第七章空间解析几何与向量代数

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姬萧
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1 第七章空间解析几何与向量代数 7. 空间直角坐标系 7. 向量及其加减法向量与数的乘法一判断题. 点 (-,-,-) 是在第八卦限. 任何向量都有确定的方向. 任二向量,, 若. 则同向. 若二向量, 满足关系, 则, 同向. 若二向量, 满足关系, 则, 反向 6. 若 c, 则 c 7. 向量, 满足, 则, 同向二填空题. 点 (,,-) 关于坐标原点对称的点是. 点 (,,-) 在坐标面上的投影点是 M (,,-). 点 (,-,) 关于的对称点是 M(,-,-). 设向量与有共同的始点, 则与, 共面且平分与的夹角的向量为. 已知向量与方向相反, 且, 则由表示为 6. 设, 有共同的始点, 则以, 为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为三选择题. 点 (,-,) 到轴的距离为 o (A) (C) (B) (D) ( ). 已知梯形 OABC CB //OA 且 CB OA 设 OA,OC, 则 AB (A) (B) (C) (D). 设有非零向量,, 若, 则必有

2 (A) (B) (C) < (D) > 三试证明以三点 A(,,9) B(,-,6) C(,,) 为顶点的三角形为等腰直角三角形四在 o 平面上求与三个已知点 A(,,) B(,-,-) C(,,) 等距离的点 D 六用向量方法证明 : 三角形两边中点的连线平行与第三边, 且长度为第三边的一半

3 7. 向量的坐标一判断题. 若一向量在另一向量上的投影为零, 则此二向量共线. 零向量在任一轴上投影为零. 设向量的方向角 α, 则必垂直于 o 面. 若 α β γ 是向量的方向角, 则 {cosα,cos β,cosγ } 是单位向量. 若 {,, }, 则平行于向量的单位向量为 { 二填空题 π. 设, 与轴 l 的夹角为, 则 prj l 6. 已知向量 {,-,7} 的终点坐标为 (,-,7), 则的始点坐标为,, }. 设三角形的三个顶点 A(,-,) B(,,-6) C(-,,), 则 AB 边的中点坐标为, Δ ABC 的重心坐标为. 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A(,-,-) B(-,,) 以及它的对角线交点 E(,-,7), 则顶点 C 的坐标为, 则顶点 D 的坐标为. 设向量与坐标轴正向的夹角为 α β γ, 且已知 α 6, β 则 γ 6. 设的方向角为 α β γ, 满足 cosα 时, 垂直于坐标面三设 A(,,) B(,,), 求 AB 的方向余弦及与 AB 反向的单位向量五已知 OA{,-,6},OB {-,,-} OD 为 AOB 的平分线, 在 OD 上求一长度为的向量五设 F {,,-} F {-,,} F {,-,} 这三个力作用于点 P(,,), 它们的合力为 F PQ, 求 :() 点 Q 的坐标 () PQ 的大小 () PQ 的方向余弦

4 一判断题 7. 数量积向量积混合积. ( ). ( ). 若 c 且, 则 c. 若, 则 [ c ][ c ] 8. 当时,[ c ] 9. 若 c 满足 c, c, 则 c 两两垂直. 设非零向量, 的方向角分别为 α, β, γ 和 α, β, γ 二填空题. 设 ( ) cos (, cosα cosα cos β cos β cosγ cosγ π,, 8, 则. 若, 9, 则 π. 若 ( ), 且, 则. 已知, 6, 7, 则. 三向量,, c 的混合积 [,, c] 的几何意义是 6. 设 {,,}, {,, }, 则 Prj 7. 设 {,,}, {,6, }, 则 ( ) 8. 设, 为不共线向量, 则当 λ 时 P λ 与 Q 共线三选择题. 设空间三点的坐标分别为 M(,-,) N(-,,-) P(-,-,) 则 MNP 则

5 π (A) π (B) (C) π (D) π. 下列结论正确的是 (A) (B) 若则必或 (C) c ( ) c (D) 若, 且 c 则 c. 设 {,,}, {,,}. 若 //, 则 (A). 6 (B) (C) -7 (D) - - 四设 {,,}, {,, }, 求与均垂直的单位向量五设向量 {,, } {,,} c {,, }, 向量 d 与, c上的投影是, 求向量 d. 均垂直, 且在向量六应用向量证明 : 当时, ( )( ) ( ) 七设 AD 为 Δ ABC 中 BC 边上的高, 记 BA c. BC. 证明 : S ΔABD c c

6 7. 曲面及其方程一填空题. 设点 P(,-,) 在曲面 - 上, 则.. 以原点为球心, 且过点 P(,,) 的球面方程是. 设球面的方程为 --, 则该球面的球心坐标是, 球面的半径为. 将 o 面上的抛物线, 绕 o 轴旋转而成的曲面方程是. 圆锥为的半顶角 α 6. 方程表示的曲面是曲线平行与轴的柱面 7. 方程在平面解析几何中表示而在空间解析几何中表示二选择题. 设球面的方程是 DEFG, 若该球面与三个坐标系都相切, 则方程的系数应满足条件 (A) DEF (B) D E F 6G (C) D E F 6G (D)G.XOZ 坐标面上的直线 - 绕 o 轴旋转而成的圆锥面的方程是 (A) - (B) (C) ( ) ( D ) ( ). 方程在空间表示 (A) YOZ 坐标面 (B) 一个点 (C) 一条直线 (D) 与 YOZ 面平行的平面. 下列方程中表示母线平行与 o 轴的双曲柱面 (A) - (B) (C) (D) 二已知两点 A(,,) B(-,,) 点 P 满足条件 PA PB, 求点 P 的轨迹方程四说明下列旋转曲面是怎样形成的.Z( ) 五. 画出下列各曲面的图形. Y p (p>). 由和所围立体的表面

7 7.6 空间曲线及其方程一填空题. 方程组 { 在平面解析几何中表示, 在空间解析几何表示. 曲面 - 9 与平面的交线圆的方程是, 其圆心坐标是, 圆的半径为. 曲线 { 在 YOZ 面上的投影曲线为 ) ( ) (. 螺旋线 cosθ,sinθ,θ 在 YOZ 面上的投影曲线为. 上半锥面 Z ( ) 在 XOY 面上的投影为, 在 XOZ 面上的投影为, 在 YOZ 面上的投影为 6. 曲线的一般式方程为二选择题. 方程 { 9 在空间解析几何中表示 (A) 椭圆柱面 (B) 椭圆曲线 (C) 两个平行平面 (D) 两条平行直线. 已知曲线 { 在 YOZ 坐标面上的投影曲线为 {, 则 (A) - (B) (C) (D). 参数方程的一般方程是 θ θ θ sin cos (A) (B) cos (C) sin (D) { cos sin 三化曲线 { 为参数方程 9 五. 画出下列曲线在第一卦限内的图形.{ {

8 一填空题 7.7 平面及其方程. 过点 M(,,) 且与平面 -7- 平行的平面方程. 三平面,--,- 的交点坐标是. 过点 (,-,) 且平行与 XOZ 平面的平面方程是. 过点 M(,,-) 和 M(,,7) 且平行于 OX 轴的平面方程是. 点 P(,,) 到平面 - 的距离是 6. 当 l, 及 m 时, 二平面 m- 与 l -6-6 互相平行二选择题. 平面 - 的位置是 (A) 平行 XOZ 坐标面 (C) 垂直于 OY 轴. 下列平面中通过坐标原点的平面是 (B) 平行 OY 轴 (D) 通过 OY 轴 (A) (B) (C) (-)-() (D). 已知二平面 π :m- 与 π :7-- 当 m π π (A) /7 (B) -/7 (C) 7 (D) -7. 二平面 π : -, π : 8 的夹角 θ (A) π (B) π / (C) π / (D) π /6 三求通过三点 (,,) (-,-,) 和 (,-,) 的平面方程四求通过点 P(,-,-) Q(,,) 且垂直于平面 -6 平面方程五求通过 Z 轴且与平面 - -7 的夹角为 π / 的平面方程六证明 : 二平行平面 ABCD, ABCD 之间的距离公式 : d A D D B C

9 7.8 空间直线及其方程一填空题. 过点 P(,-,) 且平行于直线的直线方程为. 过点 P(,,-) 且与直线 { 垂直的平面方程为 7. 过点 P(,,) 且与二平面和 - 平行的直线方程是. 当 m 时, 直线与平面 m- 平行. 直线 { 与 -- 的夹角为二选择题. 下列直线中平行与 XOY 坐标面的是 (A) (C) (B) (D) {. 直线 L : 与 L { 7 7 : 的关系是 { 8 6 (A) L L (B) L //L (C) L 与 L 相交但不垂直 (D) L 与 L 为异面直线. 直线 L: 7 与平面 π :-- 的关系是 (A) 平行 (B) 垂直相交 (C) L 在 π 上 (D) 相交但不垂直. 设在直线 L : { 6 8 Y X Z Y L : 与则 L 与 L 的夹角为 (A) π /6 (B) π / (C) π / (D) π /. 两平行线,, 与之间的距离是 (A) (B) (C) / (D) 三设直线 L 通过 (,,) 且与 L : 6 相交, 又与 : L 垂直, 求直线 L 的方程

10 四证明直线 { 与直线 { 互相平行五求通过点 P(,,-) 且又通过直线的平面方程六求通过点 P(,,) 且与直线垂直相交的直线七求点 P(,,-) 关于直线 { 的对称点坐标八设直线 L: : 与平面 π (). 求证 L 与 π 相交, 并求交点坐标 (). 求 L 与 π 交角 (). 通过 L 与 π 交点且与 L 垂直的平面方程 (). 通过 L 且与 π 垂直的平面方程 ().L 在 π 上的投影直线方程

11 7.9 二次曲面一填空题. 曲线 { 在 XOY 面上的投影曲线方程为. 抛物面 Z 与平面的交线在 XOY 面上的投影曲线方程是. 当 k 时, 平面 k 与曲面 9 的交线是一对相交直线. 椭圆 { 9 的长半轴为. 圆 { 的圆心坐标为, 半径为二选择题. 方程 -8 表示 (A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面. 二次曲面 Z 与平面 h 相截其截痕是空间中的 (A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 椭圆 (D) 直线. 双曲抛物面 - 在 XOZ 坐标面上的截痕是 (A) (B) (C) (D). 曲面与 (>) 的交线是 (A) 抛物线 (B) 双曲线 (C) 圆周 (D) 椭圆. 旋转双叶双曲面的旋转轴是 (A) OX 轴 (B) OY 轴 (C) OZ 轴 (D) 直线三证明 : 单叶双曲面 6 与平面的交线在 XOY 坐标面上的投影曲线是椭圆并求出该椭圆的中心和长短半轴的大小

12 四求圆 { 的圆心和半径五画出下列方程的表示曲面六画出下列各曲面所围成的立体的图形. /. R ( 在第一卦限内的部分 )

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(

第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos( 第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组一选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于

第七章 空间解析几何与向量代数

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