三動點之三角形幾何探討

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云向
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1 投稿類別 : 數學類篇名 : 作者 : 夏澔中和高中高二 5 班李佳翰中和高中高二 5 班楊舒凱中和高中高二 5 班指導老師 : 王晞安老師趙志益老師

2 壹前言一摘要在圖形中求出點與點之間的最短距離, 是很多人在學習數學的過程中一定會寫到的題目之一, 甚至依此問題為研究題材的人也不佔少數由於我們也寫過一些關於這一類型的題目, 所以因而產生了一些興趣二研究動機在校內能力競賽的題目中, 有一題有關立方體中兩點距離的最小值, 如圖 ( 一 ) 所示發現這個問題不管在平面或是立體都經常出現, 多加了點的移動方向, 找出一些跟三角形有關的性質, 如圖 ( 三 ) 所示例如 : 外心重心垂心周長面積等等, 並且找出一些特殊的軌跡原本題目的正立方體嘗試找出一些特殊的軌跡, 如圖 ( 二 ) 所示, 再將其延伸至不同出發點不同走向加以研究圖 ( 一 ) 原題目圖 ( 二 ) 立體圖新定義三題目介紹正立方體的研究, 我們將其放進三維座標, 讓 A 點的坐標為 (,0,0) B 點的坐標為 (0,0,0), 動點 (0,0,0) 及 (0,, ) 上, 如圖 ( 三 ) 所示此時三個動點構成了一個動態的三角形 A' B' C '( 形狀與 h 有關 ), 我們試著找出 A' B' C ' 周長與面積的最大值與最小值以及外心重心垂心的軌跡, 並描述其軌跡方程式 C 點的坐標為 (0,, ) A' 動點 B ' 與動點 C ' 的原始位置即分別位於 (,0,0) 四研究目的圖 ( 三 ) 放在三維座標內 ( 一 ) 找出移動中三角形周長之最大值與最小值 ( 二 ) 找出移動中三角形面積之最大值與最小值 ( 三 ) 找出三角形 A'B'C' 的外心軌跡 ( 四 ) 找出三角形 A'B'C' 的重心軌跡 1

3 ( 五 ) 找出三角形 A'B'C' 的垂心軌跡 ( 六 ) 規納起始點不同及移動方向不同的三角形的軌跡五名詞解釋 ( 一 ) 邊長 ( ) 本研究中指正方形 ( 體 ) 的邊長 ( 二 ) 移動長度 ( ) 給定三個動點所移動的單位長度 (0 h ) ( 三 ) 三心 ( O, G, H ) 外心 O 重心 G 垂心 H h 六研究架構圖利用三心之性質以及向量之運用並探其軌跡跡利用幾何方法和微分以及其他方法找出其幾何性質立體根據尤拉線性質可以得知 OG : GH 1:, 依此性質, 我們試求出垂心的軌跡垂心代入坐標公式求軌跡重心試著先找出兩面中垂平面的軌跡, 找出其交點, 之後將其交線與過 ABC 的平面得出交點, 即為外心的軌跡外心利用外積量質算出面積, 面積最大值會出現 h 處, 面積最小值會出現在 h 0處面積尤拉線是過三角形外心重心垂心的一條直 1. 運用微分將周長最小值求出, 利用圖形舉例, 找出 h與正比關係. 運用微分, 並探討其斜率變化, 找出 h=0 產生最大周長把一點 (1 0 0) 固定住, 再將剩下的兩點做變動, 經過一連串的平移翻轉得出, 起始點總共分為三大類型線, 我們先把外心重心垂心點的參數式標出, 再將兩個較為容易計算的點求出尤拉線的直起始三動點線變化圖 ( 四 ) 研究架構圖七研究器材紙筆 GSP GeoGebra

4 貳正文一立體三角形 ( 一 ) 三角形 A'B'C' 的周長 A, h,0 B 0,0, h C 0, h, 在中 ABC AB h BC h A C h 圖 ( 五 ) 立體周長示意圖周長 AB BC AC是的函數 h, 為求出 f h 對 h的局部極限, 將 f h 對 h作微分並令 d f h h h h dh h h h h 0 h h h h 圖 ( 六 ) f( h ) 微分前的函數圖形圖 ( 七 ) f( h ) 微分後的函數圖形 f( h ) 0 時, 舉例可以得到 : 5, h f ( ) 當 10, h 時, 周長 f() h 會有最小值 : f (1.6013) , h f ( ) ( 由圖形的放大縮小, 我們可以得知 h與成正比 ) ( 二 ) 三角形 A'B'C' 的面積最大值與最小值 1 利用 BA BC外積量值的求出 ABC BA=, h, h BC= 0, h, h 3

5 h h h h h h h 0 0 h 1 1 BA BC 4 h h h ABC 面積最大值會出現在 ABC 面積最小值會出現在 h 處, 即 ABC 0 B A B C,, = h h h h, h, h h 0處, 即 ( 三 ) 三角形 A'B'C' 的外心軌跡外心是三角形三中垂線的交點, 我們試著先找出兩面中垂平面的軌跡, 找出其交點, 之後將其交線與過的平面得出交點, 即為外心的軌跡 A, h,0 B 0,0, h C 0, h, BC 0, h, h ABC BC的平面 : h y h z 0 1 y z 0 h h BC 中點 0,, h h 滿足 1. 的方程式 : y z 0 y z 0 B A, h, h BA的平面 : x hy hz 0 1 BA, h, h 中點 h h 滿足 1. 的方程式 x h y h z 0 x hy hz 0 y z 0 A B x+ hy hz 0 求平面與的交線 L A B h, h h,0 0, h BA BC,, h, h h,, h h h, h, h h,, A y z 0 當 x 時 B hy hz 0, y, z x y z 直線 L比例式 : t h 過 ABC 的平面 ABC hx y+ ( z h) 0 hx y+ z h 0 圖 ( 八 ) 立體外心示意圖 4

6 求平面 x ht L : y t z t 代入 hx y z h 0 h( ht ) t t h 0 4h t h t h 0 ( h ) t 0 t 0 ABC 與 L的交點外心焦點恆為 (,, ) 在 AC 斜邊中點上由此得知 BA BC 0 此三角形皆為直角三角形 ( 四 ) 三角形 A'B'C' 的重心軌跡重心是三角形三頂點至對邊中點連線的交點, 也是整個三角形的質量中心, 帶入重心座標公式即可求出重心的軌跡 X1 X X 3 Y1 Y Y3 Z1 Z Z3 根據重心公式 G:,, 將 A, h,0 B 0,0, h C 0, h, 相加 h 得到 G:,, x 3 而用參數式表示為, 3 h z 3 x, y, z y h 0 從正立方體取 3 點等速延邊移動求此 3 點圍成的三角形之重心軌跡, 圖 ( 九 ) 立體重心示意圖 A x B x C A x y B y C y A z B z C Z 已知重心座標為,, 且 3 點 A, B, C 都是變量 h 的一次變化 A x B x C A x y B y C y A z B z C Z 所以,, 一次變化因此得知任 3 點 A, B, C 的重心軌跡皆為一直線 ( 五 ) 三角形 A'B'C' 的垂心軌跡垂心是三角形三高的交點, 根據尤拉線性質可以得知 OG : GH 1:, 依此性質, 我們試 5

7 求出垂心的軌跡已知 O 的軌跡 x y z 由 OG : GH 1: 得知, G 的軌跡 x 3( ) 0 3 y 3( ) 0 H 的軌跡 3 h z 3( ) h 3 x 3 y 3 h z 3 圖 ( 十 ) 立體垂心示意圖二起始三動點之探討探討完上文三動點軌跡後, 我們想探討其他種起始點的軌跡為了確定起始點有多少種類型, 我們打算以邊長為 1 的正立方體作探討首先把一點 (1,0,0) 固定住, 再將剩下的兩點做變動, 經過一連串的平移翻轉得出, 起始點總共分為三大類型, 並且有 81 種移動種類為了便於歸納, 分別從這三個類型中, 將動點所連成的形狀分成全程皆為 : 直角三角形正三角形等腰直角三角形等三類結果發現在全部的 81 種圖形 ( 參見附錄 ) 中, 有 3 種符合條件 ( 一 ) 起始點分類起始點共有三大類型 (1) 第一類 - 三點皆在同一平面上 () 第二類 - 三點兩兩在同一平面上 (3) 第三類 - 有二點位於對角線上圖 ( 十一 ) 三種分類示意圖 ( 二 ) 直角三角形全程形狀皆為直角三角形的有 17 種圖形 6

8 圖 ( 十二 ) 直角三角形 1. 外心 : 利用斜邊上兩點的座標相加除以, 得出兩種軌跡種類外心軌跡為直線 : (3) (5) (16) (19) (57) (64) (69) (76) 外心軌跡為一點 : (18) (3) (55) (58) (65) (68) (71) (78) (81). 重心 : 利用三點座標相加除以 3, 得出一種軌跡種類重心軌跡為直線 : (3) (5) (16) (18) (19) (3) (55) (57) (58) (64) (65) (68) (69) (71) (76) (78) (81) 3. 垂心 : 恰為直角三角形中, 夾角為 90 度的軌跡, 共一種垂心軌跡為直線 : (3) (5) (16) (18) (19) (3) (55) (57) (58) (64) (65) (68) (69) (71) (76) (78) (81) 由上述結果可以知道垂心與重心的軌跡為直線, 外心的軌跡唯一直線或是一點根據尤拉線的性質, 我們得出 : 重心軌跡平行於垂心軌跡 ( 三 ) 正三角形全程形狀皆為正三角形的有 3 種圖形圖 ( 十三 ) 正三角形 1. 重心 : 利用三點座標相加除以 3, 得出一種軌跡種類重心軌跡為直線 : (34) (41) (48). 外心 : 根據正三角形性質, 得到外心軌跡與重心軌跡為同一類外心軌跡為直線 : (34) (41) (48) 3. 垂心 : 根據正三角形性質, 得到垂心軌跡與重心軌跡為同一類垂心軌跡為直線 : (34) (41) (48) ( 四 ) 等腰直角三角形全程形狀皆為等腰直角三角形的有 3 種圖形圖 ( 十四 ) 等腰直角三角形 1. 外心 : 利用斜邊上兩點的座標相加除以, 得出一種軌跡種類外心軌跡為直線 : (1) (15) (6). 重心 : 利用三點座標相加除以 3, 得出一種軌跡種類重心軌跡為直線 : (1) (15) (6) 3. 垂心 : 恰為直角三角形中, 夾角為 90 度的軌跡, 共一種垂心軌跡為直線 : (1) (15) (6) 7

9 由上述結果可知垂心重心外心的軌跡均為直線根據尤拉線的性質, 我們得出 : 重心軌跡平行垂心軌跡與外心軌跡參結論一立體等速度三角形 ( 一 ) 周長 f h h h h ( 二 ) 面積的最大值與最小值 1 ABC 4 h h h 最大值會出現在 h 處, 即 ABC 最小值會出現在 h ( 三 ) 三心的軌跡 1 外心軌跡參數式: x ht h L: y t h z t, 處, 即 t 3h ABC 0 h 重心軌跡參數式 : x 3 L : y, h 0 3 h z 3 3 垂心軌跡參數式: x t h L : y t, t z t h 1 4h 二起始三動點之探討 ( 一 ) 直角三角形全程形狀皆為直角三角形的共有 17 種 1 外心軌跡 : 8

10 軌跡為直線 : (3) (5) (16) (19) (57) (64) (69) (76) 軌跡為一點 : (18) (3) (55) (58) (65) (68) (71) (78) (81) 重心軌跡 : 軌跡為直線 : (3) (5) (16) (18) (19) (3) (55) (57) (58) (64) (65) (68) (69) (71) (76) (78) (81) 3 垂心軌跡 : 軌跡為直線 : (3) (5) (16) (18) (19) (3) (55) (57) (58) (64) (65) (68) (69) (71) (76) (78) (81) ( 二 ) 正三角形全程形狀皆為正三角形的有 3 種圖形 1 重心軌跡 : 軌跡為直線 : (34) (41) (48) 外心軌跡 : 軌跡為直線 : (34) (41) (48) 3 垂心軌跡 : 軌跡為直線 : (34) (41) (48) ( 三 ) 等腰直角三角形全程形狀皆為等腰直角三角形的有 3 種圖形 1 外心軌跡 : 軌跡為直線 : (1) (15) (6) 重心軌跡 : 軌跡為直線 : (1) (15) (6) 3 垂心軌跡 : 軌跡為直線 : (1) (15) (6) 而根據尤拉線的性質, 我們得出重心軌跡會平行於垂心軌跡與外心軌跡肆引註資料一游森棚 ( 主編 )(015) 普通高中數學第三冊台南市 : 翰林出版二游森棚 ( 主編 )(015) 普通高中數學第四冊台南市 : 翰林出版三游森棚 ( 主編 )(015) 普通高中數學第六冊台南市 : 翰林出版附錄路徑方向第一類 (1~7) 9

11 路徑方向第二類 (8~54) 路徑方向第三類 (55~81) 10

遞迴數列

遞迴數列第三冊 - 向量 - 向量的基本應用應用. 在中分別是兩邊的中點試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與所決定的平面上的每個向量都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s