[ 2. 上式为 Rirmann 和的形式. 下面利用布朗运动的独立增量性, 计算 E s f(s)db 这表明 满足 [ E f(s)db s 2 f i f j E[(B ti B ti 1 )(B tj B tj 1 ) i, fj 2 E[(B tj B tj 1 ) 2 fj 2 (t j
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- 星费 寇
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1 1 随机积分和 Itô 公式 1.1 介绍 若 A 是一个有界变差过程, f : R R 是 Borel 可测函数, 则可以定义 Lebesgue-Stieljes 积分 f(s)da s. 在一个概率空间 (Ω, F, P) 上, 若映射 A, f : Ω R + R 满足 : 对每个 ω Ω, A(ω, ) 是有界变差过程 ; f(ω, ) Borel 可测. 则对每个 ω Ω, 可以定义通常的 Lebesgue-Stieljes 积分 f(s, ω)da(s, ω). 在一定的可测条件下, f(s)da(s) 可以是一个随机变量. 在理论和实际应用中, 通常需要考虑积分 f(s)db s, 其中 B 是一个布朗运动. 我们知道, 布朗运动的轨道不是有界变差的. 因此, 不能按照每条路径解 释上面的积分. 虽然对于某些特殊情况, 可以按照上述情况定义积分. 比如, 当 f 是有界变差时, 由 分布积分公式 f(s)db s f(t)b t B s df(s). 这类随机积分的应用非常窄. Itô 随机积分的理论大大扩展了被积函数类, 成为纯粹数学和应用数学 中非常有力的工具. 怎样对非随机的函数 f 定义随机积分? 考虑 [, t 的一个划分 若 f 是一个阶梯函数 : : t < t 1 < t n t. f(s) f j 1, t j 1 t < t j, 则定义随机积分 n 1 [ f(s)db s f j 1 Btj B tj 1. 1
2 [ 2. 上式为 Rirmann 和的形式. 下面利用布朗运动的独立增量性, 计算 E s f(s)db 这表明 满足 [ E f(s)db s 2 f i f j E[(B ti B ti 1 )(B tj B tj 1 ) i, fj 2 E[(B tj B tj 1 ) 2 fj 2 (t j t j 1 ). [ 2 E f(s)db s 总结 : 对 t < t 1 < t n t, 阶梯函数 f(s) f j 1, {M t ; t } 是一个鞅 ; M t : M, M t f 2 (s)ds; [ t 2 E f(s)db s f(s)2 ds. 若 f, g 是两个阶梯函数, 则 E f(s)db s f(s) 2 ds. n 1 [ f(s)db s f j 1 Btj B tj 1. g(s)db s 2 t j 1 t < t j, 积分 f(s) g(s) 2 ds f g 2 2. 对任意的 f L 2, 可以取一列阶梯函数 f n s.t. f n f 2, 我们可以定义随机积分 假设 f 是随机阶梯函数, 记满足 把这样的函数全体记为 S. f(s)db s lim n f n (s)db s. f(s) f j 1 L 2 (Ω, F tj 1, P), t j 1 t < t j. 2
3 则 证明 : 和上面一样, 定义 E 对于非对角项 I t : f(s)db s 2 E n 1 [ f(s)db s f j 1 Btj B tj 1. j [ f j 2 (t j t j 1 ) E f(s) 2 ds. E[f i f j (B ti B ti 1 )(B tj B tj 1 ). 这是因为若 i < j, 对 F tj 1 取条件期望 E[f i f j (B ti B ti 1 )(B tj B tj 1 ) F tj 1 f i f j (B ti B ti 1 )E[(B tj B tj 1 ) F tj 1. 对角元项 E[f 2 i 1(B ti B ti 1 ) 2 E f i 1 2 (t i t i 1 ). 上面的等式不仅对布朗运动成立, 对一般的鞅 M 也成立, E 2 [ f(s)dm s E f(s) 2 d M, M s. 性质 1.1. 对 t < t 1 < t n t, 阶梯函数 f(s) f j 1 F tj 1, 且 f j 1 L 2, 积分 满足 M t : n 1 [ f(s)db s f j 1 Btj B tj 1. t j 1 t < t j, 并 {M t ; t } 是一个连续平方可积鞅 ; M, M t f 2 (s)ds. 证明 : 由布朗运动的连续性可以推出 M 的连续性. 假设 s < t. 若 s, t 之间不存在 t j, 我们可以插 入这样的点. 所以可以假设 M t M s s t j 1 t f j 1 (B tj B(t j 1 )). 3
4 上式对 F tj 1 取条件期望为. 因为 F s F tj 1, 所以 E[M t M s F s, M t 是连续鞅. 对 s < t, M 2 t M 2 s i,j f i 1 f j 1 B ti B(t i 1 )B tj B(t j 1 ), 其中上式的求和是关于所有的 t i t, t j t, 并且 t i 1 t j 1 s. 对非对角元 i < j, 关于 F tj 1 条件期望为. 对角元 i j, 首先关于 F tj 1 取条件期望, 再关于 F s 取条件期望, 得 取 E[ f j 1 2 (B tj B tj 1 ) 2 F s E[ f j 1 2 (t j t j 1 ) 2 F s. 因此, 这推出了 M 2 t f(u) 2 du 是鞅. E[M 2 t M 2 s F s E[ s f(u) 2 du F s. 1.2 关于布朗运动的随机积分 定义 1.2. 一个函数 f 称为是循序可测的, 若对每个固定的 t, f : [, t Ω R 关于乘积 σ 代 数 B[, t F t 可测. 例子 1.3. 下面的过程是循序可测的. (1) 阶梯过程 ; (2) 连续适应过程 ; (3) 令 τ 是一个有限停时. 则函数 f(t, ω) 1 [,τ(ω) (s) 是循序可测的. 证明 : 仅证 (3). 若 τ 是离散的, 结果可以直接验证. 对一般的 τ, 取 τ n ([2 n τ + 1)/2 n, 则 τ n τ, 并且 1 [,τn (ω)(s) 1 [,τ(ω) (s). 记 对于循序可测函数 f, 定义 [ f 2 2,t E f(s) 2 ds. L 2 t {f : [, t Ω R, 循序可测, f 2,t < }. 4
5 在 2,t 度量下, L 2 t 是一个 Hilbert 空间. 记 L 2 {f : R + Ω R, 循序可测, f 2,t <, t }. 所有阶梯函数全体记为 S, [, T 上的阶梯函数全体记为 S T. 引理 1.4. S T 在 L 2 T 中是稠密的. 即, 对任意的 f L 2 T, 存在阶梯函数 f n s.t. f f n 2,T. 证明 : Step 1. 一致有界函数在 L 2 T 中稠密. 通过通常的截断方法. Step 2. 假设 f L 2 T, 一致有界. 定义 f h (t, ω) 1 h 每个 f h 都是连续适应的. 由分析中的结果可知 : 这说明一致有界连续函数在 L 2 T 中稠密. Step 3. 若 f 连续一致有界. 定义 t h f(s, ω)ds. f h f 2,T, h. f n (t, ω) f( k 1 1, ω), t [k n n, k n ). 则 f n S T, f n f. 由控制收敛定理, 知 f n f 2 T. 证明完毕. 我们可以将随机积分的被积函数推广到平方可积循序可测函数 f L 2. 我们限制在 [, T 上. 假设 f n S, f n f 2,T. 我们已经利用 Riemann 和定义了随机积分 I(f n ) t, t [, T, 它是一 个平方可积鞅. 由 Doob 鞅不等式, 得 [ E max I(f n) t I(f m ) t 2 4E[I(f n f m ) T 2 t T [ T 4E f n (s) f m (s) 2 ds 4 f n f m 2 2,T. 这证明了 I(f n ) t 在空间 L 2 (Ω, P) 中是 Cauchy 序列. 利用完备性, 知极限 I(f) : lim n I(f n ) 存 在, 我们定义 f(s)db s lim n f n (s)db s. 可以看出 I(f) 与 f n 的选取无关. 另外由于对任意的 T 2 < T 1, f n f 2,T1 出 f n f 2,T2. 所以 I(f) t 的定义与 T 的选取无关. 可以推 5
6 性质 1.5. 假设 f 平方可积, 循序可测. 则随机积分 f(s)db s 是连续平方可积鞅. 它的二次变差 过程为 f(s)2 ds. 证明 : 令 n, 可证明 I(f) 的鞅性质. 下面证明它的轨道连续. 由于 [ E max I(f n) t I(f m ) t 2 4 f n f m 2 2,T, t T 利用 Chebychev 不等式, [ P max I(f n) t I(f m ) t ϵ 4 t T ϵ 2 f n f m 2 2,T. 因为 f n f m 2,T, m, n, 不妨可以选取子列, s.t. f n+1 f n 2,T 1/n 3, 因此 [ P max I(f n) t I(f n+1 ) t 1 t T n 2 4 n 2. 由 Borel-Cantelli 引理, 知存在 Ω Ω s.t. P(Ω ) 1, 对任意的 ω Ω, 存在 n (ω) s.t. n n (ω), I(f n ) t (ω) I(f n+1 ) t (ω) 1/n 2, t [, T, n n. 证明了以概率 1, I(f n ) 一致收敛到 I(f), 所以 I(f) 具有连续轨道. 我们已知对阶梯函数 f n, 过程 I(f n ) 2 t f n (s) 2 ds 是一个鞅. 对固定的 t >, 令 n, 上面的随机变量在 L 1 (Ω, P) 中收敛到 I(f) 2 t f(s) 2 ds. 由于鞅的 L 1 极限仍然是鞅, 所以 I(f) 的二次变差过程为 f(s)2 ds. 推论 1.6. 若 f, g L 2 loc, I(f), I(g) t 证明 : 这可以由下式推出 f(s)g(s)ds. M, N t M + N, M + N M N, M N. 4 6
7 若 Z F s, 利用阶梯函数逼近, 可以证明 同样可以证明 s Z s f u db u 性质 1.7. 假设 f L 2 T, 停时 τ T. 则 f u db u s f u db u Zf u db u. s s f u db u. (1) τ f s db s T f s 1 [,τ (s)db s. (2) 若 Z F τ 是有界随机变量, 则 Z T τ f s db s T Z1 [τ, ) (s)f s db s. 证明 : 我们将对离散型停时 τ 和阶梯过程证明上述等式, 然后通过逼近证明一般情况. 设 t < t 1 < < t n T, f t f j 1 F tj 1, t [t j 1, t j ), τ {t j, j 1}. (1) 注意到 1 [s<τ 是阶梯函数. 我们有 I(f) τ 1 {τti } i 1 {τti } f s db s f j 1 (B tj B tj 1 ) i f j 1 (B tj B tj 1 ) ij 1 {τti } 1 {tj 1 <τ}f j 1 (B tj B tj 1 ) T 1 [,τ) (s)f s db s. 7
8 (2) 由于 Z1 [τ s 是阶梯函数, 并且 F s 可测, 所以 Z T τ f s db s Z1 {τti } T t i 1 {τti } ji+1 f s db s Zf j 1 (B tj B tj 1 ) j 1 Zf j 1 (B tj B tj 1 ) 1 {τti } Z1 {τ tj 1 }f j 1 (B tj B tj 1 ) T Z1 [τ, ) (s)f s db s. 例子 1.8. 计算随机积分 B s db s lim B tj 1 (B tj B tj 1 ). 利用等式 2a(b a) b 2 a 2 (b a) 2, 可得 2 B tj 1 (B tj B tj 1 ) Bt 2 (B tj B tj 1 ) 2. ij 最后一项收敛到二次变差过程 B, B t t, 因此 它确实是一个鞅. 2 B s db s B 2 t t. 例子 1.9. 如果在计算 Riemann 和时, 不是取被积函数在左端点的取值, 随机积分是什么样呢? 例如计算 lim B tj (B tj B tj 1 ). 容易计算所以 B tj (B tj B tj 1 ) B tj 1 (B tj B tj 1 ) + (B tj B tj 1 ) 2. ij lim B tj (B tj B tj 1 ) B s db s + t. 8
9 1.3 Itô 公式 Itô 公式是随机分析中的基本定理. 首先, 我们回忆微积分中的基本定理 : 设 F 连续可微, 则 F (t) F () 设 t < t 1 < < t n t 是区间 [, t 的一个划分. 则 F (t) F () F (s)ds. [F (t i ) F (t i 1 ). 由于 F 是连续的, 由均值定理知, 存在点 ξ i [t i, t i+1 满足 因此, 由 Riemann 积分的定义, 当 时, F (t) F () F (t i ) F (t i 1 ) F (ξ i )(t i t i 1 ). F (ξ i )(t i t i 1 ) F (s)ds. 如果将 t 换成 B t, 将会出现什么结果? 此时 ξ i 是介于 B i 1 和 B i 之间的点. 我们将处理部分和 F (ξ i )(B ti B ti 1 ). 这与上面处理的方式不同. 因为, 我们前面例子已经提到, ξ i 在区间不同位置的取值会影响 Riemann 和. 因此, 我们不能期望上面的求和收敛到随机积分 F (B s )db s, 它是取左端点得到的求和. 处理这种情况的方法是将 Taylor 公式多展开一阶 F (B tj ) F (B tj 1 ) F (B tj 1 )(B tj B tj 1 ) F (ξ j )(B tj B tj 1 ) 2. 将上式求和. 右端第一项求和, 得 F (B tj 1 )(B tj B tj 1 ) F (B s )db s. 由于布朗运动具有有限的二次变差, 右端第二项求和, 得 1 2 F (ξ j )(B tj B tj 1 ) 2 1 F (B s )ds, 当. 2 总结, 可得 F (B t ) F (B ) + F (B s )db s F (B s )ds. 这就是著名的 Itô 公式. 上式第一个积分是连续鞅, 第二个积分是有界变差过程. 因此, 若 F 有界 连续, 并且 F, F 有界, 则 F (B t ) 是一个半鞅, Itô 公式给出了 Doob-Meyer 分解的具体形式. 9
10 定理 1.1. 设 F C 2 (R), Z M + A, 其中 M 是一个连续鞅, A 是一个有界变差过程. 则 F (Z t ) F (Z ) + 证明 : 由 Taylor 公式, 我们有 F (Z s )dz s F (Z s )d Z, Z s. F (Z tj ) F (Z tj 1 ) F (Z tj 1 )(Z tj Z tj 1 ) F (ξ j )(Z tj Z tj 1 ) 2. 其中 ξ j 是介于 Z tj 1 和 Z tj 之间的点. 简记 Z j Z tj Z tj 1, M j M tj M tj 1, A j A tj A tj 1, M j M tj M tj 1. 因此, F (Z t ) F (Z ) F (Z ti 1 ) Z i 上式右端第一项在 L 2 (Ω, P) 中收敛到随机积分 F (ξ i )( Z i ) 2. 真正需要证明的是 F (Z ti 1 ) Z i F (ξ i )( Z i ) 2 我们将通过下面三步替换来完成证明 : F (Z s )dz s. F (Z s )d Z, Z s. F (ξ i )( Z i ) 2 F (ξ i )( M i ) 2 F (Z ti 1 )( M i ) 2 F (Z ti 1 ) M i. 我们将证明在每一步替换中, 随着, 误差会在概率意义下逐渐消失. 经过替换后, 由 Riemann 积分的定义, 我们知道 这将完成证明. F (Z ti 1 ) M i F (Z s )d M, M s. (1) 由于 ( Z j ) 2 ( M j ) 2 A j ( Z j + M j ), 所以 F (ξ i ) [ ( Z i ) 2 ( M i ) 2 F A t max Z i + M i. 1 i n 1
11 由样本轨道的连续性, 知 lim max Z i + M i 1 i n in Prob. (2) 因为 [ F (ξ i ) F (Z ti 1 ) ( M i ) 2 max F (ξ i ) F (Z ti 1 ) 1 i n 再由 F 和样本轨道的连续性, 得 另外, 由于 max F (ξ i ) F (Z ti 1 ) in Prob. 1 i n lim 所以第二步替换的误差逐渐消失. ( M i ) 2 M, M t (3) 最复杂的是第三步替换. 误差为 E 2 n 共有 n 2 项. 由前面的例子, 我们知 in L 2 (Ω, P). E n : F (Z ti 1 ) [ ( M i ) 2 M i ( M i ) 2 M i 2 这个随机积分是一个鞅. 因此它关于 F ti 1 i t i 1 (M s M ti 1 )dm s. ( M i ) 2 取条件期望为. 从而, 对非对角元项, 比如 i < j, 关 于 F tj 1 取条件期望为. 所以非对角元项的期望为. 对角元 ( ) 2 [ ti ti E (M s M ti 1 )dm s t i 1 F t i 1 E (M s M ti 1 ) 2 d M, M s t i 1 F t i 1. 因此, 取期望, 它被下面的量控制 [ F 2 E M i max M s M ti 1 2. t i 1 s t i 把所有的对角元加起来, 可得 E E n 2 F 2 E [ M t max 1 i n max M s M ti 1 2 t i 1 s t i 由轨道的连续性和控制收敛定理, 知上式趋于. 有了上面的替换, 我们完成了 Itô 公式的证明. 11
12 1.4 随机微分方程这一节, 我们将讨论一类简单的随机微分方程. 设 M 是一个鞅, A 是一个有界变差过程. 设 a, b 是两个实值函数. 考虑下面的随机微分方程 (SDE) dx t a(x t )dm t + b(x t )da t, X x. 这个方程的意思是 : 我们需要找一个半鞅 X 满足 X t x + a(x s )dm s + b(x s )da s. 大家往往称之为随机微分方程, 这仅仅是习惯上的叫法, 它被称为随机积分方程更合适, 但是没有人这么称它. 注意到扩散系数 a(x s ) 和漂移系数 b(x s ) 仅仅是当前位置 X s 的函数, 而不依赖与整个轨道 X. 这类微分方程被称为 Ito 型随机微分方程. 最常见的情形是 M 是布朗运动, A 是时间本身, 即 dx t a(x t )db t + b(x t )dt, X x. 这类方程是由布朗运动 B 驱动的随机微分方程, 初始点为 x. 一般的随机微分方程可以通过时间变换转化为这种特殊的情形. 下面的定理陈述了在整体 Lipschitz 条件系数下, Ito 型随机微分方程解的存在唯一性. 定理 假设 a(x), b(x) 满足整体 Lipschitz 条件 : 存在常数 K > 满足 a(x) a(y) + b(x) b(y) K x y, x, y R. 则随机微分方程 存在唯一的解. dx t a(x t )db t + b(x t )dt, X x 这个随机微分方程看起来像常微分方程 : dx t b(x t )dt, 这是随机微分方程的退化情形 (a ). 回忆这类常微分方程是可以通过 Picard 迭代方法求解. 同样的方程可以解随机微分方程. 证明 : 我们首先证明唯一性. 假设 Y 是另一个解, dy t a(y t )db t + b(y t )dt, Y x. 12
13 两式相减, 取平方, 利用基本不等式 (a + b) 2 2a 2 + 2b 2, 然后取期望, 我们得 ( ) 2 E Y t X t 2 2E (a(y s ) a(x s ))db s ( + 2E (b(y s ) b(x s ))ds ) 2 2E a(y s ) a(x s ) 2 d B, B s ( ) + 2E t b(y s ) b(x s ) 2 ds 2K 2 E 令 c(t) E [ Y t X t 2. 则对任意的 t T, 我们有 Y s X s 2 ds + 2K 2 te c(t) C T c(s)ds, Y s X s 2 ds 其中 C T 2K 2 (1 + T ). 由这个不等式可以立即推出 c(t), 唯一性成立. 下面利用迭代方法证明存在性. 设 X x, 定义 X n t x + a(x n 1 s )ds + b(x n 1 s )ds. (1.1) iteration 我们将证明 X n 收敛, 其极限是随机微分方程的解. 考虑差 Xt n+1 Xt n. 和前面一样, 我们有 ( s ) 2 max s t Xn+1 s Xs n 2 max [a(xu n ) a(xu n 1 )du s t + 2T K 2 max u s Xn u Xu n 1 ds. 令 η n (t) E[max s t X n s X n 1 s 2, 由 Doob 鞅的矩不等式得, 对任意的 t T, η n+1 (t) D T η n (s)ds, 其中 D T 2K 2 (4 + T ). 令 C η 1 (T ). 通过递归可以得到 η n (T ) C(T D T ) n 1. (n 1)! 由 Markov 不等式可以得到, n1 [ P max s T Xn s Xs n 1 2 n <. 13
14 由 Borel-Cantelli 引理, 可以推出极限 lim n X n 存在, 并且极限过程连续. 因为上面序列也 在 L 2 意义下收敛, 我们可以在递归方程中取极限, 得到 dx t a(x t )dt + b(x t )dt. 从而极限过程是一个满足随机微分方程的连续半鞅. 存在性得证. 1.5 例子 例子 考虑 SDE dx(t) B(t)dB(t). 由 Itô 公式, 可得 db 2 (t) 2B(t)dB(t) + dt. 因此, X(t) X() ( B 2 (t) t ). 例子 扩散模型和 SDEs 液体中分子的运动是由宏观的速度和微观的分子碰撞带来的运动构 成的, 它是扩散过程 ( 包含布朗运动 ) 的理想物理模型. 分子的碰撞受温度的影响, 用 X(t) 表示分子 在时刻 t 的位置, σ(x, t) 表示在时刻 t, 位置 x 的温度对分子运动的影响, µ(x, t) 表示在时刻 t, 位 置 x 的分子的速度. 则 令, 我们得到扩散方程 X(t + ) x µ(x, t) + σ(x, t) (B(t + ) B(t)). dx(t) µ(x(t), t)dt + σ(x(t), t)db(t). 若 µ(x, t) αx, σ(x, t) σ, 其中 α, σ 是非负常数. 即 dx(t) αx(t)dt + σdb(t). 若 σ, 则 ODE 的解为 x e αt. 为了解这个 SDE, 令 Y (t) X(t)e αt. 则 这表明 Y (t) Y () + σeαs db(s), 因此 这个过程称为 Ornstein-Uhlenbeck 过程. dy (t) e αt dx(t) + X(t)de αt σe αt db(t). X(t) e αt (X() + ) σe αs db(s). 仅仅一少部分 SDE 的解可以明确地写出来. 当方程的解不容易明确求解时, 解的存在唯一性结 果就变得非常重要. 当解存在唯一时, 我们可以用数值方法求近视解. 和 ODE 一样, 线性 SDE 可以 求出显示解. 14
15 1.6 随机指数 考虑方程 du(t) U(t)dX(t), U() 1. (1.2) eq exp 称 U 为 X 的随机指数, 记为 E(X). 若 X 是有界变差的, 则 U(t) e X(t). 定理 方程 (1.2) 的唯一解为 U(t) E(t) : exp (X(t) X() 12 [X, X(t) ). 证明 : 记 V (t) X(t) X() 1 2 [X, X(t). 则由 Itô 公式, 可得 de(t) e V (t) dv (t) ev (t) d[x, X(t) e V (t) dx(t). 因此, E(t) 满足 (1.2). 例子 考虑方程 du(t) U(t)dB(t), U() 1, 则 U(t) e B t 1 2 t. 例子 1.16 (Langevin 方程 ). 考虑方程 由于 所以 dx(t) a(t)x(t)dt + db t. d(x(t)e a(s)ds ) X(t)de a(s)ds + e a(s)ds dx(t) e a(s)ds db t, X(t)e a(s)ds X() + e u a(s)ds db u. 例子 Black-Scholes-Merton 模型 1 美元在 t 时刻的价值用下面的方程描述 其中 r, σ R, X() 1. dx(t) rx(t)dt + σx(t)db(t), 取 f(x) ln x, 则 f (x) 1/x, f (x) 1/x 2. 由 Itô 公式得, d ln X(t) 1 X(t) dx(t) + 1 ( ) X 2 σ 2 X 2 (t)dt (t) (r 12 ) σ2 dt + σdb t. 15
16 因此, Y (t) ln X(t) 满足 写成积分形式 和 dy (t) (r 12 σ2 ) dt + σdb t. Y (t) Y () + (r 12 ) σ2 t + σb t, X(t) X() exp ((r 12 ) ) σ2 t + σb t. 1.7 习题 习题 设 {Z n, n } 是 i.i.d. 的随机变量, 服从标准正态分布 N(, 1). 令 证明 B 是一个布朗运动. B t tz + 2 π n1 Z n n sin nπt, t 1. 习题 对 a R, 定义 τ a inf{t : B t a} 为首次到达 a 的时间. 证明 τ a 是一个停时, 并且 P(τ a < ) 1. 习题 1.2. 利用 M t max s t B s 和 B t 的联合分布, 证明 M t B t 和 B t 同分布. 习题 设 B 是一个标准布朗运动. (a) 设 : t < t 1 < < t n t 是 [, t 的一个划分. 证明 lim B ti B ti 1 2 t. E (b) 证明存在 [, T 的一列划分 1 2 满足 n, 并且对任意的 t, lim n i n B ti B ti 1 2 t, 习题 设 X 是一个有界连续适应过程, 证明 X(s)dB(s) 是连续的. 习题 设 M(t) e B(t) t/2, 利用 Itô 公式求 d(m(t)) 2. 习题 令 M(t) B 3 (t) 3tB(t), 分别利用鞅的定义和 Itô 公式证明 M 是一个鞅. 习题 利用鞅 Itô 公式证明 M(t) e t/2 sin(b(t)) 是一个鞅. a.s. 16
17 T 习题 设 X 是一个连续适应过程, 并且 EX2 (s)d(s) <. 证明 Y (t) X(s)dB(s), t T 是一个连续, 零均值平方可积鞅. ( 提示 : 首先对是简单的阶梯函数 X 证明, 然后推广到一般 情况 ). 习题 设 X n 是一列 Gauss 型随机变量, X n 依分布收敛到 X. 证明 X 或者为 Gauss 随机变 量, 或者退化为常数. 由此证明, Itô 积分 x(s)db s 服从 Gauss 分布, 其中 x 是一个非随机的函数. 习题 设 X 是一个非随机的过程, X2 (s)ds <. 证明 Y (t) X(s)dB(s) 是一个平方可积鞅, 并且是具有独立增量的 Guass 过程. 17
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66 随机变量的函数.5 随机变量的函数的分布 设 是一随机变量, 是 的函数, g(, 则 也是一个随机变量. 本节的任务 : 当 取值 x 时, 取值 y g 67 ( 一 离散型随机变量的函数 设 是离散型随机变量, 其分布律为 或 P { x } p (,, x x, P p p, x p 已知随机变量 的分布, 并且已知 g 要求随机变量 的分布. (, 是 的函数 : g(, 则 也是离散型随机变
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arctan lim ln +. 6 ( + ). arctan arctan + ln 6 lim lim lim y y ( ln ) lim 6 6 ( + ) y + y dy. d y yd + dy ln d + dy y ln d d dy, dy ln d, y + y y dy dy ln y+ + d d y y ln ( + ) + dy d dy ln d dy + d 7.
微积分 授课讲义
2018 10 aiwanjun@sjtu.edu.cn 1201 / 18:00-20:20 213 14:00-17:00 I II Taylor : , n R n : x = (x 1, x 2,..., x n ) R; x, x y ; δ( ) ; ; ; ; ; ( ) ; ( / ) ; ; Ů(P 1,δ) P 1 U(P 0,δ) P 0 Ω P 1: 1.1 ( ). Ω
Remark：随机变量不只离散和连续两种类型
Remar: 随机变量不只离散和连续两种类型 当题目要求证明随机变量的某些共同性质时 很多同学只对连续和离散两种类型进行讨论 这是比较典型的错误 练习 4. () P( = ) = P( = ) = P( = ) = P( ) = = = = = = () 由 E < 且 lm a =+ 不妨设 a > 其中 j = f{ : a a j} ap ( a) = a p ap ap j j j a :
➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 (Stationary Processes) X = {X t ; t I}, n 1 t 1,..., t n I, n F n (t 1,..., t n ; x 1,..., x
1. PDE u(x, y, ) PDE F (x, y,, u, u x, u y,, u xx, u xy, ) = 0 (1) F x, y,,uu (solution) u (1) u(x, y, )(1)x, y, Ω (1) x, y, u (1) u Ω x, y, Ωx, y, (P
2008.9-2008.12 Laplace Li-Yau s Harnack inequality Cauchy Cauchy-Kowalevski H. Lewy Open problems F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 2002 2008 1 1. PDE u(x, y, ) PDE F (x,
untitled
+ lim = + + lim = + lim ( ) + + + () f = lim + = + = e cos( ) = e f + = e cos = e + e + + + sin + = = = = = + = + cos d= () ( sin ) 8 cos sin cos = ( ) ( sin ) cos + d= ( + ) = cos sin cos d sin d 4 =
WL100014ZW.PDF
A Z 1 238 H U 1 92 1 2 3 1 1 1 H H H 235 238 92 U 92 U 1.1 2 1 H 3 1 H 3 2 He 4 2 He 6 3 Hi 7 3 Hi 9 4 Be 10 5 B 2 1.113MeV H 1 4 2 He B/ A =7.075MeV 4 He 238 94 Pu U + +5.6MeV 234 92 2 235 U + 200MeV
标题
第 35 卷第 期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年 月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近 赵晓娣, 孙渭滨 宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik
. () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) : P.33 A (9),. (4) : P. B 5, 7(). (5) : P.8 3.3; P ; P.89 A 7. (6) : P.
() * 3 6 6 3 9 4 3 5 8 6 : 3. () ; () ; (3) (); (4) ; ; (5) ; ; (6) ; (7) (); (8) (, ); (9) ; () ; * Email: huangzh@whu.edu.cn . () ; () ; (3) ; (4).. () : P.4 3.4; P. A (3). () : P. A (5)(6); B. (3) :
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4 6 4 4 ( n ) f( ) = lim n n +, f ( ) = = f( ) = ( ) ( n ) f( ) = lim = lim n = = n n + n + n f ( ), = =,, lim f ( ) = lim = f() = f ( ) y ( ) = t + t+ y = t t +, y = y( ) dy dy dt t t = = = = d d t +
幻灯片 1
第一类换元法 ( 凑微分法 ) 学习指导 复习 : 凑微分 部分常用的凑微分 : () n d d( (4) d d( ); (5) d d(ln ); n n (6) e d d( e ); () d d( b); ); () d d( ); (7) sin d d (cos ) 常见凑微分公式 ); ( ) ( ) ( b d b f d b f ); ( ) ( ) ( n n n n d f
➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2
Stochastic Processes stoprocess@yahoo.com.cn 111111 ➀ ➁ ➂ ➃ ➄ ➅ ➆ ➇ ➈ ➉ Lecture on Stochastic Processes (by Lijun Bo) 2 : Stochastic Processes? (Ω, F, P), I t I, X t (Ω, F, P), X = {X t, t I}, X t (ω)
95
95 96 http://www.ee.ncnu.edu.tw/announce/board.php?action=view&seqno=410 or QR 5K // 0 K 5K 5K // K 5K ------ 94 93 92 91 ( ) ( ) ( ) A e ( ) d st D L[ f ( t)] f ( t) e dt F( s) dx 0
untitled
6 + a lim = 8, a =. a l. a a + a a a a lim = lim + = e, a a a e = 8 a= l ( 6,, ), 4 y+ z = 8. + y z = ( 6,, ) 4 y z 8 a ( 6,, ) + = = { } i j k 4,,, s = 6 = i+ j k. 4 ( ) ( y ) ( z ) + y z =. + =, () y
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
第四章 数值积分与数值微分
Newto Cotes Romerg Guss 5 -- . Newto-Leieize d F F, -- I I. d d A A R[ ] I I R[ R[],,, L,,, L A A ] -- . d A m m m m -- -- 5 m m,,,, L m m m m A d L L m m d d d L m m A A A L d d M m d A A A -- 6 m m A
定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn / 23
定积分的基本概念内容提要 1 定积分的基本概念 2 定积分的几何意义 3 定积分的基本性质 4 定积分中值定理 5 变限积分及其性质 6 微积分基本公式 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 1 / 23 定积分的基本概念问题的提出 Yunming Xio ( 南京大学数学系 ) 微积分 I( 高等数学 ) Autumn 2016 2 /
1 2 1.1............................ 2 1.2............................... 3 1.3.................... 3 1.4 Maxwell.................... 3 1.5.......................... 4 1.6............................ 4
《分析化学辞典》_数据处理条目_1.DOC
3 4 5 6 7 χ χ m.303 B = f log f log C = m f = = m = f m C = + 3( m ) f = f f = m = f f = n n m B χ α χ α,( m ) H µ σ H 0 µ = µ H σ = 0 σ H µ µ H σ σ α H0 H α 0 H0 H0 H H 0 H 0 8 = σ σ σ = ( n ) σ n σ /
Microsoft Word doc
设 X 是 Baach 空间 X 是 X 的闭子空间 映射 : X X / X 定义为 : [ ] X 其中 [ ] 表 示含 的商类 求证 是开映 射 证法 用开映射定理 只需证明 满射 事实上 [ ] X X 任取 [ ] 则有 X [ ] 证法 不用开映射定理 教材 9 定理 8 的证明中的 () 为了证 T 是开映射 必须且仅 须 > st TB( ) U ( ) 取 并设 B X 中的开单位球
试卷
竞赛试卷 ( 数学专业 参考答案 一 (5 分 在仿射坐标系中 求过点 M ( 与平面 :3x y + z 平行 且与 x y 3 z 直线 l : 相交的直线 l 的方程 4 解法一 : 先求 l 的一个方向向量 X Y Z 因为 l 过点 M 且 l 与 l 相交 所以有 4 X 3 - Y ( Z..4 分 即 X + Y Z...3 分 又因为 l 与 平行 所以有 联立上述两个方程解得 :
lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x),
2016 11 14 1 15 lim f(x) lim g(x) 0, lim f(x) g(x), 0 0. 2 15 1 f(x) g(x) (1). lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0; (2). a g (x) f (x) (3). lim ( ). x a g (x) f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). 3 15
koji-13.dvi
26 13 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1 18 1. xy D D = {(x, y) y 2 x 4 y 2,y } x + y2 dxdy D 2 y O 4 x 2. xyz D D = {(x, y, z) x 1, y x 2, z 1, y+ z x} D 3. [, 1] [, 1] (, ) 2 f (1)
種 類 左 淋 巴 總 管 ( 胸 管 ) 右 淋 巴 總 管 血 管 連 接 連 接 左 鎖 骨 下 靜 脈 連 接 右 鎖 骨 下 靜 脈 淋 巴 收 集 範 圍 左 上 半 身 及 下 半 身 淋 巴 液 右 上 半 身 淋 巴 液 長 度 很 長 很 短 (3) 循 環 路 徑 : (4)
( 一 ) 淋 巴 系 統 與 循 環 A 淋 巴 系 統 的 功 能 : (1) 包 括 淋 巴 淋 巴 管 淋 巴 組 織 淋 巴 器 官 (2) 回 收 組 織 液 : 有 組 織 液 送 回 血 液, 以 維 持 血 液 成 分 恆 定 (3) 運 送 脂 溶 性 養 分 : 運 送 小 腸 乳 靡 管 吸 收 的 脂 溶 性 養 分 回 血 液 (4) 產 生 免 疫 反 應 : 具 有
4= 8 4 < 4 ϑ = 4 ϑ ; 4 4= = 8 : 4 < : 4 < Κ : 4 ϑ ; : = 4 4 : ;
! #! % & ( ) +!, + +!. / 0 /, 2 ) 3 4 5 6 7 8 8 8 9 : 9 ;< 9 = = = 4 ) > (/?08 4 ; ; 8 Β Χ 2 ΔΔ2 4 4 8 4 8 4 8 Ε Φ Α, 3Γ Η Ι 4 ϑ 8 4 ϑ 8 4 8 4 < 8 4 5 8 4 4
untitled
995 + t lim( ) = te dt =. α α = lim[( + ) ] = e, α α α α = t t t t te dt = tde = te α α e dt = αe e, =, e α = αe α e α, α =. y z = yf, f( u) z + yz y =. z y y y y y y z = yf + y f = yf f, y y y y z y =
d y dy P x Q x y 0. dx dx d d P x Q x C C 1y1 y dx dx d d P x Q x C 1y 1 dx dx d d P x Q x C y 0. dx dx d x 1dx F. ox1 dt dt d x1 1dx1 x 0 1 F 1 dt dt d x 1dx x 0 F dt dt d y 1dy y F 0 1 F1 y x1 x. dt
458 (25),. [1 4], [5, 6].,, ( ).,,, ;,,,. Xie Li (28),,. [9] HJB,,,, Legendre [7, 8],.,. 2. ( ), x = x x = x x x2 n x = (x 1, x 2,..., x
![458 (25),. [1 4], [5, 6].,, ( ).,,, ;,,,. Xie Li (28),,. [9] HJB,,,, Legendre [7, 8],.,. 2. ( ), x = x x = x x x2 n x = (x 1, x 2,..., x](/thumbs/92/109779971.jpg "458 (25),. [1 4], [5, 6].,, ( ).,,, ;,,,. Xie Li (28),,. [9] HJB,,,, Legendre [7, 8],.,. 2. ( ), x = x x = x x x2 n x = (x 1, x 2,..., x")
212 1 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.28 No.5 Oct. 212 (,, 3387;,, 372) (,, 372)., HJB,. HJB, Legendre.,. :,,, Legendre,,,. : F83.48, O211.6. 1.,.,,. 199, Sharpe Tint (199),.,
3978 30866 4 3 43 [] 3 30 4. [] . . 98 .3 ( ) 06 99 85 84 94 06 3 0 3 9 3 0 4 9 4 88 4 05 5 09 5 8 5 96 6 9 6 97 6 05 7 7 03 7 07 8 07 8 06 8 8 9 9 95 9 0 05 0 06 30 0 .5 80 90 3 90 00 7 00 0 3
4. 计 算 积 分 : ż ż βi fdl = f(x(t), y(t), z(t)) a x 1 (t) 2 + y 1 (t) 2 + z 1 (t) 2 dt L i α i ż ż βi 或 者 在 二 维 情 形 中 fdl = f(x(t), y(t)) a x 1 (t) 2 +
微 积 分 B2 曲 面 曲 线 积 分 小 结 马 晓 光 2014 年 5 月 15 日 1 第 一 型 曲 线 曲 面 积 分 这 一 部 分 的 积 分 区 域 是 没 有 定 向 的 解 题 的 关 键 是 计 算 长 度 微 元 dl 和 面 积 微 元 ds 1.1 第 一 型 曲 线 积 分 积 分 区 域 是 一 条 曲 线 L, 可 以 在 二 维 平 面 内, 也 可 以 在
x y z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.1. (X, Y ) 3.2 P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y 1 ) F (x 1, y 2
3 3.... xy z.... X Y (cdf) F (x, y) = P (X x, Y y) (X, Y ) 3.. (X, Y ) 3.2 P (x < X x 2, y < Y y 2 ) = F (x 2, y 2 ) F (x 2, y ) F (x, y 2 ) + F (x, y ) 3. F (a, b) 3.2 (x 2, y 2) (x, y 2) (x 2, y ) (x,
2.1 1980 1992 % 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 81.9 69.5 68.7 66.6 64.7 66.1 65.5 63.1 61.4 61.3 65.6 65.8 67.1 5.0 12.0 14.2 10.9 13.0 12.9 13.0 15.0 15.8 13.8 10.9 12.7 17.3 13.1 18.6 17.1 22.5
Cauchy Duhamel Cauchy Cauchy Poisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel ) u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (
Cauchy Duhamel Cauchy CauchyPoisson Cauchy 1. Cauchy Cauchy ( Duhamel) 1.1.......... u 1 (t, x) u tt c 2 u xx = f 1 (t, x) u 2 u tt c 2 u xx = f 2 (t, x) 1 C 1 C 2 u(t, x) = C 1 u 1 (t, x) + C 2 u 2 (t,
例15
cos > g g lim lim cos lim lim lim g lim ) ) lim lim g ) cos lim lim lim 3 / ) ) y, ) ) y o y y, ) y y y) y o y) ) e, ), ) y arctan y y Ce y) C y ) e y) y ) e g n www.tsinghuatutor.com [ g ] C k n n) n
E = B B = B = µ J + µ ε E B A A E B = B = A E = B E + A ϕ E? = ϕ E + A = E + A = E + A = ϕ E = ϕ A E E B J A f T = f L =.2 A = B A Aϕ A A = A + ψ ϕ ϕ
.................................2.......................... 2.3.......................... 2.4 d' Alembet...................... 3.5......................... 4.6................................... 5 2 5
微 分 方 程 是 经 典 数 学 的 一 个 重 要 分 支, 常 用 来 描 述 随 时 间 变 化 的 动 态 系 统, 被 广 泛 应 用 于 物 理 学 工 程 数 学 和 经 济 学 等 领 域. 实 际 上, 系 统 在 随 时 间 的 变 化 过 程 中, 经 常 会 受 到 一 些
不 确 定 微 分 方 程 研 究 综 述 李 圣 国, 彭 锦 华 中 师 范 大 学 数 统 学 院, 湖 北 4379 黄 冈 师 范 学 院 不 确 定 系 统 研 究 所, 湖 北 438 pengjin1@tsinghua.org.cn 摘 要 : 不 确 定 微 分 方 程 是 关 于 不 确 定 过 程 的 一 类 微 分 方 程, 其 解 也 是 不 确 定 过 程. 本 文 主
Ζ # % & ( ) % + & ) / 0 0 1 0 2 3 ( ( # 4 & 5 & 4 2 2 ( 1 ) ). / 6 # ( 2 78 9 % + : ; ( ; < = % > ) / 4 % 1 & % 1 ) 8 (? Α >? Β? Χ Β Δ Ε ;> Φ Β >? = Β Χ? Α Γ Η 0 Γ > 0 0 Γ 0 Β Β Χ 5 Ι ϑ 0 Γ 1 ) & Ε 0 Α
DS Ω(1.1)t 1 t 2 Q = t2 t 1 { S k(x, y, z) u } n ds dt, (1.2) u us n n (t 1, t 2 )u(t 1, x, y, z) u(t 2, x, y, z) Ω ν(x, y, z)ρ(x, y, z)[u(t 2, x, y,
u = u(t, x 1, x 2,, x n ) u t = k u kn = 1 n = 3 n = 3 Cauchy ()Fourier Li-Yau Hanarck tcauchy F. JohnPartial Differential Equations, Springer-Verlag, 1982. 1. 1.1 Du(t, x, y, z)d(x, y, z) t Fourier dtn
1991 707 708 1972 36 1990 2 126 130 21 1656 1742 1705 1972 523 334-420 342-423 1433 1435 1975 205 = + = + = 1 2 ( ) 2 2 = 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1 4 [ + ( ) ] 2 1 2 2 2
li 侉 2. 在 下 列 加 点 字 的 正 确 读 音 旁 打 : (1) 我 看 见 路 边 有 一 条 蛇 A.sh 佴 B.sh 佶 C.sh 侑 D.sh 侉 (2) 外 面 的 泥 土 冻 得 很 硬 A.y 侏 n 倮 B.y 侃 n 倮 C.y 佾 n 倮 D.y 佻 n 倮 (3
4 农 夫 和 蛇 星 期 一 1. 写 一 写 : 蛇 厚 冻 硬 捡 咬 转 怀 16 li 侉 2. 在 下 列 加 点 字 的 正 确 读 音 旁 打 : (1) 我 看 见 路 边 有 一 条 蛇 A.sh 佴 B.sh 佶 C.sh 侑 D.sh 侉 (2) 外 面 的 泥 土 冻 得 很 硬 A.y 侏 n 倮 B.y 侃 n 倮 C.y 佾 n 倮 D.y 佻 n 倮 (3) 这 本
u -, θ = 0, k gu = 2 ln E v, v -, θ = π 2, k gv = dθ 2 E. 2. r(u, v) = {a cos u cos v, a cos u sin v, a sin u} k g = sin u dv, θ. E = a 2, F = 0, = a
202.. : r = r(u, v) u v, dv = 0, = 0, = ; E dv =. ( k gu = Γ 2 k gv = Γ 22 ( dv ) 3 E F E F 2 = Γ 2 2 E E, ) 3 E F 2 = Γ 22 E F 2., F = 0 E F k gu = Γ 2 2 E E = 2EF u EE v + F E u E F 2 2(E F 2 ) E E =
第9章 排队论
9, 9. 9.. Nt () [, t] t Nt () { Nt ( ) t [, T]} t< t< t< t + N ( ( t+ ) i+ N( t) i, N( t) i,, N( t) i N + + N ( ( t ) i ( t ) i ) (9-) { Nt ( ) t [, T)} 9- t t + t, t,, t t t { Nt ( ) t [, T] } t< t,,
( )
( ) * 22 2 29 2......................................... 2.2........................................ 3 3..................................... 3.2.............................. 3 2 4 2........................................
! # % & ( & # ) +& & # ). / 0 ) + 1 0 2 & 4 56 7 8 5 0 9 7 # & : 6/ # ; 4 6 # # ; < 8 / # 7 & & = # < > 6 +? # Α # + + Β # Χ Χ Χ > Δ / < Ε + & 6 ; > > 6 & > < > # < & 6 & + : & = & < > 6+?. = & & ) & >&
m0 m = v2 1 c 2 F G m m 1 2 = 2 r m L T = 2 π ( m g 4 ) m m = 1 F AC F BC r F r F l r = sin sinl l F = h d G + S 2 = t v h = t 2 l = v 2 t t h = v = at v = gt t 1 l 1 a t g = t sin α 1 1 a = gsinα
untitled
00, + lim l[ ] =. ( + lim[ ] = lim[ ] ( + i e ( = ( + lim l[ ] = l e = ( 4 (, (, (, 0 d f d D= D + D, d f d + d f d =. 0 D = (, 0,, 4 D = (,, 4 D ( D =, 0,. 4 0 0 4 ( + ( = ( d f, d d f, d d f, d. - =
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平稳过程的功率谱密度 在无线电 通信技术等领域的一些问题中, 通常需要分析 平稳过程的频域结构. 为此引入平稳过程的功率谱密度 随机过程引论 西安电子科技大学数学与统计学院冯海林 014 秋 定义 5.4.1 设 ={ t, -
幻灯片 1
Digital Signal Processing mailfzh@nwpu.edu.cn /gary/ 1. FT FT. 3. 4. DFT 5. 6. DFT 7. 1. FT FT (FS) (FT) ( ) xt () Dirichlet (, ), 1 T () = ( Ω), ( Ω ) = () T T jkωt jkωt xt X k e X k xte dt e jkω t k
( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN O4 44 CIP (00) : : 7 : 7007 : (09 ) : : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 0
( ) ( ) : ( ) (CIP) /.. :,003. () ISBN 7 56 448 0.... O4 44 CIP (00) 007344 : : 7 : 7007 : (09 )8493844 : www.nwpup.com : :850 mm 68 mm / 3 :0.5 :60 :00 003 3 :0 006 000 :3: 00 00, ( ),,,,,,,, 003 8 (
M ( ) K F ( ) A M ( ) 1815 (probable error) F W ( ) J ( ) n! M ( ) T ( ) L ( ) T (171
1 [ ]H L E B ( ) statistics state G (150l--1576) G (1564 1642) 16 17 ( ) C B (1623 1662) P (1601--16S5) O W (1646 1716) (1654 1705) (1667--1748) (1687--H59) (1700 1782) J (1620 1674) W (1623 1687) E (1656
996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8, 3, 5, ( ),, 3,,, ;, ;,,,,,,,,,
,, AB,, ( CIP) /, 000 ( /, ) ISBN 704009448 F47 CIP ( 000) 86786 55 00009 0064054588 ht tp www hep edu cn ht tp www hep com cn 006404048 787960/ 6 05 370 000 730,, 996,,,,,,, 997 7, 40 ; 998 4,,, 6, 8,
B = F Il 1 = 1 1 φ φ φ B = k I r F Il F k I 2 = l r 2 10 = k 1 1-7 2 1 k = 2 10-7 2 B = ng Il. l U 1 2 mv = qu 2 v = 2qU m = 2 19 3 16. 10 13. 10 / 27 167. 10 5 = 5.0 10 /. r = m ν 1 qb r = m ν qb
不定积分 求几何图形的面积 求曲线的弧长 求几何体的体积
第四章一元积分学 28 年 2 月 5 日 目录 不定积分. 不定积分的概念.......................................2 不定积分的计算.......................................2. 线性运算.......................................2.2 换元积分法....................................
标题
第 37 卷第 1 期西南师范大学学报 ( 自然科学版 ) 01 年 1 月 Vol.37 No. 1 JouralofSouthwestChiaNormalUiversity(NaturalScieceEditio) Ja. 01 文章编号 :1000 5471(01)01 0011 05 1 离散型随机变量序列最大值的收敛速度 张耿, 陈守全, 王超 西南大学数学与统计学院, 重庆 400715
四川省教育厅
四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 川 教 函 2015 727 号 四 川 省 教 育 厅 四 川 省 体 育 局 关 于 举 办 2016 年 四 川 省 中 学 生 篮 球 比 赛 和 排 球 乒 乓 球 羽 毛 球 田 径 锦 标 赛 的 通 知 各 市 ( 州 ) 教 育 局 体 育 局 有 关 学 校 : 为 推 动 我 省 篮 球 排 球 乒 乓 球 运 动 的 发 展,
监 制 制 : 中 华 人 民 共 和 国 国 务 院 侨 务 办 公 室 监 制 人 : 刘 泽 彭 顾 制 问 : ( 按 姓 氏 笔 画 排 列 ) 杨 启 光 陈 光 磊 陈 学 超 周 小 兵 赵 金 铭 班 弨 郭 熙 主 制 编 : 贾 益 民 编 制 写 : ( 按 姓 氏 笔 画 排 列 ) 干 红 梅 于 珊 王 劼 刘 潇 潇 刘 慧 许 迎 春 孙 清 忠 李 艳 吴 玉 峰
第 44 卷 Vol.44 第 12 期 No.12 山东大学学报 ( 理学版 ) JournalofShandongUniversity(NaturalScience) 2009 年 12 月 Dec.2009 文章编号 : (2009) 一类带松弛控制的 Ha
第 44 卷 Vol.44 第 12 期 No.12 山东大学学报 ( 理学版 ) JournalofShandongUniversity(NaturalScience) 2009 年 12 月 Dec.2009 文章编号 :1671 9352(2009)12 0001 05 一类带松弛控制的 Hamilton Jacobi Belman 方程的粘性解 魏立峰 陈丽 ( 山东大学数学学院 山东济南
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二 多 重 選 擇 題 : 1. 下 列 何 種 情 形, 有 我 國 刑 法 之 適 用? (A) 菲 律 賓 人 甲 在 航 行 於 釣 魚 台 海 域 之 我 國 國 籍 的 漁 船 上 打 傷 印 尼 人 乙 (B) 台 灣 人 甲 與 大 陸 人 乙 在 日 本 通 姦 (C) 韓 國 人 甲 在 美 國 殺 死 台 灣 人 乙 (D) 越 南 人 甲 在 越 南 販 賣 海 洛 因 給
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第三章 共轭空间与共轭算子 线性赋范空间与它的共轭空间之间的相互依存和相互作用是泛 函分析中内容丰富的论题 共轭空间不仅仅是由原空间派生出来的一 种新空间 而且提供了认识原空间的新工具 特别是由此派生了强拓 扑 弱拓扑乃至弱 * 拓扑的概念 有界算子与它的共轭算子的关系也 是如此 本章将首先把共轭空间具体化 给出共轭空间的表现 然 后讨论由共轭空间引出的序列的弱收敛和弱 收敛概念及其性质 讨 论共轭算子和紧算子的性质
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考 纲 解 读 14 浙 江 省 普 通 高 考 语 文 科 考 纲 研 读 吴 美 琴 今 年 的 考 试 说 明, 我 用 了 八 个 字 进 行 概 括, 那 就 是 稳 中 微 调, 关 注 生 活 稳 中 微 调 :14 年 的 语 文 考 试 说 明 是 近 几 年 来 调 整 幅 度
14 年 第 1 期 ( 总 第 87 期 ) 目 录 考 纲 解 读 语 文 吴 美 琴 (1) 数 学 王 芳 (3) 英 语 王 文 伟 (8) 物 理 季 倬 (1) 浙 江 省 义 乌 中 学 信 息 科 研 处 主 办 化 学 杨 军 (14) 生 物 吴 贵 忠 (16) 政 治 王 雪 娟 (17) 历 史 陈 旭 明 (7) 总 编 : 方 维 华 主 编 : 陈 平 执 行 主
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题 目 : 神 奇 的 矩 阵 第 二 季 ( 修 改 版 2.1) 学 校 : 哈 尔 滨 工 程 大 学 姓 名 : 黎 文 科 联 系 方 式 : QQ 群 :53937814 联 系 方 式 : 190356321@qq.com Contents CONTENTS... 2 前 言... 3 绪 论... 4 1 从 坐 标 系 谈 起... 8 2 内 积 与 范 数 的 深 入 理 解...
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2005.7.21 KEK G(z 0 + "z) = G(z 0 ) + "z dg(z) dz z! # d" λ "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv #., - d+ - - r 2 sin cosds e / r # ddr 4.r 2 #cos! "G = G(z 0 ) + #cos dg(z) ( & dz ) * nv 2+ + ds -
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随机过程的微分和积分 在高等数学中 数列的收敛与极限是微积分的基础 在随机过 程中 随机序列的收敛与极限的概念的概念则是随机过程微积分随机过程微积分的基础基础 举例 : 设一电压控制电路对外来的噪声电压信号进行控制 使 其稳定在某一水平 我们考察这一渐进过程 设该试验共有三个结果 Ω ξξ ξ3 在 n 上采样 随时间变化得一串随机变量 n 称随机变量序列 {n} ζ { } 对某次试验结果 而言
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CECS 102:2002 Technical specification for steed structure of light-eight Buildings ith gabled frames 2003 1 Technical specification for steed structure of light-eight Buildings ith gabled frames CECS102:2002
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Taylor f( ), ; f ( ) cos( + α ), ; f( ) + si, ; f( ) e si, ; f ( ) ta, ; f( ) l(cos ), 6 ;, ( ) e, f, si l, f ( ),, f( ) + +,. f( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( 8 8 + + + + + ( 9 6 7 8 + + + + +( ) 9 8
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高等代数第十章双线性函数 第十章双线性函数 10.1 线性函数 1. 设 V 是数域 F 上的一个线性空间, f 是 V 到 F 的一个映射, 若 f 满足 : (1) f( α + β) = f( α) + f( β); (2) f( kα) = kf( α), 式中 α, β 是 V 中任意元素, k 是 F 中任意数, 则称 f 为 V 上的一个线性函数. 2. 简单性质 : 设 f 是 V
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- - 郑振龙陈蓉厦门大学金融系课程网站 http://efinance.org.cn Email: zlzheng@xmu.edu.cn aronge@xmu.edu.cn BSM BSM BSM Copyright 01 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong, XMU BSM BSM BSM Copyright 01 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong,
精 勤 求 学 自 强 不 息 Born to win! 解 析 : 由 极 限 的 保 号 性 知 存 在 U ( a) 当 a 时 f ( ) f ( a) 故 f ( ) 在 点 a 不 取 极 值 f ( ) f ( a) f ( ) f ( a) lim lim a a a a ( a)
年 考 研 数 学 二 模 拟 题 ( 二 ) 参 考 答 案 本 试 卷 满 分 5 考 试 时 间 8 分 钟 一 选 择 题 :~8 小 题 每 小 题 分 共 分 下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 的 请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上 () 在 点 处 不 存 在 极 限 的 函 数 是 (
不定积分 求几何图形的面积 求曲线的弧长 求几何体的体积
第四章一元积分学 27 年 月 6 日 目录 不定积分 2. 不定积分的概念...................................... 2.2 不定积分的计算...................................... 2.2. 线性运算...................................... 2.2.2 换元积分法....................................
一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f
![一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f](/thumbs/91/105953711.jpg "一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [ a, b ] 上的定值时, 函数 定义在 [, ] 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f (, y ) 在 [, ] 上可积, 则其积分值 I( ) = ò f")
含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积分形成的函数称为含参量积分, 它可用来构造新的非初等函数. 含参量积分包含正常积分和非正常积分两种形式. 一 含参量正常积分的定义二 含参量正常积分的连续性三 含参量正常积分的可微性四 含参量正常积分的可积性五 例题 返回 一 含参量正常积分的定义 设 f (, y ) 是定义在矩形区域 R = [ a, b] [, ] 上的 二元函数. 当 取 [
ο HOH 104 31 O H 0.9568 A 1 1 109 28 1.01A ο Q C D t z = ρ z 1 1 z t D z z z t Qz = 1 2 z D z 2 2 Cl HCO SO CO 3 4 3 3 4 HCO SO 2 3 65 2 1 F0. 005H SiO0. 032M 0. 38 T4 9 ( K + Na) Ca 6 0 2 7 27 1-9
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2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )
年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一 选择题 :~8 小题, 每小题 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当 充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +
第一章三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 A 组 ( ) 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角, 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C 2 ( 中诱导公式 ) ( ) B. cos(
第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
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大 饑 荒 中 的 糧 食 食 用 增 量 法 與 代 食 品 高 華 從 1960 年 起 的 兩 年 多 時 間 ), 在 中 國 廣 大 地 區 先 後 開 展 了 兩 場 與 糧 食 問 題 有 關 的 群 眾 運 動 : 糧 食 食 用 增 量 法 和 代 食 品 宣 傳 推 廣 運 動 前 者 是 在 大 饑 荒 已 經 蔓 延, 當 政 者 仍 確 信 糧 食 大 豐 收, 由 地 方
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课 程 质 量 标 准 汇 编 ( 数 学 学 院 2010) 教 务 处 编 印 PDF 文 件 使 用 "pdffactory Pro" 试 用 版 本 创 建 www.fineprint.cn 目 录 高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 1 数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 7 数 学 分 析 课 程 简
设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y 平面的区域 D 上. 若 { j y } (, y) = ( s, t), y = ( s, t), ( s, t) Î
复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人, 没有一个会对 复合函数微分法的重要性产生怀疑. 可以毫 不夸张地说, 谁不懂得复合微分法, 谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行. 一 复合函数的求导法则 二 复合函数的全微分 返回 设函数 一 复合函数的求导法则 = j( s, t) 与 y = y ( s, t) (1) 定义在 st 平面的区域 D 上, 函数 z = f (, y ) () 定义在 y
32 G; F ; (1) {X, X(i), i = 1, 2,..., X, (2) {M(t), t α Poisson, t ; (3) {Y, Y (i), i = 1, 2,..., Y, (4) {N(t), t β Poisson, t ; (5) {W (t), t, σ ; (6
212 2 Chinese Journal of Applied Probability and Statistics Vol.28 No.1 Feb. 212 Poisson ( 1,, 211; 1 2,3 2 2,, 2197) ( 3,, 2197) Poisson,,.,. : :,,,,. O211.9. 1., ( 1 6]). 4] Cai Poisson,, 6] Fang Luo
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f ( ) tan e, > = arcsin a = ae, a = tan e tan lim f ( ) = lim = lim =, arcsin + + + lim f = lim ae = a, y e ( ) =
3.1 ( ) (Expectation) (Conditional Mean) (Median) Previous Next
3-1: 3.1 ( )........... 2 3.1.1 (Expectation)........ 2 3.1.2............. 12 3.1.3 (Conditional Mean)..... 17 3.1.4 (Median)............ 22 Previous Next First Last Back Forward 1 1.. 2. ( ): ( ), 3.
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1, : ( ),?, :,,,, ( ), 1 180,, ( ) 1 1,, 2 180 ;,, 3 180 ;, n ( n - 2 ),, ( n - 2) 180 1 1, : ( ),.,, 2, (, ) 1 , 3 x + y = 14, 2 x - y = 6 : 1 ( ) : + 5 x = 20, x = 4 x = 4 y = 2, x = 4, y = 2 2 ( ) :
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2007 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 重 庆 卷 ) 文 综 试 卷 第 一 部 分 本 部 分 共 35 题, 每 题 4 分, 共 140 分 在 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中, 只 有 一 项 最 符 合 题 目 的 要 求 的 读 图 1, 回 答 1-3 题 1. 某 两 洲 面 积 之 和 与 某 大 洋 面 积 十 分 接 近, 它 们 是
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E = ( 图 1-4) g g 上二重可积. 令 { } g d = min x +
* 8 反常二重积分 与反常定积分相同, 二重积分亦有推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形, 统称为反常二重积分. 一 无界区域上的二重积分二 无界函数的二重积分 返回 一 无界区域上的二重积分 定义 1 设 f ( x, y ) 为定义在无界区域 上的二元函 数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线 g, f ( x, y) 在曲线 g 所围的有界区域 E g 与 的交集 E =
F.L.Wright1869 1959 A.Schoenberg1874 1951 M.Chagall1887 JohnvonNeu-mann1903 1957 ONeugebauer1899 5876 A 0 TLodge1558 1625 TKyd,1558 1594 G Peele1558 1597 JLyly 1554 16O6 CMarlowe