<B2C436B3B92E747066>

Size: px

Start display at page:

Download "<B2C436B3B92E747066>"

忌章佳
5 years ago
Views:

重心計算的原理主要是利用力矩原理而求得, 至於其他的性質的求法也都言簡意賅, 這些性質可用於求得樑與軸之強度, 在動力機械類群的領域中,

1 平面的性質 6-1 重心之定義與其求法 6- 慣性矩與極慣性矩 6- 平行軸定理 6- 截面係數與迴轉半徑 6-5 簡單面積之慣性矩 6-6 組合面積之慣性矩重點掃描學後評量本章主要在說明平面的各種主要的性質, 包括重心慣性矩截面係數及迴轉半徑等重心計算的原理主要是利用力矩原理而求得, 至於其他的性質的求法也都言簡意賅, 這些性質可用於求得樑與軸之強度, 在動力機械類群的領域中, 佔有相當重要的地位能了解重心之定義及其求法了解慣性矩與極慣性矩之意義能應用平行軸定理了解截面係數與迴轉半徑之意義了解簡單面積之慣性矩能計算組合面積之慣性矩

重心之定義與其求法 6.1 物體因為有重量, 所以有重心而重心的求法則是應用力矩原理而得!

這些小質點均受到重力的作用, 產生無數個方向向下的平行力, 而所有的平行力的合力, 即為物體的總重量, 其位置即為重心之位置一個形狀規則材質均勻的物體,

所有的這些力都可以把他們結合成一個作用在重心上的合力這樣的效果, 就和整把尺的重量都集中在重心上是一樣的, 所以我們可以說物體的重量均集中在物體的重心,

2 重心之定義與其求法 6.1 物體因為有重量, 所以有重心而重心的求法則是應用力矩原理而得! 1 重心質心與形心的定義所謂重心 (Center of Gravity), 是指物體重量分布的中心點任一物體均由無數個小質點所組成, 若物體的尺寸遠小於地球的半徑, 這些小質點均受到重力的作用, 產生無數個方向向下的平行力, 而所有的平行力的合力, 即為物體的總重量, 其位置即為重心之位置一個形狀規則材質均勻的物體, 重心就是該物體之平衡點我們只要頂著物體的平衡點, 就可以支承整個物體了如圖 6-1 所示, 許多向下的小箭頭代表重力是拉著整把尺的, 不過, 所有的這些力都可以把他們結合成一個作用在重心上的合力這樣的效果, 就和整把尺的重量都集中在重心上是一樣的, 所以我們可以說物體的重量均集中在物體的重心, 而重心以外的部分均可視為無重量至於形狀複雜的物體, 可用懸掛法求得之如圖 6- 所示, 顯示了如何用鉛錘線和鉛錘來求得重心的方法我們只要把物體用不同的點懸掛兩次, 得出兩條鉛垂線, 則這兩條直線的交點就是重心所在當然, 第三個懸掛點所求得的鉛垂線, 必通過前兩條線所求得之交點圖 6-1 重心圖 6- 懸掛法求重心 150

第 6 章平面的性質所謂質心 (Center of Mass), 是指物體質量分布的中心點, 可視為質量集中的點對於絕大部分的物體而言, 重心和質心是一組同義詞唯一可能造成重心與質心不在同一點的情形, 是當這個物體巨大到連其內部組織都受到了不同重力的影響例如台北國際金融中心 ( 台北 101) 樓高 101 層, 高 508 公尺, 此棟大樓的重心位置, 便低於質心,

3 第 6 章平面的性質所謂質心 (Center of Mass), 是指物體質量分布的中心點, 可視為質量集中的點對於絕大部分的物體而言, 重心和質心是一組同義詞唯一可能造成重心與質心不在同一點的情形, 是當這個物體巨大到連其內部組織都受到了不同重力的影響例如台北國際金融中心 ( 台北 101) 樓高 101 層, 高 508 公尺, 此棟大樓的重心位置, 便低於質心, 這是因為低樓層部分所受的重力略大於高樓層部分但對於日常生活的東西, 我們均可說質心與重心是同一點所謂形心 (Centroid), 是指形狀的幾何中心若物體為均質材料, 則形心位置會與質心位置重合重心質心與形心的特性當物體為均質材料, 且所在位置之重力相同, 則該物體之重心形心與質心三點共點物體重力對於某直線之力矩代數和為零時, 則此必通過物體之重心物體的重心位置是固定的, 不會因為物體位置之改變而改變物體的重心可能會落在物體的外部, 例如手環籃球的重心就在其幾何中心上也就是手環的圓心或籃球的球心另外, 如圖 6- 所示之物體, 其重心均在物體的外部, 圖示中的 G 即為重心位置圖 6- 重心在物體外部之實例 151

應用力學面的形心之求法所有重心的代數法求法中, 均以力矩原理求得之一般而言, 具有均質面積物體之重心必與此面積的形心一致, 所以求物體之重心時, 均以面積之形心計算之如圖 6- 所示為一個組合面積, 我們可以把組合面積分解成許多基本單元, 如矩形三角形圓扇形等面積, 而每個基本單元之面積, 分別為 A 1 A A, 且每個基本單元之形心座標為 A 1 x 1,y 1 A x,y A

4 應用力學面的形心之求法所有重心的代數法求法中, 均以力矩原理求得之一般而言, 具有均質面積物體之重心必與此面積的形心一致, 所以求物體之重心時, 均以面積之形心計算之如圖 6- 所示為一個組合面積, 我們可以把組合面積分解成許多基本單元, 如矩形三角形圓扇形等面積, 而每個基本單元之面積, 分別為 A 1 A A, 且每個基本單元之形心座標為 A 1 x 1,y 1 A x,y A x,y, 則形心 G 之求法如下 : 對 y 軸取力矩, 則 : Ax =A 1 x 1 +A x +A x + 對 x 軸取力矩, 則 : Ay =A 1 y 1 +A y +A y + 由上二式得 : x= A 1x 1 + A x + A x + A 1 +A +A + 公式 6-1 y= A 1y 1 + A y + A y + A 1 +A +A + 上式中,x 為重心到 y 軸距離,y 為重心到 x 軸之距離, 即重心 G 之座標為 x,y) 圖 6- 面的形心面積常用的基本單元包括矩形三角形圓扇形面積四種, 而 1 1 常用的扇形面積又分為扇形面積與扇形面積二種, 表 6-1 為各種面積之基本單元, 請同學務必熟記 : 15

5 第 6 章平面的性質表 6-1 各種面積之基本單元名稱圖形形心面積矩形 x = b y = h 即為二對角線之交點 A=bh 任意三角形 y = h 即為三中線之交點 A = bh 三角形直角三角形 x = b y = h A = bh 圓形 x =y =0 即為圓形之圓心 A= r r= r 一般扇形 : 圓心角之半 r: 形心到圓心之距離 A =r 扇形 1 圓 x = r y=0 A= r 1 圓 x=y = r r= r A= r 15

6 應用力學 6-1 如圖 6-5(a) 所示, 試求組合面積之形心 (a) 示意圖 (b) 形心圖圖 6-5 將各形狀之面積及形心標示出來, 如圖 6-5(b) 所示 x = A 1x 1 + A x A 1 + A = 81+7 = =6.15cm y = A 1y 1 +A y A 1 +A = 81+7 = =.15cm 6- 如圖 6-6(a) 所示, 試求組合面積之形心 (a) 示意圖 (b) 形心圖圖

5 +18 0 =.5 +.5 +18 = 0 7 =0cm y = A 1y 1 + A y + A y A 1 + A + A.

7 第 6 章平面的性質將各形狀之面積及形心標示出來, 如圖 6-6(b) 所示 x = A 1x 1 + A x + A x A 1 + A + A = = 0 7 =0cm y = A 1y 1 + A y + A y A 1 + A + A.5 = = = cm 如圖 6-7 所示, 試求扇形面積之形心圖 6-7 如圖 6-8 所示, 試求組合面積之形心圖

the Area), 以 I 表示之如圖 6-9 所示, 面積 A 係由 A 1 A A A n 等微小面積所組成, 而各微小面積在座標平面上所對應的座標分別為 x 1,y 1 x,y x,y x n,y

8 6. 慣性矩與極慣性矩慣性矩又稱為面積的二次矩, 單位為長度的四次方, 沒錯! 是四次方喔! 1 慣性矩將任一幾何面積細分成許多微小的面積, 而各微小面積與其至某軸距離平方之乘積的總和, 稱為慣性矩 (Moment of Inertia), 又稱為面積的二次矩 (Second Moments of the Area), 以 I 表示之如圖 6-9 所示, 面積 A 係由 A 1 A A A n 等微小面積所組成, 而各微小面積在座標平面上所對應的座標分別為 x 1,y 1 x,y x,y x n,y n, 則 : 面積 A 對 x 軸之慣性矩為 : I x =A 1 y 1 + A y +A y + + A n y n 公式 6- 面積 A 對 y 軸之慣性矩為 : I y =A 1 x 1 + A x +A x + +A n x n 慣性矩為純量, 其單位為長度的四次方, 即 cm mm 等圖 6-9 慣性矩 156

9 第 6 章平面的性質極慣性矩慣性矩的定義是指各微小面積與其至某軸距離平方之乘積的總和, 而極慣性矩的定義則是指各微小面積與其至某垂直於此面積之軸距離平方之乘積的總和, 以 J 表示之如圖 6-10 所示, 面積 A 係由 A 1 A A A n 等微小面積所組成, 而各微小面積與 z 軸之距離分別為 r, 則面積 A 對 z 軸之極慣性矩為 : J =A 1 r 1 + A r +A r + +A n r n = A 1 x 1 +y 1 + A x +y +A x + y + +A n x n +y n 公式 6- = A 1 y 1 +A y + A y + +A n y n + A 1 x 1 +A x +A x + + A n x n = I x + I y 圖 6-10 極慣性矩 157

10 應用力學 6- 若某面積對於形心軸之慣性矩分別為 I x = 00mm,I y =00mm, 試求此面積之極慣性矩 J = I x + I y = = 700mm 若某面積之極慣性矩為 500mm, 其對 x 軸之慣性矩為 00mm, 試求此面積對 y 軸之慣性矩慣性矩又稱為面積的二次矩, 那麼, 什麼是面積的一次矩呢? 提醒一下 : 面積的二次矩為 : A 1 y 1 +A y + A y + +A n y n = I x A 1 x 1 +A x + A x + +A n x n =I y 面積的一次矩為 : A 1 y 1 +A y +A y + +A n y n =? A 1 x 1 +A x + A x + + A n x n =? ( 解答在第 16 頁 ) 158

y +y L + L + +A n y n +y n L + L = A 1 y 1 + A y +A y + +A n y n + L A 1 y 1 +A y + A y + + A n y n + A 1 + A + A + +A n L = I x

11 6. 平行軸定理對於不是位於形心軸的任一平行軸之慣性矩, 必須用平行軸定理求得若已知面積對其形心軸的慣性矩, 則可計算出此面積對任一平行於該形心軸的另一軸之慣性矩, 稱為平行軸定理 (Parallel-Axis Theorem) 如圖 6-11 所示,x 軸為面積之形心軸, 若 s 軸平行於 x 軸, 則此面積對 s 軸之慣性矩 I s 為 : I s =A 1 y 1 + L +A y + L +A y + L + +A n y n + L = A 1 y 1 +y 1 L +L + A y +y L +L + A y +y L + L + +A n y n +y n L + L = A 1 y 1 + A y +A y + +A n y n + L A 1 y 1 +A y + A y + + A n y n + A 1 + A + A + +A n L = I x +LAy+ AL 因 x 軸為形心軸, 所以 y =0, 故 : 公式 I s = I x + AL 6- 圖 6-11 平行軸定理由公式 6- 可知, 平行軸的定義係指一面積對某軸的慣性矩, 為此面積對與該軸平行的形心軸之慣性矩, 以及該面積乘以此二軸的距離平方之和 159

12 應用力學且因 AL 必為正值, 所以 I s 必大於 I x 換言之, 形心軸之慣性矩最小, 而任何軸線之慣性矩必大於平行於此軸之形心軸的慣性矩 6- 如圖 6-1 所示, 設 x 軸為某面積之形心軸, 其慣性矩 I x =00mm, 若此面積之大小為 5mm, 且此面積對 s 軸之慣性矩 I s =600mm, 試求 s 軸與 x 軸之距離圖 6-1 I s = I x + AL 600=00 +5L L=mm 如圖 6-1 所示, 設 a 軸為某面積之形心軸, 已知此面積之大小為 100mm,b c 二軸平行於 a 軸, 若此面積對之慣性矩為 000mm, 試求此面積對 c 軸之慣性矩 G 1mm mm a b c 圖

6. 截面係數與迴轉半徑截面係數與迴轉半徑的定義要能清楚記下, 對題目的計算有很大的幫助!

Z 表示之如圖 6-1 所示,x 軸與 y 軸為通過面積 A 之形心軸, 則 : 面積 A 對 x 軸之截面係數為 : Z

其單位為長度的三次方, 即 cm mm 等如圖 6-15 所示,x 軸與 y 軸為通過面積 A 之形心軸,G 點為面積 A

13 6. 截面係數與迴轉半徑截面係數與迴轉半徑的定義要能清楚記下, 對題目的計算有很大的幫助! 1 截面係數以通過形心軸之慣性矩, 去除以形心軸至面積邊緣的距離, 稱為截面係數 (Section Modulus), 以 Z 表示之如圖 6-1 所示,x 軸與 y 軸為通過面積 A 之形心軸, 則 : 面積 A 對 x 軸之截面係數為 : Z x = I x y 面積 A 對 y 軸之截面係數為 : 公式 6-5 Z y = I y x 截面係數為純量, 其單位為長度的三次方, 即 cm mm 等如圖 6-15 所示,x 軸與 y 軸為通過面積 A 之形心軸,G 點為面積 A 之形心, 則面積 A 對形心 G 之截面係數, 稱為極截面係數, 以 Z p 表示之公式 Z p = J R 6-6 圖 6-1 截面係數圖 6-15 極截面係數 161

14 應用力學迴轉半徑由公式 6- 可知, 一面積之 x 軸及 y 軸之慣性矩分別為 : I x = A 1 y 1 +A y + A y + +A n y n I y = A 1 x 1 +A x +A x + +A n x n 由上式可知, 慣性矩為面積之二次矩, 也就是說, 慣性矩是面積乘以一段長度的平方, 而此長度則稱為面積對該軸的迴轉半徑 (Radius of Gyration), 以 K 表示之面積 A 對 x 軸之迴轉半徑為 : I I x =AK x K x = x A 面積 A 對 y 軸之迴轉半徑為 : 公式 6-7 I y =AK y K y = I y A 若, 則 x 軸與 y 軸之交點為 O, 則面積 A 對 O 點之迴轉半徑, 稱為極迴轉半徑, 以 K p 表示之 J= AK p K p = J A 公式 6-8 K x K y 及 K p 三者之關係, 可由極慣性矩求得 : 公式 J= I x +I y 6-9 AK p = AK x +AK y K p =K x +K y 16

15 第 6 章平面的性質如圖 6-16 所示, 由平行軸定理可知 : 公式 I s = I x + AL 6-10 AK s = AK x +AL K s =K x +L 圖 6-16 迴轉半徑由上式可知,K x < K s, 即面積對通過形心軸的迴轉半徑最小又 K s > L, 即面積對任一軸的迴轉半徑必大於形心軸至該軸之距離 6-5 若有一矩形面積, 其對水平形心軸之慣性矩為 I x = 00mm, 且此面積之大小為 5mm, 水平形心軸至此面積之最遠邊緣為 5mm, 試求其對水平形心軸之截面係數及迴轉半徑 Z x = Ix y = 00 5 = 80mm K x = = I x A 00 5 = mm 16

16 應用力學 6-6 若一圓形之直徑為 8mm, 截面係數為 16 cm, 試求通過此面積之水平形心軸的慣性矩及迴轉半徑 Z x = Ix y 16 = Ix I x = 6 K x = = = I x A 6 8 設有一圓形面積, 其半徑為 mm, 若此面積對其水平形心軸之慣性矩為 I x = 56 mm, 試求其對水平形心軸之截面係數及迴轉半徑已知一平面的面積為 0mm, 其對通過形心軸之迴轉半徑為 mm, 試求此形心軸之慣性矩在公式 6- 的推導過程中, 你應該已經發現一些端倪, 是不是? Ax =A 1 x 1 + A x + A x + +A n x n Ay= A 1 y 1 +A y + A y + +A n y n 所以, 面積的一次矩是指面積與其形心至某軸距離的乘積, 我們以 Q 來表示之則 Q x = Ax,Q y = Ay 你答對了嗎? 16

x = bh 1 I y = b h 1 公式 6-11 圖 6-17 矩形的慣性矩矩形面積對 x

17 6.5 簡單面積之慣性矩各種基本幾何圖形的慣性矩務必牢牢熟記, 方可進而計算複雜圖形的慣性矩 1 矩形如圖 6-17 所示, 若 x 軸及 y 軸為矩形面積之形心軸, 且其寬度為 b, 高度為 h, 則其對 x 軸及 y 軸之慣性矩為 : I x = bh 1 I y = b h 1 公式 6-11 圖 6-17 矩形的慣性矩矩形面積對 x 軸之截面係數與迴轉半徑為 : Z x = I x y = K x = I x A = bh 1 h = bh 6 bh 1 bh = h 6 165

18 應用力學矩形面積對 y 軸之截面係數與迴轉半徑為 : Z y = I y x = K y = 理求得 : 參考 I y A = b h 1 b = b h 6 b h 1 bh = b 6 如圖 6-17 所示之矩形, 對於矩形底邊的慣性矩, 可利用平行軸定 I x' =I x + AL = bh 1 + bh h = bh I y' =I y + AL = b h 1 + bh b = b h 由上列公式可得矩形面積之各項性質, 茲彙整如下表 6-, 以供表 6- 矩形的平面性質圖形慣性矩迴轉半徑截面係數 I x = bh 1 I y = b h 1 K x = K y = h 6 b 6 Z x = bh 6 Z y = b h 6 I x' = bh I y' = b h K x' = K y' = h b --- 表 6- 中, 試推導出矩形面積對底邊 (x' 軸及 y' 軸 ) 的迴轉半徑分別為 K x' = h 及 K y' = b 166

第 6 章平面的性質三角形如圖 6-18 所示, 若 x 軸為三角形之形心軸, 且其底為 b, 高度為 h, 則其對 x 軸之慣性矩為 : I x = bh 6 公式 6-1 圖 6-18 三角形的慣性矩三角形面積因形心軸至底邊及頂點之距離不同, 故其對 x 軸之截面係數有二, 即 : 對底邊 :Z x1 = I x y 1 = 對頂點 :Z x = I x y = bh 6 h bh

19 第 6 章平面的性質三角形如圖 6-18 所示, 若 x 軸為三角形之形心軸, 且其底為 b, 高度為 h, 則其對 x 軸之慣性矩為 : I x = bh 6 公式 6-1 圖 6-18 三角形的慣性矩三角形面積因形心軸至底邊及頂點之距離不同, 故其對 x 軸之截面係數有二, 即 : 對底邊 :Z x1 = I x y 1 = 對頂點 :Z x = I x y = bh 6 h bh 6 h = bh 1 = bh 三角形面積對 x 軸之迴轉半徑為 : K x = I x A = bh 6 bh = h 6 如圖 6-18 所示之三角形, 對於三角形底邊及頂點的慣性矩, 可利用平行軸定理求得 : 供參考底邊 :I x' =I x + AL 1 = bh 6 + bh h = bh 1 頂點 :I x'' =I x +AL = bh 6 + bh h = bh 由上列公式可得三角形面積之各項性質, 茲彙整如下表 6-, 以 167

應用力學表 6- 三角形的平面性質種類圖形慣性矩迴轉半徑截面係數任意三角形 I x = bh 6 I x' =

= bh 6 I y = b h 8 K x = K y = h 6 b 1 Z x1 = bh 1 Z x = bh

20 應用力學表 6- 三角形的平面性質種類圖形慣性矩迴轉半徑截面係數任意三角形 I x = bh 6 I x' = bh 1 K x = K x' = h 6 6h 6 Z x1 = bh 1 Z x = bh --- I x'' = bh K x'' = h --- 直角三角形 I x = bh 6 I y = b h 6 K x = K y = h 6 b 6 Z x1 = bh 1 Z x = bh Z y1 = b h 1 Z y = b h 等腰三角形 I x = bh 6 I y = b h 8 K x = K y = h 6 b 1 Z x1 = bh 1 Z x = bh Z y = b h 表 6- 中, 試推導出等腰三角形面積對垂直形心軸 (y 軸 ) 的慣性矩為 I= b h 8 168

21 第 6 章平面的性質圓形如圖 6-19 所示, 若 x 軸為圓形之形心軸, 且其直徑 d, 則其對 x 軸及 y 軸之慣性矩為 : I x =I y = d 6 公式 6-1 圖 6-19 圓形的慣性矩圓形面積對 x 軸及 y 軸之截面係數與迴轉半徑為 : Z x = Z y = I x y = K x =K y = d 6 d I x A = = d d 6 d = d 圓形面積對 O 點之極慣性矩極截面係數及極迴轉半徑分別為 : J =I x + I y = d 6 + d 6 = d Z p = J R = K p = J A = d d = d 16 d d = d 169

應用力學如圖 6-19 所示之圓形, 對於圓形之切線的慣性矩, 可利用平行軸定理求得 : I x' =I x + AL 1 = d

種類圖形慣性矩迴轉半徑截面係數圓 I x = I y = d 6 J= d K x =K y = d K p = d Z x = Z

x = 1 16 K y = d 9 d --- 形 I x' = d 18 K x' = d --- 1 圓 I x =I y =

22 應用力學如圖 6-19 所示之圓形, 對於圓形之切線的慣性矩, 可利用平行軸定理求得 : I x' =I x + AL 1 = d 6 + d d = 5 d 6 由上列公式可得圓形面積之各項性質, 茲彙整如下表, 以供參考表 6- 圓形的平面性質種類圖形慣性矩迴轉半徑截面係數圓 I x = I y = d 6 J= d K x =K y = d K p = d Z x = Z y = d 形 I x' = 5 d 6 K x' = 5d 圓 I x = I y = d 18 d K x = 1 16 K y = d 9 d --- 形 I x' = d 18 K x' = d 圓 I x =I y = d = K x =K y d --- 形 K x' =I y' = d 56 K x' =K y' = d

第 6 章平面的性質 6-7 如圖 6-0 所示之矩形, 若 x 軸為其水平形心軸, 試求此矩形之 x 軸之慣性矩 x 軸之迴轉半徑 x' 軸之慣性矩及截面係數圖 6-0 x 軸之慣性矩 : I x = bh 1 = 6 8 1 = 56 x 軸之迴轉半徑 : K x = h 6 = 8

23 第 6 章平面的性質 6-7 如圖 6-0 所示之矩形, 若 x 軸為其水平形心軸, 試求此矩形之 x 軸之慣性矩 x 軸之迴轉半徑 x' 軸之慣性矩及截面係數圖 6-0 x 軸之慣性矩 : I x = bh 1 = = 56 x 軸之迴轉半徑 : K x = h 6 = 8 = 6 x' 軸之慣性矩 : I x' = I x + AL = = 10 截面係數 : Z x = bh 6 = 6 8 = 6 6 試推導出對於圓形面積之切線的迴轉半徑為 5d 一直徑為 mm 之圓形, 試求其慣性矩極慣性矩截面係數迴轉半徑及圓的切線之慣性矩 171

通常是由簡單幾何面積之慣性矩及平行軸定理求得, 其計算步驟如下 : 將組合面積分解成若干簡單之幾何面積求此組合面積之形心軸利用平行軸定理,

24 6.6 組合面積之慣性矩本節為前面各節之綜合應用, 當做好前面各節的功課後, 本節就會變得淺顯易懂了! 上一節所述皆是簡單幾何面積之慣性矩, 但是在實際應用上, 會有一些面積是由許多簡單幾何面積所組成的形狀, 要求這些組合面積的慣性矩時, 通常是由簡單幾何面積之慣性矩及平行軸定理求得, 其計算步驟如下 : 將組合面積分解成若干簡單之幾何面積求此組合面積之形心軸利用平行軸定理, 求取各簡單幾何面積對組合面積之形心軸的慣性矩組合面積之慣性矩即為各簡單幾何面積對組合面積之形心軸的慣性矩之總和 6-8 如圖 6-1(a) 所示, 試求此組合面積對其形心軸 (x 軸及 y 軸 ) 之矩截面係數及迴轉半徑慣性 (a) 示意圖 (b) 組合面積圖

第 6 章平面的性質將組合面積視為大的矩形 A 1 減去小的矩形 A, 如圖 6-1(b) 所示慣性矩 : I x = I x1 I x = 6 8 1 I y = I y1 I y = 6 8 1 截面係數 : Z x = Ix y = 18 = 6 Z y = Iy x = 11

25 第 6 章平面的性質將組合面積視為大的矩形 A 1 減去小的矩形 A, 如圖 6-1(b) 所示慣性矩 : I x = I x1 I x = I y = I y1 I y = 截面係數 : Z x = Ix y = 18 = 6 Z y = Iy x = 11 = 7. 迴轉半徑 : A= = K x = K y = I x A = 18 =.77 I y A = 11 = = = 如圖 6-(a) 所示, 試求此組合面積對其形心軸 (x 軸及 y 軸 ) 之慣性矩 (a) (b) 圖 6-17

6 + 6 + 6 1 = 5+8 = 16mm 求組合面積之 y 軸慣性矩 : I y = I y1 + I y = 6 1 + 6 1 = 6+

26 應用力學將組合面積視為 A 1 及 A 二個矩形, 如圖 6-(b) 所示以組合面積之底為基準, 求組合面積之形心 : A1y1+A y y= A 1+A = = 5mm 以平行軸定理求組合面積之 x 軸慣性矩 : I x = I x1 + I x = = 5+8 = 16mm 求組合面積之 y 軸慣性矩 : I y = I y1 + I y = = 6+ = 0mm 如圖 6- 所示, 試求此組合面積對其水平形心軸之慣性矩如圖 6- 所示, 試求此組合面積對其水平形心軸之慣性矩圖 6- 圖 6-17

重心是指物體重量分布的中心點, 也就是該物體之平衡點物體的重量均集中在物體的重心, 而重心以外的部分均可視為無重量重心的代數法求法, 均以力矩原理求得之面之重心 : 三角形 : 重心為三中線之交點, 且距離底邊 1 1 1 高處扇形 : 設為圓心角之半,r 為重心到圓心之距離, 則 r = r 圓 : 重心到圓心之距離 x = r 圓 : 重心到直徑之距離 x =y = r

27 重心是指物體重量分布的中心點, 也就是該物體之平衡點物體的重量均集中在物體的重心, 而重心以外的部分均可視為無重量重心的代數法求法, 均以力矩原理求得之面之重心 : 三角形 : 重心為三中線之交點, 且距離底邊高處扇形 : 設為圓心角之半,r 為重心到圓心之距離, 則 r = r 圓 : 重心到圓心之距離 x = r 圓 : 重心到直徑之距離 x =y = r 將任一幾何面積細分成許多微小的面積, 而各微小面積與其至某軸距離平方之乘積的總和, 稱為慣性矩, 公式為 : I x =A 1 y 1 + A y +A y + +A n y n I y =A 1 x 1 + A x +A x + +A n x n 慣性矩為純量, 其單位為長度的四次方, 即 cm mm 等將任一幾何面積細分成許多微小的面積, 而各微小面積與其至某垂直於此面積之軸距離平方之乘積的總和, 稱為極慣性矩, 公式為 : 6 J= I x +I y 一面積對某軸的慣性矩, 為此面積對與該軸平行的形心軸之慣性矩, 以及該面積乘以此二軸的距離平方之和, 稱為平行軸的定理, 公式為 : I s =I x + AL 形心軸之慣性矩最小, 而任何軸線之慣性矩必大於平行於此軸之形心軸的慣性矩 175

28 以通過形心軸之慣性矩, 去除以形心軸至面積邊緣的距離, 稱為截面係數, 公式為 : Z x = I x Z y y = I y Z x p = J R 慣性矩是面積乘以一段長度的平方, 而此長度則稱為面積對該軸的迴轉半徑, 公式為 : K x = I x A K y = I y A K p = J A 矩形面積之性質 : 6 對形心軸之慣性矩 : I x = bh 1 I y = b h 1 對底邊之慣性矩 : I x' = bh I y' = b h 三角形面積之性質 : 對平行底邊之形心軸慣性矩 : I x = bh 6 對底邊之慣性矩 : I x' = bh 1 對頂點之慣性矩 : I x'' = bh 圓形面積之性質 : 對形心軸之慣性矩及極慣性矩 : I x =I y = d 6 J = d 對圓切線之慣性矩 : I x' = 5 d 6 組合面積之慣性矩即為各簡單幾何面積對組合面積之形心軸的慣性矩之總和 176

29 第 6 章平面的性質選擇題物體重量為地心引力作用於質點所有平行力之合力, 此合力之作用點稱之為 (A) 重心 (B) 質心 (C) 形心 (D) 中心對於不規則的物體, 求重心最方便的方法為 (B) 稱重法 (C) 懸掛法 (D) 平衡法下列敘述何者不正確? (A) 力矩法 (A) 一段直線之重心為該直線之中點 (B) 一段圓弧線之重心為該段圓弧線之中心點 (C) 圓的重心為該圓之圓心 (D) 半圓的重心不在該圓之圓心上半圓平面之重心, 在半圓直徑之垂直平分線上, 若直徑為 D, 則重心距離底邊直徑為 (A) D (B) D (C) D (D) D 一半徑為 6cm, 夾角為 60 的扇形, 其面積為 (A)6 (B) 18 (C)6 (D) cm 下列何者為慣性矩之單位? (A)mm (B)mm (C)mm (D) mm 一面積對其平面上相互垂直之 x 軸與 y 軸之交點的極慣性矩, 等於對此二軸的慣性矩 I x 與 I y 之 (A) 和 (B) 差 (C) 積 (D) 商已知一平面之面積為 10mm, 設其對平行於形心軸之某軸的迴轉半徑為 mm, 則其對該軸之慣性矩為 (A)0 (B)0 (C)60 (D)80 mm 若 I 為面積之慣性矩,y 為形心軸至面積一端最遠之距離, 則其截面係數 Z 為 (A)I + y (B)I y (C) I y (D) y I 一矩形截面為 mm 6mm, 則其對水平形心軸之慣性矩為 (A)6 (B)8 (C)60 (D)7 mm 177

30 應用力學若三角形面積之底為 b, 高為 h, 則通過其底邊之慣性矩為 (A) bh (B) bh (C) bh 1 (D) bh 6 若三角形的底為 6mm, 高為 8mm, 則對於其頂點之慣性矩為 (A)10 (B)768 (C)56 (D)85. mm 直徑為 d 的半圓形, 其對底邊之慣性矩為 (C) d 6 d (D) 18 (A) 設矩形寬度為 b, 高度為 h, 則其對形心之極慣性矩為 (A) b 1 h + b (B) h 1 h + b (C) bh 1 h + b (D) bh 1 h + b 一矩形面積, 其截面尺寸為 0mm 0mm, 則其截面係數為 (A)5000 (B)000 (C)000 (D)000 mm 直徑為 d 之圓形的截面係數為 (D) d 16 (A) 已知矩形面積之寬為 b, 高度為 h, 今若將寬增加一倍, 高 d 6 (B) d 8 d 16 (C) (B) d d 減少一半, 則截面係數為原來 (A) 倍 (B) 倍 (C) 1 倍 (D) 1 倍一圓之直徑為 0mm, 則其對形心軸之迴轉半徑為 (B)5 (C)7.5 (D)10 mm 設圓之直徑為 d, 則對相切於圓之切線的迴轉半徑為 1 d (B) 5 d (C) 5 d (D) d (A).5 (A) 組合面積之慣性矩即為各簡單幾何面積對組合面積之哪一軸的慣性矩之總和? (A) 形心軸 (B) 通過頂點的軸 (C) 通過底部的軸 (D) 通過高度一半的軸 178

第 6 章平面的性質計算題 Part1: 基本題如圖如圖所示之組合面積, 試求其形心

某面積之形心軸為 y 軸, 面積為 0mm, 其對 y 1 軸之慣性矩為 100mm, 試求此面積對

31 第 6 章平面的性質計算題 Part1: 基本題如圖如圖所示之組合面積, 試求其形心所示之組合面積, 試求其形心圖圖有一面積為 50mm, 其慣性矩 I x =00mm, 若 x 軸為形心軸, 且與 s 軸 ( 平行 x 軸 ) 相距 mm, 試求 s 軸之慣性矩 I s 已知三角形之底為 b, 高為 h, 試求其對高之一半且平行底邊之軸的慣性矩如圖所示, 某面積之形心軸為 y 軸, 面積為 0mm, 其對 y 1 軸之慣性矩為 100mm, 試求此面積對 y 軸之慣性矩如圖所示, 試求倒置三角形面積對 x 軸及 y 軸之慣性矩 y y 1 y G mm mm 圖圖 179

32 應用力學如圖如圖所示, 試求中空矩形面積對水平形心軸之慣性矩及截面係數所示, 試求組合面積對 x 軸之慣性矩及截面係數圖圖如圖如圖所示, 試求此組合面積對 x 1 軸及 x 之慣性矩所示, 試求圓環形面積之慣性矩及極慣性矩圖圖 Part: 進階題如圖如圖所示, 試求組合面積之形心所示, 試求組合面積之形心 180 圖圖

33 第 6 章平面的性質設正三角形之邊長為 L, 試求其平行於底邊之形心軸的慣性矩設一梯形面積之上底為 a, 下底為 b, 高為 h, 試求其對下底之慣性矩如圖所示, 若一斷面 (a) 圖時, 其面積 A = 10mm, 對水平形心軸之慣性矩 I x1 = 160mm 今若將兩個相同斷面(a) 組合成 (b) 圖, 試求 (b) 圖對其水平形心軸之慣性矩 I x 如圖所示之面積, 試求其水平形心軸之慣性矩 (a) (b) 圖圖如圖如圖所示, 試求此組合面積對 x 1 軸及 x 軸之慣性矩所示, 試求此組合面積水平形心軸及垂直形心軸之慣性矩圖圖 181

34 應用力學如圖所示之面積, 試求其水平形心軸之慣性矩如圖所示, 二正方形面積之邊長均為 a, 試求 (a) 圖與 (b) 圖對其形心軸慣性矩之比值及截面係數之比值 (a) (b) 圖圖 18

Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc

Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc 台北市立陽明高中高二自然組動手動腦單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一選擇題 ( 題每題分共分 ); 第題為單選題第題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x