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1 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 06 管理类联考 MPAcc MEM 数学公式汇总 目录 第一章实数... 一 基本概念... 二 绝对值 ( 考试重点 )... 5 第二章整式和分式... 6 一 内容提要... 6 二 因式分解... 7 第三章比和比例... 9 一 基本定义... 9 二 性质... 0 三 重要定理... 0 四 平均值... 0 五 平均值定理... 0 六 比较大小的方法 :... 第四章方程不等式... 方程... 一 基本定义 :... 二 重要公式及定理... 三 根与系数关系 ( 韦达定理 )... 不等式... 一 一元一次不等式... 二 含绝对值的不等式... 三 一元一次不等式组... 四 一元二次不等式... 4 五 超级不等式 : 指数 对数问题... 5 第五章应用题... 5 一 比 百分比 比例... 5 二 工程问题 ( 总量看成 )... 6 三 速度问题... 6 四 浓度问题... 8 五 画饼问题... 8 六 不定方程... 8 七 阶梯价格问题... 9 第六章数列... 9 一 等差数列... 9 二 等比数列... 9 第七章排列组合 ( 解决计数问题 )... 一 两个原理... 二 两个概念... 第八章平面几何和解析几何... 4 平面几何部分... 4 解析几何部分... 7 立体几何 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

2 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 基本公式 : ()( ± ) = ± + ()( ± ) = ± + ± () ( )( + ) = (4) ± = ( ± )( 减加 + ) (5)( + + c) = + + c + + c + c + + c + + c + c = ( + + c + + c + c) (6) [( ) ( ) ( ) = c + + c ] 指数相关知识 : = ( 个 相乘 ) = = 若 0, 则 ± 为 的平方根, 指数基本公式 : = + / = ( ) ( ) = = 对数相关知识 : 对数表示为 log (>0 且,>0), 当 =0 时, 表示为 lg 为常用对数 ; 当 =e 时, 表示为 l 为自然对数 有关公式 :Log (MN) =logm+logn log log log 换底公式 : log logc = = log log c = log = log 单调性 : > 0<< 4 有关充分性判断 : 题型为给出题干 P, 条件 S S 若 S P, 而 S > P 则题目选 A 若 S >P, 而 S P 则题目选 B 若 S P, 而 S P 则题目选 D S+ S P则题目选 C 若 S >P, 而 S >P 但 S+ S > P则题目选 E 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

3 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 形象表示 : (A) (B) 联 ( 合 ) 立 (C) (D) 联 ( 合 ) 立 (E) 特点 : () 肯定有答案, 无 自检机会 准确性高 () 准确度解决方案 : () 自下而上带入题干验证 ( 至少运算两次 ) () 自上而下,( 关于范围的考题 ) 法宝 : 特值法, 注意只能证 伪 不能证 真 图像法, 尤其试用于几何问题 第一章实数 一 基本概念 () 自然数 : 自然数用 N 表示 (0,, ) + 正整数 Z () 整数 Z 0 负整数 Z () 质数和合数 : 质数 : 只有 和它本身两个约数的数叫质数, 注意 : 既不是质数也不是合数最小的合数为 4, 最小的质数为 ;0 以内质数 : 5 7;0 以内合数 除了最小质数 为偶数外, 其余质数都为奇数, 反之则不对除了 以外的正偶数均为合数, 反之则不对只要题目中涉及 个以上质数, 就可以设最小的是, 试试看可不可以 Eg: 三个质数的乘积为其和的 5 倍, 求这 个数的和 解 : 假设 个质数分别为 由题意知 :=5(++) 欠定方程 不妨令 =5, 则 = =6 (-)(-)=6= 6= 则 -=,-= 或者 -=,-=6 即 =,=4( 不符合质数的条件, 舍 ) 或者 =,=7 则 ++=4 小技巧 : 考试时, 用 0 以内的质数稍微试一下 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

4 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 (4) 奇数和偶数整数 Z 奇数 + 偶数 相邻的两个整数必有一奇一偶 合数一定就是偶数 ( ) 偶数一定就是合数 ( ) 数一定就是奇数 ( ) 4 奇数一定就是质数 ( ) 4 (5) 分数 : p q, 当 p<q 时为真分数,p q 时为假分数, 带分数 ( 有整数部分的分数 ) (6) 小数 : 纯小数 :0. ; 混小数 :. ; 有限小数 ; 无限小数 ; 整数 ( Z) 有理数 Q (7) 实数 R 分数 ( ) 无理数 p 有理数 Q: 包括整数和分数, 可以知道所有有理数均可以化为的形式, 这是与无理数的区别, 有 q 限小数或无限循环小数均是有理数 p 循环节数字 无限循环小数化成的方法 : 如果循环节有 k 位, 则此小数可表示为 : Ex: q k个 9 c 0. c = 999 例 0.. =0. 化为分数 分析 : 0.. = =0.+0.* 0. = +0 * = 5 99 c 例 0. 化为最简分数后分子与分母之和为 7, 求此分数 c 6 分析 : 0. c = = 从而 c=6*9 999 无理数 : 无限不循环小数常见无理数 : π e 带根号的数 ( 根号下的数开不尽方 ), 如, 对数, 如log 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

5 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 有理数 (Q) 有限小数 实数 (R) 无限循环小数 无理数 : 无限不循环小数 有理数 整数 Z 分数真分数 ( 分子 < 分母, 如 /5) 考点 : 有理数与无理数的组合性质 假分数 ( 分子 > 分母, 如 7/5) 5 A 有理数 (+- ) 有理数, 仍为有理数 ( 注意, 此处要保证除法的分母有意义 ) B 无理数 (+- ) 无理数, 有可能为无理数, 也有可能为有理数 ; 无理数 非零有理数 = 无理数 eg. 如果两个无理数相加为零, 则它们一定互为相反数 ( ) 如, 和 C 有理数 (+-) 无理数 = 无理数, 非零有理数 ( ) 无理数 = 无理数 (8) 连续 k 个整数之积可被 k! 整除 (k! 为 k 的阶乘 ) (9) 被 k(k=,,4-----) 整除的性质, 其中被 7 整除运用截尾法 被 7 整除的截尾法 : 截去这个整数的个位数, 再用剩下的部分减去个位数的 倍, 所得结果若是 7 的倍数, 该数就可以被 7 整除同余问题 被 整除的数, 个位数是偶数被 整除的数 各位数之和为 倍数被 4 整除的数, 末两位数是 4 的倍数被 5 整除的数, 个位数是 0 或 5 被 6 整除的数, 既能被 整除又能被 整除被 8 整除的数, 末三位数之和是 8 的倍数被 9 整除的数, 各位数之和为 9 的倍数被 0 整除的数, 个位数为 0 被 整除的数, 奇数位上数的和与偶数位上数的和之差 ( 或反过来 ) 能被 整除被 7 整除的数, 这个数的末三位与末三位以前的数之差 ( 或反过来 ) 能被 7 整除 二 绝对值 ( 考试重点 ) 绝对值的定义: 其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的穿线法 : 用于求解高次可分解因式不等式的解集要求 :()x 系数都要为正 () 奇穿偶不穿 实数 的绝对值的几何意义 : 数轴上实数 所对应的点到原点的距离 例 充分性判断 f(x)= 只有一根 ()f(x)= x- () f(x)= x- + 解 : 由 ()f(x)= x- = 得 x =± 两根由 ()f(x)= x- += 得 x- =0, 一根答案 :(B) 基本公式: x < -<x< x > x> 或 x<- x = x= ± 4 几何意义的扩展: x 表示 x 到原点的距离 x- 表示 x 到 ( 两点 ) 的距离 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

6 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 x- + x- 表示 x 到 的距离与 x 到 的距离之和, 并且有最小值 -, 没有最大值, 当 x 落入, 之间时取到最小值 x- - x- 表示 x 到 的距离与 x 到 的距离之差, 并且有互为相反数的最小值 - - 和最大值 -, 当 x 在, 两点外侧时取到最小值与最大值 5 性质: 对称 : 互为相反数的两个数的绝对值相等 等价 :() = ( 升次 ) x 应用 : x = ( x x) = ( x+ x) 4xx () = ( 去绝对值符号 ) () 0 = = < 0 非负性 ( 重点 ): 归纳具有非负性的量 0,... 0, ,... > 0 ;, 4... > 0 x x x>0 6 重要公式 = = x x x<0 例,,c 都为非零实数, + + c c 有几种取值情况? c c 讨论 : 两正一负 : 两负一正 : - 三正 三负 - 7 绝对值不等式定理 三角不等式 : + + 形如三角形三边关系左边等号成立的条件 : 0 且 右边等号成立的条件 : 0 6 第二章整式和分式一 内容提要 单项式 : 若干字母与数字之积 整式 多项式 : 若干单项式之和 乘法运算 () 单项式 单项式 x x =6 x () 单项式 多项式 x(x-)= x -x () 多项式 多项式 (x+)(x-4)=6 x +x- 乘法公式( 重点 ) () ( ± ) = ± + () ( + + c) = + + c + + c + c ( c) = + + c + c c () ( + ) = 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

7 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 ( ) = + (4) = ( + )( ) (5) + = ( + )( + ) = ( )( + + ) A A 4 分式: 用 A,B 表示两个整式,A B 就可以表示成的形式, 如果 B 中还有字母, 式子就叫分式, B B 其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 在解分式方程的时候要注意检验是否有増根 5 有理式: 整式和分式统称有理式 6 分式的基本性质: 分式的分子和分母都乘以 ( 或除以 ) 同一个不等于 0 的整式, 分式的值不变 7 分式的约分: 其目的是化简, 前提是分解因式 8 分式通分: 目的是化零为整, 前提是找到公分母, 也就是最小公倍式 9 分式的运算: 加减法 : c ± c c d ± c ± = ± = d d 乘法 : c = c d d 除法 : c = d = d d c c 乘方 : ( ) = 0 余式的定义( 重点 ): 被除式 = 除式 商 + 余式 F(x)=f(x)g(x)+r(x) 当 r(x)=0 时, 称为整除 f( x) 含有 ( x ) 因式 f( x) 能被 ( x ) 整除 二次三项式: 十字相乘可以因式分解 形如 x+x+c c c =,c +c =,cc=c. 因式定理 7 f(x) 含有 (x-) 因式 f(x) 可以被 (x-) 整除 f( )=0 f(x) 含有 (x-) 因式 f()=0 4 余式定理 : f(x) 除以 x- 的余式为 f( ) 二 因式分解常用的因式分解的方法 提公因式法 例 x-xy+8xy =x(x-6xy+9y) 4 =x(x-y) 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

8 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 公式法 ± +=(± ) -=(+)(-) ± + ± =(± ) + =(+ )( +) =( )( + +) 十字相乘因式分解, 适用于 x + x + c, 见上面第 小点 4 分组分解法 () x + x + c 十字相乘 () x + x + c 了解内容方法 : x c + x + c = x + x + x + c = xx ( + ) + ( x+ ) 或 x + x + c = x + x + c+ c= x + c+ x + c () x 4 x + + c 设 t = x 将原式化为 t + t + c (4) x + x + c 方法一 拆中间项 = x + x + x + c = x ( x + ) + ( x + c) 方法二 = x + c + x + c 立方公式平方差 ex: x x + = x x x + (5) x 5 + x + c 方法一 x 5 + dx dx + x + c 方法二 x 5 + dx dx + x + c (6) 待定系数法 多项式 x + x x + 0 = 0 的根为 0 的约数除以 的约数 (7) 双十字相乘法应用 : x + y + cxy + dx + ey + f x y 常数 f f = ( x + y + f)( x + y + f) =, =, ff= f 其中 + = c, f + f = d, f + f = e 8 经典例题 :. 实数范围内分解 ( x+ )( x 6)( x 5x+ 6) ( x+ )( x+ )( x+ )( x+ 4) 0 有 (B): A. ( x+ )( x 6)( x 5x+ 6) 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

9 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 B. ( x )( x+ 6)( x + 5x+ 6) C. ( x+ )( x+ 6)( x 5x+ 6) D. ( x )( x+ 6)( x + 5x 6) E. 以上都不对解答 : 用特殊值代入得 B 设 X=-. 已知 c 0 且 + + c= 0, 则 ( + ) + ( + ) + c( + ) =(A) c c A.- B. - C. D. E. 以上全不对 ( + ) + ( + ) + c( + ) = c c c c ( + ) + ( + ) + ( + ) = c c c c 解答 : ( + ) + ( + ) + ( + ) = c c + c + + c ( ) + ( ) + ( ) = c c ( ) + ( ) + ( ) = c 9 第三章比和比例一 基本定义. 比 : =. 关系 () 原值为, 增长了 P%, 现值为 (+P%) 原值为, 下降了 P%, 现值为 (-P%) 如果原值先增加 P%, 减少多少可以恢复原值 P% (+P%)(-x)= x = < P% + P% 如果原值先减少 P%, 增加多少可以恢复原值 P% (-P%)(+x)= x = > P% P% () 比较大小甲 乙 p% 甲比乙大 P%, = P% 甲 = 乙 (+ P% ) 乙比甲小乙 p % + 乙 甲 p% 甲比乙少 P%, = P% 甲 = 乙 (- P% ) 乙比甲大乙 p% 甲比乙多 个单位 甲 = 乙 + 甲 () 甲是乙的 P%, = P% 甲 = 乙 P% 乙. 比例 : 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

10 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 c : = c: d = d :=:c 为 c 比例中项 4. 正比 y=kx (k 可正可负 ) 二 性质 : = c : d d = c 内项积 = 外向积三 重要定理 c. 更比定理 = = d c d c d. 反比定理 = = ( 两边取倒数 ) d c c + c+ d. 合比定理 = = ( 两边加, 通分 ) d d c c d 4. 分比定理 = = ( 两边减, 通分 ) d d *5. 合分比定理 c ± c ± = = = c d ± d ± d c e + c+ e *6. 等比定理 = = = d f + d + f + c + c + c 例,,c 为非 0 实数, 且 = = =, 求 c () 当 + + c 0 时由等比定理, 分子分母同加减, 得 =- () 当 ++c=0 时 +=-c 代入原式, 得 =-4 陷阱在分母的取值, 要分开讨论 7. 增减性 ( 比较大小 ),, 均大于 0 + 若 > 则 < ( > 0) + + 若 0 < < 则 > (>0) + 四 平均值 算术平均值: x + x x x = = 几何平均值 i= 要求是 个正数, 则 x... g = xx x = xi 五 平均值定理 x+ x x xx... x + = 时, x i i= x 当且仅当 = x =... = x 时, 两者相等 0 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

11 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 当 =, + 六 比较大小的方法 : 整式作减法, 与 0 比较大小 分式作除法, 与 比较技巧方法 : 特值法 极端法( 趋于 0 或无穷大 ) 例 : : : : c = 4, 且 ++c=7, 求 --c + + c 由题意可知,::c=::4, = =, 可得 =6,=9,c= 算出 --c=-6 第四章方程不等式 方程一 基本定义 : 元: 方程中未知数的个数次 : 方程中未知数的最高次方数 一元一次方程 Ax= 得 x = 一元二次方程 x +x+c=0( 0) 一元二次方程 x +x+c=0, 因为一元二次方程就意味着 0 ± Δ 当 Δ = -4c>0 时, 方程有两个不等实根, 为 X, = 当 Δ = -4c=0 时, 方程有两个相等的实根 当 Δ = -4c<0 时, 方程无实根 一元 次方程根的情况 : 一元二次方程中带根号的根是成对出现的, 一元三次方程至少有一个有理根, 或者说奇数次方程至少有一个有理根 二 重要公式及定理 一元二次方程 x +x+c=0 的解法 () 因式分解 : 十字相乘 ( Δ 为完全平方数 ) ± Δ () 求根公式 X, = 抛物线 y= x +x+c 图像的特点及性质 y= x +x+c( 抛物线 ), 则 开口方向由 决定 :>0 时, 开口向上,<0 时, 开口向下 c 决定与 Δ y 轴的交点 对称轴 x= x x, 对称轴左右两侧单调性相反 4 两根决定了与 x 轴交点 5 = 4c (, ) 代表抛物线在 x 轴上截取的长度 6 顶点坐标 4 7 当 Δ >0 时, 有两个不等实根, Δ =0, 有两个相等实根, Δ <0 时, 无实根 8 恒正 :>0, Δ <0; 恒负 :<0, Δ <0 三 根与系数关系 ( 韦达定理 ) 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

12 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 c x 如果 x x+ x =, xx = 是 x + x + c = 0 的两个根, 则, 注意 : 韦达定理不仅对实根是适用的, 对虚根也适用韦达定理的扩展应用 : x+ x () + = = 与 无关 x x xx c ( x+ x) xx c () + = = x x ( x x ) c Δ () x x = ( x+ x) 4xx = (4) x + x = ( x+ x) xx x + x = ( x+ x)( x xx + x ) (5) = ( x+ x)[( x+ x) xx] 考试题型 题型一 x + x + c = 0 的根的分布情况 c () 有两个正根 x + x = 0, x x 0 > = >, Δ 0 c () 有两个负根 x + x = 0, x x 0 0 < = >, Δ c () 一正一负根 xx = < 0 即 和 c 异号即可 ; 如果再要求 正根 > 负根, 则再加上条件, 异号 ; 如果再要求 正根 < 负根, 则再加上, 同号 (4) 一根比 k 大, 一个根比 k 小 f(k)<0 对数方程, 不等式的应用 f ( x) g( x) 方程 : log = log f( x) = g( x) > 0 ( ) ( ) 不等式 :> 时 log f x log g x > f( x) > g( x) > 0 ( ) ( ) 0<< 时 log f x log g x < f( x) > g( x) > 0 指数相关知识 : = ( 个 相乘 ) = 对于, 若 为正偶数, 则 0; 若 为正奇数, 则 无限制 ; 若 为负偶数, 则 >0; 若 为负奇数, 则 0 若 0, 则 ± 为 的平方根, 负数没有平方根 指数基本公式 : + 题型三 韦达定理的应用 不等式的性质 : 同向皆正相乘性 > > 0 c > c > d > 0 d = ( ) ( ) = = 其他公式查看手册 不等式 = 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

13 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 皆正倒数性 > > 0 0 > > > > 0 > c> d > 0 d c 4 > > 0 > 不等式解集的特色 : 解集端点的值代入不等式时, 不等式左边等于右边 一 一元一次不等式 0 x + < > 0 x < 若,>0 时 x < <0 时 x > x > 若,>0 时 x > <0 时 x < x + < 移向通分得 : x+ x = < 0 x x x ( x)(x ) < 0 二 含绝对值的不等式 x + < < x + < x + > x+ > 或 x+ < 三 一元一次不等式组 x + > 0 x > 求交集得 x < 7 x < x + > 0 x < 7 5x 4< 0 x > 解得 x < < x < x < 5 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

14 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 x+ + x < 0 临界点为 -, 8 x<- 时, 解得 < x < 4 - x 时, 解得 - x x 时, <x<4 合并 得, 8 < x < 4 性质 :.>>0, >.<<0, > 四 一元二次不等式 x + x + c > 0( 0) 注 : 将系数调整为正数后在求解 x + x + c > 0 时,>0 时, x > x, x< x x + x + c < 0 时,>0 时, x < x< x 解高次不等式 : ( x )( x )( x )( x 4) > 0或 <0 方法 : 穿针引线法 ( 由右上开始往下穿 ) 注 : 偶次方先穿时, 不考虑, 穿后考虑特殊点 ; 奇次方不考虑全看为一次 ( x+ ) ( x )( x ) ( x ) <0 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

15 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 x< 且 x -, 或 <x< 类似于 x+ ± cx+d >e 的不等式, 可以分段讨论, 但计算量大, 这时使用折线法, 限于一次方程, 步骤如下 : 根据 x+=0,cx+d=0 求出折点 > 0, 向上折 = 0, 水平 ± < 0, c 向下折一些图像的画法 y= x+, 下翻上, 把原下方图像上翻后去掉原下方 y= x +, 右翻左, 把右边翻到左边, 去掉原来左边的 y =x+, 上翻下, 原来下方去掉五 超级不等式 : 指数 对数问题 () 对数的图像要掌握 f ( x) g( x) 方程 : log = log f( x) = g( x) > 0 f ( x) g( x) 不等式 :> 时 log > log f( x) > g( x) > 0 单调递增 f ( x) g( x) 0<< 时 log < log f( x) > g( x) > 0 单调递减 对于, 若 为正偶数, 则 0; 若 为正奇数, 则 无限制 ; 若 为负偶数, 则 >0; 若 为负奇数, 则 0 若 0, 则 ± 为 的平方根, 负数没有平方根 5 第五章应用题 一 比 百分比 比例 () 知识点利润 = 售价 - 进价利润 = 出厂价 - 成本利润变化量利润率 = 变化率 = 进价 ( 成本 ) 变前量技巧 ( 思路 ) 思维方法 : 特值法如果题目中出现必需涉及的量, 并且该量不可量化, 则此量一定对结果无影响 可引入一个特殊值找出普遍规律下的答案 用最简洁最方便的量作为特指 引入特指时, 不可改变题目原意 引入两个特值时需特别注意, 防止两者间有必然联系而改变题目原意 讲义 P/ 例 0 一般方法 : 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

16 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 x + y = 50 90x + 75y = 50 8 十字相交法 : 优秀 人数比 优 = 非优 非优秀 非优 = 50 =0 5 十字交叉法的使用法则 标清量 放好位 ( 减得的结果与原来的变量放在同一条直线上 ) 大的减小的 题型归纳. 增长率 ( 变化率问题 ). 利润率. 二因素平均值 4. 多比例问题 5. 单量总量关系 6. 比例变化 7. 比例性质 二 工程问题 ( 总量看成 ) () 知识点工量 = 功效 * 工时 ( 效率可以直接相加减 ) 工量定时, 工效 工时成反比工效定时, 工量 工时成正比工时定时, 工量 工效成正比纵向比较法的使用范围 : 如果题目中出现两条以上可比较主线, 则可用纵向比较法的使用法则 : 一定要找到可比较的桥梁 通过差异找出关系并且利用已知信息求解 工程问题题型 : 效率计算 ; 纵向比较法 ; 给排水问题 ; 效率变化问题 三 速度问题知识点 :. S=vt S 表示路程 ( 不是距离或位移 ),v 匀速,t 所用时间 s 定,v t 成反比 ;v 定,s t 成正比 ;t 定,s v 成正比. 相遇问题 S 为相遇时所走的路程 ;S 相遇 =s+s= 原来的距离 ;V 相遇 =v+v 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

17 S t = V 相遇时所用时间. 追击问题 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 相遇 相遇 S 追击 =s-s ( 走的快的人比走的慢的人多走的路程 ) V 追击 =v-v 7 4. 顺水 逆水问题 V 顺 =v 船 +v 水 V 逆 =v 船 -v 水 (V 顺 -V 逆 = v 水 ) = 例 6. 公共汽车速度为 v, 则有 v v+ 80 得 v=40; 最好用中间值代入法 中间值代入的适用范围 : 往往在速度问题中, 得到分母出现未知数, 并且不可以简单化解的方程, 此时最有效的方法是中间值代入法, 而回避解一元二次方程 使用法则 : 用中间值代入而非中间答案同等条件下用最简洁最方便的代入如果第一次代入后不符合题意, 则一定要判断准答案的发展方向 例 7. ( V 卡 +60)6=(48+ V 卡 )7 得 V 卡 =4 ( V 卡 +60)6=( V 丙 +4)8 得 V 丙 =9 例 0. 第一次相遇 : 小明走了 500, 小华走了 S-500; 第二次相遇 : 小明走了 S+00, 小华走了 S S + 00 = S = 900 S-500 S 00 第一次相遇 : 小明和小华走了 S; 第二次相遇 : 小明和小华走了 S 说明第二次 个人走的都是第一次的 倍 ; 对于小明来说 :S+00= 500 S=900 例. 设船速 v, 水速 x, 有 = 6 v+ x v x = 6 v+ x v x 解得 x =.5 速度问题题型总结 :.s=vt( 中间值代入法 ) 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

18 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研. S 相遇 =s+s,v 相遇 =v+v. 顺水逆水问题四 浓度问题溶质知识点 : 定义 : 浓度 = 溶液溶液 = 溶质 + 溶剂溶质 = 浓度 溶液溶质溶液 = 溶度例 4. 属于补水 ( 稀释 ) 问题 ( x 0) 60% 第一次剩下纯 : ( x 0) 60% 浓度 : x ( x 0) 60% ( x 0) 60% 第二次倒出纯 : x 0 剩下纯 : ( x 0) 60% -0 x ( x 0) 60% 浓度为 : ( x 0) 60% -0 x /x=0% x=60 通用公式 : 原浓度 ( v )( v ) = 后浓度 倒两次 : v 原浓度 ( v )( v )( v- c) = 后浓度 倒三次 : v v 为原来溶液的量, 为第一次倒出的量, 为第二次倒出的量 题型归纳 ; 浓度计算 ; 补水问题五 画饼问题. 两饼相交 8 总 =A+B-x+y 例 5. 设只有小提琴人数为 5x, 则总人数 =46=+5x+x-x+4 得 x= 只会电子琴的 =-6=6. 三饼相交 总 =A+B+C-x-y-z+ 例 8. 总 = =74 六 不定方程 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

19 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研. 最优化方案选择的不定方程 ;. 带有附加条件的不定方程. 不等式形式的不定方程步骤 :. 要勇敢的表达出方程 ;. 观察方程和附加条件拉关系 ;. 求解 ( 穷举法 ) 例 7. 设一等奖, 二等奖, 三等奖人数为,,c, 则有一二三 c(,,c 为正整数 ) 6++c= 9+4+c= 得 接着穷举法当 = 时,=,c=5 当 = 时, 不符题意 9 最优化方案选择题目的解决方案 : 找到制约最优的因素 ( 稳, 准, 狠 ); 判定什么情况下最优 ; 求解 不等式形式的不定方程解决方案 : 列出不等式通过不等式组求出解得范围根据附加条件判定具体解集例 9. 东欧 >/ 欧美 欧美 <5 个欧美 >/ 总数 总数 </ 欧美 总数少于 亚太 </ 总数 总数 >8 七 阶梯价格问题图表型 语言描述型做题步骤 :. 分段找临界 ;. 确定区间 ;. 设特殊部分求解例 0. 少于 万 万 -.5 万.5 万 - 万 万 - 万 万 -4 万 x 4 %=770 x=65 第六章数列一 等差数列 + = 常数, 则 { } 为等差数列, 公差 d = 常数 = + ( ) d 通项公式 = k + ( k) d 起始项不是第一项, = d + ( d ) 关于 的函数, 说明等差数列通项是关于 的一次函数, 公差为 的系数 注 : = 是等差数列, 为常数列, 通项就是该常数, 常数列是数列题特值法的首选 ( + ) + 已知 S = = = 项数求 S 几就是脚码乘以一个数, S = X 二 等比数列等比数列通项是关于 的指数函数, 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

20 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 补例 = 是等比数列, q =, = 4 + = = 4 4 S ( ) q = = q q q q, 为一定有常数项的指数函数 * 如果一个数列既是等差又是等比数列, 则该数列为非零常数列数学思想 定性排除加反向验证; 首选特值法和图像法; 充分性判断先猜后做 补例 S = + = 5, d = 有最大值, 在对称轴处取得, =, 即 S5 = S6=S 最大值 0 总结 : S = f( ) = + 对称轴 : = d > 0, d < 0, S 有最大值 ; < 0, d > 0, S 有最小值 N 的取值四舍六入, 例 : ()=5, S 5 有最值 ()=5., S 5 有最值, ()=5.6, S 6 有最值, (4)=5.5, S 5 = S 6 有最值, 且 S = 0, 6 = 0 总结 : () 为 的一次函数 () S 为 的无常数项的二次函数 退化为常数, S 退化为 的一次函数, 如 =, S = 前 项和为 S, T, 则 S9 : T 9 = :, 为等差数列 : = : () 若 { } 为常数列, 补例 { },{ } (){ } { } () 0 0 利用 S= 脚码 * 中间项, 选 C 补例 等差数列中 S 9 = 7, 求 = S9 = 9 5 = 7, 5 = = 5 = 4 补例 = 是等比数列 +, q =, = 4 = = 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

21 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 S ( ) q = = q q q q, 为一定有常数项的指数函数 补例 S = 是等比数列 补例 S = 不是等比数列, 需要配一个常数 + S = +, 常数与系数相反数, q =, = 的等比数列 4 注 : S = 不是等比数列, 但是只影响第一项, 从第二项开始与 S = 所代表的等差数列的第二 项开始完全相等 S 补例 09-0-, 0, =, = S, 则 是 S A 首项为, q = 的等比数列 ;B 首项为, q = 的等比数列 C 既非等差又非等比;D 首项为, d = 的等差数列 S E 首项为, d = 的等差数列 S S = S, 万能公式 S S S S + S = S + = 0 S S = S S 答案选 E 总结 : () 为 的指数函数 () S 为 的有常数项的指数函数, 且系数相反 () 若 { } 为非 0 常数列时, 退化为常数, S 退化为 的一次函数, 如 = = 该常数, S = (4) 既成等差数列又成等比数列的一定是非 0 常数列 补例 等差数列, 5 = 7 0, 且 < 0, 则 S 最小 A S 或 S 8 B S C S D S 5 E 以上都不对 7 + 4d = 7 + 9d =, ( ) ( ) d = 5 = = =. 所以 取, 答案选 C 4 d 4 三个数成等差 : d,, + d 三个数成等比 : qq,(,,, q,, 分式未必好处理 ) q 四个数成等差 : d,, + d, + d,( d, d, + d, + d, 对称, 但公差为 d, 易错 ) 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

22 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 四个数成等比 :, qq,,,( q, q, q, 对称, 但公比为 q, 易错 ) q q 总结 : 等差数列 等比数列 定义 + d / + = q 通项 = + ( ) d = q = + ( ) d = q 通项公式技巧 = d+ ( d) = q ( 是关于 的一次函数 ) ( 是关于 的指数函数 ) 4 前 项和公式 S ( + ) S = q q, S = q = ) q q ( ) S = + d q =, S = 5 S 技巧 d d S = + ( ) S = q q q 关于 的无常数项的二次函数 关于 的有常数项的指数函数 6 角码规律 + = k + t = x + = k + t = x + = k + t = x = k t = x 7 c成等差, 则 = + c c成等比, 则 = c( 奇 叫做等差中项数项同号 偶数项同号 ) 叫做等比差中项 8 k Sk =, S k (k ) k T k k 第七章排列组合 ( 解决计数问题 ) 一 两个原理 加法原理 ( 分类 ) 做一件事有 类办法, 每一类中的每一种均可单独完成此事件, 如果第一类有 种方案, 第二类有 种方案... 第 类有 种方案, 则此事件共有方案数 N = 乘法原理 ( 分步 ) 做一件事分 个步骤, 如果第一步有 种方案, 第二个步骤有 种方案... 第 步有 N = 种方案, 则做此事件的方案数... 模型 : 从甲到乙有 种方法 ; 从甲到丙有 4 种方法 ; 从乙到丁有 种方法 ; 从丙到丁有 种方法 ; 问从甲到丁有几种方法? 解 :*+4*=4 二 两个概念 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

23 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 排列 排列定义: 从 个不同元素中, 任意取出 ( ) 个元素, 按照一定顺序排成一列, 称为从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 排列数定义: 从 个不同元素中取出 ( ) 个元素的所有排列的种数, 称为从 个不同元素中取出 个元素的一个排列数! P = ( )...( + ) = ( )! P =! 个不同元素对应 个不同位置的方案总数记为!( 一一对应 ) 常用的阶乘数 :0!=,!=,!=,!=6,4!=4,5!=0 组合 组合的定义: 从 个不同元素中, 任意取出 ( ) 个元素并为一组, 叫做从 个不同元 素中取出 个元素的一个组合, 所有可能的组合的个数称为组合数 P C = P 常用的组合数 : C 0 = C = C 4 = 6 C 6 = 0 C = C = C6 = C6 = 5 C7 = C7 = C8 = C8 = 8 组合的性质: () 只要存在选择, 使用 C () 只要涉及到顺序, 就阶乘 ( 不同元素对应不同位置 ) C () = C ( 化简用 ) C (4) + C = C+ 0 C... (5) + C + + C = 0 ( )... r + = C r r.. 二项展开式: + C + + C + C 存在选择 C 存在对应! 例 : 从,,...,0 这 0 个自然数中任取 个不同的数字组成等差数列, 问有 () 多少个 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群 C C = C = C = C = 建议 : 尽量画位置图尽量具体化各种题型总结 : ⑴ 平均分组问题 : 注意要修正, 看所分的组间是否有区别, 无区别为平均分组, 要再除以阶乘 ⑵ 对元素或位置限定 : 思想是先特殊后一般 ⑶ 相邻 : 捆绑法, 解决元素相邻问题 步骤是先把相邻元素作为一个元素进行大排列, 然后可能存在小排列 ⑷ 不相邻 : 插空法, 解决元素不相邻问题 先不管不相邻元素, 把剩下的大元素进行大排列, 然后选取间隔插空, 可能存在小排列 C (6) 隔板法 : 个相同的元素分给 ( ) 个人, 每人至少一个名额 使用隔板法要满足以下三个条件 所要分的物品规格必须完全相同 所要分的物品必须分完, 绝不允许有剩余 参与分物品的每个成员至少分到一个, 绝不允许出现分不到物品的成员 每人至多一个 C C + 代表无任何约束的隔板问题

24 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 解 : 等差数列,,, = + d, = + d, 可知, 奇偶性相同 这 0 个数中有 0 个奇数, 每选的两个奇数选出后可构成 个等差数列, 则 0 个奇数可构成等差数列的个数为 P, 同理偶数也可以构成 P, 总共 P 个 第八章平面几何和解析几何 ( 为考点, 为重点, 为运用,* 为总结 ) 平面几何部分 平行直线 () 一条直线与一组平行线之间的关系 与 4是同位角, 同位角相等 与 4是内错角, 内错角相等 4 与 4是同旁内角, 同旁内角互补 内错角的角平分线平行 ; 同位角的角平分线平行 ; 同旁内角的角平分线垂直 4 多边形 奇数条的多边形任意多边形的外角和是 60 三角形 () 三个内角和 : A+ B+ C=80 o 四角形内角和为 60 边形内角和为 (-) 80 外角 : 三角形外角等于不相邻两内角和 () 三条边 : 两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边 例 已知三角形 ABC, 其中 A(,) B(4,6) C 点在 x 轴上运动求 ()C 点在何位置时, AC+ BC 值最小 ; ()C 点在和位置时, AC BC 值最大 解 :() 错误答案 :, AC+ BC > AB, AC+ BC 最小值为 AB 分析 : 由于等号取不到, 答案错误正确答案 : 作 A 点关于 x 轴的对称点得 A ' AC+ BC = A' C+ BC A' B A (, ) A'(, ) B (4,6) AB= ' 9+ 8 = 0 6 CD 求 C 点, 利用等比关系 =, CD = 9 当点 C 在 (,0), 时 AC+ BC 的最小值为 0 (): 作 AB 的延长线,C 点是 AB 延长线与 x 轴的交点 AC BC AB = 9+ 9 = 因此可知, 当 C 点在 (-,0) 时, AC BC 最大值为 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

25 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 * 总结 当 A 点 B 点在坐标轴的同侧时, 求 AC+ BC 最小值, 需做对称点, 求 AC BC 值最大, 直接连线即可 当 A 点 B 点在坐标轴的两侧时, 求 AC+ BC 最小值, 直接连线即可, 求 AC BC 值最大, 需做对称点 () 三角形的四心 x + x + x y + y + y 重心 : 三条中线的交点, 将中线分成 : 两段, 坐标为 (, 垂心 : 三条高的交点 内心 : 内切圆圆心, 三条角平分线交点, 角平分线到角两边的距离相等 4 外心 : 外接圆圆心, 三条边的中垂线交点 * 总结 内心与重心必在三角形内部 在三角形内 锐角三角形 外心在斜边中点 外心与垂心 在边界上 Rt三角形 重心在直角顶点 在三角形外 钝角三角形 (4) 周长与面积 周长 L=++c 面积 S= sic= p ( p )( p )( p c ),p 为半周长 ) 5 ( 等底等高等面积 ; 若等高, 面积比等与底边比 ) (5) 全等和相似三角形相似的判定定理 ( 其他皆为此二种的变形 ) 两个三角形中有两个角对应相等 两个三角形两组对边对应成比例, 且其夹角相等概念 : 相似比 R= 相似三角形边长之比 一组相似形中线性比均为 R, 面积比为 R, 体积比为 R 全等 :R= 的相似即为全等全等判定 : 边角边, 边边边, 角边角定理可判定两个三角形全等, 相似时比全等多了一个角角角判定 周长比等于相似比, 面积比等于相似比的平方 相似 : 周长 中线 高之比等于相似比 ; 面积之比等于相似比的平方 (6) 特殊三角形 ) RtΔ 角 : A+ B= 90 o 边 : 勾股定理 : + = c 对于一个给定的三角形, 如果 + < c (c 为最长边 ), 则该三角形为钝角三角形, 反之为锐 角三角形 常用的勾股数 :(,4,5),(5,,),(7,4,5),(,, ),(,,), (9,40,4) ( 观察够股数发现以下特点 首数字为基数; 其周长为 + = ( + ) 例 RtΔ, 直角边最短为 7, 求周长? 周长为 + = ( + ) = 7 8 = 06 ⑵ 等腰直角, 角度 三边 :: 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

26 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 等差数列直角, 角度 三边 : : 0 o 所对的边是斜边的一半 C + + c 一般 RtΔ, 外接圆半径 R =, 内接圆半径 r = c 等腰 Δ h=, S = 4 4 () 等边三角形 : 四心合一, 当边长为, 面积 s=, 4 h 内切圆半径 r= r = =, 6 h 外接圆半径 R= R = = = r ⑷ 射影定理 四边形 () 平行四边形两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等, 两组对角线互相平分面积为底乘以高 () 矩形 ( 正方形 ) 对角线 l = +, 面积 S =, c= ( + ) 阴影部分都为 S () 菱形四边长均为 的四边形 对角线互相垂直平分面积还可以表示为对角线乘积的一半 ( 推广 : 只要对角线相互垂直, 四边形面积就可以表示为对角线乘积的一半 ) (4) 梯形只有一组对边平行的四边形 上底为, 下底为, 中位线 l=/(+) 则 S = ( + ) h= lh 特殊梯形 : ( ) 等腰梯形 : h= c 4 + 直角梯形 : h= c ( ) S= h 对角线互相垂直 : S = ll 4 圆 () 了解角度 弧度 π π π π 常用有 = 0 = 45 = 60 = π = 80 π = 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

27 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 () 弧度, 把圆弧长度和半径的比值称为对一个圆周角的弧度 () 圆的圆心为 o, 半径为 r, 直径为 d, 则 周长 C = π r, 面积 S = π r 直径所对的圆周角是直角 弧所对应的圆周角是圆心角的一半, 等弧上的圆心角 ( 圆周角 ) 等 弦切角 ( 割线与切线所夹的角 ) 与圆周角 ( 切线与割线所夹的弧所对应的圆周角 ) 相等 5 扇形 α () 扇形弧长 : l = rθ = π r 60 α 扇形面积 : S = π r = lr = θr 60 * 总结弧 : 优弧 劣弧 ( 其中优弧大于半个圆 ); 弦 : 线段 ( 最长的弦为直径 ) 弓形 : 弧 + 弦 ; 扇形 : 弓形 + 半径 ; 圆心角 : 顶点在圆心圆周角 : 顶点在圆周上 ( 圆心角是圆周角的 倍 ); 弦切角 : 切线与弦的夹角弦心距 : 圆心之间的距离, 其中 θ 为扇形角的弧度,α 为扇形角的角度,r 为扇形半径, 7 解析几何部分 平面直角坐标系 ( 逆时针 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ, 注意各个象限中坐标点的符号, 数轴上的点不属于任何象限 ) () 点 ( 与坐标一一对应 ) 两点之间的距离 PP= ( x x ) + ( y y ) ( 利用直角三角形勾股定理推出 ) () 线段 ( 定比分点 ) 了解 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

28 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 AH λ =,H 的坐标 ( + λ, + λ ) 可以由三角形相似推出 HB + λ + λ (H 为 AB 中点时, 即 λ =,H 的坐标为 ( +, + ) 用的最多的情况 ) 8 () 直线点 线段 射线 直线 ) 倾斜角 斜率倾斜角是指直线与 x 轴正方向所形成的夹角, 范围为 [0,80 ), 即 0 α <80 对边斜率 :k=tα = (α 的正切值 ) 临边 它描述直线的陡缓程度, 当 k 越大, 直线越陡, 当 k 越小, 直线越缓 α 0 π 6 K 0 ) 直线的方程描述 一般式 :x+y+c=0 ( 常用 ) c 即 y= x, k= * 总结 斜截式 :y=kx+ k 为斜率, 为截距 (x=0,y=) ( 注 : 斜截式不能表示竖直的直线 ) 倾斜角越大, 斜率也越大 斜率的绝对值越大, 越靠近 y 轴 常用角度 : 几个特殊角度的正切值 π π π π π 5π 不存在 - 点斜式 :y=k(x-x0)+y0 k 为斜率,( x0, y0) 为定点 ( 注 : 点斜式不能表示竖直的直线 ) 截距式 : x + y = 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

29 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研, 分别表示 x 轴 y 轴的截距 ; 斜率 : ( 注 : 截距不是距离, 只表示坐标轴交点的坐标, 可正可负 截距式无法表示水平 竖直和过原点的直线 ) x-x y-y 两点式 : =, 线过 (x,y)(x,y) 两点 x-x y-y ( 注 : 两点式不能表示水平和垂直的直线 ) 思考 : 这五种表示直线的方法中范围的大小? 大小一般式 斜率式 点斜式 两点式 截距式 9 ) 两条直线的位置关系 ( 同一平面 ) 位置关系 : 平行 ( 无交点 ) 相交 ( 垂直 重合 ) 判断方法 : l : x + y + c = 0 y = kx+ l : x + y + c = 0 y = kx+ 位置关系 c 特点 k 特点 平行 c = c k = k且 相交 k + = 0 kk = 垂直 重合 c k = k, = = = c Ax+ By+ C = 0 用交叉系数判断平行和垂直 : Ax + By + C = 0 设两条直线的方程分别为 : 平行 : AB = AB 垂直 : AA + BB = 0 4) 点到直线的距离 过直线外一点 p(x0,y0) 做直线 x+y+c=0 的垂线 ( 推导 : 过 p 做已知直线的平行线 ) d = x + y + c ) 两平行直线的距离 l : x + y + c = 0 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

30 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 l : x + y + c = 0 c c d = + 6) 两条直线的夹角 k k tα = + kk 圆 () 圆的方程一般式 : x + y + x+ y+ c= 0 4 配方得 : (x+ ) (y+ ) + + = c 4 圆心为 :(, ), 半径为 + 4c 特殊 : 若 c=0, 则圆心过原点, 若 =0, 则圆心在 y 轴, 若 =0, 则圆心在 x 轴 标准式 : (x-x 0) + (y y0) = r, 圆心为 ( x 0, y 0 ),r 为该圆半径 特殊 : x 0 =r 或 -r 时, 圆与 y 轴相切 y 0 =r 或 -r 时, 圆与 x 轴相切 0 () 点与圆的位置关系 点在圆内 : (x-x 0) + (y y0) < r 点在圆上 : (x-x 0) + (y y0) = r 点在圆外 : (x-x ) + (y y ) > r 0 0 () 直线与圆的位置关系设直线到圆心的距离为 d, 圆的半径为 r, 则 : d > r 直线与圆相离 d = r 直线与圆相切 ( 有一个交点 ) d < r 直线与圆相交 ( 特指有两个交点 ) ( 注 : 有交点有相切 相交分别讨论 ) (4) 圆与圆的关系 设两圆圆心的距离为 d, 两圆的半径分别为 R 和 r, 则 : 公切线 d > R+r 两圆相离 4 d = R+r 两圆外切 R-r < d < R+r 两圆相交 d = R-r 两圆内切 d < R-r 两圆内含 0 * 总结 外离时, 公共内切线的交点在圆心连线上 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

31 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 外切时, 公切线与圆心连线垂直 内切时, 公切线与圆心连线垂直 有关对称的问题 () 点关于点对称思路 : 用中点坐标求解 () 点关于直线的对称已知 A(x0,y0), 直线 L 的方程为 y=kx+ 设 A (x,y) 则根据 A A 直线 L 和 A A 中点在直线 L 上列方程 例 A(,7), 求关于 x-y+=0 的对称点 A 解 : 法一, 设对称点 A 为 (x.y) y-7 = x- x = 5 x+ y+7 得,, A (5,4) + = 0 y = 4 法二, 把 x = 代入 x-y+=0, 得 y= 4, 把 y = 7 代入 x-y+=0, 得 x = 5, A (5,4) () 直线关于点的对称 方法 : ()l l ; ()A 到 l 的距离 =A 到 l 的距离 如, x+y+c=0 关于 Px ( p, y p) 对称, 则对称直线方程为 ( x p x) +( y p y) +c=0 例 x-y+=0 关于 (,) 对称的直线方程为解 :(-x)-(6-y)+=0 即 x-y+5=0 ( 试用熟悉的方法验证一下结果 ) (4) 两相交直线的对称 ( 光的反射 ) 三线共点 方法 夹角相等求斜率 (l 上任取一点对称到 l' 上 ) 例 求 x-y+4=0 关于 y-x+=0 的对称直线 解 : 法一, 在直线 x-y+4=0 取一点 (-,0) 关于 y-x+=0 直线的对称点为 (,-5), 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

32 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 则可求出 y= ( 7) 0 x + 法二, 从对称直线 y-x+=0 中得, y=x-, x=y+ 由于其斜率相同, 可得到 (y+)-(x-)+4=0 ( 注 : 法二中用到反代法 ) 互为相反数 * 总结如果对称轴为 y= ± x+, 即斜率为 互为倒数 互为负倒数可采用反代方式求解 (5) 两平行直线对称 斜率相等方法 间距相同 L: x+y+c=0 L: x+y+c =0 x+y+ ( c 所求直线为 -c)=0 * 总结点和直线关于点或者直线的对称方程特殊对称 (, ) Ax+By+C=0 () 关于 x 轴 (, ) Ax-By+C=0 () 关于 y 轴 (, ) -Ax+By+C=0 () 关于原点 (, ) Ax+By-C=0 (4) 关于 y=x (, ) Bx+Ay+C=0 (5) 关于 y=-x (, ) Bx+Ay-C=0 (6) (, ) 关于 y= x+ 的对称点是 (-,+) (7) (, ) 关于 y=- x+ 的对称点是 (-+,-+) (8) (, ) 关于 x= 的对称点是 (-,) (9) (, ) 关于 y= 的对称点是 (,-) (0) (, ) 关于 (,) 的对称点是 (-,-) 例 已知三角形 ABC 的面积为,( >0), 将三边分别延长一倍 两倍 三倍, 求三角形 A B C 的面积 解 : 以等边三角形为例子, 画好图, 用分割法把延长后的三角形分成若干个, 反复利用等高 不同底得到面积之比, 最后把分割的三角形全部相加起来得结果 求阴影部分面积 ( 必考 ) 常用的方法与技巧 () 割分法 :S阴影 = S规则 - S空白 () 对称性 : 利用倍数求出一部分面积 () 翻转 : 折叠问题, 找全等 (4) 相似 ( 平行 ): 面积比等于相似比的平方 (5) 借助同比等高 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群

33 零点启航教育放飞梦想零点启航李蹊教研室教你考研 (6) 进行分块编号,,c,, (7) 辅助线 : 连线 中线 垂线 平行线 角平分线 立体几何 体积公式: 柱体 : V = S h, 圆柱体 : V = r h 斜棱柱体积 : V 锥体 : V π = S l ( 其中, S 是直截面面积,l 是侧棱长 ); = S h, 圆锥体 : V = π r h 台体 : V = h( S + S S + S ), 圆台体 : V = π h( R + R r + r ) 球体 : 4 V = π r 侧面积: 直棱柱侧面积 : S = c h, 斜棱柱侧面积 : S = c l ; 正棱锥侧面积 : S = c h, 正棱台侧面积 : S = ( c + c ) h ; 圆柱侧面积 : S = c h = πrh, 圆锥侧面积 : S = c l = πrl, 圆台侧面积 : S = ( c + c ) l = π ( R + r) l, 球的表面积 : S 5 几个基本公式: 弧长公式 : l = α r (α 是圆心角的弧度数,α >0); 扇形面积公式 : S = l r ; π = 4 r r 圆锥侧面展开图 ( 扇形 ) 的圆心角公式 : θ = π ; l R r 圆台侧面展开图 ( 扇环 ) 的圆心角公式 : θ = π l 经过圆锥顶点的最大截面的面积为 ( 圆锥的母线长为 l, 轴截面顶角是 θ): π l siθ (0 < θ ) S = π l ( < θ < π ) 07 管理类联考 MPAcc MEM: 教材同步高清视频课程 6 折优惠送 决胜 MBA 配套教材一套针对书丢多年 基础不太好考生编写的超级实用教材课程免费热线 : 咨询 QQ 交流 QQ 群