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1 目錄 單元一 : 一元二次方程式及解的意義... 2 課文 : 一元二次方程式及解的意義... 2 單元二 : 因式分解法解一元二次方程式... 9 課文 A: 利用提公因式法因式分解解一元二次方程式... 9 課文 B: 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 課文 C: 利用乘法公式因式分解解一元二次方程式 單元三 : 利用配方法解一元二次方程式 課文 A: 利用平方根的概念解一元二次方程式 課文 B: 配成完全平方式 課文 C: 利用配方法解 x2 係數為 1 的一元二次方程式 課文 D: 利用配方法解 x2 係數不為 1 的一元二次方程式 單元四 : 利用公式解解一元二次方程式 課文 A: 一元二次方程式的一般式 課文 B: 利用公式解解一元二次方程式 課文 C: 一元二次方程式的判別式 單元五 : 一元二次方程式的應用問題 課文 A: 一元二次方程式的應用問題... 78

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3 單元一 : 一元二次方程式及解的意義 ( 一 ) 課文 : 一元二次方程式及解的意義我們在七上的時候就曾經學過 一元一次方程式, 指的是含有一個未知數 ( 一元 ), 最高次方是一次方 ( 一次 ) 的等式 ( 方程式 ) 而我們這單元所要討論的是 x 的一元二次方程式, 什麼是一元二次方程式呢? 沒錯! 就是只有一個未知數 ( 一元 ) 且最高次方是二次方 ( 二次 ) 的等式 ( 方程式 ) 像是 x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 = 4, 它們都只有一個未知數 x, 而且最高次方都是二次方的等式, 就叫 一元二次方程式 我們舉幾個例子來判斷看看! Ex1. 判斷下列各式是不是一元二次方程式 : (1) 2x + 3 = 5 (2) x 2 + 3x 5 (3) x 2 = 5 (4) (x 5)(2x + 3) = 0 解題思維 : 一元二次方程式包含了三個條件 : 一元 是指只有一個未知數; 二次 是指那個未知數最高次方是二次方; 方程式 代表它 2

4 是一個等式 接下來就檢驗有沒有同時符合這三個條件 解 : (1) 2x + 3 = 5 這個式子只有一個未知數, 但是它最高次方是一次方, 而且明顯是一個等式 一個未知數 一次方 等式, 所以它應該是 一元一次方程式 (2) x 2 + 3x 5 這個式子的確只有一個未知數, 它最高次方也是二次方, 但是它沒有等號, 所以不是一個等式, 這樣的式子就是一個 一元二次多項式 (3) x 2 = 5 這個式子看起來很簡單, 我們來檢查看看! 它只有一個未知數, 最高次方也是二次方, 而且明顯是一個等式 這個式子完全符合 一個未知數 二次方 等式, 所以它就是一個 一元二次方程式 (4) (x 5)(2x + 3) = 0 這個式子看起來感覺不像一元二次方程式, 但是這是還沒有乘開化簡的東西, 所以我們將它乘開化簡開來看看 (x 5)(2x + 3) = 0 3

5 乘開後是 2x 2 + 3x 10x 15 = 0 再整理化簡 2x 2 7x 15 = 0 發現 (x 5)(2x + 3) = 0 乘開化簡後的結果是 2x 2 7x 15 = 0, 它只有一個未知數, 最高次方也是二次方, 而且明顯是一個等式 這個式子完全符合 一個未知數 二次方 等式, 所以它就是一個 一元二次方程式 認識完一元二次方程式後, 接下來介紹一元二次方程式的解 先回想一下, 我們以前曾經在國一時學過一元一次方程式的解 有一個一元一次方程式 x 2 = 3, 它的解會是什麼呢? 我們知道這個方程式中的 x 是一個未知數, 而當我們將 x = 5 代入 x 2 = 3 這個方程式時, 會發現等式成立, 那麼我們就說 5 是方程式 x 2 = 3 的解 同樣的, 一元二次方程式的解, 意思就是將某個數字代入一元二次方程式中, 如果等式成立了, 那麼我們就會說那個數字是一元二次方程式的解 舉一個例子來說, 一元二次方程式 x 2 7x + 12 = 0 的解是什麼呢? 我們嘗試將 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 代入方程式, 看看有什麼結果? 4

6 代入 x=1 x 2 7x + 12 = = = 6 0 等式不成立代入 x=2 x 2 7x + 12 = = = 2 0 等式不成立代入 x=3 x 2 7x + 12 = = = 0 = 0 等式成立代入 x=4 x 2 7x + 12 = = = 0 = 0 等式成立我們將 x=1 x=2 代入時, 等式不成立, 所以 x=1 x=2 都不是方程式 x 2 7x + 12 = 0 的 解 而當我們將 x=3 x=4 代入時, 等式成立, 所以 x=3 x=4 都是方程式 x 2 7x + 12 = 0 的 解, 也可以稱作 根 我們再看一題! Ex2. 1 是否為一元二次方程式 x 2 3x = 5x + 3 的解? 解 : 我們就是要將 x = 1 代入 x 2 3x = 5x + 3 這個方程式裡面, 看看等式會不會成立! 等號左邊 :x 2 3x = ( 1) 2 3 ( 1) = = 4 等號右邊 : 5x + 3 = ( 5) ( 1) + 3 = = 8 4 8, 左邊 右邊, 等式不成立, 所以 1 不是 x 2 3x = 5x + 3 的解! 5

7 重點提問 1. 上面的課文中提到, 如果直接按照字面上的意思來翻譯, 一元二 次方程式 指的是什麼? 並請你舉一個一元二次方程式的例子 2. 依據上面的課文, 請問所謂一元二次方程式的 解, 指的是什麼? 並請你舉一個例子說明一下 6

8 隨堂練習 : 1. 判斷下列各式是哪種式子, 填入格子內 (A) 一元一次多項式 (B) 一元一次方程式 (C) 二元一次式 (D) 二元一次方程式 (E) 一元二次多項式 (F) 一元二次方程式 (1) 3x 8 是 (2) x 2 + 5x + 6 是 (3) x + 2y = 4 是 (4) 3x 6 = 9 是 (5) 3x + 2y 是 (6) 3x 2 8 = 5x + 3 是 這些數中, 那些是一元二次方程式 x 2 x 2 = 0 的解? 7

9 3. x = 1 是下列哪些一元二次方程式的根?( 複選 ) (A) x 2 1=0 (B) x 2 2x + 1 = 0 (C) x 2 + 2x + 1 = 0 (D) x 2 5x 6 = 0 (E) 3x 2 + 5x 2 = 0 (F) 2x 2 5 = 2x 7 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 (2) watch?v=taayt9xv-yk watch?v=lrt_e-qokzm 8

10 單元二 : 因式分解法解一元二次方程式 ( 一 ) 課文 A: 利用提公因式法因式分解解一元二次方程式認識完一元二次方程式與其解的意義後, 接下來就要解一元二次方程式了! 首先就是要介紹解一元二次方程式的第一個方法 因式分解法, 在說明利用因式分解法解一元二次方程式之前, 先來看一個會用到的 觀念! A B = 0 這個式子代表著有兩個數, 一個是 A 一個是 B, 這兩個東西相乘等於 0 那麼這個式子什麼情況下會成立呢? 仔細想一下, 就可以知道這兩個數當中至少要有一個是 0, 換句話說, 就是 A = 0 或 B = 0 所以如果我們知道 A B = 0, 那麼就可以推論 A = 0 或 B = 0 有這個觀念後, 我們就要利用這個觀念解一元二次方程式, 例如 (3x + 1) (x + 2) = 0 : 代表 不是 (3x + 1) = 0 就是 (x + 2) = 0, 所以就個別解出 (3x + 1) = 0 及 (x + 2) = 0 就可以了! 9

11 Ex1. 解一元二次方程式 2x 2 3x = 0 解題思維 : 我們要怎麼利用 如果 A B = 0, 那麼 A = 0 或 B = 0 這個 觀念呢? 觀察一下,2x 2 3x = 0 是一個一元二次方程式, 等號右邊是 0, 所以如果把等號左邊 2x 2 3x 拆成兩個東西相乘, 那麼式子就會 符合 A B = 0 了! 把等號左邊 2x 2 3x 拆成兩個東西相乘, 就是我們之前所學的因 式分解! 2x 2 3x = 0 x(2x 3) = 0 A B = 0 所以 x = 0 或 2x 3 = 0 A = 0 或 B = 0 可以同時提出公因式 x! 移項整理得到 x = 0 或 3 2 解 : 2x 2 3x = 0 x(2x 3) = 0 x = 0 或 2x 3 = 0 x = 0 或 3 2 2x 2 3x = 0 的解是 x = 0 或 3 2 試著 x = 0 x = 3 代回去驗證看看 : 2 2x 2 3x = = 0 0 = 0 等式成立 2x 2 3x = = = = 0 等式成立 2

12 Ex2. 解一元二次方程式 3x 2 + 4x = 0 解 : 等號右邊是 0, 所以如果把等號左邊 3x 2 + 4x 拆成兩個東西相乘, 那麼式子就會符合 A B = 0 了! 3x 2 + 4x = 0 x(3x + 4) = 0 A B = 0 可以同時提出公因式 x! 所以 x = 0 或 3x + 4 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 x = 0 或 4 3 3x + 4 = 0 3x = 4 +4 移項過去變 4 x = ( 4) 3 3 移項過去 3 = ( 4) 1 = 解 : 3x 2 + 4x = 0 x(3x + 4) = 0 x = 0 或 3x + 4 = 0 x = 0 或

13 Ex3. 解一元二次方程式 x 2 = 2x 解題思維 : 這個方程式 x 2 = 2x 跟我們所要的形式 A B = 0 不太一樣, 最明顯不一樣的地方就是等號右邊不是 0, 那麼怎麼把等號右邊變成 0 呢? 很簡單, 就是將等號右邊 2x 移項到等號左邊 :x 2 2x = 0 接下來就可以繼續做下去了! x 2 2x = 0 x(x 2) = 0 A B = 0 可以同時提出公因式 x! 所以 x = 0 或 x 2 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 x = 0 或 2 解 : x 2 = 2x x 2 2x = 0 x(x 2) = 0 x = 0 或 x 2 = 0 x = 0 或 2 12

14 Ex4. 解一元二次方程式 (x + 3)(x + 2) = (x + 3)(2x 5) 解題思維 : 等號右邊不是 0, 等號右邊 (x + 3)(2x 5) 移項到等號左邊 : (x + 3)(x + 2) (x + 3)(2x 5) = 0 (x + 3)[(x + 2) (2x 5)] = 0 (x + 3)(x + 2 2x + 5) = 0 (x + 3)( x + 7) = 0 A B = 0 所以 x + 3 = 0 或 x + 7 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 x = 3 或 7 解 : (x + 3)(x + 2) = (x + 3)(2x 5) (x + 3)(x + 2) (x + 3)(2x 5) = 0 (x + 3)[(x + 2) (2x 5)] = 0 (x + 3)(x + 2 2x + 5) = 0 (x + 3)( x + 7) = 0 x = 3 或 7 可以同時提出公因式 ( x + 3)! 我們在利用因式分解法解一元二次方程式時, 想法就是要將整個式子變 成 A B = 0 的樣子, 等號右邊要讓它為 0, 而等號左邊要讓它變成 兩個東西相乘 ; 接下來就可以推得 A = 0 或 B = 0, 把解求出來了! 13

15 重點提問 1. 根據上面的課文, 利用因式分解法解一元二次方程式需要將式子 整理成怎麼樣子? 整理之後就可以推得什麼? 2. 利用提公因式因式分解來解一元二次方程式 3x 2 = 6x 14

16 A. 隨堂練習 : 1. 解一元二次方程式 3x 2 5x = 0 2. 解一元二次方程式 x x = 0 3. 解一元二次方程式 x 2 = 6x 4. 解一元二次方程式 (x + 5)(x + 1) = (x + 5)(x 5) 還是不太懂, 請看下面影片 15 watch?v=ltzpdp_98ai

17 單元二 : 因式分解法解一元二次方程式 ( 二 ) 課文 B: 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式接下來繼續利用因式分解法解一元二次方程式, 我們這學期剛學過的因式分解有三種方法 : 提公因式 乘法公式和十字交乘法 課文 A 是利用提公因式來因式分解, 如果沒有公因式可以提出來的話, 就可以試試十字交乘法來進行因式分解 來看一下例題! Ex1. 解一元二次方程式 x 2 2x 3 = 0 解題思維 : 觀察一下 x 2 2x 3 = 0 這個一元二次方程式, 發現等號右邊是 0, 如果將等號左邊 x 2 2x 3 因式分解成兩個東西相乘, 那麼整個式子就會符合 A B = 0 了! x 2 2x 3 沒有公因式可以提出去, 可以試試十字交乘法進行因式分解 16

18 十字交乘法有一個口訣 : 拆前面 拆後面 造中間,x 2 2x 3 前面 x 2 可以拆成 x 乘 x ; 後面 3 可以拆成 +1 乘 3, 交叉相乘 : x + 1 x 3 +x 3x = 2x 等號左邊 x 2 2x 3 = (x + 1)(x 3) 整個式子就是 (x + 1)(x 3) = 0 A B = 0 所以 x + 1 = 0 或 x 3 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 x = 1 或 3 解 : x 2 2x 3 = 0 x +1 x 3 x 3x 2x (x + 1)(x 3) = 0 x + 1 = 0 或 x 3 = 0 x = 1 或 3 17

19 Ex2. 解一元二次方程式 3x x + 5 = 0 解題思維 : 發現等號右邊是 0, 所以要將等號左邊因式分解! 3x x + 5 可以利用十字交乘法進行因式分解 十字交乘法的口訣 : 拆前面 拆後面 造中間,3x x + 5 前面 3x 2 可以拆成 3x 乘 x ; 後面 +5 可以拆成 +1 乘 +5, 交叉相乘 : 3x + 1 x + 5 +x + 15x = +16x 等號左邊 3x x + 5 = (3x + 1)(x + 5) 整個式子就是 (3x + 1)(x + 5) = 0 A B = 0 所以 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0 A = 0 或 B = 0 3x + 1 = 0 3x = 1 +1 移項過去變 1 移項整理得到 x = 1 3 或 5 x = ( 1) 3 3 移項過去變 3 = ( 1) 1 3 = 1 3 解 : 3x x + 5 = 0 3x +1 x 5 x 15 x 16 x (3x + 1)(x + 5) = 0 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0 x = 1 或

20 Ex3. 解一元二次方程式 3x x + 5 = 0 解題思維 : 發現等號右邊是 0, 所以要將等號左邊因式分解! 3x x + 5 可以利用十字交乘法進行因式分解 十字交乘法的口訣 : 拆前面 拆後面 造中間, 3x x + 5 前面 3x 2 可以拆成 3x 乘 x ; 後面 +5 可以拆成 +1 乘 +5, 交叉相乘 : 3x + 1 x + 5 x + 15x = +14x 等號左邊 3x x + 5 = (3x + 1)( x + 5) 整個式子就是 (3x + 1)( x + 5) = 0 A B = 0 所以 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 x = 1 3 或 5 解 : 3x x + 5 = 0 3x +1 x 5 x 15 x 14 x (3x + 1)( x + 5) = 0 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0 x = 1 或

21 Ex4. 解一元二次方程式 4x x + 9 = 0 解題思維 : 發現等號右邊是 0, 所以要將等號左邊因式分解! 4x x + 9 可以利用十字交乘法進行因式分解 十字交乘法的口訣 : 拆前面 拆後面 造中間,4x x + 9 前面 4x 2 可以拆成 2x 乘 2x ; 後面 +9 可以拆成 +3 乘 +3, 交叉相乘 : 2x + 3 2x + 3 6x + 6x = +12x 等號左邊 4x x + 9 = (2x + 3)(2x + 3) 整個式子就是 (2x + 3)(2x + 3) = 0 A B = 0 所以 2x + 3 = 0 或 2x + 3 = 0 A = 0 或 B = 0 2x + 3 = 0 2x = 3 +3 移項過去變 3 移項整理得到 x = 3 或 x = ( 3) 2 2 移項過去變 2 = ( 3) 1 2 = 1 2 同學們一定會覺得很奇怪, 這兩個解不是一樣的嗎? 沒錯! 這兩個解都一樣, 在這種 兩個解都一樣 的特別情況, 我們叫做 重根! 所以我們寫出來的解也可以寫成 x = 3 2 ( 重根 )! 20

22 Ex5. 解一元二次方程式 (2x + 5)(x + 4) = 14 解題思維 : 這個式子的等號左邊看起來像是已經因式分解好了, 但是仔細看等號右邊不是 0, 所以必須先將等號右邊的 14 移項過去等號左邊 (2x + 5)(x + 4) 14 = 0 這樣子等號左邊 (2x + 5)(x + 4) 14 就必須重新整理了, (2x + 5)(x + 4) 14 = 0 2x 2 + 8x + 5x = 0 2x x + 6 = 0 這很明顯可以使用十字交乘法 : 前面 2x 2 可以拆成 2x 乘 x ; 後面 +6 可以拆成 +1 乘 +6, 交叉相乘 : 2x + 1 x + 6 x + 12x = +13x 所以 (2x + 1)(x + 6) = 0 那麼 (2x + 1) = 0 或 (x + 6) = 0 移項整理得到 x = 1 2 或 6 2x + 1 = 0 2x = 1 +1 移項過去變 1 x = ( 1) 2 2 移項過去變 2 = ( 1) 1 2 =

23 重點提問 1. 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 x 2 + 7x = 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 (x + 1)(2x 1) = 2 22

24 B. 隨堂練習 : 1. 解一元二次方程式 x 2 7x + 10 = 0 2. 解一元二次方程式 3x 2 14x + 15 = 0 3. 解一元二次方程式 3x x 10 = 0 4. 解一元二次方程式 9x 2 12x + 4 = 0 23

25 5. 解一元二次方程式 (x 1) 2 + 5(x 1) + 4 = 0 6. 解一元二次方程式 (2x 3)(x + 2) = 4 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 (2) watch?v=0fjlidi2vlm watch?v=9mncwqdujgw 24

26 單元二 : 因式分解法解一元二次方程式 ( 三 ) 課文 C: 利用乘法公式因式分解解一元二次方程式因式分解還有一種方式, 就是利用乘法公式來因式分解 複習一下, 乘法公式有三種 : 和的平方公式 :a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 差的平方公式 :a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 平方差公式 :a 2 b 2 = (a + b)(a b) 直接來試試看練習題! Ex1. 解一元二次方程式 x 2 6x + 9 = 0 解題思維 : 這個 x 2 6x + 9 = 0 一元二次方程式的等號右邊為 0, 所以將等號左邊 x 2 6x + 9 因式分解看看! x 2 6x + 9 可以利用公式 a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 因式分解 x 2 6x + 9 = x 2 2 x = (x 3) 2 a 2 2 a b + b 2 = (a b) 2 整個式子就是 (x 3) 2 = 0 這個 (x 3) 的平方等於 0, 其實就是 (x 3) 會等於 0, 所以 x 就會等於 3 25

27 但是這個一元二次方程式 x 2 6x + 9 = 0 的解只有一個嗎? 仔細想一下,x 2 6x + 9 = 0 這個一元二次方程式可以化成 (x 3) 2 = 0, 而等號左邊 (x 3) 2 = (x 3)(x 3) ; (x 3)(x 3) = 0, 那麼 (x 3) = 0 或 (x 3) = 0 所以更準確地來說, 解出來應該是兩個都一樣的, 也就是 重根 因此解出來的解可以寫成 x = 3 ( 重根 )! 解 : x 2 6x + 9 = 0 x 2 2 x = 0 (x 3) 2 = 0 (x 3) = 0 x = 3 ( 重根 ) 26

28 Ex2. 解一元二次方程式 4x x + 9 = 0 解題思維 : 發現等號右邊是 0, 所以要將等號左邊因式分解! 在課文 B 時, 等號左邊是利用十字交乘法因式分解的, 而這其實也可以利用乘法公式因式分解 等號左邊 4x x + 9 : 4 是 2 的平方, 所以 4x 2 = (2x) 2 ; 12x 可以拆成 2 乘 2x 乘 3, 也就是 12x = 2 2x 3 ; 而 9 = 3 2 如下面的式子 : 4x x + 9 = (2x) x = (2x + 3) 2 a a b + b 2 = ( a + b) 2 所以整個式子就是 (2x + 3) 2 = 0 其實就是 (2x + 3) = 0, 所以 x = 3, 但它其實是有兩個一樣的 2 解, 因此解出來的解可以寫成 x = 3 ( 重根 )! 2 解 : 4x x + 9 = 0 (2x) x = 0 (2x + 3) 2 = 0 (2x + 3) = 0 x = 3 ( 重根 ) 2 27

29 Ex3. 解一元二次方程式 4x 2 = 9 解題思維 : 看一下 4x 2 = 9 這一個一元二次方程式, 發現它等號的右邊不是 0, 那麼第一步我們當然要將等號右邊的東西移項到等號左邊去 等號右邊的 9 移項到等號左邊去, 整個式子變成 4x 2 9 = 0 了! 接下來就是要將等號左邊 4x 2 9 因式分解 等號左邊 4x 2 9 : 4 是 2 的平方, 所以 4x 2 = (2x) 2 ; 而 9 = 3 2 如下面的式子 : 4x 2 9 = (2x) = (2x + 3)(2x 3) a 2 b 2 = ( a + b)( a b) 所以整個式子就是 (2x + 3)(2x 3) = 0 A B = 0 那麼我們就會知道 (2x + 3) = 0 或 (2x 3) = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 x = 3 2 解 : 4x 2 = 9 4x 2 9 = 0 (2x) = 0 (2x + 3)(2x 3) = 0 (2x + 3) = 0 或 (2x 3) = 0 或 3 2 x = 3 2 或

30 Ex4. 解一元二次方程式 (3x 2) 2 = (2x 3) 2 解題思維 : 看這個一元二次方程式 (3x 2) 2 = (2x 3) 2, 發現等號右邊不為 0, 所以要移項到左邊變成 :(3x 2) 2 (2x 3) 2 = 0 等號左邊很明顯就是可以利用平方差公式 :a 2 b 2 = (a + b)(a b) (3x 2) 2 (2x 3) 2 = 0 a 2 b 2 [(3x 2) + (2x 3)][(3x 2) (2x 3)] = 0 (a + b) (a b) (3x 2 + 2x 3)(3x 2 2x + 3) = 0 (5x 5)(x + 1) = 0 A B = 0 5x 5 = 0 或 x + 1 = 0 A = 0 或 B = 0 x = 1 或 1 29

31 重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋 重根 的意思, 並請你舉 一個例子說明一下 30

32 C. 隨堂練習 : 1. 解一元二次方程式 x 2 + 8x + 16 = 0 2. 解一元二次方程式 9x 2 24x + 16 = 0 3. 解一元二次方程式 9x 2 = 4 4. 解一元二次方程式 (x 2) 2 = (2x + 3) 2 還是不太懂, 請看下面影片 watch?v=1qmpo436-us 31

33 單元三 : 利用配方法解一元二次方程式 ( 一 ) 課文 A: 利用平方根的概念解一元二次方程式上一單元我們利用因式分解法解一元二次方程式, 但是所有的一元二次方程式都可以利用因式分解法來解嗎? 試試看解一元二次方程式 x 2 + 6x + 2 = 0 要將左邊 x 2 + 6x + 2 因式分解, 讓整個成為 A B = 0 的形式: x 2 6x + 2 各項沒有共同的公因式, 所以不能提公因式 ; 如果我們嘗試用和的平方公式因式分解 x 2 + 6x + 2,x 當成 a, 6x = 2 x 3,3 當成 b, 可是 3 2 = 9 不是 2, 所以不符合乘法公式 ; 試試看用十字交乘法, 拆前面 拆後面 造中間, 前面 x 2 拆成 x x, 後面 +2 拆成 (+2) (+1), 看看造中間, 也發現沒辦法成功造中間, 所以也沒辦法利用十字交乘法 x 1 x 2 x 2x 3x 這種沒辦法利用因式分解法來解的一元二次方程式怎麼辦? 接下來要介紹新的方法! 32

34 我們先來看一些比較簡單的例子! Ex1. 解下列一元二次方程式 : (1) x 2 = 4 (2) x 2 = 7 解 : 這兩題都是很單純一元二次方程式的題目, 就其實是求平方根 (1) x 2 = 4, 指的意思是 x 是 4 的平方根 4 是 2 的平方, 也是 2 的平方, 所以 x = 2 或 2 (2) x 2 = 7, 指的意思是 x 是 7 的平方根 7 是 7 的平方, 也是 7 的平方, 所以 x = 7 或 7 再來看稍微複雜一點的題目! Ex2. 解下列一元二次方程式 : (1) (x 1) 2 = 4 (2) (x + 3) 2 = 7 解 :(1) 這題我們可以利用因式分解的方法來解, 也可以用不同方法來試試看! (x 1) 2 = 4, 我們先將 (x 1) 看成一整個物件 一整個物件的平方等於 4 :(x 1) 2 = 4, 所以 (x 1) = 2 或 2 x 1 = 2 或 x 1 = 2 x = 或 x = x = 3 或 1 33

35 (2) (x + 3) 2 = 7, 我們先將 (x + 3) 看成一整個物件 整個物件的平方等於 7 :(x + 3) 2 = 7, 所以 (x + 3) = 7 或 7 x + 3 = 7 或 x + 3 = 7 x = 或 x = 3 7 x = 或 3 7 Ex3. 解下列一元二次方程式 : (1) x 2 = (2) (x )2 = 解 : (1) x 2 = 13, 指的意思是 x 是 13 的平方根, 所以 x = ± 13, 而 = = 13 6 平方根有兩個 : 正跟負, 所以 x = 13 6 或 13 6 (2) (x )2 = 13 36, 我們先將 (x ) 看成一整個物件 整個物件的平方等於 :(x )2 = 13 36, 從 (1) 可以知道 (x ) = 13 6 或 13 6 x = 13 6 x = 或 x = 13 6 或 x = x = ;1: 13 6 或 ;1;

36 在 Ex1 Ex2 與 Ex3 中, 我們都用到了平方根的觀念來解一元二次方程式, 而這個平方根的觀念就是配方法很重要的想法 我們要利用平方根的觀念來解一元二次方程式, 就需要將每一個一元二次式變成完全平方式的樣子, 像是 (x 1) 2 (x + 3) 2, 於是整個式子就變成 (x + ) 2 = 形式, 像是 (x 1) 2 = 4 (x + 3) 2 = 7, 接下來就可以利用平方根的觀念解出 x 來了! 而變成完全平方式的過程, 這個方法就是所謂的 配方法 ( 配成完全平方式的方法 ) 35

37 重點提問 1. 根據上面的課文, 要利用 配方法 解一元二次方程式, 會利用 到什麼樣的觀念? 2. 根據上面的課文, 我們可以利用平方根的觀念解怎樣的一元二次 方程式? 請舉出一個例子說明 36

38 A. 隨堂練習 : 1. 解一元二次方程式 x 2 = 8 2. 解一元二次方程式 x 2 = 解一元二次方程式 x 2 = 解一元二次方程式 (x + 2) 2 = 8 37

39 5. 解一元二次方程式 (x 5) 2 = 解一元二次方程式 (x 5 2 )2 = 33 4 還是不太懂, 請看下面影片 watch?v=-t0ptmiesb8 38

40 單元三 : 利用配方法解一元二次方程式 ( 二 ) 課文 B: 配成完全平方式 配方法 就是要將式子配成完全平方式的方法, 接下來我們就要先看如何配成完全平方式 在了解如何配成完全平方式之前, 先複習一下乘法公式, 主要會用到兩種公式 : 1. 和的平方公式 :(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 這個公式表示的意思是說 (a + b) 2 展開就會變成 a 2 + 2ab + b 2 ; 反過來說就是只要集滿 a 2 + 2ab + b 2, 就可以換成 (a + b) 2, 而這就是一種完全平方式了! 2. 差的平方公式 :(a b) 2 = a 2 2ab + b 2 這個公式表示的意思是說 (a b) 2 展開就會變成 a 2 2ab + b 2 ; 反過來說就是只要集滿 a 2 2ab + b 2, 就可以換成 (a b) 2, 而這就是一種完全平方式了! 我們就是利用乘法公式的概念去配成完全平方式 39

41 Ex1. 在空格中填入適當的數, 並將下列各式變成完全平方式 (1) x 2 + 6x + (2) x 2 10x + 解 : (1) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式, 從題目來觀察, x 2 + 6x + 這個式子結構跟 a 2 + 2ab + b 2 比較像, 所以我們只要集滿 a 2 + 2ab + b 2 就可以換成 (a + b) 2 x 2 + 6x + 這裡的 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那 6x 就當成是 2ab, 想一下 6x = 2 x?, 問號會是多少? 6x = 2 x 3, 也就是說把 3 當成 b; 所以最後再加個 b 2 就集滿 a 2 + 2ab + b 2 了 如下面的式子 : 所以 只要填入 3 2, 試試看, x 2 + 6x + = x x 3 + a a b + b 2 就有集滿 a 2 + 2ab + b 2, 可以變成 (a + b) 2 x 2 + 6x +3 2 = x x = (x + 3) 2 變成完全平方式了! a a b + b 2 = (a + b) 2 40

42 (2) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式, 從題目來觀察, x 2 10x + 這個式子結構跟 a 2 2ab + b 2 比較像, 所以我們只要集滿 a 2 2ab + b 2 就可以換成 (a b) 2 x 2 10x + 這裡的 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那 10x 就是 2ab, 想一下 10x = 2 x?, 問號會是多少? 10x = 2 x 5, 也就是可以把 5 當成 b; 所以最後再加個 b 2 就集滿 a 2 2ab + b 2 了 如下面的式子 : 所以 只要填入 5 2, x 2 10x + = x 2 2 x 5 + a 2 2 a b + b 2 就有集滿 a 2 2ab + b 2, 可以變成 (a b) 2 試試看, x 2 10x +5 2 = x 2 2 x = (x 5) 2 變成完全平方式了! a 2 2 a b + b 2 = (a b) 2 41

43 Ex2. 在空格中填入適當的數, 並將下列各式變成完全平方式 (1) x 2 5x + (2) x 2 + 7x + 解 : (1) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式, 從題目來觀察, x 2 5x + 這個式子結構跟 a 2 2ab + b 2 比較像, 所以我們只要集滿 a 2 2ab + b 2 就可以換成 (a b) 2 x 2 5x + 這裡的 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那麼 5x 就是 2ab, 想一下 5x = 2 x?, 問號會是多少? 5x = 2 x 5, 也就是把 5 當成 b; 2 2 所以最後再加個 b 2 就集滿 a 2 2ab + b 2 了 如下面的式子 : x 2 5x + = x 2 2 x a 2 2 a b + b 2 所以 只要填入 ( 5 2 )2, 就有集滿 a 2 2ab + b 2, 可以變成 (a b) 2 試試看, x 2 5x + ( 5 2 )2 = x 2 2 x (5 2 )2 = (x 5 2 )2 變成完全平方式! a 2 2 a b + b 2 = (a b) 2 42

44 (2) 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式, 從題目來觀察, x 2 + 7x + 這個式子結構跟 a 2 + 2ab + b 2 比較像, 所 以我們只要集滿 a 2 + 2ab + b 2 就可以換成 (a + b) 2 x 2 + 7x + 這裡的 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那麼 7x 就是 2ab, 想一下 7x = 2 x?, 問號會是多少? 7x = 2 x 7, 就是把 7 當成 b; 2 2 所以最後再加個 b 2 就集滿 a 2 + 2ab + b 2 了 如下面的式子 : x 2 + 7x + = x x a a b + b 2 所以 只要填入 ( 7 2 )2, 就有集滿 a 2 + 2ab + b 2, 可以變成 (a + b) 2 試試看, x 2 + 7x + ( 7 2 )2 = x x (7 2 )2 = (x )2 變成完全平方式! a a b + b 2 = (a + b) 2 43

45 省思 : 我們來對照一下這些例子! x 2 + 6x = x x = (x + 3) 2 x 2 10x = x 2 2 x = (x 5) 2 x 2 5x +( 5 2 )2 = x 2 2 x (5 2 )2 = (x 5 2 )2 x 2 + 7x +( 7 2 )2 = x x (7 2 )2 = (x )2 從這 4 個例子觀察, 可以看到一些特性, x 2 係數都是 1, 框框填的都是原本 x 前面數字一半的平方, 也就是 b 會是原本 x 前面數字的一半 例如 : x 2 + 6x 的 x 前面數字是 6, b 計算出來就是 3, 3 就是 6 的一半 x 2 + 6x 再加上 3 2 才集滿 x x 可以換成 (x + 3) 2 ; x 2 10x 的 x 前面數字是 10, b 計算出來就是 5,5 就是 10 的一半 x 2 10x 再加上 5 2 才集滿 x 2 2 x 可以換成 (x 5) 2 ; x 2 5x 的 x 前面數字是 5, b 計算出來就是 5 2,5 就是 5 的一半 2 x 2 5x 再加上 ( 5 2 )2 才集滿 x 2 2 x (5 2 )2 可以換成 (x 5 2 )2 ; x 2 + 7x 的 x 前面數字是 7, b 計算出來就是 7 2,7 就是 7 的一半 2 x 2 + 7x 再加上 ( 7 2 )2 才集滿 x x (7 2 )2 可以換成 (x )2 44

46 Ex3. 在空格中填入適當的數, 並變成完全平方式 : x x + 3 解 : 我們需要利用乘法公式來配成完全平方式, 從題目來觀察, x x + 這個式子結構跟 a 2 + 2ab + b 2 比較像, 3 所以我們只要集滿 a 2 + 2ab + b 2 就可以換成 (a + b) 2 x x + 這裡的 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那麼 1 3 x 就是 2ab, 想一下 1 3 x = 2 x?, 問號會是多少? 問號會是 1 3 的一半 : x = 2 x 1, 也就是把 1 當成 b; 所以最後再加個 b 2 就集滿 a 2 + 2ab + b 2 了 如下面的式子 : x x + = x2 + 2 x a a b + b 2 所以 只要填入 ( 1 6 )2, 就有集滿 a 2 + 2ab + b 2, 可以變成 (a + b) 2 試試看, x x + 3 (1 6 )2 = x x (1 6 )2 = (x )2 變成完全平方式! a a b + b 2 = (a + b) 2 45

47 重點提問 1. 根據上面的課文, 我們可以利用哪兩個乘法公式來將式子配成完 全平方式? 2. 請在空格中填入適當的數, 並變成完全平方式 : x 2 + mx + 從題目來觀察, 應該要利用和的平方公式來協助配成完全平方法 集滿 a 2 + 2ab + b 2, 就可以換成 (a + b) 2! 將當成 a 當成 2ab,mx = 2, 那麼當成 b, 所以 要填入 b 2 = 填入之後,x 2 + mx + = 它的完全平方式就是 46

48 B. 隨堂練習 : 1. 在空格中填入適當的數, 並變成完全平方式 :x 2 + 2x + 2. 在空格中填入適當的數, 並變成完全平方式 :x 2 8x + 3. 在空格中填入適當的數, 並變成完全平方式 :x 2 + 3x + 4. 在空格中填入適當的數, 並變成完全平方式 :x 2 x + 47

49 5. 在空格中填入適當的數, 並變成完全平方式 :x x + 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 (2) watch?v=8u1fnbaymxk watch?v=tugmuwf2rvi 48

50 單元三 : 利用配方法解一元二次方程式 ( 三 ) 課文 C: 利用配方法解 x 2 係數為 1 的一元二次方程式懂了利用平方根的概念解一元二次方程式, 也知道如何將一個一元二次多項式配成完全平方後, 接下來就來看如何利用配方法解一般的一元二次方程式吧! 課文 A 一開始就舉出一個例子, 解一元二次方程式 x 2 + 6x + 2 = 0, 這個等號左邊的 x 2 + 6x + 2 無法利用提公因式 乘法公式 十字交乘法來因式分解, 自然無法利用因式分解法來解 那麼怎麼利用配方法來解呢? 首先, 我們思考一下, 是要解出什麼來? 是要解一元二次方程式 x 2 + 6x + 2 = 0 這個方程式的解, 求出 x, 所以主角是 x! 那麼我們就習慣將跟 x 比較有關的 x 2 +6x 放一起, 把 +2 移項到等號右邊, 那麼式子就會變成 :x 2 + 6x = 2 接下如果我們可以將式子變成 (x + ) 2 = 這個形式的話, 就可以用平方根的概念來解了 49

51 也就是要想辦法配出完全平方式來, 要配成完全平方式需要集滿 a 2 + 2ab + b 2 才可以換成 (a + b) 2 嘗試處理 x 2 + 6x, 把 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那 6x 就當成是 2ab, 想一下 6x = 2 x?,6x = 2 x 3, 也就是說把 3 當成 b 有 a 2 2ab, 所以還缺少 b 2, 再加上 b 2 就集滿 a 2 + 2ab + b 2 也就是 x 2 + 6x 再加上 3 2, 就可以配成完全平方了 因為是等式, 等號左邊要加上 3 2, 等號右邊當然也要加上 3 2, 才能維持等式成立, 所以式子就會變成 :x 2 + 6x = 等式左邊 :x 2 + 6x = x x = (x + 3) 2 a a b + b 2 = (a + b) 2 所以式子可以整理成 :(x + 3) 2 = (x + 3) 2 = (x + 3) 2 = 7 這時候我們就可以利用平方根的概念來解了, 整個的平方等於 7 :(x + 3) 2 = 7, 所以 (x + 3) = 7 或 7 x + 3 = 7 或 x + 3 = 7 x = 或 x = 3 7 x = 或

52 再來看看一題吧! Ex1. 利用配方法解一元二次方程式 x 2 10x + 8 = 0 解題思維 : 移項一下, 式子變成 :x 2 10x = 8, 我們就來想怎麼配成平方 x 2 10x, 我們要集滿 a 2 2ab + b 2 換成 (a b) 2 把 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那 10x 就當成是 2ab, 想一下 10x = 2 x?, 問號會是多少? 10x = 2 x 5, 也就是說把 5 當成 b 有 a 2 2ab, 所以還缺少 b 2, 再加上 b 2 就集滿 a 2 2ab + b 2 也就是 x 2 10x 再加上 5 2, 就可以配成完全平方了 因為是等式, 等號左邊要加上 5 2, 等號右邊當然也要加上 5 2, 才能維持等式成立, 所以式子就會變成 :x 2 10x = 等式左邊 :x 2 10x = x 2 2 x = (x 5) 2 a 2 2 a b + b 2 = (a b) 2 所以式子可以整理成 :(x 5) 2 = (x 5) 2 = (x 5) 2 = 17 這時候我們就可以利用平方根的概念來解了 51

53 解 :x 2 10x + 8 = 0 x 2 10x = 8 x 2 10x = = = 17 (x 5) 2 = 17 (x 5) = 17 或 (x 5) = 17 x = 或 5 17 再來練習看看一題比較難配方的題目! Ex2. 利用配方法解一元二次方程式 x 2 5x = 2 解題思維 : 跟 x 比較有關的已經一起, 接下來就來想怎麼配成平方吧! x 2 5x, 我們要集滿 a 2 2ab + b 2 換成 (a b) 2 把 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那 5x 就當成是 2ab, 想一下 5x = 2 x?, 問號會是多少? 5x = 2 x 5, 也就是說把 5 當成 b 2 2 有 a 2 2ab, 所以還缺少 b 2, 再加上 b 2 就集滿 a 2 2ab + b 2 也就是 x 2 5x 再加上 ( 5 2 )2, 就可以配成完全平方了 52

54 因為是等式, 等號左邊要加上 ( 5 2 )2, 等號右邊當然也要加上 ( 5 2 )2, 才能維持等式成立, 所以式子就會變成 :x 2 5x + ( 5 2 )2 = 2 + ( 5 2 )2 等式左邊 :x 2 5x + ( 5 2 )2 = x 2 2 x (5 2 )2 = (x 5 2 )2 所以式子可以整理成 :(x 5 2 )2 = 2 + ( 5 2 )2 a 2 2 a b + b 2 = (a b) 2 (x 5 2 )2 = (x 5 2 )2 = (x 5 2 )2 = 33 4 這時候我們就可以利用平方根的概念來解了 解 : x 2 5x 2 = 0 x 2 5x = 2 x 2 5x + ( 5 2 )2 = 2 + ( 5 2 )2 = = = 33 4 (x 5 2 )2 = 33 4 (x 5 2 ) = 33 4 (x 5 2 ) = 33 4 (x 5 2 ) = 33 2 x = x = 5: 33 2 或 (x 5 2 ) = 33 4 或 (x 5 2 ) = 33 4 或 (x 5 2 ) = 33 2 或 x = 或 5;

55 重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋一下什麼是 配方法 2. 請利用配方法解一元二次方程式 x 2 + 4x 4 = 0 54

56 C. 隨堂練習 : 1. 利用配方法解一元二次方程式 x 2 + 8x 7 = 0 2. 利用配方法解一元二次方程式 x 2 2x = 3 3. 利用配方法解一元二次方程式 x 2 + x 1 = 0 4. 利用配方法解一元二次方程式 x 2 3x = 10 還是不太懂, 請看下面影片 55 watch?v=bdfnaaofzz0

57 單元三 : 利用配方法解一元二次方程式 ( 四 ) 課文 D: 利用配方法解 x 2 係數不為 1 的一元二次方程 式 如果我們今天遇到 x 2 係數不為 1 的一元二次方程式, 怎麼辦呢? 其實就把它變回去 x 2 係數為 1 的一元二次方程式就好了! 舉個例子! 我們要解 3x 2 + x 1 = 0 這個一元二次方程式, 它的 x 2 係數是 3 啊! 因為是等式, 所以等號左右同除以 3 依然相等 : 3x 2 + x 1 = 它的 x 2 係數變成 1 了 : x x 1 = 將 1 移項到等號右邊 : x x =

58 x x 想要配成完全平方, 我們要集滿 a 2 + 2ab + b 2 換成 3 (a + b) 2 把 x 2 當成 a 2, 就是把 x 當成 a; 那 1 x 就當成是 2ab, 想一下 3 1 x = 2 x?, 問號會是 1 的一半 : x = 2 x 1, 也就是把 1 當成 b; 所以最後再加個 ( )2 就集滿 a 2 + 2ab + b 2 了 而等號左邊要加上 ( 1 6 )2, 等號右邊當然也要加上 ( 1 6 )2, 才能維持等式成立 : x x + (1 6 )2 = (1 6 )2 等號左邊 : x x + (1 6 )2 = x x (1 6 )2 = (x )2 a a b + b 2 = (a + b) 2 等號右邊 : (1 6 )2 = = = = 整個式子 : (x )2 =

59 將 (x ) 看成一整個東西, 利用平方根的概念 : (x )2 = (x ) = 或 將 + 1 移項到等號右邊 : 6 x = x = 13 6 x = x = ;1: 13 6 或 x = 或 x = 13 6 或 x = 或 ;1;

60 重點提問 1. 請利用配方法解一元二次方程式 2x 2 4x + 1 = 0 D. 隨堂練習 : 1. 利用配方法解一元二次方程式 2x 2 + 6x + 1 = 0 59

61 2. 利用配方法解一元二次方程式 3x 2 2x = 1 還是不太懂, 請看下面影片 watch?v=rotxis8dm0m 60

62 單元四 : 利用公式解解一元二次方程式 ( 一 ) 課文 A: 一元二次方程式的一般式我們前面學過解一元二次方程式有兩種方法 : 因式分解法跟配方法, 接下來我們要來看最後一種解法 : 公式解 在介紹這個公式之前, 要先介紹 一元二次方程式的一般式 什麼是一元二次方程式的一般式呢? 就是只要是一元二次方程式, 都一定可以寫成 ax 2 + bx + c = 0 的樣子, ax 2 + bx + c = 0 就是一元二次方程式的一般式! 真的可以代表所有的一元二次方程式嗎? 我們舉一些例子來試試看! 3x 2 + 4x + 1 = 0, 明顯跟一般式 ax 2 + bx + c = 0 完全符合, 再比對一下 : 3x 2 +4x +1 = 0 ax 2 +bx +c = 0 會發現 3x 2 + 4x + 1 = 0 的 a = 3 b = 4 c = 1 那 x 2 + 3x = 1 呢? 看起來好像不太像, 但是我們可以移項一下 等號右邊的 1 移項到等號左邊變 +1, 整個式子變成 x 2 + 3x + 1 = 0, 符合一般式 ax 2 + bx + c = 0 了 比對一下,: x 2 +3x +1 = 0 ax 2 +bx +c = 0 x 2 代表是 1 x 2, 所以 a = 1 b = 3 c = 1 61

63 再舉一個例子,4x 2 5 = 0, 好像不太一樣, 它只有兩項, 但 ax 2 + bx + c = 0 有三項, 那怎麼辦? 很簡單, 4x 2 5 = 0 缺了 x 項, 所以就補項 +0x, 變成 : 4x 2 + 0x 5 = 0 但是要注意 ax 2 + bx + c = 0 每一項都是加的, 所以把式子變成 : 4x 2 +0x +( 5) = 0 ax 2 +bx + c = 0 比對一下, 就知道 a = 4 b = 0 c = 5 如果你對找係數很熟悉的話, 你也可以用係數來看, 在一元二次方程式的一般式 ax 2 + bx + c = 0 中, a 所代表的就是 x 2 的係數 b 所代表的就是 x 的係數 c 所代表的就是常數項 再來看一下 4x 2 5 = 0 這個一元二次方程式,x 2 的係數是 4 ; 沒有 x 項, 所以代表 x 項的係數是 0 ; 常數項是 5 因此 a = 4 b = 0 c = 5 不管怎麼舉例, 只要是一元二次方程式, 都一定可以寫成一般式 ax 2 + bx + c = 0 的樣子, 也可以找出 x 2 係數 a x 的係數 b 常數 c 62

64 重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋一下什麼是一元二次方程式 的 一般式 並舉出一個例子說明 A. 隨堂練習 : 1. 請將下列一元二次方程式化為一般式 ax 2 + bx + c = 0 的樣子, 並找出各式的 a b c (1) 3x 2 2x = 1 (2) x 2 2x = 3 (3) x 2 = 3x 4 63

65 單元四 : 利用公式解解一元二次方程式 ( 二 ) 課文 B: 利用公式解解一元二次方程式只要是一元二次方程式, 都一定可以寫成一般式 ax 2 + bx + c = 0 的樣子, 也可以找出 x 2 係數 a x 的係數 b 常數 c, 然後我們就可 以將 a b c 代入 x = b± b 2 4ac 2a 這個公式, 而這個公式就 是所謂的 公式解 那這個公式是怎麼來的呢? 任何的一元二次方程式, 都一定可以寫成一般式 ax 2 + bx + c = 0 的樣子, 所以我們來解解看 ax 2 + bx + c = 0 這個一元二次方程式的解會是怎樣 我們要解一元二次方程式 ax 2 + bx + c = 0, 它的 x 2 係數是 a, 而且因為它是一元二次方程式, 所以 a 0 將它整個式子同除以 a : ax2 + bx + c = 0 a a a a 它的 x 2 係數變成 1 了 : x 2 + b x + c = 0 a a 將 + c 移項到等號右邊 : x 2 + b x = c a a a x 2 + b x 想要配成完全平方, 我們要集滿 a 換成 ( + ) 2 64

66 把 x 2 當成 2, 就是把 x 當成 ; 那 b a x 就當成是 2, 想一下 b x = 2 x?, a 問號會是 b a 的一半 : b 2a b a b x = 2 x, 也就是把 b 當成 ; 所以最後再加個 ( b 2a 2a 2a )2 就集滿 了 而等號左邊要加上 ( b 等式成立 : 等號左邊 : x 2 + b a 2a )2, 等號右邊當然也要加上 ( b 2a )2, 才能維持 x 2 + b a x + ( b 2a )2 = c a + ( b 2a )2 等號右邊 : c a + ( b 2a )2 = c a + b2 4a 2 整個式子 : x + ( b 2a )2 = x x b 2a + ( b 2a )2 = (x + b 2a ) = ( + ) 2 = c 4a a 4a + b2 4a 2 = ;4ac 4a 2 = b2 ;4ac 4a 2 (x + b 2a )2 = b2 4ac 4a 2 + b2 4a 2 將 (x + b 2a ) 看成一整個物件, 利用平方根的概念 : (x + b 2a )2 = b2 ;4ac 4a 2 (x + b ) = ± b2 ;4ac 2a 4a 2 65

67 將 + b 移項 : 2a x + b 2a = ± b2 ;4ac 4a 2 x + b = ± b2 ;4ac 2a 2a x = b ± b2 ;4ac 2a 2a = ;b± b2 ;4ac 2a 既然知道這個 x = b± b 2 4ac 2a 公式, 那麼我們就可以利用公式 解來解一些一元二次方程式了! Ex1. 利用公式解, 求出一元二次方程式 x 2 + 6x + 2 = 0 的解 解 : 一元二次方程式 x 2 +6x +2 = 0, 已經是一般式 ax 2 +bx +c = 0 的樣子了, 所以可以知道 a = 1 b = 6 c = 2 將 a = 1 b = 6 c = 2 代入 b± b 2 4ac 2a 一次全部代入的話, 計算量太大了, 我們可以分批算, 先算根號 裡面的東西 :b 2 4ac b 2 4ac = = 36 8 = 28 x = ;b± b2 ;4ac 2a = ;6± = ;6±2 7 2 = 3 ± 7 x 2 + 6x + 2 = 0 的解是 或

68 Ex2. 利用公式解, 求出一元二次方程式 x 2 5x = 2 的解 解 : 還不是一般式的樣子, 先換成一般式 ax 2 + bx + c = 0 的樣子, 將等號右邊的 2 移項 :x 2 5x 2 = 0 x 2 的係數是 1 ; x 項的係數是 5 ; 常數項是 2 所以可以知道 a = 1 b = 5 c = 2 將 a = 1 b = 5 c = 2 代入 b± b 2 4ac 2a 一次全部代入的話, 計算量太大了, 我們可以分批算, 先算根號 裡面的東西 :b 2 4ac b 2 4ac = ( 5) ( 2) = = 33 x = ;b± b2 ;4ac 2a = ;(;5)± = 5± 33 2 x 2 5x = 2 的解是 5: 33 2 或 5;

69 Ex3. 利用公式解, 求出一元二次方程式 3x 2 + x 1 = 0 的解 解 : 已經是一般式 ax 2 + bx + c = 0 的樣子了 x 2 的係數是 3 ; x 項的係數是 1 ; 常數項是 1 所以可以知道 a = 3 b = 1 c = 1 將 a = 3 b = 1 c = 1 代入 b± b 2 4ac 2a 一次全部代入的話, 計算量太大了, 我們可以分批算, 先算根號 裡面的東西 :b 2 4ac b 2 4ac = ( 1) = = 13 x = ;b± b2 ;4ac 2a = ;1± = ;1± x 2 + x 1 = 0 的解是 ;1: 13 6 或 ;1;

70 重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋一下什麼是一元二次方程式 的 公式解 並舉出一個例子說明 2. 整理一下, 解一元二次方程式有三種方法, 是哪三種? B. 隨堂練習 : 1. 解一元二次方程式 x 2 + 8x 7 = 0 2. 解一元二次方程式 x 2 2x = 3 69

71 3. 解一元二次方程式 x 2 + x 1 = 0 4. 解一元二次方程式 x 2 3x = 解一元二次方程式 2x 2 + 6x + 1 = 0 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 6. 解一元二次方程式 3x 2 2x = 1 watch?v=sirrddlsppu 還是不太懂, 請看下面影片 (2) watch?v=ozljlbbfcy8 70

72 單元四 : 利用公式解解一元二次方程式 ( 三 ) 課文 C: 一元二次方程式的判別式接下來我們要講另一個主題 - 判別式 什麼是判別式呢? 我們舉一個簡單的例子來看看! x 2 + 2x + 3 = 0 這是一個一元二次方程式, 那我們現在要來解它 因為它沒有辦法用十字交乘做, 所以我們希望用公式解 公式解的第一步需要知道判斷 a 是多少, b 是多少, c 是多少? 以這題目來看 a = 1 b = 2 c = 3, a, b, c 都判斷出來了, 就可以 代公式啦! 藉由公式知道 x = b ± b2 4ac 2a = 2 ± = ± 8 = 2 2 ± 各位同學, 算到這裡你會覺得非常奇怪, 根號裡有負的嗎? 在我們國中範圍根號裡面不能有負的 因為 7 代表的意思是可以找到某一個數, 這個數的平方是 7 但萬一根號裡面是負的, 像這裡 8, 你要找到一個數使得它平方等於 8 可是如果這個數是正的, 正的平方, 正正得正, 這是不可能的 ; 那如 果這個數是負的, 負的平方, 負負得正, 這也不可能 71

73 所以你沒有辦法找到一個數, 使得它平方等於 8 所以這裡的 8 很明顯地在實數系中, 或者說在國中的範圍沒有這樣 的東西, 這樣的東西是不存在的 2 7 : 7 2 BUT 8 : 8 正數 負數 2 2 = 正數 -8 = 正數 -8 這時候就產生一個問題, 當我們用一元二次方程式的一般式 ax 2 + bx + c = 0 推導出來的公式 x = ;b± b2 ;4ac 2a 耶! 不一定完全有用 老師一開始講過這個一般式可以表示所有的一元二次方程式, 因此理 論上來講所有的一元二次方程式都可以透過這個公式把它解出來, 但 是現在我們遇到了這個例子卻算不出來 為什麼沒有辦法算出來呢? 因為我們沒有辦法擔保根號中的 b 2 4ac 一定是正的, 萬一它是負的, 那這個公式就算不出來了 那我們來思索一下, 姑且不論 a 是多少,b 是多少,c 是多少, 這個 b 2 4ac 一定是個數字, 而這個數字會有 3 種可能 - 要嘛是正的, 要嘛是負的, 要嘛就是零 72

74 當它是正的時候, 這個公式沒有問題, 代進去的確算的出來 ; 當它是 0, 代進去 0 也無所謂, 因為 0 = 0, 還是可以算得出來 ; 但如果 當它是負的, 那就算不出來囉! 2 b b 4ac x 正 OK! 2 b 4ac 0 OK! 2a 負 OK! 這個 b 2 4ac 在數學上, 我們就叫它判別式 判別什麼東西呢? 判別根的數量與情況 - 根的數量就是它究竟有幾 個根 ; 根的情況就是看他是兩相異根, 還是重根, 還是無解 接下來我們就依照前面的敘述把 b 2 4ac 分 3 種情況來討論 第一種情況 b 2 4ac > 0, 也就是正的, 這時公式 x = ;b± b2 ;4ac 是 可以正常算出來的, 因此我們把這種情況稱為兩相異實根或兩相異根 ( 就是兩個不同根啦!), 其中一個是 x = ;b: b2 ;4ac, 另一個就是 2a x = ;b; b2 ;4ac 2a 2a 第二種情況 b 2 4ac = 0, 這時公式 x = ;b± b2 ;4ac 2a = ;b± 0 2a = ;b 2a 接著你會問 : 老師, 你不是說一元二次方程式會有兩個答案嗎? 為 什麼這裡只有一個答案 ;b? 其實這裡也是兩個, 一個是 ;b:0, 一 2a 2a 個是 ;b;0 2a, 加 0 減 0 是一樣的效果, 這種情況我們叫做重根, 它還是 有兩個根喔! 73

75 第三種情況 b 2 4ac < 0, 也就是負的, 這時公式 x = ;b± b2 ;4ac 就 沒有辦法算出來, 因為根號裡面是負的, 在國中的範圍我們沒有辦法算出 x, 這種情況我們叫做無解 2a 到這裡我們就可以利用 b 2 4ac 是大於 0, 等於 0 或小於 0 來判斷出 根的數目和根是什麼樣子, 因此我們就叫 b 2 4ac 為判別式, 通常 用大寫 D 來表示判別式 b 2 2 b b 4ac 0 x 兩相異實根 2a b 0 b 4 ac 0 x = 重根 2a 2a 2 b b 4ac 0 x 無解 2a EX1. 判斷下列一元二次方程式根的情形? (A) x 2 + x + 1 = 0 (B) x 2 + 2x 1 = 0 (C) 4x 2 12x + 9 = 0 解 : (A) 因為我們要算 b 2 4ac 的值, 第一步就是要把 a, b, c 是多少找出來 第一個 a 是 x 2 項的係數, 所以是 1 ; 再來 b 是 x 項的係數所以是 1; 最後 c 是常數項, 所以也是 1, 因此判別式 D = b 2 4ac = = = 3 < 0 是負的, 因此這題是無解 (B) 第一個 a 是 x 2 項的係數, 所以是 1 ; 再來 b 是 x 項的係數所以 74

76 是 2; 最後 c 是常數項, 所以也是 1, 因此判別式 D = b 2 4ac = ( 1) = 4 ( 4) = = 8 > 0 是正的, 因此這題是兩相異實根 (C) 第一個 a 是 x 2 項的係數, 所以是 4 ; 再來 b 是 x 項的係數所以是 12; 最後 c 是常數項, 所以也是 9, 因此判別式 D = b 2 4ac = ( 12) = = 0, 因此它的兩個根是一樣的, 就是重根 75

77 重點提問 1. 根據上面的課文, 請用自己的話解釋一下什麼是一元二次方程式 的 判別式 並舉出一個例子說明 2. 根據上面的課文, 判別式 的值會有那些種狀況? 這些狀況各自 代表什麼情形? 解釋每種狀況都並各舉一個例子來說明 76

78 C. 隨堂練習 : 1. 連連看, 請將左式的一元二次方程式和右邊解的情形做適當的配 對 一元二次方程式 解的情形 (1) x 2 + x + 4 = 0 (2) x 2 4x + 4 = 0 (3) x 2 + 8x 7 = 0 (4) x 2 + 2x + 1 = 0 有兩相異根 有兩相同根 (5) x 2 x 1 = 0 (6) 2x 2 x + 1 = 0 ( 重根 ) (7) 2x 2 x 2 = 0 (8) 3x 2 + 6x 3 = 0 無解 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 (2) watch?v=nspzhl3lmm8 watch?v=jawjy-mjxvo 77

79 單元五 : 一元二次方程式的應用問題 ( 一 ) 課文 A: 一元二次方程式的應用問題在熟練一元二次方程式的解法後, 我們要開始學習解一元二次方程式的應用問題 解應用問題和解一元二次方程式大同小異, 比較不同的是式子必須要自己列出來, 那麼怎麼自己列出式子呢? 有四個重要的步驟, 一開始要理解題目並假設未知數, 接著再利用題目裡面所提供的 數量間關係, 列出等式, 最後就可以利用這個等式解一元二次方程式了, 且檢查答案是否符合題意 下面有 5 道題, 每一題都是常見並且有趣的問題, 接下來就來試試看吧! 78

80 Ex1. 兩個連續的自然數, 其平方和是 85, 則此兩數分別為何? 解 : 先理解一下題目的意思, 題目所說的是有兩個連續的自然數, 自然數指的就是正整數, 像是 等就是自然數 如果兩個連續的自然數就會相差 1, 像是 1 2, 或是 2 3 ; 因此兩個連續的自然數就可以假設成 x x + 1, 而且 x > 0 再來找一下題目當中有關於這兩個自然數的關係 : 其平方和是 85, 這句話的意思就是說它們平方後相加會得到 85 我們就可以根據前述關係列出一個等式, 兩個連續的自然數 x x + 1, 平方分別會是 x 2 (x + 1) 2, 相加會等於 85, 式子就可以列成 : x 2 + (x + 1) 2 = 85 接下來就是解這個一元二次方程式了! (x + 1) 2 就是 x 2 + 2x + 1, 所以展開得到 :x 2 + (x 2 + 2x + 1) = 85 整理一下 :2x 2 + 2x + 1 = 移項變成 85 :2x 2 + 2x = 0 整理一下 :2x 2 + 2x 84 = 0 2x 2 2x 84 有公因數 2, 而且是等式, 所以可以一起除以 2 : x 2 + x 42 = 0 79

81 前面 x 2 可以拆成 x 乘 x ; 後面 42 可以拆成 +7 乘 6, 交叉相乘 : x + 7 x 6 +7x 6x = +x 等號左邊 x 2 + x 42 = (x + 7)(x 6) 整個式子就是 (x + 7)(x 6) = 0 所以 x + 7 = 0 或 x 6 = 0 移項整理得到 x = 7 或 6 這樣子的解解出來有兩個, 但是要回去檢驗一下符不符合題意, 如果 x = 7, 那麼這兩個數會是 7 6, 並不符合題意, 因為題目說的是自然數, 自然數必須要是正的, 所以不合 如果 x = 6, 那麼這兩個數會是 6 7, 符合題意, 平方相加試試看, = = 85, 與題意相符合, 所以這兩個數就是

82 Ex2. 有一個長方形面積為 108 平方公分, 若長比寬多 3 公分, 請問這個長方形的長寬各為多少公分? 解 : 假設寬是 x 公分, 長比寬多 3 公分, 所以長是 x + 3 公分 接下來要找關係, 可以畫圖幫助理解一下, x + 3 x 108 我們知道長方形的面積算法就是長乘以寬, 長是 x + 3 寬是 x, 所以面積算法就是 x(x + 3), 從題目可以知道, 面積也就是 108 所以可以列式 :x(x + 3) = 108 接下來就解這個一元二次方程式了! 展開 x(x + 3) = x 2 + 3x, 所以展開式子成 :x 2 + 3x = 移項變成 108 :x 2 + 3x 108 = 可以因式分解成 : 前面 x 2 可以拆成 x 乘 x ; 後面 108 可以怎麼拆呢? 108 是負的, 會拆成一正乘一負, 中間是 +3, 所以拆出來的兩數, 正數的絕對值會負數的絕對值還要多 3 ; 發現 108 = 9 12, 108 可以拆成 9 乘

83 交叉相乘 : x 9 x x + 12x = +3x 等號左邊 x 2 + 3x 108 = (x 9)(x + 12) 整個式子就是 (x 9)(x + 12) = 0 所以 x 9 = 0 或 x + 12 = 0 移項整理得到 x = 9 或 12 這樣子的解解出來有兩個, 但是要回去檢驗一下符不符合題意, 如果 x = 9, 那麼寬會是 9 長會是 12, 長寬可以是正的 如果 x = 12, 那麼長寬會是 12 9, 長寬不可以是負的, 所以不合 所以這個長方形的長是 12 ( 公分 ) 寬是 9 ( 公分 ) 82

84 Ex3. 有一個直角三角形, 兩股長度差 4 公分, 斜邊長 20 公分, 求這 解 : 個直角三角形面積為何? 三角形的面積 : 底 高 2, 想要求出一個直角三角形的面積, 就必須知道它的底和高, 那它的底和高是什麼呢? 畫一個直角三角形來看, 從這個直角三角形可以知道, 有一個股可以當底, 那麼另一個股就會是高 股 ( 當高 ) 斜邊 股 ( 當底 ) 從題目我們知道, 兩股長度差 4 公分, 所以如果把比較短的股當底, 假設為 x 公分, 那麼比較長的股就可以當高, 假設成 (x + 4) 公分 而從題目知道斜邊長是 20 公分 畫個圖幫助理解一下! x x 接下來要利用關係來列式, 這個關係是什麼呢? 看一下題目 : 直角三角形, 兩股長差 4, 斜邊長 20 83

85 從圖中可以看到,x x , 這三個是直角三角形的三邊, 在直角三角形中有一個很重要的三邊關係 ( 畢氏定理 ): 兩股平方和等於斜邊平方 所以式子可以列成 :x 2 + (x + 4) 2 = 20 2, 接下來就是解這個一元二次方程式了! (x + 4) 2 就是 x 2 + 8x + 16, 所以展開得到 :x 2 + (x 2 + 8x + 16) = 400 整理一下 :2x 2 + 8x + 16 = 移項變成 400 :2x 2 + 8x = 0 整理一下 :2x 2 + 8x 384 = 0 2x 2 8x 384 有公因數 2, 而且是等式, 所以可以一起除以 2 : x 2 + 4x 192 = 可以因式分解成 : 前面 x 2 可以拆成 x 乘 x ; 後面 192 可以怎麼拆呢? 192 是負的, 會拆成一正乘一負, 中間是 +4, 所以拆出來的兩數, 正數的絕對值會比負數的絕對值還要多 4 ; 發現 192 = 16 12, 192 可以拆成 12 乘

86 交叉相乘 : x 12 x x + 16x = +4x 整個式子就是 (x 12)(x + 16) = 0 所以 x 12 = 0 或 x + 16 = 0 移項整理得到 x = 12 或 16 這樣子的解解出來有兩個, 還是要回去檢驗一下符不符合題意, 如果 x = 12, 那麼底會是 12 高會是 16, 底 高可以是正數 如果 x = 16, 那麼底會是 16 高會是 12, 但是底 高不可以是負數, 所以不合 底會是 12( 公分 ) 高會是 16 ( 公分 ), 三角形面積會是 = 96 ( 平方公分 ) 2 85

87 Ex4. 平安旅行社舉辦旅遊活動, 預計人數 30 人, 每人收費 5000 元, 當人數達到 30 人後, 每多 1 人, 每人收費就便宜 100 元 若已知這次活動, 平安旅行社總收入為 元, 請問共有多少人參加? 解 : 先理解一下題目的意思 : 旅行社舉辦旅遊活動, 預計人數 30 人, 每人收費 5000 元, 所以預計總收入會是 = 元 但實際上總收入是 元, 不是 元, 所以不可能是 30 人參加旅遊活動! 因為題目中有提到 : 當人數達到 30 人後, 每多 1 人, 每人收費就便宜 100 元, 這是很重要條件! 這個條件是什麼意思呢? 當人數達到 30 人後, 每多 1 人, 每人收費就便宜 100 元, 就是說如果有 (30 + 1) 人參加旅遊活動, 每人就收費 ( ) 元 ; 有 (30 + 2) 人參加旅遊活動, 每人就收費 ( ) 元 ; 有 (30 + 3) 人參加旅遊, 每人就收費 ( ) 元 ; 以此類推 可是我們不知道有多少人參加啊, 所以我們就可以假設成有 (30 + x) 人參加, 那麼每人收費就會是 ( x) 元 86

88 假設完後, 利用關係來列式, 題目當中有提到總收入為 元, 總收入的算法就是 人數 每人收的費用, 所以 (30 + x) 人參加, 每人收費是 ( x) 元, 總收入就是 (30 + x)( x) 元, 式子就可以列成 :(30 + x)( x) = 展開 (30 + x)( x) = x x 100x 2, = x 100x 2 所以展開式子成 : x 100x 2 = 有公因數 100, 而且是等式, 所以可以一起除以 100 : x x 2 = 移項變成 1600 : x x = 0 整理一下 : x x 100 = 0 習慣上會希望一元二次方程式的 x 2 項係數為正, 所以可以同乘 1 : x 2 20x = 0 這個方程式可以利用差的平方公式 :(a b) 2 = a 2 2ab + b 2 來解, x 當成 a,20x = 2 x 10,10 當成 b, 10 2 = 100, 符合乘法公式, 故式子可以化成 (x 10) 2 = 0 x 10 = 0 所以 x = 10, 所以這次旅遊活動有 = 40 人參與, 每人收費 = 4000 元 87

89 Ex5. 一塊長方形農地, 長比寬多 4 公尺, 預計農地內部四周圍開闢一條寬 2 公尺的道路, 剩下部分作果園, 如圖 若果園面積是農地面積的 5, 則原來農地的長 寬各是多少? 6 解 : 可以假設農地的寬是 x 公尺, 長比寬多 4 公尺, 所以長就會是 (x + 4) 公尺 農地內部四周圍開闢一條寬 2 公尺的道路, 可以畫圖幫助理解 : x 2 x + 4 而題目中的關係就是果園面積是農地面積的 5, 所以要列出式子需要 6 果園面積跟農地面積 從圖中來看, 果園面積與農地面積明顯都是長方形, 面積算法都會是長乘以寬 農地的寬是 x 公尺, 長是 (x + 4) 公尺, 所以面積就是 x(x + 4) 平方公尺 而農地內部四周圍開闢一條寬 2 公尺的道路後, 剩下的就是果園面積, 所以果園的寬會是 (x 4) 公尺, 長是 88

90 (x + 4 4) 公尺, 所以面積就是 (x 4)x 平方公尺 果園面積是農地面積的 5, 所以式子可以列成 (x 4)x = 5 x(x + 4) 6 6 展開 (x 4)x = 5 x(x + 4) 6 x 2 4x = 5 6 x x 習慣上, 讓式子變成是整數的會比較好計算, 所以同乘以 6 : 6x 2 24x = 5x x 移項整理 : 6x 2 24x 5x 2 20x = 0 x 2 44x = 0 可以提公因式 x : x(x 44) = 0 所以 x = 0 或 x 44 = 0 移項整理得到 x = 0 或 44 這樣子的解解出來有兩個, 但是要回去檢驗一下符不符合題意, 如果 x = 0, 長度不可能是零, 所以不合 如果 x = 44, 原來農地的長就是 48 公尺 寬就是 44 公尺 89

91 重點提問 1. 從上面的課文中我們可以知道, 解一元二次方程式應用題有四個 重要的步驟, 請你依序把它些出來 步驟一 : 步驟二 : 步驟三 : 步驟四 : 2. 解一元二次方程式應用題在假設完未知數後, 接著我們要去找題 目中 數量間的關係, 請問找題目中 數量間的關係 是為了 作什麼? 90

92 A. 隨堂練習 : 1. 兩個連續的自然數, 其平方和是 181, 則此兩數分別為何? 2. 有一個長方形面積為 84 平方公分, 若長比寬多 5 公分, 請問這 個長方形的長寬各為多少公分? 3. 有一個直角三角形, 兩股長度差 7 公分, 斜邊長 13 公分, 求這 個直角三角形面積為何? 91

93 4. 安平旅行社為招攬乘客到花蓮遊玩, 訂定為每人收費 2000 元, 但是如果一團的人數超過 12 人, 每增加 1 人, 則每人可減收 100 元 已知某一團總共收到了 元, 請問這一團共有多少人參加? 5. 小湘的房間是一個長方形, 而且長比寬多 3 公尺, 她在房間的中間擺了一塊長方形地毯, 地毯邊緣與牆邊的垂直距離都是 1.5 公尺, 如圖所示 如果地毯面積是房間的 1 倍, 則小湘房 4 間的長 寬各是多少公尺? 92

94 還是不太懂, 請看下面影片 (1) 還是不太懂, 請看下面影片 (2) watch?v=rj0jlfktezk watch?v=uwdcqxi9pss 還是不太懂, 請看下面影片 (3) 還是不太懂, 請看下面影片 (4) watch?v=bve5x0kg2os watch?v=aqa8nukenxk 93