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查梨郗
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1 第四章機率分配和抽樣估計 (Probability and sampling estimation) 例 4-1 程式 (4-1) DATA TEST; RETAIN SEED 1234; DO I=1 TO 5; X=RANUNI(SEED); OUTPUT; END; PROC PRINT; TITLE USING A RANDOM NUMBER FUNCTION ; RUN; 程式中第二列設定 SEED 的起始值為 1234, 第三到六列為迴圈, 可反覆執行同樣的動作此例, 將產生均勻分配的亂數 ( 值在 0 與 1 之間 ) 共 5 筆列印結果如表 4-1 表 4-1 USING A RANDOM NUMBER FUNCTION OBS SEED I X 在 SAS 中有極多的函數可利用, 列舉如下 : 亂數函數 NORMAL(seed) 衍生標準常態分配的 pseudo 隨機變數 RANNOR(seed) 衍生標準常態分配的觀察值 RANCAU(seed) 衍生 Cauchy 導數 RANEXP(seed) 衍生指數導數 RANBIN(seed,n,p) 衍生二項分配的觀察值 RANGAM(seed,alpha) 衍生加瑪分配的觀察值 RANPOI(seed,lambda) 從 poisson 分配衍生觀察值 34

2 RANTBL(seed,p1,p2,,pn) 從 tabled 機率函數衍生導數 RANTRI(seed,h) 衍生三角分配的觀察值 RANUNI(seed) 衍生均勻導數機率函數 (Probability function) POISSON(lambda,n) 計算 poisson 分配的機率值 PROBBETA(x,a,b) 計算 beta 分配的機率 PROBBNML(p,n,m) 計算二項分配的機率 PROBCHI(x,df,) 求算卡方分配的機率 PROBF(x,ndf,ddf) 求 F 分配的機率 PROBGAM(x,a) 求加瑪 (gamma) 的機率 PROBHYPR(nn,k,n,x) 求超幾何分配的機率 PROBNEGB(p,n,m) 求負二項分配的機率 PROBNORM(x) 求標準常態分配的機率 PROBT(x,df,nc) 求 T 分配的機率計量函數 (Quantily function) PROBIT(argument) 計算標準常態分配函數之倒數 GAMINV(p,a) 計算 probgam 函數之倒數 CINV(p,df) 計算卡方值 FINV(p,ndf,ddf) 計算 F 分配統計量樣本統計函數 MAX 求一系列數字的最大值 MIN 求一系列數字的最小值 SUM 求總和 MEAN 求算術平均數 CV 計算變異係數 VAR 計算變異數 STD 計算標準差 STDERR 計算平均值的標準差 ( 標準誤 ) N 計算非缺失值引數的個數 NMISS 計算缺失值引數的個數 RANGE 求最大值與最小值之差距 SKEWNESS 計算偏態係數 KURTOSIS 計算峰度係數 USS 計算未修正的平方和 CSS 計算修正後的平方和 35

3 例 4-2( 由亂數表作二項分配 ) (1) 假設以隨機方式在數線 0 與 1 之間任取一點, 如果所取之點在 0 與 0.4 之間稱之為成功, 否則為失敗, 重複 500 組, 若每組作 10 次的試驗, 試作其成功次數之直方圖. (2) 由 SAS 函數產生二項分配 B(10,0.4) 的觀察值 500 個, 畫直方圖. 程式 (4-2-1) data rexp; do i=1 to 500; do k=1 to 10; x=ranuni(0); if x<=.4 then output; end; end; proc means noprint; output out=number n=n; var x; by i; proc chart; vbar n/discrete; proc means; var n; 程式 (4-2-2) data bino; retain seed 0; do i=1 to 500; x=ranbin(seed,10,.4); output; end; proc chart ; vbar x/discrete; proc univariate; var x; run; RANBIN(seed,n,p): 其中 n 為整數, 且 n>0,0<p<1(p 為機率值 ) 此函數的作用為, 由參數 n 與 p 的二項分配來產生觀察值列印結果如圖 4-2,4-3 36

4 圖 4-2( 程式 (4-2-1) 列印結果 ) FREQUENCY FREQUENCY OF N 120+ ***** ***** ***** ***** 80+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** 40+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** N Analysis Variable : N N Obs N Minimum Maximum Mean Std Dev 圖 4-3( 程式 (4-2-2) 列印結果 ) FREQUENCY FREQUENCY OF X 120+ ***** ***** ***** ***** ***** 80+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** 40+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** X 37

5 Variable=X Moments N 500 Sum Wgts 500 Mean Sum 1962 Std Dev Variance Skewness Kurtosis USS 8902 CSS CV Std Mean T:Mean= Prob> T Sgn Rank Prob> S Num ^= Variable=X Quantiles(Def=5) 100% Max 9 99% 7 75% Q3 5 95% 7 50% Med 4 90% 6 25% Q1 3 10% 2 0% Min 0 5% 1 1% 1 Range 9 Q3-Q1 2 Mode 4 Variable=X Extremes Lowest Obs Highest Obs 0( 494) 7( 481) 0( 275) 8( 28) 0( 38) 8( 86) 1( 488) 8( 300) 1( 458) 9( 144) 38

6 例 4-3 擬產生常態 N(0,1), 指數 (1), 均勻 U(0,1) 分配的亂數各 1000 個, 分別作直方圖, 並求其平均數及標準差等程式 (4-3) DATA NOR; RETAIN SEED 10; DO I=1 TO 1000; X=RANNOR(SEED); OUTPUT; END; PROC CHART DATA=NOR; VBAR X; PROC MEANS; VAR X; DATA EXP; DROP I; DO I=1 TO 1000; Y=RANEXP(10); OUTPUT; END; PROC CHART DATA=EXP; VBAR Y; PROC UNIVARIATE DATA=EXP; VAR Y; DATA UNIFORM; DROP I; DO I=1 TO 1000; X=RANUNI(222); OUTPUT; END; PROC CHART ; VBAR X; PROC UNIVARIATE ; VAR X; RUN; 列印結果如圖 4-4,4-5,4-6 39

7 圖 4-4 (N(0,1) 分配 ) FREQUENCY OF X FREQUENCY ** 150+ ** ** ** ** ** 100+ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 50+ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** X MIDPOINT Analysis Variable:X N Obs N Minimum Maximum Mean Std Dev 圖 4-5 (EXP(1) 分配 ) FREQUENCY OF Y FREQUENCY ** 300+ ** ** ** 200+ ** ** ** ** ** ** 100+ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Y MIDPOINT 40

8 Variable=Y Moments N 1000 Sum Wgts 1000 Mean Sum Std Dev Variance Skewness Kurtosis USS CSS CV Std Mean T:Mean= Prob> T Sgn Rank Prob> S Num ^= Variable=Y Quantiles(Def=5) 100% Max % % Q % % Med % % Q % % Min % % Range Q3-Q Mode Variable=Y Extremes Lowest Obs Highest Obs ( 649) ( 45) ( 270) ( 881) ( 3) ( 974) ( 56) ( 262) ( 779) ( 190) 41

9 圖 4-6 (U(0,1) 分配 ) FREQUENCY OF X FREQUENCY 80+** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 40+** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** X MIDPOINT Variable=X Moments N 1000 Sum Wgts 1000 Mean Sum Std Dev Variance Skewness Kurtosis USS CSS CV Std Mean T:Mean= Prob> T Sgn Rank Prob> S Num ^= Quantiles(Def=5) 100% Max % % Q % % Med % % Q % % Min % % Range Q3-Q Mode

10 Extremes Lowest Obs Highest Obs ( 658) ( 918) ( 449) ( 894) ( 603) ( 396) ( 766) ( 23) ( 118) ( 47) 例 4-4( 中央極限定理 ) 有 200 組不同樣本, 每一樣本均有 k 個服從均勻分配 U(0,1) 的觀察值, 試分別求 k=5 k=10 k=20 時樣本平均值之直方圖及敘述統計量, 以瞭解樣本平均數的分配與樣本大小的關係程式 (4-4) data sample5; drop n; do sample=1 to 200; do n=1 to 5; x=ranuni(222); output; end; end; proc means noprint; output out=mean5 mean=mean; var x; by sample; proc chart; vbar mean; proc univariate; var mean; data sample10; drop n; do sample=1 to 200; do n=1 to 10; x=ranuni(222); output; end; end; 43

11 proc means noprint; output out=mean10 mean=mean; var x; by sample; proc chart; vbar mean; proc univariate; var mean; data sample20; drop n; do sample=1 to 200; do n=1 to 20; x=ranuni(222); output; end; end; proc means noprint; output out=mean20 mean=mean; var x; by sample; proc chart; vbar mean; proc univariate; var mean; run; 第 2 列是將變數 N 去掉, 故該資料集將不再有變數 N, 第 9 到 12 列仍是作 MEANS 程序, 其中 NOPRINT 表不列印所產生出來的值, 第 10 列表示將所得之結果置於名為 MEAN5 的資料集中, 至於 BY SAMPLE 則是令 MEANS 程序在處理時, 依不同的 SAMPLE 值分別處理, 亦即當 SAMPLE=1 時求一個 MEAN 值,SAMPLE=2 再求一 MEAN 值, 故在 MEAN5 這個資料集中將會產生 200 個 MEAN 值結果如圖 4-7,4-8,4-9: 44

12 圖 4-7(SAMPLE SIZE=5) FREQUENCY OF MEAN FREQUENCY ***** 45+ ***** ***** ***** ***** 30+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** 15+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** MEAN MIDPOINT Variable=MEAN Moments N 200 Sum Wgts 200 Mean Sum Std Dev Variance Skewness Kurtosis USS CSS CV Std Mean T:Mean= Prob> T Sgn Rank Prob> S Num ^= Quantiles(Def=5) 100% Max % % Q % % Med % % Q % % Min % % Range Q3-Q Mode

13 Extremes Lowest Obs Highest Obs ( 111) ( 47) ( 44) ( 164) ( 191) ( 8) ( 143) ( 45) ( 144) ( 35) 圖 4-8(SAMPLE SIZE=10) FREQUENCY OF MEAN FREQUENCY ***** 45+ ***** ***** ***** ***** ***** 30+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** 15+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** MEAN MIDPOINT Variable=MEAN Moments N 200 Sum Wgts 200 Mean Sum Std Dev Variance Skewness Kurtosis USS CSS CV Std Mean T:Mean= Prob> T Sgn Rank Prob> S Num ^=

14 Variable=MEAN Quantiles(Def=5) 100% Max % % Q % % Med % % Q % % Min % % Range Q3-Q Mode Variable=MEAN Extremes Lowest Obs Highest Obs ( 72) ( 55) ( 154) ( 197) ( 130) ( 82) ( 22) ( 18) ( 56) ( 134) 圖 4-9(SAMPLE SIZE=20) FREQUENCY OF MEAN FREQUENCY ***** 45+ ***** ***** ***** ***** 30+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** 15+ ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** MEAN MIDPOINT 47

15 Variable=MEAN Moments N 200 Sum Wgts 200 Mean Sum Std Dev Variance Skewness Kurtosis USS CSS CV Std Mean T:Mean= Prob> T Sgn Rank Prob> S Num ^= Variable=MEAN Quantiles(Def=5) 100% Max % % Q % % Med % % Q % % Min % % Range Q3-Q Mode Variable=MEAN Extremes Lowest Obs Highest Obs ( 191) ( 145) ( 77) ( 25) ( 11) ( 2) ( 108) ( 167) ( 153) ( 103) 48

16 例 4-6 大樣本 σ 2 未知時,μ 之區間估計為測定台北市某十字路口交通的噪音程度, 特於白天隨機記錄該路口的噪音度量, 依小而大列表於下 : ( 單位 : 分貝 ) 這些數值相當於該路口的交通噪音分佈的 50 個度量, 若視測定期間所有發生的交通噪音量構成一個母體, 則這 50 個度量即為一個樣本, 試求此母體平均值 95% 的信賴區間? 程式 (4-6) DATA NOISE; INPUT ; CARDS; PROC CHART; VBAR BEA/MIDPOINTS=52.05 TO BY 3; PROC MEANS NOPRINT; OUTPUT OUT=MNOISE MEAN=MEAN STDERR=STDERR; DATA CONFI(KEEP=UCB LCB); SET MNOISE; ERR=STDERR*PROBIT(.025); UCB=MEAN+ABS(ERR); LCB=MEAN-ABS(ERR); LABEL LCB='LOWER CONFIDENCE BOUND OF MEAN' UCB='UPPER CONFIDENCE BOUND OF MEAN'; PROC PRINT; TITLE 'THE 95% CONFIDENCE INTERVAL OF MEAN'; RUN; 49

17 程式中之 PROBIT(α) 是用來計算常態分配機率值為 α =0.025 的臨界點,LABEL 用來定義變數名稱. 列印結果如圖 4-10 圖 4-10 FREQUENCY OF BEA FREQUENCY ***** 20 + ***** ***** 15 + ***** ***** 10 + ***** ***** ***** ***** 5 + ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** ***** BEA MIDPOINT THE 95% CONFIDENCE INTERVAL OF MEAN OBS UCB LCB 例 4-7 (1) 小樣本 σ 2 未知時,μ 之區間估計 (2) 常態母體,σ 2 的區間估計為了要知道台北市每位計程車司機一天行駛計程車的里數, 特隨機選出 15 位計程車司機, 觀察他們一天行駛計程車的里數, 並分別記錄於下 : 假設母體分配為常態分配,μ 為計程車司機一天行駛計程車的平均里數, 求 (1) μ 的 95% 信賴區間.(2)σ 2 之 95% 信賴區間. 程式 (4-7) data taxi; input cards; 50

18 proc means noprint; output out=smv stderr=stderr mean=mean var=var n=n; data conf(keep=ucbm lcbm ucbv lcbv); set smv; merr=2.145*stderr; ucbm=mean+merr; lcbm=mean-merr; ucbv=(n-1)*var/ ; lcbv=(n-1)*var/ ; proc print; label ucbm='upper confidence bound of mean' lcbm='lower condidence bound of mean' ucbv='upper confidence bound of variance' lcbv='lower confidence bound of variance'; run; 列印結果如表 4-11 表 4-11 OBS UCBM LCBM UCBV LCBV 例 4-8( 驗證 95% 信賴區間的涵義 ) 由 30 組樣本數為 15 而其母體服從標準常態分配 N(0,1) 的樣本, 試求 (1)σ 2 未知 (2)σ 2 已知分別有幾組樣本所計算得到母體平均數 μ 的 95% 信賴區間會涵蓋了 μ =0. 程式 (4-8-1) data nor; drop n; do sample=1 to 30; do n=1 to 15; x=rannor(11); output; end; end; 51

19 proc means noprint; output out=smean mean=mean stderr=stderr; var x; by sample; data confi(keep=ucb lcb); set smean; err=stderr*tinv(0.975,14); ucb=mean+err; lcb=mean-err; label ucb='upper confidence bound of mean' lcb='lower confidence bound of mean'; proc print; title 'the 95% confidence interval of mean'; title2 'if sample size <30 and variance is unknown'; data true; set confi; if ucb>=0 and lcb<=0; proc means n; var ucb; proc print; title 'the number of sample'; title2 'which confidence interval include true mean 0'; title3 'if sample size<30 and variance is unknown'; run; 程式 (4-8-2) data kconf(keep=ucb lcb); set smean; err=probit(.975)/sqrt(n); ucb=mean+err; lcb=mean-err; proc print; label ucb='upper confidence bound of mean' lcb='lower confidence bound of mean'; title 'the 95% confidence interval of mean'; 52

20 title2 'if sample size < 30 and variance is known'; data ktrue; set kconf; if (lcb le 0) and (ucb ge 0); proc means n; var lcb; proc print; title 'the number of sample that confidence interval title2 'include true mean 0'; title3 'if variance is known and sample size < 30'; run; 列印結果如表 4-12,4-13 表 4-12 (1)σ 2 未知 the 95% confidence interval of mean if sample size < 30 and variance is unknown OBS UCB LCB

21 the number of sample which confidence interval include true mean 0 if sample size < 30 and variance is unknown ANALYSIS VARIABLE : UCB 表 4-13 (2)σ 2 已知 N OBS N the 95% confidence interval of mean if sample size < 30 and variance is known OBS UCB LCB

22 the number of sample that confidence interval include true mean 0 if variance is known and sample size < 30 ANALYSIS VARIABLE : LCB N OBS N

第三章數字資料的整理

第三章數字資料的整理第三章數字資料的整理例 3-1 某電池製造廠欲瞭解其產品的有效使用時間, 由產品中任意抽出 40 個來做實驗, 並觀察它們的有效使用時間, 所得的結果分別記錄如下 : ( 單位 : 百小時 ) 2.2 4.1 3.5 4.5 3.2 3.7 3.0 2.6 3.4 1.6 3.1 3.3 3.8 3.1 4.7 3.7 2.5 4.3 3.4 3.6 2.9 3.3 3.9 3.1 3.3 3.1