第六冊 1-1認識不等式與不等式的解

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妆翁
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0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 - 二元一次方程式魔術方塊凱文在百貨公司買了一個魔術方塊, 他把定價的個位數字和十位數字看反了, 拿了剛好的錢數給店員, 結果店員找給他 36 元設魔術方塊定價的十位數字為 x 個位數字為 y, 則凱文給店員多少錢? 魔術方塊的定價是多少錢? 請幫凱文依所遇到的狀況列出二元一次方程式一二元一次式.

000 元, 吃午餐用了 x 個 50 元硬幣, 買文具花掉 y 個 0 元硬幣, 則淨瑭身上還有或元例 3 若父現年 a 歲, 子現年 b 歲, 則 : ()4 年前父子年齡和為歲 ;() 4 年後父子年齡和為歲例 4 有一個二位數, 個位數字為 x, 十位數字為 y 將該兩位數加上 0 後, 得和為例 5 孟婕有 x 元, 孟婕的姊姊有 y 元, 若姊姊將自己所有錢的元

1 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 - 二元一次方程式魔術方塊凱文在百貨公司買了一個魔術方塊, 他把定價的個位數字和十位數字看反了, 拿了剛好的錢數給店員, 結果店員找給他 36 元設魔術方塊定價的十位數字為 x 個位數字為 y, 則凱文給店員多少錢? 魔術方塊的定價是多少錢? 請幫凱文依所遇到的狀況列出二元一次方程式一二元一次式. 用兩個符號列算式 : 日常生活中, 有時需要處理兩種不同的數量問題, 需要藉助兩個文字符號來代表不同的數量例假設阿里山森林遊樂區的門票全票每張 x 元半票每張 y 元, 映潔買 3 張全票和張半票, 一共付了 700 元 ; 孟臻買 5 張全票和張半票, 一共付了 00 元則 : () 映潔買門票花了元 () 孟臻買門票花了元例若淨瑭身上原有 50 元及 0 元硬幣共 000 元, 吃午餐用了 x 個 50 元硬幣, 買文具花掉 y 個 0 元硬幣, 則淨瑭身上還有或元例 3 若父現年 a 歲, 子現年 b 歲, 則 : ()4 年前父子年齡和為歲 ;() 4 年後父子年齡和為歲例 4 有一個二位數, 個位數字為 x, 十位數字為 y 將該兩位數加上 0 後, 得和為例 5 孟婕有 x 元, 孟婕的姊姊有 y 元, 若姊姊將自己所有錢的元若孟婕再將自己所有錢的給妹妹, 則孟婕還剩 5 給孟婕後, 孟婕共有 4 x+ y 元 3 x+ y 3. 二元一次式 : 如果只含有兩種代表數的文字符號, 且兩種文字符號的次方是一次的式子, 就稱為例 : 5x y x0 y為二元一次式二元一次式可寫成, a b 分別稱為 x 項和 y 項的, c 則稱為例 () 3x y 的 x 項係數為, y 項係數為, 常數項為 () x 5y 的 x 項係數為, y 項係數為, 常數項為 (3) x0 y的 x 項係數為, y 項係數為, 常數項為 - 二元一次方程式

2 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 3. 二元一次式的值 : 一個二元一次式所表示的數, 是由式子中的文字所代表的數來決定的例 () 若 x, y 5, 則 3 x 4y () 若 x, y 3, 則 3 x 4y 5 (3) 若 x, y, 則 3 x 4y (4) 若 a, b, 則 99 a 00b (5) 請在下表空格中, 填入各二元一次式的值二元一次式 x 3y y x 二二元一次式的化簡 4x y 8 3x y. 同類項 : 在一個式子中, 含有相同文字符號, 且文字符號的項或數字與數字, 都稱為例 3x y 5x 6y 8中和是同類項, 和是同類項, 和亦是. 二元一次式的化簡 : () 若二元一次式中不含括號, 則直接合併即可例化簡下列各式 : () x y 3x 4y () x 5y 4x y 7 (3) 3x 4y 9 5x y 7 (4) 4x 3y 8 y 5 5x () 當二元一次式中有括號時, 先以律, 即 a( b c), 去括號後, 再將合併例化簡下列各式 : () ( 3x 5y) ( 4x 3y) () ( x 4y 3) ( 3x 6y 4) (3) 3( x3y) (4) 5(x 3y ) (5) ( 4x y 5) (6) 7( x3y) - 二元一次方程式

3 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 (7) 4( x y) ( 5x y 3 ) (8) ( 3x y ) (x y 3) (9) 4(3x y ) 3( x 4y 3) (0) ( x 3y 6) 6 ().4( x.5) 3.( y) ().5( x.).7( y) (3) x 3y 3x y 3 3 (4) 4x 5y 4 3x y 3 (5) ( a b) ( a b) a (6) (x y ) (3x y 6) 3 (7) 8x [ 5x y (x 4y )] (8) 4x [ x 5y (x 6y 3)] 去括號法則 :() 括號前為 + 號, 去括號後性質符號不變 () 括號前為 - 號, 去括號後性質符號改變若二元一次式含有異分母分式, 可以先將分母依最小公倍數通分, 再做進一步化簡 - 二元一次方程式 3

4 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 (3) 將同類項上下對齊, 用直式運算來化簡例試以直式的形式化簡下列各式 : () x 4y 5 ) 4x 5y 6 () 7x y ) x 4y 7 (3) 3x y ) x y 3 (4) 5x 9y ) 7x y 三二元一次方程式. 二元一次方程式 : 如果一個等式中含有兩種未知數 ( ), 且未知數的次方都是, 就稱這樣的等式為二元一次方程式經化簡後可得形如的等式例 3x y 0 3x y 5 x y 均為例若睿憶和瑜翎玩撲克牌, 計分方式為大牌 (A K Q J) 每張得 x 分小牌 ( 其餘的數字牌 ) 每張得 y 分則 : () 睿憶手上有張大牌和 3 張小牌, 共得 400 分請依題意列出二元一次方程式 : () 瑜翎手上有 5 張大牌和 6 張小牌, 差 50 分就得 000 分請依題意列出二元一次方程式 :. 二元一次方程式的解 : 二元一次方程式中的 x y, 若以一組特定的值代入, 可使其等號左右兩邊的值相等時, 便稱該組 x y 值為此方程式的解例下列哪幾組 x y 所代表的數是方程式 3x5y 的解? 答 : (A) x 0, y 0 (B) x, y (C) x, y (D) x 3, y 5 例找出二元一次方程式 x+y7 的四組解 x 0 y 0 例 3 已知 x 3, y 4 是二元一次方程式 ax 3y 8 0的一組解, 則 a 例 4 已知 x, y m是二元一次方程式 3x y 8 的解, 則 m 4 - 二元一次方程式

5 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 3. 一個二元一次方程式, 若對 x y 無特別限制, 則其解有但在實際問題的情境中, 常因未知數受到其他條件的限制, 而影響了該方程式解的個數例 () 二元一次方程式 3x y 36 共有組解 () 若 x y 為正整數, 則 3x y 36 共有組解 (3) 若 x y 為正整數或 0, 則 3x y 36 共有組解 (4) 若 x y 為負整數, 則 3x y 36 共有組解例 7 年 6 班上課進行分組, 每組 3 人或 5 人, 其中 5 人一組的有 x 組,3 人一組的有 y 組已知學生共有 37 人, 請寫出所有可能的分法例 3 若心瑜買 0 元郵票 x 張與元郵票 y 張, 一共花 50 元, 則她有種不同的買法 ( 可以只買一種郵票 ) 例 4 明湖國中共有 08 人進行活動分組, 剛好有些是 7 人一組, 有些是 8 人一組其中 7 人一組的有 x 組,8 人一組的有 y 組則最多可以分成組例 5 設 x y 為正整數或 0, 請以列表形式表示 x y 6 的所有解例 6 若 x 為正整數, 而 y 不一定是整數, 只確定 y 0, 則 x 3y 6有組解從係數大或有特別限制的未知數開始檢驗, 解題速度會比較快 - 二元一次方程式 5

6 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 4. 二元一次方程式的解常用數對 ( a, b ) 來表示 x a 及 y b 例若數對( a, b ) 中的 a 表示 x 值, b 表示 y 值, 則下列哪些數對是方程式 x y 3 的解答 : (A)(, )(B)(4, )(C)(3, )(D)(0, )(E)(-96, 4 )(F)(-3, 9 ) 4 練習 () 若 980x 500y , 則 98x 50y 4300 () 若 3x 5y 8, 則 0.3x 0.5y 8-0 (3) 若 x-3 y4 為 ax 3by 8 的解, 則 7a 4b -0 x 4 y 9 x y (4) 若二元一次方程式 - 0, 則數學馬戲團成語迷宮右圖是由 60 個中文字組成的成語迷宮, 以山字作為入口, 以福字作為出口每走四格都是一句成語, 且上一成語的詞尾與下一成語的詞頭是同一個字 ; 可上下左右走, 不可重複走, 也不能斜著走請問, 應該如何走? 英文也能計算用 0~8 代換英文字母, 使加法算式也能成立 S I X S E V E N + S E V E N T W E N T Y 6 - 二元一次方程式

0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 - 解二元一次聯立方程式眼花撩亂格魯找了小小兵卡爾幫他尋找暗藏在右圖的密碼卡爾只知 : 每個相同的圖案都代表相同的值, 第一列的和是 3 第二列的和是 9 第三列的和是 39, 問號代表第三行的和, 也就是密碼請問你能幫助眼花撩亂的卡爾解出密碼嗎? 一二元一次式聯立方程式.

: 例明湖國中田徑隊共有隊員 54 人, 其中男生人數比女生的倍少 6 人若設男生有 x 人, 女生有 y 人, 則 : () 由隊員 54 人, 可列得二元一次方程式 : () 由男生人數比女生的倍少 6 人, 可列得二元一次方程式 : (3) 因此可列得二元一次聯立方程式為 :.

7 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 - 解二元一次聯立方程式眼花撩亂格魯找了小小兵卡爾幫他尋找暗藏在右圖的密碼卡爾只知 : 每個相同的圖案都代表相同的值, 第一列的和是 3 第二列的和是 9 第三列的和是 39, 問號代表第三行的和, 也就是密碼請問你能幫助眼花撩亂的卡爾解出密碼嗎? 一二元一次式聯立方程式. 二元一次聯立方程式 : 兩個二元一次方程式, 並列在一起就叫做或 a x b y c 標準形式 : a x b y c 例已知 0 元和 5 元兩種硬幣共 7 枚, 其中 0 元硬幣有 x 枚,5 元硬幣有 y 枚, 總共有 60 元, 則 :() 由兩種硬幣共 7 枚, 可列得方程式 : () 由兩種硬幣共 60 元, 可列得方程式 : (3) 因此可列得二元一次聯立方程式 : 例明湖國中田徑隊共有隊員 54 人, 其中男生人數比女生的倍少 6 人若設男生有 x 人, 女生有 y 人, 則 : () 由隊員 54 人, 可列得二元一次方程式 : () 由男生人數比女生的倍少 6 人, 可列得二元一次方程式 : (3) 因此可列得二元一次聯立方程式為 :. 二元一次聯立方程式的解 : 同時滿足聯立方程式中兩個方程式的 x y 值, 則這組數稱為二元一次聯立方程組的解 x3y 5 例下列哪一組 x y 是二元一次聯立方程組的解? 答 : x y 3 (A) x, y (B) x 3, y 3 (C) x, y 3. 解二元一次聯立方程式 : 求出一個二元一次聯立方程式的解的過程, 叫做為了計算方便, 在解題初期或過程中, 常將聯立方程式中的式子予以若式子中有同類項, 宜先合併若式子中有係數是分數或小數, 先化為整數, 方便計算 - 解二元一次聯立方程式 7

8 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 4. 代入消去法 : 利用取代的方式, 來消去一種未知數的解題方法, 稱為例以代入消去法解二元一次聯立方程式 x 6 x y y 39x () () (3) yx 3 x y7 3x y6 練習以代入消去法解下列二元一次聯立方程式 x 3 () x y x y 8 () 3 x 3y7 (3) 3xy 6 x 7 y 例以代入消去法解二元一次聯立方程式 x y 3 x y 3 () () x 3y x 3y ( y 被 x 的一次式所取代 ) ( x 被 y 的一次式所取代 ) (3) y 4x3 5x 4y0 練習以代入消去法解下列二元一次聯立方程式 () x 4y 5xy 6 () ab3 3a 5b (3) 3xy 3 x 3y 3 (4) 4x3y 8 4x9y (5) 3mn4 5m 3n3 (6) x3y 4x3y 代入消去法的使用時機與方法 : 當其中一式可輕易化成 y ax b 或 x cy d 的形式時, 代入另一式以取代該未知數 8 - 解二元一次聯立方程式

9 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 5. 加減消去法 : 利用式子的相加或相減, 來消去一種未知數的解題方法, 稱為 ax b y c 解一元二次方程式時, 應先移項整理成 a x b y c 的形式 () 兩式相加可消去一個未知數 : () 兩式相減可消去一個未知數 : 3x 4y 9 例解 7x 4y9 3x5y 350 例解 3x 3y70 練習以加減消去法解下列二元一次聯立方程式 () x5y x 5y () x 3y 7 x 7y9 (3) x y 5 x y8 (4) 4x3y 4 5x 3y3 (3) 其中一式乘以倍數, 與另一式相加減, 才可消去一個未知數 : 5x y 4 例解 3x4y 8 練習以加減消去法解下列二元一次聯立方程式 () x3y 7 4x 5y3 () x y x 3y 0 - 解二元一次聯立方程式 9

10 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 (4) 兩式分別乘以倍數, 再相加減, 才可消去一個未知數 : x3y 7 例解 3x 5y 解法 ( 消去 x ) 解法 ( 消去 y ) 練習以加減消去法解下列二元一次聯立方程式 () 3x5y 8 4x 3y7 () 4x3y 7x 4y4 (3) 3x y 4x0 3y ( 移項整理成標準式 ) (4) 3x x y 3x y3 0 4x x 3y 5 (5) 5x 4y 0 (6) x y 3 xy 6 (7) 5xy 3 0 x4y 6 (8) x y 3 xy 4 (9) x3y 7 4x6y a x+b yc 二元一次聯立方程式的解之類型 : 中的各係數及常數項都不為 0 ax+b yc a () 若 a b b, a 則此聯立方程式 () 若 a b b c c, 則此聯立方程式 a (3) 若 a b b c c, 則此聯立方程式 0 - 解二元一次聯立方程式

11 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 x y 3x y 3 (0) 3 () 3 3x y 3 x 3y 5 x y () x 0.8y. (3) 3x y x y 5 (4) x y x y 3 4 A B A B A C A B C 皆為二元一次式, 若 ABC, 則可改寫成或或 B C A C B C 3 x+77y6 3x+ 3y 4 4x+9 y58 (5) (6) (7) 77x 3y 6 3x3y4 49x5y58 對稱型聯立方程式, 兩式直接相加與相減 (8) 已知 3x y 6x y 5 3x 4 y k 0, 則 k - 解二元一次聯立方程式

12 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 (9) 設 x y 均為分數, 若 ( x 5y 6) (3x 6y 4) 0, 則 ( x, y ) a b 0, 則 a 0且 b 0 設 a b 均為整數或分數, 若 a b 0, 則 a 0且 b 0 x y 7 ax by 9 (0) 設與有相同的解, 求 a x3y 3 ax 3by 3,b ax y 3... () 紫柔倪君同解一個 x y 的二元一次方程式, 紫柔將式中 a 看錯, 3x by 5... 得其解為 x, y 6, 倪君將式中 b 看錯, 得其解為 x, y, 若此外並無其他計算上的錯誤, 試求 a b 之值及原聯立方程組的解加減消去法的使用時機與方法 : () 當某未知數在兩式的係數相等時, 將兩式相減以消去該未知數 () 當某未知數在兩式的係數互為相反數時, 將兩式相加以消去該未知數 (3) 當必須乘以倍數時, 消去未知數的挑選原則 : (i) 乘一式即可者 ;(ii) 係數較小者數學馬戲團數字加法範例 : 解二元一次聯立方程式

13 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式 -3 應用問題上館子米麒麟餐廳消費方式為大人每人 x 元, 小孩每人 y 元, 若結帳時甲桌付費 60 元, 乙桌付費 040 元, 則丙桌應付多少元? 大人大人大人小孩大人小孩甲桌小孩大人小孩大人乙桌小孩小孩小孩小孩丙桌大人小孩小孩大人一二元一次方程式的應用學會二元一次方程式, 可用來解決一些生活中的問題應用問題的解題步驟為 :. : 依題意假設兩個適當的未知數, 分別以 x y 表示. : 依問題中的數量關係列出二元一次聯立方程式 ( 為是比表示 ) 3. : 利用代入消去法及加減消去法求出方程式的解 4. : 檢驗所得的解是否符合題意, 否則就是 5. : 根據問題回答答案例昱臻和小琦到文具店買相同的修正帶和原子筆, 昱臻買了個修正帶和 3 枝原子筆, 共花了 5 元 ; 小琦買了 3 個修正帶和 4 枝原子筆, 共花了 65 元, 請問修正帶和原子筆的單價分別是多少元? 解法一 ( 假設一個未知數 ) 解法二 ( 假設兩個未知數 ) 例榆珊的撲滿裡有 50 元和 0 元的硬幣共 5 個, 一共是 30 元, 則 50 元及 0 元的硬幣各有幾個? -3 應用問題 3

14 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式例 3 佳耘用等臂天平測量餅乾與糖果的重量, 已知每塊餅乾的重量都相同, 且每顆糖果的重量都相同測量結果如下 : 圖 : 左邊放兩塊餅乾, 右邊放三顆糖果 ; 結果天平兩臂平衡圖 : 左邊放 0 公克砝碼, 右邊放一塊餅乾和一顆糖果 ; 結果天平兩臂平衡則一塊餅乾和一顆糖果的重量分別為多少公克? 圖圖例 4 有一長方形, 各邊的長度如右圖所示, 則此長方形的長和寬分別為多少? 5x+3y 長 -x+y-5 寬 -x-y+ 6x+4y-7 例 5 子儀在湘穎左方 300 公尺已知子儀每分鐘走 x 公尺, 湘穎每分鐘走 y 公尺 () 若她們同時相向而行, 可於 0 分鐘後相遇, 則可列出二元一次方程式為何? () 若她們同時向右而行, 可於 5 分鐘後相遇, 則可列出二元一次方程式為何? (3) 承 () (), 則子儀和湘穎的分速分別為多少? 例 6 7 年 5 班共有 34 人, 校外教學時男生每 3 人一組, 女生每 4 人一組, 全班恰好分 0 組, 請問 7 年 5 班的男女生各有多少人? 解一設男生有 x 人, 女生有 y 人解二設男生有 x 組, 女生有 y 組例 7 已知兩正整數, 大數比小數的 3 倍多 6, 小數是大數的 5 少 4, 則這兩數分別為多少? 4-3 應用問題

15 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式例 8 凱媛文具店賣魔法包, 有 3 張魔法卡和 5 張魔法卡兩種包裝銘軒和承恩兩人合買 7 包, 並各數一遍 7 包的卡片總數, 銘軒得 3 張, 承恩卻數得 30 張, 你認為誰一定數錯了? 為什麼? 例 9 大小兩數的和是 80, 差是 40, 則大數小數各是多少? 例 0 男女生共 00 人, 合吃 5 份餐點, 男生一人吃兩份, 女生兩人吃一份, 恰好吃完, 則男生女生各有幾人? 例媽媽拿 75 元給立翰, 剛好可以買果汁 4 瓶養樂多 3 瓶, 但立翰卻買了果汁 3 瓶養樂多 4 瓶, 結果找回 0 元, 則果汁養樂多一瓶各是多少元? 例英騏和全班同學利用週末到淡水郊遊,38 人共租了 6 輛協力車剛好坐滿, 其中有兩人共騎與三人共騎的兩種協力車, 請問協力車各租多少輛? 例 3 子恆和詠園做減法, 子恆將被減數後面多寫一個 3, 所得差是 6390, 詠園將被減數後面少寫一個 3, 所得的差是, 求原來正確的差 -3 應用問題 5

16 0 學年度第二冊數學講義第一章二元一次聯立方程式例 4 修瑋想把濃度 8% 的食鹽水與濃度 5% 的食鹽水混合成 6% 的食鹽水 300 克, 問該取這兩種食鹽水各若干公克, 才能混合出所需的食鹽水? 例 5 某次數學考試, 共有 5 題選擇題, 答對題得 4 分, 答錯題倒扣分, 沒作答則不給分俊融一共作答了題, 得了 7 分, 請問俊融答對了幾題? 例 6 柏愷到超市花了 5 元買果凍和巧克力共 40 個, 其中果凍有 x 個巧克力 3 y 個, 若果凍每個 5 元, 巧克力每 3 個 0 元, 則他買了多少個果凍? 例 7 緯澤冠宇小旭三人共有 40 元, 若緯澤給冠宇 4 元, 且小旭用掉自己原有錢的後, 3 三個人的錢就一樣多請問緯澤冠宇小旭三人原來各有多少錢? 例 8 某一二位數, 其數字和是 5, 其個位數字和十位數字互調後之新數比原數多 9, 試求原數? 數學馬戲團小奕小劭小典和小霖四兄弟, 分別待在自己房間裡四兄弟分別在打電動挖鼻孔擠青春痘或摳腳趾, 但是不曉得那一個正在做那一件事? 已知 :. 小奕正在打電動或擠青春痘打電動挖鼻孔擠青春痘摳腳趾. 小劭正在挖鼻孔或擠青春痘 3. 小典既不在摳腳趾, 也不在挖鼻孔 4. 小奕或小劭在擠青春痘小奕小劭小典小霖請問, 他們四個人分別在做什麼? A: 小奕在 ; 小劭在 ; 小典在 ; 小霖在 6-3 應用問題

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1

1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1 1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法主題 1 二元一次聯立方程式列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式二元一次方程組二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700