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胎巷花
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第二章多項式函數的微積分微分在歷史上, 微分與積分是平行發展的, 求曲線的切線物體運動的瞬時變化率與極大極小值問題刺激了微分的發展 ; 而積分學主要源自對於面積與體積的計算直到牛頓 (Newton) 與萊布尼茲 (Leibnize) 發展出一個普遍用於計算導數和積分的方法, 而將微分積分的概念連結在一起, 他們分別發現了微積分基本定理,

1 第二章多項式函數的微積分微分在歷史上, 微分與積分是平行發展的, 求曲線的切線物體運動的瞬時變化率與極大極小值問題刺激了微分的發展 ; 而積分學主要源自對於面積與體積的計算直到牛頓 (Newton) 與萊布尼茲 (Leibnize) 發展出一個普遍用於計算導數和積分的方法, 而將微分積分的概念連結在一起, 他們分別發現了微積分基本定理, 微積分基本定理呈現了函數微分與積分之間是逆運算的關係, 就像加和減與乘和除一樣這個定理發現之後, 微積分這個學科就正式登上數學的舞台 ( 甲 ) 函數的導數導數的定義 : 回顧前面涉及的速度和切線問題 : Δf 切線斜率 m= Δ 0 Δ = f(+)f() ( 割線斜率的極限 ) Δ 0 Δs 瞬時速度 v= Δ t 0 Δt = s(t0+h)s(t0) ( 平均速度的極限 ) h0 t0+ht0 這兩個問題, 以數學的觀點來審視, 都歸結到同一個問題求函數的導數什麼是函數的導數呢? 它是函數在某一點差商的極限, 求函數 f() 在 =0 處的導數可以分成二個步驟 : () 求函數的差商 : 若函數 f () 在 =0 處及其鄰近區間上是連續函數在 0 附近的, 令 =0(Δ 稱為的差量可正可負 ), f() 在 =0 的差量 Δf 為 Δf=f(0+Δ)-f (0 ), Δf ( 0+Δ )-f ( 0 ) 比值 =f ( 類似於割線斜率或平均速度 ) Δ Δ 稱為函數 f () 在 =0 的差商, 如右圖所示另一方面, 令 =0+, Δf 函數 f () 在 =0 的差商 Δ () 求差商的極限 : = f ( 0+Δ )-f ( 0 ) Δ = f()f(0) 0 考慮函數 f () 在 =0 的差商 Δf ( 0+Δ )-f ( 0 ) =f, Δ Δ 當 Δ 0 時, 差商極限值存在, 則稱此極限值為為 f () 在 =0 處的導數 (Derivative), 記作 f / ( 0 ) 即 f / ( 0 )= Δ 0 Δf Δ = Δ 0 f ( 0+Δ )-f ( 0 ) Δ 另一方面, 當 =0+ 時, 的充要條件為 0, 因此 ~~

2 函數 y=f() 在 =0 處的導數也可寫成即 f / ( 0 ) = Δ 0 Δf Δ = Δ 0 0` f()f(0) 0 f ( 0+Δ )-f ( 0 ) Δ = 0` f()f(0) 0 由導數的定義知, 求函數 f () 在 =0 處的導數 f / (0), 可分成二個步驟 : () 求函數 f() 差商 : Δf = f()f(0) f ( 0+Δ )-f ( 0 ) ( 或 ) Δ 0 Δ () 求差商的極限 ( 導數 ): 0` f()f(0) f ( 0+Δ )-f ( 0 ) ( 或 Δ 0 Δ 0 當差商的極限值存在時, 則此極限值以 f / (0) 表示, 稱為 f() 在 =0 處的導數當 f() 在 =0 處導數存在時, 則稱 f() 在 =0 可微分接下來舉實例來討如何求函數的導數 : [ 例題 ] 求函數 f ()= 3 在 = 處的導數 f / () [ 解法 ]: 根據求導數的步驟 : () 求 f() 在 = 的差商 : Δf=f ( +Δ )-f ( )=(+) 3 =3()+3() +() 3 Δf 差商 = 3+3()+() Δ () 求差商的極限 ( 導數 ): Δf 因為 Δ 0 Δ =[3+3()+() ]=3, 所以 f() 在 = 處的導數 f / ()=3 Δ 0 ) [ 例題 ] 試求函數 f()= 4 在 =3 處的導數 Ans: ~~

3 是不是任何連續函數在每個點都有導數呢? 我們看下一個例題 : [ 例題 3] 設函數 f()=, 試問 f() 在 =0 處的導數是否存在呢? [ 解法 ]: 根據求導數的步驟 : () 求 f() 在 =0 的差商 : Δf f=f()f(0)= 0 =, 差商 Δ =f()f(0) = () 求差商的極限 ( 導數 ): 因為 Δ 0 + = Δ 0 =, 且 + Δ 0 = Δ 0 =, f()f(0) 所以 Δ 0 不存在, 故 f() 在 =0 處的導數不存在 Δf 上例中, 差商的極限 Δ 0 不存在, 此時稱 f()= 在 =0 處不可微分 Δ 根據例題二的討論, 一般而言, f ( 0+Δ )-f ( 0 ) 若差商的極限 Δ 0 不存在, Δ 則稱函數 f() 在 =0 處不可微分導數與切線設代表 f() 的圖形, 設 P 為上的一點, 考慮在 P 點附近取上另一點 Q, 作割線 PQ, 讓 Q 點沿著曲線逐漸趨近 P 點, 若此時割線 PQ 有極限直線 L, 則直線 L 稱為曲線在 P 點處的切線,P 點稱為切點根據以上的定義, 我們提出以下的注意事項 : () 切線是割線的極限位置 ( 如下圖一 ) () 曲線在 P 的切線 L, 不一定與只交於切點 ( 如圖二 ) (3) 與曲線交於一點 P 的直線, 不一定是以 P 為切點的切線 ( 如圖三 ) Q 從 P 之右側趨近圖一 Q 從 P 之左側趨近 ~3~

4 y P L 圖二切線 L 不只與交於一點圖三 L 與交於一點, 但不為切線根據切線的定義, 我們用函數的導數求切線的方程式 : 設 P ( 0, f ( 0 ) ) 是函數 f () 圖形上一個定點, 而 Q (,f () ) 是該圖形上異 Δf ()-f ( 0 ) 於 P 的另一動點, 則差商 Δ =f 就是割線 PQ 的斜率 -0 f ()-f ( 0 ) f ()-f ( 若 0 存在, 則導數 f / 0 ) (0)= -0 0 就是 f () 圖形上 -0 在 P 點處之切線的斜率有關導數與切線方程式結論如下 : 設 P(0,f(0)) 為函數 f() 圖形上一定點, 且 f / (0) 存在, 則 () 以 P(0,f(0)) 為切點之切線斜率就是導數 f / (0) () 圖形上以 P 為切點的切線方程式為 yf(0)=f / (0)(0) 例題中 f()= 3 在 = 處的導數 f / ()=3, 故以 (,) 為切點的切線為 y=3() 例題 3 中 f()= 在 =0 處的導數 f / (0) 不存在, 雖然過 (0,0) 可以作很多直線與 y= 交於一點, 但是根據前述切線的定義, 這些直線都不是 (0,0) 處的切線, 特別是軸與圖形只交於 (0,0), 但是軸不是通過 (0,0) 割線 (y= 或 y=) 的極限直線 ( 如下圖 ), 它並不是切線, 以 (0,0) 為切點的切線不存在! ~4~

5 底下用實例來說明, 用導數解決求切線的問題 : [ 例題 4] 已知點 P (, 8 3 ) 在函數 y= 3 3 的圖形 Γ 上試求 Γ 上 () 以 P 為切點之切線斜率 m 及切線方程式 () 通過 P 點之法線方程式 Ans:()m=4,y 8 3 = 4() () y8 3 = 4 () [ 解法 ]: () 函數 f ()= 3 3 的圖形在 = 處之切線斜率為 f / () m=f / ()= 3 = 3 ( 3-3 ) - = 3. ( - ) ( ++4 ) - = 3 ( ++4 )=4, 所以 m=4 由點斜式知過 P (, 8 3 ) 之切線方程式為 y 8 3 = 4() - () 因法線垂直於切線 ( 垂足為切點 ), 即法線的斜率為 4, 故過切點 P (, 8 3 ) 之法線方程式為 y 8 3 = 4 () ~5~

6 [ 例題 5] 設函數 f ()= + 的圖形為 Γ, 試求通過 Γ 外一點 Q (, ) 且與 Γ 相切的直線方程式 [ 解法 ]: 因 Q (, ) 不在圖形 Γ 上 ( + ), 所以點 Q (, ) 不是切點設切點為 P ( a,a +a ), 那麼過 P 點之切線 L 之斜率為 f (a), 而 f ()-f ( a ) ( + )-( a +a ) ( a )+( -a ) f / (a)= a = -a a = -a a -a ()(+a+) = a = a ( +a+ )=a+, 所以 f / (a)=a+ 故切線 L 的方程式為 y(a +a)=(a+)() 因為切線 L 通過 Q(,), 故可得 (a +a)=(a+)(a) 整理得 a -a=0,a=0 或 (i) 當 a=0 時, 切點 P ( 0,0 ), 切線斜率 f / (0)=, 故切線方程式為 y= (ii) 當 a= 時, 切點 P (,6 ), 切線斜率 f / ()=5, 故切線方程式為 y-6=5 ( - ), 即 5-y=4 所以, 通過圖形 Γ 外一點 Q (, ), 且與 Γ 相切之切線有兩條 L:y=, 切點 P ( 0,0 ),L:5-y=4, 切點 P (,6 ) [ 例題 6] 設 f / (a)=, 求 () h0 f(ah)f(a) h =? () h0 f(a+h)f(ah) h Ans:() ()3 ( 練習 ) 設 f()= +5+0, 求 f / ()=? Ans:3 ( 練習 ) 請利用導數的定義求 f()= 3 + 在 = 處的導數 f / ()=?Ans: 7 9 ( 練習 3) 已知函數 y=f() 的圖形在 = 處的切線方程式為 y+3= 5() 試求 ()f() 及 f / () () 函數 y=f() 的圖形在 = 處的法線方程式 Ans:()f()=3,f / ()= 5 ()y+3= 5 () ~6~

7 ( 練習 4) 試求過拋物線 y= + 外一點 P(,) 的切線方程式 Ans:y= 及 8+y+7=0 ( 練習 5) 若多項式 f() 滿足 f()=0,f / f ()=5, 則 ( h )? h0 3h Ans:5 ( 練習 6) 設 f() 在 =a 處可微分, 且 f / (a)=m, 試以 m 表示 Ans:5m ~7~ h0 f(a+3h)f(ah) h ( 乙 ) 函數的微分導函數的定義 : () 引入導函數 : 在例題中, 我們求差商的極限來計算 f()= 3 在 = 處的導數, 若是要求其它的導數 f / () f / ( ). 等, 是否每次都要用求差商的極限呢? 下面我們引入導函數的概念, 來簡化求導數的過程設 f()= 3,a 為任意實數, 因為 f / (a)= f()f(a) = 3 a 3 = ( +a+a ) =3a 所以對於每個實數 a 而言,f() 在 =a 處的導數為 f / (a)= 3a 經過了上面的程序之後, 每次要計算 f()= 3 在 =a 處的導數 f / (a) 時, 就不用每次都得算一次差商的極限, 只要將 a 的值, 代入 3a 即可 a f / (a) 因此每個實數 a f() 在 =a 的導數 3a, 形成了一個對求導數有意義的對應, 此對應關係形成的函數稱為 f()= 3 的導函數 () 定義導函數 : 導函數的定義 : 若函數 f() 在區間 (a,b) 內的每一點導數都存在, 當 0 在 (a,b) 內變動時, 函數對應 0 f / (0) 稱為 f() 在區間 (a,b) 上的導函數, 記作 f / (), 此時稱 f() 在區間 (a,b) 上可微分若函數 f() 在定義域中的每一點都可以微分, 則稱 f() 為可微分函數例題一中,f()= 3 的導函數 f / ()=3 當 f() 的式子很長時, 例如 f()= , 導函數可寫成 ( ) / (3) 導數與導函數 : 由導數與導函數的定義, f() 在 =0 的導數 f / (0) 是一個數, 而 f() 的導函數 f / () 是一個函數

8 例如函數 f()= 3 的導函數 f / ()=3, 而 f()= 3 在 = 處的導數就等於導函數 f / ()=3 在 = 處的函數值 f / ()=3 若求得函數 f() 的導函數 f / (), 那麼求 f() 在 =0 處的導數就等於導函數 f / () 在 =0 的函數值 f / (0) 由函數 f() 求它的導函數 f / () 的過程稱為將函數 f() 微分 (4) 高階導數 : 微分 / 微分 // 微分 f ( ) f ( ) f ( ) f n () 我們稱 f / () 為 f() 的一階導函數,f // ()=(f / ()) / 為 f() 的二階導函數,.f (n) () 為 f() 的 n 階導函數結論 : (a)f() 在 =a 處有導數, 則稱 f() 在 =a 處可微分 (b)f() 在定義域中的每一點都可微分, 則稱 f() 為可微分函數 (c) 若 f() 為一可微分函數, 則由 f() 求 f / () 這個過程稱為將 f() 微分 [ 例題 7] 證明 f()= n 的導函數 f / ()=n n (n 為自然數 ) [ 證明 ]: 設 a 為任意實數, 則 f / (a)= f()f(a) = = n a n ( n + n a+ +a n +a n ) =(a n +a n + +a n )=na n 所以 f()= n 的導函數 f / ()=n n [ 例題 8] 證明 :( n ) / = n [ 證明 ]: n 設 a 為 f()= n 定義域中的任意點, 則 f / (a)= f()f(a) = = n( 所以 ( n ) / = n ( n a n ) n n n = a)[( n = n ( n a n n ) n a a n ( n ) a a... ( a) n n n n n n )= n ( a n ) ] ~8~

9 [ 例題 9] 設函數 f ()= , 試回答下列各問題 : () f () 在 =a 的導數 () f () 的導函數 (3) 函數 y=f () 圖形的水平切線 [ 解法 ]: () f () 在 =a 處的導數 f ( )-f ( a ) f (a)= a -a a 3 -a -3 = a -a 3 -a 3 + -a = a -a = a ( +a+a ++a )=3a +4a () 因為對於任意實數 a,f (a)=3a +4a, 所以 f ()= 的導函數 f ()=3 +4 (3) 設水平切線的切點為 ( t,t 3 +t +3 ), 因為水平切線的斜率為 0, 所以 f ( t )=3t +4t=0, 解得 t=0 或 - 4 3, 當 t=0 時, 切點為 ( 0,3 ), 切線為 y=3; 當 t=- 4 3 時, 切點為 (- 4 3, 3 7 ), 切線為 y= 3 7 結論 : 基本的微分公式 () dn d =nn,nn () d n d n n, n N dc (3) d =0, 其中 c 為常數 ( 練習 7) 利用導函數的定義證明 f()= 的導函數為 f / ()=3 + ( 練習 8) 設函數 f ()= +3+5, 試回答下列各問題 : () f () 的導函數 () y=f () 圖形的水平切線 Ans:()+3 ()y 4 =0 ( 練習 9) () 請利用導數的定義求出 f()= 的導函數 () 試求 f / () f / (5) 的值 0 Ans:()f / ()= 0 0 ()f / ()= f / (5)=0 0 ( 練習 0) 試求 0 ( ) 0 的值 Ans:0 ~9~

10 微分與連續 () 若設 f() 在 =c 處可微分, 則 f() 在 =c 處連續 [ 證明 ]: f()f(c)=(c)[ f()f(c) ],f()=f(c)+ (c)( f()f(c) ) c c f() c = [ f(c)+ (c)( f()f(c) )]=f(c)+0f c c / (c)=f(c) 根據以上的定理, 若 f() 在 =c 處不連續, 則 f() 在 =c 處不可微分例如 :f()=[] 在 = 不連續 f() 在 = 不可微 () 若設 f() 在 =c 處連續, 則 f() 在 =c 處可微分這個敘述是錯誤的反例 : 設 f()=, 考慮 (0,0) 這一點, f()f(0) = f()f(0) = 不存在, 所以 f / (0) 不存在, 但是 =0, 所以 f()= 在 =0 不可微分, 但是在 =0 處連續由圖形來判別微分與連續 : () 函數圖形上的斷點 : 不連續的點 () 函數圖形上的斷點尖點跳躍點或跳動很厲害的點 : 不可微分的點 sin, 0 [ 例題 0] 設 f()=, 請問 f() 在 =0 連續嗎? 0, 0 可微分嗎? Ans:f 在 =0 連續但不可微分, 0 ( 練習 ) () 請畫出 f()= 之圖形 () 請問 f() 在 =0 可微分嗎?, 0 ~0~

11 ( 丙 ) 微分的運算性質前面求函數的導數與導函數都是根據導數的定義計算出來的, 接下來要介紹微分的運算性質, 利用這些性質有助於簡化求導函數的過程性質一 : 若函數 f() 與 g() 都在 =a 處可微分, 則和函數 f()+g() 在 =a 處可微分 [ 證明 ]: 令 h()=f()+g() h / (a)= h()h(a) f ( ) g( ) f ( a) g( a) = a = ( f()f(a) + g()g(a) )= ( f()f(a) )+ ( g()g(a) ) =f / (a)+g / (a) 根據上述的性質, 可得以下的結果 : 設函數 f () 與 g () 在 ( a,b ) 內可微分, 則 f ()+g () 在 ( a,b ) 內亦可微分, 且 f ()+g () / =f / ()+g / () 推論 :(f()+f()+...+fn()) / =(f()) / + (f()) / + +(fn()) / 性質二 : 若函數 f() 在 =a 處可微分, 則 cf() 在 =a 處可微分令 g()=c f() g / (a)= g()g(a) = cf()cf(a) =c[ f()f(a) ]=c f / (a) 根據上述的性質, 可得以下的結果 : 設函數 f () 在 ( a,b ) 內可微分, 則函數 c f () 在 ( a,b ) 內亦可微分, 且 cf () / =cf / () 利用性質一與二可得 : (f()g()) / =f / ()g / () (cf()+cf()+...+cnfn()) / =c(f()) / +c(f()) / + +cn(fn()) / 根據前面的性質, 可以很容易求得多項式函數的導函數 : 例如 :f()= 的導函數 f / ()=( ) / =(3 4 ) / +( 3 ) / +(5 ) / +(3) / +(6) / =3( 4 ) / +()( 3 ) / +5( ) / +(3)() / +(6) / = 設 n 次多項式函數 f()=an n +an n +...+a+a0, 可以得到 : (an n +an n +...+a+a0) / =(an n ) / +(an n ) / + +(a) / +(a0) / =an( n ) / +an( n ) / + +a() / +(a0) / =an(n n )+an(n) n + +a+0 = nan n +(n)an n + +a ~~

12 多項式函數導函數的公式 : 設 n 次多項式函數 f()=an n +an n +...+a+a0, 則導函數 f / ()=nan n +(n)an n + +a [ 例題 ] 設多項式函數 f()= , 試求 ()f / () ()f / () (3) 試求函數 f() 的圖形以點 (,0) 為切點的切線方程式 [ 解法 ]: () 根據多項式函數的微分公式, f / ()=5 4 + ()f / ()=5() 4 () +()= (3) 因為以點 (,0) 為切點的切線斜率為 f / ()= 所以切線方程式為 y0=(+) [ 例題 ] 設函數 f ()= + 的圖形為 Γ, 試求通過 Γ 外一點 Q (, ) 且與 Γ 相切的直線方程式 [ 分析 ]: 因為 Q (, ) 為 Γ 外一點, 要找切線必須先找到切點, 並求出導數 ( 斜率 ) 設切點為 P ( a,a +a ), 求出 a 的值與導數, 就可以找到切線的方程式 [ 解法 ]: 因 Q (, ) 不在圖形 Γ 上 ( + ), 所以點 Q (, ) 不是切點設切點為 P ( a,a +a ), 以 P 點為切點之切線 L 之斜率為 f / (a)=a+, 故切線 L 的方程式為 y(a +a)=(a+)() 因為切線 L 通過 Q(,), 故可得 (a +a)=(a+)(a) 整理得 a -a=0,a=0 或 (i) 當 a=0 時, 切點 P ( 0,0 ), 切線斜率 f / (0)=, 故切線方程式為 y= (ii) 當 a= 時, 切點 P (,6 ), 切線斜率 f / ()= 5, 故切線方程式為 y-6=5 ( - ), 即 5-y=4 所以, 通過圖形 Γ 外一點 Q (, ), 且與 Γ 相切之切線有兩條 L:y=, 切點 P ( 0,0 ),L:5-y=4, 切點 P (,6 ) ( 練習 ) 設函數 f()= , 試求 ()f() 的一階導函數 f / () () f() 的二階導函數 f // () (3)f / () f // () 的值 Ans:() f / ()= () f // ()=36 +8 (3)36,3 ~~

13 ( 練習 3) 設 f()= ,() 請求出 f / ()=? () Ans:() f / ()=3 6+ () 0 3 h0 f(+3h)f(h) 3h =? ( 練習 4) 設函數 f()= + 的圖形為,P 為上的點, 已知在 P 點處的切線 L 平行直線 y=+, 試求 ()P 點的坐標 () 求切線 L 的方程式 Ans:()P(,) ()y=() 前面介紹了多項式函數的導函數之求法, 設 f ()=( ) ( +3+ ), 根據前面的公式, 我們須將 f () 化簡整理成 f ()= , 然後再求得導函數 f ()= 事實上, 兩個可微分的函數其積函數還是可微分, 其微分的求法不必先相乘, 可用下面的性質去求 : 性質三 : 函數 f(),g() 都在 =a 處可微分, 則積函數 f()g() 在 =a 處可微分 [ 證明 ]: 令 h()=f()g() h / (a)= h()h(a) = f()g()f(a)g(a) -a = g()(f()f(a))+f(a)(g()g(a)) = g()[ f()f(a) ]+ f(a)[ g()g(a) ] =g(a)f / (a)+f(a)g / (a) 而上面極限的運算中, 使用了 g() 在 =a 可微分, 所以 g() 在 =a 連續即 g()=g(a) 根據性質三, 可得以下的結果 : 設函數 f () 與 g () 在 ( a,b ) 內可微分, 則函數 f () g () 在 ( a,b ) 內亦可微分, 且 f () g () / =f / () g ()+f () g / () 根據性質三, f ()=( ) ( +3+ ) 的導函數為 f ()=( ) ( +3+ )+( 3 - +) ( +3+ ) =( 3-4 ) ( +3+ )+( ) ( 4+3 ) = ( 練習 5) 設 f()=( +3)(3 +), 試求 f / () Ans:(+)(3 )+( +3)(6) ~3~

14 ( 練習 6) 設 f ()=( -5+3 ) ( ), 試求 : () f / () () f () Ans:()(45)( )+( 5+3)( ) ()66 另一方面, 若 f ()=g (), 根據性質三, f () 的導函數為 f () f ()+f () f ()= f () f () 同樣的, f () 3 = f () f (), 所以 f () 3 的導函數為 f () f ()+ f () f () = f () f () f ()+ f () f () = f () f ()+ f () f () =3 f () f () 我們可以透過數學歸納法證得以下的結果 : 若 n 為正整數, 且 f () 為可微分函數, 則函數 [f ()] n 的導函數為 n[f ()] n f / () [ 例題 3] 設函數 f ()=( +- ) 6, 代表 y=f () 的圖形, 點 P (-, ) 在上, 試求 : () f (- ) () 以 P 點為切點的切線方程式 Ans:() f (- )=-8 () y-=(-8 ) ( + ) ( 練習 7) 設 f ()=( 3+ ) 8, 試求 f (- ) 的值 Ans:4 ( 練習 8) 試求下列各函數的導函數 : ()f()=( 3 ++) 0 ()g()=(5+3) 0 Ans:()f / ()=0( 3 ++) 9 (6 +) ()g / ()=50(5+3) 9 ~4~

15 ( 補充 ) 性質四 : 若 f(),g() 在 =a 處都可微分, 且 g() 在 =a 附近不為 0, f() 則商函數在 =a 可微分 g() [ 證明 ]: 令 h()= f() g(), 設 a 為 h() 定義域中的任一點 f ( ) f ( a) h / (a)= h()h(a) g( ) g( a) = = a -a [f()g(a)f(a)g() g()g(a) = g()g(a) [g(a)(f()f(a))f(a)(g()g(a)) ] = g()g(a) [ g(a)(f()f(a))f(a)(g()g(a)) ] = (g(a)) ( g(a) [ f()f(a) ] f(a)[ g()g(a) ] = (g(a)) (g(a)f / (a)f(a)g / (a)) 而上面極限的運算中, 使用了 g() 在 =a 可微分, 所以 g() 在 =a 連續即 g()=g(a), 且 g(a)0 根據性質四, 可以得到以下結果 : ] / / f ( ) / f ( ) g( ) f ( ) g ( ) ( ) g( ) ( g( )) 若 f()=, 則 ( g() )/ / = g ( ) ( g( )) [ 例題 4] 試求下列各小題 : ()f()=,f / ()=? ()f()= ++,f / ()=? ~5~

16 ( 練習 9) 設函數 f() g(), 已知 f()=,f / ()=3,g()=4,g / ()=5, 試求下列各小題 : ()f()3g() 在 = 的導數 ()f().g() 在 = 的導數 (3) f() g() 在 = 的導數 Ans:()9 ()7 (3) 7 6 ( 練習 0) 試求下列各函數的導函數 : () ()( 3 +3) (+) (3) (+)( +)(3 ++) (4)( 3 ++) 5 Ans:()3 +7 ()( 3 +3)(3 +3)(+)+( 3 +3) (3) ( +)(3 ++)+(+)(4)(3 ++)+ (+)( +)(6+) (4) 5( 3 ++) 4 (6 +) ( 練習 ) 設函數 f()=( +) 6, 代表 y=f() 的圖形, 點 P(,) 在上, 試求 () f / () () 以 P 點為切點的切線方程式 Ans:()8 () y=(8)(+) ( 練習 ) 求下列各函數的導函數 ()f()= ()f()= +3+ (3)f()= (4)f()= 3 ++ Ans:() ( ++3) () ( +3+) (3) ( ) ( 3 +6+) (4) ( 3 ++) ( 練習 3) 設 h()=4,h / ()=3, 試求 Ans: 5 h() 在 = 的導數 =? ( 練習 4) 設 f()= + 請求出函數圖形 y=f() 在 (0,) 處的切線方程式 + Ans:y=4+ ~6~

17 ( 丁 ) 導數與變化率由於導數 f / (0) 相當於 f() 在 =0 處的變化率, 故在自然科學社會科學的領域中有許多應用例如 ()f() 代表位移對時間的函數, 則變化率 f / (0) 為 =0 時的速度 ()f() 代表流經電線截面的總電荷量對時間的函數, 則變化率 f / (0) 為 =0 時的電流大小 (3)f() 代表血壓對用藥量的函數, 則變化率 f / (0) 代表用藥量 =0 時血壓對用藥量的敏感度 (4)f() 代表人口對時間的函數, 則變化率 f / (0) 代表 =0 時人口的增長率 [ 例題 5] 某種藥物經動物實驗得到以下的結果 : 服用此藥物 (cc) 後,4 小時內的最高收縮壓可以近似表成 P()= (cmhg) 試求 () 敏感度函數 P / () () 試求服用此藥物 cc 時的血壓變化率 ( 敏感度 ) [ 解法 ]: ()P / ()= () 服用此藥物 cc 時的血壓變化率 ( 敏感度 ) 為 P / ()=.44 [ 例題 6] 設一根棍子從左側開始測量, 在公尺的地方測量從左端到此處的質量為 f() 公斤已知 f()= (0), 試求此棍子在 = 的線密度 (linear density) Ans:0.5(kg/m) ( 練習 5) 某個城鎮的人口從最初的 0000 人經過 t 年之後增加到數量 P(t) 人, P(t) 可以近似表成 P(t)=00t +00t+0000 (0t0), 試求 ()P / (t) ()t=5 的人口增長率 Ans:()400t+00 ()00 ( 練習 6) 只要電荷移動, 就會產生電流, 電荷以庫倫 (Coulomb) 當單位, 電流以安培 (Ampere) 作單位, 安培 = 庫倫 / 秒, 設在 t 時刻, 已流經圓形截面的總電荷量是 Q(t) 設 Q(t)=t 3 t +4t+, 求 t= 時的電流 Ans:5 安培 ~7~

18 [ 例題 7] () 求過點 (0,) 而與曲線 y=f()= 3 + 之相切的直線 () 曲線 y=f()= 3 + 以 (0,) 為切點的切線方程式為何? Ans:() 切線 y=0 或 +4y=8 ()y=0 [ 例題 8] 函數圖形 y=f()= 3 +a +b 之圖形通過 P(,) 且以 P 點為切點的切線斜率為 5, 請問數對 (a,b)=? Ans:(,) [ 例題 9] f() 為一多項式函數, 已知 0 Ans:y=5 f ( ) =5, 試求 f() 在 =0 處的切線方程式 ~8~

19 ( 練習 7) y= 6 + 上以 P(,) 為切點之切線方程式為何? 此切線與曲線的另一交點為何?Ans:y= , (4,4 3 ) ( 練習 8) 試求過點 ( 3 6,9) 且與 y= 3 相切的直線 Ans:y=64,y=548,y= ( 練習 9) 請求出過點 (0,0) 且與曲線 y= 的切線 Ans:3+y=0[ 請注意 (0,0) 不在曲線上 ] ( 練習 30) 設 f()= 的切線與直線 y=7 平行者有二條, 則此兩切線之間的距離為何? Ans: 4 50 ( 練習 3) 設 a,b,c 為實數, 已知二曲線 y= +a+b 與 y= 3 +c 在點 P(,) 處相切, 則 (a,b,c)=? Ans:(5,,) ~9~

20 綜合練習 () 試利用求導數的程序, 求下列各函數的導數 : (a)f()= 3 +5, 求 f / () 的值 (b) h()= 3, 求 h / (0) 的值 (c) g()=, 求 g / (0) 的值 () 下圖為 y=f() 的部分圖形, 試比較下列各數值的大小 : 0, f / (), f / (0), f / (), f / (3) (3) 試求下列各函數在 = 處的導數 : (a)f()=4 (b)f()= (c)f()=( 3+) 4 (4) y=f() 與 y=g() 的圖形如右 : (a) 若 F()=4f()+3g(), 求 F / () 的值 (b) 若 G()=f()g(), 求 G / (4) 的值 (c) 若 H()= f() g(), 求 H / (4) 的值 y=g( y=f() (5) 設多項式函數 f() 的圖形於點 P(3,) 處的切線通過點 Q(,3), 試求 f / (3) 的值 (6) f()= ()()() (+)(+)(+0), 求 f / ()=? (7) 試求 n + n + + +n 的值 (8) 設 f()= , 試求 h0 (9) 已知 f()= 3 +5, 則 3 f(+3h)f(4h) h =? f / ()f / (3) 3 =? 4 3 f ( ) (0) 設 f ( ) a b c d, 若 5 5 ( 5, f (5)) 為切點的切線方程式為 3, 則 y f () 的圖形上以 () 已知多項式函數 g () 的圖形在 =3 處之法線方程式為 y-5=- 4 3 ( -3 ) (a) 求 g (3) 及 g (3) (b) g () 之圖形在 =3 處的切線方程式 () 設 f()=[], 試求 f / (5)=? f / ( 5 )=? ~0~

21 (3) 令 f()=[] 在 =0 是否可微分? (4) 令 f()= 3, 請問 f() 在 =0 是否可以微分? (5) 只要電荷移動, 就會產生電流, 電荷以庫倫 (Coulomb) 當單位, 電流以安培 (Ampere) 作單位, 安培 = 庫倫 / 秒, 設在 t 時刻, 已流經圓形截面的總電荷量是 Q(t) (a) 試解釋 Q(t+h)Q(t) Q(t+h)Q(t) h, h 0 h 這兩個式子的物理意義 (b) 設 Q(t)=t 3 t +6t+, 求 t= 時的電流 (6) 一個圓柱形的水槽裝有 00 公升的水, 在小時內從底部的開口將水放掉設放水 t 分鐘後, 水槽的水體積為 V(t)=00( t 0 ) 公升 (0t0) (a) 試求水在水槽底部開口處流速函數 ( 以時間 t 來表示 ) (b) 試求 t=6 分鐘時, 水槽底部開口水的流速 (7) 設 f()= 3 +a +b, a, b R, 若 y=f() 之圖形通過點 (,4) 且在此點的斜率為 3, 則求 a,b 之值為何? (8) 設 p() 為三次實係數多項式函數, 其圖形通過 (,3),(,5) 兩點若 p() 的圖形在點 (,3) 的切線斜率為 7, 而在點 (,5) 的切線斜率為 5, 試求 p() (008 指考甲 ) (9) 過曲線 y= ++ 外一點 P(,) 的切線方程式 (0) 設 P 點為拋物線 :y=f()= +7 外一點, 已知過 P 點的切線有二條, 其斜率分別為,4, 則 P 點坐標為何? () 求曲線 y= 3 +3 之切線中, 斜率為最大之切線方程式 () 如右圖, 已知 Q (,-3 ) 在曲線 :y= 3-4 上, 以點 Q (,-3 ) 為切點之切線為 L, 試求 : (a) L 的斜率 (b) L 的方程式 (c) L 與 Γ 之所有交點坐標 (3) 設函數 f()= 求數對 (a,b)=? (4) 設 f / (a) 存在, 求 f(a)af() =? (5) 設 f / (a)=k, 求 h0 3,, 若 f() 在 = 處可微分, 試 a b, f(a+h)f(ah) h =?( 以 k 表示 ) 進階問題 ~~

22 (6) 設函數 f() 滿足 : 對於任意實數,y,f(+y)=f()+f(y)+5y, 且 f / (0)=3, 試求下列各問題 : (a)f(0)=? (b)f / ()=? (7) 設函數 f()= +9 試求此函數在點 (4,5) 的切線方程式 (8) 曲線 y 3 在 = 處之切線方程式 (9) 求下列各函數的導函數 : 3 5 (a) f ( ) ( ) (b) f ( ) ( ) (30) 若直線 y= 與曲線 y= 3 3 +a 相切, 試求 a=? (3) 直線 a+y= 與曲線 y= 3 相切, 求實數 a=? 5 ( ) (c) f ( ) ( ) 4 5 (3) 曲線 y=f()= 3 6 有一切線斜率為 6, 求此切線方程式為何? (33) 過點 (, 3 ), 且與曲線 y= 3 3 相切的直線有幾條? 其斜率分別為何? (34) k 為整數, 若二函數圖形 f()= 3 + 與 g()= +k+ 在交點處有共同的切線, 試求 (a)k=? (b) 公切線方程式 (35) 設 f()= 0 sin,, 0, 利用定義證明 f() 在 =0 可微分 0 ~~

23 ()(a)0 (b) (c)0 ()f / (0)<f / ()<0<f / ()<f / (3) (3)(a) 4 (b) (c)4 (4)(a)6 (b)8 (c) (5) (6) 0 (7) n(n+) (8)77 令 f()= n + n + ++, n + n + + +n (9)4[ 提示 : 3 f / ()f / (3) 3 = 綜合練習解答 f()f() =f / () =f // (3)] (0)y= 3 (5) [ f ( ) 提示 : 5 5 3,f(5)=, 且切線斜率為 3 ] ()(a)g(3)=5 g / (3)= 3 4 (b)y5=3 4 (3) () 不存在,0 (3) 不可微分 [ f()f(0) = [] =0, 而 f()f(0) = (4) 不可微 [ f()f(0) = (5)(a) Q(t+h)Q(t) h h0 ( +3 ~3~ f()f(0) )=3, = [] =] +3 =3] 為 t 時刻與 t+h 時刻之間流經圓形截面的平均電荷變化率 Q(t+h)Q(t) h 的電流大小 (b) 計算 Q / ()= = h 0 h0 為 t 時刻流經圓形截面的瞬時電荷變化率, 即為 t 時刻 (+h) 3 (+h) +6(+h)+( 3 +6+) h (h +h+5) =5 (6)(a) V / (t)=00( t 0 )( 0 ) (b)9 ( 公升 / 分鐘 ) (7) a=3,b=6 (8)p()= [ 提示 : 設 p()=a 3 +b +c+d, 利用 p / ()=7,p / ()=5,p()=3,p()=5 解出 a,b,c,d ]

24 (9)y=,y7=5() [ 提示 : 設切點為 (t,t +t+), 切線斜率 =t+ 切線 y( t +t+)=(t+)(t) 又切線通過 P(,)t t=0t=0 或 ] (0)P( 3,0) [ 提示 :f / ()=+, 解 f / ()= 或 f / ()=4=0 或 3 可得切點與切線分別為 (0,7) y=7 或 (3,4) 4+y=6] ()y=3() ()(a) (b)y+3=() (c)(,3) (,0) (3)(a,b)=(8,) (4)f(a)af / (a) (5) 3k [ 提示 : f(a)af() = f(a)af(a)+af(a)af() =f(a)a f()f(a) ] (6)(a) 0 (b)f / ()=5+3 提示 :f / f(+)f() f()+f()+5f() ()= = = ( f() 0 +5)=5+3 (7)y5= 4 5 (4) (8)+y+3=0 (9)(a)f / 3 0 ( ) ()= 3 (b)f / 0( ) ()= 6 ( ) 4 3 / ( ) (8 0 ) (c) f ( ) 6 ( ) 3 (30)a= 或 4 [ 提示 : 設切點為 (t,t)3t 6t+a=, 又因為切點在曲線上 t 3 3t +at=t 3 聯立解上述兩個方程式 a= 或 4 ] (3)3[ 提示 : 設切點為 (t,t 3 ), 根據導數的定義, 可以求出切線的斜率為 3t, 所以 3t =a, 又因為 at+t 3 =, 聯立解出 a t] (3)y+4=6() 或 y4=6(+) [ 提示 : 設切點 (t,t 3 6t)3t 6=6t=] (33)3,0,3 3 ~4~

25 (34)(a)k= (b)+y= [ 提示 : 令切點 (t,t 3 t+),f / (t)=3t,g / (t)=t+k t 3 3t t k t=0 或 t t kt (35) 利用 f()f(0) = sin =0( 利用夾擊原理 ) ~5~

26 補充教材 ( 甲 ) 三角函數的微分正餘弦函數的微分設 f()=sin 設 a 為任意實數, a a 差商 f()f(a) = sinsina sin cos = a a a 計算 f / (a)= f()f(a) sin cos = ( a 故 (sin) / =cos )=cosa y C [ 討論 ]: sin(+)sin () =cos 的另一種看法 : 0 右圖中,B(cos,sin ) C(cos(+),sin(+)) sin(+)sin 代表 CD,BC 弧長為當越來越小時,BCD 可以近似為 BCD, sin(+)sin CD 與 BC 越來越接近, 且 BCD 與 BOA 相似 sin(+)sin CD BC = OA OB =cos cos(+)cos () 你可以仿照上述的方法來解釋 = sin 嗎? 0 O D A B ( 練習 ) 證明 :(cos) / =sin [ 例題 ] 請利用 (sin) / =cos,(cos) / =sin 的結果證明 : (tan) / =sec,(sec) / =sectan / / ( 練習 ) 證明 (cot ) csc, (csc) csc cot ~6~

27 ( 乙 ) 合成函數的微分 d 接下來討論 ( g f )( ) 應該如何表示? d 回顧前面的例子 : 3 設 f ( ), g( ) y, 則 ( g f )( ) g( f ( )) ( ) d n n df ( ) 利用 (( f ( )) n( f ( )), d d d 3 可得 (( ) ) 3( ) = d d dy g y df ( ) ( ) y d 上式並不是巧合, 一般的情形亦是如此定理 :( 連鎖法則 Chain Rule) 若 f(),g(y) 都是可微分的函數, 令 F= 3 f g, 即 F()=f(g()) 則 F() 為可微分函數, 且 F / / / / ()= ( f g) ( ) f ( g( )) g ( ) [ 證明 ]: [ 例題 ] 令 F()= +, 試求 F / ()=? Ans: + [ 例題 3] 求下列函數的導函數 : ()f()=sin 的導函數 ()g()=cos( +) (3)h()=tan 3 Ans:()sincos ()sin( +) (+) (3) 3tan sec ~7~

28 ( 練習 3) 設 n 為正整數且 f() 為可微分的函數, 試用連鎖律去計算 (f()) n 的導函數 Ans:n(f()) n f / () ( 練習 4) 設 n 為正整數, n,f() 為可微分的函數, 試用連鎖律去計算 ( n / f ( )) 的導函數 Ans: n ( f ( )) n n (f / ()) ( 練習 5) 試求下列兩小題 : () 求 3 ( )? () 求 ( ) / =? (3) 求 f()= + 3+ 的導函數 ( ) Ans:() () 3 3 ( 練習 6) 求下列各小題 y / / 3 (4) f / () = () y sin () y cos 3 (3) y 5cos( ) (4) y sin cos4 (5) y sin Ans: ()sin+cos ()3cos sin (3)0sin(+) (4) cos cos4 4 sin sin4 sin cos (5) sin 3 (3+) + ~8~

<4D F736F F D205FBFEFADD7BCC6BEC7A5D2A4555F322D31B74CA4C05FB4B6A454A94D5F2E646F63>

<4D F736F F D205FBFEFADD7BCC6BEC7A5D2A4555F322D31B74CA4C05FB4B6A454A94D5F2E646F63> 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 1 頁 / 共 9 頁 ) 1 微分本節課程學習重點 : 了解導數導數的定義能使用函數的和差積及 k 次方的微分公式微分公式能求多項式函數的導函數導函數能求過多項式函數圖形上一點或過圖形外一點的切線方程式切線方程式能知道曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點了解導數在運動學運動學上的意義