Microsoft Word - 08qi-sol.doc

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft Word - 08qi-sol.doc"

应妥滕
5 years ago
Views:

1 注意 : 允許學生個人非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答可直接下載而不須申請重版系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individual students, nonprofit libraries, or schools are permitted to make fair use of the papers and its solutions. Republication, systematic copying, or multiple reproduction of any part of this material is permitted only under license from the Chiuchang Mathematics Foundation. Requests for such permission should be made by ing Mr. Wen-Hsien SUN ccmp@seed.net.tw

2 中級卷 (9-10 年級 ) =594 答案 :(E). 因已知 =1.944, 故答案應為調整的小數點位置因所求乘式裡的數皆為整數且沒有 10 的倍數, 故答案為如圖, 可知三角形的兩個內角為 7 與 73 因外角 x 為兩個遠內角之和, 故 x=7+73= 答案 :(A) 4. ( 同初級卷第 6 題高級卷第 4 題 ) = 8 = 8 8= ( 同初級卷第 9 題 ) 可組成之最大偶數為 98756, 故十位數為 5 答案 :(A) 6. 方法一令這四個數為 x x+ x+4 x+6 則可得 x+x++x+4+x+6=4x+1=48, 即 x=9 因此最大數為 9+6=15 方法二因四數平均為 1, 故中間兩項奇數為 11 與 13 而另兩個奇數分別為 9 與 15, 故最大數為 ( 同初級卷第 11 題 ) 令寬為 x cm, 故長為 x cm 則有 x x=7, 即 x=6 因此周長為 =36cm x x 8. 百分比為 = y 1 y 答案 :(E) 9. ( 同初級卷第 13 題 ) LST= MSQ=0, 故 LTS = PTU=100 因此 PUT= NUV=0 因 x 為 VUN 的一個外角, 故 x =60 +0 =80

3 ( 同高級卷第 7 題 ) 將 1000 的數值寫下, 首位數為 1 且有個 0, 故共有 =605 位答案 :(C) 11. 在第一輪中, 小恩有二鏢射中 Q 環與一鏢射中 R 環, 共得 10 分 ; 在第二輪中, 小恩有二鏢射中 P 圓與一鏢射中 R 環, 共得分將這二輪合併來看, 小恩一共有二鏢射中 P 圓二鏢射中 Q 環與二鏢射中 R 環, 即每個區域都射中二標, 且共得 10+=3 分, 因此每個區域都射中一鏢的分數為 3 =16 分 1. ( 同初級卷第 16 題 ) 奇的一位數共有及 9 因此兩個奇的一位數相乘所得之積可為 : 1 1=1 1 3=3 1 5=5 1 7=7 1 9=3 3=9 3 5=15 3 7=1 3 9=7 5 5=5 5 7=35 5 9=45 7 7=49 7 9=63 9 9=81 共有 14 個數答案 :(C) 13. 由畢氏定理可知 XY = 0 XC = 6 XD = 17 XB = 5 YA = 18 以及 YB = 5 故 B 點與 X 點 Y 點可構成等腰三角形 XBY 14. 觀察下表,V 表示一枚擲出的數比另一枚擲出的數大而 X 表示兩枚骰子點數相等 : XXVVVV 1 XXVVVV VVXVVV 3 VVVXVV 5 VVVVXV 8 VVVVVX

4 故在 36 個結果中有 8 個情況是一枚擲出的數比另一枚擲出的數大, 因此其 8 7 機率為 = 36 9 答案 :(E) 15. ( 同初級卷第 4 題高級卷第 10 題 ) 水的體積為 = cm 3, 而實心長方體金屬的體積為 =480000cm 3 因此若將這個實心長方體金屬全部沉入魚缸內, 使得它的 80 cm 100 cm 這一個表面貼緊魚缸的底部時, 水深為 = 74cm 因這個實心長方體金 0000 屬高為 60cm, 故這個金屬長方體正上方的水深為 14cm 16. ( 同高級卷第 13 題 ) 將 008 做質因數分解可得 008= 3 51, 因此乘以 008 後會成為一個完全平方數的最小正整數是 51= 如圖, 當水杯傾斜成與鉛直線夾 45 角且水面恰好蓋住水杯的底部時, 水杯的一側側面將有 8 cm 長的水量, 此即表示此時的水量為將水杯立起來時水 1 深為 8 cm 之水量的一半, 故此時水杯內有 π = π cm3 18. ( 同初級卷第題 ) 設該數為 x 則由條件知 x+1 可被 3 及 5 整除, 換言之,x+1 為 30 的倍數而 30 的倍數中, 小於 008 的最大數為 1980, 故該數為 1979, 因此其數碼和為 6 答案 :(A)

5 19. 令圓 O 的半徑為 r, 則 Q 四邊形 PQRS 的面積為 1 4 r = r U 四邊形 UVWT 的面積為 4 r = r, P V R T O 1 3 因此陰影部分的面積為 r r = r W 而圓 O 的面積為 π r, S 3 r 3 故陰影部分的面積是圓面積的 = π r π 答案 :(C) 0. 小於 50 的質數為 : 及 47 因為任二個奇質數之和必為偶數也因此不可能為質數, 故 p q r 其中之一必為偶數, 即為因為 p+q=r, 所以是 p q 其中之一, 故 r 與 r- 都必須是小於 50 的質數, 因此 r 可能為或 43, 共有 6 種可能性 1. ( 同初級卷第 3 題高級卷第 18 題 ) 因為集雨的水量與集雨的面積成正比, 所以農舍屋頂的集雨量 : 穀倉屋頂的集雨量 =00:80=5: 因此若要收集儘可能多的雨水, 兩個蓄水池的剩餘集水空間也要是 5: 此時因農舍蓄水池仍有 =65 KL 的剩餘集水空間穀倉蓄水池仍有 =1 KL 的剩餘集水空間, 而 >, 故要從穀倉蓄水池抽取水至農 1 舍蓄水池假設從穀倉蓄水池抽取 x KL 的水至農舍蓄水池, 則農舍蓄水池有 (65-x) KL 的剩餘集水空間穀倉蓄水池有 (1+x) KL 的剩餘集水空間, 則可得 65 x 5 = 1 + x 130 x = x x = 10 因此要從穀倉蓄水池抽取 10 KL 的水至農舍蓄水池. 從 0 至 9 的平方依序為而 (10b+a) =100b +0ab+a, 因此當一個數平方後的十位數是 7 時, 一定是該數的個位數平方後有進位且進位的數為奇數, 即該數的個位數為 4 或 6, 故該數平方後的個位數必為 6 因 4 =576, 所以題目所要求的數存在

6 3. 先考慮和不超過 008 的情況, 則這些數中最小的數之最大可能值必發生在這 5 個數為連續的正整數時令這 5 個連續正整數中最小的數為 m, 故有 m+(m+1)+(m+)+ +(m+4) 008 5m , m 68.3 故 m 的最大可能值為 68 若取 m=68, 此時這 5 個連續正整數之總和為 =000 因此要求總和為 008 時, 可得 = 已知 QSX 之面積為 1 平方單位, 故 QTX 之面積也是 1 平方單位且因此 TPX 之面積為平方單位 ( 因兩三角形的高一樣而底之比為 1:), 所以 QPS 之面積為 4 平方單位因為 SPR 之面積為 QPS 之面積的倍 ( 因兩三角形的高一樣而底之比為 1:), 所以 SPR 之面積為 8 平方單位, 故 PQR 之面積為 4+8 =1 平方單位 5. 因 3 必整除 6n, 故由 n 的各位數碼之和等於 6n 的各位數碼之和可知 n 必為 3 的倍數令 n=3k, 則 6n=18k, 因此 6n 為 9 的倍數, 再由 n 的各位數碼之和等於 6n 的各位數碼之和可知 n 必為 9 的倍數右表為逐一檢驗兩位數中為 9 的倍數是否滿足題意因此共有 8 個數 6. 利用畢氏定理可以得知 OQ = 5 cm 及 OR = 13cm 令 RS = xcm SO = y cm, 則再利用畢氏定理可得知 y = x + 13, 即 ( y x)( y+ x) = 169 因 x + y = 188, 故 x + y = 169, 所以可知 y x= 1 因此可以算出 y=85 x=84 因五邊形 OPQRS 的面積即為 OPQ 之面積 OQR 之面積與 ORS 之面積總和, 所以五邊形 OPQRS 的面積 = =58 cm n 6n 數碼和是否相等是 7 16 是是是是否 7 43 是否是是答案 :58

7 7. ( 同初級卷第 8 題 ) 方法一先考慮長方體底面上的整數格點此時共有 7 4=8 個格點再來考慮由這些格點所構成的相異矩形 ( 含正方形 ) 數量首先, 要先從長邊的 7 個點中選出個點 : 當選定左邊數來第一個點為其中一點時有 6 種選法當選定左邊數來第二個點為其中一點時有 5 種選法當選定左邊數來第三個點為其中一點時有 4 種選法當選定左邊數來第四個點為其中一點時有 3 種選法當選定左邊數來第五個點為其中一點時有種選法當選定左邊數來第六個點為其中一點時有 1 種選法, 合計共有 =1 種選法再來要從短邊的 4 個點中選出個點, 利用相同想法可知當選定由上數來第一個點為其中一點時有 3 種選法當選定由上數來第二個點為其中一點時有種選法當選定由上數來第三個點為其中一點時有 1 種選法, 合計共有 3++1=6 種選法因此由這些格點所構成的相異矩形數為 1 6=16 個現在, 考慮整個長方體從頂面到底面的四層平面, 其中每個平面的高度都是整數選出二層作為所求長方體之頂面與底面, 利用相同想法可知當選定頂面為其中一層時有 3 種選法當選定由頂面數來第二層為其中一層時有種選法當選定由頂面數來第三個層為其中一層時有 1 種選法, 合計共有 3++1 =6 種選法因此所要求的長方體有 16 6=756 個方法二在長方體中共有個格點每一個所求之長方體都可由這些格點中的相異兩點所決定 ( 作為所求長方體之一條對角線上的兩點 ) 因此其中一點有中選法而另一點則有種選法 ( 因為兩點不能在同一平面上 ), 即有種方法選出相異兩點但因這樣會將每一個形成的長方體重複算 8 次 ( 因長方體對角線有 4 條, 且起點與終點可交換 ) 因此共有 = 756 個所要 8 求的長方體答案 : 本題可看成求出最大的 i 值使得 10 i 整除 008!, 而這又等價於在找出最大的 k 值使得 k 整除 008! 以及最大的 h 值使得 5 h 整除 008! 後取出這兩數中的較小值, 故所求之數就是最大的 h 值使得 5 h 整除 008!

8 在每一個 5 的倍數中都可以提出一個因數 5, 每一個 5 =5 的倍數中可再多提出一個因數 5, 每一個 5 3 =15 的倍數中可再多提出一個因數 5, 每一個 5 4 =65 的倍數中可再多提出一個因數 5; 而因 5 5 =315>008, 所以只須考慮到 5 4 =65 即可故 008! 之末尾連續的 0 的個數 =(5 的倍數中小於 008 的數目 )+ (5 的倍數中小於 008 的數目 ) +(15 的倍數中小於 008 的數目 )+ (65 的倍數中小於 008 的數目 ) = =500 答案 : ( 同初級卷第 9 題高級卷第 7 題 ) 從給定項數時, 所能找到之和的最大數來看起 1 項時 :1=1; 項時 :=1+1; 3 項時 :4=1++1; 4 項時 :6=1+++1; 5 項時 :9= ; 6 項時 :1= 可以發現項數分別為奇數與偶數時有不同的公式 : 若為 n 項時, 最大和為 n(n+1); 若為 n+1 項時, 最大和為 (n+1) 因 44 45=1980 及 45 45=05, 故 88 項不可能達到 008 而 89 項之和可能為 008 因 88 項和的最大值為 1980= , 比 008 少 8, 故可在該式中的兩個 8 中任選一個, 在其後再加入一個 8 即為項數為 89 項且和為 008 因此若不使用一些沒有必要的項時此數列需 89 項答案 : 方法一從 15 邊形中選出一個點並將通過該點的對角線全部繪出, 則可將這個 15 邊形切割為數個三角形此時因圓的圓心落在 15 邊形的內部, 故圓心至少會落在一個三角形內或其邊界上 ; 因圓心為這些三角形的外心, 故至少有一個三角形不是鈍角三角形, 且這個三角形上這個被選出的 15 邊形頂點其對邊為 15 邊形的一條邊所以對於 15 邊形的每一個頂點而言, 都可以找到一個這樣的三角形使圓心落在這個三角形內或其邊界上如果將這 15 個頂點分別塗上 15 種不同的顏色, 接著將如上述與頂點對應的三角形塗上相同顏色, 則很容易可以發現不會有三角形必須會塗有三種顏色 ( 否則該三角形的三個邊都會是 15 邊形的邊 ), 且只會有少於 3 個的三角形塗有二種顏色 ( 因為任三個以 15 邊形上的兩個邊為邊的三角形裡, 會有兩個這樣的三角形沒有共同點 ) 所以至少有 15-=13 個三角形不是鈍角三角形, 即鈍角三角形最多為 13 = 44 個若要製造這樣的 15 邊形, 只 6

9 須將圓周畫出 5 的等分點並從 1 開始編號到 5, 則由 1 號點至 15 號點所構成的 15 邊形即為所求方法二一個三角形若是鈍角三角形, 則其三個頂點都落在該三角形的外接圓裡一個半圓上, 且不會有二個點落在該半圓的端點因此要算出最多有多少個鈍角三角形, 就要讓 15 邊形的頂點落在一個半圓內是儘可能的多如圖, 因要求圓心落在 15 邊形內, 故將 15 邊形的頂點依序編號後, 將 1 號與 15 號置於通過另一點的直徑的下方, 而其他點置於這兩條直徑的上方則從 1 號至 14 號的頂點裡任取 3 點所形成的三角形都是鈍角三角形, 共有 = = 個三角形 1 3 而從號至 14 號的頂點裡任取點與 15 號所形成的三角形也都是鈍角三角形, 共有 = = 78 個三角形因此至多有 =44 個鈍角三角形答案 :44

2011城市杯初試ans

2011城市杯初試ans 注意 : 允許學生個人非營利性的圖書館或公立學校合理使用本基金會網站所提供之各項試題及其解答可直接下載而不須申請重版系統地複製或大量重製這些資料的任何部分, 必須獲得財團法人臺北市九章數學教育基金會的授權許可申請此項授權請電郵 ccmp@seed.net.tw Notice: Individual students, nonprofit libraries, or schools are