二元一次聯立方程式二元一次聯立方程式一二元一次聯立方程式 : 當用兩個未知數, 列出兩個二元一次方程式來表示情境中的數量關係時, 我們就把這兩個方程式並列時, 且稱並列在一起的方程式為二元一次聯立方程式, 或二元一 a1x + b1 y = c 1 次方程組如 : a x + b y = c

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夜且段
5 years ago
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1 一 : 當用兩個未知數, 列出兩個二元一次方程式來表示情境中的數量關係時, 我們就把這兩個方程式並列時, 且稱並列在一起的方程式為, 或二元一 ax + b y = c 次方程組如 : a x + b y = c 二解 :. 用代入消去法解 : 範例 : 解下列 : 3 x +2 y =3 x -3 y =-3 解 : 3 x +2 y =3 () x -3 y =-3 (2) 由 (2) 可得 x =-3+3 y 將其代入 (), 我們可得 : 3(-3+3 y )+2 y =3-9+9 y +2 y =3 y =3+9 y =2 將 y =2 代入 (2), 我們可得 : x -6=-3 x =3 故 x =3, y =2 為二元聯立方程組的解 2. 用加減消去法解 : 說明 : 將二元一次聯立方程組的兩式分別乘除幾倍, 兩式相加或相減, 使兩個未知數變成一個未知數利用解一元一次方程式的解法先解出一個未知數, 然後再解第二個未知數範例 : 解下列各 : 解 : 3 x +2 y =3 x -3 y =-3 2 將乘 3, 將 2 乘 2, 可得 : 9 x +6 y = x -6 y = x +2 y =3 x -3 y =-3 74

2 三解應用問題 : 將 3 相加 4, 可得 : (9 x +6 y )+(2 x -6 y )= x +2 x +6 y -6 y =33 x =33 x =3 將 x =3 代入, 我們可得 :9+2 y =3 y =2 故 x =3, y =2 為二元聯立方程組的解利用解決生活情境中的問題, 解題步驟為 :. 認清題意設定兩個適當的未知數 2. 依題意列出 3. 利用代入消去法或加減消去法解範例 : 某人行 35 公里的路, 第一段每小時行 4 公里, 第二段每小時行 5 公里, 若以每小時行 4 公里的速度改為每小時行 5 公里, 而每小時行 5 公里的速度改為每小時行 4 公里, 則可比原路多行 2 公里, 問原路程共需費多少小時? 解 : 設第一段時間為 x, 第二段時間為 y 4 x +5 y =35 5 x +4 y =37 2 由 + 2 可得 : 由可得 : 9x + 9y = 72 x + y = 8 3 y =3 代入 3 得 : x =5 所以第一段時間為 5 小時, 第二段時間為 3 小時, 原路程共費時 8 小時答 : 原路程共需費 8 小時 75

3 . 某商店促銷活動, 買 3 包餅乾和 2 個麵包, 僅需 05 元若小芬至此商店購買 6 包餅乾和 4 個麵包, 付 500 元鈔票一張, 應可找回多少元? 90 年第一次基測 (A) 290 (B) 395 (C) 05 (D) 20 重點 : 兩個未知數的列式設餅乾每包 x 元麵包每個 y 元則原題意為 3 x + 2 y = 05, 所以 6 x + 4 y = 05 2 = = 290 ( 元 ) 答案選 (A) 2. 守守到郵局, 買了 5 元與 2 元的兩種郵票共 29 張, 花了 250 元 ; 若 5 元郵票買 x 張, 2 元郵票買 y 張, 下列哪一個聯立方程式是正確的? 90 年第一次基測 x + y = 250 (A) 5 x + 2 y = 29 x + y = 250 (C) 2 x + 5 y = 29 x + y = 29 (B) 5 x + 2 y = 250 x + y = 29 (D) 2 x + 5 y = 250 重點 : 依題意列答案選 (B) 3. 已知每塊餅乾的重量都相同, 每顆糖果的重量都相同 90 年第一次基測守守拿了一個等臂天平, 測量餅乾與糖果的重量, 得到結果如下 : 第一次 : 左邊秤盤放二塊餅乾, 右邊秤盤放三顆糖果 ; 結果天平兩臂平衡, 如圖 ( 五 ) 第二次 : 左邊秤盤放 0 公克砝碼, 右邊秤盤放一塊餅乾和一顆糖果 : 結果天平兩臂平衡, 如圖 ( 六 ) 第三次 : 左邊秤盤放一顆糖果, 右邊秤盤放一塊餅乾 ; 下列哪一個方法可使天平兩臂再度平衡? 餅乾 0 公克糖果圖 ( 五 ) 圖 ( 六 ) (A) 在糖果的秤盤上加 2 公克砝碼 (B) 在餅乾的秤盤上加 2 公克砝碼 76

4 (C) 在糖果的秤盤上加 5 公克砝碼 (D) 在餅乾的秤盤上加 5 公克砝碼重點 : 的列式與求解設每塊餅乾為 x 公克, 每顆糖果為 y 公克, 則原題意為 2 x = 3 y x + y = 0 2 x = 3 y 2 x + 2 y = 20 3 y + 2 y = 20 y = 4 代入得 x = y ( 糖果 4 公克 ) = x ( 餅乾 6 公克 ) 答案選 (A) 4 x + 3 y = 0 4. 已知的解為 x = a, y = b, 則 a + b =? 3 x y = (A) 3 (B) (C) 9 5 (D) 年第二次基測重點 : 解 4 x + 3 y = 0 將原題改為 9 x 3 y = 3 故 a + b = x + y = + 2 = 3 答案選 (A) 再將兩式相加得 3 x = 3 x = 代入可得 y = 2 5. 羽毛球的售價分成兩種 : 比賽用球每打 300 元, 練習用球每打 250 元創創共買了 0 打羽毛球, 結帳時店員將兩種價目看反了, 結果使得創創多付了 00 元設比賽用球買 x 打, 練習用球買 y 打, 則下列哪一個二元一次方程組可用來表示題目中的數量關係? (A) (C) x + y = x y = 300 x + y = x y = 300 y x 00 重點 : 依題意列二元一次方程式 (B) (D) x + y = 0 似乎不用討論, 因為 4 個答案都有依題意 : 正確的價錢 +00 = 錯誤的價錢 x + y = x y = 2600 x + y = x y = 300 y x 年第二次基測 300 x y + 00 = 250 x y 300 x y = 300 y x 00 77

5 6. 小健全班在週末至墾丁與鵝鸞鼻郊遊,38 人共租了 6 輛協力車同學協議每輛只能兩人共騎或三人共騎請問在這 6 輛協力車中, 由兩人共騎的有幾輛? (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) 2 9 年第一次基測重點 : 的列式與求解設兩人共騎有 x 輛 ; 三人共騎有 y 輛 x + y = 6 2 x + 3 y = 38 ( ) 由 ( ) 2 y = 6 代入 ( ) x = 0 7. 超快網路咖啡店, 提供順暢的上網服務, 其收費標準如下 : () 基本費用 : 每次 50 元 ( 可使用 t 分鐘 ) (2) 超過 t 分鐘時 : 超過的部分每分鐘收費 s 元 ( 不足分鐘以分鐘計 ) 小賢第一次至此店上網 20 分鐘, 花了 30 元 ; 第二次到同一家店上網 50 分鐘, 花了 60 元請問 t 為多少? 9 年第一次基測 (A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40 重點 : 的列式與求解 50 + ( 20 t ) s = 30 由題意 : 50 + ( 50 t ) s = t 由 ( ) 得 : 50 t = 8 ( 20 t ) s = 80 ( 50 t ) s = t = 320 t 3 t = 20 t = 40 ( ) x + y = 已知的解為 x = a, y = b, 則 a b =? x + y = 7 5 (A) (B) (C) 3 (D) 6 9 年第二次基測重點 : 解 78

6 x + y = 35 4 x + y = 7 5 ( ) 由 ( ) 4 與 5 可得 4 x + y = 36 x + 5 y = 85 又 ( 4 ) 4 ( 3 ) 可得 9 y = 304 y = 6 x = 5 = a 代回 ( ) 得 x = 5 a b = 5 6 = y = 6 = b 答案選 (B) ( 3 ) ( 4 ) 9. 表 ( 一 ) 是創創和守守比賽投籃球的紀錄表若以命中率 ( 投進球數與投球次數的比值 ) 來比較投球成績的好壞, 得知他們的成績一樣好, 則下列 x 與 y 的關係哪一項是錯誤的? (A) x y = 0 (B) x + y = 45 (C) x : y = 20 : 0 (D) x : 45 = 20 : 30 重點 : 未知數的列式比與比值 x + y = 45 依題意 : 20 x = ( ) (A) 的選項 : x y = 5 0 (B) 的選項 : x + y = 45 2 (C) 的選項 : x : y = 30 : 5 = 20 : 0 (D) 的選項 : x : 45 = 20 : 30 答案選 (A) 學生創創守守由得 x = 30 代回 ( ) 得 y = 5 表 ( 一 ) 投進球數沒投進投球球數次數 x y 45 9 年第二次基測 0. 小玲的錢包內有百元鈔票 x 張, 拾元硬幣 y 個, 請問錢包內有多少元? (A) x + y (B) 0 x + y (C) 00 x + 0 y (D) 0 ( x + y ) 重點 : 未知數的列式依題意, 答案為 00 x + 0 y ( 元 ) 92 年第一次基測 79

7 . 求聯立方程式 (A) x = 2, x + 2 y = 的解為何? 3 x + 2 y = 5 3 y = (B) x = 3, y = 2 92 年第二次基測 (C) x =, y = (D) x = 3, y = 2 重點 : 解將兩式相減得 2 x = 6 所以 x = 3 代入得 y = 2 2. 創創家有 0 人守守家有 8 人, 兩家人一同看表演, 該場表演的票價如圖票價 ( 十六 ) 所示若創創家的總票價比守守全票 60 元 / 張家少 60 元, 則創創家的半票比守守家半票 30 元 / 張的半票多幾張? 93 年第一次基測 (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 重點 : 的列式與求解圖 ( 十六 ) 設創創家的半票有 x 張, 守守家的半票有 y 張 ( 0 x ) x = ( 8 y ) y x + 30 x = y + 30 y x + 30 y = 80 x y = 6 3. x =,y = 為下列哪一個的解? 93 年第二次基測 (A) 9x y = 30 2x + 4y = 25 (B) 37x + 7y = 20 6x 5y = 3 5x + 7y = 32 29x 8y = (C) (D) 6x y = 27 23x + 7y = 40 重點 : 代入解 (A) 9 = 8 30 (B) = = 32 (C) 6 = = (D) = 40 80

8 4. 已知花生糖顆 2 元, 梅子糖 2 顆元若小詩買花生糖及梅子糖共 60 顆, 花了 60 元, 則此兩種糖果的數量關係為何? 93 年第二次基測 (A) 花生和梅子糖一樣多 (B) 花生糖比梅子糖多 30 顆 (C) 花生糖比梅子糖少 20 顆重點 : 的列式與求解 (D) 花生糖比梅子糖少 30 顆設花生糖買 x 顆, 梅子糖買 y 顆 2 4 x + y = 20 ( 3 ) x + y = 60 2 x + y = 60 2 ( 3 ) ( ) 3 x = 60 x = 20 代入 ( ) 得 y = 40 花生糖比梅子糖少 20 顆 ( ) 5. 圖 ( 十二 ) 是某電信公司的通話費計算方式 : 300 秒以內只繳基本費, 超過 300 秒之後的費用, 與通話時間成線型函數關係則基本費費用 50 元 36 是多少元? 93 年第二次基測 (A) 26 (B) 28 (C) 30 (D) 重點 : 二元一次的列式求解圖 ( 十二 ) 通話時間 ( 秒 ) 假設此線性函數為 y = ax + b, 將 ( 500, 36 ), ( 200, 50 ) 36 = 500 a + b 50 = 200 a + b 700 a = 4 a = b = = 26, 可得 300 秒為基準的關係式為 y = x 基本費 = = 32 ( 元 ) 某人帶了 400 元到市場買水果, 如果他買 3 個蘋果 5 個水梨, 則剩下 30 元 ; 如果他買 5 個蘋果 4 個水梨, 則剛好把錢用完設蘋果每個 x 元, 水梨每個 y 元, 則依題意可列出下列哪一組聯立方程式? 94 年第一次基測 8

9 (A) 5 x + 3 y = 430 (B) 3 x + 5 y = 430 (C) 5 x + 3 y = 370 4x + 5y = 400 5x + 4y = 400 4x + 5y = 400 重點 : 認清題意, 且能按題意列出依題意, 剩下 30 元, 則 3 x + 5 y = = 370 ( 元 ) 剛好用完, 則 5 x + 4 y = 400 ( 元 ) (D) 3 x + 5 y = 370 5x + 4y = 如附圖, 將一白繩的與一紅繩的重疊並以膠帶黏合, 形成一條長為 238 公分的繩子 8 3 求未黏合前, 兩繩長度相差多少公分? 94 年第一次基測 (A) 4 (B) 7 (C) 28 (D) 34 重點 : 能按題意列出, 並求出其解 ( 考代入消去法, 分數運算 ) 設白繩長 x 公分, 紅繩長 y 公分 3 x = y ( ) x + y = 由 ( ) 得 y = x ( 3 ) 代入 (2) 得 x x = x = 238 所以 x = 36 代入 ( 3 ) 得 y = 53, y x = = 7( 公分 ) 答案選 (B) 白繩重疊黏合處紅繩 8. 某書店的文具價格為 : 鉛筆一支 7 元原子筆一支 5 元橡皮擦一個 20 元若有 5 位小朋友, 每人各買一件文具, 共花了 64 元, 則其中有幾人買原子筆? (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 94 年第二次基測重點 : 設未知數列出方程式, 解聯立方程式, 並清楚二元一次方程式解的意義設有 x 人買鉛筆, y 人買原子筆, z 人買橡皮擦 x + y + z = 5 7 x + 5 y + 20 z = 64 ( ), 由 20 ( ) 可得 3 x + 5 y = 36 因為 x, y, z 皆為整數, 所以 x = 2, y = 2 z = 82

10 9. 大華小明兩兄弟與父母量體重, 已知母親和大華共 0 公斤, 父親和小明共 20 公斤若大華比小明重 3 公斤, 則父親比母親重多少公斤? 94 年第二次基測 (A) 7 (B) 0 (C) 3 (D) 7 重點 : 清楚二元一次方程式解的意義設母親體重 y 公斤, 則大華體重 ( 0 y ) 公斤, 設父親體重 x 公斤, 則小明體重 ( 20 x ) 公斤又大華比小明重 3 公斤, ( 0 y ) ( 20 x ) = 3 0 y 20 + x = 3 x y = 哥哥與弟弟各有數張紀念卡已知弟弟給哥哥 0 張後, 哥哥的張數就是弟弟的 2 倍 ; 若哥哥給弟弟 0 張, 兩人的張數就一樣多設哥哥的張數為 x 張, 弟弟的張數為 y 張, 依題意下列列式何者正確? 94 年第二次基測 ( ) 2 y 0 = x (A) y = x 0 y 0 = 2x y 0 = 2 x (B) (C) (D) y = x 0 x 0 = y + 0 重點 : 認清題意, 且能按題意列出 ( y ) 2 0 = x + 0 x 0 = y + 0 設哥哥的張數為 x 張, 弟弟的張數為 y 張依題意 : 弟弟給哥哥 0 張, 哥哥是弟弟的 2 倍 2 ( y 0 ) = x + 0 又哥哥給弟弟 0 張, 兩人張數一樣多 x 0 = y 若 3 x 2 y 2x 4y x 2 y (A) 0 (B) (C) 5 = 0, 則 x y 5 0 (D) =? 94 年第二次基測重點 : 二元一次方程式的化簡 3x 2y + 2( 2x 4y) 3( x 2 y ) 5 因為 = 0 6 3x 2y + 4x 8y 3x + 6 y 5 = 0 4 x 4 y = 所以 x y = =

11 3x 2y = 若的解為 x = a, y = b, 則 a + b =? 4x + 3y = 29 (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 0 95 年第二次基測重點 : 解 3x 2y = 9 4x + 3y = 29 9x 6y = 27 L () 8x + 6y = 58 L (2), ()+(2) :7x = 85 x = 5 將 x = 5 代回 (2) 可得 y = 3, 因此 a = 5, b = 3 a + b = = 8 答案選 (B) 23. 表 ( 一 ) 為小美採買火鍋料的收據, 但因汙損導致幾個重要數據無法辨識根據表 ( 一 ) 判斷粉絲與茼蒿的數量差異為何? 95 年第二次基測 (A) 粉絲比茼蒿多 2 包 (B) 茼蒿比粉絲多 2 包 (C) 粉絲比茼蒿多 4 包 (D) 茼蒿比粉絲多 4 包重點 : 設未知數, 解把不知道 ( 污損 ) 設成未知數設粉絲有 x 包, 茼蒿有 y 包, x + y = 6 0 = 6 雞蛋金額為 7 2 = 34 ( 元 ) 39x + 30y = = 89, 3x + 0y = 63 x + y = 6 L () 3x + 0y = 63 L (2) 由 () 0 (2) : x = y = 6 = 5 由此可知 : 茼蒿比粉絲多 4 包品名綜合火鍋料粉絲火鍋肉片金針菇茼蒿雞蛋售價 ( 元 / 包 ) 數量 ( 包 ) 金額 ( 元 ) 表 ( 一 ) 購買包數 6 應付總額 740 x + y = 若的解為 x = a, y = b, 則 a b 之值為何? 3 x 2 y = 4 7 (A) (B) 3 (C) (D) 96 年第一次基測 5 5 重點 : x + y = 3 3 x 2 y = 4 ( ), 由 ( ) 2 + 得 5 x = 0 x = 2 y = 3 2 = 84

12 a = 2, b = a b = 2 = 答案選 (A) 25. 張老闆以每顆 a 元的單價買進水蜜桃 00 顆現以每顆比單價多兩成的價格賣出 70 顆後, 再以每顆比單價低 b 元的價格將剩下的 30 顆賣出求全部水蜜桃共賣多少元?( 用 a b 表示 ) 96 年第一次基測 (A) 70 a + 30 ( a b ) (B) 70 ( + 20 % ) a + 30 b (C) 00 ( + 20 % ) a 30 ( a b ) (D) 70 ( + 20 % ) a + 30 ( a b ) 重點 : 的列式由題意可列出. 2 a 70 + ( a b ) ( + 20 % ) a + 30 ( a b ) 26. 小華和小明到同一早餐店買饅頭和米漿已知小華買了 5 個饅頭和 5 杯米漿 ; 小明買了 7 個饅頭和 3 杯米漿, 且小華花的錢比小明少 0 元關於饅頭與米漿的價錢, 下列敘述何者正確? (A) 2 個饅頭比 2 杯米漿多 0 元 (C) 2 個饅頭比 8 杯米漿多 0 元 (B) 2 個饅頭比 2 杯米漿少 0 元 (D) 2 個饅頭比 8 杯米漿少 0 元 96 年第一次基測重點 : 二元一次方程式的列式設饅頭一個 x 元, 米漿一杯 y 元由題意可列出 5 x + 5 y = ( 7 x + 3 y ) 0 2 x = 2 y + 0 答案選 (A) 27. 如圖 ( 七 ), 某社區的道路是由東西向及南北向垂直方式設計而成已知東西向相鄰兩條道路 C 之間的距離均為 a 公尺, 南北向相鄰兩條道路之間的距離均為 b 公尺若小明從 A 向東走到 B Q P, 再向北走到 B, 共走 230 公尺 ; 小華從 B 向東走到 Q, 再向北走到 C, 共走 20 公尺, 則 a+b=? 96 年第二次基測 A P N (A)80 (B)20 (C)30 (D)60 圖 ( 七 ) 85

13 重點 : 依題意可知, 小明從 A 向東走到 P, 再向北走到 B, 共走 a+3b 小華從 B 向東走到 Q, 再向北走到 C, 共走 2a+b a + 3 b = 230 () 則可列式為 2 a + b = 20 (2) 利用加減消去法, 將 2 ()-(2) 可得 : 5b=250 b=50, 將 b=50 代入 (), 得 a=80 則 a+b=80+50=30 x y x 2 y 28. 已知 x y 的關係式為 = (A)- 2 (B)- 2 (C) (D)3 x 3, 求 y =? 96 年第二次基測 2 重點 : 解二元一次方程式 x y x 2 y 3 4 x 3 = 4( x y )-3( x 2 y )= x 3 4 x -4 y -3 x +6 y = x x +2 y = x 3 2 y =-3 y =- 2 答案選 (A) ( 5 x + 2 y 2 ) + ( 4 x + 3 y ) = 0, 則 x + 5 y =? (A) 3 (B) (C) 3 (D) 7 重點 : 平方的觀念, 解 5 x + 2 y = 2 由題意可列出 : 4 x + 3 y = ( ) 5 x + 6 y = 36, 由 ( ) 3 與 2 可得 : 8 x + 6 y = 22 由 ( 3 ) ( 4 ) 可得 7 x = 4 x = 2, 代回 ( ) : 2 y = = 2 y = ( 3 ) ( 4 ) 因為 x + 5 y = = 數學競試共有 50 題試題, 每答對題 4 分, 錯一題倒扣 2 分, 不答不倒扣, 若志鈴 2 題未答, 得到 6 分, 則志鈴答對幾題? (A) 30 (B) 3 (C) 32 (D) 33 86

14 重點 : 能按題意列出, 並求出其解解 : 設答對 x 題, 答錯 y 題 x + y = 38 4 x 2 y = 6 ( ), 由 ( ) 可得 : 6 x = 92 x = 一船航行河中, 順流時速 60 公里, 逆流時速 48 公里, 則水流時速多少公里? (A) 5 (B) 5. 5 (C) 6 (D) 6. 5 重點 : 順流與逆流的意義, 按題意列出, 並求出其解設船速 x 公里, 水速 y 公里 x + y = 60 x y = 48 ( ) 由 ( ) 2 y = 2 y = 距今 5 年前父年齡是子的 4 倍,3 年後父比子的 2 倍多 2 歲, 則距今幾年後父是子的 2 倍? (A) 0 (B) 5 (C) 20 (D) 25 重點 : 能理解時間相對的觀念, 按題意列出, 並求出其解設父現年 x 歲, 子現年 y 歲 x 5 = 4 ( ( x + 3 ) y 5 ) 2 ( y + 3 ) = 2 ( ) 由 ( 3 ) ( 4 ) 可得 : 2 y = 30 y = 5 x 4 y = 5 x 2 y = 5 ( 3 ) ( 4 ) 代入 ( 4 ) : x = = 45 設距今 k 年後父是子的 2 倍 5 + k = 2 ( 5 + k ) 5 + k = k k = 5 答案選 (B) 33. 有省水及一般兩種方式的沖水馬桶, 已知每次省水方式用水量的 3 倍與一般方式用水量的 2 倍相等, 若每次省水方式用水量的 5 倍與一般方式用水量的 3 倍共用水 38 公升, 問省水方式用水量與一般方式用水量每次共用水多少公升? 87

15 (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 重點 : 能按題意列出, 並求出其解將省水方式用水量每次 x 公升, 一般方式用水量每次 y 公升 3 x = 2 y 3 x 2 y = 0 9 x 6 y = 0 ( ), 5 x + 3 y = 38 0 x + 6 y = 76 將 ( ) + 可得 9 x = 76 x = 4, 代入 ( ) : y = = 6 省水方式用水量每次 4 公升, 一般方式用水量每次 6 公升 = 0 答案選 (A) 34. 有一群雞猪總數 30, 腳數共 72, 則雞猪相差多少隻? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 20 重點 : 能按題意列出, 並求出其解 ( 雞有兩隻腳, 猪有四條腿 ) x + y = 30 ( ) 設雞有 x 隻, 猪有 y 隻 2 x + 4 y = 72 由 ( ) 2 可得 2 y = 2 y = 6, 代入 ( ) : x = 30 6 = 24 雞猪相差 24 6 = 8 ( 隻 ) 元硬幣 0 元硬幣共有 35 個, 合計 275 元, 則 0 元硬幣比 5 元硬幣個數多幾個? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 重點 : 二元一次方程式解的意義, 並求出其聯立方程式解 x + y = 35 ( ) 設 5 元 x 個,0 元 y 個, 5 x + 0 y = 275 由 ( ) 5 可得 5 y = 00 y = 20, 代入 ( ) : x = = 5 0 元硬幣比 5 元硬幣個數多 20 5 = 5 個答案選 (A) x my = 4 x = 設聯立方程式的解是, 求 m n 之值為何? nx + y = 8 y = 3 (A) (B) 0 (C) (D) 2 重點 : 二元一次方程式解的意義, 解一元一次方程式 88

16 將 x = 5, y = 3 代入得到 5 3 m = 4 m = 3 5 n + 3 = 8 n = 3 所以 m n = 3 ( 3 ) = 0 答案選 (B) 37. 龍師父對虎徒弟說 : 我在你這個年齡的時候, 你只有兩歲 ; 等你到我這年紀的時候, 我就 4 歲了試問龍師父與虎徒弟現年相差幾歲? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 重點 : 能理解時間相對的觀念, 按題意列出, 並求出其解設龍師父現年 x 歲, 虎徒弟現年是 y 歲 x = 2 ( x y ) + 2 x 2 y = 2 ( ), 4 = y + 2 ( x y ) 2 x y = 4 由 ( ) 2 可得 3 y = 45 y = 5, 代入 ( ) : x = = 28 龍師父現年 28 歲, 虎徒弟現年是 5 歲 28 5 = 3 答案選 (B) 38. 某人以 00 元鈔票一張向便利商店換得十元和五元的兩種硬幣, 若兩種硬幣總數最多可能有 a 個, 最少有 b 個, 則 a b =?( 兩種都有 ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 重點 : 理解二元一次方程式解的意義設十元硬幣有 x 個, 五元的硬幣有 y 個 0 x +5 y =00 2 x + y =20 x =, y = 8 ; x = 2, y = 6 ; x = 3, y = 4 ; x = 4, y = 2 ; x = 5, y = 0 ; x = 6, y = 8 ; x = 7, y = 6 ; x = 8, y = 4 ; x = 9, y = 2 a = 9, b = a b = 9 = 小華在米店打零工, 他需要秤 3 袋米的重量, 但磅秤只能秤大於 00 公斤重的米, 而每袋米卻都小於 00 公斤, 於是他每次秤兩袋, 分別得到 08 公斤 7 公斤及 23 公斤, 則最輕的一袋是多少公斤? 89

17 (A) 48 (B) 5 (C) 57 (D) 66 重點 : 能按題意列出, 並求出其解 ( 考加減消去法 ) 設 3 袋米的重量分別秤得 x y z 公斤 x + y = 08 ( ), y + z = 7, z + x = 23 ( 3 ) 將 ( ) + + ( 3 ) 可得 x + y + z = 74 ( 4 ) ( 4 ) ( ) 得到 z = 66, ( 4 ) 得到 x = 57, ( 4 ) ( 3 ) 得到 y = 5 最輕的一袋為 y = 5 ( 公斤 ) 答案選 (B) 40. 甲數的 4 倍等於乙數的 5 倍, 甲數的 3 倍比乙數的 2 倍多 2, 則甲數與乙數相差多少? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 重點 : 考倍數觀念, 並能按題意列出, 求出其解設甲 = x, 乙 = y 4 x = 5 y ( ) 3 x 2 y = 2, 由 ( ) 3 可得 2 x 5 y = 0 ( 3 ), 由 4 可得 2 x 8 y = 84 ( 4 ) ( 3 ) ( 4 ) : 7 y = 84 y = 2, 代入 ( ) : x = = 5, x y = 5 2 = 3 答案選 (A) 2 4. 永慶將 950 元分給小安大安 2 人, 若小安給大安 50 元, 則小安的錢是大安的 7 倍, 則大安原有多少元? 重點 : 能按題意列出, 求出其解設大安原有 x 元, 小安原有 y 元 x + y = ( x + 50 ) = y 50 7 ( ) 由 ( 3 ) 7 + ( 4 ) 可得 9 x = 5200 x = 800 x + y = x 7 y = 950 ( 3 ) ( 4 ) x + y = 解方程式 2 5 x 3 y = 44 ( ) 的解, 則 x + y =? 90

18 (A) 4 (B) 2 (C) 0 (D) 2 重點 : 解 x + y = 6 ( ) 2, 由 ( ) 可得 : y = 6 x ( 3 ) 2 5 x 3 y = 將 ( 3 ) 代入 : 5 x x = 44, x = 26 x = 代入 ( 3 ) y = 6 4 = 8, x + y = 4 8 = 4, 2 答案選 (A) 43. 解下列方程式 8 8 x + 8 y = 66 y + 8 x = 29, x y 之值為何? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 0 重點 : 解 ( 善用加減消去法 ) x + 8 y = 66 ( ) , 將 ( ) + 得到 x + y = 95 x + y = 24 ( 3 ) 8 8 y + 8 x = 將 ( ) 得到 x + y = 63 x y = 8 ( 4 ) 8 8 將 ( 3 ) + ( 4 ) 得到 2 x = 32 x = 6, 將 ( 3 ) ( 4 ) 得到 2 y = 6 y = 8 所以 x y = 6 8 = 8, 38 m + 82 n = 解聯立方程式 30 m + 98 n = 36 ( ) (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 2 重點 : 解, 則 m + 4 n =? 由 ( ) 可得 8 m 6 n = 0 m 2 n = 0 ( 3 ) 由 ( 3 ) 49 + 可得 79 m = 36 m = 4 代入 ( 3 ) : 4 2 n = 0 n = 2 所以 m + 4 n = = 2 9

19 45. 有一個二位數, 十位數個位數, 數字和 6, 十位個位數字互換新數比原數小 8, 求此二位數為? (A) 69 (B) 79 (C) 87 (D) 97 重點 : 按題意列出, 求出其解 ( 二位數 = 十位數字 0+ 個位數字 ) x + y = 6 ( ) 設十位數字為 x, 個位數字為 y, 0 y + x = 0 x + y 8 由可得 9 x + 9 y = 8 ( 3 ), 由 ( ) 9 可得 9 x + 9 y = 44 ( 4 ) ( 3 ) + ( 4 ) : 8 y = 26 y = 7, 代入 ( ) : x = 6 7 = 9, 此二位數為文昇與高昇做減法, 文昇將減數後面多寫個 0, 所得的差是 -90; 高昇將減號看成加號, 得答案為 272, 求原正確之答案為? (A) 98 (B) 88 (C) 78 (D) 68 重點 : 能按題意列出, 求出其解 x 0 y = 90 ( ) 設被減數為 x, 減數為 y, x + y = 272 將 ( ) 可得 y = 462 y = 42, 代入可得 x = 230 原正確之答案為 x y = = 某人行 35 公里的路, 第一段每時行 4 公里, 第二段每時行 5 公里, 若以每時行 4 公里的速度改為每時行 5 公里, 而每時行 5 公里的速度改為每時行 4 公里, 則可比原路多行 2 公里, 問原路程共需費多少小時? (A) 6 小時 (B) 7 小時 (C) 8 小時 (D) 9 小時重點 : 能按題意列出, 求出其解 ( 理解速度的定義 ) 4 x + 5 y = 35 ( ) 設第一段時間為 x, 第二段時間為 y, 5 x + 4 y = 37 由 ( ) 5 4 可得 : 9 y = 27 y = 3, 代入 : 5 x = = 25 x = 5 所以原路程共費時 = 8 小時 92

20 48. 一橋不知其寬, 只知其長 5 公尺之圓木材流過橋下須 4 秒, 且長 23 公尺之圓木材須 8 秒, 今有長 4 公尺之圓木材, 流過橋下須幾秒? (A) 23 秒 (B) 25 秒 (C) 27 秒 (D) 29 秒重點 : 能按題意列出, 求出其解 ( 能理解速度的定義 ) x + 5 = 4 y ( ) 設橋寬為 x 公尺, 水流速率為每秒 y 公尺, x + 23 = 8 y 由 ( ) 可得 : 8 = 4 y y = 2, 代入 ( ) 可得 x = = 3 所以橋寬為 3 公尺, 水流速率為每秒 2 公尺, ( ) 2 = 27 所以長 4 公尺之圓木材, 流過橋下須 27 秒 49. 甲乙二數, 甲除以乙得商為 7, 餘數為 4; 甲的 3 倍除以乙的 2 倍得商為, 餘數為 4, 則甲乙二數之和為何? (A) 76 (B) 72 (C) 68 (D) 64 重點 : 解 ( 考除法原理 : 被除數 = 除數商數 + 餘數 ) x = 7 y + 4 ( ) 設甲數為 x, 乙數為 y, 3 x = 2 y + 4 將 ( ) 代入可得 3 ( 7 y + 4 ) = 22 y y + 2 = 22 y + 4 y = 8 代入 ( ) 得 : x = = 60, 甲數為 60, 乙數為 = x + 5 y 26 + x + 2 y 4 = 0, 則 2 x + y =? (A) 26 (B) 4 (C) 22 (D) 5 重點 : 絕對值的觀念, 解 4 x + 5 y = 26 由題意可列出 : x + 2 y = 4 4 x + 5 y = 26 由 4 可得 : 4 x + 8 y = 56 ( ) ( 3 ) ( 4 ), 由 ( 4 ) ( 3 ) 可得 3 x = 30 x = 0, 代回 : 2 y = 4 0 = 4 y = 2 所以 2 x + y = = 22 93

21 5. 有一工程, 男女工各一人共同去作需 2 日完成, 若男工 2 人, 女工 3 人合作, 則需 5 日完成, 今以男工一人獨作需 a 日完成, 以女工一人獨作需 b 日完成, 問 (a,b)? (A) (2,5) (B) (5,20) (C) (20,30) (D) (25,40) 重點 : 工程問題, 未知數在分母的二元一次方程式設男工一人獨作 x 日完成, 女工一人獨作 y 日完成, 由題意得由 () 3 - (2) 得 : = - =, x 所以 x = 20 代入 () 得 : + = = - = 20 y 2 y 2 20 y 30 y = 30 男工一人獨作需 20 日, 女工一人獨作需 30 日 + = x y = x y 5 ( ) 94

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1 1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法主題 1 二元一次聯立方程式列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式二元一次方程組二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700