蔡逸高中數學二講義

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瀜水
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1 要點 A: 整數指數第三章指數函數與對數函數 - 指數 - 指數自然數的指數 : 對於每個實數 a, 我們以記號 a 代表 a 自乘次的乘積, 即個 a a a a a 的 a, 我們稱為底數, 稱為指數例如可以用 5 來表示而 a 中正整數指數的運算性質 ( 指數律 ): a m a =a m+ a m a a m (a m ) =a m a b =(ab) a b a b 例如 : 4 = 6,4 5 =( ) 5 = 0, 4 4 =() 4 上面所討論的指數, 都是自然數, 而接下來我們打算將指數的範圍從自然數逐步推廣至整數系有理數系實數系換句話說, 就是要規定型如 : a 0, a 4 a, 推廣的原則 : 要求新規定的指數記號仍然滿足指數律適當限制 a 使得指數有意義 a, 等記號的意義整數指數整數比自然數多了 0 與負整數, 因此我們將要適當的規定 a 0 與 a (N) () 規定 a 0 : 設 a0, 由指數律可得 a 0 a =a 0+ =a, 因為 a0, 所以 a 0 = 換句話說, 要使得指數律成立的話, 則必須定義 a 0 0 = ( 0 無意義 ) () 規定 a : 假設 a0, 且為正整數, 由指數律可得 a a =a + =a 0 =, 所以 a a 換句話說, 要使得指數律成立的話, 則必須定義 a a

2 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著範例化簡 :()[a (a 5 ) ] ()( 5 5 ) +( ) 0 () A:()a 8 ;() ;() 4 化簡 :() a a () 4 ( ) () a a a a (4) ( ) ( ) 5 A:() a () () a (4)5 6 a

3 要點 B: 分數指數 - 指數分數指數 a : 根據指數律 ( a ) = a =a =a, 即 a 是方程式 =a 的根, 根據前一章勘根定理的推論, =a 恰有一正實根, 即 a 的正次方根因此我們就選定 a 的正次方根為 a m 有理數指數 a : 就指數律而言 ( a m a 的定義也就是說, 我們定義 a ) m = a m 號 a 為的 m 次方, 即 ( a = a, 其中 m 為一整數因此, 自然地應該定義符 ) m 例如 : 4 ( ) 8, 9 ( ) 由前面的說明, 我們可得以下結論 : 當 a>0, 為正整數, 我們定義 a = a 當 a>0,r= m,( r m 其中為正整數,m 為整數 ), 我們定義 a a ( a) m 4 為何定義分數指數時,a 要為正數? 若不定義 a 為正數時, 會出現邏輯上的錯誤例如 : 9 動動腦阿昭做數學問題時, 發現一個迷惑的問題 : ) 4 ( = = i 是虛數, 但 () = 4 () = = 是實數, 於是得出 () ( ) 如何來解決阿昭的迷惑呢?

4 4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著範例化簡下列各式 : () 5 0 a a () ( 8) 9 0 ) 8 ( () ( ) ( ) (0.5) A:()a 7 () 0 ()48 4 化簡 A: ( 4 6 ) k,k

5 範例 - 指數 5 設, 試求 ()+ () 之值 A:()7 ()8 設 a0,r,a +a =5, 求 ()a +a 之值 () 求 a +a 之值 () 求 a 之值 A:()4 ()4 () 範例設 a, b, 以 a, b 表示 ().7 () ().54 a A:()4ab () b a () b 假設 0.6 = a, 0.0 = b, 試求.77 b A: a, ab 與 0.7 的值

6 6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著要點 C: 實數指數範例 5 5 化簡 () 7 4 () A:()49 () 化簡 () () +. A:() () 範例 6 () 若,y 為實數, 且 4 9 y 8, 試求 y () 設 a0, 若 a = b = 6 c, 則 c a + c b = A:() ()

7 - 指數 7 設 yz 0,4 A:4 y y y 6 9 z, 則 z 範例 7 a a 若 a, 則 a a =? A: a a 若 a, 則 a a A: =? 範例 8 設於某項新實驗中, 細菌數日後增加 a 倍, 且已知日後細菌數為 00000,4 後其數為 , 試求 : 日 ()a 的值 ()5 日後的細菌數 () 日後的細菌數 (4) 細菌數為時所需的日數 A:() ()00000 ()5000 (4)4 日

8 8 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著某項新實驗中細菌數每過日會變為原有的倍, 已知日後細菌數為 000,5 日後細菌數為 000, 若細菌數為 8000 時需 y 日, 則 =,y= A:4;6 要點 D: 指數方程式範例 9 解方程式 A:=0 解方程式 A : = 範例 0 設 y y 6 且 5y 8 y, 則 (,y) A:(5,)

9 - 指數 9 解 , 得 A: 或範例 8 0, 則 A: 或 4 解方程式. 0 A: 4 或 6

10 0 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著範例解 (4 4 ) 9( ) 4 0, 得 A: 0, 解方程式 (9 +9 ) 7( + )+0=0,= A:0 範例設為方程式之兩根, 則之值為 A:

11 - 指數設, 為之兩根, 則 () 0 0, () A:()8 ()

12 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著家庭作業. 下列等式何者正確?(A) () (B) ( ) (C) () (D) 4 ( ) (E) 5 () A:AE. 化簡下列各式 :() y 6 y 4 6 () 8 ( ) A:()y () 6. 設, 則 [( ) 4( ) ] 6 之值為 A: 4. 設 y z 為正數, 且 y z y z a b c 可化簡表示成 y z, 其中 a b c 為有理數, 試求 a b c 之值 5 A: a, 7 b, c 6 6 6

13 a b c 5. 設 abc 0, 且 5 k, 若, 求 k 的值? a b c A: 0 - 指數 6. 設 ab, 皆為正數, ab, 且滿足方程式 y z 之值為 A:4 y y z z a b a b, a b ab, a b ab, 試求 7. 設 f ( ) a b, 其中 a, b 為實數, 為正整數若 f () 7, f (4) 77, f (8) 77, 求 a, b 的值 A: a, b 8. 解方程式 () () A:() 0, (), 9. 若 (0.5) (.5) y 000, 則? y A:

14 4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著試化簡 ( ) ( ) A:. 設 a, 則 () a a a () a a A:() () 5 y. 若 7, y 6 y, 則 A: 7. 若 79 y y A:(,) 且 4 + y 8 y, 求序對 (,y) 4. 試解方程式 (4 4 ) ( + ) 0 A: 0

15 5. 解方程式 () 6 4, 則 A:() () () 指數 5, 則 6. 方程式之解為 A: 7. 若方程式之兩根為,, 則 A: 8. 由實驗知, 某一細菌數目每隔小時增加一倍, 已知放入 N 隻細菌, 經過小時後分裂成 S 個, 再經過小時後分裂為 S+0 個, 則數對 (N,S)= A:( 5,40) 9. 心理學家常用數學模式 Lt a 0 bt 來描述學生經過 t 星期學習之後所得到的學習量 ( 或成果 ), 這裡的常數 a 與 b 跟學生及學習的科目相關如果小華一星期可以背熟 75 個單字, 兩星期可以背熟 5 個單字, 請利用這個數學模式, 推算小華三星期可以背熟多少個生字? A:8

16 6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著歷屆試題. 解方程式 4. 0 得 = (78 夜社 )A: 或. 小明身體不舒服需依照醫生指示服藥假設在服藥後 t 小時, 殘存在胃裡的藥量尚有 Mt t 毫克, 求 () 經過.5 小時後藥量殘存為多少毫克? () 自 t 小時到 t 小時內吸收的藥量, 與第 t 小時殘存藥量的比值為何? (9 大考中心參考試卷 )A:()0.4 ()0.6

17 要點 A: 指數函數的定義第三章指數與對數 - 指數函數及其圖形 - 指數 7 定義 a>0,a, 是任意實數, 我們稱 y f ( ) a 為以 a 為底數的指數函數指數函數的特性若 f()=a, 由指數律 a a a 可導出 f( + )=f( )f( ), 這是指數函數的特性事實上, 如果有一個函數 f 滿足 f( + )=f( )f( ), 則函數 f 一定是 f()=a 的形式圖形與性質指數函數 y a 在 a ( 圖一 ) 與 0 a ( 圖二 ) 時的圖形如下 : y y (0,) (0,) 圖一圖二 4 指數函數圖形的特性指數函數 f()=a,a>0,a 具有以下的特性 : 恆在軸的上方 ( 即 ya 0 恆真 ) 恆過點 (0,) 在軸上方平行軸的每一條水平線和指數函數 y a 的圖形都恰好交於一點, 即當 a a 時,α=β 當 a> 時,f()=a 為嚴格遞增函數圖形由左向右逐漸升高, 即當時, a a 曲線凹口向上, 愈向右邊升高得愈快, 愈向左邊圖形愈接近軸 ( 但是永遠不相交 ) 當 0<a< 時,f() = a 為嚴格遞減函數圖形由左向右逐漸降低, 即當時, a a 曲線凹口亦向上, 愈向右邊降得愈慢, 愈向右邊圖形愈接近軸 ( 但是永遠不相交 ) 5 方程式 f ( ) g( ) 的實根個數等於 y f ( ) 與 y g( ) 兩圖形的交點個數

8 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著範例用描點的方式作出 () y () y 的圖形 () 首先將一些特殊點列表如下 : 0 y 8 4 4 8 將表上的點逐一畫在坐標平面上,

18 8 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著範例用描點的方式作出 () y () y 的圖形 () 首先將一些特殊點列表如下 : 0 y 將表上的點逐一畫在坐標平面上, 然後用圓滑的曲線將這些點加以連結, 如下圖, 即可得 y 的圖形 : () 首先將函數值列表 : 0 y 將表上的點逐一畫在坐標平面上, 然後用圓滑的曲線將這些點加以連結, 如下圖, 即可得 y 的圖形

19 - 指數 9 範例試繪下列各函數的圖形 :() y = () y = ( ) () y= ( ) (4) y= A:() () () (4) 利用 y = 與 y = ( ) 之圖形求作 () y = () y = + 的圖形 A:() ()

20 0 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著範例求下列各方程式的實根個數: () () () A:() () () 方程式 +=0 有多少個實根? A:

21 範例 4 設 a>0,a, 函數 y = a 中, 當值增加時,y 值為原來的 9 倍, 則 a=? - 指數 A: 在指數函數 y f ( ) a ( a 0) 的圖形上, 當坐標增加時, 其對應的 y 坐標減少為原來的 9, 求底數 a 的值? A: a 範例 5 設指數函數 f()=a, 其中 a>0,a, 對於任意實數, 試由圖形說明比較 f f A: f 的大小與

22 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著要點 B: y a 和 y 的圖形對稱於 y 軸 a 當我們將 y 和 y 的圖形放在同一坐標平面上並比較兩圖形時, 發現這兩個圖形對稱於 y 軸 ( 如下圖 ) 一般而言, 若 a 為異於的正數, 則 y a 和 y 的圖形對稱於 y 軸 a 動動腦阿毛問 : 哪一個函數的圖形與 y 對稱於 y 軸? 要點 C: 圖形的平移將的圖形沿軸向右平移 h 個單位, 再沿 y 軸向上平移 k 個單位得圖形 G, 只要將方程式中的改為 h,y 改為 y k 即可例如 : 拋物線 y 沿軸向右平移個單位, 再沿 y 軸向上平移個單位, 頂點由 (0,0) 移至 (,), 新方程式為 y 若由變更方程式下手, 將原方程式中的改為,y 改為 y, 得新方程式為 y, 移項後亦得 y 若圖形沿軸向左平移 h 個單位, 再沿 y 軸向下平移 k 個單位, 只要將方程式中的改為 +h,y 改為 y+k 即可動動腦函數 y 沿軸向左平移個單位, 再沿 y 軸向下平移個單位, 新方程式為

23 - 指數範例 6 已知圖形與 y 的圖形對稱於 y 軸, 將的圖形沿軸向右平移個單位, 再沿 y 軸向下平移個單位得圖形 G, 若 G 為函數 y g( ), 求 g (4) 的值 A: 下列各函數的圖形與 y = 之圖形有何關係?(a) y = A:(a) y = 的圖形是由 y = 之圖形向右平行移動單位得到的 (b) y = 9 + (c) y = (b) y = 9 + 的圖形是由 y = 之圖形向左平移單位之後, 再向上移動單位而得 (c) y = 的圖形是由 y = 之圖形先對軸取對稱, 再向上平行移動單位得到的附圖為函數 y=a +b 的部分圖形, 其中 a,b 均為常數, 則下列何者為真? (A) 0<a<,b>0 (B) 0<a<,b<0 (C) a>,b>0 (D) a>,b<0 (E) a>,b< A:A

24 4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著要點 D: 不同底數的指數函數之圖形範例 7 將 y 與 y 的圖形畫在同一坐標平面上, 並加以比較解 : 將 y 與 y 的函數值列表後用圓滑曲線連接如下圖. 0 y y 8 7 觀察圖形, 有以下的結論 : 當 0 時, y 當 0時, 則 y 也就是說 : 的圖形在的圖形在 y 的上方, 而 y 的下方當 0 時, 當 0時, ; 一般而言, 當 a b 時, 函數左下圖 ) 換句話說, 函數 y a 比 y a 比 y b 的圖形來得更陡, 圖形爬升得愈快 ( 如 y b 的圖形更貼近軸與 y 軸若 0< a< b < 前段 y a 和 y 的圖形對稱於 y 軸的性質, 還是可以輕易推得函數 a 的圖形來得更陡, 圖形爬升得愈快的性質 ( 如右下圖 ) y=b y=a y a 比, 利用 y b 0<a<b<

25 - 指數 5 範例 8 右圖為 y a, y b, y c, y d 四個函數的圖形, 試比較 a, b, c, d 四數的大小關係 A:c>d>a>b 設 y=4,y=,y=,y=( ),y=( 的圖形為 (A) P (B) Q (C) R (D) S (E) T ) 的圖形分別為圖中的五條曲線, 則 y= A:E 要點 E: 指數比較大小與指數不等式設 a 0,, 是任意實數, 且 () 當 a 時, a a ( a, a 的大小與, 大小同方向 ) 例如: < () 當 0a 時,a a ( a, a 的大小與, 大小反方向 ) 例如: > y=a (a>) y=a (0<a<) α β α β () () 動動腦若 5 5, 則若 5 5, 則 ( 填 > 或 <)

26 6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著範例 9 4 設 a 4, b 8, c, 比較 a, b, c 的大小 A: a c b 試比較 ( ) 4, 0,( ), 之大小 4 0 A:( ) ( ) 4 4 範例 0 設 a=,b=,c= 5 5, 則 a,b,c 的大小順序為何? A:c>a>b 試比較 05, 70,7 5 三數之大小 A:

27 範例 - 指數 7 試解下列不等式 :() + >4 ()(0.00) (0.) 5 A:()> 0 ()>4+ 6 或 <4 6 解下列不等式 :() 6 8 () (0.) A:()> 或 < () <<4 範例解不等式 4 0 A: 解不等式 <0 A:<<0

28 8 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著要點 E: 指數的極值與應用問題範例設, 試求 f()= + 4 之最大值最小值 A: 最大值 4, 最小值設, 若 = 時,f()=9 + 有最大值 M, 求與 M A:=,M=54 範例 4 設為實數, 且 f( ) (4 4 ) 4( ) 8 () 令 t,證明 t () 用 t 表示 f( ) () 求 f( ) 的最小值, 及此時的值 A:(), 即 () t 4t 4 () 當 0 時, f( ) 有最小值 0

29 - 指數 9 是實數, 求函數 f () (9 9 ) 0( ) 4 的最小值 A: 0 範例 5 根據過去長期統計資料顯示 : 某公司推銷員年資 ( 年 ), 與每次推銷成功的機率 y (), 滿足下列關係式 :y ()= () 化簡 r ()= y () -y (), 並說明 r () 的值隨增大而增大 ( 即為遞增函數 ) () 說明年資 8 年 ( 含 ) 以上的推銷員, 每次推銷不成功的機率小於 4% (94 指考數乙 ) A:() r ()= -+, 略 ;() 略經過長期的追蹤調查, 某國家公園 0 年前有 0 隻熊, 這 0 年來熊的數量一直符合數 00 學模式 Bt (), 即 t(0 t 0) 年前, 熊的數量有 B( t) 隻若未來熊的 0.( t0) 9 數量仍按照這個數學模式成長 ( 即 t 年後熊的數量約有 Bt () 隻 ), 則 () 現在熊的數量有幾隻? () 再過幾年, 熊的數量才會達到 50 隻? A:()5 隻 ()0 年

30 0 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著家庭作業. 設 a 0, 函數 y a 之圖形可能為下列何者? (A) (B) (C) (D) (E) A:CDE. 指數函數 f()=a,a>0 具有下列哪些性質? (A) f(+y)=f(). f(y) (B) f(y)=f()+f(y) (C) f(-y)= f( ) f( y) (D) f(-)= f() (E) f()=f() A:ACD. 方程式 =( ) 有幾個實根 A: 4. 下列那一個選項的圖形與直線 +y=0 恰有一個交點? (A)y= (B)y= (C)y= (D)y= (E)y= A:AD

31 5. 將 y = + 之圖形移 ( 填上下左右 ) 單位後可得 y = 8. 之圖形 A: 右 ; - 指數 6. 圖中的曲線為函數 y a 的圖形之一部分,P 點為曲線與 y 軸的交點, 則下列敘述何者正確? (A) a (B) OP (C) y a 之圖形對稱於 y 軸 (D) y a 與 y a 的圖形對稱於軸 (E) y a 與 y a 的圖形恰相交一點 A:BCE 7. 比較大小 : () 60, 0,6 0 由小而大排列為 () 4 7, 6, 9 由小而大排列為 A:() () () 設,y,z 為正數, 且 y 5 z, 試比較,y,5z 的大小 () 若,y,z 為負數, 且 y 5 z, 試比較,y,5z 的大小 A:()5z y ()5z y

32 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 9. 設 f( ) 4 9,且,求 f( ) 的最大值與最小值 A: 最大值 4, 最小值解不等式 () () A:() 4 ()0. 設 f( ) (4 4 ) 5( ), R, () 試將 f( ) 表示成 t 的函數 () 當時, f( ) 有最小值 m, 試求, m A:() t 5t () 0, m 5. 設 f( ), 且 9 f( a), 求實數 a 的值? 7 A: a

33 - 指數. 設 F 表 y 的圖形,G 表 y ( ) 的圖形,H 表 y 的圖形, 則 () F 與 G 對稱於直線 () F 與 H 對稱於直線 A:() y 軸 () 軸 4. 設 f()=, 為非零的實數, 若 f(a)=,f(b)=, 則 f(a+b)=? A: 7 5 ( 提示 :f()=, 用 f() 表示 ) 5. 已知一放射性元素在會衰變一半 ( 即求其半衰期 )? 4 A: 年後衰變了, 即剩下原來的 4 4, 求其經過多少年 6. 假設一般病患服用某種藥品, 服藥後小時, 殘留在胃裡的藥量有 f ()=c.a ( 毫克 ), 其關係圖如附圖 () 求出 c 與 a () 試問該藥品服用時後, 殘留在體內的藥量有多少毫克? A:() c=500,a=0.64;() 04.8 毫克

34 4 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著歷屆試題. 設函數 f 5 6 5, 為 (8 日社 ) A: 4, 8 5, 則 f() 之最大值為, 最小值. 函數 y 4 與 (8 學測 ) A:(, ) 6 y 的圖形之交點坐標為. 如右圖為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖假設其關係為指數函數, 試問下列敘述何者為真? () 此指數函數的底數為 () 在第 5 個月時, 布袋蓮的面積就會超過 0m () 布袋蓮從 4 m, 蔓延到 m, 只需.5 個月 (4) 設布袋蓮蔓延到 m m 6 m 所需的時間分別為 t t t 則 t + t = t (5) 布袋蓮在第到第個月之間的蔓延平均速度等於在第到第 4 個月之間的蔓延平均速度 (87 學測 )A: 4

35 4. 若 a>0 且 a, 則下列各圖形中, 何者可能是指數函數 y a 的部分圖形? (A) y (B) y (C) y (D) y (E) - 指數 5 y (87 日社 ) A:(A)(C) 5. 下列五個數中, 何者為最小? () () 8 (88 學測 )A:(5) 4 () (4) (5) 8 6. 設 a, b, c 下列選項何者為真? 4 4 () a b c () a b c () a c b (4) a c b (5) a b c (90 學測 )A:() 7. 觀察相關的函數圖形, 判斷下列選項何者為真? () 0 = 有實數解 () 0 = 有實數解 () 為實數時,0 > 恆成立 (4) >0 時,0 > 恆成立 (5) 0 = 有實數解 (9 學測 )A:45

36 6 高中數學 ( 一 ) 蔡淇茂老師編著 8. 對任意實數而言, (97 學測 )A:() ( ) 7 的最小值為 () () () 9 (4) 7 (5) 8 y 9. 當 ( y, ) 在直線 y 上變動時, 關於 K 9 的敘述, 試問下列哪個選項是正確的?() K 有最大值 8 最小值 6 () K 有最大值 8 但沒有最小值 () K 沒有最大值但有最小值 (4) K 沒有最大值但有最小值 6 (5) K 沒有最大值也沒有最小值 A:(4)(0 數甲 )

對數函數陳清海老師

對數函數陳清海老師對數函數陳清海老師 p ok 對數函數一對數函數. 定義:設 0,, 0,稱為以為底數的對數函數.. 圖形與基本性質對數函數 yf log y log 在與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與的圖形. 演練已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log