HKASME Council President Hon. Auditor Hon. Legal Advisor Chairman Mr. LAU Kwok Leung, Gyver Vice-chairman Mr. WONG Wing Kei, Stephen Hon. Secret

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1 HONG KONG SCIENCE TEACHERS JOURNAL Journal of the Hong Kong Association for Science and Mathematics Education 香 港 數 理 教 育 學 會 The Association is a founder member of: INTERNATIONAL COUNCIL OF ASSOCIATIONS FOR SCIENCE EDUCATION (ICASE) FEDERATION INTERNATIONALE DES ASSOCIATIONS DE PROFESSEUJRS DE SCIENCES (FIAPS) FEDERACION INTERNACIONAL DE ASOCIACIONES DE PROFESORES DE CIENCIAS (FIAPC) I C A S E

2 HKASME Council President Hon. Auditor Hon. Legal Advisor Chairman Mr. LAU Kwok Leung, Gyver Vice-chairman Mr. WONG Wing Kei, Stephen Hon. Secretary Mr. LI Chi Man, Jimmy Hon. Treasurer Mr. MOK Ming Wai, Michael Hon. Internal Affairs Secretary Ms. HO Mei Fun, Mavis Hon. Editor Mr. LEE Wai Hon, Chris Biology Convenor Mr. LI Chi Man, Jimmy Chemistry Convenor Dr. LUI Bob General Science Convenor Mr. LO Yuk Shan, Alice Mathematics Convenor Ms. TSUI Kwan Yuk Physics Convenor Mr. LAU Chi Ho, Humphrey Council Members Mr. FUNG Tak Wah Mr. NG Bing, Ben Immediate Past Chairman Mr. WONG Chi Kong, Alex Office Staff Project Manager: Mr. WONG Kam Hon, Golden Secretary: Ms. CHU Bik Ha Accounting Officer: Ms. LO Yin Fong, Yvonne Professor Paul CHU Mr. Alex WU Mr. Lester HUANG TWGHS Wong Fung Ling College China Holiness Church Living Spirit College YLPMSAA Tang Siu Tong Secondary School Wah Yan College, Kowloon HKASME PLK Celine Ho Yam Tong College YLPMSAA Tang Siu Tong Secondary School King s College Pentecostal School HKSYCIA Wong Tai Shan Memorial College SKH Tang Shiu Kin Secondary School HKASME HKASME HKASME

3 香 港 數 理 教 育 學 會 理 事 會 會 長 義 務 核 數 師 義 務 法 律 顧 問 主 席 劉 國 良 先 生 副 主 席 黃 永 基 先 生 義 務 秘 書 李 志 文 先 生 義 務 財 政 莫 明 偉 先 生 義 務 內 務 秘 書 何 美 芬 女 士 義 務 編 輯 李 偉 瀚 先 生 生 物 組 召 集 人 李 志 文 先 生 化 學 組 召 集 人 呂 思 奇 博 士 科 學 組 召 集 人 老 玉 珊 女 士 數 學 組 召 集 人 徐 崑 玉 女 士 物 理 組 召 集 人 劉 智 豪 先 生 理 事 會 成 員 馮 德 華 先 生 吳 賓 先 生 上 屆 主 席 黃 志 剛 先 生 會 所 職 員 項 目 經 理 : 王 金 漢 先 生 秘 書 : 朱 碧 霞 女 士 會 計 : 盧 燕 芳 女 士 朱 經 武 教 授 鄔 國 權 先 生 黃 嘉 純 律 師 東 華 三 院 黃 鳳 翎 中 學 中 華 聖 潔 會 靈 風 中 學 元 朗 公 立 中 學 校 友 會 鄧 兆 棠 中 學 九 龍 華 仁 書 院 香 港 數 理 教 育 學 會 保 良 局 何 蔭 棠 中 學 元 朗 公 立 中 學 校 友 會 鄧 兆 棠 中 學 英 皇 書 院 五 旬 節 中 學 香 港 四 邑 商 工 總 會 黃 棣 珊 紀 念 中 學 聖 公 會 鄧 肇 堅 中 學 香 港 數 理 教 育 學 會 香 港 數 理 教 育 學 會 香 港 數 理 教 育 學 會

4 Contributions to the Journal Articles for the Hong Kong Science Teachers Journal are welcomed from anyone interested in Science and Mathematics Education. Practising teachers are particularly encouraged to contribute. Articles may be submitted to the Editor at the address/ address given below in either English or Chinese. The next issue (Volume 3, August 05) will be published in August 05. In particular references should be made using the name-date convention. Abstracts of articles are not required, but it will be usual for articles to begin with an introductory paragraph. Authors should make clear the namestyle and institution which they wish to head the article. Long articles, or articles with many illustrations, must be submitted on or before 30 June, 05, though short notes, book reviews may be considered later than this. The views expressed in articles within this journal are authors own and do not necessarily represent any official view either of the Association or any other public body. Copyright of each article is co-owned by the author and the HKASME. The HKASME is willing, unless otherwise stated, to permit other similar educational, scientific associations to reproduce articles from this journal (for non-profit making purposes) without prior notification, by giving the usual acknowledgements. This does not apply to articles reproduced from other magazines. 會 刊 徵 稿 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 ( 下 稱 本 刊 ) 歡 迎 對 數 理 教 育 有 興 趣 的 人 士 特 別 鼓 勵 現 職 教 師 來 稿 稿 件 可 以 中 英 文 字 發 表, 來 稿 請 寄 本 會 的 地 址 / 電 郵 地 址 ( 後 附 ), 轉 交 本 刊 編 輯 下 一 期 的 會 刊 ( 第 3 期,05 年 8 月 號 ) 將 於 05 年 8 月 出 版 文 章 後 的 參 考 資 料 請 按 人 名 日 期 的 習 慣 附 註 論 文 不 一 定 有 摘 要, 但 文 章 的 開 始 宜 有 一 段 簡 介 作 者 須 清 楚 表 示 他 希 望 在 文 章 前 所 用 的 作 者 名 字 職 銜 及 院 校 名 稱, 長 論 文 請 於 05 年 月 30 日 或 之 前 遞 交 稿 件, 以 便 進 行 編 輯 及 審 閱 的 工 作 但 較 短 的 文 章 如 書 籍 評 介 教 學 筆 記 等, 可 以 稍 遲 一 點 遞 交 本 刊 內 的 文 章 只 代 表 作 者 的 個 人 觀 點, 並 不 代 表 本 會 或 其 所 屬 團 體 的 意 見 本 會 與 文 章 的 作 者, 共 同 擁 有 該 文 章 的 版 權 本 刊 內 的 文 章, 除 有 特 別 聲 明 外, 容 許 各 教 育 科 學 等 團 體 複 製 作 非 牟 利 用 途 而 毋 須 事 前 知 會, 惟 須 註 明 及 鳴 謝 但 這 條 款 並 不 適 用 於 來 自 其 他 刊 物 的 文 章 All correspondence should be addressed to 來 稿 請 寄 下 列 地 址 : The Hon. Journal Editor, HKASME Room 4, /F, Po On Court, -5 Po On Road, Sham Shui Po, Kowloon. 香 港 數 理 教 育 學 會 會 址 : 九 龍 深 水 埗 保 安 道 寶 安 閣 一 樓 4 室 網 址 Website: 電 話 Tel: / 傳 真 Fax: 電 郵 enquiry@hkasme.org

5 Editorial Chris, Wai-hon Lee Journal Editor, HKASME As a 50 th Anniversary Special Edition, this issue of Hong Kong Science Teachers Journal consists of three main parts: Articles, Newsletter and the specially added part HKASME 50th Anniversary. We hope that our Journal can be academic, as well as informative about the HKASME and members can also get involved in the good memories of these 50 years of the association. There are 3 academic articles, with 4 in English and 9 in Chinese, in the Articles part. The author of the st article 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 4 是 不 是 帶 分 數? 說 起 made use of some mathematical problems to promote the attitude of critical thinking so that teachers can gradually build up a learning community. This article serves as a good reference material for all educators. The author of the nd article 數 學 與 人 生 reviewed the importance of mathematics in his life. He hoped that his personal experience can inspire mathematics and science educators. The authors of the 3 rd article 遊 戲 與 數 學 made use of a popular mobile phone App to discuss the mathematics involved. Mathematics teachers are highly recommended to read this article. The authors of the 4 th article Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study shared the experiences on school-based science curriculum planning and design in a recent QEF project by the HKASME with the collaboration of five schools. Science teachers who like curriculum planning and design are highly recommended to read this article. The author of the 5 th article DSE 化 學 科 學 生 實 驗 知 識 常 見 的 錯 誤 shared his experience on students common mistakes in carrying out chemistry experiments since the implementation of the New Senior Secondary curriculum. He also proposed some solutions to these problems. Have you ever heard of Next Generation Science Standards (NGSS)? The author of the th article Next Generation Science Standards The Way Forward? discussed the NGSS, which was an idea released in the U.S. in 03. This article serves as a good reference material for science teachers. The authors of the 7 th article Strategies for Enhancing Students Situational Interest in Chemistry Lessons discussed the instructional strategies for chemistry teachers in order to enhance students interest in school chemistry in terms of data analysis in a survey. Chemistry teachers are highly recommended to read this article. The authors of the 8 th article 利 用 分 組 學 習 照 顧 數 學 科 學 習 差 異 的 行 動 研 究 shared the findings in the action research they conducted in order to cater for learning differences in mathematics by using group learning approach during lessons. This article might provide mathematics teachers with some insights on teaching methodologies. 3

6 The author of the 9 th article 運 用 元 認 知 提 問 技 巧 加 上 互 動 幾 何 軟 件 (GeoGeBra) 以 強 化 聯 立 一 次 及 二 次 方 程 的 圖 像 概 念 的 研 究 shared the findings in the action research he conducted by making use of questioning techniques in metacognition and an interactive geometrical software to help mathematics students find solutions of linear and quadratic equation systems. The views of mathematics teachers could be broadened after reading this article. The author of the 0 th article Physics, Chemistry and Life discussed that physics, chemistry and biology seem very different, but share something in common. The views of physics, chemistry and biology teachers could be broadened after reading this article. Four of the five authors of the th article 一 個 科 學 探 究 的 專 題 研 習 : 薑 汁 撞 奶 were undergoing training to be physics teachers in the future. They conducted an investigative study which is not related to physics in order to experience the situation just like their students get involved in a project work of unfamiliar topic. Science teachers who like to learn by investigation are highly recommended to read this article. The author of the th article 香 港 中 學 生 科 學 科 語 言 表 達 能 力 及 相 關 教 學 策 略 reviewed a large number of literature concerning science specific genres, examination reports and curriculum materials in Hong Kong. He shared some proposed teaching strategies in relation to the abilities to express languages in science of Hong Kong secondary school students. The views of science teachers could be broadened after reading this article. The authors of the 3 th article 魚 菜 共 生 shared a set of science-learning activities he designed about the topic Aquaponics in order to promote the importance of science for students. Biology and science teachers who like to design teaching activities are highly recommended to read this article. The HKASME 50th Anniversary part is expected to be the most exciting part of this issue. This part includes Chronicle of HKASME, Precious Moments of HKASME, Memorable Objects of HKASME, Recent Volumes of HKASME Journal, List of Chairpersons, Themes of Recent AGM Forums and so on. Besides, articles about the history of HKASME written by some past chairpersons or senior members can also be found in this part. As the contents cover the historical events of the association over these 50 years, it is hoped that good memories can come to our mind vividly again. In the Newsletter part, a lot of information of the HKASME can be found. Members can revisit the activities held in the last academic year from the Chairman s Report, Subject Reports and Hon. Internal Affairs Secretary s Annual Report for the Year The article Projects Summary of HKASME can provide members with updated information about the various projects undertaken by the HKASME in recent tears. Among the activities held, the AGM Forum is probably the most important event to the education sector. The article 香 港 數 理 教 育 學 會 周 年 會 員 大 會 04 reminds us the highlights of various parts of the event. The cover of this issue is a photo captured during the 04 AGM. In the photo, you can find the guest speakers of the AGM, members of the HKASME, as well as some old friends. It is hoped that the HKASME will go on serving the mathematics and science education and another even better 50 years is to come.

7 編 者 語 為 紀 念 本 會 成 立 五 十 周 年, 今 期 會 刊 除 了 延 續 近 年 的 製 作 方 向, 分 為 論 文 和 會 訊 部 分 外, 還 特 別 加 插 香 港 數 理 教 育 學 會 五 十 周 年 紀 念, 共 三 個 主 要 部 分 這 個 安 排 務 求 能 使 今 期 會 刊 具 學 術 性 之 餘, 也 讓 各 會 員 能 夠 掌 握 本 會 最 新 的 資 訊 及 一 同 重 拾 本 會 成 立 五 十 年 來 的 美 好 回 憶 今 期 的 論 文 部 分 共 刊 登 3 篇 文 章, 其 中 4 篇 以 英 文 撰 寫,9 篇 以 中 文 撰 寫 第 篇 論 文 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 的 作 者 借 一 些 數 學 疑 難, 鼓 勵 當 老 師 遇 到 疑 難 時, 宜 多 點 反 思 及 與 同 行 交 流, 從 而 建 立 教 師 專 業 學 習 社 群 此 文 章 對 所 有 教 育 工 作 者 來 說 甚 有 參 考 價 值 第 篇 論 文 數 學 與 人 生 的 作 者 回 顧 自 己 人 生 之 中 數 學 所 起 的 作 用, 希 望 有 關 經 歷 能 對 數 理 科 老 師 們 有 點 啟 示 第 3 篇 論 文 遊 戲 與 數 學 的 作 者 緊 貼 科 技 發 展, 透 過 一 款 相 當 流 行 的 智 能 手 機 遊 戲 Candy Crush, 探 討 當 中 蘊 含 的 數 學 元 素 數 學 科 教 師 實 在 不 容 錯 過 第 4 篇 論 文 Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study 的 作 者 分 享 本 會 透 過 優 質 教 育 基 金 撥 款 資 助 的 一 項 計 劃, 與 五 所 中 學 共 同 協 助 設 計 一 些 校 本 高 中 理 科 課 程 的 一 些 經 驗 喜 愛 課 程 設 計 的 科 學 科 教 師 不 妨 從 中 取 經, 以 提 升 教 學 成 效 第 5 篇 論 文 DSE 化 學 科 學 生 實 驗 知 識 常 見 的 錯 誤 的 作 者 分 享 他 對 新 高 中 課 程 開 展 以 來, 化 學 科 學 生 做 實 驗 期 間 的 常 犯 錯 誤 及 為 老 師 提 供 了 一 些 改 善 建 議 化 學 科 教 師 實 在 不 容 錯 過 你 有 沒 有 聽 聞 過 Next Generation Science Standards (NGSS) 呢? 第 篇 論 文 Next Generation Science Standards The Way Forward? 的 作 者 討 論 這 個 於 03 年 在 美 國 興 起 的 新 標 準 此 文 章 對 科 學 科 教 師 來 說 甚 有 參 考 價 值 第 7 篇 論 文 Strategies for Enhancing Students Situational Interest in Chemistry Lessons 的 作 者 討 論 他 們 一 次 問 卷 調 查 結 果, 並 建 議 一 些 化 學 老 師 可 施 行 的 教 學 策 略 從 而 提 升 學 生 對 化 學 科 的 興 趣 化 學 科 教 師 實 在 不 容 錯 過 第 8 篇 論 文 利 用 分 組 學 習 照 顧 數 學 科 學 習 差 異 的 行 動 研 究 的 作 者 討 論 他 們 進 行 了 一 次 行 動 研 究 中, 在 數 學 課 堂 上 運 用 分 組 學 習 模 式 來 照 顧 學 習 差 異, 並 分 享 計 劃 的 成 效 閱 讀 此 論 文 後, 數 學 科 教 師 的 教 學 法 必 有 所 提 升 李 偉 瀚 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 編 輯 4 3

8 第 9 篇 論 文 運 用 元 認 知 提 問 技 巧 加 上 互 動 幾 何 軟 件 (GeoGeBra) 以 強 化 聯 立 一 次 及 二 次 方 程 的 圖 像 概 念 的 研 究 的 作 者 討 論 他 於 一 次 研 究 中 運 用 元 認 知 的 提 問 技 巧 及 互 動 幾 何 軟 件, 來 幫 助 學 生 找 出 聯 立 一 次 及 二 次 方 程 的 解 閱 讀 這 篇 文 章 後, 數 學 科 教 師 便 得 到 一 些 啟 示 第 0 篇 論 文 Physics, Chemistry and Life 的 作 者 探 討 物 理 化 學 及 生 物 三 個 科 學 範 疇 的 一 些 共 通 的 地 方 此 文 章 甚 有 參 考 價 值, 閱 讀 這 篇 文 章 後, 無 論 物 理 化 學 及 生 物 科 教 師 的 視 野 將 有 所 擴 闊 第 篇 論 文 一 個 科 學 探 究 的 專 題 研 習 : 薑 汁 撞 奶 的 作 者 主 要 是 就 讀 物 理 教 學 法 的 準 老 師, 他 們 進 行 了 一 個 與 物 理 無 關 的 深 究 活 動, 希 望 從 學 生 的 角 度 體 驗 在 進 行 一 些 內 容 不 熟 悉 的 專 題 研 習 時 的 心 路 歷 程 喜 歡 深 究 學 習 的 科 學 科 教 師 實 在 不 容 錯 過 第 篇 論 文 香 港 中 學 生 科 學 科 語 言 表 達 能 力 及 相 關 教 學 策 略 的 作 者 透 過 回 顧 歷 年 科 學 科 專 科 語 體 研 究 考 試 報 告 課 程 文 件 等 文 獻, 以 了 解 香 港 中 學 生 在 科 學 科 的 語 言 表 達 能 力 的 概 況 及 相 關 的 教 學 策 略 閱 讀 這 篇 文 章 後, 科 學 科 教 師 的 視 野 將 有 所 擴 闊 第 3 篇 論 文 魚 菜 共 生 的 作 者 分 享 他 以 魚 菜 共 生 為 題 材 設 計 的 一 系 列 學 習 科 學 的 活 動, 藉 此 培 養 學 生 學 習 科 學 的 重 要 性 喜 愛 設 計 教 學 活 動 的 生 物 及 科 學 科 教 師 可 參 考 此 教 案, 以 提 升 教 學 成 效 香 港 數 理 教 育 學 會 五 十 周 年 紀 念 部 分 相 信 是 今 期 會 刊 最 精 采 的 部 分, 當 中 刊 登 了 本 會 成 立 五 十 年 來 的 各 項 點 滴, 內 容 包 括 香 港 數 理 教 育 學 會 大 事 回 顧 珍 貴 學 會 活 動 時 刻 珍 貴 學 會 紀 念 文 物 近 年 會 刊 歷 屆 主 席 和 近 年 周 年 會 員 大 會 主 題 等 此 外, 各 會 員 也 可 在 此 部 分 找 到 一 些 歷 屆 主 席 或 資 深 會 員 的 撰 寫 有 關 本 會 歷 史 的 文 章, 內 容 豐 富 且 珍 貴, 希 望 各 會 員 能 藉 此 一 同 重 拾 本 會 成 立 五 十 年 來 的 美 好 回 憶 會 訊 部 分 刊 登 了 有 關 本 會 的 多 項 資 訊 在 主 席 報 告 (Chairman s Report) 科 組 簡 報 (Subject Reports) 和 義 務 內 務 秘 書 周 年 報 告 (Hon. Internal Affairs Secretary s Annual Report for the Year 03-04) 中, 各 會 員 可 以 重 溫 上 年 度 本 會 的 會 務 及 曾 舉 辦 的 一 些 活 動 和 有 關 的 花 絮 片 段 Projects Summary of HKASME 則 記 載 了 本 會 近 年 來 已 經 完 成 及 正 在 執 行 的 數 項 計 劃 的 情 況 及 進 展 在 各 項 活 動 中, 週 年 會 員 大 會 內 有 關 討 論 香 港 教 改 的 論 壇 可 算 是 本 會 的 一 項 重 點 活 動, 香 港 數 理 教 育 學 會 周 年 會 員 大 會 04 可 讓 各 會 員 重 溫 週 年 會 員 大 會 當 日 的 盛 況 今 期 會 刊 的 封 面 圖 片 是 04 周 年 會 員 大 會 當 日 出 席 嘉 賓 及 會 員 的 大 合 照, 期 望 本 會 繼 續 熱 烈 推 廣 數 理 教 育, 有 下 一 個 更 美 滿 的 五 十 年

9 Contents 目 錄 Articles 論 文. 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 4 3 是 不 是 帶 分 數? 說 起...P. 黃 毅 英 香 港 中 文 大 學 課 程 與 教 學 學 系. 數 學 與 人 生...P.8 庾 劍 財 3. 遊 戲 與 數 學...P.3 朱 肇 濠 可 風 中 學 ( 嗇 色 園 主 辦 ) 張 僑 平 香 港 中 文 大 學 教 育 學 院 課 程 與 教 學 學 系 4. Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study...P.0 Kam-wah Cheung HKASME Ricky, Wai-kit Tsui Tak Sun Secondary School Chi-kin Wong HKASME 5. DSE 化 學 科 學 生 實 驗 知 識 常 見 的 錯 誤...P.33 潘 永 強 香 港 科 學 創 意 學 會 理 事. Next Generation Science Standards The Way Forward?...P.35 Carole, Kwan-ping Lee University of Maine at Farmington, U.S.A. 7. Strategies for Enhancing Students Situational Interest in Chemistry Lessons...P.47 Derek Cheung, Kwok-cheung Lo Department of Curriculum and Instruction, The Chinese University of Hong Kong 8. 利 用 分 組 學 習 照 顧 數 學 科 學 習 差 異 的 行 動 研 究...P.5 羅 浩 源 香 港 中 文 大 學 課 程 與 教 學 學 系 盧 頌 鈞 宣 道 會 陳 朱 素 華 紀 念 中 學

10 9. 運 用 元 認 知 提 問 技 巧 加 上 互 動 幾 何 軟 件 (GeoGeBra) 以 強 化 聯 立 一 次 及 二 次 方 程 的 圖 像 概 念 的 研 究...P. 周 港 輝 宣 道 會 陳 朱 素 華 紀 念 中 學 0. Physics, Chemistry and Life...P.98 Him-shek Kwan Wong Shiu Chi Secondary School. 一 個 科 學 探 究 的 專 題 研 習 : 薑 汁 撞 奶... P. 林 文 輝 葉 浚 昇 黃 力 恆 賴 嘉 成 吳 本 韓 香 港 中 文 大 學. 香 港 中 學 生 科 學 科 語 言 表 達 能 力 及 相 關 教 學 策 略...P.3 冼 俊 文 香 港 大 學 3. 魚 菜 共 生...P.9 劉 子 健 聖 公 會 基 孝 中 學 HKASME 50th Anniversary 香 港 數 理 教 育 學 會 五 十 周 年 紀 念. Chronicle of HKASME 香 港 數 理 教 育 學 會 大 事 回 顧...P.34. Precious Moments of HKASME 珍 貴 學 會 活 動 時 刻...P Memorable Objects of HKASME 珍 貴 學 會 紀 念 文 物...P Recent Volumes of HKASME Journal 近 年 會 刊...P.5 5. List of Chairpersons 歷 屆 主 席...P.53. Themes of Recent AGM Forums 近 年 周 年 會 員 大 會 主 題...P Fun Science Competition 趣 味 科 學 比 賽...P Mathematics Trail and Science & Mathematics Trail 數 學 遊 蹤 及 數 理 遊 蹤...P Hong Kong Chemistry Olympaid for Secondary School...P.58 香 港 中 學 化 學 奧 林 匹 克 比 賽

11 0. 如 何 打 動 潛 伏 的 同 工?...P.0 蔡 香 生. Important Science Educators in My Life...P.5 Vincent, Wai-shing Lo MH Principal of Evangel College. A Tribute to the HKASME 50th Anniversary...P.7 Carole, Kwan-ping Lee University of Maine at Farmington, U.S.A. 3. A Conceptual Reflection on the Roles of the HKASME: A Model for Future Developments...P.8 King-chee Pang, MH 4. Memorable Moments associated with HKASME...P.73 Jack Holbrook 5. The Teacher Assessment Scheme (TAS) for A level Chemistry...P.7 Jack Holbrook. 香 港 數 理 教 育 學 會 我 的 專 業 引 路 人...P.78 黃 志 堅 7. The Web Presence of HKASME a Historical Path of the Virtual HKASME and its Development...P.80 Chi-kong Wong Chairman, HKASME 8. 謝 伯 開 博 士 專 訪...P.87 黃 永 基 9. Memorizing Three Special Persons at the 50th Year of HKASME...P.89 Chi-kong Wong Chairman, HKASME

12 Newsletter 會 訊. Chairman s Report P.9 Chi-kong Wong Chairman, HKASME. 香 港 數 理 教 育 學 會 周 年 會 員 大 會 04...P.93 李 偉 瀚 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 編 輯 3. Hon. Internal Affairs Secretary s Annual Report for the Year P.9 Mavis, Mei-fun Ho Hon. Internal Affairs Secretary, HKASME 4. 科 組 簡 報 (Subject Reports)...P.97 徐 崑 玉 劉 智 豪 呂 思 奇 李 志 文 黃 永 基 香 港 數 理 教 育 學 會 各 科 組 召 集 人 5. Projects Summary of HKASME...P.8 Golden, Kam-hon Wong Project Manager, HKASME. 新 產 品 快 訊 (New Products Section)...P. Ben Ng Council Member, HKASME

13 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 4 3 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 3 4 是 不 是 帶 分 數? 說 起 黃 毅 英 香 港 中 文 大 學 教 育 學 院 課 程 與 教 學 學 系 ~ 賀 香 港 數 理 教 育 會 學 會 50 周 年 之 慶 ~ 讀 陳 葉 祥 老 師 3 4 是 不 是 帶 分 數? 一 文, 感 興 趣 盎 然, 良 有 所 感 十 數 年 來, 收 到 這 問 題 會 屬 不 少, 諸 如 一 個 橙 售 3 元, 個 橙 售 3 元 3 元 3 元 還 是 3( 元 )? (0.9 ) = 嗎? 0 是 否 自 然 數? 90 是 直 角 嗎? 3 90 屬 於 哪 個 象 限? ΔABC ΔBCA 嗎? x/y = (x/)y 還 是 x/(y)? ( x) 是 不 是 ( x) (x 3) 和 x 4 的 g.c.d.( 最 大 公 因 數 / 式 :Greatest Common x Divisor, 或 稱 H.C.F.:Highest Common Factor)? 又 如 何?, 0, 0, 0, 可 否 稱 為 等 比 級 數 ( 或 等 比 數 列 )?0, 0, 0, 0, 又 如 何? cm 可 否 寫 cm = cm? 或 cm cm = cm? 筆 者 亦 寫 過 一 些 文 章 回 應 ( 算 不 上 回 答, 因 不 想 給 一 個 非 黑 即 白 的 答 案 ), 包 括 [] 黃 毅 英 (99) ΔABC ΔBCA? 數 學 教 育 期,-4 [] 黃 毅 英 (005) 自 然 數 的 歷 史 朗 文 教 育 專 訊 8 期,-9 [3] 黃 毅 英 (005) 從 教 學 上 的 考 慮 0 朗 文 教 育 專 訊 8 期,0- [4] 黃 毅 英 (00) 老 師, 用 A 簿 還 是 用 B 簿? 數 學 教 育 3 期, 7-3 [5] 黃 毅 英 (007) 教 學 隨 筆 :500 是 奇 數,50 是 偶 數! 數 學 教 育 4 期,3-33 [] 黃 毅 英 (009) 數 學 名 詞 語 言 與 傳 意 朗 文 教 育 專 訊 7 期,7- 數 學 科 召 集 人 (98-83), 數 學 通 報 編 輯 (98-89) 3 陳 葉 祥 (04) 4 是 不 是 帶 分 數? 數 學 教 育, 34 期, 何 以 原 本 中 說 兩 個 直 角? 直 角 不 是 可 以 相 加 的 嗎? Hong Kong Science Teachers Journal 04 Volume 30 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 04 年 總 第 30 期 - -

14 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 4 3 [7] 黃 毅 英 (00) 數 學 課 堂 的 陷 阱 與 盲 點 朗 文 教 育 專 訊 9 期,3- [8] 黃 毅 英 (0) 追 尋 定 義 之 路 數 學 教 育 33 期,3- [9] 黃 毅 英 (04) 原 本 出 錯 試 題 還 不 是 最 可 怕 老 師, 我 有 問 題 : 從 三 道 測 驗 題 說 起 朗 文 教 育 專 訊 待 刊 [0] 黃 毅 英 張 僑 平 (04) 數 學 教 學 的 幾 個 最 基 本 問 題 : 做 數 概 念 與 理 解 學 校 數 學 通 訊 待 刊 對 前 面 的 那 些 問 題, 該 說 的 都 已 經 說 了 而 其 實 這 些 問 題 亦 答 之 不 盡 不 過, 正 如 希 爾 伯 特 (D. Hilbert, 8 943) 於 900 國 際 數 學 家 大 會 ( 巴 黎 ) 的 著 名 講 話 中 說, 只 要 一 個 領 域 有 足 夠 的 問 題, 該 領 域 就 有 生 命 力 數 學 教 師 繼 續 有 解 答 不 完 的 問 題 並 非 壞 事 雖 然 筆 者 所 寫 的 文 章 已 多 多 少 少 透 露 了 筆 者 的 立 場 和 想 法, 但 教 師 理 應 成 為 具 反 思 的 實 踐 者 (reflective practitioner) 4, 故 此 不 如 讓 筆 者 提 一 些 問 題, 讓 大 家 思 考 將 來 遇 到 任 何 問 題 也 許 亦 可 以 就 這 樣 多 問 問 題, 邊 問 邊 尋 找 相 關 資 料 5, 就 不 必 再 找 些 甚 麼 權 威 請 教 真 相 也 會 豁 然 自 明 是 又 如 何, 不 是 又 如 何? 首 先 跑 進 筆 者 腦 海 的 問 題 是, 3 4 是 帶 分 數 又 如 何, 不 是 又 如 何? 這 令 人 想 起 莎 士 比 亞 的 名 言 名 字 有 甚 麼 內 涵? 我 們 稱 之 為 玫 瑰 的 無 論 叫 甚 麼 名 字 仍 一 樣 香 甜 ( 在 [4] 已 提 到 了 ) 這 當 然 有 不 同 層 面 回 應, 一 個 是 學 習 上 的 影 響 ( 下 詳 ), 除 此 之 外, 也 許 大 家 會 想 到, 我 們 總 得 有 些 準 則, 否 則 溝 通 會 很 紊 亂 但 究 竟 人 的 語 言 溝 通 有 多 大 彈 性? 以 前 就 聽 過 有 所 謂 補 白 能 力 即 一 段 文 章 掏 空 了 許 多 字, 讀 者 亦 能 了 解 當 然 在 極 端 情 況, 各 人 任 意 用 字 就 沒 可 能 溝 通, 但 否 則, 我 們 可 以 問, 不 太 精 準 的 用 字 是 否 就 無 法 溝 通? 精 準 用 字 是 否 就 必 能 達 意? 傳 意 本 身 是 否 靠 精 準 本 身?[] 日 常 語 言 與 數 學 語 言 語 言 本 身 是 在 不 斷 發 展 的 甚 麼 情 況 下 接 受 新 加 字 外 來 字? 語 言 的 彈 性 是 否 語 言 發 展 的 生 命 力? 太 多 外 來 字 及 不 規 範 字 又 會 否 令 語 言 過 於 混 雜? 這 些 可 能 要 請 教 語 言 專 家 吧? 數 字 語 言 建 基 於 日 常 ( 廣 用 ) 語 言 在 數 學 學 習 的 範 圍 內, 是 日 常 語 言 作 準 還 是 數 學 語 言 作 準? 是 否 其 實 是 數 學 語 言 佔 領 了 日 常 ( 廣 用 ) 語 言? 如 若 說 在 數 學 學 習 的 範 疇 內, 應 當 數 學 語 言 作 準, 但 教 學 的 過 程 中 又 擺 脫 不 了 日 常 語 言, 這 又 怎 辦? 難 道 要 走 新 數 4 Schön, D. A. (983). The reflective practitioner: How professionals think in action. London, U.K.: Temple Smith. 5 論 語 為 政 第 二 : 學 而 不 思 則 罔, 思 而 不 學 則 殆 What s in a name? That which we call a rose by any other name would smell as sweet. Romeo & Juliet, Shakespeare. - -

15 4 3 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 3 學 符 號 化 的 老 路? 盡 量 純 寫 x -5x+=0 => ( x )( x 3) = 0 => ( x= ) ( x= 3) 一 類 數 學 符 號? 一 些 日 常 用 語 言 又 有 可 能 在 數 學 名 詞 出 現 之 前 早 已 存 在, 如 倍 數 或 ( 梁 鑑 添 和 郭 麗 珠 的 初 級 集 合 論 7 便 刻 意 用 了 一 段 解 讀 和 英 文 法 文 德 文 和 拉 丁 文 中 或 的 異 同 ) 數 學 概 念 又 往 往 來 自 於 日 常 生 活 或 勞 動 過 程, 我 們 能 完 全 把 同 一 名 詞 在 日 常 生 活 的 詮 釋 置 之 不 理 嗎? 我 們 是 否 要 追 溯 這 些 字 的 立 法 原 意, 以 最 原 始 的 理 念 作 準? 名 詞 定 義 的 演 變 上 面 提 及 考 慮 立 法 原 意, 其 實 又 帶 來 另 一 個 問 題, 就 是 我 們 應 以 較 早 的 定 義 作 準 還 是 8 9 較 近 的 作 準? 例 如 自 然 數 的 定 義, 皮 亞 諾 比 馮 諾 曼 的 定 義 較 通 行, 雖 然 馮 諾 曼 的 較 近 期 那 又 以 那 個 作 準 呢?[8] 這 些 用 詞 定 義 亦 有 需 要 因 著 時 間 有 所 延 伸 最 為 人 所 熟 知 的 是 數, 不 只 其 定 義 及 涵 蓋 0 的 範 圍 改 了, 它 的 概 念 本 身 由 畢 達 歌 拉 斯 到 希 爾 伯 特 都 改 了, 這 便 是 筆 者 大 學 畢 業 試 數 學 史 一 科 的 一 道 題 目! 那 麼, 是 否 只 要 符 合 某 些 法 則 定 義 就 可 任 意 延 伸 或 創 作 嗎? 記 得 筆 者 中 學 就 曾 問 老 師, = 有, 何 以 沒 有, 例 如 + 0 ( 即 + >0 為 一 恒 真 句 ) 老 師 說, 你 自 然 可 以 這 麼 定 義, 但 沒 有 這 個 需 要 就 沒 有 多 少 人 會 用, 也 就 沒 有 這 必 要 上 面 談 的 是 時 間, 此 外, 名 詞 符 號 等 亦 可 能 有 地 域 差 異, 如 零 ( 洪 萬 生 老 師 指 出 西 方 的 零 是 沒 有 東 西, 已 中 國 的 零 正 正 是 說 還 有 東 西 ) 及 3, 歐 洲 的 9,34 ( 表 9.34 ) 至 今 天 亦 沒 有 統 一, 又 不 見 得 帶 來 混 亂 7 Leung, K. T., & Chan, D. L. C. (97). Elementary set theory. Hong Kong: Hong Kong University Press. 8 G. Peano (858 93). 9 J. von Neumann ( ). 0 Pythagoras (~50 ~480 B.C.). Development of Mathematical Ideas 洪 萬 生 (00) 此 零 非 彼 0: 數 學 文 化 歷 史 與 教 育 文 集 台 北 : 台 灣 商 務 印 書 館 3 見 [4] - 3 -

16 4 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 4 3 參 考 數 學 學 習 數 學 當 然 要 參 考 數 學 了, 但 所 謂 參 考 數 學 是 甚 麼 意 思 呢? 其 中 一 個 辦 法 是 請 教 數 學 家, 於 是 我 們 可 以 問, 只 有 一 種 數 學 家 嗎? 數 學 家 有 統 一 的 意 見 嗎?( 例 如 0 是 否 自 然 數 的 問 題 就 出 現 不 同 數 學 家 有 不 同 的 習 慣, 但 也 許 他 們 根 本 不 介 意, 每 次 定 義 清 楚 就 是 了 見 [, 3]) 除 了 請 教 數 學 家 外, 就 會 想 到 數 學 書 ( 如 歐 幾 里 得 的 原 本 4 ) 或 一 些 經 典 數 學 教 科 書 ( 如 Durell 5 之 類 ), 是 否 就 以 它 們 作 準? 這 又 有 一 些 問 題 可 以 問 的, 以 Durell 為 例, 它 在 香 港 是 很 經 典 的, 在 世 界 地 區 ( 如 美 國 法 國 ) 又 如 何? 它 們 可 能 沒 接 觸 過 Durell? 又 也 許 美 國 有 美 國 版 的 Durell? 我 們 是 否 要 綜 合 各 國 這 些 教 科 書 再 作 結 論? 有 可 能 嗎? 至 於 原 本?( 何 以 不 是 九 章 算 術?) 亦 類 似, 這 又 涉 及 上 面 立 法 原 意 的 問 題, 是 否 定 義 愈 早 愈 該 作 準? 況 且, 有 些 名 詞 ( 如 全 等 三 角 形 ) 在 原 本 是 沒 有 的, 我 們 是 否 應 讓 追 溯 歷 史, 看 誰 首 先 提 出 全 等 三 角 形 這 個 名 詞, 然 後 看 它 當 時 如 何 定 義? [8] 不 少 學 者 提 出 數 學 並 非 一 套 絕 對 不 變 的 真 理 系 統, 數 學 本 身 ( 不 只 是 說 名 詞 定 義 ) 也 因 著 時 代 及 地 域 而 變, 意 即 昨 天 的 數 學, 今 天 亦 能 認 為 不 是 數 學 了 ( 地 域 同 ) 7 我 們 若 說 以 學 為 依 歸, 那 個 時 地 的 數 學? 8 同 時 愈 來 愈 多 論 述 提 出, 我 們 並 非 只 有 一 種 數 學 IT 數 學 動 手 數 學 傳 統 數 學 亦 有 著 不 同 的 質 地 4 Elements 5 Durell, C. V. & Wright, R. M. (97). Elementary trigonometry. London: G. Bell and Sons, Ltd. Durell, C. V. & Wright, R. M. (93) 杜 勞 初 級 三 角 ( 唐 謙 譯 ) 香 港 : 天 利 行 有 限 公 司 Durell, C. V. (90). Modern geometry: The straight line and circle. London: Macmillan. Durell, C. V. (97). School certificate algebra: an alternative version of: A new algebra for schools. London: G. Bell and Sons, Ltd. Durell, C. V.(93a) 杜 勞 中 學 代 數 ( 伍 祖 猷 譯 ) 香 港 : 天 利 行 有 限 公 司 Durell, C. V. (93). General arithmetic for schools. London: G. Bell and Sons, Ltd. Durell, C. V.(93c) 杜 勞 通 用 算 術 ( 梁 鏡 堯 譯 ) 香 港 : 天 利 行 有 限 公 司 Durell, C. V. (939). A new geometry for schools. London: G. Bell and Sons, Ltd. Durell, C. V.(93b) 杜 勞 新 編 幾 何 ( 譚 毅 成 譯 ) 香 港 : 天 利 行 有 限 公 司 Ernest, P. (Ed.) (99). The philosophy of mathematics education. Hamsphire: The Falmer Press. 7 Wilder, R. L. (95). An introduction to the foundations of mathematics (Chapter XII: The cultural setting of mathematics, pp. 8-99). New York: John Wiley & Sons. 8 所 謂 行 內 人 的 數 esoteric math: Cooper, B., & Dunne, M. (998). Anyone for tennis? Social class differences in children s responses to National Curriculum Mathematics Testing. The Sociological Review, 4(),

17 4 3 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 5 參 考 各 種 標 準 其 中 一 個 最 省 便 的 方 法 是 參 考 一 些 標 準, 包 括 課 程 標 準 國 家 標 準 大 辭 典 ( 如 牛 津 辭 典, 數 學 手 冊 岩 波 數 學 辭 典 之 類 ), 在 行 政 及 溝 通 角 度, 這 是 沒 有 異 議 的 了 其 實 這 不 是 壞 事, 其 實 筆 者 在 [4] 也 這 樣 建 議 過 有 了 標 準, 不 再 爭 拗, 於 是 大 家 可 安 心 教 書 但 其 實 上 面 的 問 題 仍 可 作 很 多 追 問 首 先, 有 些 經 典 辭 典 ( 如 牛 津 辭 典 ) 不 也 是 不 斷 改 版, 加 入 新 字 嗎? 此 外, 這 些 辭 典 在 制 定 的 過 程 是 如 何? 參 考 民 意 ( 數 學 家? 數 學 書?)? 依 據 某 些 學 理 準 則 ( 如 語 言 學 ) 或 約 定 俗 成? 約 定 俗 成 是 否 意 味 依 賴 民 意 就 算 了? 上 面 一 籃 子 問 題 只 是 隱 伏 了, 讓 編 委 會 ( 或 課 程 委 員 會 ) 為 大 家 一 錘 定 音 吧 了 規 範 與 自 由 之 間 有 了 標 準 不 一 定 能 解 決 問 題, 標 準 守 得 多 規 範 仍 是 一 個 常 見 的 爭 議 例 如 4 4 還 是 4? 還 有 筆 順 等 問 題, 如 印 度 人 又 如 何 寫? 9 ( 一 個 笑 話 : 如 果 我 們 敲 定 了 一 個 有 別 於 印 度 人 的 寫 法, 而 印 度 學 生 照 印 度 傳 統 書 寫 竟 然 當 成 錯, 豈 非 笑 話? 就 像 要 日 本 人 把 田 中 讀 作 Tian zhong 而 不 許 他 讀 Tanaka!) 印 度 人 有 筆 順 這 概 念 嗎? 此 外 還 有 發 音 等 標 準 確 實 帶 來 行 政 方 便, 但 標 準 用 詞 用 語 就 等 於 理 解 嗎? 簡 單 來 說, 用 字 ( 等 ) 很 標 準 規 範 ( 如 知 道 帶 分 數 之 準 確 定 義 ) 就 等 於 理 解 ( 分 數 ) 的 意 義 嗎? 當 然, 亦 可 反 過 來 問 : 用 字 不 標 準 就 等 於 不 理 解 嗎? 理 解 就 可 以 無 視 標 準 規 範 嗎? 此 外, 如 果 花 過 多 精 力 只 是 訓 練 規 範, 是 否 值 得? 會 否 喧 賓 奪 主? 甚 麼 叫 過 多? 教 育 的 其 中 ( 只 是 說 其 中 ) 一 個 目 標 不 是 讓 學 生 敢 於 挑 戰 權 威 打 破 成 規 嗎? 反 回 問 題 的 出 發 點 最 初 的 那 些 問 題 許 多 來 自 考 測, 這 或 許 也 是 老 師 ( 學 生 ) 之 所 以 緊 張 的 原 因 因 為 涉 到 評 分 例 如 基 本 能 力 測 試 是 否 扣 分? 校 內 試 該 如 何 打 分 等? 不 過 我 們 要 問, 這 些 是 行 政 問 題 還 是 學 習 問 題? 只 考 慮 分 數 的 問 題 會 否 出 現 [4] 所 說 上 下 交 征 利 0 的 情 況? 9 阿 拉 伯 數 字 原 於 印 度 0 孟 子 梁 惠 王 章 句 上 : 上 下 交 征 利, 而 國 危 矣! - 5 -

18 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 4 3 結 語.. 兩 個 禪 的 故 事 在 [4] 一 文 中, 筆 者 以 提 過 張 澄 基 博 士 你 對, 你 也 對 的 故 事, 現 在 再 提 兩 個 較 輕 巧 的 故 事, 第 一 個 和 實 質 和 表 象 ( 包 括 名 詞 符 號 ) 有 關 的 它 其 實 來 自 蔡 志 忠 漫 畫 禪 說, 有 一 個 人 彈 了 一 首 琴, 另 一 個 人 問 他 琴 曲 之 意, 琴 師 ( 唯 有 ) 再 彈 一 次 所 有 表 象 都 是 表 象, 都 不 是 實 質 這 個 小 故 事 來 自 何 經 何 典, 蔡 志 忠 沒 有 說, 但 在 佛 道 對 名 實 的 討 論 甚 多 道 德 經 說, 道 可 道, 非 常 道 ; 名 可 名, 非 常 名 成 實 論 云 : 諸 法 因 緣 和 合 而 成, 無 真 實 之 體, 假 名 而 有, 故 瓶 人 等 均 屬 假 名 金 剛 經 亦 有 類 此 說 法 另 一 個 是 關 於 權 威 的 有 一 本 英 文 書 名 為 若 你 在 路 上 見 到 佛 陀, 殺 之!, 就 是 禪 師 所 說 見 佛 殺 佛 3 4 丹 霞 禪 師 (04~7) 燒 佛 像 等 也 就 是 古 人 的 除 迷 信 ( 權 威 ) 之 法 學 習 社 群 筆 者 於 993 年 與 蕭 文 強 老 師 伉 儷 寫 了 學 養 老 師 一 文 5, 其 中 要 點 是 處 處 留 心 皆 學 問 當 老 師 遇 到 這 些 教 學 疑 難 時 能 像 上 面 一 樣, 多 從 不 同 角 度 發 問, 向 不 同 人 ( 數 學 家 教 育 學 家, 甚 至 社 會 學 家 語 言 專 家 ) 求 證 ( 又 不 迷 信 一 尊 ) 及 多 看 書, 同 時 以 學 理 和 教 學 實 踐 互 相 印 證 ( 甚 至 進 行 課 研 ), 多 點 反 思, 加 上 同 行 交 流, 教 師 專 業 學 習 社 群 就 開 始 形 成 了, 這 不 也 就 是 香 港 數 理 教 育 學 會 一 類 專 業 團 體 成 立 的 初 心 嗎? 以 下 之 圖, 只 是 綜 合 了 上 面 不 斷 發 問 的 個 人 思 路, 不 要 視 作 標 準 發 問 清 單 還 有 很 多 很 多 問 題 可 陸 續 發 問 ( 如 甚 麼 是 理 解 甚 麼 是 做 數 ) 只 要 抱 著 懷 疑 和 探 索 精 神, 下 圖 根 本 不 必 理 會! 蔡 志 忠 (987) 尊 者 的 棒 喝 禪 說 說 是 一 物 即 不 中 台 北 : 時 報 文 化 頁 38 Kopp, S. B. (98). If you meet the Buddha on the road, kill him! The pilgrimage of psychotherapy patients. Palo Alto: Science and Behavior Books. 3 鎮 州 臨 濟 慧 照 禪 師 語 錄 4 五 燈 會 元 丹 霞 章 5 Siu, F. K., Siu, M. K., & Wong, N. Y. (993). Changing times in mathematics education: The need of a scholar-teacher. In C. C. Lam, H. W. Wong, & Y. W. Fung (Eds.), Proceedings of the International Symposium on Curriculum Changes for Chinese Communities in Southeast Asia: Challenges of the st Century (pp. 3-). Hong Kong: Department of Curriculum and Instruction, the Chinese University of Hong Kong. 實 踐 是 檢 驗 真 理 的 唯 一 標 準 978 年 5 月 日 光 明 日 報 文 章 - -

19 4 3 由 學 養 教 師 到 學 習 社 群 從 是 不 是 帶 分 數? 說 起 是 否 帶 分 數? 是 又 如 何? 不 是 又 如 何? 誰 說 了 算? 權 力 關 係 統 一 為 了 溝 通? 日 常 語 言 數 學 權 威 / 標 準 傳 意 靠 精 準? 語 言 是 否 要 保 留 一 些 彈 性? 有 時 需 要 延 伸, 例.. 何 謂 數 有 時 日 常 語 言 先 於 數 學 語 言 東 西 方 可 能 有 差 距? 亦 因 時 而 異? 立 法 原 意? 誰 最 先 用 此 詞? 忠 於 較 早 的 還 是 最 新 的? 如 皮 亞 諾 公 設 先 於 馮 諾 曼 定 義 數 學 因 時 地 而 異? 有 不 同 質 地 的 數 學? 數 學 家? 只 有 一 種 數 學 家? 數 學 家 只 有 一 種 意 見? 數 學 經 典? 那 幾 本? 有 地 位 之 詞 典, 但 它 們 亦 不 時 修 訂 國 家 標 準 / 課 程 / 考 試 有 民 意 授 權 嗎? 規 範 有 多 僵 硬? 可 能 任 意 延 伸 概 念? 定 義 命 名 清 楚 = 理 解? - -

20 8 數 學 與 人 生 數 學 與 人 生 庾 劍 財 作 者 為 已 退 休 人 士 作 者 從 進 小 學 至 今 已 經 五 十 餘 年 了, 回 顧 個 人 觀 察 到 數 學 在 人 生 之 中 所 起 到 的 作 用, 希 望 這 些 經 歷 對 數 理 科 老 師 們 有 點 啟 示 數 學 教 育 的 目 的 數 學 是 一 種 文 化 知 識, 學 生 為 什 麼 要 學 習 數 學? 他 們 應 該 學 習 些 什 麼? 怎 樣 學 習? 有 人 歸 納 數 學 教 育 有 三 個 目 的 : 讓 學 生 ( 甲 ) 掌 握 實 用 知 識 ;( 乙 ) 建 立 個 人 的 思 維 能 力 ;( 丙 ) 培 養 認 識 論 世 界 觀 等 文 化 素 養 前 者 牽 涉 訓 練 學 生 掌 握 直 接 用 得 上 的 數 學 運 算 技 巧, 後 二 者 牽 涉 幫 助 學 生 建 立 抽 象 的 理 念 及 思 維 方 法 另 一 方 面 我 們 也 可 以 從 數 學 (a) 與 自 然 的 關 係 ;(b) 與 人 類 文 化 的 相 互 作 用 ;(c) 對 個 人 思 維 發 展 的 影 響 等 三 個 層 面 來 思 考 數 學 的 功 用 我 做 過 短 時 間 的 中 學 數 理 科 教 師, 向 學 生 覆 述 自 己 所 學 過 的 數 學 物 理 ; 之 後 從 事 資 訊 科 技 行 業, 掌 握 因 果 邏 輯 對 我 的 工 作 十 分 重 要 ; 尤 其 是 當 我 設 計 金 融 交 易 定 價 結 算 風 險 管 理 系 統 時, 更 用 得 上 比 較 複 雜 的 數 學 工 具 ; 數 學 知 識 對 我 來 說 無 疑 是 有 用 的 不 過 綜 觀 周 圍 的 人, 很 多 人 一 生 都 祗 需 要 用 到 加 減 乘 除 四 則 運 算, 他 們 也 從 未 覺 察 數 學 與 自 己 的 人 生 觀 有 什 麼 關 係 不 禁 要 問 : 一 般 人 所 學 的 數 學 運 算 知 識 是 否 過 多 呢? 要 回 答 這 個 問 題 就 要 問 另 外 一 個 問 題 : 普 及 數 學 教 育 對 大 多 數 人 來 說 到 底 有 多 大 好 處 呢? 現 有 的 數 學 內 容 是 否 適 合 普 及 教 育? 現 代 數 學 教 育 分 為 小 學 中 學 及 大 學 三 個 層 次, 一 個 接 着 一 個, 有 其 延 續 性, 整 個 課 程 的 設 計 以 培 養 一 個 數 學 家 為 最 終 目 標 為 了 在 規 定 的 時 間 之 內 傳 授 足 夠 的 知 識, 我 們 用 一 種 凝 聚 [] 了 數 千 年 人 類 智 慧 的 特 別 語 言, 清 楚 利 落 地 把 文 明 成 果 的 精 華 傳 授 給 學 生 想 像 中 數 學 教 育 與 不 同 的 人 生 活 上 所 需 要 的 數 學 知 識 水 平 有 着 如 下 的 關 係 : 此 圖 並 沒 有 數 據 證 明, 不 過 相 信 大 致 如 此 Hong Kong Science Teachers Journal 04 Volume 30 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 04 年 總 第 30 期 P.

21 數 學 與 人 生 9 極 大 多 數 人 祗 需 要 小 學 水 平 的 數 學 已 經 足 夠 有 餘 了, 但 是 在 實 施 普 及 教 育 之 後, 大 多 數 人 在 中 學 時 卻 被 逼 着 為 進 入 大 學 而 做 準 備, 學 習 一 些 既 不 明 白, 也 終 身 應 用 不 上 的 數 學 因 為 不 理 解, 所 以 祗 能 夠 機 械 地 依 樣 畫 葫 蘆 地 記 住 運 算 技 巧 ; 因 為 畢 業 之 後 不 再 運 用, 很 快 就 將 運 算 法 忘 得 一 乾 二 淨, 更 談 不 上 提 升 至 概 念 思 維 及 哲 學 修 養 那 些 層 次 要 獲 得 更 高 的 效 益, 我 們 能 否 少 教 一 些 運 算, 多 講 一 些 理 念 呢? 這 樣 我 們 又 要 問 另 外 一 個 問 題 : 為 什 麼 教 導 理 解 和 運 用 抽 象 的 概 念 是 那 麼 困 難 的 呢? 一 次 失 敗 的 教 育 改 革 957 年 0 月 4 日 蘇 聯 成 功 地 發 射 了 第 一 顆 地 球 軌 道 人 造 衛 星 史 潑 尼 克 一 號, 導 致 美 國 史 稱 史 潑 尼 克 危 機 (Sputnik crisis) 的 恐 慌 和 政 治 爭 論 美 國 的 回 應 是 採 取 一 系 列 措 施 以 奪 回 技 術 優 勢, 展 開 太 空 競 賽, 而 美 國 的 中 學 數 學 教 育 也 進 行 了 一 次 失 敗 的 教 育 改 革 當 時 教 育 界 檢 討 一 般 人 容 易 忘 記 學 過 的 數 學 是 因 為 他 們 祗 模 仿 運 算 的 過 程, 而 不 能 把 握 著 背 後 的 數 學 概 念, 於 是 引 入 以 集 合 論 為 基 楚 的 新 數 學 ( 抽 象 數 學 ) 若 干 年 後 有 一 本 叫 Why Johnny can t add? The failure of the new math 的 書 指 出 問 題 所 在, 譬 如 老 師 問 : 為 什 麼 +3=3+? 學 生 回 答 : 因 為 它 們 都 等 於 5 老 師 卻 否 定 了 學 生 : 不 對, 這 是 因 為 + 算 子 服 從 交 換 律 (commutative law) 學 生 都 嚇 呆 了, 結 果 他 們 既 把 握 不 住 那 些 駭 人 的 概 念, 也 沒 有 學 好 加 數 運 算 現 代 腦 神 經 科 學 啟 示, 人 家 告 訴 我 們 的 東 西 祗 會 短 暫 地 儲 存 在 大 腦, 透 過 不 斷 的 接 觸 和 運 用, 這 些 過 程 引 起 大 腦 神 經 細 胞 進 行 一 連 串 的 連 結 活 動, 慢 慢 就 變 成 牢 固 的 結 構 性 記 憶 我 年 輕 時, 學 生 上 課 要 背 誦 很 多 中 文 的 詩 詞 散 文, 不 過 大 部 份 人 仍 然 需 要 擁 有 較 豐 富 的 人 生 經 歷 之 後, 才 能 夠 感 受 到 詩 文 的 哲 理 和 美 感 真 正 理 解 一 個 概 念 是 需 要 從 很 多 事 例 進 行 歸 納 得 來 的, 很 多 時 我 們 要 反 覆 接 觸 一 門 知 識 很 多 次, 才 猛 然 察 覺 這 些 概 念 原 來 老 師 在 一 開 始 時 早 已 經 告 訴 了 我 們, 不 過 那 時 候 我 們 卻 無 法 抓 得 住 現 在 我 們 學 數 學 通 常 是 由 老 師 告 訴 我 們 一 些 概 念 和 定 律, 然 後 透 過 大 量 的 習 作 去 掌 握 演 繹 的 方 法, 因 此 現 代 數 學 教 育 最 能 讓 我 們 學 會 演 繹 法 可 惜 我 們 學 習 的 數 學 太 過 嚴 謹 了, 應 用 範 圍 相 當 狹 窄, 離 開 課 室 之 後, 我 們 P.

22 0 數 學 與 人 生 學 過 的 絕 大 部 份 數 學 知 識 在 日 常 生 活 之 中 很 少 有 機 會 可 以 用 得 上, 這 些 知 識 也 很 快 就 隨 風 而 逝 了 嚴 謹 的 數 學 公 理 化 系 統 (axiomatic method) 世 界 所 顯 現 出 來 的 現 象 無 窮 無 盡, 知 識 表 達 的 形 式 也 無 窮 無 盡, 數 學 教 我 們 用 一 種 簡 約 (reduction) 的 方 法 去 了 解 大 千 世 界 人 類 天 生 有 一 種 邏 輯 思 維 的 能 力, 現 代 數 學 圍 繞 着 這 一 點 發 展 出 一 套 公 理 化 系 統 的 思 考 模 式 首 先, 我 們 要 承 認 邏 輯 學 的 真 理 性 質, 不 得 有 疑, 無 須 證 明 如 果 有 兩 個 命 題, 它 們 之 間 有 沒 有 邏 輯 相 關 性 呢? 有 的 話, 我 們 祗 要 記 住 其 中 一 個, 另 一 個 可 以 用 邏 輯 推 導 出 來 面 對 世 界 的 無 窮 現 象, 我 們 問 : 有 那 些 現 象 是 最 共 通 的 呢? 那 些 元 素 是 最 基 本 的 呢? 於 是 我 們 可 以 將 一 大 堆 現 象 簡 化 為 少 數 的 定 義 和 一 些 必 須 要 用 來 解 釋 研 究 對 象 的 法 規 ; 由 於 無 法 證 明, 我 們 稱 這 些 規 則 為 不 證 自 明 之 理, 或 者 是 公 理 公 設 用 最 少 個 定 義 和 公 理 而 可 以 合 理 地 解 釋 最 多 的 現 象, 這 樣 的 一 個 系 統 稱 為 公 理 化 系 統 祗 要 承 認 公 理, 由 此 出 發, 用 邏 輯 演 繹 出 來 的 都 必 定 為 真 數 學 處 理 知 識 的 工 作 到 此 為 止, 自 然 科 學 的 方 法 則 進 一 步 要 求 沒 有 任 何 客 觀 的 實 驗 結 果 與 系 統 內 所 描 述 的 一 切 有 絲 毫 衝 突 強 邏 輯 相 關 性 與 弱 邏 輯 相 關 性 公 理 化 系 統 要 求 系 統 內 每 一 事 物 每 一 斷 語 (statement) 都 得 有 邏 輯 聯 繫, 而 且 為 恆 真, 不 過 直 到 目 前 為 止, 我 們 祗 在 自 然 科 學 方 面 發 現 較 多 現 象 符 合 這 一 要 求 現 代 人 生 活 上 很 少 需 要 直 接 去 解 釋 大 自 然, 因 此 除 了 少 數 專 業 人 士 之 外, 一 般 人 很 少 用 得 上 自 然 科 學 的 定 律 和 數 學 模 型 人 文 科 學 和 社 會 科 學 太 鬆 散 了, 這 類 問 題 很 少 能 夠 配 對 得 上 嚴 謹 的 數 學 公 理 化 系 統 每 個 人 在 生 活 上 經 常 都 要 用 到 兩 種 能 力, 一 個 是 推 理 力, 另 一 個 是 聯 想 力 推 理 需 要 運 用 嚴 謹 的 邏 輯, 我 稱 之 為 強 邏 輯 相 關 性 的 知 識 ; 聯 想 需 要 利 用 某 些 薄 弱 的 邏 輯 相 關 性 將 不 同 的 事 物 聯 繫 起 來, 我 稱 之 為 弱 邏 輯 相 關 性 的 知 識 由 於 數 學 是 必 修 科, 現 代 人 普 遍 都 擁 有 不 錯 的 推 理 能 力 ; 不 過 由 於 學 科 分 拆 得 太 細, 現 代 人 又 普 遍 顯 現 思 想 局 限, 缺 乏 聯 想 力 現 代 數 學 和 自 然 科 學 過 分 強 調 強 邏 輯 相 關 性, 我 們 的 教 育 系 統 在 某 種 程 度 上 其 實 握 殺 了 學 生 培 養 聯 想 力 的 機 會 結 語 數 學 教 育 的 目 的 是 讓 學 生 :. 掌 握 實 用 的 知 識 a. 應 用 到 自 然 環 境 方 面 b. 應 用 到 社 會 文 化 方 面. 建 立 個 人 的 思 維 能 力 3. 培 養 認 識 論 世 界 觀 等 文 化 素 養 P.3

23 數 學 與 人 生 作 為 普 及 教 育 來 說, 今 天 的 數 學 教 育 是 一 項 高 成 本 低 效 益 的 社 會 性 投 資 : 因 為 大 多 數 學 生 花 了 過 多 的 力 氣 在 (a) 方 面, 而 實 際 上 卻 沒 有 應 用 ; 學 生 在 (b) ( ) ( 3) 等 方 面 得 着 不 多 甚 至 可 以 說 是 毫 無 得 益 學 生 成 長 之 後 的 普 遍 表 現 是 : 理 性 呆 板 不 懂 旁 通 類 觸 這 樣 我 們 又 要 思 考 如 何 能 夠 降 低 應 用 數 學 理 念 的 限 制, 讓 數 學 知 識 能 夠 在 日 常 生 活 之 中 有 更 多 應 用 的 機 會, 從 而 使 我 們 對 某 些 概 念 的 認 識 能 夠 成 熟, 這 個 問 題 值 得 數 理 科 老 師 細 思 通 識 思 考 完 成 大 學 數 學 訓 練 之 後 又 添 加 了 數 十 年 人 生 經 驗, 現 在 有 條 件 補 回 欠 缺 的 (b) ( ) ( 3) 等 方 面 的 知 識, 在 日 常 生 活 之 中, 無 須 涉 及 計 量 的 情 況 之 下, 我 們 可 以 如 何 運 用 數 學 概 念 呢? 剛 巧 香 港 的 中 學 教 育 增 添 了 通 識 科, 目 的 與 前 述 數 學 教 育 相 近 [] 很 多 老 師 和 學 生 都 抱 怨 課 程 範 圍 太 廣, 內 容 太 多, 數 學 公 理 化 系 統 的 簡 約 方 法 可 否 幫 得 上 忙 呢? 我 們 能 否 教 導 學 生 少 [3] 數 幾 個 觀 念 就 可 以 幫 助 他 們 較 輕 鬆 地 去 理 解 五 花 八 門 的 社 會 現 象 呢? 考 慮 這 樣 的 社 會 模 型 : 人 是 構 成 社 會 的 最 小 而 獨 立 存 在 的 單 元, 如 物 理 學 的 分 子 ; 個 體 活 動 (A: activity) 可 以 被 看 成 是 隨 機 的 ( 無 序 的 ) 或 是 複 雜 混 沌 的 ( 微 觀 有 序 的 ); 微 觀 活 動 偶 然 會 形 成 事 件 (E: events); 歷 史 (H: history) 是 許 多 個 被 記 載 下 來 的 事 件 的 集 合 : 如 果 我 們 將 歷 史 看 成 是 離 散 的 (discrete) 事 件 (E i ) 的 集 合 :H ={E i :i=,,3,...}, 我 們 會 看 到 事 情 的 一 個 側 面 研 究 全 球 化 歷 史 時, 我 們 要 了 解 科 技 發 展 對 政 治 經 濟 的 影 響, 通 常 我 們 會 從 某 些 獨 立 事 件 思 考 事 件 E 對 歷 史 H 的 影 響, 好 像 哥 倫 布 發 現 新 大 陸, 萊 特 兄 弟 發 明 飛 機 等, 由 此 引 申 到 航 運 力 如 何 推 動 全 球 化 如 果 我 們 將 歷 史 (H) 看 成 是 時 間 (t) 的 連 續 函 數 :e = H(t), 我 們 又 會 看 到 事 情 的 另 一 個 側 面 惰 性 是 社 會 變 化 的 重 要 特 徵, 當 我 們 研 究 社 會 文 化 史 時, 考 慮 歷 史 的 延 續 性 很 有 用 處 數 學 有 一 條 定 點 定 理 (fixed point theorem), 它 告 訴 我 們 : 如 果 我 們 將 歷 史 看 成 是 一 條 連 續 函 數 的 話, 無 論 歷 史 變 化 看 起 來 如 何 翻 天 覆 地, 她 總 會 盡 力 固 守 一 些 不 變 的 定 點 清 末 民 初, 中 國 國 力 衰 敗, 國 民 醉 心 於 引 入 各 式 各 樣 的 外 國 學 說 來 改 善 國 家 制 度, 為 什 麼 馬 克 斯 主 義 最 終 會 勝 出 呢? 我 們 可 以 考 慮 馬 克 斯 主 義 在 那 些 方 面 讓 中 國 古 代 文 化 思 想 得 到 較 佳 的 延 續, 這 是 很 少 人 會 思 考 的 方 向 一 國 兩 制 背 後 的 數 學 理 念 社 會 主 義 中 國 崇 尚 集 體 主 義 規 劃 經 濟 ; 資 本 主 義 的 香 港 崇 尚 自 由 主 義 市 場 經 濟 回 歸 之 後 的 香 港, 在 一 國 兩 制 底 下 爭 議 不 休, 給 人 有 點 一 團 糟 (in chaos) 的 感 覺, 不 過 數 學 家 3 這 個 學 科 包 括 個 單 元 : 個 人 成 長 與 人 際 關 係 與 上 述 數 學 教 育 第 () ( 3) 兩 個 目 的 有 關 ; 今 日 香 港 現 代 中 國 全 球 化 三 個 單 元 與 (b) 有 關 ; 公 共 衛 生 能 源 科 技 與 環 境 兩 個 單 元 與 (a) 有 關 當 然 我 們 不 能 單 單 限 於 數 學, 還 要 有 通 識 哲 學 理 學 資 訊 學 美 學 等 等 P.4

24 數 學 與 人 生 對 chaos 的 態 度 比 較 積 極, 提 出 混 沌 這 個 神 秘 而 帶 有 建 設 性 的 名 詞 數 學 概 念 到 底 可 以 怎 樣 幫 助 我 們 去 了 解 諸 多 爭 辯 呢? 馬 克 斯 生 存 的 年 代, 人 類 思 想 受 經 典 物 理 學 影 響 很 深 [4], 大 家 都 喜 歡 用 宏 觀 有 序 的 決 定 論 (deterministic) 看 世 界 馬 克 斯 認 為 無 序 的 經 濟 生 產 模 式 缺 乏 效 率, 因 此 主 張 國 家 應 該 由 一 群 精 英 ( 共 產 黨 ) 來 規 劃 ( 訂 立 正 確 的 方 向 ) 生 產 [5] 馬 克 斯 未 見 過 資 訊 社 會, 以 為 生 產 單 靠 勞 力, 忽 略 了 資 訊 對 規 劃 的 重 要 性 上 一 個 世 紀 的 中 共 黨 中 央 受 到 科 技 和 社 會 制 度 的 限 制, 根 本 沒 有 能 力 去 收 集 足 夠 的 全 國 性 資 料 及 確 保 它 們 的 真 確 性, 結 果 全 面 規 劃 和 控 制 生 產 的 客 觀 效 果 不 佳 [] 於 是 中 國 提 出 改 革 開 放, 走 市 場 經 濟 道 路, 不 過 定 點 定 理 再 次 產 生 效 力 : 求 變 之 餘, 中 國 盡 力 延 續 共 產 黨 傳 統 文 化, 並 且 稱 這 種 混 合 狀 態 為 " 帶 有 中 國 特 色 的 社 會 主 義 經 濟 " 香 港 人 熱 炒 的 " 窩 輪 " 是 一 種 虛 擬 的 產 物, 它 們 的 價 值 無 法 計 算, 後 來 有 人 利 用 分 子 的 布 朗 運 動 熱 力 學 的 伊 藤 引 理 正 態 分 佈 等 概 念, 創 立 了 一 條 衍 生 工 具 計 價 方 程 式 (Black-Scholes formula), 拿 了 諾 貝 爾 獎 香 港 是 一 個 國 際 金 融 中 心, 面 對 螢 幕 屏 的 報 價 系 統, 你 祗 知 道 過 去 一 刻 鐘 的 股 價, 卻 無 法 預 計 下 一 刻 的 變 化 人 生 充 滿 不 確 定 性 (uncertainty), 如 果 我 們 用 面 對 市 場 不 確 定 性 的 能 力 去 區 分 社 會 階 層, 有 能 力 駕 御 市 場 不 確 定 性 的 香 港 人 教 育 程 度 較 高, 屬 於 現 在 的 " 精 英 " 既 得 益 者 香 港 人 基 本 上 都 承 認 自 己 是 中 國 人, 不 反 對 回 歸, 不 過 香 港 精 英 會 努 力 延 續 市 場 決 定 論, 反 對 " 領 導 人 " 決 定 論, 這 又 是 一 個 歷 史 " 定 點 " 電 視 發 牌 演 變 成 風 波 就 是 因 為 特 首 將 整 件 事 表 達 成 : 他 ( 作 為 一 位 領 導 人 ) 依 據 個 人 理 解 絕 對 有 權 決 定 市 場 走 向, 這 種 行 為 很 難 得 到 市 場 決 定 論 者 給 他 一 個 " LIKE " 連 續 離 散 宏 觀 有 序 的 決 定 論 微 觀 有 序 的 混 沌 論 隨 機 無 序 的 概 率 分 佈 這 些 數 學 概 念 與 我 們 息 息 相 關, 今 天 應 用 數 學 的 重 點 在 於 對 未 來 的 動 態 預 測 全 球 化 經 歷 了 幾 個 世 代, 有 三 個 生 產 模 式, 中 國 ( 連 香 港 ) 幅 員 遼 闊, 既 擁 有 早 期 的 農 業 自 給 自 足 社 會 中 期 的 工 業 實 物 產 業 社 會 及 後 期 的 虛 擬 經 濟, 國 人 思 想 意 識 形 態 跨 越 一 個 世 紀 生 活 在 一 個 多 層 次 多 元 化 跨 時 空 的 社 會, 如 果 明 白 不 同 的 基 本 概 念, 自 然 能 看 見 這 樣 或 那 樣 的 潛 在 規 律, 擇 優 而 行 反 之, 每 個 人 各 說 各 話, 自 然 會 一 團 糟 4 5 那 時 量 子 力 學 統 計 學 還 未 出 現, 遑 論 更 後 期 的 混 沌 理 論 碎 形 數 學 等 我 們 可 以 對 比 共 產 黨 成 物 理 學 的 剛 體 ( 如 星 球 彈 珠 ), 祗 有 透 過 這 個 剛 體 才 能 產 生 宏 觀 的 運 動 方 向 從 控 制 論 的 角 度 看, 無 效 的 控 制 效 果 不 如 無 為 而 無 不 為 透 過 上 半 個 世 紀 的 客 觀 事 實, 大 多 數 人 在 今 天 都 傾 向 自 由 經 濟 思 想, 不 過 隨 着 資 訊 系 統 越 趨 成 熟, 規 劃 經 濟 也 可 能 在 將 來 某 個 時 間 以 某 種 形 式 復 興 P.5

25 遊 戲 與 數 學 3 遊 戲 與 數 學 朱 肇 濠 可 風 中 學 ( 嗇 色 園 主 辦 ) 張 僑 平 香 港 中 文 大 學 教 育 學 院 課 程 與 教 學 學 系 科 技 的 不 斷 發 展, 尤 其 是 智 能 手 機 的 普 及, 使 得 人 們 玩 遊 戲 的 工 具 從 家 庭 電 腦 遊 戲 機 轉 移 到 了 方 寸 之 間 的 手 機 很 多 人 提 到 玩 遊 戲 對 孩 童 的 害 處 ( 注 意 力 不 集 中 視 力 減 退 動 手 能 力 退 步 等 等 ), 也 有 一 些 學 者 提 到 遊 戲 對 人 的 思 維 的 促 進 鄭 肇 楨 (983) 在 遊 戲 與 學 習 一 章 中 便 提 出, 以 前 的 人 常 說, 勤 有 功, 戲 無 益, 其 實 這 句 話 最 少 後 半 句 是 錯 的 遊 戲 本 身 並 非 魔 鬼, 如 何 看 待 和 使 用 遊 戲, 才 是 關 鍵 所 在 其 實, 很 多 遊 戲 在 情 節 設 計 上, 會 讓 你 不 斷 闖 關 檢 獲 寶 物 打 敗 怪 獸 等 等, 令 人 緊 張 刺 激 以 及 放 鬆, 其 內 容 本 身 也 是 充 滿 了 智 趣 的, 特 別, 蘊 含 著 許 多 數 學 的 元 素 以 下 我 們 便 以 最 近 一 款 遊 戲 Candy Crush( 可 能 其 實 已 經 out 了!) 為 例, 談 談 其 中 的 數 學. Candy Crush 遊 戲 Candy Crush 是 一 種 要 求 玩 家 把 三 個 或 以 上 的 糖 果 連 合 的 拼 圖 遊 戲 ( 見 圖 一 ) 玩 家 需 要 把 六 種 顏 色 糖 果 ( 紅 橙 黃 綠 藍 紫 ) 以 直 向 或 橫 向 的 方 法 交 換 糖 果 的 位 置, 而 當 同 類 糖 果 組 合 在 一 起 時 將 會 消 失, 令 附 近 的 糖 果 跌 下 來 填 充 留 下 的 空 缺 有 時 還 會 造 成 連 鎖 效 應, 使 玩 家 可 以 得 到 更 高 的 分 數 及 能 力 強 大 的 合 成 糖 果 ( 見 圖 二 ) 這 個 遊 戲 亦 會 給 予 玩 家 一 點 障 礙 物, 例 如 於 糖 果 上 覆 蓋 上 一 層 果 凍, 令 玩 家 必 須 於 去 除 果 凍 後 才 能 使 用 該 糖 果 用 作 組 合 之 用 這 遊 戲 有 超 過 00 級 的 關 卡, 同 時 有 多 種 不 同 的 模 式 在 結 合 不 同 的 模 式 及 地 圖 下, 玩 家 每 一 次 可 享 受 刺 激 的 挑 戰 在 遊 戲 中, 除 了 簡 單 的 三 個 同 類 糖 果 會 消 除 外, 亦 會 產 生 一 些 能 力 強 大 的 特 殊 糖 果, 如 間 紋 糖 果 (A), 包 裝 糖 果 (B) 和 巧 克 力 球 (C), 他 們 的 一 般 形 成 規 則 如 下 ( 見 圖 二 ) 圖 一 :Candy Crush 遊 戲 A = 間 紋 糖 果 B= 包 裝 糖 果 其 中 巧 克 力 球 是 最 有 威 力 的 特 殊 糖 果! 而 兩 兩 組 合 在 一 起 時 ( 包 括 AA,AB, AC,BB,BC,CC) 產 生 的 威 力 更 大 ( 消 去 更 多 的 糖 果 ), 特 別 是 兩 個 巧 克 力 球 (CC) 碰 C= 巧 克 力 球 圖 二 :Candy Crush 遊 戲 規 則 Hong Kong Science Teachers Journal 04 Volume 30 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 04 年 總 第 30 期

26 4 遊 戲 與 數 學 在 一 起 時! 從 玩 家 經 驗 來 說, 相 對 而 言, 間 紋 糖 果 要 容 易 出 現, 包 裝 糖 果 和 巧 克 力 球 出 現 的 情 況 並 不 多, 當 然 你 也 可 以 說 這 樣 是 為 了 增 加 遊 戲 的 難 度 讓 我 們 從 數 學 上 對 此 來 探 討 一 番. Candy Crush 中 的 數 學 事 實 上, 網 絡 上 便 出 現 台 灣 一 所 高 中 的 數 學 教 師 將 Candy crush 遊 戲 帶 入 期 末 數 學 科 考 卷 ( 如 下 圖 ), 頗 受 學 生 喜 愛 有 興 趣 的 讀 者 可 自 行 計 算 得 出 答 案 本 文 則 主 要 從 數 學 上 檢 視 一 下 組 合 糖 果 出 現 的 機 率 問 題 相 同 形 狀 的 糖 果 達 成 一 線 可 以 形 成 一 顆 巧 克 力 球, 遊 戲 進 行 中 會 從 中 間 上 方 隨 機 落 下 3 顆 糖 果 到 黑 色 方 框, 在 已 知 落 下 的 3 顆 糖 果 不 完 全 相 同 的 條 件 下, 試 求 落 下 的 糖 果 可 立 即 與 旁 邊 4 顆 糖 果 形 成 巧 克 力 球 概 率 為 多 少? 首 先 我 們 看 看 最 簡 單 的 5 5 的 地 圖, 因 出 現 巧 克 力 球 必 須 是 5 顆 同 色 糖 果 連 成 直 線 在 本 文 中, 都 是 假 設 為 已 靜 止 的 狀 態, 即 是 不 會 圖 中 已 經 有 三 個 糖 果 造 成 了 組 合 在 該 地 圖 上, 我 們 先 看 看 間 紋 糖 果 形 成 的 概 率 圖 三 : 間 紋 糖 果 5 5 地 圖 間 紋 糖 果 的 組 合 可 能 出 現 在 地 圖 邊 界 上 和 地 圖 的 中 間 若 整 個 組 合 都 在 5 5地 圖 的 邊 界 上 ( 以 左 上 邊 界 為 例 ), 有 機 會 造 成 間 紋 糖 果 的 情 況 為 :

27 遊 戲 與 數 學 5 5 或 5 或 5 或 因 為 有 款 不 同 顏 色 糖 果, 故 其 概 率 為 4 = 在 5 5地 圖 中, 有 4 種 於 邊 界 上 發 生 的 可 能 性, 所 以 在 地 圖 中 概 率 為 4 = = 在 非 邊 界 區 域 ( 以 最 左 邊 的 一 格 為 固 定 點 ), 則 可 以 下 圖 表 示 可 能 性 4 5 或 5 或 5 或 所 以, 款 不 同 糖 果 的 概 率 為 4 = 34 4, 而 整 個 5 5地 圖 每 行 有 個 不 同 的 5 5 位 置 可 以 做 到, 加 上 總 共 有 行, 所 以 概 率 為 = 因 此, 在 整 個 5 5地 圖 上 出 現 間 紋 糖 果 的 概 率 為 + = = 倘 若 形 成 L 或 T 型 的 同 類 糖 果, 則 可 變 身 為 一 個 包 裝 糖 果 由 於 在 邊 界 上 是 不 可 能 造 成 T 型 糖 果 組 合 的, 我 們 看 看 在 邊 界 上 的 L 型 組 合 ( 以 上 邊 界 為 例 ) 情 況

28 5 5 或 或 5 5 或 當 5 位 於 一 條 邊 界 上 時, 會 有 4 種 機 會 出 現 L 組 合 所 以, 於 邊 界 上 發 生 包 裝 糖 果 的 概 率 為 = 在 非 邊 界 的 情 況 上, 則 L 或 T 型 的 糖 果 均 可 能 出 現 我 們 可 以 看 看 5 5 地 圖 中 5 不 在 邊 界 時 的 狀 況 以 5 在 第 橫 行 為 例, 共 有 種 可 能 性 : 5 5 或 或 遊 戲 與 數 學

29 5 5 或 或 5 5 或 或 5 5 或 或 7 遊 戲 與 數 學

30 8 遊 戲 與 數 學 5 5 或 或 5 根 據 對 稱 性, 第 四 行 也 是 一 樣 的 因 此, 第 二 及 第 四 橫 行 發 生 包 裝 糖 果 的 概 率 為 = 而 若 出 現 在 第 三 橫 行, 則 有 4 種 方 法 ( 這 裡 不 一 一 列 舉, 讀 者 可 自 行 推 出 ), 出 現 的 概 率 為 4 = 因 此, 在 整 個 5 5地 圖 上 出 現 包 裝 糖 果 的 概 率 為 = (0.040) 3888 巧 克 力 球 則 需 要 5 連 環, 即 5 顆 同 類 糖 果 連 成 一 直 線 才 可, 計 算 較 為 簡 單, 其 在 地 圖 上 出 現 的 概 率 為 = 48 5 (0.00) 利 用 5 5地 圖 的 方 法, 我 們 也 可 以 推 算 出 間 紋 糖 果 包 裝 糖 果 和 巧 克 力 球 在 及 7 7地 圖 上 的 出 現 機 會

31 遊 戲 與 數 學 9 類 型 出 現 的 可 能 性 間 紋 糖 果 0 8 (0.47) 5 54 (0.43) 0 7 (0.74) 包 裝 糖 果 (0.040) 0 43 (0.08) (0.40) 巧 克 力 球 5 48 (0.00) 5 97 (0.0) 5 08 (0.04) 由 上 我 們 不 難 得 知, 在 無 論 哪 一 種 地 圖 上, 均 有 P( 巧 克 力 球 )< P( 包 裝 糖 果 )< P( 間 紋 糖 果 ), 這 也 符 合 我 們 的 直 觀 感 受 巧 克 力 球 的 出 現 的 概 率 確 比 另 外 兩 種 低 很 多, 所 以 其 威 力 最 強 亦 是 可 以 理 解 的 另 外, 我 們 也 可 看 看 間 紋 糖 果 包 裝 糖 果 和 巧 克 力 球 同 時 出 現 ( 即 AA,BB, 和 CC) 的 機 會 首 先 是 雙 重 的 間 紋 糖 果, 先 以 X Y 分 為 兩 種 糖 果 X X Y X X Y X X Y Y X Y Y X Y Y 只 有 出 現 以 上 這 兩 種 情 況 之 一 才 有 機 會 同 時 出 現 間 紋 糖 果, 其 概 率 為 C = 而 雙 重 包 裝 糖 果 如 右 圖 表 示 X (5 5中 不 可 能 存 在 ) 出 現 概 率 為 0 3 C = ; 雙 重 巧 克 力 球 則 是 C = 同 樣, 雙 重 巧 克 力 球 出 現 的 可 能 性 極 低, 也 理 應 搭 配 最 有 威 力 的 效 果 0 X X X Y X Y Y Y Y 參 考 文 獻 : 鄭 肇 楨 (983) 教 育 途 徑 的 拓 展 廣 角 鏡 出 版 社

32 0 Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study Introduction Kam-wah Cheung HKASME Ricky, Wai-kit Tsui Tak Sun Secondary School Chi-kin Wong HKASME In 03, the Quality Education Fund (QEF) granted the Hong Kong Association for Science and Mathematics Education (HKASME) s Project, Developing Students Science Process Skills: Bridging the Gap between Junior Science Curriculum and the New Senior Secondary (NSS) Curriculum with Assessment for Learning (AfL) Strategies. One of the aims of the Project is to design a school-based curriculum to develop students science process skills with the collaboration of five schools. Tak Sun Secondary School, one of the five schools, is a Direct Subsidy Scheme (DSS) boys school using English as the medium of instruction. As a collaborative school, two Secondary classes were arranged to participate in this Project; 3 students of one class were of higher ability, while 35 students of another of average ability. The two classes were taught by different teachers of comparable teaching experiences and academic background. This paper reports this school-based curriculum experiences with emphasis on: How could Backward Design Approach be applied in school-based curriculum planning to develop students science process skills? How could assessment for learning be integrated into learning and teaching with the aid of double-digit coding system? How could Backward Design Approach affect students achievements in their learning? Curriculum Planning using Backward Design Approach In Hong Kong, junior science subject teaching is guided by the Syllabus for Secondary School Science (Secondary -3) (Curriculum Development Council, 998). This Syllabus provides a framework and topics to facilitate teachers to identify the learning and teaching priorities. In order to achieve the learning objectives, the Syllabus advises teachers to sequence the topics, i.e. drawing up schemes of work and assessment in a manner commensurate with the needs, interests and abilities of their students (CDC, 998, p.). However, many schemes of work in schools are Hong Kong Science Teachers Journal 04 Volume 30 香 港 數 理 教 育 學 會 會 刊 04 年 總 第 30 期

33 Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study designed by first choosing textbooks and then sequencing topics and selecting favourite activities. At the end of each teaching unit, teachers will design assessment tasks according to what they have taught. In contrast to this traditional curriculum planning, Wiggins & McTighe (005) argued that effective curriculum planning should start with the identification of desired learning outcomes. Like planning a trip, the destination should be determined first. The road map and itinerary are the tools only to help the travellers to arrive at the desired destination. Such idea starting from the end point is similar to what have Ralph W. Tyler (949) set down in the statement of educational objectives as follows: Educational objectives become the criteria by which materials are selected, content is outlined, instructional procedures are developed, and tests and examinations are prepared. (p.) The purpose of a statement of objectives is to indicate the kinds of changes in the student to be brought about so that instructional activities can be planned and developed in a way likely to attain these objectives. (p.45) The main idea in Backward Design Approach curriculum planning is to teach towards the end point or learning goals. This approach is a method of designing curriculum by setting learning goals before determining the teaching strategies and forms of assessment. Thus it can ensure the contents taught to be more focused and well organized. In developing the assessment tools, teachers are able to focus on addressing what the students need to learn and what evidences be collected. Backward Design Approach calls for us to operationalize the learning objectives in terms of assessment evidence as we begin to plan a teaching unit. The choice of assessment evidences not only helps teachers clarify the learning/teaching objectives but also leads students to better understand their learning purposes. In order to generate greater coherence among desired learning outcomes, key performances, learning and teaching experiences, the curriculum planning sequence involves the following Figure : Backward Design Approach three stages.. Identify the results desired. Determine acceptable levels of evidences to support that the desired results have occurred 3. Plan learning activities and instructions to help students arrive at the desired results

34 Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study Curriculum Planning for Science Process Skills Development Investigation is the central theme of the Science Syllabus (Secondary-3) framework (see CDC, 998, p.-7). A list of science process skills with explanatory notes, such as observation, classification, data interpretation and using control variables are recommended for teachers in planning their science lessons (see CDC, 998, 4). Participating in the Project, the science teachers of Tak Sun Secondary School came together in July and August 03 to plan the Secondary school-based science curriculum. As advised by HKASME consultants, the science teaches agreed to plan and develop a teaching unit in four months using Backward Design Approach. Stage : Identify desired results The teachers of Tak Sun Secondary School agreed that science process skills are the powerful tools for students to investigate the world around them and to construct relevant science concepts. Students should be equipped with these skills to continue their studies in both science and sciencerelated disciplines. In order to bridge the gap between junior science curriculum and senior science curriculum, the teachers agreed unanimously that in designing the 4-month teaching unit (hereafter the Unit), Backward Design Approach should be employed to develop students science process skills. In the meetings to design the Unit, the formulation of desirable learning outcomes related to science process skills for Secondary students within four months became the top agenda item. Considering students strengths and weaknesses, we determined to enhance students abilities in basic quantitative treatment of scientific investigation. After thorough discussions, the desirable learning outcomes in the Unit were identified as follows: Data Tabulation: to record data in table form Graphical Representation: to communicate data in graphs Inferring: to infer and explain data in written form Stage : Determine acceptable evidence In order to collect informative evidences to show whether students could understand the desired learning outcomes, we exchanged ideas to design proper assessment tools for students to demonstrate their abilities of the quantitative treatment of the data collected in their investigation activities. Obviously, in this case objective tests (with multiple-choice and true/false) are not suitable because they rarely require the application of skills and concepts to demonstrate students understanding. Instead, structured questions with free responses items could serve both achievement and diagnostic aspects. On the basis of the desirable learning outcomes identified, structured questions with varying scenarios were designed to illustrate how science process skills could be assessed: Construct a table to record the results of the investigation. 3

35 Developing Students Science Process Skills through Curriculum Planning with Backward Design Approach A Hong Kong School Case Study 3 Use a graph to represent the results. Draw up the relevant conclusion(s) It is worth noticing that the early planned assessments may have negative impact on learning if teachers tend to ignore others which do not contribute directly to passing the test (Vernon, 95). However, the planned assessments will be positive if they direct teachers attention to the learning goals and the content of test items, acting as powerful curricular magnets (Popham, 987). Stage 3 : Plan learning experiences and instruction We believed that an effective way to develop students science process skills should be integrated into the content knowledge. In this way, the students learning experiences would be richer and more meaningful. In the curriculum planning meetings, we decided to implement the Unit between September and December, 03. The science topics taught in the first semester of Secondary included Living Things and Air and Making Use of Electricity. Thus, we developed several learning tasks relating to these two topics to provide students with experiences that could develop their abilities of basic quantitative treatment of scientific data. These tasks engaged students in the investigation activities encouragingly so that they could gain deeper levels of understanding of the concepts such as energy stored in foods, photosynthesis and electric current. The Unit consisting of four learning tasks to develop students science process skills in the two science topics taught is shown in the table below: Science Topics Learning tasks Related Science Process Skills Living Things Analysing nutrition information Data tabulation and Air Observing the reaction of magnesium with hydrogen Observation Data tabulation Finding the relationship of light intensity and the rate of photosynthesis. Observation Data tabulation Graphical Representation Making Use of Electricity Measuring electric current by changing the number of cells Inferring Measuring Data tabulation Inferring Table : Backward Design Approach Teaching Unit of Four Learning Tasks Linking Assessment with Student Learning Using Backward Design Approach, we could firmly link assessment with student learning and teaching experiences. Prof. Hattie reviewed over 50,000 studies relating to the factors influencing achievement in school-aged students. In his book Visible Learning, he reported that timely feedback was the most powerful strategies to improve student learning (Hattie, 009). In order to provide meaningful feedback, assessment tools and check-marking methods not only provided 4