國中數學基本學習內容補救教材　第五冊

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去苗
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五 -1 單元五直線與圓及兩圓的關係主題一點與圓的關係校慶來臨, 小欣的班上決定擺設射飛鏢遊戲的攤位, 製作了一個半徑為 20 公分的圓作為鏢靶遊戲規則未射中圓形鏢靶得 0 分射中圓形圓形標靶內部得 5 分恰好射中圓形標靶外框得 10 分小欣自己試玩 4 次, 結果落在點 A B C D( 如圖 ), 其中的 D 點因圓沒畫完, 看不出 D 點的位置是在圓內, 圓上還是圓外,

1 五 -1 單元五直線與圓及兩圓的關係主題一點與圓的關係校慶來臨, 小欣的班上決定擺設射飛鏢遊戲的攤位, 製作了一個半徑為 20 公分的圓作為鏢靶遊戲規則未射中圓形鏢靶得 0 分射中圓形圓形標靶內部得 5 分恰好射中圓形標靶外框得 10 分小欣自己試玩 4 次, 結果落在點 A B C D( 如圖 ), 其中的 D 點因圓沒畫完, 看不出 D 點的位置是在圓內, 圓上還是圓外, 因此請小蘋來幫幫他知道半徑是 20 公分, 只要再測量 D 點和圓心的距離就可以知道啦! 與圓心的距離等於半徑的點在圓上, 小於半徑的點在圓內, 大於半徑的點在圓外如圖, 圓 O 半徑為 OA =r, 則 (1)OP =r,p 在圓 O 上 ; (2)OQ <r,q 在圓 O 內 ; (3)OR >r,r 在圓 O 外小欣測量出 OD =21 公分, 則 D 點是在哪裡? 答 : ( 圓 O 上圓 O 內圓 O 外 ); 又這 4 次的試射, 小欣總共得分五 -1

2 五 -2 國中數學基本學習內容補救教材第五冊小試身手 1. 如圖, 圓 O 的半徑為 2 公分, 則觀察 A B C D E O 各點, 哪些點與圓心距離小於 2 公分?( ), 哪些點與圓心距離等於 2 公分?( ), 哪些點與圓心距離大於 2 公分?( ) 2. 在平面上, 有一圓 O, 半徑為 16, 已知 OP =26,OQ =16,OR =8; 請問 P Q R 三點分別與圓的位置關係為何? (1) 落在圓 O 外部的有, (2) 落在圓 O 內部的有, (3) 落在圓 O 上的有 3. 在平面上, 有一圓 O,OP =10,OQ=12,OR =8; 若其中有一點在圓 O 上, 其餘兩點都在圓 O 外, 則圓 O 直徑為多少? 答 : 4. 如圖, 小蘋在紙上畫了 4 個圓, 並利用圓心與圓的一些交點作出 12 條線段若此 4 圓的半徑為 , 則這 12 條線段的總長度為多少? 五 -2

3 五 -3 主題二直線與圓的關係 < 直線與圓的交點 > 哇! 只有一個圓卻有好多條直線哦! 每條直線和圓的交點個數各有不同交點有 2 個的有 1 個的有的沒有交點, 是不是就這 3 種情形? 與圓只相交 1 點的直線稱為該圓的切線, 交點稱為切點而與圓相交 2 點的直線稱為該圓的割線填填看 1. 如圖, 三條直線 L M N 中, 與圓 O 只交於 1 點的直線是, 稱為圓 O 的線, 切點為 ; 與圓 O 相交於 2 點的直線是, 稱為圓 O 的線 ; 與圓 O 不相交的直線是 2. 如圖, 填入適當的名詞五 -3

請試著回答下列問題 : (1) B 點是否在圓 O 上? 除了 B 點,L 上的點是否都在圓 O 外? (2) 由 (1),O 到直線 L 上的哪一點距離最短?

4 五 -4 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 < 切線切點與圓心 > 仔細看,OA 很像與直線 L 垂直是真的嗎? OA 就是圓心與切點連成的半徑, 是真的垂直 L, 只要一步步想就明白了! 問題與討論如圖, 直線 L 為圓 O 的切線, 且 B 為切點, 則 OB 與直線 L 垂直嗎? 請試著回答下列問題 : (1) B 點是否在圓 O 上? 除了 B 點,L 上的點是否都在圓 O 外? (2) 由 (1),O 到直線 L 上的哪一點距離最短? (3) 由 (2), 請問 OB 與直線 L 垂直嗎? [ 提示 : 一點到直線的最短距離, 指從該點作直線的垂直線段長度 ] 歸納結論 : 1. 圓心與切點的連線段等於圓的半徑 2. 圓心與切點的連線垂直於切線 3. 圓心與切線的距離等於圓的半徑 B=90 五 -4

5 五 -5 < 精彩小回顧 : 點到直線的距離 > 1. 點到直線的距離是點與該直線的垂直線段長嗎? 2. 左下圖, 在直線 L 上的點, 最靠近 A 點的是點 3. 右下圖, 若 P 點到直線 M 的距離是 PC 長, 則 =90 直線與圓的相交關係圖示直線 L 與圓 O 不相交 OA 大於圓 O 半徑直線 M 與圓 O 只交於 B 點 OB 等於圓 O 半徑直線 N 與圓 O 交於 C D 兩點 OE 小於圓 O 半徑小試身手 1. 設一圓的半徑為 r, 圓心到直線的距離為 d 請填填看 : 直線與圓位置關係不相交切線割線直線與圓的交點數比較 d 與 r 的大小關係 2. 如圖, 直線 L 為圓 O 之切線, 則 A B C 何者為其切點? 答 : ( ) 為切點五 -5

6 五 -6 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 < 計算切線段長 > 只剩這兩邊了, 繼續量一下吧? 那是切線嗎? 切點在哪裡? 例 1 如下圖, 若 PA 為圓 O 的切線, 切點為 A, 且圓 O 的半徑為 5, OP =13, 則 PA 為多少? 選擇對半徑就會很好算解 : 連 OA, 則 OA, OPA 為直角三角形利用畢氏定理 PA = = = 144=12 例 1 中,PA 的長稱為 P 到圓 O 的切線段長事實上,P 到圓 O 還有另一條切線段 PB, 如圖請算算看,PB 的長為多少? PA PB 長度是否相等? 解 : 我們發現 : 若 PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, 則 PA =PB, 稱為切線段等長性質五 -6

7 五 -7 若 PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, 則 OAP OBP 請試著填填看 (1) 因為 PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, 所以 OA AP 且 OB BP ; (2) OA = OB ( 皆為圓的 ) (3) OP = OP ( 共用邊 ) 所以 OAP OBP ( 根據三角形全等性質 ) 由上亦知 :(1) PA =PB (2) APO= BPO AOP= BOP 小試身手 1. 如圖, BA BC 為圓 O 的切線, 切點為 A C, 且圓 O 的半徑為 6, OB =10, 則切線段 BA BC 的長為多少? 2. 如圖, AC 與 BC 為圓 O 的切線,A B 為切點, 若 OC =25,CB =24, 則圓 O 的半徑為多少? 四邊形 OACB 的周長為多少? 3. 如圖, PA PB 為圓 O 的切線, 且 A B 為切點, APB=50, 則 POB 是多少度? 五 -7

8 五 -8 國中數學基本學習內容補救教材第五冊主題三弦與弦心距哇! 上弦月! 看我登天摘下它哇! 踩到圓心了, 好喘喔! 從哪一邊走呢? 起點越低的越容易喘! 圓上相異兩點相連的線段稱為弦, 圓心與弦的距離稱為弦心距如圖,AB CD 為圓 O 的兩弦,OM ON 分別為 AB CD 的弦心距小欣的觀察 :(1) 一個圓有無限多條弦, 直徑是最長的弦 (2) 與圓心距離越遠的弦, 長度就越短! 直徑是最長的弦弦心距越長, 弦越短 O 五 -8

五 -9 一弦的弦心距垂直平分此弦如圖,AB 為圓 O 的一條弦, 且 OM 為此弦的弦心距, 我們一起來說明 OM 垂直平分 AB : (1) 連接 OA 及 OB, 則 OA =OB ( 皆為圓 O 的 ), (2) 又 =OM ( 公共邊 ), (3) OMA= OMB=90 (OM 為 AB 的弦心距 ), (4) 所以根據三角形全等性質, OMA OMB, 因此對應邊 MA =MB

9 五 -9 一弦的弦心距垂直平分此弦如圖,AB 為圓 O 的一條弦, 且 OM 為此弦的弦心距, 我們一起來說明 OM 垂直平分 AB : (1) 連接 OA 及 OB, 則 OA =OB ( 皆為圓 O 的 ), (2) 又 =OM ( 公共邊 ), (3) OMA= OMB=90 (OM 為 AB 的弦心距 ), (4) 所以根據三角形全等性質, OMA OMB, 因此對應邊 MA =MB (5) OM AB 且 MA =MB OM 垂直平分 AB 由上亦知 :OM 是 AB 的垂直平分線, 即過圓心且垂直弦的直線必平分此弦, 或弦的垂直平分線必通過圓心填填看 1. AB 為圓 O 的一弦,L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 皆為垂直 AB 的直線, 試判斷哪一條直線可平分 AB 的長?( 即通過 AB 的中點 ) 答 : 直線 ( ) 2. 圓心到弦的距離稱為此弦的五 -9

10 五 -10 國中數學基本學習內容補救教材第五冊小試身手 1. 一圓 O 半徑為 10, (1) 如圖,AB 是圓 O 的一弦,OM 為其弦心距, OM =6, 則 AM 多長?AB 多長? 解 :AM = ( ) 2 -( ) 2 = ( )= AB = (2) 如圖, 圓 O 的另一弦 CD,ON 為其弦心距, CD =12, 則 ON 多長? (3) 比較 AB 與 CD :AB CD ( 填 :> = <), 比較 AB 與 CD 的弦心距 :OM ON ( 填 :> = <), 小欣在主題三觀察 (2): 弦心距越長, 弦越短是否正確? (4) 填填看在同一圓中, 弦愈短, 所對的弦心距愈 ( 填 : 長短相等 ) 2. EF 是圓 O 的一弦,OP 為其弦心距, 若 EF =24,OP =5, 則圓 O 的半徑為多少? 五 -10

11 五 -11 主題四兩圓的位置關係哇! 這個圖有好多圓喲, 我也畫 2 個圓試試厲害! 完全表達出大小兩圓的位置關係連接兩圓圓心的直線稱為連心線, 如圖,L 為圓 O 1 與圓 O 2 的連心線,O 1 O 2 稱為連心線段, 也代表連心線段長若設大圓 O 1 的半徑為 R, 小圓 O 2 的半徑為 r, 即 R>r 1. 圓 O 1 在圓 O 2 外, 圓 O 2 也在圓 O 1 外, 互不相交, 兩圓稱為外離 O > 1 2 R + r 五 -11

12 五 -12 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 2. 將圓 O 2 沿著連心線向右移, 使兩圓只交於一點 P( 此點稱為切點 ), 兩圓稱為外切 O 1 2 = R + r 3. 將圓 O 2 沿著連心線再向右移, 兩圓相交於 P Q 兩點此時可形成一個 O 1 PO 2, 因此 R r < O 1 2 < R + r R r < O 1 2 < R + r 4. 將圓 O 2 沿著連心線再向右移, 兩圓只交於一點 P( 此點稱為切點 ), 兩圓稱為內切 O 1 2 = R r 5. 將圓 O 2 沿著連心線再向右移, 小圓在大圓內, 互不相交, 兩圓稱為內離 0 O 1 2 < R r 五 -12

13 五 -13 R r R + r O 1 2 內內交外外離切兩切離點小試身手 1. 試著配對下列兩圓位置關係之名稱 : 外離外切相交於兩點內切內離五 -13

14 五 -14 國中數學基本學習內容補救教材第五冊 2. 若圓 O 1 圓 O 2 的半徑分別為 R r, 且 R=6,r=2 請填填看: (1) R-r= 當兩圓內切時, = O 1 O 2 (2) R+r= 當兩圓外切時, = O 1 O 2 (3) 當兩圓相交於兩點時, < O 1 O 2 < (4) 當兩圓內離時, 連心線的範圍為 (5) 當兩圓外離時, 連心線的範圍為 3. 若圓 O 1 圓 O 2 的半徑分別為 7 4 請填填看: (1) 當兩圓內切時, O = 1 O 2 (2) 當兩圓外切時, O = 1 O 2 (3) 當 O =2 1 O 2 時, 兩圓關係為 (4) 當 O =15 1 O 2 時, 兩圓關係為 (5) 當 O =7 1 O 2 時, 兩圓關係為 4. 圓 O 1 半徑為 8, 圓 O 2 半徑為 3, 請根據表格中的連心線段長, 填入這兩圓的位置關係 O 1 O 2 = 5 O 1 O 2 = 1 O 1 O 2 = 11 O 1 O 2 = 6 O 1 O 2 = 20 五 -14

15 五 -15 主題五公切線哇! 這條線同時跟 4 個圓相切, 真厲害! 當某直線同時是兩圓的切線時, 稱此直線為這兩圓的公切線公切線分為兩種 :(1) 兩圓在公切線的異側, 稱為內公切線, (2) 兩圓在公切線的同側, 稱為外公切線填填看如圖, 哪些直線為圓 O 1 與圓 O 2 的外公切線? 哪些直線為圓 O 1 與圓 O 2 的內公切線? 答 : 外公切線有, 內公切線有五 -15

16 五 -16 國中數學基本學習內容補救教材第五冊填填看兩圓的位置關係與內公切線外公切線的數量關係 : 兩圓的位置關係圖示外公切線數內公切線數 (! ( ) 離 ( 條 ) 2 條外切 2 條 ( 條 ) 相交於兩點 ( 條 ) ( 條 ) ( ) ( 條 ) ( 條 ) 內離 ( 條 ) ( 條 ) 五 -16

17 五 -17 小試身手 1. 如圖, 直線 L 分別切圓 O 1 圓 O 2 於 A B 兩點, 圓 O 1 半徑大於圓 O 2 半徑則下列敘述正確者打, 否則打 ( )(1) 直線 L 是圓 O 1 圓 O 2 的外公切線 ( )(2) O 1 A L 且 O 2 B L ( )(3) O //O 1 A 2 B ( )(4) AB //O 1 O 2 ( )(5) O 1 + O 2 = 如圖, 直線 L 分別切圓 A 圓 B 於 C D 兩點則 (1) ACO 與 BDO 是否為直角三角形? 答 :, (2) 直線 L 是圓 A 圓 B 的公切線 ( 填 : 內外 ), (3) AC 與 BD 是否平行? 為什麼? (4) 圓 A 圓 B 的位置關係是, 圓 A 圓 B 的外公切線共有條, 圓 A 圓 B 的內公切線共有條 3. 如圖, 圓 O 1 與圓 O 2 外切於 P 點, 直線 L 為其公切線, 切點為 A B, 圓 O 1 半徑小於圓 O 2 半徑則 : (1) O O 1 O 2 1 A + O 2 B ( 填 :> = <), (2) 四邊形 AO 1 O 2 B 是何種四邊形? 答 :, (3) 圓 O 1 與圓 O 2 的外公切線共有條, 內公切線共有條 4. 試完成下列表格兩圓的位置關係外離外切相交於兩點內切內離外公切線的數目內公切線的數目五 -17

18 五 -18 國中數學基本學習內容補救教材第五冊主題六綜合練習 1. 小欣學完本單元後, 針對自己在主題三觀察 (1): 直徑是最長的弦提出下列兩種說明你比較喜歡哪一種? 還是都喜歡呢? 說明 1 若弦 AB 不是圓 O 直徑, 如圖, 則 O A B 形成三角形, 故 OA + OB > AB, 又 OA OB 為半徑, 所以圓 O 直徑 >AB 說明 2 若弦 AB 不是圓 O 直徑, 作弦心距 OM, 如圖, OAM 中, OMA=90, OA > AM OBM 中, OMB=90, OB > BM 因此 OA + OB > AB, 又 OA OB 為半徑, 所以圓 O 直徑 >AB 答 : 2. AB CD 為圓 O 的兩弦,OM ON 分別為其弦心距, 若 CD =12,ON =8,OM =5, 則 (1) 圓 O 的半徑為多少? (2) AB 為多少? (3) 若 EF 為圓 O 的一弦, 且 EF 的弦心距小於 8, 則 EF CD ( 填 :> = <) 五 -18

19 五平面上, 一圓 O 直徑為 10, 則 (1) 若 OP =10, 則 P 點在圓 O ( 填 : 內外上 ), (2) 若 O 與直線 L 的距離是 8, 則 L 與圓 O 有幾個交點? 答 : 個, (3) 若直線 M 是圓 O 的切線, 切點為 A,OA 等於多少? 答 : 4. 圓 O 1 與圓 O 2 的半徑比為 1:3, 當圓 O 1 與圓 O 2 外切時,O =12 1 O 2 則當圓 O 1 與圓 O 2 內切時,O 1 O 2 是多少呢? 解 :(1) 因為半徑比為 1:3, 所以設圓 O 1 半徑為 r, 圓 O 2 的半徑為 3r 當兩圓外切時,O =12, 1 O 2 可列式 =12, 化簡得 r= ; (2) 圓 O 1 半徑 =, 與圓 O 2 半徑 = ; (3) 若圓 O 1 與圓 O 2 內切, 則 O 1 O 2 = 5. 圓 O 1 與圓 O 2 的半徑比為 2:5, 且知當 O =12 1 O 2 時兩圓內切則當圓 O 1 與圓 O 2 外切時,O 1 O 2 是多少呢? 6. 如圖, 直線 L 切圓 O 於 B 點,A 點在 L 上, OB =6, BAO=30, 則 (1) OA 多長? (2) AB 多長? 提示 : 三角形的三邊比 1: 3:2 五 -19

Microsoft Word - B5ch2-n.doc

Microsoft Word - B5ch2-n.doc -1 點直線圓之間的關係例題 1 切線性質之應用如圖, 直線 L 與圓 O 相切於 P 點,A 為直線 L ㆒點,OA 與圓 O 相交於 B 點已知 =15, PA =9, AB 求圓 O 的半徑隨堂練習 1 如圖, 直線 L 與圓 O 相切於點 P, 點 A 為直線 L ㆒點已知圓 O 的半徑長為 5,AP =1, 求 OA 的長 O 解 : 設圓 O 的半徑為 r, 因為 L OP

國中數學基本學習內容補救教材 第五冊

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