要求 : 数列 等差数列 等比数列 考试要点梳理 : 基本概念 通项 a S S 1 S 1 =1 前 项和 通项 a a1 ( 1) d am ( m) d 数列 等差数列 前 项和 a a ( 1) d d ( a1 ) 1 S a1 d m p q a m a a p a q 性质 S, S S, S S, 为等差数列 3 两个特殊数列 a b k k S T k1 k1 通项 a a q 1 * 1 (q 为常数, N ) 等比数列 前 项和 S a 1 q 1 ( 1 q ) a1 a1 q 1 q 1 q 51

52 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 m p q am a ap aq 性质 一 数列的概念 : 依某顺序排成一列的数. 表示方法 : a 1, a, a 3, a 1, a. 或数列 S, S S, S S, 为等比数列 3 a. 1. 通项和通项公式 : 数列 a : a 1, a, a 3, a 1, a, 通项 a, 通项公式 a f ( ). 例 1. 写出下列数列的一个通项公式 : (1) 1,-1,1,-1, ()1,-,3,-4, (3) 3,5,9,17,33,. 通项公式 a 和前 项和 S 的关系 ( ) a S i, i1-1 S a a a a a =1 S -S 注意 : a S S ( 1 ), 用此公式则不包含 a 1! 即用完此公式后, 要进行验证首项是否符合公式, 如果不符合, 应该单列出首项 比较两个例子 : 例. 已知下列数列 a 前 项和 S 的公式, 求 a 的通项公式. 1 S = + 4 ; S = 3+ ; 二 等差数列的基本概念 1 定义 : 如果一个数列从第 项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做这个等差数列的公差, 记做 d. 即 : a 1 a d.( d, N 为常数 );. 通项公式 : a a1 ( 1 ) d.( d为常数, N );( 知 三 求 一 ) 推广 1: a a 1 d d a d. 当公差 d 不为零时, 可将其看成关于 的 1 1 5

53 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 一次函数 f ( ) d a d 如 : 数列通项公式为 a 可得 :1) 是等差数列, ) 公差为 5, 3) 首项为. a 推广 : a am( m) d.( d为常数, m N a ). 可变形 : d m a b 3 等差中项: 如果 a,a,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 即 A. m 4 前 项和公式 : ( a a ) ( 1) d d 1 S a1 d ( ) ( a1 ). 当公差 d 不为 0 时, 可将其抽象成关于 的二次函数 d d f ( ) ( ) ( a1 ), 其特点 : (1) 常数项为零, 过原点 ; () 开口方向由 d 决定 ; d 1 a (3) 二次项系数为 ; (4) 1 对称轴 x ( 求最值 ); d 如 : 一个数列前 项和 S 3, 则可得此数列为等差数列, 且公差是 6, 首项是. 注意 :(1) 若 d 不为零, 等差数列的前 项和只能为二次函数, 无常数项 ; 若 d 等于零, 则退化成 一次函数 () 如果 S 是一个含有常数项的二次函数, 则数列不再是等差数列, 但从第二项以后的各项仍 然构成等差数列, 其特点仍符合上述规律 5. 等差数列的性质 : 设 a 为等差数列 (1) m p q, 则 a a a a ( m,, p, q N ). 特殊地, 当 p q时, a a a. m p q m p 注意 : 可以将此公式推广到多个, 但要满足两个成立条件 : 一是角码之和要分别相等, 二是等号两端的项数要分别相等 如 : a a 8 + a 1 a 4 a 7 a 11 a 6 a 16 ( 因为项数不同 ) 53

54 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 () 等差数列 b a b k k1 k S T k1 a 和的前 项和分别为 S和 T, 前 k-1 项分别用 Sk 1和 Tk 1表示, 则有 (3) 若 S 为 a 的前 项和, 则 S, S S, S3 S, 成等差数列, 公差为 d. (4) 当 d 0, 等差数列是递增的, 若 a1 0, 则 S 有最小值 ; 当 d =0 时, 等差数列为常数数列 ; 当 d <0 时, 等差数列是递减的, 若 a1 0, 则 S 有最大值 求 S 最值思路 : 当 a 为 0 或者 a 变号 ( 由负变正或者由正变负 ) 时, S 会出现最值 1> 求 a =0 时 值 令 a =0 若解得 为整数 m, 则 Sm Sm 1均为最值 d d > 前 项和可整理为 : S = ( ) ( a1 ), 利用二次函数相关知识求最值, 求出对称轴, 则 最值取在最靠近对称轴的整数处 6. 等差数列的判定方法 : (1) 定义法 : a 1 a d.( d, N 为常数 ); () 中项公式法 : a 1 a a.( N ). (3) 通项公式法 : a k b, ( k, b, N ) 为常数 ; ( 因为 a a1( 1 ) d d ( a1 d).( d为常数, N ); a 可表示为 a k b, 其中 k 为等差数列的公差, 它可取任意实数 ) 则 (4) 前 项和公式法 : S a b( a, b为常数 ). (-1) d d ( 因为 S a1 d= ( a1 ). 则 S 可表示为 S a b, 其中 a,b 可以为任意实数, 常数项为 0 是一大特点 ) 54

55 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 3 (013-10) 若数列 a A a 8 3 B a 8 5 的前 项和 S 4, 则它的通项公式是 ( ) C a 3, 1 8-3, 3, 1 D a E 以上选项均不正确 8 +5, 例 4 数列 a 的前 项和 S 3+, 则 a+ 1+ a+ + a +3= ( ) 例 5 ( ) 下列通项公式表示的数列为等差数列的是 ( ) A a B a -1 C a 5 ( 1) 1 D a E a 例 6 ( 014-1) 已知 a 为等差数列, 且 a a5 a8 9, 则 a1 + a + a9 ( ) A 7 B 45 C 54 D 81 E 16 例 7 ( ) 若等差数列 a 满足 5a7 a31 0, 15 ak =( ) k 1 A 15 B 4 C 30 D 45 E 60 例 8 ( ) a 1 a 8 a 4 a 5 (1)a 为等差数列, 且 a1 0 ()a 为等差数列, 且公差 d 0 例 9 一个等差数列的首项为 1, 公差为 -3, 则前 项和 S 的最大值为 ( ) A 70 B 75 C 80 D 84 E 90 例 10 若在等差数列中前五项和为 0, 紧接在后面的 5 项和为 40, 则紧接在后面的 5 项和为 ( ) A 40 B 45 C 50 D 55 E 60 例 11 (009-1)a 的前 项和 S 与 b (1) a 和 b () a 10 :b 10 3: 是等差数列 的前 项和 T 满足 S19: T19 3: 三 等比数列的基本概念 : ( 注意等比数列任一个元素均不能为零!) a 1 定义 : 1 qq a ( 为非零常数 ) 1 m 通项公式 : a a1 q ( q为常数, N ); 推广 : a amq ( q为常数, mn ). 55

56 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 3 等比中项 : 如果 a,g,b 成等比数列, 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项, G ab, 显然 ab 0. a1.( q 1) 4 前 项和 : S a1 (1 q ) a1 aq 或 ( q 1) 1q 1q 5. 等比数列的性质与有关结论 : 设 a 为等比数列 (1) 若 m p q, 则 a a a a ( m,, p, q N ). m p q 特殊地, 当 p=q 时, am a ap. 注意 : 可以将此公式推广到多个, 但要满足两个成立条件 : 一是脚码之和要分别相等, 二是等号两端 的项数要分别相等 如 : a a 8 a 1 a 4 a 7 a 11 a 6 a 16 ( 因为项数不同 ) 易错点 等比数列中各项符号问题 在等比数列中, 所有奇数项都是同号的, 所有偶数项也是同号的, 但是相邻两项可能同号也 可能异号 () 若 S 为 a 的前 项和, 则 S, S S, S3 S, 成等比数列, 公比为 q 重点题型 例 1 (11-10) 若等比数列 a 满足 aa4 a3a5 aa8 5, 且 a1 0, 则 a3a5 (A)8 (B)5 (C) (D)- (E)-5 例 13 等比数列 a a a 34, a a 30 中, a, 那么 3 (A) 8 (B)-8 (C) 5 (D)-5 (E)8 例 14 已知等比数列的公比为, 且前 4 项之和等于 1, 那么其前 8 项之和等于 ( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)1 (E)3 例 15 (007-10) S 6 = 16 56

57 (1) 数列 () 数列 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 a 的通项公式是 a 10 (3 +4)( N) a 的通项公式是 a ( N) 57

58 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第六章几何 考试大纲要求 : 平面几何考试要点梳理 : (1) 三角形 () 四边形 ( 矩形 平行四边形 梯形 ) (3) 圆与扇形 考试要点梳理 : 直线 平行相交 ( 垂直 ) 一般性质边, 角 ( 内角和, 外角的性质 ) 平面图形 面积 ah ab S si C p( p a)( p b)( p c) 三角形 直角三角形 特殊三角形 等腰三角形 等边三角形 全等与相似 几何图形 平行四边形 四边形 梯形 圆的性质 圆 扇形 58

59 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学一. 三角形 1. 三角形的性质 : <1>. 三角形内角和定理 : A B C 180 <>.. 三角形三边关系 : 三角形任意两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边. <3>. 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. <4>. 三角形面积公式 : 1 1 S ah absi C p( p a)( p b)( p c)( 海仑公式 ), 其中 p a b c. 其中 h 是 a 边上的高, C 是 a,b 边所夹的角, p 为三角形的半周长. <5>. 三角形中位线 : 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线, 三角形的中位线平行于 第三边, 并且等于第三边的一半 <6>. 三角形的 四心 : (1) 重心 : 三条中线的交点 重心定理 : 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍 由三条中线所分的六个小三角形面积都相等 () 垂心 : 三条高的交点 (3) 内心 : 三条角平分线的交点就是内心, 也是三角形内切圆的圆心 (4) 外心 : 三角形三边垂直平分线的交点, 也是三角形外接圆的圆心. 特殊三角形 : <1>. 直角三角形 : 1 勾股定理 : c a b. 三角形是直角三角形 ( 其中 C 90 ). 59

60 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 角所对的直角边等于斜边的一半. 两种特殊的直角三角形三边关系 : 30 直角三角形 : 1 : 3 : 等腰直角三角形 : 1 :1: 3 两直角边的乘积等于斜边与其高的乘积. <>. 等腰三角形 : 1. 等腰三角形 两个底角相等 两腰上的中线相等, 两底角平分线相等.. 三线合一 : 顶角平分线 底边上的高 底边上的中线 <3>. 等边三角形 : 1. 三条边都相等, 各角都相等 (60 ). 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 3 3. 面积为 S a 4 ( a 为边长 ) <4>. 两个三角形的全等 ( ABC A B C ): 1 判定方法 :SSS SAS ASA AAS HL(5 种 ) 性质 : 对应线段 ( 对应边, 对应边上的高 中线 角平分线 ) 均相等, 且对应角 面积也相等. <5>. 两个三角形的相似 ( ABC A B C ): 1. 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 如下图所示 : 60

61 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 AD AE ; AD AE ; DB EC ; AD DB AB DB EC AB AC AB AC AE EC AC. 如果一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例, 那么这条线段平行于三角形的第三边 3 相似比的定义 : 相似三角形对应边的比 ( k ) 叫做相似比 ( 或相似系数 ) 4 相似性质 a. 相似三角形的对应角相等, 对应线段成比例. b. 相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. c. 相似三角形周长的比等于相似比 ; 面积的比等于相似比的平方. 5 相似的应用 二. 四边形 ( 平行四边形 ) 1. 四边形的内角和等于 360 ; 多边形内角和定理 : 边形的内角的和等于 (-)

62 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 推论 : 多边形的外角和是 平行四边形的性质及判定方法 : (1) 平行四边形的定义 : 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 () 平行四边形的性质 : A. 平行四边形的对边平行且相等, 对角相等 ; B. 平行四边形的对角线互相平分. (3) 若平行四边形两边长是 a,b, 以 b 为底边的高为 h, 则面积为 S bh, 周长 l ( a b). 3. 特殊的平行四边形 : (1) 矩形 : 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等面积 S ab () 菱形 : 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线垂直且每一条对角线平分一组对角 1 面积 S l1 l, 即为两条对角线乘积的一半 (3) 正方形 : 既是矩形, 又是菱形 4. 梯形 : 一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形. 设梯形的上底为 a, 下底为 b, 高为 h, 则中位线 = 1 ( ) a b, 1 面积为 s ( a b) h. 等腰梯形 : 两腰相等的梯形叫做等腰梯形 a. 对角线相等的梯形是等腰梯形 ;b. 在同一底上的两个底 角相等的梯形是等腰梯形 直角梯形 : 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形 三. 圆 : (1) 圆的定义 : 圆是到定点的距离等于定长的点的集合 6

63 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 () 周长为 C R, 面积是 S R. (3) 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于经过切点的半径. (4) 扇形 : 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形. 0 R R 1 在扇形 OAB 中, 若圆心角为, 则 AB 弧长 l, 扇形面积 S 若圆心角为 弧度, 则 AB 弧长 l R, 扇形面积 S Rl= R 63

64 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 64

65 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 考试大纲要求 : (1) 长方体 () 圆柱体 (3) 球体 立体几何考试要点梳理 : 考试要点梳理 : 表面积 长 ( 正 ) 方体 体积 体对角线 立体图形 圆柱体 表面积 体积 球体 表面积体积公式 切接问题 一. 长方体 : 1. 基本概念 : 六个面都为矩形, 长方体中的的每一个矩形都叫做长方体的面, 面与面相交的线叫做 长方体的棱, 三条棱相交的点叫做长方体的顶点, 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的 长 宽 高 当长 宽 高都相等时, 称为立方体. 基本公式 : 设长方体的在同一个顶点上的三条棱长分为 a,b, c (1) 体积 V=abc () 全面积 :S =(ab+bc+ca) 全 (3) 体对角线 :d= a b c (4) 当 a=b=c 时, 称为正方体, V=a,S 3 全 6 a, d 3a 二. 圆柱 65

66 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 1 基本概念 圆柱看作以矩形的一边为旋转轴, 将矩形旋转一周形成的曲面所围成的几何体 旋转轴叫作这个几何体的轴, 在轴上的这条边的长度叫做它的高, 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做它的底面 ; 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它的侧面, 无论旋转到什么位置, 这条边都叫做侧面的母线 圆柱侧面展开图及侧面积 把圆柱一条母线剪开后展开在平面上, 就得到它们的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是一个矩形 ( 见下图 ), 矩形的长是底面圆的周长, 宽是圆柱的高 ( 即母线长 ) 3 基本公式 : 设圆柱的高为 h, 底面圆半径是 r (1) 体积 :V= r h () 侧面积 :S r(r h 为底面圆的半径,h 为圆柱的高 ) 侧 其侧面展开图为一个长为 r, 宽为 h的长方形 (3) 全面积 :S =S +S =rh r 全侧 ( 上底 + 下底 ) 三. 球体 1 球的概念 半圆以它的直径为旋转轴, 旋转而成的曲面叫做球面, 球面所围成的几何体叫做球体, 简称球 其中半圆的圆心叫做球的球心, 连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径, 连结球面上两点并 且经过球心的线段叫做球的直径 66

67 基本公式 : 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 设球的半径为 R: (1) 球的表面积公式 : S =4 R 或 S = D ( D 是球的直径 ) 表 () 球的体积公式 : V R 或 V D ( D 是球的直径 ) 3 6 表 67

68 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 考试大纲要求 : 平面解析几何考试要点梳理 : (1) 平面直角坐标系 () 直线方程与圆的方程 (3) 两点间距离公式与点到直线的距离 公式 考试要点梳理 : 点与点 两点间距离公式 点与直线 点到直线距离公式 直线与直线 相交 平行 求交点 平行线间距离公式 判定两直线平行 直线与圆 相交 相切相离 判定 相交弦长求法 判定 求切线方程法及求圆中最值 位置关系 相离 相交 相外切 圆与圆 判定 相内切 内含 点关于点对称 直线关于点对称 点关于直线对称 中心对称 68 求法

69 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 对称 直线关于直线对称 一. 两点之间距离公式 : 在平面直角坐标系中, 设点 A( x1, y1), B( x, y ), 则 AB ( x x ) ( y y ) 1 1 二. 线段定比分点坐标公式 : (1) 点 P( x, y ) 是线段 P1, P 之中点, 其中 (x 1 1,y 1) P (x,y ) 则 P 点坐标为 : x x, y x y y 1 1 P () 三角形的重心坐标公式 : ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x 1,y 1) B(x,y ) C(x 3,y 3 ), 则 ABC 的重心坐标是 : x x x y y y G(, ). 三. 直线的倾斜角与斜率 : <1> 直线的倾斜角 : 一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角, 叫做这条直线的倾斜角. 特殊地, 当直线 l 和 x 轴平行时, 倾斜角为 0, 故倾角 : <> 直线的斜率 : 倾斜角不是 90 的直线的倾斜角的正切叫做此直线的斜率. 直线的斜率常用 k 表示, 即 k ta. 注意 : 垂直于 x 轴的直线没有斜率 ( 90 ). 当, 时,. 直线 1当 0, 时, k 0, ; 当 时直线的斜率不存在 ;, k 0 的斜率反映了直线对 x 轴的倾斜程度. <3> 过两点 P1 ( x1, y 1) P ( x, y ) 的直线的斜率公式 : k y x y x 1 1 x 1 x. 69

70 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 四. 直线的方程 : <1>. 点斜式 : y y1 k( x x1) ( 直线 l 过点 P1 ( x1, y 1), 且斜率为 k ). 1. 当直线的倾斜角为 0 时,k=0, 直线的方程是 y= y 1.. 当直线的倾斜角为 90 时, 直线的斜率不存在, 它的方程不能用点斜式表示. 但因 l 上每一点的横坐标都等于 x 1, 所以它的方程是 x x1. <>. 斜截式 : y kx b, 斜率为 k, 在 y 轴上的截距为 b. 注意 : 它不含垂直于 x 轴的直线. <3> 一般式 : Ax By C 0 ( 其中 A B 不同时为 0). 斜率为 : y y1 x x1 <4> 两点式 : y y x x 1 1 A B ( 已知直线上两点,,, P x y P x y ) x x, y y ), 注意 : 它不能表示倾斜角为 0 和 90 的直线 ( 1 1 x y <5> 截距式 : 1( 已知 x 轴上的截距为 a, y 轴上的截距为 b ) a b 五. 两直线的位置关系 : 设不重合的两条直线为 l1 : A1 x B1 y C1 0, l : A x B y C 0 <1> 相交 : A1 x B1 y C1 0 1 会求交点 : 联立 有唯一一组实数解 A x B y C 0 70

71 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 两条直线的夹角公式 : 若 l 1 : y k 1 x b 1, l : y k x b, kk 1 1 夹角的定义 : 一条直线到另一条直线所成的小于直角的角, 即两条直线所成的锐角叫做两条直线所成 的角, 简称夹角 并且规定, 当两条直线垂直时, 两条直线的夹角为 90. k k1 直线 l 1 和 l 的夹角公式 : ta, 范围为 0, 1 kk. 1 <> 平行 : 1. 若 l1 : y k1x b1, l : y k x b ; 若 l1 : A1 x B1 y C1 0, l : A x B y C 0. A1 B1 C1 l l k k, b b l1// l ; A B C <3>. 垂直 : 1l 1 l k 1 k 1 l 1 l A 1 A B 1 B 0; <4>. 两条平行直线的距离公式 : d 直线 l 1 : Ax By C1 0 平行于直线 l : Ax By C 0, 则它们之间的距离为 : C A C 1 B 六. 点到直线的距离公式 : <1> 平面内一点 P( x0, y 0) 到直线 l : Ax By C 0的距离公式 : d Ax By C 0 0 A B <> 两条平行线 l1 : Ax By C1 0, l : Ax By C 0,( C1 C) 之间的距离为 : d C A C 1 B 七. 点线之间的对称问题 : <1>. 特殊对称 :( 牢记 ) 设点 P( x0, y 0) 是直角坐标系内任意一点, 则点 P( x0, y 0) 71

72 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 1 关于 x 轴的对称点为 ( x 0, y 0 ); 关于 y 轴的对称点为 ( x0, y0); 3 关于原点的对称点为 ( x0, y0); 4 关于点 A( a, b ) 的对称点为 ( a x0, b y0); 5 关于直线 x a的对称点为 ( a x0, y0); 6 关于直线 y a的对称点为 ( x0, a y0) ; 7 关于直线 y x的对称点为 ( y0, x 0); 8 关于直线关于直线 y x的对称点为 ( y0, x0); <>. 一般对称 : 1 点 P( x0, y 0) 关于直线 Ax By C 0 的对称点为 ( x 1, y 1 ), 则 ( x 1, y 1 ) 是方程组 x x y y y1 y0 A ( ) 1 x1 x0 B A B C 0 的解. 直线 l: Ax By C 0 关于点 P( x0, y 0) 对称的直线方程是 A( x0 x) B( y0 y) C 0 八. 圆的两种方程 : <1>. 圆的标准方程 : ( x a) ( y b) r 半径为 r. 特别地, 当圆心在原点 (0,0), 半径为 r 时, 圆的方程为 x <>. 圆的一般方程 : x y Dx Ey F 0( D E 4F >0), D E 其圆心坐标为 (, ), 半径为 r D E 4F. D E F (r>0), 称为圆的标准方程, 其圆心坐标为 (a,b), 1 D E 4 0时, 方程表示一个点 (, ); y r. 7

73 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 当 D E 4F 0时, 方程不表示任何图形. 九. 点和圆 直线和圆 圆与圆的位置关系 : 1. 点 P( x0, y 0) 与圆的位置关系 : <1> 对于圆的标准方程 ( x a) ( y b) r, 若 d ( a x ) ( b y ), 则有 : d 0 0 r 点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P 在圆内. <> 对于圆的一般方程 : x y Dx Ey F 0则有 : x y Dx Ey F 点 P 在圆内 ; x y Dx Ey F 点 P 在圆上 ; x y Dx Ey F 点 P 在圆外 直线与圆的位置关系有三种 : 直线 Ax By C 0与圆 ( x a) ( y b) r 的位置关系 : <1>. 计算判断法 : 圆心到直线的距离 : d Aa Bb C. A B d r 相离 ; d r 相切 ; d r 相交 3. 圆与圆的位置关系有五种 : 设两圆圆心分别为 O 1 O, 半径分别为 r1, r. O O 1 d d r r 外离 4 条公切线 ; d r r 外切 3条公切线 ; 1 1 r r d r r 相交 条公切线 ; d r r 内切 1条公切线 ; d r1 r 内含 无公切线 1 0 例 1 (07 年 10 月 ) 点 P,3 关于直线 x y 0 的对称点是 A 4,3 B, 3 C 3, D,3 E 4, 3 例 (08 年 1 月 ). a 4.( ) 73

74 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 a a (1) 点 A(1,0) 关于直线 x-y+1=0 的对称点是 A (,- ) 4 () 直线 l : ( a) x 5y 1 与直线 l : ax ( a) y 垂直 1 例 3 (07 年 10 月 ) 圆 x y 1 4与 x 轴的两个交点为 ( ) A 5,0 5,0 B,0,0 C 0, 5 0, 5 D 3, 0 3, 0 E, 3, 3 例 4 若方程 x y x y m 0表示圆, 则实数 m 的取值范围为 ( ) A. 1 m B. m 0 C. 1 m D. 1 m 1 Em. 例 5 (011-10) 直线 l 是圆 x x y 4y 0的一条切线 (1) l : x y 0 () l : x y 0 例 6 (010-10) 直线 y=k(x+) 是圆 x y 1的一条切线 (1) k 3 3 () k 3 3 例 7 (011-1) 设 p 是圆 x P 的坐标为 ( ) y 上的一点, 该圆在点 P 的切线平行于直线 x y 0, 圆点 A (- 1, 1 ) B (1, - 1 ) C (1, ) D (, 0 ) E (1, 1 ) 例 8 (013-10) 已知圆 A: x y +x 4 y 1 0, 则圆 B 与圆 A 相切 (1) 圆 B: x y -x-6 y 1 0 () 圆 B: x y -6x 0 例 9 (009-10) 圆 A: ( x- 3) ( y- 4) 5与圆 ( x-1) ( y-) r 相切 (1) r 5 3 () r 5 74

75 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第七章数据分析 考试大纲要求 1. 排列组合 ( 计数方法 ) (1) 加法原理 乘法原理 () 排列与排列数 (3) 组合与组合数. 数据描述 (1) 平均值 () 方差与标准差 (3) 数据的图表表示 : 直方图, 饼图, 数表. 3. 概率 (1) 事件及其简单运算 () 加法公式 (3) 乘法公式 (4) 古典概型 (5) 伯努利概型 考试要点梳理 第一节计数原理 知识结构 计数原理 加法 ( 分类 ) 原理两个基本原理 乘法 ( 分步 ) 原理排列与排列数 ( 元素需要区分 ) 组合与组合数 ( 元素不必区分 ) 75

76 知识要点 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 一 两个基本原理 1. 加法 ( 分类 ) 原理 如果完成一件事有 类办法, 只要选择其中任何一类办法中的任何一种方法, 就可以完成这件事. 若第一类办法中有 m 1 种不同的方法, 第二类办法中有 m 种不同的方法,, 第 类办法中有 m 种 不同的办法, 那么完成这件事共有 N m1 m m 种不同的方法.. 乘法 ( 分步 ) 原理 如果完成一件事, 必须依次连续地完成 个步骤, 这件事才能完成. 若完成第一个步骤有 m 1 种不同的方法, 完成第二个步骤有 m 种不同的方法,, 完成第 个步骤有 m 种不同的方法, 那么完 成这件事共有 N m 1 m m 种不同的方法. 注意 (1) 两大原理的区别 : 两个原理的区别在于一个和分类有关, 一个和分步有关. 如果完 成一件事有 类办法, 这 类办法之间彼此之间是相互独立的, 无论哪一类办法中的哪一种方法都能 独立完成这件事, 求完成这件事的方法种数, 就用加法原理 ; 如果完成一件事需要分成 个步骤, 缺 一不可, 即需要完成所有的步骤, 才能完成这件事, 而完成每一个步骤各有若干种不同的方法, 求完 成这件事的方法种数, 就用乘法原理. () 解题时注意分清是分类还是分步, 对于较复杂的排列组合问题一般同时要用到分类加法原 理和分步乘法原理, 一般是先分类, 后分步. 二 排列与排列数 1. 排列 76

77 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学从 个不同元素中, 任意取出 m( m ) 个元素, 按照一定顺序排成一列, 称为从 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.. 排列数 从 个不同元素中取出 m 个元素 (m ) 的所有排列的种数, 称为从 个不同元素中取出 m 个不同 元素的排列数, 记作 P m, 其中 P m 1 1 m 当 m= 时, m P!, 因此 注意 我们规定 m. P 1 1称为 的全排列, 用! m! P m! 0 P 1.,0! 1 表示, 读作 的阶乘, 即 三 组合与组合数 1. 组合从 个不同元素中, 任意取出 m( m ) 个元素并为一组, 叫做从 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.. 组合数从 个不同元素中, 取出 m( m ) 个元素的所有组合的种数, 称为从 个不同元素中, 取出 m 个 不同元素的组合数, 记作 C m, 其中 C 关于组合数, 我们需要掌握下面几个公式 : m m P!. m P m!( m)! m C m = C m. 注意 1 我们规定 0 C = C 1 ; x y C = C x y或 x y. 四 排列与组合的联系和区别 排列和组合都是 从 个不同元素中, 任取 m 个元素. 但是, 排列的本质是要 按照一定的顺 序排成一列, 组合却是 不计顺序并成一组. 77

78 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 另外. 由排列组合公式可知 P C P m m m m, 也就是说, 从 个不同的元素中, 取 m 个元素的排列可 以分两个步骤完成 : 第一步是从 个不同元素中任取 m 个元素的组合 ; 第二步是对这 m 个元素进行全排列, 所以我们解排列组合应用题时可以 先组后排. 重点题型 题型 1 排列组合公式的应用 例 1 (010-10) C C31 (1) 71 0 () 例 (11-1 改编 ) 现从 5 名管理专业 4 名经济专业和 1 名财会专业的学生中随即派出一个 3 人小组, 则该小组中 3 个专业各有 1 名学生的分法有多少种? 例 3 有同样大小的 4 个红球,6 个白球. (1) 从中任取 4 个, 有多少种取法? () 从中任取 4 个, 使白球比红球多, 有多少种取法? (3) 从中任取 4 个, 至少有一个是红球, 有多少种取法? 题型 有限制条件的排列组合问题 解题提示 这类题型一般有下面几种类型: (1) 要求某些 在内 或 不在内 的排列 组合问题. () 要求某些元素 相邻 或 不相邻 的排列 组合问题. (3) 要求某些元素 占据 或 不占据 的排列 组合问题. (4) 有 至少 或 至多 要求的排列 组合问题. 这类题型常用的解题方法有 : (1) 优先法 ( 位置优先或元素优先 ) 对元素或位置有特殊要求的排列组合问题, 可以先从特殊元素或特殊位置着手, 先解决特殊元素或特殊位置, 再考虑其他元素或位置. 78

79 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 () 排除法 --- 从总体中排除不符合条件的方法数. (3) 捆绑法 相邻问题, 把相邻的 k 个元素看作一个元素与其它元素排列, 然后再考虑 k 个元素排列. (4) 插空法 相间问题首先将不受限制条件的元素排列起来, 然后再在每两个元素之间 ( 含这些元素的两端 ) 插入不能排在一起的元素. (5) 隔板法 ---- 相同元素分组问题条件 :1 元素必须无差别, 元素数目不小于所分的组数. 方法 : 要和插空法区别开 ( 如果 个元素, 只有 -1 空 ) 分 m 组, 插 m-1 个板 (6) 分组分堆 ---- 不同元素分组问题. 类型 1: 特殊元素 ( 位置 ) 优先法 例 4 用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的五位数, 共有多少种方法?( 列出式子即可, 不用计算 ) 例 5 有 4 名男生 5 名女生, 全体排成一行, 问下列情形各有多少种不同的排法 : (1) 甲不在中间也不在两端 ; () 甲 乙两人必须排在两端. 类型 : 正难则反 ( 至多至少问题 ) 排除法 例 6 从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人, 分别从事三项不同的工作, 若这 3 人中至少有 1 名女生, 则选派方案共有 ( ) A.108 种 B.186 种 C.16 种 D.70 种 例 7 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任 ( 每班一位班主任 ), 要求这 3 位班主任中男女教师都要有, 则不同的选派方案共有 ( ) A.10 种 B.40 种 C.630 种 D.70 种 E.840 种类型 3: 相邻元素 捆绑法 79

80 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 8 某国派出 5 名男运动员,3 名女运动员参加田径比赛, 要求 3 名女生必须连续出场的安排共有多少种? 例 9 某人参加射击比赛, 共射击 8 枪, 命中 4 枪, 其中恰有 3 枪连中的有 ( ) 种. A.36 B.4 C.0 D.8 E.19 类型 4: 不相邻问题 插空法 例 10 现有 10 名学生, 其中 6 名男生 4 名女生, 将这 10 名学生排成一排照相, 女生不能相邻的情况共有多少种? 例 11 某班级新年联欢会的 5 个原定节目已排成节目单, 开演前又增加了 3 个节目. 若将这 3 个节目加入节目单中, 且不能相邻, 那么不同的排法的总数是 ( ) 种. A.60 B.10 C.140 D.156 E.160 类型 5: 相同元素分组问题 隔板法 例 1 若将 10 只相同的球随机放入编号为 1,,3,4 的四个盒子中, 则每个盒子不空的投放方法有 ( ) 种. A.7 B.84 C.96 D.108 E.10 类型 6: 分组与分堆问题 解题提示 分堆问题: 如不需考虑组别关系, 即非此即彼, 定义为 分堆问题, 如果是平均 k k k k 分堆, 把 个元素平均分成 m 堆, 每堆含 k m C CkC k Ck 个元素, 其结果是 ( 注意 : 要除以 m! 堆数的全排列 ). 分组问题 : 需要考虑组别关系, 定义为 分组问题, 在分堆的基础上乘以组数的全排列, 如果 是平均分组, 每组含 k m 个元素, 再分给 m 个不同的得主, 其结果是 k k k k C CkC k Ck m! = C C C C m! k k k k k k k 例 13 按以下要求分配 6 本不同的杂志, 各有几种分法 ( 只要求列出算式 ) (1) 平均分成三份, 每份 本. () 平均分给甲 乙 丙三人, 每人 本. (3) 分成三份, 一份 1 本, 一份 本, 一份 3 本. 80

81 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (4) 甲 乙 丙三人一人得 1 本, 一人得 本, 一人得 3 本. (5) 分成三份, 有两份每份 1 本, 另一份 4 本. (6) 甲 乙 丙三人中, 一人得 4 本, 另二人每人得 1 本. (7) 甲得 1 本, 乙得 1 本, 丙得 4 本. 类型 7: 重复排列问题 --- 求幂法 例 14 某学校要把 5 名毕业生分配到 6 个单位去实习, 共有 ( ) 种不同的分法. A. P 5 6 B. C 5 6 C. 5 6 D. 6 5 E. P 5 5 例 15 求下列问题的方法数 (1) 某次运动会上, 在四名学生中产生三项冠军 ; () 某次运动会上, 在四名学生中产生三项冠军, 每名学生至多只能获得一项冠军 ; (3) 四名学生报名参加三项比赛, 每人限报一项 第二节概率初步与数据描述 知识结构 概率初步与数据描述 概率基本概念概率初步古典概型 独立重复试验独立事件 贝努利试验 平均数 ( 众数 中位数 ) 数字特征描述 样本方差与标准差数据描述 表格描述 图标描述 频率分布直方图描述 饼图描述 81

82 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 知识要点 一 概率基本概念 1. 随机试验和事件 (1) 随机试验 : 满足下列三个条件的试验称为随机试验, 用 E 表示 ; 1 试验可在相同条件下重复进行 ; 试验的可能结果不止一个, 且所有可能结果是已知的 ; 3 每次试验哪个结果出现是未知的. 随机试验以后简称为试验, 并常记为 E. () 随机事件 : 在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件. 例如 : 在 E1 中,A 表示 掷出 点 ; B 表示 掷出偶数点 均为随机事件.. 事件间的关系与运算 (1) 事件的和 : 称事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件为 A 与 B 的和事件, 简称为和, 记为 A B 或 A B. 例如, 甲, 乙两人向目标射击, 令 A 表示事件 甲击中目标,B 表示事件 乙击中目标, 则 A B 表示 目标被击中 的事件. 或 AB. 推广 : Ai A1 A A { A1, A A至少有一个发生 } i1 () 事件的积 : 称事件 A 与事件 B 同时发生的事件为 A 与 B 的积事件, 简称为积, 记为 A B 例如, 在 E 中, 即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中, 令 A={ 接到 的倍数次呼唤 }, B={ 接到 3 的倍数次呼唤 }, 则 A B={ 接到 6 的倍数次呼唤 }. 推广 : Ai A1 A A ={ A1, A, A同时发生 } i1 (3) 互不相容 : 若事件 A 与事件 B 不能同时发生, 即 AB, 则 称 A 与 B 是互不相容的. 例如 : 观察某路口在某时刻的红绿灯 : 若 A={ 红灯亮 },B={ 绿灯亮 }, 8

83 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 则 A 与 B 便是互不相容的. (4) 对立事件 : 称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件, 记为 A, 显然 A A,A A. 例如 : 从有 3 个次品,7 个正品的 10 个产品中任取 3 个, 若令 A={ 取得的 3 个产品中至少有一个次品 }, 则 A ={ 取得的 3 个产品均为正品 }. 3. 事件的概率及其性质 (1) 定义 : 所谓事件 A 的概率是指事件 A 发生可能性程度的数值度量, 记为 P A, 显然 0 P A 1, P 1, P( ) = 0. () 概率的性质 性质 1( 加法公式 ): 对任意事件 A,B, 有 P( AUB) P( A) P( B) P( AB). 若 A,B 互斥, 则 P AUB P A PB. 性质 ( 对立事件公式 ): 对任意事件 A, P A P A =1-. 二 古典概型 1. 基本事件在一次随机试验中, 如果一个事件满足下面两个特点 : (1) 任何两个基本事件是互斥的 ; () 任何事件 ( 除不可能事件 ) 都可以表示成基本事件的和. 我们就把这类事件称为一个基本事件.. 古典概型如果在一次试验中, 所有可能出现的基本事件只有有限个, 并且每个基本事件出现的可能性相等, 我们就把具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型, 简称古典概型. A 包含的基本事件个数古典概型的概率计算公式为 P(A) =. 总的基本事件个数例 :100 件产品中有 10 件次品, 现从中取出 5 件进行检验, 求所取的 5 件产品中至多有一件次品的概率 83

84 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 三 事件的独立性 1. 事件的独立性 (1) 两个事件的独立性 : 设 AB, 是两个事件, 如果 P( AB) P( A) P( B), 则称 AB, 是两个相互 独立的事件. () 三个事件的独立性 : 设 A, B, C 是任意三个事件, 如果满足 : P( AB) P( A) P( B) P( BC) P( B) P( C) P( AC) P( A) P( C) P( ABC) P( A) P( B) P( C) 则称 A, B, C 三个事件相互独立, 其中满足前三个式子称 A, B, C 两两独立, 可见事件两两独立不一定 相互独立, 而相互独立的事件一定两两独立.. 事件独立的性质 如果事件 A,B 相互独立, 则 A, B; A, B; A, B 每一对事件都相互独立. 这一性质在计算 个独立事件 至少一个发生 的概率时, 是非常有用的. 四 贝努利概型 进行 次试验, 如果每次实验的条件相同, 且各试验相互独立, 即每次试验的结果都不受其他多 次试验结果发生与否的影响, 则称其为 次独立重复试验. 贝努利概型 : 在 次独立重复试验中, 若每次试验的结果只有两种可能, 事件 A 发生或不发生, 且已知 P A 概型. p, 这样的 次试验称作 重贝努利试验, 而贝努利试验的有关概率计算称为贝努利 在贝努利概型中, 若设 q1 p, 则在 次试验中事件 A 恰好发生 k(0 k ) 次的概率为 k k P ( k) C P(1 p) ( k 0,1,, ). 独立地做一系列的贝努利试验, 直到第 k( k 1,,, ) 次试验时事件 A 才首次发生的概率 k 1 Pk q p. 五 ( 算术 ) 平均数 众数和中位数 84

85 1.( 算术 ) 平均数 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 x1 x x (1) 定义 : 有 个数 x1, x,, x, 称 1 x xi i 1,,,. 记做 i 1 为这 个数的算术平均数 ( 也称平均数 ),. 众数 () 平均值常用下面方法计算 : x1 x x 直接计算 x ; 在 个数 x1, x,, x 中, 出现次数最多的数称为众数. 3. 中位数 将 个数 x1, x,, x, 按从小到大的顺序依次排列, 当 为奇数时, 处在最中间的那个数 ( x 1 ) x 是这 个数的中位数 ; 当 为偶数时, 处在最中间的两个数的平均数 ( 数. x 1 ) 是这 个数的中位 六 方差与标准差 1. 方差 (1) 定义 : 设 x 是 个数据 x1, x,, x 的算术平均数, 我们把 1... s x1 x x x x x 叫做这组数据的方差.. 标准差我们把样本方差的算术平均值叫做这组数据的标准差 ( 也称均方差 ), 记做 s, 即 1 s x x x x x x 1... 它是用来衡量一组数据波动大小的重要的量. 样本方差 标准差体现了总体的分散程度七 数据的图形表示 85

86 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 图表题都比较简单, 注意读懂题目所给信息即可 重点题型 题型 1 随机事件的独立性 例 1 甲 乙两人各投篮一次, 如果两人投中的概率分别是 0. 6 和 0.7. (1) 两人都投中的概率是多少? () 恰有一人投中的概率是多少? (3) 至少有一人投中的概率是多少? 例 若从原点出发的质点 M 向 x 轴的正向移动一个和两个坐标单位的概率分别是 点移动三个坐标单位到达点 x=3 的概率是 ( ) 3 1 和 3, 则该质 19 A. 7 0 B. 7 C. 9 7 D. 7 3 E. 7 例 3 在 36 人中, 血型情况如下,A 型 1 人,B 型 10 人,AB 型 8 人,O 型 6 人, 若从中随机选出 两人, 则两人血型相同的概率是 ( ) A B C D. 9 1 E. 以上选项均不正确 题型 古典概型 例 4 10 名网球选手中有 名种子选手. 现将他们分成两组, 每组 5 人, 则 名种子选手 不在同一组的概率为 ( ) A B. 4 9 C. 5 9 D. 1 E. 3 例 5 将 4 个不同的小球放入甲乙丙丁 4 个盒子中, 恰有一个空盒的概率为 ( ) A. B. C. D. E 题型 3 贝努利概型 例 6 甲 乙两人各进行 3 次射击, 甲每次击中目标的概率为 1, 乙每次击中目标的概率为 3, 求 86

87 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 (1) 甲恰好击中目标 次的概率 () 乙至少击中目标 次的概率 (3) 求乙恰好比甲多击中目标 次的概率 1 例 7 在一次竞猜活动中, 设有 5 关, 如果连续通过 关就算成功, 小王通过每关的概率都是, 他闯关成功的概率为 ( ) A. B. C. D. E 题型 4 图表分析 例 8 某单位 00 名职工的年龄分布情况如图所示, 那么,40 岁以上的职工一共有 ( ) 人 A 100 B 40 C 60 D 160 E 140 例 9 学校食堂有 元,3 元,4 元三种价格的饭菜供师生选择 ( 每人限购一份 ). 如图是某月的销 售情况统计图, 则该校师生购买饭菜费用的平均数和众数是 ( ) A..95 元,3 元 B..95 元,4 元 C. 3 元,4 元 D. 3 元,3 元 E. 4 元,4 元 87

88 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 第一章例题答案提示 例 1 选 A 例 选 C, 设这两数分别为 a,b, 且 a>b 最大公约数是由题意得 a=6m,b=6 6 m, 互质且 m> ( 为正整数 ) m, 互质且 m> m=15 m=5 最小公倍数 90=6 m m=15 或 =1 =3 则 :a=90,b=6 或 a=30,b=18 共有两对例 3 A 条件 () 特值法 =7 不充分 例 4 C 定性, 定量 例 5 C 设 a=+1 a 1 ( 1) 1 4 ( 1) 是 8 的倍数 例 6 E 特值法条件 (1)m=4,q=5 p=1 不是质数, 不充分 条件 ()m=3,q=5 p=16 不是质数, 不充分 条件 (1)() 联立, 即为条件 () 不充分 例 7 解析 : 不妨设 a>b>c a b b c c a a b b c a c a c 8 a c 4 1 以内质数 所以 a 7 c 3 b 5 选 D 例 8 解 :abcd=9=3*3,a=3 b=-3 c=1 d=-1 选 A 例 9 选 C 例 10 选 D abc 例 11 选 B 分类讨论 (1) a b c 0, 等比定理 =1= k abc a b c c c () a b c=0, a b c, = =-= k c c 例 1 选 E 例 13 选 D 例 14 选 D 88

89 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 15 选 D. 例 16 选 D 3,1,-1,-3 例 17 D 例 18 C 例 19 选 A a,b,c 二正一负得数为 0 第二章例题答案提示 例 1 选 A ( a 1b c 3) =( a 1) ( b ) ( c 3) 9 例 选 C 迭代 例 3 选 C 例 4 选 C 设 x u y v z w u v w a b c,,, 1 (1) u v w 1不充分 () + 0不充分 u v w (1)() 联立 u v w ( u v w) =1充分 例 5 选 D 例 6 选 E 例 7 选 E a b c ab ac bc a b c ab ac bc 0 例 8 选 C (a-b) ( b c) ( a c) 0 由非负性得, abc 例 9 选 A 例 10 选 A 第三章例题答案提示 例 1 选 C. 例 选 E 例 3 选 A 例 4 选 A 例 5 选 C 例 6 选 B. 1 x 1 a 1 b 解 : 条件 (1) 显然不充分, 条件 () y ( ) 为单调递减函数,( ) ( ), 故 a>b 例 7 选 C 89

90 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 8 解析 : a = log3 1, b = log = log,1, c log3 log3 0, = = 故有 a>b>c. 答案 :A 例 9 B 例 10 A 例 A B C D 第四章例题答案提示 例 1- 例 5 D B B C A 例 6- 例 10 C D E D D 例 11- 例 15 B C C B A 例 16- 例 0 D C D B D 例 1- 例 5 D E E C E 例 6- 例 8 E A B 第五章例题答案提示 例 1 (1)( 1) ()( 1) (3) 1 例 例 3 解 :( 1) a = 3 ( ) a 选 C 5 1 =1 例 4 例 5 例 6 例 7 例 8 选 A 选 D 选 D 选 D 选 B a a a S S (+1) 3( 1) ( a1 a9) a a8 a5, a5 9, S9 9a

91 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 9 例 10 例 11 例 1 选 D 选 E 选 C 例 15 B E B B 第六章例题答案提示 第一节平面几何 例 1 B 例 BC BD AB A 条件 (1) BC 5 13 BC DB AB 充分条件 () 不充分 BC 10 3 例 3 R 4 4 例 4 S阴影 =4 ( - 1) = -4 例 5 例 6 例 7 S 阴影 R = m m m 3m S DEF = m S 阴影 1 = 3 6 第二节立体几何 例 1 A 例 C 例 3 D 第二节立体几何 例 1 选 C 提示 : 考查点关于直线对称问题 例 选 A 提示 : 考查点关于直线对称 ; 两直线垂直, 其斜率之积为 -1 例 3 选 D 例 4 选 A 提示: 圆的一般方程 x y Dx Ey F 0 其中 D E 4F 0 例 5 选 A 91

92 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 k 3 例 6 选 D d= 1 解得 k= k 1 3 例 7 选 E 例 8 选 A 例 9 选 B 第七章例题答案提示 第一节计数原理 例 =6 3*=6 例 (1) =34 ()7*8*9*10=5040 例 3 (1)4+3+=9 ()4*3*=4 例 1 E 由已知得,4-1=+7 或 =31 解得 =8/3( 舍 ) =5 带入条件 (1)() 均不 成立, 选 E 例 5*4*1=0 例 3 (1) C ; () C C C 135 ;(3) C 4 C 例 4 先考虑首位数不能为 0, 然后在剩下的 9 个数字中选出 4 个放到其他四个位置, 共 排法 例 5 (1) 先排甲有 6 种, 其余有 P 种, 共有 6P 种排法. 8 8 () 先排甲 乙, 再排其余 7 人, 先排甲 乙共有 种 共有 PP 种排法. C C P 186, 故选 B 例 例 7 B. 例 8 6!3! 430. 例 9 C 例 10 6!P 4 7 例 11 5!P 3 6 例 1 C , 故选 B. CP 种 例 13 (1) CCC A3 CCC ;() 3 A 3 90 ;(3) C 1 3 6C5C3 60 ; A 3 C C C C C C A 360 ;(5) A (4) C6C5C ;(6) A 3 90 ; A C6C5C4 1 1 (7) C C A 9

93 尚德机构 018 考研管理类综合 - 数学 例 14 D 例 15 (1)64;()4;(3)81. 第二节概率初步与数据描述 例 1 (1)0.4;()0.46;(3)0.88. 例 B C 1 + C 10 + C 8 + C6 77 例 3 A C 例 4 C 例 5 D 例 6 (1) 3 8 ;() 0 1 ;(3) 7 6. 例 7 E 例 8 A 例 9 A 93